対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子（5)

「ゲージ場の量子論」(対称性の自発的破れ)の続きです。
 

対称性の自発的破れを起こす例として前のGoldstone模型 

よりは自明でない例として「南部-Jonalashino模型」 

(ＮＪ)模型を考察します。
 

「南部-Jonalashino模型」のLagrangian密度:Ｌは. 

Ｌ＝Ψ~iγ^μ∂_μΨ＋(Ｇ/Ｎ)[(Ψ~Ψ)²＋(Ψ~iγ₅Ψ)²]  

で与えられます。
 

ここでは,以下の近似の意味を明確にするため,Fermion場: 

ΨはＮ個のDirac場:ψのＳＵ(Ｎ)変換群の基本表現を示す 

列ベクトルであるとします。
 

すなわち,Ψ＝[ψ₁,..,ψ_Ｎ]^Ｔとします。 

そして,Ψ~ΓΨ＝Σ_j=1^ＮΨ~_ｊΓψ_jと規約します。
 

元々の(ＮＪ)模型は.Ｎ＝1の単純な模型でした。
 

さて,このＮ-Fermion系は,位相変換Ｕ(1)

Ψ(ｘ) → exp(－iθ)Ψ(ｘ)の不変性以外に,カイラル

Ｕ(1)変換:Ψ(ｘ) → exp(－iγ₅θ)Ψ(ｘ)の下での

不変性を持ちます。
 

その対称性成立のために,Ｌには,－ｍΨ~Ψ(ｍは質量行列)

のようなFermion質量項はない,としています。
 

ここからはカイラルＵ(1)対称性が,この系の動力学により

自発的に破れて.Ψが質量を獲得する可能性を調べます。
 

4次のfermion相互作用項:(Ｇ/Ｎ)(Ψ~Ψ)²の形を考慮すれば, 

複合場:Ψ~Ψ(ｘ)がゼロでない真空期待値; 

＜0|Ψ~Ψ|0＞＝－{Ｎ/(2Ｇ)}ｍ ≠0 を実現すれば,Ψが 

－ｍΨ~Ψの質量項を得ると期待されます。.
 

※(注5-1):Ψ~Ψ＝Ψ^~Ψ^－{Ｎ/(2Ｇ)}ｍと置くことが 

できれば,＜0|Ψ^~Ψ^|0＞＝0 であり,(Ｇ/Ｎ)(Ψ~Ψ)² 

＝(Ｇ/Ｎ)(Ψ^~Ψ^)²― ｍΨ^~Ψ^＋{Ｎ/(4Ｇ)}ｍ²ですから

質量項:ー ｍΨ^~Ψ^ が出現します。 

(注5-1終わり※)
 

このとき,Ψ → exp(－iγ₅θ)Ψに対するΨ~Ψ,Ψ~iγ₅Ψ 

の変換則;Ψ~Ψ → Ψ~Ψcos(2θ)－Ψ~iγ₅Ψsin(2θ), 

および,Ψ~iγ₅Ψ → Ψ~Ψsin(2θ)＋Ψ~iγ₅Ψcos(2θ) 

と,カイラルカレント:ｊ⁵_μ＝Ψ~γ_μγ₅Ψによる 

カイラルチャージ:Ｑ₅＝∫ｄ³ｘｊ⁵₀(ｘ) により,
 

[iＱ₅,Ψ~iγ₅Ψ(ｘ)]＝∫ｄ³ｙ[ｊ⁵₀(ｙ),Ψ~iγ₅Ψ(ｘ)] 

＝2Ψ~Ψ(ｘ)　となります。
 

※(注5-2):何故なら,無限小カイラル変換:

