場の量子論第Ⅱ部(11)(空間反転;パリティ 1)

　　唐突ですが.昨年途中で中断した「場の量子論」の続きをアップします。 

自由場の理論を記述した過去記事:「相対論的場の量子論」

(1)～(37)(場の量子論;第Ⅰ部)に続いて,相互作用する場に

ついて記述した「場の量子論第Ⅱ部」は2016年８/25の(7)を

最後に中断しました。
 

現在進行中の記事と並行して「場の量子論第Ⅱ部」の続き 

を15章の「不連続対称性」から再開し「場の量子論第Ⅱ部(11)」 

とします。
 

§15.10　Improper Symmetries(不連続対称性)
 

これまで,考えてきた対称演算は,全て無限小変換によって生成可能な 

ものでした。それらの対称性変換は,無限小変換の連続によって生成 

することができました。(※ Lie群の1と連結した部分)
 

しかし,相互作用項の性質として非常に役立つ,選択則(Selrction-rules) 

や必要情報を生み出す”Improper”または.不連続(離散的)な変換も存在 

します。
 

これらは,空間反転(Space-inversion;鏡映:Reflection),または,

パリティ(Parity):Ｐ, 時間反転(Time-reversal):Ｔ,および,

荷電共役(Charge-conjugation):Ｃ　の変換が代表的です.

,以下,これらについて論じます
 

§15.11　Parity(パリティ)

パリティ変換の意味を定義するために,対象とする物質場のLagrangian 

密度に,測定装置の系(一般に外電磁場)との相互作用を示す項を加えます。

すなわち,Ｌ → Ｌ－ｊ_μ(ｘ)Ａ_ext^μ(ｘ)　 

が,全体系のLagrangian密度になります。

ここで,Ａ_ext^μ(ｘ)は,系のカレント演算子:ｊ_μ(ｘ)

と相互作用する古典的に与えられた外場として扱うことにします。
 

もしも毒亭装置を反転させれば,系の状態を調べて解析すべき

外場が,Ａ~_ext^μ(ｘ)＝(Ａ_ext⁰(－ｘ,ｔ),－Ａ_ext^μ(－ｘ,ｔ))

＝Ａ^ext_μ(－ｘ,ｔ)で与えられるような新しい物理系を考えるなら,

パリティが保存されるという意味は,この新しい系の動力学

(運動方程式)が元の系と同一になることです。
 

※(注11-1):測定装置を空間的に反転させると点ｘにおける外場

は,元の装置では－ｘにあったもので,3次元の極性ベクトル場は

空間的向きが反対となって現われ,3次元空間のスカラーならその

ままで現われます。
 

電場Ｅは極性ベクトル,磁場Ｂは軸性ベクトルであり,

Ｂ＝∇×Ａ,Ｅ＝－∇Ａ－∂Ａ⁰/∂ｔ なので,Ａは3次元極性ベクトル

Ａ⁰は空間的にはスカラーと考えられます。

(注11－1終わり※)
 

特に新しい系の作用:Ｊ~＝∫ｄ⁴ｘ{Ｌ－ｊ_μ(ｘ)Ａ~_ext^μ(ｘ)}

が,あるユニタリ変換:Ｐによって,元の系の作用Ｊと関係付け

されれば,運動方程式は変化しません。

(※Ｊ~＝ＰＪＰ^-1の場合です。)
 

Ｐは,ＰＬ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝Ｌ(－ｘ,ｔ), 

Ｐｊ_μ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝ｊ^μ(－ｘ,ｔ)なる変換性を与え,場の交換関係

