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2017年10月

2017年10月31日 (火)

場の量子論第Ⅱ部(17)(時間反転3)

   Happy ハロウィン!!

 場の量子論第Ⅱ部,時間反転の続きです。

1粒子量子力学理論に脱線しましたが,改めて場の理論における 

Dirac粒子の時間反転の論議に戻ります。.
 

Dirac場については,時間反転の演算子:として次のような形 

のものを求めます。 

すなわち,ある正則行列:T=(αβ)について, 

ψα(,)-1=Tαβψβ(,-t),or  

ψ(,)-1=Tψ(,-t) と書けるとします。
 

この変換:.時間反転不変性を満たすためには, 

条件:TL(,)-1(,-t). 

および.μ(,)-1=jμ(,-t)が満足され, 

反交換関係:{ψα(,),ψ~β(,)}=δ3()δαβ, 

および,{ψα(,),ψβ(,)}0, 

{ψ~α(,),ψ~β(,)}0 を不変に保つ 

必要があります。
 

ここで,前記事の1粒子量子力学(空孔理論)の時間反転変換として, 

見出された行列:Tが,上記のψ(,)-1=Tψ(,-t) 

を与えるTと同じであれば.上の時間反転不変の条件が全て満足 

されることが,容易に証明できます。
 

すなわち,1粒子と同じく,T=iγ1γ3とします。 

このとき,Tγμ-1(γμ)(γμ)であり, 

T=T=T-1=-T* です。
 

そして,ψα(,)-1=Tαβψβ(,-t)より. 

T=KUとして,から複素共役(Hermite共役): 

を分離すれば,ψα(,)-1=Tαβψβ(,-t) 

です。
 

故に,ψα(,)-1=Tαβψβ(,-t) 

ψα(,)-1=Tαβψβ(,-t) 

ψα(,)γ0αλ-1=Tαβψβ(,-t)γ0αλ 

ψ~λ(,)-1=ψβ(,-t)αβγ0αλ 

=ψσ(,-t)γ0σβαβγ0αλ です。
 

T=iγ1γ3 とすれば, 

=-iγ1γ3(T‘)=Tなので,αβ=Tβα 

そこでγ0σβαβγ0αλ=γ0σββαγ0αλ=Tσλ 

γ0(iγ1γ3)γ0iγ1γ3より,結局, 

γ0σβαβγ0αλ=Tσλ です。
 

したがって,ψ~λ(,)-1=ψσ(,-t)σλ 

ψ~λ(,)-1=ψ(,-t)T=ψ(,-t)-1 

を得ます。
 

そこで,自由Dirac場のLagrangian: 

(,t=ψ~(,)(iγμμ-m)ψ(,) 

=ψ~(,)(iγ00iγ-m)ψ(,)に対して, 

TL(,)-1 

=ψ~(,-t)-1(iγ00iγ-m)Tψ(,-t) 

=ψ~(,-t)(iγ00iγ-m)ψ(,-t) 

=ψ~(,t')(iγμ∂'μ-m)ψ(,t') 

(,t’)(,-t) が成立します。
 

また,電磁カレントは正規順序で, 

μ(.)=:ψ~(.)γμψ(.):で定義されます。 

これは,詳しくは, 

μ(.)=ψ~(.)γμψ(.)-<0|ψ~γμψ|0>: 

=ψ(.)γ0γμψ(.)-<0|ψ~γμψ|0> です。
 

そこで,μ(,)-1 

{Tψ(,-t)}Tγ0γμ-1Tψ(.-t) 

-<0|ψ~γμψ|0t=-t 

=ψ(,-t)-1(γ0γμ)* Tψ(.-t) 

-<0|ψ~γμψ|0t=-t 

=ψ~(.-t)γμψ(.-t)-<0|ψ~γμψ|0t=-t 

=jμ(.-t) です。
 

よって,μ(,)-1=jμ(,-t)の成立 

も示されました。
 

同時刻の正準反交換関係の保存も示せますが,

簡単なので証明は省略します。
 

しかし,この変換の性質は1粒子理論と同じではありません。
 

1粒子理論では,スピノル波動関数の複素共役を取れ,という 

指令の下で,ψ(,) → Tψ(,-t) としたのでした。
 

しかし,場理論では,場の演算子に対する類似の変換: 

ψ(,) → Tψ(,-t)は受け容れることができません。 

何故なら,これは例えば静止した1電子状態を1陽電子状態に 

変換してしまうからです。 

(※例えばb^(,)|0> → d^(,)|0)
 

の陽な形を得るために,運動量空間に移ります。

Dirac電子場のFourier展開は, 

ψ(,)=∫d3(/p)1/2 

Σ±s{^(,)(,)exp(ipt+ipx) 

+d^(,)(,)exp(ipt-ipx)}です。
 

これに時間反転;KUの変換を適用するとき, 

ψ(,)-1=Tψ(,-t)という式は,
 

ψ(,)-1=∫d3(/p)1/2 

Σ±s{^(,)-1(,)exp(ipt-ipx) 

^(,)-1(,)exp(ipt+ipx)}
 

=∫d3(/p)1/2 

Σ±s{^(,)Tu(,)exp(ipt-ipx) 

+d^(,)Tv(,)exp(ipt+ipx)} 

なることを意味します。
 

ところが1粒子理論での時間反転の議論から 

次式が導かれます。 

Tu(,)=u(,-s)exp{iα(,)}, 

Tv(,)=v(,-s)exp{iα(,)}, です。 

ただし,α(,),α(,)はスピン状態に依存する 

位相因子です。
 

(17-1):前記事からの引用:します。 

1粒子波動関数ψ(,t)に操作:を適用するとき 

=-tでψ(,)= ψ'(,t')=Tψ(,t'), 

となり,T=iγ1γ3ですから,
 

{(+m)/(2)}{(1+γ5)/2}ψ(,t) 

=T{(+m)/(2)}-1{(1+γ5)/2}-1ψ'(,t') 

