場の量子論第Ⅱ部(12)(空間反転;パリティ2)
パリティの続きです。
ここまでは,(擬)スカラー場の自由粒子(自由場)限定の論議でした
が,相互作用がある一般の系についても,
ＰＬ(ｘ,ｔ)Ｐ-1＝Ｌ(－ｘ,ｔ),および,
Ｐｊμ(ｘ,ｔ)Ｐ-1＝ｊμ(－ｘ,ｔ)を見たし,生準交換関係を不変
に保つパリティ演算子Ｐを同様にして作ることができます。
そのときには,上記関係が依然として正しく,そこで,Ｐ が理論
の対称性演算子として系のHamiltonian :Ｈ^と交換する。,
つまり,[Ｐ,Ｈ^]＝0 であって,運動の恒量となるかどうか？を
チェックする必要があります。
すなわち,一般に,ＰＬ(ｘ,ｔ)Ｐ-1＝Ｌ(－ｘ,ｔ),および,
Ｐｊμ(ｘ,ｔ)Ｐ-1＝ｊμ(－ｘ,ｔ)を満たすＰをつくるために,
最初,ｔ＝0 で,これを満たす,Ｐ＝Ｐ0 をつくります。
ｔ＝0 での相互作用する場を自由場(自由波)の完全系によって
展開すると,その展開係数は自由場と同じ交換代数を満たすので
Ｐは先の自由場の解と同じ形で得られます。
時刻ｔでのＰを得るためには,時間的に平行移動するため,系の
Hamiltonian:Ｈ^を用いればいいです。
すなわち,まず,Ｐ0は,Ｐ0Ｌ(ｘ,0)Ｐ0-1＝Ｌ(－ｘ,0),
Ｐ0ｊμ(ｘ,0)Ｐ0-1＝ｊμ(－ｘ,0)を満たし,交換関係を不変に
保ちます。
このとき,Ｐ(ｔ)＝exp(iＨ^ｔ)Ｐ0 exp(－iＨ^ｔ)は,一般の
時刻ｔで,条件:ＰＬ(ｘ,ｔ)Ｐ-1＝Ｌ(－ｘ,ｔ),および,
Ｐｊμ(ｘ,ｔ)Ｐ-1＝ｊμ(－ｘ,ｔ)を満たし交換関係を不変に
保ちます。
※(注12-1):何故なら,
φ(ｘ,ｔ)＝exp(iＨ^ｔ)φ(ｘ,0) exp(－iＨ^ｔ) より,
Ｐφ(ｘ,ｔ)Ｐ-1＝exp(iＨ^ｔ)Ｐ0φ(ｘ,0)Ｐ0-1 exp(－iＨ^ｔ)
＝±exp(iＨ^ｔ)φ(－ｘ,0) exp(－iＨ^ｔ)＝±φ(－ｘ,ｔ)
つまり,Ｐφ(ｘ,ｔ)Ｐ-1＝±φ(－ｘ,ｔ)となるからです。
(注12-1終わり※)
もしも,Ｐが,対称性演算子で,条件:[Ｐ,Ｈ^]＝0 を満たすなら
Ｐ(ｔ)＝Ｐ(0)＝Ｐ0 です。
※(注12-2);[Ｐ,Ｈ^]＝exp(iＨ^ｔ)[Ｐ0,Ｈ^]exp(－iＨ^ｔ)＝0
なら.[Ｐ0,Ｈ^]＝0 であり,Ｐ(ｔ)＝Ｐ0です。
(注12-2終わり※)
次はDiracスピノル場に移ります。
Diracスピノル場については,条件:
ＰＬ(ｘ,ｔ)Ｐ-1＝Ｌ(－ｘ,ｔ),および,
Ｐｊμ(ｘ,ｔ)Ｐ-1＝ｊμ(－ｘ,ｔ)を満たし,交換関係を不変
に保つＰとしてはＰψ(ｘ,ｔ)Ｐ-1＝γ0ψ(ーｘ,ｔ)を満たす
ものを選択できれば満足されます。,
