摂動論のアノマリー(21）(第Ⅱ部:4)

  摂動論のアノマリーの続きです。
 

コーヒー・ブレイクなどもあり,少し間が空いて,私自身も

今までの 経過を少し忘れかけているので,前回の

「摂動論のアノマリー(20）」の最後の部分を再掲載する

ことから.始めます。
 

前回最後の方では,
 

π⁰ → 2γ の崩壊行列要素は, 

Ｓ_fi＝(□_x＋μ²)＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|π^0ｒ(ｘ)|0＞ 

＝i∫ｄ⁴ｘ(2π)^-4exp{i(ｋ₁＋ｋ₂)ｘ}

(2π)^-3/2(2ｑ⁰)^-1/2exp(－iｑｘ) 

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|(□＋μ²)_qπ^0ｒ|0＞

で与えられます。
 

そして.＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞ 

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂) 

であったので,式(154ｂ):Ｆ^π(0)

＝(－α/π)(2Ｓ)(√2μ²/ｆ_π)は,低エネルギーでは

π⁰ → 2γの振幅が,直接:(150):

∂_μＪ ⁵_3μ＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ 

のアノマリー項に比例することを示しています。
 

したがって,もしもアノマリー項をゼロとしてomitしたら, 

(154ｂ)の代わりに,Ｆ^π(0)＝0 (155)が得られると予測されます。
 

しかし,これは,実験事実に反して,π⁰ → 2γの崩壊が禁止される 

ことを意味します。
 

ここで.手短かに,(154ｂ)が示唆することのいくつかを論じます。
 

(ⅰ)(154ｂ)によって予測されるπ⁰の崩壊実験の崩壊率は, 

パラメータＳに依存します。
 

そして,このＳは,素Fermi粒子の電荷Ｑと軸性結合定数ｇに 

よって決まります。(※ Ｓ＝Σ_jｇ_ｊＱ_j² です。)
 

ＳＵ(3)のクォークモデルでは,それは中間子の交換によって

相互作用するFermi粒子:(ψ₁,ψ₂,ψ₃)＝(ｐ,ｎ,λ)なる基本

３粒子の組から成り,その結合定数は,(ｇ₁,ｇ₂,ｇ₃)

＝(1/2,－1/2,0)　です。
 

電磁カレントのＵ-スピン不変性から,基本粒子:(ψ₁,ψ₂,ψ₃)

の電荷は,(Ｑ,Ｑ－1,Ｑ－1)というパターンを持ちます。
 

この(Ｑ,Ｑ－1,Ｑ－1)において,主流モデルの分数電荷の

クォークでは,Ｑ＝2/3より,

(Ｑ,Ｑ－1,Ｑ－1)＝(2/3,－1/3.－1/3)　なので 

Ｓ＝Σ_jｇ_ｊＱ_j²＝1/6です。
 

一方, Ｑ＝１やＱ＝0の整数荷電を仮定すると,Ｓ＝±1/2です。
 

ここで,π⁰の崩壊率(＝1/崩壊寿命)について次の公式が

あります。すなわち,τ^-1＝(μ³/64π)|Ｆ^π[μ²/2]|²..(157)

です。
 

これにおいて,Ｆ^π[μ²/2]をＦ^π[0]で近似するとπ⁰崩壊の

崩壊率の近似計算値として,次の値が得られます。　

Ｓ＝1/6なら τ^-1＝0.8 eＶ..(158ａ) 

Ｓ＝±1/2なら　 τ^-1＝7.4 eＶ..(158ｂ)　です。
 

一方,Rosenfeldによって引用されたπ⁰崩壊の崩壊率の

実験値は,

τ_exp ^-1＝(1.12±0.22)×10¹⁶ sec^-1＝(7.37±1.5) eＶ.(159) 

です。

(※ 現在の最新実験値では,τ_exp ^-1＝(7.48±0.32) eＶ)
 