を不変に保つユニタリ変換とします。
 

※(注11-2):測定装置を反転することによって状態ベクトルが変換 

されますが,それはあるユニタリ演算子:Ｐによって,任意の状態 

ベクトル:|α＞が,|α＞ → ｜α'＞＝Ｐ|α＞となるような

ものでなければなりません。
 

測定装置を対象とする物理系に対して空間反転することは,物理系

を測定装置に対して空間反転することと全く同等であると

考えられますが,これはＪ~で,ｘ → －ｘと置換し,ｊ_μ(ｘ,ｔ)を

ｊ^μ(－ｘ,ｔ),Ａ~_ext^μ(ｘ)をＡ^ext_μ(ｘ)に変えてもＪ~が変化しない

ことに相当します。
 

そうして,理論の不変性,運動方程式の不変性は, 

＜α|Ｊ|β＞＝＜α'|Ｊ~|β'＞によって保証されます。
 

つまり,＜α|Ｊ|β＞＝＜α|Ｐ^＋Ｊ~Ｐ|β＞,あるいは, 

演算子式としてＪ＝Ｐ^＋Ｊ~Ｐ　or Ｊ~＝ＰＪＰ^-1を成立させる 

ユニタリ演算子:Ｐが存在しさえすれば,物理系の空間反転に

対して,理論は不変です。 

古典論に対応付けるならＪは,元の物理系の作用であり,

Ｊ~ではなく,Ｐ^＋Ｊ~Ｐが,新しい反転系の作用に対応します。
 

くどいかもいれませんが,Ｊ~は,Ｌとｊ^μを構成する場の時空座標 

パラメータを変えたもの(外場の座標は生えない)に過ぎず,

場の空間座標のパラメータをｘ → －ｘと変えたｙとき,さらに

理論を不変に保つような場の内的変換(internal transformation)

を与える最終的なJの変換がＰ^＋Ｊ~Ｐというわけです。

そこで,Ｊ＝Ｐ^＋Ｊ~Ｐはこの変換で作用が不変に保たれることを

保証しています。
 

＜α|Ｊ|β＞＝＜α|Ｐ^＋Ｊ~Ｐ|β＞は,陽に書けば 

＜α|∫ｄ⁴ｘ{Ｌ(ｘ,ｔ)－ｊ_μ(ｘ、ｔ)Ａ_ext^μ(ｘ,ｔ)}|β＞ 

＝＜α|Ｐ^＋∫ｄｔ∫_-∞^∞ｄ³ｘ{Ｌ(ｘ,ｔ)

－ｊ^μ(ｘ、ｔ)Ａ~^ext_μ(ｘ,ｔ)}Ｐ|β＞　です。
 

ところが,∫_-∞^∞ｄ³ｘは∫_∞-^∞ｄ³(－ｘ)と書くことができ,ここでの

パリティ変換は外場を変換させないものを扱っているので.

Ｐ^＋Ｌ(－ｘ,ｔ)Ｐ＝Ｌ(ｘ,ｔ),Ｐ^＋ｊ_μ(－ｘ,ｔ)Ｐ＝ｊ^μ(ｘ,ｔ),

Ｐ^＋Ａ_ext^μ(ｘ)Ｐ＝Ａ_ext^μ(ｘ),

　あるいは,ＰＬ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝Ｌ(－ｘ,ｔ),Ｐｊ_μ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝ｊ^μ(－ｘ,ｔ)

なるＰが存在すれば,この変換が交換関係を不変に保つ限り,

つまり,[Ｐ^＋φ^iα(－ｘ,ｔ)Ｐ,Ｐ^＋π^ｊβ(－ｘ,ｔ)Ｐ]

＝[φ^iα(－ｘ,ｔ),π^ｊβ(－ｘ,ｔ)] ,or

Ｐ^＋[φ^iα(－ｘ,ｔ),π^ｊβ(－ｘ,ｔ)]Ｐ

＝[φ^iα(－ｘ,ｔ),π^ｊβ(－ｘ,ｔ)]を満たす限り,理論は不変に

保たれるといえます。　(注11-2終わり※)
 

それ故,ＰＬ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝Ｌ(－ｘ,ｔ), 

Ｐｊ_μ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝ｊ^μ(－ｘ,ｔ)で,かつ,交換関係を不変に保つ