まず,Dirac方程式:(iγμ∂μ－ｍ)ψ(ｘ)＝0 が,
ψ'(ｘ,ｔ)＝γ0ψ(－ｘ,ｔ)に対して不変であることは
既に,Bjorken-DrellのMechanicsのテキスト第2章で詳しく
述べられていることからの帰結です。
※(注12-3):本ブログでは,上記のMehanicsのｇ第2章の対応
部分は,2010年5/30の過去記事:「散乱の伝播関数の理論(8)」
です。ここから必要部分を再掲載します。
変換が,proper(連続変換)であれimproper(不連続変換)であれ,
Lorentz変換:ｘ'μ＝ａμνｘν,または,略記法でｘ'＝ａｘに
伴なう波動関数のLorentz変換:
ψ'α(ｘ’)＝ψ'α(ａｘ)＝Ｓαβ(ａ)ψβ(ｘ),または.略記法で,
ψ'(ｘ')＝ψ'(ａｘ)＝Ｓ(ａ)ψ(ｘ)を考えます。
(※ det(ａ)＝＋1のときが,proper変換で,det(ａ)＝－1のときが
improper変換です。※)
すると,ｘ'＝ａｘから逆変換ａ-1対して,ｘ＝ａ-1ｘ'ですから,
ψ'(ｘ')＝Ｓ(ａ)ψ(ａ-1ｘ'),つまりψ'(ｘ)＝Ｓ(ａ)ψ(ａ-1ｘ)
です。
一方,ψ(ｘ)＝Ｓ(ａ-1)ψ'(ａｘ),ψ(ｘ)＝Ｓ-1(ａ)ψ'(ａｘ)より,
Ｓ(ａ-1) ＝Ｓ-1(ａ)なる関係が成立します。
また, ,∂/∂ｘμ＝(∂ｘ'ν/∂ｘμ)(∂/∂ｘ'ν) です。
よってｘ'ν＝ａνμｘμより,∂μ＝ａνμ∂'νです。
そこで,Dirac方程式(iγμ∂μ－ｍ)ψ(ｘ)＝0 にｘ＝ａ-1ｘ',
およびψ(ｘ)＝Ｓ-1(ａ)ψ'(ｘ')を代入して左からＳ(ａ)を
掛けると,[iＳ(ａ)γμＳ-1(ａ)ａνμ∂'ν－ｍ]ψ'(ｘ')＝0
を得ます。
それ故,ａνμＳ(ａ)γμＳ-1(ａ)＝γν,または,
ａνμγμ＝Ｓ-1(ａ)γνＳ(ａ)が成立すれば,
(iγν∂' ν－ｍ)ψ(ｘ')＝0 となって方程式が相対論的に共変
になります。 (再掲載終了)
さて,ａが空間反転を意味するなら,
ｘ'μ＝ａμνｘν＝(ｘ0,－ｘ)＝ｘμ＝ｇμνｘνより,
ａμν＝ｇμνです。そこで,条件;ａνμＳ(ａ)γμＳ-1(ａ)＝γν
においてａνμ＝ｇνμより,Ｓ(ａ)＝γ0はとすれば,確かに,
ａνμＳ(ａ)γμＳ-1(ａ)＝ｇνμ＝ｇνμγ0γμγ0＝γνが成立
します。
それ故,ψ'(－ｘ,ｔ)＝γ0ψ(ｘ,ｔ) ,または,
ψ'(ｘ,ｔ)＝γ0ψ(－ｘ,ｔ)とすれば,
(iγμ∂ μ－ｍ)ψ'(ｘ)＝0 が満たされます。
(注12-3終わり※)
※(注12-4):自由Dirac粒子のLagrangian密度は,
Ｌ(ｘ,ｔ)＝ψ~(ｘ,ｔ)(iγμ∂ μ－ｍ)ψ(ｘ,ｔ)です。
そこで,Ｐψ(ｘ,ｔ)Ｐ-1＝γ0ψ(－ｘ,ｔ)なら.
