場の量子論第Ⅱ部(12)(空間反転;パリティ2)

　パリティの続きです。
 

ここまでは,(擬)スカラー場の自由粒子(自由場)限定の論議でした 

が,相互作用がある一般の系についても, 

ＰＬ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝Ｌ(－ｘ,ｔ),および, 

Ｐｊ_μ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝ｊ^μ(－ｘ,ｔ)を見たし,生準交換関係を不変

に保つパリティ演算子Ｐを同様にして作ることができます。
 

そのときには,上記関係が依然として正しく,そこで,Ｐ が理論

の対称性演算子として系のHamiltonian :Ｈ^と交換する。, 

つまり,[Ｐ,Ｈ^]＝0 であって,運動の恒量となるかどうか？を 

チェックする必要があります。
 

すなわち,一般に,ＰＬ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝Ｌ(－ｘ,ｔ),および, 

Ｐｊ_μ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝ｊ^μ(－ｘ,ｔ)を満たすＰをつくるために, 

最初,ｔ＝0 で,これを満たす,Ｐ＝Ｐ₀ をつくります。
 

ｔ＝0 での相互作用する場を自由場(自由波)の完全系によって

展開すると,その展開係数は自由場と同じ交換代数を満たすので

Ｐは先の自由場の解と同じ形で得られます。
 

時刻ｔでのＰを得るためには,時間的に平行移動するため,系の 

Hamiltonian:Ｈ^を用いればいいです。
 

すなわち,まず,Ｐ₀は,Ｐ₀Ｌ(ｘ,0)Ｐ₀^-1＝Ｌ(－ｘ,0),  

Ｐ₀ｊ_μ(ｘ,0)Ｐ₀^-1＝ｊ^μ(－ｘ,0)を満たし,交換関係を不変に 

保ちます。
 

このとき,Ｐ(ｔ)＝exp(iＨ^ｔ)Ｐ₀ exp(－iＨ^ｔ)は,一般の 

時刻ｔで,条件:ＰＬ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝Ｌ(－ｘ,ｔ),および, 

Ｐｊ_μ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝ｊ^μ(－ｘ,ｔ)を満たし交換関係を不変に 

保ちます。

※(注12-1):何故なら,

φ(ｘ,ｔ)＝exp(iＨ^ｔ)φ(ｘ,0) exp(－iＨ^ｔ) より,

Ｐφ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝exp(iＨ^ｔ)Ｐ₀φ(ｘ,0)Ｐ₀^-1 exp(－iＨ^ｔ) 

＝±exp(iＨ^ｔ)φ(－ｘ,0) exp(－iＨ^ｔ)＝±φ(－ｘ,ｔ)
 

つまり,Ｐφ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝±φ(－ｘ,ｔ)となるからです。 

(注12-1終わり※)
 

もしも,Ｐが,対称性演算子で,条件:[Ｐ,Ｈ^]＝0 を満たすなら 

Ｐ(ｔ)＝Ｐ(0)＝Ｐ₀です。
 

※(注12-2);[Ｐ,Ｈ^]＝exp(iＨ^ｔ)[Ｐ₀,Ｈ^]exp(－iＨ^ｔ)＝0 

なら.[Ｐ₀,Ｈ^]＝0 であり,Ｐ(ｔ)＝Ｐ₀です。

(注12-2終わり※)
 

次はDiracスピノル場に移ります。
 

Diracスピノル場については,条件: 

ＰＬ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝Ｌ(－ｘ,ｔ),および,  

Ｐｊ_μ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝ｊ^μ(－ｘ,ｔ)を満たし,交換関係を不変 

に保つＰとしてはＰψ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝γ⁰ψ(ーｘ,ｔ)を満たす 

ものを選択できれば満足されます。,
 

まず,Dirac方程式:(iγ^μ∂_μ－ｍ)ψ(ｘ)＝0 が,  

ψ'(ｘ,ｔ)＝γ⁰ψ(－ｘ,ｔ)に対して不変であることは 

既に,Bjorken-DrellのMechanicsのテキスト第2章で詳しく  

述べられていることからの帰結です。
 

※(注12-3):本ブログでは,上記のMehanicsのｇ第2章の対応

部分は,2010年5/30の過去記事:「散乱の伝播関数の理論(8)」

です。ここから必要部分を再掲載します。
 

変換が,proper(連続変換)であれimproper(不連続変換)であれ, 

Lorentz変換:ｘ'^μ＝ａ^μ_νｘ^ν,または,略記法でｘ'＝ａｘに 

伴なう波動関数のLorentz変換: 