また,もしも,最近のPrimakoff効果の実験が,上記のRosenfeld 

平均を含む初期の実験よりも信頼できるなら,τ_exp ^-1が11ｅＶ 

になるという結果もあります。
 

とにかく,この結果からは,Ｓ＝1/6の分数電荷クォークは強く

排斥され,他方,Ｑ＝１やＱ＝0の整数電荷クォークは実験と

満足のいく一致を見るという結果を得ました。
 

※(注):現在の実情では,クォークにはフレーバー自由度とは

独立にカラー自由度３があってＳＵ(3)_ｃの対称性を持つこと

がわかっており,これにより,Ｓ＝(1／6)×３＝1/2となるため,

整数電荷の方が過剰で分数電荷の方が有力です。(注終わり※)
 

予測計算値(158ｂ)と実験値(159)の明白で劇的な一致は,幾分

偶発的なことです。この一致を偶発的と見るのは,逆に,実験

での崩壊率の不確かさと,ＰＣＡＣの論旨に含まれると予想

される10～20％の外挿誤差の存在のためです。
 

例えば,もしも,(154ｂ):

Ｆ^π(0)＝(－α/π)(2Ｓ)(√2μ²/ｆ_π) 

のｆ_πに実験値を当てる代わりに,

Goldberger-Treimanの関係: 

√2μ²/ｆ_π ～ ｇ_V/(Ｍ_Nｇ_Ａ)..(160)

(Ｍ_N:核子Ｎの質量,ｇ_Ｖ:πＮ結合定数 ～ 13.6,

ｇ_Ａ:核子軸性ベクトルカレントの結合定数 ～ 1.22)

を代入するならＳ＝±1/2の理論的予測は20％増加して

τ^-1 ＝ 9.1 eＶとなるからです。
 

しかし,いずれにしろ,実験結果との比較は,|Ｓ|＝1/2を示唆 

しています。

というところで終わっています。(再掲載終了※)
 

今回はその続きです。
 

(ⅱ)π⁰崩壊の実験値と比較した結果によれば,|Ｓ|～1/2ですが 

Ｓの符号は決まっていません。
 

しかしながら,Ｓの符号を定めるいくつかの異なる方法が

あります。その全てによる結果は一致しています。
 

第1の方法は,π^＋ → ｅ^＋＋ν崩壊を調べることです。 

この崩壊のベクトル部分はπ⁰崩壊のＦ^πのアイソスピン

回転と関連付けられ,軸性ベクトル部分は硬いπ中間子

テクニックを用いて評価できます。このプロセスに対する

実験的に測定可能な軸性ベクトルに対するべクトルの比が,

Ｓに,これが正の値であるという評価を与えました。
 

第2の方法は前方光創成を用いることで,に比例するPrimakoff

振幅と前方の強い相互作用振幅の干渉を観測できます。
 

この後者のＳの符号は,(３,３)共鳴:(Δ粒子)の領域のπの

光創成振幅の既知の符号から,有限エネルギー総和則によって

決定できます。
 

そして,その解析結果は再びＳが正であることを示唆します。
 

第３の方法は,陽子のCompton散乱の分散関係に,極を支配する 

という論旨を適用することによって導出されるπ⁰ → 2γ振幅 

の近似表現:Ｆ^π＝－4πα(κ_p/ｇ_ｒ)(1/Ｍ_N)..(161) 

を(154ｂ):Ｆ^π(0)＝(－α/π)(2Ｓ)(√2μ²/ｆ_π)と比較する

ことから成る方法です。

(※ κ_pは陽子の異常磁気モーメントです。)
 

(161)はπ⁰ → 2γの近似値として崩壊率:

τ^-1 ～ 2.0.1 eＶを与え,近似方法としては,かなり

の精度です。

　　いずれにしろ,またもＳが正という評価です。

第４の提唱される方法は陽子のCompton散乱のデータ

を用いて,π交換ピ－スの干渉を測定することを試る方法であり,

この干渉がＦ^πに比例して,核子と核子の同種核(アイソトープ)

の交換ピースを伴なっています。
 

この提案の問題は,π中間子の交換ピースがBorn近似の形式： 

ｔＦ^π/(ｔ²－μ²)と,ポテンシャル形式:μ²Ｆ^π/(ｔ²－μ²)