Ｕ(ε)＝exp(－iγ₅ε)＝1－iγ₅εの場合, Ψ →Ψ＋δΨ

＝Ｕ(ε)Ψ, δΨ＝－iγ₅εΨで, 

Ψ~Ψ→ Ψ~Ψ－2εΨ~iγ₅Ψ,

Ψ~iγ₅Ψ→: Ψ~iγ₅Ψ＋ 2εΨ~Ψであり,

[iεＱ₅,Ψ~iγ₅Ψ(ｘ)]＝2εΨ~Ψ(ｘ)　

とｍばるからです。　 (注5-2終わり※)
 

それ故,＜0|Ψ~Ψ|0＞≠0は,カイラルチャージＱ₅の対称性

の自発的破れ.を意味し,擬スカラー複合場:Ψ~iγ₅Ψの

チャネルに擬スカラーのＮ.Ｇ.ボソンが現われることを

意味します。

"　このＮ.Ｇ.ボソンは元のLagrangian密度の中には"素” 

Heisenberg場として用意されていないので,動力学的に

結合状態(bound state)として供給される必要が

あります。
 

この問題を扱うのに補助場の方法

(auxiliary field method)と呼ばれる技法を用います。
 

Fermionの系のGreen関数の生成汎関数は,η,η~を

Grassman数の外場として, 

Ｚ[η,η~]＝∫ＤΨＤΨ~[expi∫ｄ⁴ｘ

{Ｌ＋η~Ψ＋ηΨ~}]で与えられます。
 

これにGauss積分の1を表わす因子:

1＝∫Ｄσ'Ｄπ'[expi∫ｄ⁴ｘ[－{Ｎ/(2λ)}{σ'(ｘ)²＋π'(ｘ)²}] 

を挿入しても等式は不変です。
 

※(注5-3):ただし上の１の因子の等式が成立するかどうか？

は不変測度;Ｄσ'Ｄπ'の規格化に左右されますが,定数である 

ことには間違いないし不変測度は定数倍の任意性を持つという

意味で,こう規格化するのは可能です,(注5－3終わり※)
 

積分変数:σ'(ｘ),π'(ｘ)を次のようにσ(ｘ),π(ｘ)に変数 

置換します。すなわち,σ'＝σ＋(λ/Ｎ)(Ψ~Ψ),および, 

π'＝π＋(λ/Ｎ)(Ψ~iγ₅Ψ)　とします。 

この変換で積分測度は不変:Ｄσ'Ｄπ'＝ＤσＤπ　です。
 

系のLagrangian密度は, 

Ｌ－{Ｎ/(2λ)}(σ'²＋π'²) 

＝Ｌ－{Ｎ/(2λ)}[{σ＋(λ/Ｎ)(Ψ~Ψ)}²

＋{π＋(λ/Ｎ)Ψ~iγ₅Ψ)}²]

＝Ψ~iγ^μ∂_μΨ＋(Ｇ/Ｎ)(Ψ~Ψ)²＋(Ｇ/Ｎ)(Ψ~iγ₅Ψ)² 

－{Ｎ/(2λ)}(σ²＋π²)－{λ/(2Ｎ)}(Ψ~Ψ)²

－{λ/(2Ｎ)}Ψ~iγ₅Ψ)²－Ψ~(σ＋iγ₅π)Ψ　

と表わせます。
 

よって,Ｚ[η,η~]＝∫ＤΨＤΨ~ＤσＤπ 

[expi∫ｄ₄ｘ{Ｌ_Ｙ(Ψ,Ψ~,σ,π)＋η~Ψ＋ηΨ~}] 

が得られます。
 

ただし,Ｌ_Ｙ(Ψ,Ψ~,σ,π) 

＝Ｌ－{Ｎ/(2λ)}[{σ＋(λ/Ｎ)(Ψ~Ψ)}²

＋{π＋(λ/Ｎ)(Ψ~iγ₅Ψ)}²] 