変換:Ｐが存在する場合,元の系と空間反転された新しい系とは同じ

力学法則を満足し,パリティが保存される,といいます。
 

さて,まず,自由粒子の理論を考えて自由粒子Lagrangian密度に

対して,上述の条件を満たす変換の演算子:Ｐを陽に作ることを

試みます。
 

Klein-Gordon方程式に従うスカラー粒子の場:φ(ｘ)に対しては, 

Ｐφ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝±φ(－ｘ,ｔ)が,明らかに, 

ＰＬ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝Ｌ(－ｘ,ｔ), Ｐｊ_μ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝ｊ^μ(－ｘ,ｔ), 

を満たし,正準交換関係を不変に保ちます。

※(注11-3):何故なら, 

Ｌ(x,t)＝(1/2){∂_μφ(x,t)∂^μφ(x,t)－ｍ²φ²(x,t)}より, 

ＰＬ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝Ｌ(－ｘ,ｔ)は, 

ＰＬ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝(1/2){∂_μφ(－x,t)∂^μφ(－x,t)－ｍ²φ²(－x,t)} 

＝Ｌ(－ｘ,ｔ)　を意味します。
 

これは,Ｐφ²(x,t)Ｐ^-1＝φ²(－x,t)なら成立します。

中性スカラー場なら電磁場と相互作用する電磁カレントはゼロです。
 

荷電スカラー場の場合は,φ(ｘ)は複素スカラー場で 

Ｌ(x,t)＝∂_μφ^＊(x,t)∂^μφ(x,t)－ｍ²φ^＊(x,t)φ(x,t) 

より,Ｐ|φ(x,t)|²Ｐ^-1＝|φ(－x,t)|²なら, 

ＰＬ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝Ｌ(－ｘ,ｔ)が成立します。
 

カレントは, 

ｊ_μ(ｘ,ｔ)＝i[φ^＊(ｘ,ｔ)∂_μφ(ｘ,ｔ)－{∂_μφ^＊(ｘ,ｔ)}φ(ｘ,ｔ)] 

なので,Ｐｊ_μ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝ｊ^μ(－ｘ,ｔ)は, 

Ｐｊ₀(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝ｊ₀(－ｘ,ｔ),Ｐｊ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝－ｊ(―ｘ,ｔ) 

を意味します。
 

ｊ(ｘ,ｔ)＝i[φ^＊(ｘ,ｔ)∇_ｘφ(ｘ,ｔ)－{∇_ｘφ^＊(ｘ,ｔ)}φ(ｘ,ｔ)] 

ｊ(－ｘ,ｔ)＝i[φ^＊(―ｘ,ｔ)∇_-ｘφ(ｘ,ｔ)－{∇_-ｘφ^＊(ｘ,ｔ)}φ(ｘ,ｔ)] 

であり,∇_-ｘ＝－∇_ｘですから,やはり,

Ｐ|φ(x,t)|²Ｐ^-1＝|φ(－x,t)|²なら,Ｐｊ_μ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝ｊ^μ(－ｘ,ｔ)

が成立します。
 

そして,実スカラー場なら,π(ｘ,ｔ)＝∂L/∂(∂₀φ)＝i∂₀φ(ｘｔ) 

同時刻正準交換関係は,[π(ｘ,ｔ),φ(ｘ,ｔ)]＝i[∂₀φ(ｘ,ｔ),φ(ｙ,ｔ)]

＝－iδ³(ｘ－ｙ)でｓが,これもＰφ²(x,t)Ｐ^-1＝φ²(－x,t)なら保存されます。

つまり,[π(－ｘ,ｔ),φ(－ｘ,ｔ)]＝i[∂₀φ(－ｘ,ｔ),φ(－ｙ,ｔ)] 

＝－iδ³(ｘ－ｙ)　です。
 

複素場なら,π(ｘ,ｔ)＝∂L/∂(∂₀φ)＝i∂₀φ^＊(ｘｔ), 

π^＊(ｘ,ｔ)＝∂L/∂(∂₀φ^＊)＝i∂₀φ(ｘｔ)で同時刻正準交換関係

は[π(ｘ,ｔ),φ(ｘ,ｔ)]＝i[∂₀φ^＊(ｘ,ｔ),φ(ｙ,ｔ)]＝－iδ³(ｘ－ｙ)