のどちらをとるか？がわからないことです。
 

物理的領域ではｔ＜0 より,この不確かさは符号の曖昧さ

へと誘導し,この方法を,あやふやなものとします。
 

とにかく,前の3つの方法からはＳが正であることを

学びました。このことは三元クォークについて,Ｑ＝1で

電荷:(Ｑ,Ｑ－1,Ｑ－1)が(1,0,0)であることに賛同的で

あることを意味します。
 

(※しかし,カラー三元クオークを考えるなら,Ｑ＝2/3で

(2/3.1/3.－1/3)の方が有力です。)
 

(ⅲ) (154ｂ):Ｆ^π(0)＝(－α/π)(2Ｓ)(√2μ²/ｆ_π) は,

興味深いモデルのクラスにおける摂動論のあらゆるオーダー

で正しいことを示しましたが,

(150):∂^μＪ ⁵_3μ＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ

＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^σＦ^τρε_ξστρ.と,上記の(154ｂ)

が非摂動的効果によって修正される可能性を扱って

はいません。

　　例えば,係数Ｓは基本場自身を含む三角グラフ同様,

基本場の束縛状態を含む三角グラフによる寄与を受けるべき

ではないのか？それとも,これはダブルカウントになるのか？

という問題です。

　　この疑問に対する答は不明です。我々の解析における可能

な非摂動的修正の無視は,純粋な仮説です。
 

(ⅳ) 今度は,三角アノマリーがomitされるとき,ＰＣＡＣに

よって示唆されるように,如何にしてπ⁰ → 2γ 崩壊が禁止

ではないのか？がわかるのか？という,より一般的な疑問に

対する定量的予測により,今の進路から退却してみます。
 

しかし,実験上はπ⁰ → 2γ 崩壊が禁止されないという

ことを強く示す1つの興味深い実験的テストが存在します。
 

このことを見るために,終光子の１つがoff-shell(質量殻の外) 

にある,例えば,ｋ₁,ｋ₂のうちｋ₁²≠0 のケースに禁止の論旨

に戻ってみます。
 

「摂動論のアノマリ＾(13)」で示したように,軸性ベクトル

ｊ⁵_μの(真空 → 2光子)の行列要素:Ｍ_μを, 

Ｍ_μ＝(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|ｊ⁵_μ|0＞ 

で定義すると,終状態の2光子が共に,on-Shell(質量殻上) 

なら,

　　式(106):(ｋ₁＋ｋ₂)^μＭ_μ 

＝(Ａ₃－Ａ₆)(ｋ₁ｋ₂)ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^＊σε₂^＊ρε_ξτσρ 

が成立します。

　しかし,off-shell(質量殻外:ｋ₁²≠0,またはｋ₂²≠0)

の場合,上式の右辺に次の項(107): 

(ｋ₂²Ａ₄－ｋ₁²Ａ₅)ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^＊σε₂^＊ρε_ξτσρ 

が付け加わります。
 

ｋ₁²≠0のとき＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|∂^μj⁵_μ|0＞は,

ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^＊σε₂^＊ρε_ξτσρ(μ²＋βｋ₁²)に比例

します。βは１のオーダー「です。
 

※(注21-1):π⁰の2γへの崩壊では,μ²＝(ｋ₁＋ｋ₂)²ですが, 

(106),(107)から,ｋ₁²≠0,ｋ₂²＝0 なら,

(ｋ₁＋ｋ₂)^μＭ_μ 

＝(Ａ₃－Ａ₆)(ｋ₁ｋ₂)ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^＊σε₂^＊ρε_ξτσρ 

－ｋ₁²Ａ₅)ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^＊σε₂^＊ρε_ξτσρ

＝ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^＊σε₂^＊ρε_ξτσρ{(Ａ₃－Ａ₆)(ｋ₁ｋ₂)－Ａ₅ｋ₁²} 

