対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子（3)

「ゲージ場の量子論」(対称性の自発的破れ)の続きです。
 

対称性の自発的破れを起こす模型:２例を考察します。
 

１つはGoldstone模型,もう1つは南部-Jonalashino模型です。
 

まず,対称性の自発的破れが起きる最も簡単な例として, 

次のLagrangian密度:Ｌを持つ系から成るGoldstone模型を

考えます。
 

Ｌ＝∂_μφ^＊∂^μφ＋μ²φ^＊φ－(λ/2)(φ^＊φ)² です。 

この系は複素スカラー場φのφ⁴-相互作用系で,通常の場

とは質量項:μ²φ^＊φの符号が逆であるのが,本質的違い

です。
 

それ故,通常の＜0|φ(ｘ)|0＞＝0 の真空:|0＞の上では

φの場の励起モードは,負の2乗質量－μ²(虚数質量:±iμ)

を持つ謂わゆるタキオン(tachyon)となります。
 

タキオンモードの存在は,|ｋ|＜μに対して,その時間発展

がexp[±{－i(ｋ²－μ²)^1/2ｔ}]＝exp{±(μ²－ｋ²)^1/2ｔ}で

与えられるので,|ｋ|が小さい長波長側のモードは時間が

経つと指数関数的に増大し,もはや微小な励起に留まらなく

なります。
 

これは,元の基底モード＝真空も時間発展で不安定である

ことを意味します。
 

この系が持つ対称性は,位相変換;

φ'(ｘ)＝exp(－iθ)φ(ｘ),φ^＊'(ｘ)＝exp(iθ)φ^＊(ｘ)

の下でのＧ＝Ｕ(1)～ Ｏ(2)不変性です。
 

対応するNoetherカレント,および,チャージは 

ｊ_μ＝i{φ^＊∂_μφ－(∂_μφ^＊)φ}.

π＝∂Ｌ/∂(∂₀φ)＝∂₀φ^＊,

Ｑ＝i∫{φ^＊π^＊－πφ}です。
 

そして,i[Ｑ,φ]＝－iφ,i[Ｑ,φ^＊]＝iφ^＊,ですが, 

これらは,同時刻正準交換関係: 

[φ(ｘ,ｔ),π(ｙ,ｔ)]＝iδ³(ｘ－ｙ),および, 

[φ^＊(ｘ,ｔ),π^＊(ｙ,ｔ)]＝－iδ³(ｘ－ｙ)から

従います。
 

一般に系の安定な真空の候補は有効ポテンシャル:

Ｖ(φ~)の∂Ｖ/∂φ~＝0 で決まる停留点で

与えられます。

　　ただし,φ~(ｘ)は,Heisenberg場(演算子):φ(ｘ)の期待値

であり,それ故演算子ではなくてｃ-数です。
 

※(注3-1):有効ポテンシャルの定義,意味については,

本ブログの2014年9/21から2015年4/21までにアップした

過去記事:「ゲージ場の量子論から(その1)(経路積分と

摂動論)」(1)～(12)において摂動論を記述した後,

有効作用・有効ポテンシャルの項に入る予定でしたが,

直前でこのシリーズを中断していました。
,

そこでこの記事シリーズから,適宜,必要事項を引用し,

これに追加して説明します。
 

便宜上,(12)のGrassmann 代数の知見と面倒な考察を

要するFermion場の話は考慮せず,(1) ～ (11)のBoson場

のみから成る系で考えます。
 

まず,時間ｔを含むHeisenberg表示の初期(始)状態,

終状態を,それぞれ,|φ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞,|φ_Ｆ,ｔ_Ｆ|＞として,

