力学覚え書き(その1)

ノーベル医学生理学賞が体内時計。。物理学賞が重力波 

ということで,思いついたことを少し。。
 

最初の思いつきは, 体内時計の時間が今の地球自転周期24時間と 

約1時間のずれがあるらしい,という話と月や太陽の地球への重力 

による潮汐力の効果で地球の自転速度が年々僅かずつ遅くなって 

いるという話が結び付く？と浅薄な邪推をしたことでした。 

しかし,これらは向きが逆の話で勘違いでした。。
 

宇宙空間に月と地球だけがあるとして月を質量がｍの質点で近似 

地球を質量がＭで自転軸のまわりの慣性モーメントがIの剛体球で 

近似,地球自転の角速度をω₁,月が地球の周りを回る軌道を円軌道 

で近似して回転角速度をω₂とします。
 

自転する地球の半径をａ,月が公転する半径(月と地球の距離) 

をＲとすると,月と地球は万有引力:Ｆ＝－ＧＭｍ/Ｒで互い 

に引っ張り合っています。
 

このとき,地球のスピン角運動量は,Ｓ＝Ｉω₁,月の公転の軌道 

角運動量はＬ＝ｍＲ²ω₂で与えられます。
 

普通に運動方程式を立てると,ｄＳ/ｄｔ＝Ｎ,ｄＬ/ｄｔ＝－Ｎ 

です。Ｎは月が地球に及ぼすトルク(力のモーメント)です。
 

系の総角運動量:(Ｓ＋Ｌ)は,系には外からのトルクが無く閉じて 

いると仮定しているので保存されます。 

すなわち,ｄ(Ｓ＋Ｌ)/ｄｔ＝0です。
 

地球の自転軸と月の公転軸の角度(地球の赤道面が公転面と 

なす角度)をθとすると,Ｎ＝ＦＲsinθ 

＝(－ＧＭｍ/Ｒ²)Ｒsinθ  

＝－(ＧＭｍ/Ｒ)sinθですから,地球の自転軸のまわりの 

慣性モーメントIと月の質量ｍは一定とすると

解くべき方程式系は,Ｉ(ｄω₁/ｄｔ)＝－(ＧＭｍ/Ｒ)sinθ(1), 

および,ｍ{ｄ(Ｒ²ω₂/ｄｔ)＝(ＧＭｍ/Ｒ)sinθ(2),あるいは, 

ω₂(ｄＲ/ｄｔ)＝{ＧＭ/(2Ｒ²)} sinθ－Ｒ(ｄω₂/ｄｔ)(2)’

です。
 

(2)は,公転角速度ω₂の変化が小さいとして無視する近似では 

月と地球の距離Ｒが増加して離れていくことを意味する式

になります。
 

他方,剛体球近似では地球半径がａなら,Ｉ＝(2/5)Ｍａ²ですから 

ｄω₁/ｄｔ＝－{5Ｇｍ/(2ａ²Ｒ)sinθの率で自転が遅くなります。
 

大体の見積りは,今の自転周期がＴ＝24時間＝24×3600秒で 

ω₁＝2π/Ｔ,地球半径:ａ～ 6400km ＝ 6.4×10⁶ｍ, 

万有引力定数が:Ｇ ～ 6.67 × 10^-11 Ｎm² kg^-2 月の質量　 

ｍ～ 5.75×10²²kg,月と地球の距離:Ｒ ～ 38万4千km

＝3.84×10⁸ｍ 

θ～23.5度＝23.5π/180,sinθ～ 0.4　を代入して計算すると 

ｄω/ｄｔ＝－Ｇｍ sinθ/(Ｒａ²) ～ －10^-11くらいです。
 

(※地軸の傾きは23.4度とか23.5度とか小学校で習ったけど月の 

公転面の傾きθとしてこれを採用してもいいのかな？)
 

今から1万年＝3.15×10¹¹秒後ではω₁の減少はΔω₁～ -3, 

10万年～ 3.15×10¹²秒が経つと,Δω₁ ～ －30です。
 

現在は,自転角速度はω₁～24×3600/(2π)～ 13758,ですが, 

今から10万年経つと,30/137583＝1/600の割合で角速度が小さく 

なります。自転周期＝1日が24時間＝86400秒ですから,その1/600 

は約150秒＝2分30秒です。
 

大体の見積りでは10万年当たり.これだけ1日が延びる勘定です。 

単純計算では,哺乳類,人類誕生の200万年前の自転周期－1日は 

23時間くらいで,今よりも短いようです。。。
 

ありゃ昔の方が短かいのか？？と,実際にはここで初めて勘違いに 

気付きました。
 

体内時計の1日は25時間に近いことが知られているので,最初. 