{('+m)/(2)}{(1+γ5')/2}ψ'(,t') です。 

ただし,p'=(0,),s'=(0,)です。
 

それ故,(,){(+m)/(2)}{(1+γ5)/2}(,) 

を満たすu(,)に対して, 

(,)=Tu(,) 

=T{(+m)/(2)}-1{(1+γ5)/2}-1(,) 

{('+m)/(2)}{(1+γ5')/2}(,) です。
 

そこでTu(,)=cu(―p,-)  

(,)=c(-p,)  

=-iγ1γ3 =-Tより, 

Tu(,)=-c(,),
 

同様に,Tv(,)=-d(,) 

||||1です。 (17-1終わり※)
 

これらに再びTを適用しT21を用いると, 

α±(,)=π+α±(,―s)(mod(2π)) 

であることがわかります。
 

(17-2):何故なら, 

(,)=Tu(,-s)exp{iα(,)} 

=-T(,-s)exp{iα(,)} 

=-u(,) exp{iα(,-s)+α(,)}  

(,)=Tv(,-s)exp{iα(,)} 

=-T(,-s)exp{iα(,)} 

=-v(,) exp{iα(,-s)+α(,)} 

です。 (注17-2終わり※)
 

したがって, 

^(,)-1=-b^(,-s)exp{iα(,)}, 

^(,)-1=-d^(,-s)exp{iα(,)} 

なら,ψ(,)-1=Tψ(,-t) が満足されます。
 

,これを2つのユニタリ変換の積に分割する方法で最も 

容易に見出されます。すなわち,21とします。
 

1は位相因子を除去するための変換です。 

1^(,)11exp{iα(,)}^(,), 

1^(,)11exp{iα(,)}^(,)
 

これは,明らかに, 

1exp[i∫d3Σ±s{α(,)^(,)^(,) 

-α(,)^(,)^(,)}] 

とすれば満たされます。
 

一方,2,2^(,)21= -b^(,―s), 

2^(,)21= -d^(,―s)  

を満たすユニタリ変換です。
 

これは,前にパリティ演算子:をつくったのと同じ方法で, 

2exp[i(π/2)∫d3Σ±s 

{^(,)^(,)+b^(,)^(,) 

-d^(,)^(,)-d^(,)^(,)}]  

と書けることがわかります。
 

さて,こうして作った21, 

^(,)-1=-b^(,-s)exp{iα(,)}, 

^(,)-1=-d^(,-s)exp{iα(,)} 

を満たしますが,そこでエネルギーEp(2+m2)1/2.運動量, 

スピンを持つ1自由電子の時間反転状態は,同じ正エネルギーを 

持つことを除けば,運動量もスピンも逆向きのEp.,, 

1自由電子状態になります。
 

これは,波動関数による表現では, 

ψp..(,)=<0|ψ(,)|1電子状態;, 

=<0|ψ(,)|1電子状態;, 

=<0|UKψ(,)|1電子状態;, 

=<0|ψ(,)-1|( 1電子状態;,) 

=-exp{iα(.)} 

0|ψ(.-t)| 1電子状態;-, 

exp{iα(.)}Tψp.-.-(,-t)  です。
 

これは,1粒子理論におけるように,時間反転の波動関数 

が互いに複素共役の関係になることを示しています。
 

自由場でなく,相互作用する場のケースでは,既に作った演算子 

を借りてきます。もっとも,t=0における場の演算子は展開 

のみを得るわけですが,交換関係は自由場と変わりませんから, 

その形の自由場で見出せるあらゆる形式を保持して0を作る 

ことができます。
 

0ψα(,0)0-1=Tαβψβ(,0) 

 0φ(,0)0-1=±φ(,0) 

 0φd(,0)0-1=-{±φd(,0)} 

0(,0)0-1=-(,0) 

0d(,0)0-1d (,0)} 

 (※ただし,φd=∂0φ=∂φ/∂t,d=∂0=∂/∂t 

です。)
 

0はa^,,^.^.をt=0で評価される以下に列挙した 

展開式の展開係数で置き換えて作られたのと同じ形とします。
 

ψ(,0)=∫d3(/p)1/2Σ±s 

{^(,)~(,) exp(ipx) 

+d^(,)(,)exp(ipx)}
 

ψ(,0)=∫d3(/p)1/2Σ±s 

{^(,)~(,)γ0 exp(ipx) 

+d^(,)~(,)γ0 exp(ipx)}.
 

(,0)=∫d3(2π)-3/2(2ω)-1/2Σλ=12ε(,λ) 

{^(,λ) exp(ikx)+a^(,λ)exp(ikx)}
 

d(,0)(i)∫d3(2π)-3/2(2ω)-1/2ωΣλ=12ε(,λ) 

{^(,λ) exp(ikx)-a^(,λ)exp(ikx)}
 

(※Ep(2+m2)1/2,ω||) です。
 

また,φ(,0)

=∫d3{^()(,0)+a^()k(,0)} 

φd(,0)

(i)∫d3ω{^()(,0)

-a^()k(,0)} 

k(,0)(2π)-3/2(2ω)-1/2exp(i), 

k(,0)(2π)-3/2(2ω)-1/2exp(i),

ω(2+μ2)1/2 
 

そして,任意の時刻tにおけるを形成するため,  

exp(iHt)0 exp(iHt)と書けば,  

例えばψα(,0)-1  

exp(iHt)0ψα(,0)0-1 exp(iHt)  

=Tαβexp(iHt)ψβ(,0)exp(iHt)  

=Tαβψβ(,-t)であり,これは求めるスピノルの  

時間反転変換を意味します。
 

このように作られた, 

条件:TL(,)-1(,-t).  

および.μ(,)-1=jμ(,-t)を満たし, 

[,]0 のケースには理論の対象操作であり0 

に単純化されます。
 

これで時間反転の項目は終わりなので今日はここまでです。
 

次回は次節の「TCP定理」を論じる予定です。 

β崩壊のような弱い相互作用ではやCの破れが見られます 

,TCPという対称性は,相互作用形のより弱い仮定の下 

で成立するということが,定理として存在しています。
 

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell 

“Relativistic Quantum Fields” (McGrawHill)

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2017年10月28日 (土)

場の量子論第Ⅱ部(16)(時間反転2)

 まずはハロウィンも近いし 元気だしていこう。。。

オギノメチャンもアラキ師匠もビックリ!!