[π^＊(ｘ,ｔ),φ^＊(ｘ,ｔ)]＝i[∂₀φ(ｘ,ｔ),φ^＊(ｙ,ｔ)]＝－iδ³(ｘ－ｙ) 

ですから,Ｐ|φ(x,t)|²Ｐ^-1＝|φ(－x,t)|²なら,保存されます。

(注11-3終わり※)
 

空間反転を2回連続行なうと,位相も含めて元に戻るるなら 

Ｐφ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝±φ(－ｘ,ｔ)から,Ｐ²φ(ｘ,ｔ)(Ｐ^-1)²＝φ(ｘ,ｔ) 

が導かれｒますからＰ²＝＋1でＰφ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝±φ(－ｘ,ｔ)の右辺 

の符号:＋,-の選択は,この場で記述される粒子の内部パリティと

呼ばれるもの(量子数の1つ)を定義します。
 

(＋)符号はスカラー粒子,(－)符号は擬スカラー粒子に対して現われる

もので,π中間子はパ,リティが(ー)の擬スカラーです。
 

これは真空に作用して粒子を生成する場の特殊な変換規則です。

すなわち,φ(ｘ)|0＞をつくる場φの性質です。これは,異なる

粒子間の相互作用が導入されると決まるものです。

粒子の内部パリティは与えられた軌道角運動量の１状態にある

粒子の波動関数に関係する軌道パリティとは異なるものです。
 

真空からφ(ｘ)|0＞によって作られた１粒子に対して, 

角運動量状態ｌ,つまり,|ｎ＝１;ｌ＞における波動関数:

ｆ_ｌ(ｘ)は次の性質を持ちます。
 

ｆ_ｌ(ｘ,ｔ)＝＜0|φ(ｘ,ｔ)|ｎ＝１；ｌ＞ 

＝(－1)^l＜0|φ(－ｘ,ｔ)|ｎ＝１;ｌ＞＝(－1)^lｆ_ｌ(－ｘ,ｔ) 

これは,関数ｆ_ｌ(ｘ)の偶奇性の叙述に他なりません。
 

つまり,まず,真空;|0＞はパリティが偶(＋)である:Ｐ|0＞＝|0＞ 

と規約されています。この真空に相対的に|ｎ＝１；ｌ＞のパリティ

は次のように書くことで見出されます。
 

＜ｎ＝１;ｌ{Ｐφ(ｘ,ｔ)|0＞＝＜ｎ＝１;ｌ{Ｐφ(ｘ,ｔ)Ｐ^{^1}Ｐ|0＞ 

＝±＜ｎ＝１;ｌ{φ(－ｘ,ｔ)|0＞＝±(－1)^l＜ｎ＝１;ｌ{φ(ｘ,ｔ)|0＞ 

＝±(－1)^lｆ_ｌ^＊(ｘ,ｔ)です。
 

それ故, |ｎ＝１;ｌ＞の真空に対するパリティは粒子の内部パリティ(±)

と,軌道関数の偶奇性(パリティ):(－1)^lの積となっていることがわかります。
 

Ｐ|ｎ＝１;ｌ＞＝±(－1)^l|ｎ＝１;ｌ＞です。
 

したがって,Ｐ状態(ｌ＝1)にある擬スカラーのπ中間子は偶(＋)のパリティ 

を持ちます。
 

スカラー場の運動量空間での展開によれば,パリティ変換は次の条件を 

満たします。
 

Ｐａ^(ｋ)Ｐ^-1＝ａ^(－ｋ),Ｐａ^^＋(ｋ)Ｐ^-1＝ａ^^＋(－ｋ)　です。 

※(注11-4): スカラー場の運動量ｋ-空間での展開は, 

φ(ｘ)＝φ(ｘ,ｔ)＝∫ｄ³ｋ}ａ^(ｋ)ｆ_ｋ(ｘ)＋ａ^^＋(ｋ)ｆ_k^＊(ｘ)}

です。ただし,ｆ_k(ｘ)＝ｆ_k(ｘ,ｔ)＝(2π)^-3/2(2ω_ｋ)^-1/2exp(－iｋｘ) 

