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2017年9月 7日 (木)

対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子(3)

「ゲージ場の量子論」(対称性の自発的破れ)の続きです。
 

対称性の自発的破れを起こす模型:2例を考察します。
 

1つはGoldstone模型,もう1つは南部-Jonalashino模型です。
 

まず,対称性の自発的破れが起きる最も簡単な例として, 

次のLagrangian密度:を持つ系から成るGoldstone模型を

考えます。
 

=∂μφμφ+μ2φφ-(λ/2)(φφ)2 です。 

この系は複素スカラー場φのφ4-相互作用系で,通常の場

とは質量項:μ2φφの符号が逆であるのが,本質的違い

です。
 

それ故,通常の<0|φ()|0>=0 の真空:|0>の上では

φの場の励起モードは,負の2乗質量-μ2(虚数質量:±iμ)

を持つ謂わゆるタキオン(tachyon)となります。
 

タキオンモードの存在は,||<μに対して,その時間発展

exp[±{i(2-μ2)1/2}]exp{±(μ22)1/2}

与えられるので,||が小さい長波長側のモードは時間が

経つと指数関数的に増大し,もはや微小な励起に留まらなく

なります。
 

これは,元の基底モード=真空も時間発展で不安定である

ことを意味します。
 

この系が持つ対称性は,位相変換;

φ'()exp(iθ)φ(),φ'()exp(iθ)φ()

の下でのG=U(1)~ O(2)不変性です。
 

対応するNoetherカレント,および,チャージは 

μi{φμφ-(μφ)φ}.

π=∂/(0φ)=∂0φ,

Q=i{φπ-πφ}です。
 

そして,i[,φ]=-iφ,i[,φ]iφ,ですが, 

これらは,同時刻正準交換関係: 

[φ(,),π(,)]iδ3(),および, 

[φ(,),π(,)]=-iδ3()から

従います。
 

一般に系の安定な真空の候補は有効ポテンシャル:

(φ~)の∂V/∂φ~0 で決まる停留点で

与えられます。

  
ただし,φ~(),Heisenberg(演算子):φ()期待値

であり,それ故演算子ではなくてc-数です。
 

(3-1):有効ポテンシャルの定義,意味については,

本ブログ20149/21から20154/21までにアップした

過去記事:「ゲージ場の量子論から(その1)(経路積分と

摂動論)(1)(12)において摂動論を記述した後,

有効作用・有効ポテンシャルの項に入る予定でしたが,

直前でこのシリーズを中断していました。
,

そこでこの記事シリーズから,適宜,必要事項を引用し,

これに追加して説明します。
 

便宜上,(12)Grassmann 代数の知見と面倒な考察を

要するFermion場の話は考慮せず,(1) (11)Boson

のみから成る系で考えます。
 

まず,時間tを含むHeisenberg表示の初期()状態,

終状態を,それぞれ,|φ,,|φ,|>として,

その遷移振幅を,位相空間の積分:∫∫DπDφによる経路

積分で表わすと,
 

<φ,|φ,

=∫∫φ(,tI)=φI()φ(,tF)=φF()DπDφ 

×exp(i∫tItF

[π()φ()(π(),φ())]) となります。
 

この式の右辺から,先に∫Dπだけを実行して,配位空間

の積分:Dφのみによる積分表式にしたものは,

Nを比例定数として, 

<φ,|φ, 

=N∫φ(,tI)φ()φ(,tF)φ()Dφ 

×exp[i∫tItF(φ,∂φ)] です。
 

次に,特にGreen関数の経路積分を考えます。
 

必ずしもφの固有状態ではない一般の状態を想定し,

初期()状態を|Ψ,,終状態を,|:Ψ,F>として,

一般化されたN点Green関数を,

()(,..,; Ψ,;Ψ,F) 

≡<Ψ,F|[φ()..φ()]|Ψ, 

/<Ψ,F|Ψ, 

=<Ψ,|exp(iF)[φ()..