 

 

 さて,場の量子論第Ⅱ部,時間反転の続きです。
 

自由なHermiteスカラー場(実スカラー場):φに対しては, 

TL(,)-1(,-t). 

および.μ(,)-1=jμ(,-t)を満足するという 

時間反転:Tの規準は次のようなの選択で満たされます。 

すなわち.φ(,)-1=±φ(,-t) です。
 

(16-1):(,)(1/2)(μφ∂μφ-m2φ2)より, 

φ(,)-1=±φ(,-t)なら, 

TL(,)-1 

(1/2)[{-∂0φ(,-t)}{0φ(,-t)} 

{∇φ(,-t)}2-m2φφ(,-t)2](,-t)
 

また,電磁カレントはjμ0 なので  

μ(,)-1=jμ(,-t)の成立は自明です。
 

φが実スカラー場でなく,荷電スカラー場(複素場)なら, 

(,)=:∂μφμφ-m2φφ:であり, 

μ(,)i{φμφ-(μφ)φ} です。
 

そこで,φ(,)-1=±φ(,-t)なら, 

複号同順でφ(,)-1=±φ(,-t)でもあり, 

確かに,TL(,)-1(,-t)が満足されます。
 

また,が反ユニタリで複素共役操作を含むため,. 

0(,)-1=j0(,-t),および, 

k(,)-1=-jk(,-t)が成立し 

μ(,)-1=jμ(,-t)も満たされます。 

(16-1終わり※)
 

π中間子場を3つの実成分から成る φ[φ1,φ2,φ3]で表わす 

,π中間子場は, 

φ(,)(1/2){φ1(,)iφ2(,)}, 

π中間子場は, 

φ*(,)(1/2){φ1(,)iφ2(,)} 

ですから,π0中間子:φ3について 

φ3(,)-1=±φ3(,-t)のとき,荷電πについても 

複号同順で,φ(,)-1=±φ(,-t),かつ, 

φ(,)-1=±φ(,-t)となるためには, 

φ1(,)-1=±φ(,-t),および, 

φ2(,)-1=-{±φ2(,-t)}となる必要が 

あります。
 

そこで,電磁場の時間反転:KUについて, 

^(,1)-1=a^(,1),^(,2)-1=-a^(,2) 

から,exp[(iπ/2)∫d3 

{^(,1)^(,1)-a^(,1)^(,1) 

+a^(,2)^(,2)+a^(,2)^(,2)}] 

を得たのと同様にして,
 

π中間子場でも,KUとして, 

exp[(±iπ/2)∫d3 

{1^()1^()-a1^()1^() 

+a2^()2^()+a2^()2^() 

+a3^()3^()+a3^()3^()}] 

を得ることがわかります。
 

次に,Dirac粒子場の論議に入ろうと思います。
 

しかし,ここでまず,以前の1粒子量子力学(Mechanics)の第5 

の空孔理論における時間反転の話を参照しようとしましたが,
 

本ブログでは, 

5章の§5.2荷電共役変換(Charge conjugation)について, 

201112/20の過去記事:Diracの空孔理論(2)(荷電共役) 

で紹介したのを最後に空孔理論の記事は中途半端に終わって 

いて,時間反転の項目については言及せずじまいでした。
 

そこで,取りあえず続きの§5.3真空偏極(Vacuum Polalization) 

から.一旦,1粒子空孔理論のおさらいに脱線しようと思います。
 

Diracの空孔理論(3
 

§5.3真空偏極(Vacuum Polalization) 

空孔理論は,負エネルギーの困難を除いた一方で,克服さるべき, 

新しい障害と,実験によって証明さるべき,新しい物理学の予言 

に至る道へと導きました。
 

例えば,電子の電荷の定義や,2つの電荷間の相互作用による真空の 

影響を考えます。正エネルギー電子は「負エネルギーの海」 

の電子たちから,静電的反発を受けます。
 

このため正エネルギー電子は近傍の真空を偏極させ,電子の実質的 

電荷密度は,素朴なそれ:ρ0()に偏極による分極電荷密度ρp() 

(真空に相対的に観測される量)をプラスしたものになります。
 

これらは次の図5.3に示すような空間分布をしています。
 

マクロな場,または遠方のテスト電荷が検知する電子の電荷は, 

∫d3{ρ0()+ρp()}=e です。 

このeが電子の謂わゆる"物理的電荷(physical charge)"です。
 

しかし,距離:r<Rでのテスト電荷に対しては,見かけ電荷は, 

r<R3{ρ0()+ρp()}であり,これはeより負となり, 

R → 0の極限では∫d3ρ0()=e0 

つまり,電子の"裸の電荷(bare charge)"に等しいです。 

間違いやすいですが,0,<eであり,|0|>||です。
 

この事実は,実際に水素原子のスペクトルでも観測されます。
 

この効果で電子の軌道角運動量l=0 のs準位はl≠0 の準位 

に比べて多く引き下げられます。 

何故なら,l=0 の波動関数は,マイナス電荷の値が大きくなる 

ため,相対的に陽子(水素原子核)に引き寄せられるからです。
 

この真空偏極の効果の具体的な評価計算は,テキストの第8章, 

(ブログ記事では「量子電磁力学の輻射補正」)でなされますが, 

Lamb-shift,わずかに減じる効果になることがわかります。
 

そこでは,また,孤立電子の"裸の電荷"の値と遠方での観測値 

がどのように結び付くのか?という問題を取り上げています。
 

もう1つの疑問は空孔理論そのものから生じるものです。 

空孔理論は,DiracによるDirac-seaの仮説によるものですが 

「真空の海の無限大の負電荷とは,一体何を意味するのか?」 

という疑問があります。
 

今のところは,この疑問の解釈は回避して,その仮説に基づく 

分布から,電子場が示す特別な方向は存在しないことに着目 

します。この分布には真空偏極による不均等性のみが観測 

されます。
 

§5.4時間反転とその他の対称性 

(TimeRiversal and Other Symmetrries)
 