これは昔の方が1日が長くて,体内時計がこれに同期していた？ 

と考えたのでしたが.実は昔は今より回転が速かったのなら1日が 

短いので反対でした。。相変わらず,オッチョコチョイです。
 

ところで,この計算自体合ってるのかな？自信はありません。

この頃は本当に字だけの本が読みたいけど,老眼鏡でも見えず, 

判読疲れで細かい本は読めません。理科年表でさえ読み辛く

この頃は記憶に頼るか,ネットで調べて拡大する方が早いです、

とても不便です。
 

まあ,そういう意味では,計算しなくてもネットで探せば何でも 

ある時代ですが,自分で確かめないとダメという性分なので。。
 

しかし,2億年続いた恐竜の滅亡は地磁気のＮとＳの逆転が原因？ 

とか言われているらしいし,月以外に太陽の影響もあるし氷河期も 

あったし。。月が衛星になって何十億年も同ペースで,外から突然 

の衝撃なども受けず,静かに閉じた系として進展してきたのか？も 

疑問ですが。。
 

ところで,本ブログでは初等力学について.余りり論じてなかった 

ので,これを機に剛体や質点系力学についておさらいしてみます。
 

これも,眼が悪くて参考書をろくに読めないので,主として記憶に 

頼りますが。。
 

ｎ個の質点から成る質点系があるとし,そのｉ番目の粒子質量を 

ｍ_i,位置座標をｒ_iとして,その速度を,ｖ_i＝ｄｒ_i/ｄｔとします。
 

その運動量をｐ_i＝ｍ_iｖ_iで定義すると,各々の質点が従う古典論の 

Newtpnの運動方程式はｄｐ_i /ｄｔ＝Ｆ_iです。 

ここで,Ｆ_iは質点ｉに作用する力です。
 

質点ｉに作用する力:Ｆ_iは,ｎ個の系の外部から作用する外力Ｆ^ext_i 

と系の他の質点ｊ(ｊ≠ｉ)がｉに及ぼす内力:Ｆ^int_jiの総和の和 

に分割されます。すなわち,Ｆ_i＝Ｆ^ext_i＋∑_ｊ≠iＦ^int_jiです。
 

系内の粒子同士で互いに及ぼす内力:Ｆ^int_jiは電気力.重力のような 

もので.作用・反作用の法則から,Ｆ^int_ji＝－Ｆ^int_ij、および, 

(ｒ_i－ｒ_ｊ)×Ｆ^int_ij＝0　が満たされます。
 

ここで,双質量をＭ＝Σｍ_iとして,系の重心の位置ベクトルを 

Ｒ＝Σｍ_iｒ_i/Ｍで定義します。
 

重心速度は,Ｖ＝ｄＲ/ｄｔ＝Σｍ_iｖ_i/Ｍ,重心運動量はＰ＝ＭＶ 

＝Σｐ_iで与えられます。
 

ｄｐ_i /ｄｔ＝Ｆ^ext_i＋∑_ｊ≠iＦ^int_jiを総和することで,重心運動 

の方程式:ｄＰ/ｄｔ＝Σ_iＦ^ext_iが得られます。
 

他方,質点iの原点の回りの角運動量をｌ_i＝ｒ_i×ｐ_iで定義すると, 

ｄｌ_i/ｄｔ＝(ｐ_i×ｐ_i)/ｍ_i＋ｒ_i×(ｄｐ_i/ｄｔ) 

＝ｒ_i×Ｆ_i＝ｒ_i×Ｆ^ext_i＋∑_ｊ≠i(ｒ_i×Ｆ^int_ji) が成立します。
 

系の総角運度量をＬ＝Σ_iｌ_i＝Σ_i(ｒ_i×ｐ_i)とすると, 

ｄＬ/ｄｔ＝Σ_i(ｒ_i×Ｆ^ext_i)＋Σ_i∑_ｊ≠i(ｒ_i×Ｆ^int_ji) 