＝Ψ~iγ^μ∂_μΨ

－{Ｎ/(2λ)}(σ²＋π²)－Ψ~(σ＋iγ₅π)Ψ　です。
 

ここで,Lの中の4次のFermion相互作用が全て相殺されて

消えるように,パラメータ:λを,λ＝2Ｇ　と選びました。
 

こうして,Ｌにおける4次のFermion相互作用は,湯川型相互

作用:Ψ~Ψσや.Ψ=iγ₅Ψπに置き換えられました。
 

.ここで導入した場:σ(ｘ),π(ｘ)を補助場,ＬをＬ_Ｙに

書き換えるトリックを補助場による方法と呼びます。
 

その導出手順から,Ｌの系とＬ_Ｙの系が物理的に等価であるのは

明らかですが,経路積分によらなくても,Ｌ_Ｙにおいて補助場:

σ,πは運動項を持たないので.σ,πに対するEuler-Lagrange

の運動方程式が,σ＝－(λ/Ｎ)Ψ~Ψ,π＝－(λ/Ｎ)Ψ~iγ₅Ψ

となり,これらをＬ_Ｙに代入すると,元のＬに帰着するため,等価

なことが確かめられます。
 

そして,σ＝－(λ/Ｎ)Ψ~Ψ,π＝－(λ/Ｎ)Ψ~iγ₅Ψ,から 

σとπは,それぞれ,複合場:Ψ~ΨとΨ~iγ₅Ψを代用する場 

であると解釈されます。
 

Ｌ_Ｙ系も元々はカイラルＵ(1)対称性を持っています。 

Ψ(ｘ)の変換は元のΨ → exp(－iγ₅θ))Ψです。
 

補助場:(σ(ｘ),π(ｘ))の変換は, 

(Ψ~Ψ(ｘ),Ψ~iγ₅Ψ(ｘ))と同じ２成分ベクトルとして, 

角度2θの(σ,π)平面の回転で与えられます。 

そこで,項:－{Ｎ/(2λ)}(σ²＋π²)は不変です。
 

しかし,－Ψ~σΨの項は,σ＝－(λ/Ｎ)Ψ~Ψ,がゼロ 

でない真空期待値を取る,という真空凝縮

(vacuum condensation)を起こせば,実質上.この項は

－<0|σ|0＞Ψ~ΨとなってΨが＜0|σ|0＞≠0 の質量

を獲得し,結果,カイラルＵ(1)対称性を破ります。
 

ここでは,σとπの挙動にのみ関心があるので,生成汎関数

Ｚ[η,η~]でη,＝η~＝0　としてFermionによる積分を先

に実行してしまえば;
 

(※ＤΨＤΨ~積分はGauss積分なので, 

Gauss積分公式:∫ＤψＤψ^＊exp(ψ^＊Ａψ)＝DetＡ 

(Ａは4×4のガンマ行列)から, Ｎ成分のΨでは 

Ｎ重積分分で,∫ＤΨＤΨ~exp(Ψ~ＡΨ)＝(DetＡ)^Ｎ

です。

　　故に,∫ＤΨＤΨ~exp[iΨ~{i∂－(σ＋iγ₅π)}Ψ] 

＝Det{－∂－i(σ＋iγ₅π)}^Ｎ 

＝exp[ＮlnDet{－∂－i(σ＋iγ₅π)}]　です。※)
 

それ故,

Ｚ＝∫ＤσＤπ∫ＤΨＤΨ~[expi∫ｄ⁴ｘ{Ｌ_Ｙ(Ψ,Ψ~,σ,π)}] 

とすると,Ｚ＝∫ＤπＤσ[expiＮＳ_Ｂ[σ,π]　と書けます。
 

ただし, ＮＳ_Ｂ[σ,π]＝Ｎ∫ｄ⁴ｘ[－{1/(2λ)}(σ²＋π²) 

－iln{Det{－∂－i(σ＋iγ₅π)}]　です。 

(※FermionのＮ個のN成分あったので,ln(Det)^Ｎ＝Ｎln(Det) 

となり全体から,因子Ｎがくくり出せることに注意!!※)
 