＝(2π)^-3/2(2ω_ｋ)^-1/2exp{－i(ｋ⁰ｔ－ｋｘ)}であり,ω_ｋ＝(ｋ²＋ｍ²)^1/2

逆展開から,ａ^(ｋ)

＝∫ｄ³ｘ[ｆ_k^＊(ｘ,ｔ){ ω_ｋφ(ｘ,ｔ)＋i∂₀φ(ｘ,ｔ)}] 

＝i∫ｄ³ｘ[ｆ_k^＊(ｘ,ｔ)∂₀^⇔φ(ｘ,ｔ)],

ａ^^＋(ｋ)＝∫ｄ³ｘ[ｆ_k(ｘ,ｔ){ ω_ｋφ(ｘ,ｔ)－i∂₀φ(ｘ,ｔ)}] 

＝－i∫ｄ³ｘ[ｆ_k(ｘ,ｔ)∂₀^⇔φ(ｘ,ｔ)]　を得ます。

ただし,

ｐ(ｔ)∂₀^⇔ｑ(ｔ)＝ｐ(ｔ)∂₀ｑ(ｔ)－{∂₀ｐｑ(ｔ)}ｑ(ｔ) 

です。
 

それ故,Ｐａ^(ｋ)Ｐ^-1 

＝±∫ｄ³ｘ[ｆ_k^＊(ｘ,ｔ){ ω_ｋφ(－ｘ,ｔ)＋i∂₀φ(－ｘ,ｔ)} 

＝±∫ｄ³ｘ[ｆ_k^＊(－ｘ,ｔ){ ω_ｋφ(ｘ,ｔ)＋i∂₀φ(ｘ,ｔ)} 

＝±ａ^(－ｋ),同様に,Ｐａ^^＋(ｋ)Ｐ^-1＝ａ^^＋(－ｋ)です。 

(注11-4終わり※) 

そこで,Ｐは,ｍ個の同種粒子の固有状態の全ての運動量固有値 

:ｋ₁,ｋ₂,..ｋ_ｍを負の運動量状態に置き換えた,運動量固有値: 

－ｋ₁,－ｋ₂,..－ｋ_ｍの新しい固有状態を生成させます。

しかし,この新状態は電荷などのチャージとか;粒子数とかの

空間座標に無関係な他の量子数については,元と変化がない状態

です。

すなわち,|ｋ₁,ｋ₂,..ｋ_ｍ＞＝ａ^^＋(ｋ₁)ａ^^＋(ｋ₂)..ａ^^＋(ｋ_m)|0＞ 

に対して,Ｐを作用させると,

Ｐ|ｋ₁,ｋ₂,..ｋ_m＞＝Ｐａ^^＋(ｋ₁) ａ^^＋(ｋ₂) .. ａ^^＋(ｋ_m)|0＞ 

＝Ｐａ^^＋(ｋ₁)Ｐ^-1Ｐａ^^＋(ｋ₂)Ｐ^-1..Ｐａ^^＋(ｋ_m)Ｐ^-1|0＞ 

＝(±1)^m|ａ^^＋(－ｋ₁)ａ^^＋(－ｋ₂)..ａ^^＋(－ｋ_m)|0＞ 

＝(±1)^ｍ|－ｋ₁,－ｋ₂,..－ｋ_m＞を得ます。

係数＝パリティは,ｍ個のスカラー粒子なら,(±1)^ｍ＝＋1で,ｍ個の

擬スカラー粒子なら,(±1)^ｍ＝(－1)^ｍです。 

今,Ｐ＝exp(iＰ^)によってＰ^を導入します。

Ｐ はユニタリ(unitary)ゆえ,Ｐ^＋＝exp(－iＰ^^＋)＝Ｐ^-1＝exp(－iＰ^)

