場の量子論第Ⅱ部(14)(荷電共役2)

  場の量子論第Ⅱ部:不連続変換,荷電共役の続きです。
 

予定通りDiracスピノル場の考察に入ります。
 

Dirac粒子に対する荷電共役の1つの議論は,既にB-Jの 

Mechanicsのテキスト第5章で与えました。
 

※(注14-1):B-JのMechanicsのテキスト第5章はHple-theory 

(空孔英論)ですが,本ブログでは2011年12/20の過去記事: 

「Diracの空孔理論(2)(荷電共役)」の内容がそれに相当します。

ここから必要部分を抜粋して再掲します。
 

※再掲開始:
 

Dirac方程式 (i∂－ｅＡ－ｍ)ψ＝0 の負エネルギー解と 

正エネルギー陽電子の固有状態関数は１対１に対応するはずです。 

(※ i∂＝iγ^μ∂_μ＝iγ^μ(∂/∂ｘ^μ),Ａ＝γ^μＡ_μです。)
 

電子の非存在＝空孔が陽電子の存在である,という解釈によって, 

観測される陽電子の波動関数:ψ_cは正の電荷：－ｅを持つだけが 

異なる電子と同じ波動方程式.を満たすはずなので, 

(i∂＋ｅＡ－ｍ)ψ_c＝0 の正エネルギー解:ψ_cで与えられます。
 

　そして,一方が粒子で他方が反粒子と決めつける必要性はなく, 

互いに粒子-反粒子の対称的関係にあると考えます。

　そこで,２つの方程式や,その解を互いに変換させる演算子を作る 

ことができるのでは？という発想が導かれます。
 

　そのためには,２つの演算子;i∂とＡの間の相対符号を変化させる 

ことが必要ですが,これは複素共役を取ることで可能です。
 

　すなわち,{i(∂/∂ｘ^μ)}^＊＝－(∂/∂ｘ^μ),Ａ_μ^＊＝Ａ_μ より, 

(i∂－ｅＡ－ｍ)ψ＝0 or {γ^μ(i∂_μ－ｅＡ_μ)ーｍ}ψ＝0 です 

から,{(i∂_μ＋ｅＡ_μ)γ^μ＊＋ｍ}ψ^＊＝0  が得られます。
 

それ故,もしも(Ｃγ⁰)γ^μ＊(Ｃγ⁰)^-1＝－γ^μという代数関係 

を満たす4×4の正則行列:Ｃγ⁰を見出すことができれば, 

{(i∂_μ＋ｅＡ_μ)(Ｃγ⁰)γ^μ＊(Ｃγ⁰)^-1＋ｍ}(Ｃγ⁰ψ^＊)＝0 , 

つまり,{(i∂_μ＋ｅＡ_μ)γ^μ－ｍ}(Ｃγ⁰ψ^＊)＝0　 

が得られます。
 

そこで,ψ_c＝Ｃγ⁰ψ^＊＝Ｃψ~^Ｔとおけば,上の方程式は 

{(i∂_μ＋ｅＡ_μ)γ^μ－ｍ}ψ_c＝0　と書けます。
 

これは陽電子の波動関数が満たす方程式に他なりません。
 

そして,こうした行列:Ｃが確かに存在することは,これを 

陽に作ることで証明されます。
 

テキストで使っているガンマ行列の表示では,γ⁰γ^μ＊γ⁰＝(γ^μ)^Ｔ 

なので,(Ｃγ⁰)γ^μ＊(Ｃγ⁰)^-1＝－γ^μは,Ｃ ^tγ^μＣ^-1＝－γ^μ, 