φ()exp(i)]|Ψ 

/<Ψ|exp{i(F-t)}|Ψ> によって,

定義します。
 

これを変形して,最終的にGreen関数の経路積分式として 

()(,..,; Ψ,;Ψ,F) 

=NFIDφΨ[φ()] Ψ[φ()]

φ()..φ()exp[i∫tItF(φ,∂φ)]

を得ます。
 

ここで,一般化されたGreen関数の生成汎関数:FI[]

なるものを次のように定義して導入します。
 

すなわち,FI[] 

=<Ψ,F||exp{i∫dxJ()φ()}| Ψ, 

/<Ψ,F|Ψ,> です。
 

FI[]をJでN階微分してJ=0 と置いたものが一般化

されたN点Green関数になります。 

つまり,

[δFI[]/δJ()..δJ()]jJ(x1)..(xN)0 

=G()(,..,; Ψ,;Ψ,F) です。
 

実は,これが,FI[]

()(,..,; Ψ,;Ψ,F)の生成汎関数

である,という意味です。
 

そして,一般化されたGreen関数は,特に初期状態:|Ψ, 

終状態:|Ψ>が共に系の真空状態 |0>であるとしたとき, 

通常の意味のN点Green関数; 

()(,..,)=<0|(φ()..φ())0 

に一致します。
 

さて,話は重複するかもしれませんが, 

相互作用:int(φ)が存在して,Lagrangian密度, 

(φ,φ)(1/2)μφμφ(1/2)μ2φ2()int(φ) 

で与えられる実スカラー粒子の場:φ()を想定します。
 

この相互作用しているスカラー粒子のN点Green関数G(), 

()(1,..,N)=<0|(φ(1)φ(2)..φ()|0 

で与えられますが,これの生成汎関数を特にZ[]とします。
 

[],配位空間の経路積分によって 

[]=N∫Dφ exp[i∫d{(1/2)φ(□+μ2)φ

int(φ)+Jφ}] 

=N∫Dφ exp[i{(1/2)φ*(□+μ2)φ+J*φ}]

と書けます。
 

右辺の最後の式では,煩わしい∫dxという表現を省略する

ため,時空座標xの任意関数φI),ψ()に対して,内積と

呼ばれる演算:φ*ψを,φ*ψ=∫dxφ()ψ()=ψ*φ

によって定義,導入しました。
 

[],結局,

[]=<exp[i∫d{int(φ)+J*φ}]0 

/exp[i∫d{int(φ)}0 なる式に表わせることが 

わかります。
 

ただし,任意のφの汎関数F(φ)について, 

(φ)0

(exp{(1/2)(δ/δφ)*iΔ*(δ/δφ)}*(φ))φ=0 

と定義しました。
 

(φ)0の意味はF(φ)に左から微分演算子: 

exp{(1/2)(δ/δφ)*iΔ*(δ/δφ)} 

=Σk=0(1/k!)(1/2)k(δ/δφ)*iΔ*(δ/δφ)}

を作用させ,最後にφをゼロと置く操作です。
 

これは,exp[i∫d{int(φ)+J*φ}]0では, 

級数展開Σk=0(1/k!) )1/2)(δ/δφ)*iΔ*(δ/δφ)}

のkの1次ごとにexp[i∫d{int(φ)}]から

φ()φ()のようなφの対を1つ取り除き,代わりに

自由場Feynman伝播関数:

iΔ(x-y)=<0|(φin()φin()|0

で置き換えるという操作を示しています。
 

そして,係数(1/2)はxとyの交換の自由度2で割ることを

意味します。

また,自由場のFeynman伝播関数は,Fourier積分の形で, 

Δ(x-y)

=∫d4(2π)-4[exp{i(x―y)}/(2-m2iε)] 

なるものです。
 

生成関数における指数関数の級数展開は, 

[]=<exp[i∫{int(φ)+J*φ}]0 

/exp[i∫{int(φ)}0 

=Σ=0(1/m!)∫d41..  

iint(1).. iint()exp(i*φ)0/(分母) 