＝(Ａ₃－Ａ₆)ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^＊σε₂^＊ρε_ξτσρ 

×[(ｋ₁ｋ₂)＋{Ａ₅/(Ａ₆－Ａ₃)}ｋ₁²]　です。
 

ところが, 

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|∂^μj⁵_μ|0＞ ∝ (ｋ₁＋ｋ₂)^μＭ_μ 

であり, (ｋ₁ｋ₂)＋{Ａ₅/(Ａ₆－Ａ₃)}ｋ₁² 

＝(1/2){ｋ₁²＋2(ｋ₁ｋ₂)＋ｋ₂²}＋[{Ａ₅/(Ａ₆－Ａ₃)}―1/2]ｋ₁² 

＝(1/2)(ｋ₁＋ｋ₂)²＋βｋ₁²]＝(1/2)(μ²＋βｋ₁²) 

と書けます。 ここで,β＝{Ａ₅/(Ａ₆－Ａ₃)}―1/2と

しました。
 

いじょうから,＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|∂^μj⁵_μ|0＞

∝ (μ²＋βｋ₁²)　です。
 

(注21-1終わり※)
 

したがって,アノマリーなしのとき,崩壊振幅の光子on-shell

部分は因子μ²によって抑止されますが,光子off-shell部分は

抑止されないことがわかります。
 

※(注21-2):崩壊のＳ行列要素は  

Ｓ_fi∝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞ 

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^＊σε₂^＊ρε_ξτσρ

Ｆ^π[(ｋ₁＋ｋ₂)²/2] 

＝(ｆ_π/√2)＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|(□＋μ²)∂^μj⁵_μ|0＞ 

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^＊σε₂^＊ρε_ξτσρ(ｆ_π/√2) 

{－(ｋ₁＋ｋ₂)²＋μ²}(1/2)(Ａ₃－Ａ₆)(μ²＋βｋ₁²)です。
 

もしも,ｋ₁²＝0 のon-shellにあれば,, 

Ｆ^π[μ²/2]

＝{μ²/(√2ｆ_π)}lim_{(ｋ1＋ｋ2)2→μ2} {μ²－(ｋ₁＋ｋ₂)²} 

×{Ａ₃(ｋ₁ｋ₂)－Ａ₆(ｋ₁ｋ₂)}　　です。 

ただし,{Ａ₃(ｋ₁ｋ₂)－Ａ₆(ｋ₁ｋ₂)}は(ｋ₁＋ｋ₂)²＝μ²

に極を持ちます。

　　Ｆ^π[0]＝0でＦ^π[μ²/2]＝Ｏ[μ²]ですから,ｋ₁²≠0 で 

Ｏ[βｋ₁²]＞＞Ｏ[μ²]なら,この崩壊は禁止されないと

いえます。　

(注21-2終わり※)
 

光子off-shell部分の振幅は,π⁰ → ｅ^＋ｅ^－γ　で測定できる

ので,崩壊禁止という論旨は,次のことを予測します。
 

すなわち,このｋ₁²≠0 のプロセスのｋ₁²依存性は 

{1＋(β/μ²)ｋ₁²}の形になるだろうということです。

これは,このπの崩壊が禁止されるなら,ρ中間子崩壊なら 

|1＋(β²/ｍ_ρ²)ｋ₁²}となり,πの場合はこれよりはるかに

大きい傾きを持つだろうと予測されるわけです。
 

この傾きの最近の測定結果は,1＋ａｋ₁²

(ａ～(0.01±0.11/μ²)なる行列要素で,β～ａμ²  ～ Ｏ(1)

に反し,明らかにπ⁰ → 2γ禁止に反する強い証拠を示す結果

となっています。
 

したがって.これまで非常に詳細に論じてきた三角アノマリー

のようなメカニズムが,(155):Ｆ^π(0)＝0によりπ⁰の崩壊を

禁止するという予測を回避するために,明確に必要であると

いうことが確認されたと考えられます。
 

短かいですが,これで§5.2が終わりなので,今日はここで

終わります。

次回は.§5.3 のVVAアノマリー以外のアノマリーの可能性

を探す,Other Ward-Identity Anomalirs(他のWard恒等式の

アノマリー)の項目に入ります。
 

 (参考文献):Lectures on Elementary Particles and Quantum  

Field Theory(1970 Brandeis University SummerInstitute  

in Theoretical Physics)　VolumeⅠ