または.Ｃ^-1γ^μＣ＝－(γ^μ)^Ｔとなります。
 

この表示ではＣγ¹Ｃ^-1＝γ¹,Ｃγ²Ｃ^-1＝－γ²,Ｃγ³Ｃ^-1＝γ³, 

Ｃγ⁰Ｃ^-1＝－γ⁰,つまり.Ｃγ¹＝γ¹Ｃ,Ｃγ³＝γ³Ｃ,Ｃγ²＝－γ²Ｃ, 

Ｃγ⁰＝－γ⁰Ｃですから,例えば係数を虚数iとして,Ｃ＝iγ²γ⁰と 

とれば,条件は満たされ,Ｃ＝－Ｃ^-1＝－Ｃ^＋＝－Ｃ^Ｔです。
 

これは,このガンマ行列の表示をも含む任意の表示で,常に 

(Ｃγ⁰)γ^μ＊(Ｃγ⁰)^-1＝－γ^μを満たすＣを構成できることを示す 

には十分です。
 

※以上,参考の再掲終了　（注14-1終わり※）
 

Dirac方程式は,スピノル:ψ(ｘ)の次のような置き換え,の下 

で不変です。すなわち,ψ(ｘ)→ Ｃψ~(ｘ)^Ｔで＝Ｃγ⁰ψ^＊(ｘ) 

です。ただし,Ｃは4×4行列で.Ｃγ^μＣ^-1＝－(γ^μ)^Ｔ or  

Ｃ_αβ(γ^μ)_βλ(Ｃ^-1)_λρ＝－(γ^μ)_ραを満たす性質を 

持っています。
 

 (γ⁰)^Ｔ＝γ⁰.(γ²)^Ｔ＝γ²を満たす参考テキストの表示では, 

Ｃ＝iγ²γ⁰と選択すればＣγ^μＣ^-1＝－(γ^μ)^Ｔが満たされ, 

このとき,Ｃ＝iγ²γ⁰＝－Ｃ^-1＝－Ｃ^＋＝－Ｃ^Ｔです。
 

場理論では.量子力学での波動関数の荷電共役: 

ψ(ｘ)→ Ｃψ~(ｘ)^Ｔに相当する場のユニタリ変換をさせる 

演算子:Ｃを求めます。
 

すなわち, 

Ｃψ_α(ｘ)Ｃ^-1＝Ｃ_αβψ~_β(ｘ)＝(Ｃγ⁰) _αβψ^＋_β(ｘ)なる 

ユニタリ変換です。 

このとき,Ｃψ~_α(ｘ)Ｃ^-1＝－ψ_β(ｘ)(Ｃ^-1)_βαとなります。
 

(※つまり,Ｃψ(ｘ)Ｃ^-1＝Ｃψ~^Ｔ(ｘ)),Ｃψ~(ｘ)Ｃ^-1 

＝－{ψ(ｘ)Ｃ^-1}^Ｔです。)
 

※(注14-2):Ｃψ~_α(ｘ)Ｃ^-1＝－ψ_β(ｘ)(Ｃ^-1)_βαから 

ψ~_α(ｘ)＝ －{Ｃ^＋ψ_β(ｘ)Ｃ }(Ｃ^-1)_βαを得ます。
 

故に,ψ~_α(ｘ)Ｃ_αλ＝－{Ｃ^＋ψ_β(ｘ)Ｃ }δ_βλ 

＝－Ｃ^＋ψ_λ(ｘ)Ｃ　です。
 

そこで, Ｃ＝iγ²γ⁰＝－Ｃ^Ｔ によって, 

Ｃ_βαψ~_α(ｘ)＝Ｃ^＋ψ_β(ｘ)Ｃ  or Ｃψ~^Ｔ＝Ｃ^＋ψＣ 

同様に, 

－ψ_β(ｘ)(Ｃ^-1)_βα＝Ｃ^＋ψ~_α(ｘ)Ｃ or ψ^ＴＣ^-1＝－Ｃ^＋ψ~Ｃ
 

したがって,Ｃψ_α(ｘ)Ｃ^-1＝Ｃ_αβψ~_β(ｘ)は,行列要素 

として,＜α|Ｃ^＋ψＣ|β＞＝Ｃ＜α|ψ~^Ｔ|β＞を意味する 

ため,Mechanicsのψ(ｘ)→ Ｃψ~(ｘ)^Ｔに同等なので,Ｃは 

荷電共役変換のユニタリ演算子として無矛盾です。
 

(注14-2終わり※)
 