その遷移振幅を,位相空間の積分:∫∫ＤπＤφによる経路

積分で表わすと,
 

＜φ_Ｆ,ｔ_Ｆ|φ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞

＝∫∫_{φ(ｘ,ｔＩ)＝φＩ(ｘ)}^{φ(ｘ,ｔＦ)＝φＦ(ｘ)}ＤπＤφ 

×exp(i∫_ｔＩ^ｔＦｄ^４ｘ

[π(ｘ)φ_ｄ(ｘ)－Ｈ(π(ｘ),φ(ｘ))])　となります。
 

この式の右辺から,先に∫Ｄπだけを実行して,配位空間

の積分:∫Ｄφのみによる積分表式にしたものは,

Ｎを比例定数として, 

＜φ_Ｆ,ｔ_Ｆ|φ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞ 

＝Ｎ∫_{φ(ｘ,ｔＩ)＝φＩ(ｘ)}^{φ(ｘ,ｔＦ)＝φＦ(ｘ)}Ｄφ 

×exp[i∫_ｔＩ^ｔＦｄ^４ｘＬ(φ,∂φ)]　です。
 

次に,特にGreen関数の経路積分を考えます。
 

必ずしもφの固有状態ではない一般の状態を想定し,

初期(始)状態を|Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞,終状態を,|:Ψ_Ｆ,ｔ_F＞として,

一般化されたＮ点Green関数を,

Ｇ^(Ｎ)(ｘ_１,..,ｘ_Ｎ; Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ;Ψ_Ｆ,ｔ_F) 

≡＜Ψ_Ｆ,ｔ_F|Ｔ[φ(ｘ_１)..φ(ｘ_Ｎ)]|Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞ 

/＜Ψ_Ｆ,ｔ_F|Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞ 

＝＜Ψ_Ｆ,|exp(－iＨｔ_F)Ｔ[φ(ｘ_１)..

φ(ｘ_Ｎ)exp(iＨｔ_Ｉ)]|Ψ_Ｉ＞ 

/＜Ψ_Ｆ|exp{－iＨ(ｔ_F－ｔ_Ｉ)}|Ψ_Ｉ＞　によって,

定義します。
 

これを変形して,最終的にGreen関数の経路積分式として 

Ｇ^(Ｎ)(ｘ_１,..,ｘ_Ｎ; Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ;Ψ_Ｆ,ｔ_F) 

＝Ｎ_ＦＩ∫ＤφΨ_Ｆ^＊[φ(ｘ_Ｆ)] Ψ_Ｉ[φ(ｘ_Ｆ)]

φ(ｘ_１)..φ(ｘ_Ｎ)exp[i∫_ｔＩ^ｔＦｄ^４ｘＬ(φ,∂φ)]

を得ます。
 

ここで,一般化されたGreen関数の生成汎関数:Ｚ_ＦＩ[Ｊ]

なるものを次のように定義して導入します。
 

すなわち,Ｚ_ＦＩ[Ｊ] 

＝＜Ψ_Ｆ,ｔ_F||Ｔexp{i∫ｄ^４ｘＪ(ｘ)φ(ｘ)}| Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞ 

/＜Ψ_Ｆ,ｔ_F|Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞　です。
 

Ｚ_ＦＩ[Ｊ]をＪでＮ階微分してＪ＝0 と置いたものが一般化

されたＮ点Green関数になります。 

つまり,

[δ^ＮＺ_ＦＩ[Ｊ]/δＪ(ｘ_１)..δＪ(ｘ_Ｎ)]_{ｊＪ(ｘ１)＝..Ｊ(ｘＮ)＝0} 

＝Ｇ^(Ｎ)(ｘ_１,..,ｘ_Ｎ; Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ;Ψ_Ｆ,ｔ_F)　です。
 

実は,これが,Ｚ_ＦＩ[Ｊ]が

Ｇ^(Ｎ)(ｘ_１,..,ｘ_Ｎ; Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ;Ψ_Ｆ,ｔ_F)の生成汎関数

である,という意味です。
 

そして,一般化されたGreen関数は,特に初期状態:|Ψ_Ｉ＞, 

終状態:|Ψ_Ｆ＞が共に系の真空状態 |0＞であるとしたとき, 

通常の意味のＮ点Green関数; 

Ｇ^(Ｎ)(ｘ_１,..,ｘ_Ｎ)＝＜0|Ｔ(φ(ｘ_１)..φ(ｘ_Ｎ))0＞ 

に一致します。
 

さて,話は重複するかもしれませんが, 

相互作用:Ｌ_int(φ)が存在して,Lagrangian密度Ｌが, 

Ｌ(φ,∂φ)＝(1/2)∂_μφ∂^μφ－(1/2)μ²φ²(ｘ)＋Ｌ_int(φ) 