さて,パリティ(空間反転)と時間反転に移ります。 

これは理論の連続Lorentz変換(proper transformation) 

論議に含まれない対称性操作)(Improper symmetry)です。
 

相互作用のゲージ不変性という追加対称性の存在は電磁場 

との極小相互作用変換の形:μ-eAμから明らかです。
 

パリティ変換については,既に,Pψ(,)=ψ’(,) 

exp(iφ)γ0ψ(,)としたとき,ψ’(,)が容易に 

空間反転された波動関数と解釈されることを見ました。
 

平面波解のパリティ変換は運動量を逆向きに変えます。 

しかし,古典的に期待されるように,スピンは変えません。
 

鏡映は単に鏡面に垂直な座標のみ逆にしますが,これは空間 

反転の後に垂直軸のまわりに180度回転すると得られ,回転 

は連続Lorentz変換にふくまれますから不連続変換としては 

パリテイと同じ対称性と見なされます。
 

次に時間反転に移ります。
 

粒子運動の物理的内容は,その波動関数ψ()で記述される 

状態の上での観測結果の集合の記録に用いられる運動像の 

フィルムによって描写されると考えられます。
 

このフィルムを逆向きに走らせる動画が物理的に実現可能な 

観測現象を記述しているなら,時間反転の下で不変といえます。
 

この時間反転対称性の解釈は,時刻tをt'=-tに変えたとき, 

同一の法則を持ったDirac方程式の形を再生できる変換が実行 

可能なら,理論の不変性が保証されると考えられます。
 

この望ましい時間反転変換を作るため,電磁場;μ() 

存在する場合,電荷がe0で質量がmの電子のDirac方程式  

(i-e-m)ψ()0,Hamiltonianを含む形の 

Schroedinger型方程式で表現します。
 

これは,i∂ψ(,)/∂t=Hψ 

{α(i∇-e)+βm+eΦ}ψ(,) 

と書けます。
't'=-tとする時間反転で状態を変換する演算子 

と書き,引数を省略して,スピノル波動関数が. 

ψ() → ψ'(t')ψ()と変換されるとすれば,
 

これを i∂ψ/∂t=Hψに,ψ=-1ψ'(t=-t') 

代入して, 

(i-1)∂ψ'(t')/∂t'=--1ψ'(t') 

が得られます。
 

そこで,時間反転で方程式の形が不変であるためには 

()-1=-H(t'),i-1=-i,どちらか1 

が成立する必要があります。
 

t'=-tの下でのHの挙動を調べるため,スピノル:ψと相互 

作用する電磁場Aμの時間反転:t'=-tに対する挙動を見る必要 

があります。一般に時間の向きが逆転すると,電磁カレントが符号 

を変えるため,電磁ベクトルポテンシャルの変換は, 

(,) '(,t')=-A(,t') となることが 

要求されます。
 

一方,スカラーポテンシャルは,電荷によって生成されるので, 

Φ(,) → Φ'(,t')=Φ(,) です。
 

以上から,t'=-tの下での電磁場の変換は, 

μ(,) → A'μ(,t')=Aμ(,t')です。
 

これらは引数を省略すると,() → A'(t')=-()  

Φ() → Φ'(t')=Φ() と書けます。
 

ψ() →ψ'(t')ψ()なる変換は,正則行列:Tに 

よる,ψ'(t')=Tψ(),or ψ'α(t')=Tαβψβ()  

なる変換に同値であるとします。
 

そうして,まず,基本方程式: 

i∂ψ/∂t=Hψ={α(i∇-e)+βm+eΦ}ψ 

の複素共役を取ると, 

i∂ψ/∂t=Hψ{α(i∇-e)+βm+eΦ}ψ 

です。
 

これに,左からTを掛けてt'=-t,ψ'(t')=Tψ() 

を用いれば,i∂ψ'(t')/∂t'=(THT-1)ψ'(t') 

{(-Tα-1)(i∇-e)+Tβ-1m+eΦ}ψ'(t') 

を得ます。
 

それ故,方程式の形が不変なら.TH()-1­=H(t'),および, 

-Tα-1α, Tβ-1=β となることが必要です。
 

まず,テキストの表示では,β=γ0でβ=βですから,Tが 

どんな正則行列でもTβ-1=βは自動的に成立します。
 

そして.T=-iα1α3iγ1γ3なら,-Tα-1α,も成立 

します。
 

そういう意味で,この複素共役を取って正則行列:Tを掛ける 

という操作:()-1=H(t'),かつ,i-1=-i 

満たす演算子に対応しています。
 

変換:が古典的な時間反転を意味するものに対応することを 

見るために,t'=-t,ψ'(t')=Tψ().および, 

T=-iα1α3iγ1γ3を正エネルギー粒子の平面波解に適用 

してみます。
 

運動量が,スピンがの平面波成分は.一般解:ψ(,) 

射影演算子:(+m)/(2),(1+γ5)/2を掛けると 

得られます。
 

そして,実際に,T=iγ1γ3として操作:を適用すると, 

{(+m)/(2)}{(1+γ5)/2}ψ(,) 

=T{(+m)/(2)}-1{(1+γ5)/2}-1ψ'(,t') 

{('+m)/(2)}{(1+γ5s')/2} を得ます。
 

ただし,p'=(0,),s'=(0,)です。
 

このことから,運動量が,スピンがの自由粒子解は時間反転 

では,空間成分ベクトル,が逆向きに移されることになります。
 

この操作はWignerの時間反転として知られ,1932年に初めて 

導入されました。
 

空間座標,および,時間座標の逆転:および,は理論を不変 

にする操作なので,望むなら陽電子の波動関数を作るのにも, 

それらの操作を含めた方がいい,と考えられます。
 

,,をまとめると, 

ψ(,t)=ψ'(,)exp(iφP)γ0ψ(,) 