ですから, Ｐ^^＋＝Ｐ^です。つまり,Ｐ^はHermite演算子です。
 

Ｐ＝exp(iＰ^)＝Σ_n=0^∞(iⁿＰ^ⁿ/ｎ!),かつ 

Ｐ^-1＝Ｐ^＋＝exp(－iＰ^)＝Σ_n=0^∞{iⁿ(－Ｐ^)ⁿ/ｎ!} より,
 

Ｐａ^(ｋ)Ｐ^-1＝ａ^(ｋ)＋i[Ｐ^,ａ^(ｋ)]＋(i²/2!)[Ｐ^,[Ｐ^,ａ^(ｋ)]] 

＋..＋(iⁿ/ｎ!)[Ｐ^[Ｐ^,..[Ｐ^,ａ^(ｋ)]＋．．＝－ａ^(－ｋ) 

ただし,ここでは擬スカラー場に対応するものと仮定して,最右辺で 

(－)符号を選択しました。
 

この形式は,[Ｐ^,ａ^(ｋ)]がａ^(ｋ)とａ^(－ｋ)の１次結合になる 

であろうことを示唆しているため,λと符号を上の交換関係の関係式 

から決めるものとして,対称性から, 

[Ｐ^,ａ^(ｋ)]＝(λ/2){ａ^(ｋ)±ａ^(－ｋ)}　と置いてみます。
 

すると,[Ｐ^,ａ^(－ｋ)]＝(λ/2){ａ^(－ｋ)±ａ^(ｋ)} 

＝±(λ/2){ａ^(ｋ)±ａ^(－ｋ)}ですから,

Ｐａ^(ｋ)Ｐ^-1＝ａ^(ｋ)＋i[Ｐ^,ａ^(ｋ)]＋(i²/2!)[Ｐ^,[Ｐ^,ａ^(ｋ)]] 

＋..＋(iⁿ/ｎ!)[Ｐ^[Ｐ^,..[Ｐ^,ａ^(ｋ)]＋．．＝－ａ^(－ｋ)は,

Ｐａ^(ｋ)Ｐ^-1＝ａ^(ｋ)＋(1/2){iλ＋(iλ)²/2!＋..＋(iλ)ⁿ/ｎ!＋..} 

×{ａ^(ｋ)±ａ^(－ｋ)}＝ａ^(ｋ)－(1/2)[ａ^(ｋ)±ａ^(－ｋ)} 

＋(1/2)exp(iλ){ａ^(ｋ)±ａ^(－ｋ)}＝－ａ^(－ｋ) 

に帰着します。(※厳密な証明は帰納法により可能です。) 

上式は擬スカラー場ですがスカラー場なら 

Ｐａ^(ｋ)Ｐ^-1＝ａ^(ｋ)－(1/2)[ａ^(ｋ)±ａ^(－ｋ)} 

＋(1/2)exp(iλ){ａ^(ｋ)±ａ^(－ｋ)}＝ａ^(－ｋ)です。 

そこで,[Ｐ^,ａ^(ｋ)]＝(λ/2){ａ^(ｋ)＋ａ^(－ｋ)}

と (＋)符号を選び,λ＝πとしてexp(iλ)＝ exp(iλπ)＝－1 

とすれば,等式が確かに成立します。 

そこで,これは,[Ｐ^,ａ^(ｋ)]＝(λ/2){ａ^(ｋ)＋ａ^(－ｋ)} 

と(＋)符号を選び,λ＝πとしてexp(iλ)＝ exp(iλπ)＝－1 

とすれば,等式が確かに成立します。
 

そして,擬スカラー場については.このＰ^を求める方程式を解くこと 

ができます。すなわち擬スカラー場のＰ^をＰ_ps^と書けば,これに対する 

方程式は,[Ｐ_ps^,ａ^(ｋ)]＝(π/2){ａ^(ｋ)＋ａ^(－ｋ)}です。
 

Ｐ_ps^＝(π/2)∫ｄ³ｋＣ^(ｋ)と置けば, 

∫ｄ³ｋ'[Ｃ^(ｋ'),ａ^(ｋ)]＝{ａ^(ｋ)＋ａ^(－ｋ)}

それ故,[Ｃ^(ｋ）),ａ^(ｋ)] 