となります。
 

右辺の級数展開は相互作用intに比べて,微小な摂動である

考えたときの摂動展開級数そのものです。
 

(分母)=<exp[i∫{int(φ)}0の効果については,遷移

行列要素の摂動計算に考慮すべきでないと考えられる真空泡の

グラフを(分子)から相殺して除去する操作に関わるものなので,

本質的な寄与をする(分子)の各項について具体的計算方法を

考えます。
 

具体的には,< >0.まず.φの2個の積の場合には,

明らかに,φ(1)φ(2)0iΔ(1-x2)

[φin(1in(2)] です。

便宜上,iΔ(1-x2),Symbolic[φin(1in(2)] 

なる記号で表現しました。


  このように,φ(1),φ(2)の組をFeynman
伝播関数

iΔ(1-x2)で置き換える操作を縮約(contraction) 

と呼びます。
 

以下.具体的に,経路積分による定式化を整理すれば,Feynman

グラフによる通常の伝統的摂動論の計算法に一致することが

示せることを記述しています。

また,Fermion場への一般化もできますが,今回これは省略 

します。
 

ここまでは既に記述した過去シリーズ記事の(1)(11)の内容です。
 

ここから今回本題の「有効作用と有効ポテンシャル,」の話 

を追加します。
 

まず,Green関数の生成汎関数は, 

[]=<0|exp(iJ*φ)]|0 

=<exp[i∫{int(φ)+J*φ}]0

/exp[i∫{int(φ)}0

­­=N∫φexp[i{[φ]Jφ}] と表現されます。
 

このとき,[]exp{i[]}によって,[]

を定義します。
 

proper連結グラフ(固有連結グラフ)とすると,

[]expと表わせるので,i[]は連結固有Green関数

の生成汎関数です。
 

一方,[]=S[φ]+Jφと表わしていますが,具体的には 

Jφ=∫d4xΣiiφi(),であり,[φ]は作用積分の形で 

[φ]=∫d4(φ(),φ()) です。
 

ここで,有効作用;Γ[φ]をW[]から.汎関数のLegebdre変換: 

Γ[φ]=W[]Jφ によっ定義します。
 

ところで, 

δZ/δi(iδW/δi)

i0|φi()exp(iJ*φ)]|0より,

φ~i()(δW/δJi)

0|φ()exp(iJ*φ)]|0/と置くと,

φ~i()(δW/δi),()という外場が存在

するときの場:φ()の期待値を意味することが

わかります。
 

Γ[φ]をJ()でなく,上記の期待値:φ~i()の関数:

Γ[φ~]と考えると,()=δΓ[φ~]/δφ~i() 

です。

 
(※注:何故なら.WはJの関数と見ると,Wのφ~iによる微分

,δW/δφ~i=Σk(δJ/δφ~i)(δW/δJ) 

=Σk (δJ/δφ~i)φ~k であり, 

一方,δ(Jφ)/δφ~i(δJ/δφ~i)φ~+J

なので,δΓ/δφiδW/δφ~i-δ(Jφ)/δφ~i

=-Jiとなるからです。 (注終わり※)
 

有効作用:Γ[φ~]が重要な理由の1つは,これが1粒子

既約頂点関数:Γ()の生成汎関数になっている。

つまり,Γ[φ~]=Σn=0∫d41..4n 

φ~i1(1)..φ~in(n)Γ()(1,..n) となって

いる点です。
 

ここで,[]に効くグラフで伝播関数の線を1本切って

グラフが2つの部分に分離できるとき,その線を関節線

と呼びます。伝播関数の線が外線のそれであれば常に関節線

ですが,外線以外に関節線を持たないグラフを1粒子既約な

グラフ,内線にも関節線があるそれを1粒子可約なグラフと

呼びます。
 

結局,Γ[φ~]は量子効果であるループグラフを除く単純な

Treeレベルでは,cPlanck定数としたO(c)を除く近似

,古典的作用積分:[φ~]=∫d4(φ~,∂φ~)

一致します。
 

この有効作用の物理歴意味をさらによく理解すべく,より

特殊な場合を考えます。
 

外場Jと期待値φ~が共に時間x0=tに依存しない場合を

考えると,この場合.時間並進不変性があるので,[]

Γ[φ~]の∫d4x表現から,無限大の時間因子:T=∫dx0

がくくり出せます。
 

すなわち,[()=J()] =-w[()]∫dx0, 

Γ[φ~()=φ~()]=-E[φ~()]∫dx0  です。
 

さらに,Jとφ~が時空座標xに完全に依存しない定数の場合. 