ψ(,t)=ψ'(,)=Cγ0ψ(,t)=Cψ~(,t) 

C=iγ2γ0,および, 

ψ(,t)=ψ'(,-t)=Tψ(,) 

T=iγ1γ3 です。
 

これらの性質から, 

ψPCT(,-t)PCTψ(,) 

Cγ0(Tψ(,))exp(iφ0)γ0Cγ0*ψ(,), 

ですが,C=iγ2γ0,=-T=-iγ1γ3より, 

結局,ψPCT(,-t)iexp(iφ0)γ5ψ(,)
 

こうして,PCT変換された波動関数は,因子:iexp(iφ0)γ5 

掛けられ,空間,時間の両方での後方(=空間逆向き,かつ,過去) 

に向かって動く電子波動関数に対応するという簡単な関係が 

見出されました。(PCT定理)
 

そこで,(-pμ,μ)で特徴付けられる負エメルギー自由電子 

の運動量・スピンの固有状態に対しては, 

ψPCT(-x) 

iexp(iφ0)γ5(+m)/(2)}{(1+γ5)/2}ψ() 

­(+m)/(2)}{(1-γ5)/2}ψPCT(-x)
 

これは単に,スピンsの向きが異なるのみで,陽電子波動関数 

,iexp(iφ0)γ5を掛けて時空の逆向きに動く電子の波動関数 

と見なすことができることを示しています。
 

電磁力が存在する場合の任意の電子に対しては,下のような 

負エネルギー固有値方程式にこのPCT変換を行うことで, 

陽にこの解釈を証明できます。
 

すなわち,負エネルギー電子の固有値方程式は: 

α(i∇-e)+βm+eΦ}ψ=-Eψ です。
 

空間反転,かつ,時間反転:x'μ=―xμの下では, 

A'μ(x')=Aμ()であり ∇'=-∇なので, 

α(i∇'-e')+βm+eΦ'}ψ=-Eψ です。
 

ψにPCT変換を行うとiexp(iφ0)γ5を掛ける操作だけ 

なので,α(i∇'+e')+βm-eΦ'}ψPCT(x') 

=+EψPCT(x') を得ます。
 

正エネルギー陽電子が負エネルギー電子が時空で逆向き 

に走るものとの解釈は,陽電子理論のStickekberg-Fenman 

描像の基礎です。
 

これは,次章の伝播関数の理論(Propagator Theory)で散乱理論 

を展開する際に,しばしば用いられる解釈です。 

そこでは,この考えが大きな利点をもたらすことがわかります。
 

結論として,電子の電磁場との相互作用の構造は,電子の 

量子電磁力学の古典的,非相対論的極限としての経験で示唆 

されていたことに注意する必要があります。ここで論じてきた 

対称性の存在は相互作用の形に依存しています。
 

例えば,陽子と中性子に対して論じられる第4章の非相対論近似 

で例示した型の相互作用は,Dirac方程式にσμνμνψの形の 

項を付け加えますが,この項が存在することは本章の対称性には 

何の影響も及ぼしません。
 

他のμ粒子,ニュートリノのようなスピンが1/2の粒子を他の 

よく知られた相互作用に拡張する際にも,こうしたTCP 

対称性が依然として存在すると仮定するのが,至極当然です。
 

しかし,こうした対称性が,現実に実験によって証明さるべき 

仮定であることを認識し,β崩壊のような相互作用が 

対称性を破ることを指摘した,LeeYangの偉大な貢献 

がありました。
 

しかし,操作:TCPの下での対称性は,連続Lorentz不変性 

および,通常のスピンと統計の関係という,はるかに弱い仮定 

によって保証されています。(Diracの空孔理論(3終わり※)
 

これでMechanicsの第5章は終わりなので, 

今日はここまでにします。
 

(参考文献): 

1.J.D.Bjorken S.D.Drell 

“Relativistic Quabtun Mechanics” (McGrawHill) 

2..J.D.Bjorken S.D.Drell 

“Relativistic Quantum Fields” (McGrawHill)

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2017年10月26日 (木)

訃報!!亀淵友香さん。遠藤賢司さん,篠沢教授

寒くなってきました。この時期になると訃報が相次いできます。

ゴスペル歌手の亀淵友香さんが肝細胞がんのため,22日に亡くなられました。

享年72歳でした。。

MATRYOUブログ  

「ゴスペル歌手」亀淵友香が死去1病名は肝臓細胞がん!

「亀淵友香」の画像検索結果

 兄もホリエモンの乗っ取り事件の当事者のニッポン放送社長で,,昔,私もラジオで深夜放送の,オールナイトニッポンでよく聞いていた「カメ・アンド・アンコー」のパーソナリティのカメさんこと亀淵昭信さんという有名人。

 体はボリュームたっぷりでしたが,歌声はソフトでした。

ご冥福を祈ります。合掌!!

「カレーライス」で有名な歌手(シンガーソングライター)の遠藤賢司さんが去る25日に胃ガン闘病の末に亡くなられたそうです。享年70歳でした。。

Yahooニュース

 遠藤賢司さnが死去.70歳カレーライスなどヒット曲

「遠藤賢司」の画像検索結果

 昔この歌「カレーライス」を初めて聞いた若いころは,なんだこのフザけた歌は?と意味がわかりませんでしたが,ときどきは聞いていました。

 ご冥福を祈ります。合掌!!

 仏文学者で,1980年代の昔,TV番組のクイズダービーで漫画家のはらたいらさんや女優の竹下恵子さんらと共にレギュラー出演していて,私もよく見ていた,篠沢教授こと,篠沢秀夫さんが,10年くらい前に筋萎縮症で倒れられ,苦しい闘病生活をされていたのは知っていましたが,去る10月26日未明にとうとう死去されたそうです。。享年84歳でした。

日刊スポーツ

 篠沢秀夫教授が死去 34歳 「クイズダーシー」で珍答!