Ｃの変換の下でDirac方程式だけでなく同時刻の正準反交換関係 

も不変なることは容易に示され,Ｌ(ｘ)＝：ψ~(ｘ)(i∂－ｍ)ψ(ｘ) 

は,作用積分では消える非本質的な発散項だけ変化するのみです。
 

※(注14-3);反交換関係については.Ｃがユニタリなので変換で不変な 

ことは自明です。また,ＣＬ(ｘ)Ｃ^-1－Ｌ(ｘ) 

＝：Ｃ{ψ~(ｘ)(i∂－ｍ)|ψ(ｘ)}Ｃ^-1：－：ψ~(ｘ)(i∂－ｍ)ψ(ｘ) 

＝－：ψ_β(ｘ)(Ｃ^-1)_βα(iγ^μ_αβ∂_μ－ｍ)Ｃ_αλψ~_λ(ｘ)： 

－：ψ~(ｘ)(iγ^μ∂_μ－ｍ)ψ(ｘ)：です。
 

これから,結局, 

ＣＬ(ｘ)Ｃ^-1－Ｌ(ｘ)＝iγ^μ_αβ∂_μ：ψ~_α(ｘ)ψ_β(ｘ)： 

が得られ,∫ｄ⁴ｘ{ＣＬ(ｘ)Ｃ^-1－Ｌ(ｘ)}＝0 です。
 

(注14-3終わり※)
 

次に,ψ~(ｘ)γ^μψ(ｘ)にＣを作用させます。 

Ｃψ~(ｘ)γ^μψ(ｘ)Ｃ^-1＝－ψ_β(ｘ)(Ｃ^-1)_βαγ^μ_αβＣ_αλψ~_λ(ｘ) 

＝―ψ~_α(ｘ)γ^μ_αβψ_β(ｘ)＝－ψ~(ｘ)γ^μψ(ｘ)　です。
 

ここで,単純にψ~(ｘ)γ^μψ(ｘ)をカレント:ｊ^μ(ｘ)であるとすると 

真空期待値が無限大になる零点振動の困難が生じるため正規順序を 

取るのと同等な意味で.ｊ^μ(ｘ)＝(1/2)[ψ~(ｘ),γ^μψ(ｘ)] 

＝(1/2)[ψ~(ｘ)γ^μψ(ｘ)－{γ^μψ(ｘ)}_αβψ~_β(ｘ)] 

と定義します。
 

これについても明らかに,Ｃｊ^μ(ｘ)Ｃ^-1＝－ｊ^μ(ｘ)が得られ, 

荷電共役に対して電磁カレントが奇(－)であることがわかります。
 

さらに真空:|0＞が縮退していないなら,それはＣの偶(＋)な固有状態 

であり＜0|ｊ^μ(ｘ)|0＞＝－＜0|ｊ^μ(ｘ)|0＞より＜0|ｊ^μ(ｘ)|0＞＝0 

を得ます。
 

Dirac場についてＣを具体的に作るため,運動量空間に移行して 

「空孔理論」で論じた電子-陽電子スピノルの性質を用います。
 

(Ｃγ⁰)_αβｕ^＋_β(ｐ,ｓ)＝ｖ_α(ｐ,ｓ)exp{iφ(ｐ,ｓ)}, 

(Ｃγ⁰)_αβｖ^＋_β(ｐ,ｓ)＝ｕ_α(ｐ,ｓ)exp{iφ(ｐ,ｓ)}　です。
 

一方,場の運動量空間での展開は, 

ψ_α(ｘ)＝Σ_±s∫ｄ³ｐ(ｍ/Ｅ_p)^1/2{ｂ^(ｐ,ｓ)ｕ_α(ｐ,ｓ)exp(－iｐｘ) 

＋ｄ^^＋(ｐ,ｓ)ｖ_α(ｐ,ｓ)exp(iｐｘ)}, 

ψ~_α(ｘ)＝Σ_±s∫ｄ³ｐ(ｍ/Ｅ_p)^1/2{ｂ^^＋(ｐ,ｓ)ｕ~_α(ｐ,ｓ)exp(iｐｘ) 