ψ'_α(ｘ’)＝ψ'_α(ａｘ)＝Ｓ_αβ(ａ)ψ_β(ｘ),または.略記法で, 

ψ'(ｘ')＝ψ'(ａｘ)＝Ｓ(ａ)ψ(ｘ)を考えます。
 

(※ det(ａ)＝＋1のときが,proper変換で,det(ａ)＝－1のときが 

improper変換です。※)
 

すると,ｘ'＝ａｘから逆変換ａ^-1対して,ｘ＝ａ^-1ｘ'ですから, 

ψ'(ｘ')＝Ｓ(ａ)ψ(ａ^-1ｘ'),つまりψ'(ｘ)＝Ｓ(ａ)ψ(ａ^-1ｘ) 

です。
 

一方,ψ(ｘ)＝Ｓ(ａ^-1)ψ'(ａｘ),ψ(ｘ)＝Ｓ^-1(ａ)ψ'(ａｘ)より, 

Ｓ(ａ^-1) ＝Ｓ^-1(ａ)なる関係が成立します。
 

また, ,∂/∂ｘ^μ＝(∂ｘ'^ν/∂ｘ^μ)(∂/∂ｘ'^ν)　です。 

よってｘ'^ν＝ａ^ν_μｘ^μより,∂_μ＝ａ^ν_μ∂'_νです。
 

そこで,Dirac方程式(iγ^μ∂_μ－ｍ)ψ(ｘ)＝0  にｘ＝ａ^-1ｘ', 

およびψ(ｘ)＝Ｓ^-1(ａ)ψ'(ｘ')を代入して左からＳ(ａ)を 

掛けると,[iＳ(ａ)γ^μＳ^-1(ａ)ａ^ν_μ∂'_ν－ｍ]ψ'(ｘ')＝0  

を得ます。
 

それ故,ａ^ν_μＳ(ａ)γ^μＳ^-1(ａ)＝γ^ν,または, 

ａ^ν_μγ^μ＝Ｓ^-1(ａ)γ^νＳ(ａ)が成立すれば, 

(iγ^ν∂' _ν－ｍ)ψ(ｘ')＝0 となって方程式が相対論的に共変 

になります。　　(再掲載終了)
 

さて,ａが空間反転を意味するなら, 

ｘ'^μ＝ａ^μ_νｘ^ν＝(ｘ⁰,－ｘ)＝ｘ_μ＝ｇ_μνｘ^νより,  

ａ^μ_ν＝ｇ_μνです。そこで,条件;ａ^ν_μＳ(ａ)γ^μＳ^-1(ａ)＝γ^ν 

においてａ^ν_μ＝ｇ_νμより,Ｓ(ａ)＝γ⁰はとすれば,確かに, 

ａ^ν_μＳ(ａ)γ^μＳ^-1(ａ)＝ｇ_νμ＝ｇ_νμγ⁰γ^μγ⁰＝γ^νが成立 

します。
 

それ故,ψ'(－ｘ,ｔ)＝γ⁰ψ(ｘ,ｔ) ,または, 

ψ'(ｘ,ｔ)＝γ⁰ψ(－ｘ,ｔ)とすれば,

(iγ^μ∂ _μ－ｍ)ψ'(ｘ)＝0　が満たされます。
 

(注12-3終わり※)
 

※(注12-4):自由Dirac粒子のLagrangian密度は, 

Ｌ(ｘ,ｔ)＝ψ~(ｘ,ｔ)(iγ^μ∂ _μ－ｍ)ψ(ｘ,ｔ)です。
 

そこで,Ｐψ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝γ⁰ψ(－ｘ,ｔ)なら.  

