対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子（4)

「ゲージ場の量子論」(対称性の自発的破れ)の続きです。
 

今回,最初は「南部-Goldstoneの定理」の別証明、および, 

対称性の自発的破れの興味深いもう１つの例である

「南部-Jonalashino模型」の紹介と説明を行う予定でした

が,「南部-Jonalashino模型」を詳しく説明しようとすると

とても長くなることがわかったので２つに分けて今回は,

「南部-Goldstoneの定理」の別証明の話だけにします。
 

(前置き):さて,前回,Goldstone模型で書き直したLagrangian 

密度:Ｌ＝(1/2){(∂_μψ)²－ｍ²ψ²}＋(1/2)(∂_μχ)² 

－(ｍ√λ/2)ψ(ψ²＋χ²)－(λ/8)(ψ²＋χ²)²－Ｖ₀[ｖ/√2] 

において,χの質量項がゼロで.ψの質量項が正しい符号の 

－(1/2)ｍ²ψ²で出現した理由を考え直してみます。
 

これら場の２次の項は,Ｌの中のポテンシャル項:－Ｖ₀[φ] 

だけに由来しており,その停留点:φ＝φ~＝ｖ/√2の周り

での 曲率＝2×2行列:{∂²/∂φi∂φj}_{φ~＝ｖ/√2} の固有値

が２乗質量のゼロとｍ²に対応している,ことに気付きます。
 

ポテンシャル:Ｖ₀[φ]は,前回の図6.1で回転したワイン瓶

の底の形であることを示しましたが,この瓶底の１点:

φ~＝ｖ/√2の周りで見ると動径方向(Reφ方向)の曲率が

最大で,それがψの２乗質量:ｍ²を与え,一方,円周方向

(Imφ方向)は,そもそもＵ(1)対称性によりポテンシャル

の値が変化しない方向ですから,曲率はゼロで,これが

Ｎ.Ｇ.ボソン:χの零質量を与えるとわかります。
 

この見方は,Ｎ.Ｇ.ボソンが,何故,零質量になるのかに

ついて,ポテンシャル項:Ｖ₀の持つ対称性から.直接視覚的

に明快な説明を与えるもので「南部-Goldstoneの定理」の

別証明の発想の基礎となります。
 

(定理の別証明):局所的Heisenberg場の一組:{Φ(ｘ)}が

理論の対称性の群Ｇのある既約表現の基底になっていると

します。(※線型表現の不変部分空間の基底であれば既約

でなくてもいいと主鱒が。。)
 

すなわち,次式が満たされているとします。 

[iＱ^Ａ,Φi(ｘ)]＝∫ｄ³ｙi[ｊ^Ａ₀(y),Φ_i(ｘ)] 

＝－iＴ^Ａ_ijΦ_j(ｘ)　(ｉ＝1,2..,ｎ)
 

 Ｔ^Ａ_ijは,この既約表現でのＧの生成子Ｔ^Ａの 

表現行列(要素)です。
 

Φ_i(ｘ)は,一般に"素"Heisenberg場の多項式で与えられる 

複合場であり,[iＱ^Ａ,Φi(ｘ)]＝∫ｄ³ｙi[ｊ^Ａ₀(y),Φ_i(ｘ)] 

＝－iＴ^Ａ_ijΦ_j(ｘ)は,[iＱ^Ａ,Φ_i(ｘ)]＝δ^ＡΦ_iが線型変換 

であると主張するものではありません。 

(※表現が線型表現であるだけです。)
 

この複合場:Φ_i(ｘ)に対する外場:Ｊ_i(ｘ)を導入し, 

exp(iＷ[Ｊ])＝＜0|Ｔexp[∫ｄ⁴ｘJ _i(ｘ)Φ_i(ｘ)]|0＞ 

によってＷ[Ｊ]を定義し,これのLegendre変換: 

Γ[Φ]＝Ｗ[Ｊ]－J Φから有効作用:Γ[Φ],そして,Φ

が定数の場合として有効ポテンシャル:Ｖ[Φ]が得られた

とします。
 

Γ[Φ],Ｖ[Φ]は対称性群ＧのΦを基底とする線型表現

の無限小変換である線形変換:Φ_i → Φ_i－iε^ＡＴ^Ａ_ijΦ_j

の下で明らかに不変ですから,(∂Ｖ/∂Φ_ｊ)Ｔ^Ａ_jｋΦ_ｋ＝0

が成立します。
 

これは,Φについての恒等式ですからさらに両辺をΦ_ｉで

微分して,同じく,恒等式:

(∂²Ｖ/∂Φ_ｊ∂Φ_ｉ)Ｔ^Ａ_jｋΦ_ｋ＋(∂Ｖ/∂Φ_ｊ)Ｔ^Ａ_jｉ＝0　 

を得ます。
 

ここで,ある真空|0＞における複合場演算子:Φ_i(ｘ)の

期待値を,ｖ_i＝＜0|Φ_i(ｘ)|0＞とすると, 

[iＱ^Ａ,Φi(ｘ)]＝∫ｄ³ｙi[ｊ^Ａ₀(y),Φ_i(ｘ)]