＝δ³(ｋ’－ｋ)ａ^(ｋ')＋δ³(ｋ'＋ｋ)ａ^(ｋ') 

＝[ａ^(ｋ),ａ^^＋(ｋ')]ａ^(ｋ')＋[ａ^(ｋ),ａ^^＋(ｋ')]ａ^(－ｋ') 

＝－[ａ^^＋(ｋ'),ａ^(ｋ)]ａ^(ｋ')－[ａ^^＋(ｋ').ａ^(ｋ)]ａ^(－ｋ') 

＝－[{ａ^^＋(ｋ')ａ^(ｋ')＋ａ^^＋(ｋ')ａ^(－ｋ')},ａ^(ｋ)]

です。
 

故に, Ｃ^(ｋ) ＝－{ａ^^＋(ｋ)ａ^(ｋ)＋ａ^^＋(ｋ)ａ^(－ｋ)}, 

Ｐ_ps^＝－(π/2)∫ｄ³ｋａ^^＋(ｋ)ａ^(ｋ)＋ａ^^＋(ｋ)ａ^(－ｋ)}
 

したがって,擬スカラー場の空間反転(パリティ)演算子は, 

Ｐ_ps＝exp(iＰ_ps^) 

＝exp[－(iπ/2)∫ｄ³ｋａ^^＋(ｋ)ａ^(ｋ)＋ａ^^＋(ｋ)ａ^(－ｋ)}] 

なる表現で与えられ,Ｐ_psａ^(ｋ)Ｐ_ps^-1＝－ａ^(－ｋ) 

が満足されます。
 

スカラー場については.[Ｐ^,ａ^(ｋ)]＝(λ/2){ａ^(ｋ)―ａ^(－ｋ)} 

と(―)符号を選び,λ＝πとしてexp(iλ)＝ exp(iλπ)＝－1 

とすれば,等式が確かに成立します。

　スカラー場のＰ^をＰ_s^と書けば,これを求める方程式は, 

[Ｐ_s^,ａ^(ｋ)]＝(π/2){ａ^(ｋ)－ａ^(－ｋ)}です。
 

以下,擬スカラー場のケースと同様にして 

Ｐ_s^＝－(π/2)∫ｄ³ｋ[ａ^^＋(ｋ)ａ^(ｋ)－ａ^^＋(ｋ)ａ^(－ｋ)} 

Ｐ_s＝exp(iＰ_ps^) 

＝exp[－(iπ/2)∫ｄ³ｋ{ａ^^＋(ｋ)ａ^(ｋ)－ａ^^＋(ｋ)ａ^(－ｋ)} 

が得られ,Ｐ_sａ^(ｋ)Ｐ_s^-1＝ａ^(－ｋ)が満足されます。
 

Ｐ_ps^＝－(π/2)∫ｄ³ｋ{ａ^^＋(ｋ)ａ^(ｋ)＋ａ^^＋(ｋ)ａ^(－ｋ)} 

Ｐ_s^＝－(π/2)∫ｄ³ｋ{ａ^^＋(ｋ)ａ^(ｋ)－ａ^^＋(ｋ)ａ^(－ｋ)} 

は明らかにHermite演算子なので,この表現により, 

Ｐ_ps＝exp(iＰ_ps^),Ｐ_s＝exp(iＰ_ps^)のユニタリ性は満たされ, 

また,真空:|0＞のパリティは偶(＋)である,という規約も,

Ｐ_ps^,Ｐ_s^が正規順序の形であり,Ｐ_ps^0＞＝Ｐ_s^|0＞＝0 なので 

自動的に満たされています。
 

途中ですが,今日はここで終わり次回は相互作用する場 

に拡張します。アップしたのですが文字化けが多く,時間をかけ

ても修復できず自分で削除しました。

原因不明です。
 

(参考文献:J.D.Bjorken ＆ S.D.Drell 著 

”Relativistic　Quantum Fields” (McGrawHill)