摂動論のアノマリー(第Ⅱ部)(コーヒー・ブレイク)

最初は,これまでと同じく自分のノートからの回顧録のような

ものを惰性的にダラダラと書くつもりで「摂動論のアノマリー」

の続き原稿を書こうと思ったのですが,つい,ここらで場理論や

くりこみ理論との関連や,本論の要約を兼ねて,少し駄文を

述べたくなりました。
 

※ 最初,本記事の副題を(閑話休題)にしようと思いましたが, 

閑話が余談や無駄話を指し,休題がそれを止めるという意味で 

あるとすると,これは余談をやめて本題に戻る,という意味に 

なり,これから余談を始めようと考えているときに使うのは

逆かな？と思い,(コーヒー・ブレイク(coffee-break))と 

しました。。※
 

では,さらに閑話休題。。
 

本ブログ過去記事「弱い相互作用の旧理論(Fermi理論)」では, 

自由中性子ｎのβ崩壊:ｎ→ｐ＋ｅ^－＋ν~はカレント・カレント 

相互作用:Ｈ_int＝(Ｇ/√2)Ｊ_μ^＋Ｊ^μによる旧い扱いでした。
 

そして,Ｊ^μの軽粒子(レプトン;lepton)部分のＶ-Ａカレント 

(vector-axialvector current)である[ｅ~γ^μ(1－γ₅)ν]と, 

Ｊ_μ^＋のハドロン部分のｎ-ｐのＶ-Ａカレント: 

[ｐ~γ_μ(1－α_Ａγ₅)ｎ]の対,

あるいは,これらを構成する４粒子が１頂点に局所的に集中

して(Ｇ/√2)という定数因子の効果を受ける,という局所

相互作用の仮定に基づく理論構成でした。
 

これに対して,ｎ-ｐカレントとｅ-νカレントの間に質量

がμ_Ｗのゲ－ジBoson:Ｗ が交換されるとするなら.上記の

頂点では単なる定数因子の寄与は,1/(ｑ²－μ_Ｗ²＋iε)

という伝播関数の形の因子の寄与に置き換わります。
 

しかし,この中性子のβ崩壊程度の現象では,相互作用が弱い

ため.通常のエネルギーレベルでの実験結果との比較は,

最低次近似の予測計算値との比較で十分なので,その範囲

では,どちらも実験との一致度という意味では大差ないの

ですが,
 

ｑ → 大の高エネルギーでは.一方の定数は全く減衰しない

のに対して,Ｗを交換する相互作用では,少なくとも1/ｑ²の

オーダーで減衰するため,紫外発散を避けて,くり込み可能

となり,QEDと同様な形での弱い相互作用の理論計算ができる

ようになります。

(※現時点では図にあるように可能性ではなく実際にＷが発見

されています。)
 

そして,中性子のようなFermion崩壊ではなく荷電π中間子

π^－の崩壊については,「弱い相互作用の旧理論(12),(13)

(Fermi理論)」で書いたように,
 

主要な反応はπ^－ → μ^－＋ν_μ~で,次反応はπ^－ → ｅ^－＋ν_ｅ~ 

ですが,これについてはハドロンカレント部分をｎ-ｐカレント

の代わりに中間子場の時空微分,or運動量に置き換え,ａという

比率を掛けるという現象論的扱いを採用しました。

　(※ ｎ-ｐカレントがＶ-Ａカレントであるのに対してπは

擬スカラー粒子なので(ａ∂_μπ)は,Ａのみ(axial-vector

＝軸性ベクトルのみ)です。)
 

π^－ → μ^－＋ν_μ~と,π^－ → ｅ^－＋ν_ｅ~の崩壊率の分岐比

は, 理論的計算でも,Ｒ(π^－→ｅ^－＋ν_ｅ~/π^－→μ^－＋ν_μ~) 