＋ｄ^(ｐ,ｓ)ｖ~_α(ｐ,ｓ)exp(－iｐｘ)}　です。
 

これらとＣψ_α(ｘ)Ｃ^-1＝Ｃ_αβψ~_β(ｘ), 

Ｃψ~_α(ｘ)Ｃ^-1＝－ψ_β(ｘ)(Ｃ^-1)_βαから, 

Ｃｂ^(ｐ,ｓ)Ｃ^-1＝ｄ^(ｐ,ｓ)exp{iφ(ｐ,ｓ)} 

Ｃｄ^^＋(ｐ,ｓ)Ｃ^-1＝ｂ^^＋(ｐ,ｓ)exp{iφ(ｐ,ｓ)}を得ます。
 

このことは荷電共役変換が定義に一致して粒子と反粒子の相互交換 

を引き起こすことを示しています。
 

ここで,Ｃを陽に表わすために前と同様な道筋に従います。 

まず,Ｃを２つのユニタリ変換の積に分解します。 

すなわち,Ｃ＝Ｃ₂Ｃ₁です。
 

そして,Ｃ₁は位相因子:φを除くように選びます。 

つまり, 

Ｃ₁ｂ^(ｐ,ｓ)Ｃ₁^-1＝exp{iφ(ｐ,ｓ)}ｂ^(ｐ,ｓ), 

Ｃ₁ｄ^^＋(ｐ,ｓ)Ｃ₁^-1＝exp{iφ(ｐ,ｓ)}ｄ^^＋(ｐ,ｓ), および, 

Ｃ₂ｂ^(ｐ,ｓ)Ｃ₂^-1＝ｄ^(ｐ,ｓ), 

Ｃ₂ｄ^^＋(ｐ,ｓ)Ｃ₂^-1＝ｂ^^＋(ｐ,ｓ)　です。
 

Ｃ₁＝exp(iＣ₁^)とし,Ｃ₁^|0＞＝0となる正規順序で, 

[Ｃ₁^,ｂ^(ｐ,ｓ)]＝φ(ｐ,ｓ)}ｂ^(ｐ,ｓ)  

[Ｃ₁^,ｄ^^＋(ｐ,ｓ)]＝φ(ｐ,ｓ)}ｄ^^＋(ｐ,ｓ)を満たすものを 

つくると,Ｃ₁^＝－∫ｄ³ｐΣ_±ｓφ(ｐ,ｓ) 

×{ｂ^^＋(ｐ,ｓ)ｂ^(ｐ,ｓ)－ｄ^^＋(ｐ,ｓ)ｄ~(ｐ,ｓ)} です。
 

結局,Ｃ₁＝exp[－i∫ｄ³ｐ(Σ_±ｓφ(ｐ,ｓ) 

×{ｂ^^＋(ｐ,ｓ)ｂ^(ｐ,ｓ)－ｄ^^＋(ｐ,ｓ)ｄ~(ｐ,ｓ)})です。
 

一方,Ｃ₂＝exp(iＣ₂^)とおけば, 

[Ｃ₂^,ｂ^(ｐ,ｓ)]＝(π/2){ｂ^(ｐ,ｓ)－ｄ^(ｐ,ｓ)}, 

[Ｃ₂^,ｄ^^＋(ｐ,ｓ)]＝(π/2){ｄ^^＋(ｐ,ｓ)－ｂ^^＋(ｐ,ｓ)}から, 

Ｃ₂^＝exp[iπ/2∫ｄ³ｐΣ_±ｓ{ｄ^^＋(ｐ,ｓ)－ｂ^^＋(ｐ,ｓ)} 

{ｂ^(ｐ,ｓ)－ｄ^(ｐ,ｓ)}]を得ます。
 

こうして,Ｃ＝Ｃ₂Ｃ₁の陽な形が得られました。
 

Ｃが運動の恒量でないケースには,これまでと同じく.ｔ＝0で 

同じ形の自由場のＣ＝Ｃ₀をつくり,一般のｔの荷電共役演算子 

としては,Ｃ(ｔ)＝exp(iＨ^ｔ)Ｃ₀exp(－iＨ^ｔ)によって. 