で与えられる実スカラー粒子の場:φ(ｘ)を想定します。
 

この相互作用しているスカラー粒子のＮ点Green関数Ｇ^(Ｎ)は, 

Ｇ^(Ｎ)(ｘ₁,..,ｘ_N)＝＜0|Ｔ(φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)..φ(ｘ_Ｎ)|0＞ 

で与えられますが,これの生成汎関数を特にＺ[Ｊ]とします。
 

Ｚ[Ｊ]は,配位空間の経路積分によって 

Ｚ[Ｊ]＝Ｎ∫Ｄφ exp[i∫ｄ^４ｘ{(－1/2)φ(□＋μ²)φ

＋Ｌ_int(φ)＋Ｊφ}] 

＝Ｎ∫Ｄφ exp[i{(－1/2)φ*(□＋μ²)φ＋Ｊ*φ}]

と書けます。
 

右辺の最後の式では,煩わしい∫ｄ^４ｘという表現を省略する

ため,時空座標ｘの任意関数φIｘ),ψ(ｘ)に対して,内積と

呼ばれる演算:φ*ψを,φ*ψ＝∫ｄ^４ｘφ(ｘ)ψ(ｘ)＝ψ*φ

によって定義,導入しました。
 

Ｚ[Ｊ]は,結局,

Ｚ[Ｊ]＝＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)＋Ｊ*φ}]＞₀ 

/＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}＞₀　なる式に表わせることが 

わかります。
 

ただし,任意のφの汎関数Ｆ(φ)について, 

＜Ｆ(φ)＞₀

＝(exp{(1/2)(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)}*Ｆ(φ))_φ=0 

と定義しました。
 

＜Ｆ(φ)＞₀の意味はＦ(φ)に左から微分演算子: 

exp{(1/2)(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)} 

＝Σ_k=0^∞(1/ｋ！)(1/2)^k(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)}^ｋ

を作用させ,最後にφをゼロと置く操作です。
 

これは,＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)＋Ｊ*φ}]＞₀では, 

級数展開Σ_k=0^∞(1/ｋ！) )1/2)^ｋ(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)}^ｋ

のｋの１次ごとにexp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}]から

φ(ｘ)φ(ｙ)のようなφの対を１つ取り除き,代わりに

自由場のFeynman伝播関数:

iΔ_Ｆ(ｘ－ｙ)＝＜0|ＴＴ(φ_in(ｘ)φ_in(ｙ)|0＞

で置き換えるという操作を示しています。
 

そして,係数(1/2)はｘとｙの交換の自由度２で割ることを

意味します。

また,自由場のFeynman伝播関数は,Fourier積分の形で, 

Δ_Ｆ(ｘ－ｙ)

＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4[exp{－iｋ(ｘ―ｙ)}/(ｋ²－ｍ²＋iε)] 

なるものです。
 

生成関数における指数関数の級数展開は, 

Ｚ[Ｊ]＝＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)＋Ｊ*φ}]＞₀ 

/＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}＞₀ 

＝Σ_ｍ=0^∞(1/ｍ！)∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ^４ｙ_ｍ  

＜iＬ_int(ｙ₁).. iＬ_int(ｙ_ｍ)exp(iＪ*φ)＞₀/(分母) 

となります。
 

右辺の級数展開は相互作用Ｌ_intがＬに比べて,微小な摂動である

と考えたときの摂動展開級数そのものです。
 

(分母)＝＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}＞₀の効果については,遷移

行列要素の摂動計算に考慮すべきでないと考えられる真空泡の

グラフを(分子)から相殺して除去する操作に関わるものなので,

本質的な寄与をする(分子)の各項について具体的計算方法を

考えます。
 

具体的には,＜　＞₀は.まず.φの２個の積の場合には,

明らかに,＜φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)＞₀＝iΔ_Ｆ(ｘ₁－ｘ₂)

＝[φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)] です。

便宜上,iΔ_Ｆ(ｘ₁－ｘ₂)を,Symbolicに[φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)] 