＝(ｍ_e/ｍ_μ)²{(μ²－ｍ_e²)/(μ²－ｍ_μ²)}²

～ 2.31488×10^-5×5.49 ～ 1.27×10^-4なる値が得られ 

これは実験値ともよく一致してπ^－崩壊のほとんどの反応

は,π^－ → μ^－＋ν_μ~であることがわかっています。
 

そして,π^－ → μ^－＋ν_μ~ とπ^－ → ｅ^－＋ν_ｅ~の崩壊率:

ωは,τを平均寿命として

ω＝1/τ＝{Ｇ²|ａ|²/(8π)}μ³(ｍ/μ)²(1－ｍ²/μ²)² 

で与えられることを見ました。

　　この式は,ｍ＝ｍ_μを代入すれば,π^－→μ^－＋ν_μ~の崩壊率: 

ω_μ＝1/τ_μを,ｍ＝ｍ_μを代入すれば π^－→ｅ^－＋ν_e~の

崩壊率：ω_ｅ＝1/τ_ｅを与えます。

　そこで,ほとんど全ての反応であるπ^－→μ^－＋ν_μ~の

崩壊率:ω_μの予測値は. 

ω_μ＝1/τ_μ＝{Ｇ²|ａ|²/(8π)}μ³(ｍ_μ/μ)²(1－ｍ_μ²/μ²)²  

です。

　一方,観測されているπ^－の寿命は,

τ＝(2.55±0.03)×10^－8sec です。

　　それ故,ω_μの予測式を.この観測値の

ω＝1/τ～ 1/{(2.55±0.03)×10^－8sec}に等置することから

|ａ|の値を決めることができます。

この計算を実行した結果,|ａ|～ 0.93μと評価されました。
 

これが先の過去記事の主要な内容でした。
 

上記のように,荷電π中間子:π^±の寿命は,～ 10^-8秒で

あるのに対して,前記事で見たように,中性π中間子:π⁰

の寿命は,～ 10^-17秒と極めて短いようです。
 

これは,荷電πの崩壊が弱いβ崩壊相互作用であるのに対して, 

π⁰の主要な崩壊:π⁰→ 2γは中間状態に強い相互作用プロセス 

を挟んでいても,比較的強い電磁相互作用によるためでしょう。
 

電荷を持ったπ^－の崩壊が弱い相互作用により,電荷を持たない

中性のπ⁰の崩壊が電磁相互作用によるというのは皮肉な話では

あります。
 

ＰＣＡＣの項で,π^－→ μ^－ν~ の崩壊振幅において, 

＜μ^－ν~|π^－＞ ～ ＜μ^－ν~|ＮＮ~＞＜ＮＮ~|π^－＞ 

なる核子Ｎの中間状態を仮定しました。

 

同じように,π⁰→ 2γの崩壊振幅を, 

＜2γ|π⁰＞ ～ ＜μν~|ＮＮ~＞＜ＮＮ~|π⁰＞とすれば,

この崩壊反応は次のように図示されます。
 

これは,中間内線のＮを実際の核子と仮定した図ですが,Ｎを 

(ｐ,ｎ)＝(ｕ,ｄ)クォークで置き換えると,最近のQCD理論に

準ずる図になるでしょう。
 

そのうちでも,特に,π⁰→ 2γ崩壊に効くのは三角グラフの

寄与であり,それもアノマリー項以外の寄与は無視できる,

というものですから,

　　約40年前の学生時代に初めてこの理論に接した頃は,

「アノマリーというのは正に異常項であって,何らかの方法

で克服され削除されるべきもの」と先入観で捉えていたため.