「篠沢秀夫」の画像検索結果

ご冥福を祈ります。合掌!!

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2017年10月19日 (木)

場の量子論第Ⅱ部(15)(時間反転1)

 場の量子論第Ⅱ部の続きです。時間反転に入ります。
 

§15.13 Time Reversal(時間反転)
 

時間反転変換は時間の向きをtからt'=-tに変化させます。
 

1粒子のDirac理論において,この変換をつくったときには,それは 

tをt'=-tに変化させるだけでなく,波動関数の複素共役をとり 

γ2だけが純虚数行列であるような表示でT=iγ1γ3を掛けると, 

対称性変換になることを見出しました。
 

場の理論では物理状態を,時刻:t'=-tで逆向きに進んでいる 

動画フィルムを見るような状態に変換する1つの演算子: 

求めます。
 

密度に測定装置の系(外電磁場)との相互作用項を加えます。 

すなわち,-jμextμ() です。
 

量子条件:i[μ,φr()]=∂μφr()を見るとは1粒子の理論 

同様,線型演算子ではないことが明らかです。
 

何故なら,例えば,[,φr(,)]=-i∂φr(,)/∂tを考える 

とき,仮に作用を不変に保ちφr(,), 

rsφs(,)φr(,)-1に変換するユニタリ演算子: 

求められれば,[,φr(,)]=-i∂φr(,)/∂tの両辺に 

左から,右から-1を掛けることにより,  

[-1,φrs(,)]=-i∂φs(,)/∂tを得ます。
 

これから, 

[,φr(,)]=-i∂φr(,)/∂tを得るには-1, 

が-Hに変換される必要があります。
 

(15-1):時間反転変換に対し,任意の状態:{α>がユニタリ変換 

されて,{α>→|α> になると考えると, 

<α|φr(,)|β>=W-1rs<α|φ(,)|β>が 

古典論でのφ'r(,)=W-1rsφ(,)なる変換への 

対応原理を示していますが,これは, 

φr(,)-1=Wrsφ(,)と読めます。
 

そして,φr(,)=W-1rsφ(,)と同値です。
 

はユニタリ演算子としているので線型変換ですから, 

rsがtの関数でないなら,時間反転に対して, 

(i){∂φr(,)/∂t}-1(i)rs{∂φ(,)/∂t} 

irs{∂φ(,)/∂t'} です。(t'=-t’) 

これは,直接.対応原理から導くこともできます。
 

一方,<α|[,φr(,)]|β> 

(i)<α|{∂φr(,)/∂t}|β> より, 

<α|[,φr(,)|β> 

i<α|{∂φr(,)/∂t'}|β>
 

つまり,-1rs<α|[,φg(,)|β> 

i--1rs<α|{∂φs(,)/∂t'}|β>,
 

または,rs<α|[-1,φg(,)]|β> 

irs<α|{∂φs(,)/∂t'}|β> 

です。
 

ユニタリ変換であるなら,Wは正則行列なので,結局, 

[-1,φr(,)]i∂φr(,-t')/∂t' 

を得ます。
 

ところが,対応原理によれば,H=P0であって, 

がユニタリなLorentz変換に対応する演算子なら, 

μνを時間反転に対応するLorentz変換:μ →aμνν 

の係数として,-1,=a0ννと書けるはずです。
 

したがって,時間反転してt'=-tとするとき, 

[,φr(,)]=-i∂φr(,)/∂tなる理論が不変 

なら,-1=-H or =-Hが必要です。
 

(15-1終わり※)
 

しかし,変換の前後でHの固有状態の固有値は真空はゼロですが 

それ以外は正値でなければならないので,-1=-Hとなる 

ことは物理的基盤から考えて,受け容れることができません。
 

何故なら,|α>=|α>でが線型ユニタリなら,|α> 

=E|α>となるため,-1=-Hなら,-H|α>=E|α> 

ですが,これはE>0であれば矛盾し,不可能だからです。
 

こうした状況故に,Mechanicsの第5章におけると同じく 

時間反転変換:,非ユニタリとして「全てのc数について 

複素共役を取れ」という指令:にユニタリ:を掛けたもの 

として与えられると考えます。
 

すなわち,KU-1=H が成立すれば,  

[,φr(,)]=-i∂φr(,)/∂tはの下で不変です。
 

Lagrangian密度:-jμ()extμ()の言葉でいえば,次の 

ような性質を持ち,正準交換関係を不変に保つようなが存在すれば 

理論は時間反転不変です。

 すなわち,TL(,)-1(,-t). 

および.μ(,)-1=jμ(,-t)なる性質です。
 

よって,電磁カレントは逆向きになり,電荷は時間反転で不変です。
 

これは外場が時間反転でAextμ(,) → Aextμ(,-t)と変換 

されるので,古典論との対応から要求されることです。
 

そこで,μ(,)-1=jμ(,-t)によって, 

μ(,)extμ(,) → jμ(,-t)extμ(,-t) 

が得られます。
 

そこで,は作用:(2,1)=∫12dt∫d3(,) 

次のように変換します。 

すなわち,(2,1)-1=∫12dt∫d3(,-t) 

=∫-t2-ttdt∫d3(,)=J(-t1,-t2)です。
 

(-t1,-t2)はJ(2,1)を時間のずらし(平行移動)だけ 

変えますが,時間のずらしは理論の1つの対称性変換です。 

それ故TL(,)-1(,-t).および. 