＝－iＴ^Ａ_ijΦ_j(ｘ)から,

＜0|[iＱ^Ａ,Φ_ｉ(ｘ)]{0＞＝＜0|δ^ＡΦ_ｉ|0＞ 

＝－＜0|iＴ^Ａ_ijΦ_ｋ(ｘ){0＞＝－iＴ^Ａ_ijｖ_ｊ

と書けます。
 

それ故, 次のような対応があることになります。 

Ｔ^Ａ_ijｖ_ｊ＝ 0　⇔　Ｔ^Ａ∈ Ｈ (破れていない生成子) 

Ｔ^Ａ_ijｖ_ｊ≠ 0　⇔　Ｔ^Ａ∈(Ｇ－Ｈ ) (破れた生成子)
 

一方,

(∂²Ｖ/∂Φ_ｊ∂Φ_ｉ)Ｔ^Ａ_jｋΦ_ｋ＋(∂Ｖ/∂Φ_ｊ)Ｔ^Ａ_jｉ＝0　 

を,∂Ｖ/∂Φ_ｊ＝0の停留条件を満たすΦ_ｊ＝ｖ_iで評価

すると,[∂²Ｖ/∂Φ_ｊ∂Φ_ｉ]_φ＝ｖＴ^Ａ_jｋｖ_ｋ＝0　です。
 

ところが一般に,＜0|Φ_i(ｘ)|0＞＝ｖ_i≠0 となる真空上

のGreen関数は,場:Φ_i(ｘ)を,ｖ_i＋Φ^_i(ｘ)のように真空

期待値分ｖ_iだけシフトして,＜0|Φ^_i(ｘ)|0＞＝0 となる

ような新しい無矛盾な場をΦ^_i(ｘ)として再定義する

必要があります。

　　そして,有効作用;Γ[Φ]＝Γ[Φ^＋ｖ]を,Φ＝ｖの周り

にTaylor展開した級数: 

Γ[Φ]＝Γ[Φ^＋ｖ]＝Σ_n=0^∞(1/ｎ!)∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ_n 

Φ^_i1(ｘ₁)..Φ^_in(ｘ_n)Γ_ｖ^(ｎ)(ｘ₁,..ｘ_n) 

の係数:Γ_ｖ^(ｎ)(ｘ₁,..ｘ_n)は,この真空上の新しい無矛盾な

場:Φ^(ｘ)の1粒子既約な頂点関数を与えます。
 

このことから有効ポテンシャル:Ｖ[Φ]は,Φ＝ｖの周りの

Φ^によるTaylor展開の係数:Ｖ_ｖ^(ｎ)が,運動量表示の

有効作用:－Γ~_ｖ^(ｎ)(ｐ₁,..ｐ_n)のｐ_j＝0 での値:

－Γ~_ｖ^(ｎ)(0,..,0)に一致することがわかります。
 

特にｎ＝2では,

[∂²Ｖ/∂Φ_ｊ∂Φ_ｉ]_φ＝ｖ＝－Γ~_ｖi,ｖj⁽²⁾(ｐ＝0) 

＝－Δ_Ｆ ^-1_ij{_ｐ=0　です。 

ここで,Δ_Ｆ ^-1は2点Green関数＝Feynman伝播関数:

Δ_Ｆ(ｐ) _ijの逆行列要素です。 

(※　iΔ_Ｆ(ｐ)_ij

＝∫ｄ₄ｘ{exp(iｐｘ)＜0|ＴΦ_i(ｘ)Φ_j(0)|0＞})です。)

それ故,[∂²Ｖ/∂Φ_ｊ∂Φ_ｉ]_φ＝ｖＴ^Ａ_jｋｖ_ｋ＝0　は,

(Ｔ^Ａ_jｋｖ_ｋ)が零ベクトルを意味しない限り,(Ｔ^Ａ_jｋｖ_ｋ)

が行列:－{(iΔ_Ｆ) ^-1}_ij{_ｐ=0の固有値ゼロに属する固有

ベクトルであることを示しています。
 

1スカラー１粒子だけの系では,その質量がｍなら,伝播関数

の運動量表示は,Δ_Ｆ(ｐ)＝1/(ｐ²－ｍ²＋iε)ですから,

ｐ＝0 のとき,－Δ_Ｆ ^-1＝ｍ²です。
 

故に:行列(－Δ_Ｆ ^-1_ij|_ｐ=0)は質量を意味する行列であり,

対角化したときの対角成分＝固有値は質量を意味します。
 

－Δ_Ｆ ^-1_ij|_ｐ=0の零固有値は固有ベクトル方向の場が零質量

を持つことを意味するため,破れた生成子:Ｔ^Ａに対応する数

の独立な固有ベクトルＴ^Ａｖ≠0 が零質量のＮ.Ｇ.粒子

として出現することを示しています。

(証明終わり)
 