なる記号で表現しました。

　　このように,φ(ｘ₁),φ(ｘ₂)の組をFeynman伝播関数

iΔ_Ｆ(ｘ₁－ｘ₂)で置き換える操作を縮約(contraction) 

と呼びます。
 

以下.具体的に,経路積分による定式化を整理すれば,Feynman

グラフによる通常の伝統的摂動論の計算法に一致することが

示せることを記述しています。

また,Fermion場への一般化もできますが,今回これは省略 

します。
 

ここまでは既に記述した過去シリーズ記事の(1)～(11)の内容です。
 

ここから今回本題の「有効作用と有効ポテンシャル,」の話 

を追加します。
 

まず,Green関数の生成汎関数は, 

Ｚ[Ｊ]＝＜0|Ｔexp(iＪ＊φ)]|0＞ 

＝＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)＋Ｊ*φ}]＞₀

/＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}＞₀

­­＝Ｎ∫Ｄφexp[i{Ｓ[φ]＋Ｊφ}]　と表現されます。
 

このとき,Ｚ[Ｊ]＝exp{iＷ[Ｊ]}によって,Ｗ[Ｊ]

を定義します。
 

Ｐをproper連結グラフ(固有連結グラフ)とすると,

Ｚ[Ｊ]＝expＰと表わせるので,iＷ[Ｊ]は連結固有Green関数

の生成汎関数です。
 

一方,Ｗ[Ｊ]＝Ｓ[φ]＋Ｊφと表わしていますが,具体的には 

Ｊφ＝∫ｄ⁴ｘΣ_iＪ_iφ_i(ｘ),であり,Ｓ[φ]は作用積分の形で 

Ｓ[φ]＝∫ｄ⁴ｘＬ(φ(ｘ),∂φ(ｘ))　です。
 

ここで,有効作用;Γ[φ]をＷ[Ｊ]から.汎関数のLegebdre変換: 

Γ[φ]＝Ｗ[Ｊ]－Ｊφ　によって定義します。
 

ところで, 

δＺ/δＪ_i＝(iδＷ/δＪ_i)Ｚ

＝i＜0|φ_i(ｘ)Ｔexp(iＪ＊φ)]|0＞より,

φ~_i(ｘ)＝(δＷ/δＪ_i)

＝＜0|φ_ｉ(ｘ)Ｔexp(iＪ＊φ)]|0＞/Ｚと置くと,

φ~_i(ｘ)＝(δＷ/δＪ_i)は,Ｊ(ｘ)という外場が存在

するときの場:φ_ｉ(ｘ)の期待値を意味することが

わかります。
 

Γ[φ]をＪ_ｉ(ｘ)でなく,上記の期待値:φ~_i(ｘ)の関数:

Γ[φ~]と考えると,Ｊ_ｉ(ｘ)＝δΓ[φ~]/δφ~_i(ｘ) 

です。

　(※注:何故なら.ＷはＪの関数と見ると,Ｗのφ~_iによる微分

は,δＷ/δφ~_i＝Σ_k(δＪ_ｋ/δφ~_i)(δＷ/δＪ_ｋ) 

＝Σ_k (δＪ_ｋ/δφ~_i)φ~_ｋであり, 

一方,δ(Ｊφ)/δφ~_i＝(δＪ_ｋ/δφ~_i)φ~_ｋ＋Ｊ_ｉ

なので,δΓ/δφ_i＝δＷ/δφ~_i－δ(Ｊφ)/δφ~_i

＝－Ｊ_iとなるからです。　(注終わり※)
 