ＰＬ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝ψ^＋(－ｘ,ｔ)(iγ^μ∂ _μ－ｍ)γ⁰ψ(－ｘ,ｔ) 

＝ψ~(－ｘ,ｔ)(iγ⁰γ^μγ⁰∂ _μ－ｍ)ψ(－ｘ,ｔ) 

＝ψ~(－ｘ,ｔ)(iγ_μ∂ _μ－ｍ)ψ(－ｘ,ｔ)＝Ｌ(－ｘ,ｔ)です。
 

また,ｊ^μ(ｘ,ｔ)＝ψ~(ｘ,ｔ)γ^μψ(ｘ,ｔ)より, 

Ｐｊ^μ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝ψ^＋(－ｘ,ｔ)γ^μγ⁰ψ(－ｘ,ｔ) 

＝ψ~(－ｘ,ｔ)γ⁰γ^μγ⁰ψ(－ｘ,ｔ) 

＝ψ~(－ｘ,ｔ)γ_μψ(－ｘ,ｔ)＝ｊ_μ(－ｘ,ｔ) 

です。
 

さらに,共役運動量が,π_α(ｘ)＝∂Ｌ/∂(∂₀ψ_α)＝iψ^＋_α(ｘ)となる 

ことから,同時刻反交換関係:

{ψ_α(ｘ,ｔ),π_β(ｙ,ｔ)}＝iδ_αβδ³(ｘ－ｙ) 

は{ψ_α(ｘ,ｔ),ψ^＋_β(ｙ,ｔ)}＝δ_αβδ³(ｘ－ｙ)ですが, 

Ｐを作用させると,{Ｐψ_α(ｘ,ｔ)Ｐ^-1,Ｐψ^＋_β(ｙ,ｔ)Ｐ^-1 } 

＝{(γ⁰)_αμψ_μ(－ｘ,ｔ),ψ^＋_ν(－ｙ,ｔ)(γ⁰)_νβ} 

＝(γ⁰)²_αβδ³(ｙ－ｘ)＝δ_αβδ³(ｘ－ｙ)　となって,交換関係 

も保存されます。　(注12-4終わり※)
 

Dirac場に対してＰを陽に作るには,再び,直接,運動量展開の 

展開係数に対する作用を考えるのが便利です。
 

ψ(ｘ,ｔ)＝∫ｄ³ｐ(2π)^-3/2(ｍ/Ｅ_ｐ)^1/2 

Σ_±ｓ[ｂ^(ｐ,ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)exp{－i(Ｅ_ｐｔ－ｐｘ)} 

＋ｄ^^＋(ｐ,ｓ)ｖ(ｐ,ｓ)exp{i(Ｅ_ｐｔ－ｐｘ)}]なる展開 

にＰを作用させると,
 

Ｐψ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝∫ｄ³ｐ(2π)^-3/2(ｍ/Ｅ_ｐ)^1/2 

Σ_±ｓ[Ｐｂ^(ｐ,ｓ)Ｐ^-1ｕ(ｐ,ｓ)exp{－i(Ｅ_ｐｔ－ｐｘ)}

＋Ｐｄ^^＋(ｐ,ｓ)Ｐ^-1ｖ(ｐ,ｓ)exp{i(Ｅ_ｐｔ－ｐｘ)}] 

です。
 

他方,γ⁰ψ(－ｘ,ｔ)＝∫ｄ³ｐ(2π)^-3/2(ｍ/Ｅ_ｐ)^1/2 

Σ_±ｓ[ｂ^(ｐ,ｓ)γ⁰ｕ(ｐ,ｓ)exp{－i(Ｅ_ｐｔ＋ｐｘ)} 

＋ｄ^^＋(ｐ,ｓ)γ⁰ｖ(ｐ,ｓ)exp{i(Ｅ_ｐｔ＋ｐｘ)}]
 