この時点でＮは作用積分全体にかかっているので,(1/ｈ_c)

と同様な定数因子です。
 

それ故,Ｚ＝∫ＤπＤσ[expiＮＳ_Ｂ[σ,π],の作用: 

Ｓ_Ｂ[σ,π]＝∫ｄ⁴ｘ∫ｄ⁴ｘ[－{1/(2λ)}(σ²＋π²) 

－ilnDet{－γ^μ∂_μ－i(σ＋iγ₅π)}])で記述される

σ,πのループグラフ展開は(1/Ｎ)展開と同じに

なります。
 

Ｚの表記から有効作用を.Ｚ＝exp(iＮΓ)として,

ＮΓ[σ,π]と書けば.Γ[σ,π]＝Ｓ_Ｂ[σ,π]＋Ｏ(1/Ｎ)

です。

　　ここで,Ｏ(1/Ｎ)は1ループ以上の量子効果です。 

すなわち,有効ポテンシャル:Ｖ[φ~]は,運動量ｐ_iが全てゼロ

のときのｎ点頂点関数の生成関数という意味を持つことが

わかりました。

　※(注5-4):前記事の(注4-1)から転載します。 

Ｚ[Ｊ],Ｗ[Ｊ]の経路積分表式: 

Ｚ[Ｊ]＝exp(iＷ[Ｊ])­­＝Ｎ∫Ｄφexp[i{Ｓ[φ]＋Ｊφ}] 

をΓ[φ~]＝Ｗ[Ｊ]­­－Ｊφ=に代入し,単位にPlanck定数:ｈ_c 

を復活させると, 

Γ[φ~]＝(－iｈ_c)ln[∫Ｄφexp{(i/ｈ_c){Ｓ[φ]＋Ｊ(φ－φ~)}] 

となります。
 

経路積分Ｄφの積分変数を,φ → φ＋φ~と変数置換して, 

－Ｊ_i(ｘ)＝δΓ/δφ_iを代入すれば, 

Γ[φ~]＝(－iｈ_c)ln[∫Ｄφexp{(i/ｈ_c){∫ｄ⁴ｘ 

(Ｌ[φ＋φ~]－(δΓ/δφ)φ)}]　　です。
 

Ｌ[φ＋φ~]をｃ-数:φ~のまわりで量子場:φ(ｘ)について 

展開すると,Ｌ[φ＋φ~]＝Ｌ[φ~]＋(∂Ｌ/∂φ_i)φ_i 

＋(1/2)φ_i|(iＤ_F)^-1φ~}^ijφ_j＋Ｌ_int[φ;φ~]　

と書けます。
 

ここで,|(iＤ_F)^-1φ~}^ijは,|(iＤ_F)^-1φ~}^ij 

＝(∂²Ｌ[φ＋φ~]/∂φ_i∂φ_j)|_φ=0＝(∂²Ｌ[φ~]/∂φ~_i∂φ~_j) 

で与えられますが,これはこの頂点2点関数が場:φの期待値がφ~ 

であるような真空上でのFeynman伝播関数の逆数になっているため 

こう表記しました。
 

Ｌ_int[φ;φ~]は,φについては3次以上のφ~における相互作用項 

です。
 

このＬ[φ＋φ~]の展開をΓ[φ~]の表式に代入すると, 

Γ[φ~]＝∫ｄ⁴ｘＬ[φ~]＋Γ~[φ~]

Γ~[φ~]＝(－iｈ_c)ln∫Ｄφexp[(i/ｈ_c){∫ｄ⁴ｘ 

[(1/2)φ_i|(iＤ_F)^-1φ~}^ijφ_j＋Ｌ_int[φ;φ~]－(δΓ/δφ)φ}] 

を得ます。
 

これで,うまい具合に有効作用:Γ[φ~]から,古典的作用積分: 