有効作用:Γ[φ~]が重要な理由の1つは,これが１粒子

既約な頂点関数:Γ^(ｎ)の生成汎関数になっている。

つまり,Γ[φ~]＝Σ_n=0^∞∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ_n 

φ~_i1(ｘ₁)..φ~_in(ｘ_n)Γ^(ｎ)(ｘ₁,..ｘ_n)　となって

いる点です。
 

ここで,Ｗ[Ｊ]に効くグラフで伝播関数の線を1本切って

グラフが２つの部分に分離できるとき,その線を関節線

と呼びます。伝播関数の線が外線のそれであれば常に関節線

ですが,外線以外に関節線を持たないグラフを１粒子既約な

グラフ,内線にも関節線があるそれを１粒子可約なグラフと

呼びます。
 

結局,Γ[φ~]は量子効果であるループグラフを除く単純な

Treeレベルでは,ｈ_cをPlanck定数としたＯ(ｈ_c)を除く近似

で,古典的作用積分:Ｓ[φ~]＝∫ｄ⁴ｘＬ(φ~,∂φ~)に

一致します。
 

この有効作用の物理歴意味をさらによく理解すべく,より

特殊な場合を考えます。
 

外場Ｊと期待値φ~が共に時間ｘ⁰＝ｔに依存しない場合を

考えると,この場合.時間並進不変性があるので,Ｗ[Ｊ]や

Γ[φ~]の∫ｄ⁴ｘ表現から,無限大の時間因子:Ｔ＝∫ｄｘ⁰

がくくり出せます。
 

すなわち,Ｗ[Ｊ(ｘ)＝Ｊ(ｘ)] ＝－ｗ[Ｊ(ｘ)]∫ｄｘ⁰, 

Γ[φ~(ｘ)＝φ~(ｘ)]＝－Ｅ[φ~(ｘ)]∫ｄｘ⁰です。
 

さらに,Ｊとφ~が時空座標ｘに完全に依存しない定数の場合. 

Ｗ[Ｊ(ｘ)＝Ｊ]＝ ＝－ｗ[Ｊ]∫ｄ⁴ｘ, 

Γ[φ~(ｘ)＝φ~]＝－Ｖ[φ~]∫ｄ⁴ｘ です。
 

最後の,Ｖ[φ~]はφ~の関数であり,有効ポテンシャル

と呼ばれます。
 

３次元空間のｘの関数:φ~(ｘ)の汎関数:Ｅ[φ~(ｘ)]には 

決まった名称はありませんが,Ｖ[φ~]にならって

有効エネルギーと呼んでおきます。
 

Ｊとφ~がｔ＝ｘ⁰に依存しないときを考えると, 

Ｚ[Ｊ]＝exp{iＷ[Ｊ]}＝exp{－iｗ[Ｊ]Ｔ} 

＝＜0| exp{－iＨ[Ｊ]Ｔ}｜0＞,ただし,Ｈ[Ｊ] 

＝Ｈ－∫ｄ³ｘＪ(ｘ)φ~(ｘ)で,

Ｈはエネルギーを意味するHamiltonianです。
 

つまり,期待値の関数としては, 

Ｈ＝∫ｄ³ｘ{π~φ~－Ｌ(φ~,∂φ~)},

＝－∫ｄ³ｘＬ(φ~,∂φ~)＝－Ｌです。

何故なら,φ~がｔ＝ｘ⁰に依存しないため,共役:

π~＝∂L/∂(∂₀φ~)＝∂₀φ~がゼロだからです。
 

そして,真空:|0＞はエネルギーＨの最低固有値状態

(基底状態)でしたが,ここでも－iε処法を採用している

とすれば,Ｔ＝∫ｄｘ⁰＝∞ の極限では,事実上,Ｈ[Ｊ]