ＰＬ(ｘ,ｔ)Ｐ-1＝ψ＋(－ｘ,ｔ)(iγμ∂ μ－ｍ)γ0ψ(－ｘ,ｔ)
＝ψ~(－ｘ,ｔ)(iγ0γμγ0∂ μ－ｍ)ψ(－ｘ,ｔ)
＝ψ~(－ｘ,ｔ)(iγμ∂ μ－ｍ)ψ(－ｘ,ｔ)＝Ｌ(－ｘ,ｔ)です。
また,ｊμ(ｘ,ｔ)＝ψ~(ｘ,ｔ)γμψ(ｘ,ｔ)より,
Ｐｊμ(ｘ,ｔ)Ｐ-1＝ψ＋(－ｘ,ｔ)γμγ0ψ(－ｘ,ｔ)
＝ψ~(－ｘ,ｔ)γ0γμγ0ψ(－ｘ,ｔ)
＝ψ~(－ｘ,ｔ)γμψ(－ｘ,ｔ)＝ｊμ(－ｘ,ｔ)
です。
さらに,共役運動量が,πα(ｘ)＝∂Ｌ/∂(∂0ψα)＝iψ＋α(ｘ)となる
ことから,同時刻反交換関係:
{ψα(ｘ,ｔ),πβ(ｙ,ｔ)}＝iδαβδ3(ｘ－ｙ)
は{ψα(ｘ,ｔ),ψ＋β(ｙ,ｔ)}＝δαβδ3(ｘ－ｙ)ですが,
Ｐを作用させると,{Ｐψα(ｘ,ｔ)Ｐ-1,Ｐψ＋β(ｙ,ｔ)Ｐ-1 }
＝{(γ0)αμψμ(－ｘ,ｔ),ψ＋ν(－ｙ,ｔ)(γ0)νβ}
＝(γ0)2αβδ3(ｙ－ｘ)＝δαβδ3(ｘ－ｙ) となって,交換関係
も保存されます。 (注12-4終わり※)
Dirac場に対してＰを陽に作るには,再び,直接,運動量展開の
展開係数に対する作用を考えるのが便利です。
ψ(ｘ,ｔ)＝∫ｄ3ｐ(2π)-3/2(ｍ/Ｅｐ)1/2
Σ±ｓ[ｂ^(ｐ,ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)exp{－i(Ｅｐｔ－ｐｘ)}
＋ｄ^＋(ｐ,ｓ)ｖ(ｐ,ｓ)exp{i(Ｅｐｔ－ｐｘ)}]なる展開
にＰを作用させると,
Ｐψ(ｘ,ｔ)Ｐ-1＝∫ｄ3ｐ(2π)-3/2(ｍ/Ｅｐ)1/2
Σ±ｓ[Ｐｂ^(ｐ,ｓ)Ｐ-1ｕ(ｐ,ｓ)exp{－i(Ｅｐｔ－ｐｘ)}
＋Ｐｄ^＋(ｐ,ｓ)Ｐ-1ｖ(ｐ,ｓ)exp{i(Ｅｐｔ－ｐｘ)}]
です。
他方,γ0ψ(－ｘ,ｔ)＝∫ｄ3ｐ(2π)-3/2(ｍ/Ｅｐ)1/2
Σ±ｓ[ｂ^(ｐ,ｓ)γ0ｕ(ｐ,ｓ)exp{－i(Ｅｐｔ＋ｐｘ)}
＋ｄ^＋(ｐ,ｓ)γ0ｖ(ｐ,ｓ)exp{i(Ｅｐｔ＋ｐｘ)}]
＝∫ｄ3ｐ(2π)-3/2(ｍ/Ｅｐ)1/2
Σ±ｓ[ｂ^(－ｐ,ｓ)γ0ｕ(－ｐ,ｓ)exp{－i(Ｅｐｔ－ｐｘ)}
＋ｄ^＋(－ｐ,ｓ)γ0ｖ(－ｐ,ｓ)exp{i(Ｅｐｔ－ｐｘ)}]
ですが, γ0ｕ(－ｐ,ｓ)＝ｕ(ｐ,ｓ),
γ0ｖ(－ｐ,ｓ)＝―ｖ(ｐ,ｓ) です。
それ故,Ｐψ(ｘ,ｔ)Ｐ-1＝γ0ψ(－ｘｔ)となることは,