※(注4-1):前回記事での有効作用・有効ポテンシャルの説明で 

必要なのに,落としてしまったと思われる部分を追加します。
 

有効作用:Γ[φ]が1粒子既約な頂点関数:Γ^(ｎ)の生成汎関数

であったことから従う有効ポテンシャル:Ｖ[φ]のもう1つの

側面に注意します。

　　頂点関数:Γ^(ｎ)の運動量表示Γ~^(ｎ)を運動量保存のδ関数

を外して定義します。すなわち, 

∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ_n exp{iｐ₁ｘ₁＋..＋iｐ_nｘ_n}

Γ^(ｎ)_i1/..in(ｘ₁,..,ｘ_n)

＝Γ~^(ｎ) _i1..in( (ｐ₁,..,ｐ_n)(2π)⁴δ⁴(ｐ₁＋..＋ｐ_n)

です。
 

有効作用の展開:Γ[φ]＝Σ_n=0^∞(1/ｎ!)∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ_n 

φ_i1(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n)Γ^(ｎ)i_1..in(ｘ₁,..ｘ_n)　において, 

φ_i(ｘ)をφ~_i(定数)とし,Ｖ[Φ]の定義式,および, 

(2π)⁴δ⁴(ｐ＝0)＝∫ｄ⁴ｘ exp(iｐｘ)|_p=0を考慮すると,
 

Ｖ[φ~]＝－Σ_n=0^∞(1/ｎ!)φ~_i1..φ~_inΓ~^(ｎ)i_1..in(0...,0) 

を得ます。
 

すなわち,有効ポテンシャル:Ｖ[φ~]は,運動量ｐ_iが全て

ゼロのときのｎ点頂点関数の生成関数という意味を持つ

ことがわかりました。

　　さらに,Ｗ[Ｊ]の経路積分表式: 

Ｚ[Ｊ]＝exp(iＷ[Ｊ])­­＝Ｎ∫Ｄφexp[i{Ｓ[φ]＋Ｊφ}] 

を,Γ[φ~]＝Ｗ[Ｊ]­­－Ｊφ=に代入し,自然単位に

Planck定数:ｈ_cを復活させると,Γ[φ~]

＝(－iｈ_c)ln[∫Ｄφexp{(i/ｈ_c){Ｓ[φ]＋Ｊ(φ－φ~)}] 

となります。
 

経路積分Ｄφの積分変数を,φ → φ＋φ~と変数置換して, 

－Ｊ_i(ｘ)＝δΓ/δφ_iを代入すれば, 

Γ[φ~]＝(－iｈ_c)ln[∫Ｄφexp{(i/ｈ_c){∫ｄ⁴ｘ 

(Ｌ[φ＋φ~]－(δΓ/δφ)φ)}]　　です。
 

Ｌ[φ＋φ~]をｃ-数: φ~の周りで量子場:φ(ｘ)につて 

展開すると,Ｌ[φ＋φ~]＝Ｌ[φ~]＋(∂Ｌ/∂φ_i)φ_i 

＋(1/2)φ_i|(iＤ_F)^-1φ~}^ijφ_j＋Ｌ_int[φ;φ~]

と書けます。
 

ここで,|(iＤ_F)^-1φ~}^ijは,|(iＤ_F)^-1φ~}^ij 

＝(∂²Ｌ[φ＋φ~]/∂φ_i∂φ_j)|_φ=0

＝(∂²Ｌ[φ~]/∂φ~_i∂φ~_j) で与えられますが,これは

場:φの期待値がφ~であるような真空の上でのFeynman

伝播関数の逆数となってるのでこう表記しました。
 

Ｌ_int[φ;φ~]は,φについては３次以上のφ~における

相互作用項です。

　　このＬ[φ＋φ~]の展開をΓ[φ~]の表式に代入すると, 

Γ[φ~]＝∫ｄ⁴ｘＬ[φ~]＋Γ~[φ~] 

Γ~[φ~]＝(－iｈ_c)ln∫Ｄφexp[(i/ｈ_c){∫ｄ⁴ｘ 

[(1/2)φ_i|(iＤ_F)^-1φ~}^ijφ_j＋Ｌ_int[φ;φ~]

－(δΓ/δφ)φ}] を得ます。　

　　これで,うまい具合に有効作用:Γ[φ~]から,古典的作用積分: 

Ｓ[φ~]＝∫ｄ⁴ｘＬ[φ~]が分離されました。
 

(注4-1終わり※)
 

今回は短かいながらここまでにして,次回は本当に 

「南部-Jonalashino模型」の説明に進みます。
 

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論(Ⅱ)」(培風館)