＝Ｈ－∫ｄ³ｘＪ(ｘ)φ~(ｘ)の基底状態:|0_Ｊ＞のみが

exp{－iｗ[Ｊ]Ｔ}＝＜0| exp{－iＨ[Ｊ]Ｔ}0＞の|0＞に

効きます。
 

それ故,Ｔ → ∞ではｗ[Ｊ]はＨ[Ｊ]の基底状態の

エネルギー固有値です。

つまり,Ｈ[Ｊ] |0_Ｊ＞＝ｗ[Ｊ] |0_Ｊ＞　です。
 

他方,この)固有値問題は,量子力学の変分原理の問題と

同じく, ＜Ψ|Ψ＞＝1,＜Ψ|φ(ｘ)|Ψ＞＝φ~(ｘ)の

下で,＜Ψ|Ｈ|Ψ＞を停留値にする停留解:|Ψ＞を求める

停留問題とみなすことができます。
 

すなわち,この,Ｈ|Ψ＞＝Ｅ|Ψ＞の解が,

|Ψ＞＝|0_Ｊ＞,Ｅ＝ｗ[Ｊ]を与えます。
 

したがって,場の理論で真空を探す問題では,予め並進

不変性を考慮して,Ｅ[φ(ｘ)]のｘに依存しないφ~の

関数である有効ポテンシャル:Ｖ[φ_i~]の停留点を

∂Ｖ[φ~]/∂φ_i~＝0 から求めればいいです。
 

結局,有効ポテンシャル:Ｖ[φ~]は,場φ_i(ｘ)の期待値が

φ_i~(定数)である条件下での基底状態のエネルギー密度と

解釈され,その最低の固有値に対応する状態が真空です。
　

(注3-1終わり※)
 

さて,上記注の前に, 

複素スカラー場のGoldstone模型: 

Ｌ＝∂_μφ^＊∂^μφ＋μ²φ^＊φ－(λ/2)(φ^＊φ)² を

提示して一般に系の安定な真空の候補は有効ポテンシャル:

Ｖ(φ~)の∂Ｖ/∂φ~＝0 で決まる停留点で与えられます。
 

ただし,φ~(ｘ)は,Heisenberg場:φ(ｘ)の期待値です。
 

と述べたところまで戻ります。
 

Goldstone模型では,φ~の関数としての有効ポテンシャルは 

Ｖ₀[φ~]＝－μ²φ~^＊φ~＋(λ/2)(φ~^＊φ~)² と書けます。
 

このポテンシャルは,φ'(ｘ)＝exp(－iθ)φ(ｘ)に対する

Ｕ(1)不変性を反映して,φ~の大きさ|φ~|のみに依存して

おり,図6.1に描いたの実軸での断面図をＶ軸の周りに回転

して得られるワインボトルの底部のような形をしています。
 

|φ~|の関数形に変形すると, 

Ｖ₀[φ~]＝－μ²|φ~|²＋(λ/2)|φ~|⁴ですから, 

∂Ｖ₀[φ~]/∂|φ_i~|＝―2μ²|φ~|＋2λ|φ~|³ 

＝－2|φ~|²(μ²－λ|φ~|²)＝0　より. 

停留点は,元の不安定な真空に対応するφ~＝0,と, 

|φ|＝ｖ/√2＝(μ²/λ)^1/2 で与えられます。
 

|φ|＝ｖ/√2＝(μ²/λ)^1/2 は,Ｖの断面図を回転した

ワインボトルの底に当たる円周上の点を示しています。

この円周上の点は,どの点も物理的に同等ですが,どれか

１つの点を取って新しい真空とすれば,場φの位相を1つ

選び出すことになり,Ｕ(1)対称性を自発的に破ります。
 

特に,円周が実軸と交わる点をφ~を与える真空|0＞に

取れば,これは,＜0|φ(ｘ)|0＞＝ｖ/√2を実現します。
 

そこで,φ(ｘ)＝{ｖ＋ψ(ｘ)＋iχ(ｘ)}/√2と定義

すれば,ψ(ｘ),χ(ｘ)は真空期待値がゼロの実スカラー

場です。

　　φ＝(ｖ＋ψ＋iχ)/√2を,

Ｌ＝∂_μφ^＊∂^μφ＋μ²φ^＊φ－(λ/2)(φ^＊φ)² 

に代入して,ｍ²＝2μ²＞0とすると, 

Ｌ＝(1/2){(∂_μψ)²－ｍ²ψ²}＋(1/2)(∂_μχ)² 

－(ｍ√λ/2)ψ(ψ²＋χ²)－(λ/8)(ψ²＋χ²)²

－Ｖ₀[ｖ/√2] を得ます。
 

ここで,Ｖ₀[φ]＝－μ²|φ|²＋(λ/2)|φ|⁴ 

であり.φ~＝＜0|φ(ｘ)|0＞＝ｖ/√2ですから, 

Ｖ₀[φ~]＝Ｖ₀[ｖ/√2]＝－(μ²/2)ｖ²＋(λ/8)ｖ⁴

です。
 

(※注3-2):上のＬの式右辺を導出します。
 

まず,∂_μφ^＊∂^μφ＝(∂_μψ－i∂_μχ)(∂^μψ＋i∂^μχ) 