μ(,)-1=jμ(,-t)を満たすが存在することが, 

時間反転不変のための満足できる規準を与えます。
 

(15-2):(-t1,-t2) =∫-t2-ttdt∫d3(,) 

=∫12dt∫d3(,t-(1+t2))ですから, 

これはt→t-(1+t2)なる時間の平行移動です。
 

すなわち,(,t-(1+t2)) 

exp{i(1+t2)}(,)exp{i(1+t2)}であり, 

それ故,(-t1,-t2) 

exp{i(1+t2)}(2,1)exp{i(1+t2)}です。
 

したがって, 

[exp{i(1+t2)}](2,1)[exp{i(1+t2)}]-1 

=J(2,1)となり,[exp{i(1+t2)}]という 

時間反転と時間のずらしを組み合わせた変換が対称性変換 

となります。
 

しかし,以上の考察は私自身にも奇異に感じられます。
 

むしろ,次のように考えるのが伝統的場の理論であり,自然です。 

すなわち.は反線型な演算子であると考えます。

これは,(|α>+b|β>)=a|α>+b|β>,および, 

<α||β>=<α|UK|β> 

=<α||β>=<β|α>=<α|β> を意味します。
 

最後の等式は,実は,反ユニタリ性を実現するための物理的要請 

です。つまり,時間反転演算子はユニタリでなく-1です。
 

しかし,作用積分が時間反転の下で不変であるという要請は 

<α|12dt∫d3(,-t)|β> 

=<α|12dt∫d3(,)|β> 

と表現されます。
 

すなわち,<α|(-t1,-t2)|β>=<α|(2,1)|β> 

です。
 

ところが,任意の<α{,|β>について< α||β>=<α|β> 

が成り立つという等式は, 

<α|12dt∫d3(,-t)|β> 

=<α|TT-1(-t1,-t2)|β> 

=<α|-1(-t1,-t2)|β>* の成立を意味します。
 

他方,JはHermite演算子なので. 

<α|(2,1)|β>=<α|(2,1)|β>です。
 

よって,作用積分の不変性: 

<α|12dt∫d3(,-t)|β> 

=<α|(2,1)|β>は, 

 <α|-1(-t1,-t2)|β>* =<α|(2,1)|β> 

と同値です。
 

それ故,-1(-t1,-t2)=J(2,1)です。
 

つまり,JがHermiteであることから,作用の不変性が 

-(-t1,-t2)=J(2,1)という形でなく, 

-1(-t1,-t2)=J(2,1),または 

-(2,1)-1=J(-t2,-t2)という形で表わされること 

がわかりました。したがって,こういう意味で 

TL(,)-1(,-t).および. 

μ(,)-1=jμ(,-t)を満たすが存在すれば理論 

が不変であることが保証されます。

 (15-2終わり※)
 

(15-3):量子論が,ある変換の下で不変であることは, 

状態ベクトルを位相を無視した射線(ray)=同値類と考えたとき, 

観測される物理量(observable):Oの行列要素のノルム(絶対津): 

|<α||β>{が変換の前後で不変なことが要求されるのみです。
 

したがって,変換で状態が,|α> → |α'>, |β> → |β'> 

と変わるとき,|<α'||β'>{|<α||β>{ さえ, 

満たされれば,<α'||β'>=<α||β>:つまり, 

ユニタリか?,<α'||β'>=<α||β>つまり, 

反ユニタリか?は問われません。
 

しかし,恒等変換;|α'>=|α,|β'>=|β> から 

連続的に移行できる連続変換対称性(proper symmmetry)では, 

行列要素の連続性から変換はユニタリであるべきで,
 

反ユニタリとなる可能性は,不連続変換対称性 

(Imprpoer symmetry)の変換の中にあるのみです。
 

もっとも,ここでは射線としての期待値や確率だけを実在 

と考える立場で状態の位相を無視しましたが,量子論の深層 

では,状態の位相は,"量子のもつれ(entanglement)"の1つ 

として意味を持ち,観測可能なAharanov-Bohm効果や,仮説 

ですが,Diracのモノポール理論における電荷や磁荷の量子化,
 

または,物質場の位相変換は謂わゆるゲージ変換という意味 

で重要であり,例えばFermi粒子の電磁相互作用では光子場 

の線積分がスピノル場の位相として働くとき,アノマリーに 

寄与したりしますから,単純に位相を無視するのが常に妥当 

とは限りませんが。。 

 (15-3終わり※)
 

さて,ここまでの章で,論じてきた様々な自由場について 

陽に作ることを考えます。
 

まず,電磁場(光子場)から始めます。
 

時間反転で外電磁場がAextμ(,) → Aextμ(,-t) 

と変換されるのと同じく,(,)-1=-(.-t) 

であるべきです。
 

この変換は,()=-(1/4)μνμν 

=-(1/2)(νμ-∂μν)νμ 

(1/2)(22)で与えられる,Coulombゲージ(縦波ゲージ) 

Maxwellの自由lagrangian密度に対して, 

TL(,)-1(,-t) を満足します。
 

そして因子Kがあるおかげで,同時刻交換関係: 

[μ(,),ν(,)]0,,[πk(,),πj(,)]0, 

 [πk(,),0(,)]0,および, 

 [πk(,),j(,)]iδtrijδ3(x-) 

が不変に保たれます。 

( (δtrijδ3(x-)=∫d3(2π)-3exp{i()} 

×(δij-kij/2) です。)
 

(15-4): [πk(,),j(,)]iδtrijδ3(x-) 

のみを考察します。
 

まず,()=-(1/4)μνμν 

=-(1/2)(νμ-∂μν)νμ 

(1/2)(22)より, 

πk=∂/(0)=-∂0-∂k0 です。
 

そして,k(,)-1,=-Ak(,-t). 

0(,)-1,=A0(,-t) なので, 

(0)(,)-1=∂0(,-t). 

(0)(,)-1=∂0(,-t),
 

故に,πk(,)-1,=πk(,-t)です。
 

したがって, 

<α|[πk(,),j(,)]|β>は時間反転後に, 

<α|[πk(,),j(,)]|β>に変換されますが,
 

これは,<α|[πk(,),j(,)]|β> 

=<α|-1 [πk(,),j(,)]|β> 

<α|[-1πk(,),-1j(,)]|β> 

=<α|[πk(,-t), j(,-t)]|β>となり.
 