Ｓ[φ~]＝∫ｄ⁴ｘＬ[φ~]が分離されました。
 

Γ~[φ~]の項はｈ_cの1次以上のオーダーの量子効果で,

1粒子既約なループグラフの寄与を示しています。

(注5-4終わり※)
 

 Γ~[φ~]のｈ_cのオーダーでのループグラフ展開が,

ここでの(1/Ｎ)による展開と同等と考えられます。
 

以下,もっぱら(1/Ｎ)展開の最初の0次オーダーだけを考えます。
 

有効作用:Γ[σ,π]に対応する有効ポテンシャル:Ｖ[σ,π] 

は,Γ[σ,π]＝Ｓ_Ｂ/∫ｄｘ⁰に対して,

Ｖ[σ,π]＝－Ｓ_Ｂ/∫ｄ^４ｘで与えられる,という定義より,
 

Ｖ[σ,π]＝{1/(2λ)}(σ²＋π²) 

－(1/i)∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4 lnDet[iｋ－i(σ＋iγ₅π)]　です。
 

このDet(determinant)は,Dirac場に対する4×4行列の 

行列式を意味します。
 

Det[exp(iγ₅θ)＝exp{iθ(Trγ₅)}＝1であり,π/σ 

＝tan(2θ)で回転角2θを定義して, 

lnDet[ｋ－i(σ＋iγ₅π)]＝lnTr[ｋ－i(σ＋iγ₅π)] 

＝ln(ｋ²－σ²－π²)を用います。
 

すると,Ｖ[σ,π]＝{1/(2λ)}(σ²＋π²) 

－(2/i)∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4 ln(ｋ²－σ²－π²＋iε)　です。
 

最後の4次元積分はｋ → ∞ の紫外部で発散し,このまま 

では,うまく定義されていません。
 

そこで,運動量ｋをEuclid化して,紫外部を切断する切断理論 

(cut-off theory)で,この模型を定義することにします。
 

すなわち,Euclid化運動量をｋ_Ｅ^μ＝(ｋ¹,ｋ²,ｋ³,ｋ⁴＝ｋ⁰/i) 

として,(1/i)∫ｄ⁴ｋｆ(－ｋ²)＝∫_{ｋＥ2≦Λ2}ｄ⁴ｋ_Ｅｆ(ｋ_Ｅ²) 

＝π²∫₀^Λ2ｋ_Ｅ²ｆ(ｋ_Ｅ²)ｄｋ_Ｅ² の定積分を定義します。
 

(1/i)∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4 ln(ｋ²－σ²－π²＋iε) 

＝{1/(16π²)}∫₀^Λ2ｕln(－ｕ－σ'²)ｄｕ 

＝{1/(32π²)}{(Λ⁴ln(Λ²＋σ'²)－σ'⁴ln(1＋Λ²/σ'²) 

－(Λ⁴－2σ'²Λ²)/2}　(σ'²＝σ²＋π²)　なので,
 

Ｖ[σ,π]＝Ｖ[0,0]＋{1/(2λ)}(σ²＋π²) 

－{1/(16π²)}[Λ⁴ln{1＋(σ²＋π²)/Λ²} 

－(σ²＋π²)²ln{1＋Λ²/σ²＋π²)}－{Λ⁴－2(σ²＋π²)Λ²}} 

となります。
 

この有効ポテンシャル:Ｖ[σ,π]は,カイラル対称性を反映

して明らかに(σ,π)平面での回転で対称です。
 

これを,π＝0の断面で見れば,Λ² → 大 とするとき, 

σ² ＜＜Λ²なら, 

Ｖ[σ,π＝0]－Ｖ[0,0]＝{1/λ－Λ²/(4π²)}(σ² /2)であり,
 

σ² ＞＞Λ²なら,Ｖ[σ,π＝0]－Ｖ[0,0]＝σ²/(2λ)

です。

 

したがって,結合定数:λ＝2Ｇが小さくて,1/λ≧Λ²/(4π²) 