＝Σ_i(ｒ_i×Ｆ^ext_i)＝Σ_iＮ^ext_i＝Ｎ　と書けます。
 

ここで,位置ｒにある質点に働く力がＦのとき,Ｎ＝ｒ×Ｆをその 

質点にかかる原点:Ｏの回りのトルク(力のモ－メント)と呼ぶと, 

Ｎ^ext_iは質点ｉにかかる外力だけのトルクであり,Ｎはその総和 

を意味します。
 

最後の等式では,内力のトルクの総計がゼロを用いました。
 

何故なら,Σ_i∑_ｊ≠i(ｒ_i×Ｆ^int_ji)＝(1/2)[Σ_i∑_ｊ≠i (ｒ_i×Ｆ^int_ji) 

＋Σ_j∑_ｊ≠i (ｒ_j×Ｆ^int_ij)]＝(1/2)Σ_i,j(i≠j)(ｒ_i－ｒ_j)×Ｆ^int_ji＝0 

となるからです。
 

さて,今では通常の物質は全て微小な分子の集まりでできている 

ことを知っています。そして.その個数は我々の常温,常圧で1cm³ 

の体積中に10²²個も存在するオーダーなので,構成分子を質点と 

みなしても,物質の塊は莫大な個数の質点系です。
 

このとき,系の内力は基本的に電気力で,それは分子を束縛する 

分子間力と呼ばれています。
 

それ故,古典物理では物体を連続体近似することが多いようです。 

例えば,気体,液体,固体を弾性体,気体,液体をそれぞれ,圧縮性, 

非圧縮性の流体で近似したり,固体を剛体で近似します。
 

特に,剛体というのは弾性体的には応力が無限大で全く変形しない 

理想的な固体モデルです。したがって,その物体内での異なる2点 

(原点Ｏともう1点)の位置が指定できれば,その剛体の位置状態は 

完全に決まります。
 

そこで,この2点の6個の座標の軌道を求める独立な6個の方程式 

があり,これが解ければ 異なる2点の運動が定まります。 

それ故,剛体の運動を定めるには,６個の方程式が必要十分です、
 

ところで,ここまでの質点系の論議で,重心運動の方程式: 

ｄＰ/ｄｔ＝Σ_iＦ^ext_i＝Ｆは独立成分が３個の方程式です。
 

また,方程式:ｄＬ/ｄｔ＝Σ_i(ｒ_i×Ｆ^ext_i)＝Σ_iＮ^ext_i＝Ｎ 

も独立成分は３個で.合わせて独立成分6個の方程式なので, 

これらを運動を決める必要十分な方程式と見ることができます。
 

1質点なら運動方程式は３個で十分だったのですが,大きさのある 

剛体モデルなら６個に増えます。
 

特に,原点Ｏを含む固定軸の回りを角速度ωで回転している剛体は,

角運動量の総和:Ｌは.回転軸をｚ軸にとる座標系で 

Ｌ＝Σ(ｒ_i×ｍ_iｖ_i)＝{Σｍ_i(ｘ_i²＋ｙ_i²)}ω＝Ｉω； 

Ｉ＝Σｍ_i(ｘ_i²＋ｙ_i²)と書けます。
 

このとき,Ｉを,このｚ軸のまわりの慣性モーメントと呼びます。
 

離散的なｎ個の質点でなく位置ｒにおける密度がρ(ｒ)の連続体 

ならＩ＝∫_Ｖｄ³ｒρ(ｒ)ｒ²sin²θ＝2π∫ｄ³ｒρ(ｒ)ｒ⁴sin²θと 

書けます。
 

ただし,θは極座標表示:ｒ＝(ｘ,ｙ,ｚ) 

＝(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)　の極角です。
 

特に密度が一様:ρ(ｒ)＝ρで半径がａの球の自転軸のまわり 

の慣性モーメントなら,Ｉ＝∫ｄ³ｒρｒ²sin²θ 

＝2π∫₀^ａｄｒρｒ⁴∫_-1¹ｄ(cosθ)sin²θ＝8πρａ⁵/15です。 

そこで,質量がＭならＭ＝4πρａ³/3よりρ＝3Ｍ/(4πａ³)なので 

I＝(2/5)Ｍａ²を得ます。

 

ここで特に,ｒ_i＝Ｒ＋ｒ~_iと書いて,重心座標と相対座標 

を分離します。 

両辺をｔで微分するとｖ＝Ｖ＋ｖ~_i です。すぐわかるように, 

Σ_iｍ_iｖ~_i＝0 なる性質があります。
 

故に,総運動エネルギーＴは,Ｔ＝(1/2)Σｍ_iｖ,² 

＝(1/2)ＭＶ²＋(1/2)Σｍ_iｖ~_i²＋ＶΣｍ_iｖ~_i 

＝(1/2)ＭＶ²＋(1/2)Σｍ_iｖ~_i²となり,Ｔは重心運動エネルギー: 