現実の粒子の崩壊現象の説明に不可欠なものであると認識

したときには不思議なことと驚いた記憶があります。

さて,パリテイがマイナスの擬スカラー粒子である

π中間子は,元々自発的対称性の破れのために出現する

はずの「南部-Goldstone粒子」の1つとされています

から,その時点では質量はゼロです。
 

しかし,中性πの場合,質量を無視してゼロとすれば,崩壊率

はゼロ(Ｆ^π(0)＝0 より)であり,アノマリーがないなら崩壊

禁止なので,π⁰は完全に安定な粒子ということになり,これは

実験事実に反します。
 

自発的対称性の破れの後,さらに残る対称性として質量ゼロ

では成立していたカイラル対称性が破れて,μ～ 135MeV程度

の質量を獲得した後にも,破れが小さくてＦ^π(μ²/2)を

Ｆ^π(0)で近似し,ＰＣＡＣの「低エネルギー定理」が適用

できて,アノマリーこそがπ⁰ → 2γの崩壊率への寄与に結び

付くのである,という結論は,ここまで展開してきた場の理論

やくり込み理論等の方法論としての正しさを示す証拠かも

しれません。
 

さて.ｐ,ｎクォークによるπ⁰＝(ｐｐ~－ｎｎ~)/√2なる

表現に対して,アノマリ－の重みＳはカラー自由度の３を

掛けて,Ｓ＝(1/2){(2/3)²-(1//3)²}×3＝1/2であることを

見ました。
 

荷電π中間子では,π^－＝ｎｐ~であり,対応する軸性ベクトル 

カレントは,ｊ^5－_μ＝(ｊ^{5 1}_μ＋iｊ^{5 2}_μ)/√2 

＝(1/√2)ｎ~γ_μγ₅ｐ＋√2(σ∂_μπ^－－π^－∂_μσ)

＋√2ｇ₀^-1∂_μπ⁰でしたが,そもそも.π^－崩壊では2光子放出

という電磁頂点を含む三角グラフの介在は.最低次では不可能

なので,π^－崩壊にはアノマリーは無関係です。
 

しかし,π⁰でなくても中性中間子なら三角グラフが寄与する

ことが可能なはず「です。

例えば,η⁰中間子は,η⁰＝(ｐｐ~＋ｎｎ~―2λλ^)/√6と

表わされ,π⁰＝(ｐｐ~－ｎｎ~)/√2のアナロジーで,Ｓは 

Ｓ＝(1/6){(2/3)²＋(-l/3)²－2(-l/3)²}×3＝1/6となります。
 

観測によると,質量はμ_η0 ～ 548MeV,μ_π0～ 135MeVであり,

計算評価すると 

ω_η＝1/τ_η ～7.6eV×(μ_η/μ_π)³×(1/3)～ 170eV　です 。

しかし,これは,η⁰崩壊の実験値(Primakoff効果)

～324 MeVの約1/2倍ですから一致すると見るかどうかは

微妙です。

(※ここの計算は「ゲージ場の量子論(Ⅱ)」(九後汰一郎著)

を参照して,ほぼ丸写ししました。)
 

(※私見では,上記考察では重みＳはＳ_fiへの寄与であり,

崩壊率ωは|Ｓ_fi|²に比例するため,崩壊率への重みはＳで

なくＳ²で効くので,(1/3)じゃなく(1/9)を掛けるべきで,

結果,ω_η＝1/τ_η ～57MeVとなって上記の170MeVより,さら

に実験値の320 MeVからの差が大きくなるようです？？。)
 

「ゲージ場の量子論(Ⅱ)」によれば,アノマリーというのは

系のLagrangianに,γ₅を含むカイラルな項がある場合,

謂わゆるBRS対称性が成立せず,次元正則化や経路積分量子化

によっても.ゲージ不変,かつ,くり込み可能な処方が不可能

であることの反映であり,

　対応原理で見られるような古典方程式から逆に量子論の波動

方程式を導く正準量子化からの帰結であるWard恒等式のような

ものでも,紫外発散を伴なうような量子論的扱いでは正則化に

おいて破れが生じる現象を意味するようです。
 

ここで終わります。

(参考文献):

1.lectures on Elementary Particles and Quantum  

Field Theory(1970 Brandeis University SummerInstitute  

in Theoretical Physics)　VolumeⅠ

2. 九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論(Ⅱ)」(培風館)