[()=J]= =-w[]∫d4, 

Γ[φ~()=φ~]=-V[φ~]∫d4 です。
 

最後の,[φ~]はφ~の関数であり,有効ポテンシャル

と呼ばれます。
 

3次元空間のの関数:φ~()の汎関数:[φ~()]には 

決まった名称はありませんが,[φ~]にならって

有効エネルギーと呼んでおきます。
 

Jとφ~がt=x0に依存しないときを考えると, 

[]exp{i[]}exp{i[]} 

=<0| exp{i[]}0,ただし,[] 

-∫d3()φ~(),

Hはエネルギーを意味するHamiltonianです。
 

つまり,期待値の関数としては, 

=∫d3{π~φ~(φ~,∂φ~)},

=-∫d3(φ~,∂φ~)=-Lです。

何故なら,φ~がt=x0に依存しないため,共役:

π~=∂L/(0φ~)=∂0φ~がゼロだからです。
 

そして,真空:|0>はエネルギーHの最低固有値状態

(基底状態)でしたが,ここでも-iε処法を採用している

とすれば,T=∫dx0=∞ の極限では,事実上,[]

-∫d3()φ~()の基底状態:|0>のみが

exp{i[]}=<0| exp{i[]}0|0>に

効きます。
 

それ故,T → ∞ではw[][]の基底状態の

エネルギー固有値です。

つまり,[] |0>=w[] |0> です。
 

他方,この)固有値問題は,量子力学の変分原理の問題と

同じく, <Ψ|Ψ>=1,<Ψ|φ()|Ψ>=φ~()

下で,<Ψ||Ψ>を停留値にする停留解:|Ψ>を求める

停留問題とみなすことができます。
 

すなわち,この,|Ψ>=E|Ψ>の解が,

|Ψ>=|0,E=w[]を与えます。
 

したがって,場の理論で真空を探す問題では,予め並進

不変性を考慮して,[φ()]に依存しないφ~

関数である有効ポテンシャル:[φi~]の停留点を

∂V[φ~]/∂φi~0 から求めればいいです。
 

結局,有効ポテンシャル:[φ~],場φi()の期待値が

φi~(定数)である条件下での基底状態のエネルギー密度と

解釈され,その最低の固有値に対応する状態が真空です。
 

(3-1終わり※)
 

さて,上記注の前に, 

複素スカラー場のGoldstone模型: 

=∂μφμφ+μ2φφ-(λ/2)(φφ)2 

提示して一般に系の安定な真空の候補は有効ポテンシャル:

(φ~)∂V/∂φ~0 で決まる停留点で与えられます。
 

ただし,φ~(),Heisenberg:φ()の期待値です。
 

と述べたところまで戻ります。
 

Goldstone模型では,φ~の関数としての有効ポテンシャルは 

0[φ~]=-μ2φ~φ~(λ/2)(φ~φ~)2 と書けます。
 

このポテンシャルは,φ'()exp(iθ)φ()に対する

(1)不変性を反映して,φ~の大きさ|φ~|のみに依存して

おり,6.1に描いたの実軸での断面図をV軸の周りに回転

して得られるワインボトルの底部のような形をしています。
 

|φ~|の関数形に変形すると, 

0[φ~]=-μ2|φ~|2(λ/2)|φ~|4ですから, 

∂V0[φ~]/|φi~|=―2μ2|φ~|2λ|φ~|3 

=-2|φ~|2(μ2-λ|φ~|2)0 より. 