Ｔ_Ｇ＝(1/2)ＭＶ²と相対運動エネルギー:Ｔ~＝(1/2)Σｍ_iｖ~_i² 

に分離されます。
 

系全体が重心を含むある固定軸の回りを角速度ωで回転 

している剛体では, 固定軸をｚ軸に取ると,相対運動の速度 

がｖ~_i＝(ｘ~_i²＋ｙ~_i²)^1/2ω で与えられるので,
 

相対運動のエネルギー＝回転エネルギーは, 

Ｔ~＝(1/2)Σ_iｍ_iｖ~,²＝(1/2)Σｍ_iｖ~_i² 

＝(1/2)Σ(ｘ~_i²＋ｙ~_i²)^1/2ω²＝(1/2)Ｉ~ω² 

で与えられます。
 

ここでは,Ｌ~＝Σ(ｒ~_i×ｍ_iｖ~_i)＝Ｉ~ω,；であり 

Ｉ~＝Σｍ_i(ｘ~_i²＋ｙ~_i²)です。
 

例題として,高校物理で学んだような物体が自分の重みで斜面を 

下りてくる問題を考えます。
 

滑って下りてくるとき,物体を質量ｍの質点で近似して摩擦ゼロと 

すると.質点の速度ｖはニュートン力学の力学的エネルギーの 

保存則から斜面の最高点(出発点)からの降下高さｈとすると, 

位置エネルギー減少分＝ｍｇｈ＝(1/2)ｍｖ²＝運動エネルギー 

の増加分ですから,その点での斜面上の速度の大きさは 

ｖ＝(2ｇｈ)^1/2です。
 

しかし,一般には物体は質点じゃなくて,大きさがあります。 

斜面を下りてくるのがパチンコ玉のようなものとして半径が 

ａの剛体球近似し,今度は滑りは全く無く完全に転がり下りる 

とし,蛇行せず直線的に転がるとして回転の角速度をωと 

してみます。
 

ｖ_回転＝ａωで,慣性モーメントをＩとすると回転エネルギ^― 

は,(1/2)Ｉω²です。
 

球の中心＝重心の速度の大きさも,ｖ＝ａωですから重心運動の 

運動エネルギーは,(1/2)ｍｖ²＝(1/2)ｍａ²ω²です。 

故にエネルギー保存則は,ｍｇｈ＝(1/2) ｍａ²ω²＋(1/2)Ｉω² 

あるいは,,ｍｇｈ＝(1/2) ｍｖ²＋(1/2)(Ｉ/ａ²)ｖ² 

＝(1/2){ｍ＋(Ｉ/ａ²)}ｖ²となり実質的に慣性モーメント分だけ 

降下速度が減少します。
 

球の公式:Ｉ＝(2/5)ｍａ²を代入すると(9/10)ｍｖ²＝ｍｇｈ=から 

ｖ＝(10ｇｈ/9)^1/2です。
 

近似計算でしたが,半径が大きいほど,ゆっくり転がり下りてくる 

というっ常識に合っています。
 

ところで地球から月を見ると,常に一方の面しか見えず,これは 

自転周期と公転周期が全く一致しているためですが,地球への 

月の潮汐力の反作用の結果であるとされています。
 

実際の地球の海の潮汐は,月だけでなく太陽も影響して新月や満月 

では地球に対し両者がほぼ直線に並んで重力を及ぼすので気象に 

特有のタイムラグありますが,こうしたとき大潮になるようです。
 

一般に,月に限らず,どの衛星や惑星の自転-公転系でも長時間が 

経てば自転周期と公転周期が同期するところでバランスする 

という共鳴現象がある,ことを以前から聞いています。
 

量子論でのプランク定数による束縛電子の離散的軌道でもない 

だろうし古典軌道の固有周期運動が本当に整数比で安定になる 

のか？という疑問と.それが真ならその理由は何か？について 

興味津々ですが,生半可ではうまく計算できないので,そこらが 

詳しい天体力学の本が読めたら読むということでPendingにして 

終わります。

うらぶれ　このみに　ふくかぜかなし。。