となっている間は.停留点はσ＝π＝0しかなく,カイラル 

対称性は維持されますが,λが大きくなって

,1/λ＜Λ²/(4π²)になると原点よりもＶが低い

(ワイン瓶底内の)停留点が現われ,カイラル対称性は自発的

に破れます。
 

こうした自発的破れが起きる最小の結合定数を臨界結合定数 

(critical coupling constant)と呼びます。今の場合これを 

λ_crtと書けば,λ_crt＝4π²/Λ² です。
 

λ＞λ_crtで,対称性が自発的に破れる場合,真空をπ＝0 の断面 

上の点に取るとすれば,σの期待値:＜0|σ(ｘ)|0＞＝σ₀は, 

Ｖの停留点条件:{∂Ｖ[σ,π＝0]/∂σ}_σ=σ0＝σ₀/λ 

－σ₀/(4π²){Λ²－σ₀²ln(1＋σ₀²/Λ²)}＝0　から決まります。
 

これは対称性の破れていない"ノーマル解";σ₀＝0 以外に, 

λ＞λ_crt＝4π²/Λ² では

,4π²/(λ"²)＝1－σ₀²/Λ²)ln(1＋σ₀²/Λ²)で決まる 

σ₀≠0 の”スーパー解(super solution or 超伝導解)" 

を持ちます。
 

4π²/(λΛ²)＝1－(σ₀²/Λ²)ln(1＋σ₀²/Λ²)の右辺は

図6.3に示すような(σ₀²/Λ²)の単調減少関数でλが

λ_crt＝4π²/Λ² に達すると4π²/(λ_crtΛ²)＝1であり,

λ＞λ_crから解σ₀が存在するようになって,λ → 大に

つれて,解σ₀は単調増加します。

 このσ₀は,Ｖ[σ,0]＝{1/(2λ)}σ² 

－(1/i)∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4 lnDet[i(ｋ－σ)]をσで微分して

ゼロと置いても得られます。
 

lnDet[i(ｋ－σ)]＝Ｔrln[i(ｋ－σ)]ですから,Ｖをσで

微分して,σ₀＝λ∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4Ｔr {i/(ｋ－σ₀)}なる

方程式の解として.σ₀が表現されます。
 

この右辺の量は,質量ｍ＝σ₀の運動量表示の伝播関数:

,i/(ｋ－σ₀＋iε)を持つFermionがまわるループグラフ

の寄与に相当していて, 

「Fermionがｍ＝σ₀の質量を得たとしたとき,

(λ/Ｎ)(Ψ~Ψ)²の相互作用項を通して誘起される質量項

が,またｍ＝σ₀であるべきである。」という要求です。

　　これは 「南部-Jonnalashinoの自己無撞着条件

(self-consistent condition)」と呼ばれています。
 

上記計算から,λ＞λ_crtのときには,確かに動力学的に

カイラル対称性が破れることを見出しましたが,それに

対応する零質量のＮ.Ｇ.ボソンが果たして現われている

のでしょうか？
 

本記事の最初の方でNoetherカレントから求めた

カイラルチャージ:Ｑ₅の交換関係:

[iＱ₅,Ψ~iγ₅Ψ(ｘ)]＝∫ｄ³ｙ[ｊ⁵₀(ｙ),Ψ~iγ₅Ψ(ｘ)] 

＝2Ψ~Ψ(ｘ)を示しましたが, 

これはＮ.Ｇ.粒子が,擬スカラー・チャネル,つまり,

π～ Ψ~iγ₅Ψに現われるべきことを示しているので,

補助場π(ｘ)の２点関数を計算してみます。
 

まず,(１/Ｎ)展開の第 0 次近似での有効作用;Γは

作用積分:Ｓ_Ｂで与えられます。すなわち, 

Γ＝Ｓ_Ｂ＝∫ｄ⁴ｘ[－{1/(2λ)(σ²＋π²) 