Ｃ＝Ｃ(ｔ)を作ります。
 

さて,Ｃ変換がLagrangian密度:Ｌの中に現われる全ての粒子場 

に対して同時的に適用されるとき強い相互作用のLagrangian模型 

に従うπ中間子-核子相互作用をＬの中に導入しても荷電共役不変性 

を壊すことはありません。 

また,電磁相互作用に対してもこの不変性は保持されます。
 

選択則の予言に荷電共役を適用するという興味深い例といて 

ポジトロニウムの崩壊を考えます。中性Ｋ中間子:Ｋ0に対して 

用いたのと同じ方法で偶または奇のＣのポジトロニウム固有状態 

をつくることができます。
 

ポジトロニウム状態をつくるために,まず,真空から自由な電子-陽電子 

対をつくり,それから異なるスピン-運動量を持つ状態を重ね合わせて, 

与えられた角運動量を持つ初期ポジトロニウム状態を表現します。
 

すなわち,Ψ_ｅ＋ｅ－＝∫ｄ³ｐｄ³ｐ'Σ_ｓ,ｓ'Ｆ(ｐ,ｓ;ｐ',ｓ') 

ｂ^^＋(ｐ,ｓ)ｄ^^＋(ｐ',ｓ')|0＞　とします。
 

これは電磁相互作用が存在するときには正しい状態ではないですが, 

電磁相互作用のＣの下での不変性から,真の状態と同じ対称性の性質 

を持つはずです。
 

そこでＣの下で偶の状態に相応するようにするには,どのような 

振幅:Ｆ(ｐ,ｓ;ｐ',ｓ')をとればよいか？ということを考える必要 

があるだけです。
 

そうした偶のポジトロニウム状態は2つの光子に崩壊することが 

観測されています。 

そして,奇の状態に対応するものは3つの光子に崩壊しますが, 

こうした状態をつくるために,上記のΨ_ｅ＋ｅ－にＣを適用すると, 

ｂ^^＋とｄ^^＋の反交換代数により, 

ＣΨ_ｅ＋ｅ－＝∫ｄ³ｐｄ³ｐ'Σ_ｓ,ｓ'Ｆ(ｐ,ｓ;ｐ',ｓ') 

ｄ^^＋(ｐ,ｓ)ｂ^^＋(ｐ',ｓ')|0＞ 

＝－∫ｄ³ｐｄ³ｐ'Σ_ｓ,ｓ'Ｆ(ｐ',ｓ';ｐ,ｓ) 

ｂ^^＋(ｐ,ｓ)ｄ^^＋(ｐ',ｓ')|0＞　です。
 

ここで,本質的でない位相:φ(ｐ,ｓ)はomitしました。
 

明らかに,電子と陽電子の交換に対して偶な状態. 

つまり.Ｆ(ｐ,ｓ;ｐ',ｓ’)＝Ｆ(ｐ',ｓ';ｐ,ｓ)に対しては, 

Ψ_ｅ＋ｅ－はＣの下で奇であり,他方, 

Ｆ(ｐ,ｓ;ｐ',ｓ')＝－Ｆ(ｐ',ｓ';ｐ,ｓ)に対しては, 

Ψ_ｅ＋ｅ－はＣの下で偶です。
 

このことから,ポジトロニウムの³Ｓ₁の3重項状態は3つの光子を 

放出して,崩壊し,³¹Ｓ₀の1重項状態は2つの光子に崩壊することが 

わかります。
 

Fermionの対に反して,Bose粒子と反Bose粒子の交換対称状態は, 

Ｃの下でも偶ですが,これは反交換関係に由来する(－)符号が 

ないからです。
 

一般的規則として粒子-反粒子対の荷電共役の下での固有値は, 

そうした粒子対が2つの同等な粒子に対して許されている状態 

にあるなら＋1です。,さもなければ逆です。
 

さて,短いですがここで荷電共役については終わりなので 

今回はここで終わります。 

次回は,Time-riversal(時間反転)に移る予定です。
 

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell  

“Relativistic　Quantum Fields”(McGrawHill)