Ｐｂ^(ｐ,ｓ)Ｐ-1＝ｂ^(－ｐ,ｓ),Ｐｄ^＋(ｐ,ｓ)Ｐ-1
＝－ｄ^＋(－ｐ,ｓ)を意味します。
Ｐのユニタリ性から.Ｐｂ^＋(ｐ,ｓ)Ｐ-1＝ｂ^＋(－ｐ,ｓ)
Ｐｄ^(ｐ,ｓ)Ｐ-1＝－ｄ^(－ｐ,ｓ)も得られます。
ｂ^＋は真空に作用して,１つの電子,または重粒子(baryon)を
生成し,ｄ^＋は,陽電子,または,反重粒子を生成するので,
例えば,1つの電子は同じ軌道状態にある1つの陽電子と反対
のパリティを持つことがわかります。
実は.Ｐの変換則として仮定したＰψ(ｘ,ｔ)Ｐ-1＝γ0ψ(－ｘ,ｔ)
は,φ0を任意の実数として,Ｐψ(ｘ,ｔ)Ｐ-1＝exo(iφ0)γ0ψ(－ｘ,ｔ)
なる位相因子:exo(iφ0)を付加しても.ここまでの論議は成立します。
この位相の任意選択の下で,電子状態:ｂ^＋(ｐ,ｓ)｜0＞は,空間反転
の下でスカラーとして変換し,陽電子状態:ｄ^＋(ｐ,ｓ)｜0＞は
擬スカラーとして変換します。
相対的にｓ状態(ｌ＝0)にある電子-陽電子対(Positronium)は,
位相に無関係に奇(－)のパリティを持ちます。
同様に相対的にｓ状態にある重粒子-反重粒子対のパリティは
Ｐが[Ｐ,Ｈ^]＝0 を満たす,対称操作となるような理論を扱う
ときには,やはり,奇(－)です。
すなわち,Ｐ∫ｄ3ｐ{ｆ(ｐ2)ｂ^＋(ｐ,ｓ)ｄ^＋(ｐ,ｓ)｜0＞}
＝－∫ｄ3ｐ{ｆ(ｐ2)ｂ^＋(ｐ,ｓ)ｄ^＋(ｐ,ｓ)｜0＞}です。
Dirac場に対してＰの陽な形を得るためには,スカラー場に対して
やったのと同じ手順を実行すればいいです。
Dirac場のＰをＰDiracとするとき,ＰDirac＝exp(iＰ^Dirac)
と置いて,Ｐ^Dirac＝（－π/2）∫ｄ3ｐ
{ｂ^＋(ｐ,ｓ)ｂ^(ｐ,ｓ)－ｂ^＋(ｐ,ｓ)ｂ^(－ｐ,ｓ)
＋ｄ^＋(ｐ,ｓ)ｄ^(ｐ,ｓ)－ｄ^＋(ｐ,ｓ)ｄ^(－ｐ,ｓ)}
が得られます。
※(注12-5):つまり,Ｐ＝ＰDiracは,ＰDirac＝exp(iＰ^Dirac)と置いて,
[Ｐ^Dirac,ｂ^(ｐ,ｓ)]＝(λ/2){ｂ^(ｐ,ｓ)±ｂ^(－ｐ,ｓ)}を仮定,
ＰDirac,ｂ^(ｐ,ｓ)Ｐ-1Dirac＝ｂ^(ｐ,ｓ)
－(1/2)[ｂ^(ｐ,ｓ)±ｂ^(－ｐ,ｓ)}
＋(1/2)exp(iλ){ ｂ^(ｐ,ｓ)±ｂ^(－ｐ,ｓ)}＝ｂ^(－ｐ,ｓ)
なのでλ＝－πとして,ＰDirac＝exp(iＰ^Dirac)＝－1で