停留点は,元の不安定な真空に対応するφ~0,, 

|φ|=v/2(μ2/λ)1/2 で与えられます。
 

|φ|=v/2(μ2/λ)1/2 ,Vの断面図を回転した

ワインボトルの底に当たる円周上の点を示しています。

この円周上の点は,どの点も物理的に同等ですが,どれか

1つの点を取って新しい真空とすれば,場φの位相を1

選び出すことになり,(1)対称性を自発的に破ります。
 

特に,円周が実軸と交わる点をφ~を与える真空|0>に

取れば,これは,0|φ()|0>=v/2を実現します。
 

そこで,φ(){v+ψ()iχ()}/2と定義

すれば,ψ(),χ()は真空期待値がゼロの実スカラー

場です。

  
φ=(v+ψ+iχ)/2,

=∂μφμφ+μ2φφ-(λ/2)(φφ)2 

に代入して,22μ20とすると, 

(1/2){(μψ)2-m2ψ2}(1/2)(μχ)2 

(m√λ/2)ψ(ψ2+χ2)(λ/8)(ψ2+χ2)2

-V0[/2] を得ます。
 

ここで,0[φ]=-μ2|φ|2(λ/2)|φ|4 

であり.φ~0|φ()|0>=v/2ですから, 

0[φ~]=V0[/2]=-(μ2/2)2(λ/8)4 

です。
 

(※注3-2):上のの式右辺を導出します。
 

まず,μφμφ=(μψ-iμχ)(μψ+iμχ) 

(μψ)2(μχ)2 です。

  
次に,μ2φφ=(μ2/2){(v+ψ)2+χ2}

(μ2/2){2(ψ2+χ2)2vψ} です。

また,(λ/2)(φφ)2

=-(λ/8){4(ψ2+χ2)242ψ222(ψ2+χ2)

43ψ+4vψ(ψ2+χ2)} です。
 

ここで,/2(μ2/λ)1/2,かつ,2μ2=m2より, 

λv=√2μ√λ=m√λ,λv22μ2=m2  です。
 

そこで,まず,(μ2/2)(ψ2+χ2)(λ/8)22(ψ2+χ2)0, 

(μ2/2)2vψ-(λ/8)43ψ=0 (ψ2+χ2)の項やψの 

次の項は消えます。
 

そして,(λ/8)42ψ2=-(1/2)2ψ2,  

(λ/8)4vψ(ψ2+χ2)=-(m√λ/2)ψ(ψ2+χ2) 

です。

残りは,(1/2)μ22(λ/8)4=-V0[/2]です。
 

(3-2終わり※) 
 

(1/2){(μψ)2-m2ψ2}(1/2)(μχ)2 

(m√λ/2)ψ(ψ2+χ2)(λ/8)(ψ2+χ2)2

-V0[/2]を見ると.ψは質量がm,χは質量ゼロ

のスカラー粒子を示しています。
 

φ=(v+ψ+iχ)/2によって

0|φ()|0>=v/2であったのを,新しい場:

ψ,χでは,0|ψ()|0>=<0|χ()|00となる

ようシフトしたため,χは質量ゼロで出現したN.G.粒子 

の場である,と解釈されます。
 

実際,これは,対称性が破れる前の元の系では, 

μi{φμφ-(μφ)φ}. 

π=∂/(0φ)=∂0φ,Q=i{φπ-πφ}, 

で.<0|i[,φ]|0>=<0|iφ|0>=-i/20 

でしたが,

  
ψ,χは無矛盾な場として<0|i[,ψ]|0>=0,
 

0|i[,χ]|0>=0 であるべきです。
 

そして,μi{φμφ-(μφ)φ}  

=v(μχ)..となることから,χはN..粒子の 

漸近場と理解されます。

   
この近似レベルから.χが正しく規格化されたN.G.ボソン

Heisenberg場とわかるので,前記事のカレントの漸近条件::

μ() o→±∞ → fπμφas()..,  

と比較して,上記式は真空期待値の√2倍のvが.

崩壊定数πを与えることを示しています。

   
以上で,Goldstone模型の話を終わります。


つい,本題から逸れた有効ポテンシャルの説明にのめり込んで

必要以上に冗長となり,長くなってしまいました。

今回はここまでにします。


 次回はまず,「南部-Goldstoneの定理」の別証明を与え,

次にもう1つの例である「南部^Jonalasino模型」に進みます。
 

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論()(培風館)

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