＝∫ｄ³ｐ(2π)^-3/2(ｍ/Ｅ_ｐ)^1/2 

Σ_±ｓ[ｂ^(－ｐ,ｓ)γ⁰ｕ(－ｐ,ｓ)exp{－i(Ｅ_ｐｔ－ｐｘ)} 

＋ｄ^^＋(－ｐ,ｓ)γ⁰ｖ(－ｐ,ｓ)exp{i(Ｅ_ｐｔ－ｐｘ)}] 

ですが, γ⁰ｕ(－ｐ,ｓ)＝ｕ(ｐ,ｓ), 

γ⁰ｖ(－ｐ,ｓ)＝―ｖ(ｐ,ｓ)　です。
 

それ故,Ｐψ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝γ⁰ψ(－ｘｔ)となることは, 

Ｐｂ^(ｐ,ｓ)Ｐ^-1＝ｂ^(－ｐ,ｓ),Ｐｄ^^＋(ｐ,ｓ)Ｐ^-1 

＝－ｄ^^＋(－ｐ,ｓ)を意味します。
 

Ｐのユニタリ性から.Ｐｂ^^＋(ｐ,ｓ)Ｐ^-1＝ｂ^^＋(－ｐ,ｓ) 

Ｐｄ^(ｐ,ｓ)Ｐ^-1＝－ｄ^(－ｐ,ｓ)も得られます。
 

ｂ^^＋は真空に作用して,１つの電子,または重粒子(baryon)を 

生成し,ｄ^^＋は,陽電子,または,反重粒子を生成するので, 

例えば,1つの電子は同じ軌道状態にある1つの陽電子と反対 

のパリティを持つことがわかります。
 

実は.Ｐの変換則として仮定したＰψ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝γ⁰ψ(－ｘ,ｔ) 

は,φ₀を任意の実数として,Ｐψ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝exo(iφ₀)γ⁰ψ(－ｘ,ｔ) 

なる位相因子:exo(iφ₀)を付加しても.ここまでの論議は成立します。
 

この位相の任意選択の下で,電子状態:ｂ^^＋(ｐ,ｓ)｜0＞は,空間反転 

の下でスカラーとして変換し,陽電子状態:ｄ^^＋(ｐ,ｓ)｜0＞は 

擬スカラーとして変換します。
 

相対的にｓ状態(ｌ＝0)にある電子-陽電子対(Positronium)は, 

位相に無関係に奇(－)のパリティを持ちます。
 

同様に相対的にｓ状態にある重粒子-反重粒子対のパリティは 

Ｐが[Ｐ,Ｈ^]＝0 を満たす,対称操作となるような理論を扱う 

ときには,やはり,奇(－)です。
 

すなわち,Ｐ∫ｄ³ｐ{ｆ(ｐ²)ｂ^^＋(ｐ,ｓ)ｄ^^＋(ｐ,ｓ)｜0＞} 

＝－∫ｄ³ｐ{ｆ(ｐ²)ｂ^^＋(ｐ,ｓ)ｄ^^＋(ｐ,ｓ)｜0＞}です。
 

Dirac場に対してＰの陽な形を得るためには,スカラー場に対して 

やったのと同じ手順を実行すればいいです。
 

Dirac場のＰをＰ_Diracとするとき,Ｐ_Dirac＝exp(iＰ^_Dirac) 

と置いて,Ｐ^_Dirac＝（－π/2）∫ｄ³ｐ 

{ｂ^^＋(ｐ,ｓ)ｂ^(ｐ,ｓ)－ｂ^^＋(ｐ,ｓ)ｂ^(－ｐ,ｓ) 

＋ｄ^^＋(ｐ,ｓ)ｄ^(ｐ,ｓ)－ｄ^^＋(ｐ,ｓ)ｄ^(－ｐ,ｓ)} 

が得られます。
 

※(注12-5):つまり,Ｐ＝Ｐ_Diracは,Ｐ_Dirac＝exp(iＰ^_Dirac)と置いて, 

[Ｐ^_Dirac,ｂ^(ｐ,ｓ)]＝(λ/2){ｂ^(ｐ,ｓ)±ｂ^(－ｐ,ｓ)}を仮定,
 

Ｐ_Dirac,ｂ^(ｐ,ｓ)Ｐ^-1_Dirac＝ｂ^(ｐ,ｓ) 