＝(∂_μψ)²＋(∂_μχ)² です。

　　次に,μ²φ^＊φ＝(μ²/2){(ｖ＋ψ)²＋χ²}

＝(μ²/2){ｖ²＋(ψ²＋χ²)＋2ｖψ}　です。

また,－(λ/2)(φ^＊φ)²

＝－(λ/8){ｖ⁴＋(ψ²＋χ²)²＋4ｖ²ψ²＋2ｖ²(ψ²＋χ²)

＋4ｖ³ψ＋4ｖψ(ψ²＋χ²)}　です。
 

ここで,ｖ/√2＝(μ²/λ)^1/2,かつ,2μ²＝ｍ²より, 

λｖ＝√2μ√λ＝ｍ√λ,λｖ²＝2μ²＝ｍ²です。
 

そこで,まず,(μ²/2)(ψ²＋χ²)－(λ/8)2ｖ²(ψ²＋χ²)＝0, 

(μ²/2)2ｖψ－(λ/8)4ｖ³ψ＝0　で(ψ²＋χ²)の項やψの 

１次の項は消えます。
 

そして,－(λ/8)4ｖ²ψ²＝－(1/2)ｍ²ψ²,  

－(λ/8)4ｖψ(ψ²＋χ²)＝－(ｍ√λ/2)ψ(ψ²＋χ²) 

です。

残りは,(1/2)μ²ｖ²－(λ/8)ｖ⁴＝－Ｖ₀[ｖ/√2]です。
 

(注3-2終わり※) 
 

Ｌ＝(1/2){(∂_μψ)²－ｍ²ψ²}＋(1/2)(∂_μχ)² 

－(ｍ√λ/2)ψ(ψ²＋χ²)－(λ/8)(ψ²＋χ²)²

－Ｖ₀[ｖ/√2]を見ると.ψは質量がｍ,χは質量ゼロ

のスカラー粒子を示しています。
 

φ＝(ｖ＋ψ＋iχ)/√2によって

＜0|φ(ｘ)|0＞＝ｖ/√2であったのを,新しい場:

ψ,χでは,＜0|ψ(ｘ)|0＞＝＜0|χ(ｘ)|0＞＝0となる

ようシフトしたため,χは質量ゼロで出現したＮ.Ｇ.粒子 

の場である,と解釈されます。
 

実際,これは,対称性が破れる前の元の系では, 

ｊ_μ＝i{φ^＊∂_μφ－(∂_μφ^＊)φ}. 

π＝∂Ｌ/∂(∂₀φ)＝∂₀φ^＊,Ｑ＝i∫{φ^＊π^＊－πφ}, 

で.＜0|i[Ｑ,φ]|0＞＝＜0|－iφ|0＞＝－iｖ/√2≠0 

でしたが,

　　ψ,χは無矛盾な場として＜0|i[Ｑ,ψ]|0＞＝0, 

＜0|i[Ｑ,χ]|0＞＝0　であるべきです。
 

そして,ｊ_μ＝i{φ^＊∂_μφ－(∂_μφ^＊)φ}  

＝ｖ(∂_μχ)＋..となることから,χはＮ.Ｇ.粒子の 

漸近場と理解されます。

　　　この近似レベルから.χが正しく規格化されたＮ.Ｇ.ボソン

のHeisenberg場とわかるので,前記事のカレントの漸近条件::

ｊ_μ(ｘ) _ｘo→±∞ → ｆ_π∂_μφ^ａｓ(ｘ)＋..,  

と比較して,上記式は真空期待値の√2倍のｖが.

崩壊定数ｆ_πを与えることを示しています。

　　　以上で,Goldstone模型の話を終わります。

つい,本題から逸れた有効ポテンシャルの説明にのめり込んで

必要以上に冗長となり,長くなってしまいました。

今回はここまでにします。

　次回はまず,「南部-Goldstoneの定理」の別証明を与え,

次にもう1つの例である「南部^Jonalasino模型」に進みます。
 

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論(Ⅱ)」(培風館)