[Ｐ^Dirac,ｂ^(ｐ,ｓ)]＝(－π/2){ｂ^(ｐ,ｓ)－ｂ^(－ｐ,ｓ)}
なら,恒等式になります。
同様に,[Ｐ^Dirac,ｄ^＋(ｐ,ｓ)]
＝(π/2){ｄ^＋(ｐ,ｓ)＋ｄ^＋(－ｐ,ｓ)}なら,
ＰDirac,ｄ^＋(ｐ,ｓ)Ｐ-1Dirac＝ｄ^＋(ｐ,ｓ)
－(1/2)[ｄ^＋(ｐ,ｓ)＋ｄ^＋(－ｐ,ｓ)}
－(1/2){ｄ^＋(ｐ,ｓ)＋ｄ^＋(－ｐ,ｓ)}
＝－ｄ^＋(－ｐ,ｓ)が恒等式になります。
これらは,Ｐ^Dirac＝（－π/2）∫ｄ3ｐ
{ｂ^＋(ｐ,ｓ)ｂ^(ｐ,ｓ)－ｂ^＋(ｐ,ｓ)ｂ^(－ｐ,ｓ)
＋ｄ^＋(ｐ,ｓ)ｄ^(ｐ,ｓ)－ｄ^＋(ｐ,ｓ)ｄ^(－ｐ,ｓ)}
であれば満たされます。
(注12-5終わり※)
パリテイ操作の中にγ0が出現するための1つの影響はψ~γ5ψ
が擬スカラーになることです。
すなわち,Ｐψ~(ｘ,ｔ)γ5ψ(ｘ,ｔ)Ｐ-1
＝ψ＋(－ｘ,ｔ)γ5γ0ψ(－ｘ,ｔ)＝－ψ~(－ｘ,ｔ)γ5ψ(－ｘ,ｔ)
あるいは,
Ｐψ~(－ｘ,ｔ)γ5ψ(－ｘ,ｔ)Ｐ-1＝－ψ~(ｘ,ｔ)γ5ψ(ｘ,ｔ)です。
これは中間子-核子相互作用では重要です。
例えば,モデルLagurangian:
Ｌ＝Ψ~(iγμ∂μ－Ｍp)Ψ＋(1/2)(∂μφ∂μφ)-μ2φ・φ)
－iｇ0Ψτγ5Ψ・φ (ただし,Ψ＝[ψp,ψｎ]Ｔ,φ＝[φ1,φ2,φ3])
は,実験で要求されるように中間子に対して擬スカラー操作を
選択すると,そのときに限り,結合されたパリティ演算子:
Ｐ＝ＰｐＰｎＰπ＋Ｐπ0Ｐπ－の下で,ＰＬ(ｘ,ｔ)Ｐ-1＝Ｌ(－ｘ,ｔ)
が満足されます。
最後に電磁場の内部パリティは対応論から決定されます。
なぜならそれは古典論を連想させるからです。
それ故,光子について,ＰＡ(ｘ,ｔ)Ｐ-1＝－Ａ(－ｘ,ｔ)です。
これはMaxwell Lagrangianを不変に保ちます。
これはKlein-Gordon場に対して取られた方法をまねれば
得られます。
結局,光子はベクトル粒子なのでパリティは奇(－)です。
これでパリティの項目は終了です。
次は荷電共役(粒子-反粒子対称性)の項目に移る予定です。
(参考文献:J.D.Bjorken ＆ S.D.Drell 著
"Relativistic Quantum Fields" (McGrawHill)
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