－(1/2)[ｂ^(ｐ,ｓ)±ｂ^(－ｐ,ｓ)} 

＋(1/2)exp(iλ){ ｂ^(ｐ,ｓ)±ｂ^(－ｐ,ｓ)}＝ｂ^(－ｐ,ｓ) 

なのでλ＝－πとして,Ｐ_Dirac＝exp(iＰ^_Dirac)＝－1で 

[Ｐ^_Dirac,ｂ^(ｐ,ｓ)]＝(－π/2){ｂ^(ｐ,ｓ)－ｂ^(－ｐ,ｓ)} 

なら,恒等式になります。
 

同様に,[Ｐ^_Dirac,ｄ^^＋(ｐ,ｓ)] 

＝(π/2){ｄ^^＋(ｐ,ｓ)＋ｄ^^＋(－ｐ,ｓ)}なら, 

Ｐ_Dirac,ｄ^^＋(ｐ,ｓ)Ｐ^-1_Dirac＝ｄ^^＋(ｐ,ｓ) 

－(1/2)[ｄ^^＋(ｐ,ｓ)＋ｄ^^＋(－ｐ,ｓ)} 

－(1/2){ｄ^^＋(ｐ,ｓ)＋ｄ^^＋(－ｐ,ｓ)} 

＝－ｄ^^＋(－ｐ,ｓ)が恒等式になります。
 

これらは,Ｐ^_Dirac＝（－π/2）∫ｄ³ｐ 

{ｂ^^＋(ｐ,ｓ)ｂ^(ｐ,ｓ)－ｂ^^＋(ｐ,ｓ)ｂ^(－ｐ,ｓ) 

＋ｄ^^＋(ｐ,ｓ)ｄ^(ｐ,ｓ)－ｄ^^＋(ｐ,ｓ)ｄ^(－ｐ,ｓ)} 

であれば満たされます。 

(注12-5終わり※)

  パリテイ操作の中にγ⁰が出現するための1つの影響はψ~γ₅ψ

が擬スカラーになることです。
 

すなわち,Ｐψ~(ｘ,ｔ)γ₅ψ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1 

＝ψ^＋(－ｘ,ｔ)γ₅γ⁰ψ(－ｘ,ｔ)＝－ψ~(－ｘ,ｔ)γ₅ψ(－ｘ,ｔ) 

あるいは, 

Ｐψ~(－ｘ,ｔ)γ₅ψ(－ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝－ψ~(ｘ,ｔ)γ₅ψ(ｘ,ｔ)です。
 

これは中間子-核子相互作用では重要です。 

例えば,モデルLagurangian:  

Ｌ＝Ψ~(iγ^μ∂_μ－Ｍ_p)Ψ＋(1/2)(∂^μφ∂_μφ)-μ²φ・φ) 

－iｇ₀Ψτγ₅Ψ・φ　(ただし,Ψ＝[ψ_p,ψ_ｎ]^Ｔ,φ＝[φ₁,φ₂,φ₃]) 

は,実験で要求されるように中間子に対して擬スカラー操作を 

選択すると,そのときに限り,結合されたパリティ演算子: 

Ｐ＝Ｐ_ｐＰ_ｎＰ_π＋Ｐ_π0Ｐ_π－の下で,ＰＬ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝Ｌ(－ｘ,ｔ) 

が満足されます。
 

最後に電磁場の内部パリティは対応論から決定されます。

なぜならそれは古典論を連想させるからです。 

それ故,光子について,ＰＡ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝－Ａ(－ｘ,ｔ)です。
 

これはMaxwell Lagrangianを不変に保ちます。  

これはKlein-Gordon場に対して取られた方法をまねれば

得られます。

結局,光子はベクトル粒子なのでパリティは奇(－)です。
 

これでパリティの項目は終了です。 

次は荷電共役(粒子-反粒子対称性)の項目に移る予定です。

(参考文献:J.D.Bjorken ＆ S.D.Drell 著 

"Relativistic　Quantum Fields" (McGrawHill)