－ilnDet{－∂－i(σ＋iγ₅π)}}　です。
 

このΓが,その生成汎関数となる頂点関数の展開における

２点頂点関数;Γ⁽²⁾(ｘ)の運動量表示の展開係数を求める

と,それはΓ~⁽²⁾(ｐ)(2π)⁴δ⁴(ｐ＋ｑ)であり,これがπの

伝播関数の逆数{iΔ_F(ｐ)}^-1に対応するわけです。
 

これは,具体的には,[δ²Γ/δπ(ｐ)δπ(ｑ)]_{π＝0,σ＝σ0} 

なる運動量表示のπによる展開の２次の係数です。
 

lnDet＝Ｔrln なので 

Γ~⁽²⁾(ｐ)＝－1/λ－∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4 

Ｔr[(－iγ₅){1/(ｋ－σ₀)}(－iγ₅){1i/(ｋ＋ｐ－σ₀)} 

と書けます。
 

途中計算は省略で,Fetynmanパラメータ積分公式を使って, 

Γ~⁽²⁾(ｐ)＝－1/λ－∫₀¹ｄｘ∫^Λｄ⁴ｋ(2π)^-4 

[4{ｋ²－σ₀²―ｘ(1－ｘ)ｐ^2}/{ｋ²－σ₀²―ｘ(1－ｘ)ｐ²{²] 

を得ますが,先の自己無撞着条件から,

これは結局ゼロとなりますから,

ｐ～0 でΓ~⁽²⁾(ｐ)＝Δ_F(ｐ)^-1～ 0＋ｃｐ²＋Ｏ(ｐ⁴)

となり,場πの伝播関数は零質量の極を持つことが証明

されました。
 

そしてさらに,

Γ~⁽²⁾(ｐ)＝－1/λ－∫₀¹ｄｘ∫^Λｄ⁴ｋ(2π)^-4 

[4{ｋ²－σ₀²―ｘ(1－ｘ)ｐ^2}/{ｋ²－σ₀²―ｘ(1－ｘ)ｐ²{²] 

は,ｋをEuclid化した後,初等的に計算可能で,これも

途中計算を省略で,最終結果は.

Γ~⁽²⁾(ｐ)＝－1/λ－{1/(4π²)}

[Λ²－(1/2)(2σ₀²－ｐ^²)ln(1＋Λ²/σ₀²)＋(ｐ^²/2)

|(2Λ²＋4σ₀²－ｐ²)/(4Λ²＋4σ₀²－ｐ²)}Ｂ(ｐ²,Λ²＋σ₀²) 

－(ｐ^²/2)Ｂ(ｐ²,σ₀²)　となります。
 

ただし,このΓ~⁽²⁾(ｐ)はπ(x)の2点頂点関数だけでなく

σ(ｘ)の2点頂点関数をも表わす式です。そして,ｐ^²は,

π(ｘ)の場合:ｐ^²＝ｐ²を,σ(ｘ)の場合:ｐ^²＝ｐ²―4σ₀²

を意味します。
 

また,Ｂ(ｐ²,Ｍ²)は,(－ｐ²)≧0 なら,

Ｂ(ｐ²,Ｍ²)＝{(4Ｍ²－ｐ²)/(－ｐ²)}^1/2 

×ln[{(4Ｍ²－ｐ²)^1/2＋(－ｐ²)^1/2}

/{(4Ｍ²－ｐ²)^1/2－(－ｐ²)^1/2}] 

＝{(4Ｍ²－ｐ²)/(－ｐ²)}^1/2 2Tan^-1{(－ｐ²)/{4Ｍ²－ｐ²)}^1/2
 

0≦ｐ²≦4Ｍ²なら,  

Ｂ(ｐ²,Ｍ²)＝{(4Ｍ²－ｐ²)/ｐ²}^1/2 2Tan^-1{ｐ²/{4Ｍ²－ｐ²)}^1/2 

です。
 

場:π(ｘ)のくりこみ定数:Ｚ_πは,

Γ~⁽²⁾(ｐ)＝Ｚ_π^-1ｐ²＋Ｏ(ｐ⁴)で定義されるので,

Ｂ(0,Ｍ²)＝2を用いて, 

Ｚ_π^-1＝{1/(8π²)} [ln(1＋Λ²/σ₀²)－(Λ²＋σ₀²)/Λ²] 

＝2∫ｄ⁴ｋ_Ｅ(2π)^-4(ｋ_Ｅ²＋σ₀²)^-2　を得ます。
 

場:πは系のLagrangian密度に－Ψ~iγ₅Ψπの相互作用項を 

持つので.くりこまれたＮＧボソン場:π_r＝Ｚ_π^-1/2πの 

Fermion:Ψへの結合は,Ｌ^int_πΨΨ~­＝ｇ_πΨΨΨ~iγ₅Ψπ_r； 

ｇ_πΨΨ＝Ｚ_π^-1/2で与えられます。
 

この,結合定数:ｇ_πΨΨ＝Ｚ_π^-1/2が元の基本結合定数:λ＝2Ｇ

には直接依存せず,＜0|σ(ｘ)|0＞＝σ₀だけから決まるのは

興味深いことです。
 

一方, Ψ~iγ₅Ψ(ｘ)

＝－(Ｎ/λ)π(ｘ)→ －(Ｎ/λ)Ｚ_π^1/2π_ｒ(ｘ) 

であり,＜0|2Ψ~Ψ(ｘ)|0＞＝－2(Ｎ/λ)＜0|σ(ｘ)|0＞

＝－2(Ｎ/λ)σ₀です。
 

そこで,[iＱ₅,Ψ~iγ₅Ψ(ｘ)]＝∫ｄ³ｙ[ｊ⁵₀(ｙ),Ψ~iγ₅Ψ(ｘ)] 

＝2Ψ~Ψ(ｘ) と,以前の記事での, 

ｊ_μ(ｘ) _ｘo→±∞ → ｆ_π∂_μφ^ａｓ(ｘ)＋.., 

[φ^ａｓ(ｘ),φ^ａｓ(ｙ)]＝iＤ(ｘ－ｙ) 

Φ(ｘ) _ｘo→±∞ → Ｚ^1/2φ^ａｓ(ｘ)＋..,ｆ_πＺ^1/2φ

＝＜0|δΦ|0＞でのＮ.Ｇ.漸近場φ^ａｓと.π_rの比較に

よって.ｆ_π＝2(Ｎ/λ)σ₀/{(Ｎ/λ)Ｚ_π^1/2}＝2σ₀Ｚ_π^{^1/2}

となって崩壊定数ｆ_πも求まります。
 

最後に,スカラー補助場:σ(ｘ)のΓ~⁽²⁾(ｐ)の計算結果において

注目すべきは,ｐ^²＝ｐ²－4σ₀²＝0で,Γ~⁽²⁾(ｐ)＝0 となること

です。すなわち,スカラーチャネルにも,ｍ_σ²＝4σ₀²の質量を

持つ結合状態が生じています。

　　しかしｍ＝σ₀がFermion:Ψの質量ですから,ｐ²＝4σ₀²は,

丁度Ψ-Ψの2-Fermion状態の閾値であり,真の結合状態でなく

共鳴状態と考えられます。
 

「南部-Jonalashino模型」は.噛めば噛むほど味が出るような,

豊富で複雑な内容を含んでいて,少し計算を省略したにも

関わらず,長くなってしまいました。
 

今日はここで終わります。
 

この「対称性の自発的破れ」の項目は,このテキストの6章には

まだ続きがあるのですが,これもアップするかどうか？はPeding

とします。
 

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論(Ⅱ)」(培風館)