結局,<α|[πk(,),j(,)]|β> 

iδtrijδ3(x-)<α|β>を得ます。
 

<α|[πk(,),j(,)]|β> 

iδtrijδ3(x-)<α|β>と比較すると<α|β> 

<α|β>=<β|α> 

に変わるという違いはありますが交換関係は 

保持されます。  (注15-4終わり※)
 

光子場の運動量空間でのFourier展開: 

(,)=∫d3(2π)-3/2(2ωk)-1/2Σλ=12[ε(,λ) 

{^(,λ)exp(iωkt+ikx)

+a^(,λ)exp(iωkt-i)}] 

KUを作用させると,
 

(,)-1=-(.-t), 

∫d3(2π)-3/2(2ωk)-1/2Σλ=12[ε(,λ) 

{^(,λ)-1exp(iωkt-ikx) 

^(,λ)-1exp(iωkt+i)}]
 

=-∫d3(2π)-3/2(2ωk)-1/2Σλ=12[ε(,λ) 

{^(,λ)exp(iωkt+ikx) 

+a^(,λ)exp(iωkt-i)}]
 

=∫d3(2π)-3/2(2ωk)-1/2Σλ=12[ε(,λ) 

{^(,λ)exp(iωkt-ikx) 

+a^(,λ)exp(iωkt+i)}] です。
 

この展開では,自由光子の進行方向に垂直な縦波光子の偏極 

(偏光)ε(,1) -ε(,1),ε(,2)ε(,2) 

を満たすように選択するという規約が採用されているため,
 

^(,1)-1=a^(,1), ^(,2)-1=-a^(,2) 

が得られます。
 

スカラー場のパリティ演算子:の陽な形の導出などを 

参照すれば,電磁場の時間反転:KUについて, 

exp[(iπ/2)∫d3 

{^(,1)^(,1)-a^(,1)^(,1) 

+a^(,2)^(,2)+a^(,2)^(,2)}] 

を得ます。
 

今日はここで終わります。
 

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell 

“Relativistic Quantum Fields” (McGrawHill)

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2017年10月13日 (金)

訃報!!!三條正人さん。

「鶴岡正義と東京ロマンチカ」のメインボーカルだった歌手の三條正人さんが去る10月5日に悪性リンパ腫のため亡くなられました。享年74歳でした。

 産経新聞ニュース → 東京ロマンチカの三條正人さん死去,74歳

「三条正人」の画像検索結果

 

 奥様も有名な女優の香山美子さんです。ヒット曲はたくさんあります。 

 「小樽の人よ」でデビュー,「君は心も妻だから」などなど。。,そして,エメロンシャンプーのコマーシャルソングになった「振り向かないで」は有名です。。

 私のような昭和歌謡全盛期の年代だと懐かしいですね。このごろはTVで見かけず,どうしておられるのか?と思っていました。

 ご冥福をお祈りします。合掌!!

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2017年10月11日 (水)

場の量子論第Ⅱ部(14)(荷電共役2)

  場の量子論第Ⅱ部:不連続変換,荷電共役の続きです。
 

予定通りDiracスピノル場の考察に入ります。
 

Dirac粒子に対する荷電共役の1つの議論は,既にB-J 

Mechanicsのテキスト第5章で与えました。
 

(14-1):B-JMechanicsのテキスト第5章はHple-theory 

(空孔英論)ですが,本ブログでは201112/20の過去記事: 

Diracの空孔理論(2)(荷電共役)」の内容がそれに相当します。

ここから必要部分を抜粋して再掲します。
 

※再掲開始:
 

Dirac方程式 (i-e-m)ψ=0 の負エネルギー解と 

正エネルギー陽電子の固有状態関数は1対1に対応するはずです。 

(i∂=iγμμiγμ(/∂xμ),=γμμ です。)
 

電子の非存在=空孔が陽電子の存在である,という解釈によって, 

観測される陽電子の波動関数:ψcは正の電荷:-eを持つだけが 

異なる電子と同じ波動方程式.を満たすはずなので, 

(i+e-m)ψc0 の正エネルギー解:ψcで与えられます。
 

 そして,一方が粒子で他方が反粒子と決めつける必要性はなく, 

互いに粒子-反粒子の対称的関係にあると考えます。

 

 そこで,2つの方程式や,その解を互いに変換させる演算子を作る 

ことができるのでは?という発想が導かれます。
 

 そのためには,2つの演算子;iの間の相対符号を変化させる 

ことが必要ですが,これは複素共役を取ることで可能です。
 

 すなわち,{i(/∂xμ)}=-(/∂xμ),μ=Aμ より, 

(i-e-m)ψ=0 or {γμ(iμ-eAμ)ーm}ψ=0 です 

から,{(iμ+eAμ)γμ*+m}ψ0  が得られます。
 

それ故,もしも(Cγ0)γμ*(Cγ0)-1=-γμという代数関係 

を満たす4×4の正則行列:Cγ0を見出すことができれば, 

{(iμ+eAμ)(Cγ0)γμ*(Cγ0)-1+m}(Cγ0ψ)0 , 

つまり,{(iμ+eAμ)γμ-m}(Cγ0ψ)0  

が得られます。
 

そこで,ψc=Cγ0ψ=Cψ~とおけば,上の方程式は 

{(iμ+eAμ)γμ-m}ψc0 と書けます。
 

これは陽電子の波動関数が満たす方程式に他なりません。
 

そして,こうした行列:Cが確かに存在することは,これを 

陽に作ることで証明されます。
 

テキストで使っているガンマ行列の表示では,γ0γμ*γ0(γμ) 

なので,(Cγ0)γμ*(Cγ0)-1=-γμ,tγμ-1=-γμ, 

または.-1γμC=-(γμ)となります。
 

この表示ではCγ1-1=γ1,Cγ2-1=-γ2,Cγ3-1=γ3, 

Cγ0-1=-γ0,つまり.Cγ1=γ1,Cγ3=γ3,Cγ2=-γ2, 

Cγ0=-γ0Cですから,例えば係数を虚数iとして,C=iγ2γ0 

とれば,条件は満たされ,C=-C-1=-C=-Cです。
 

これは,このガンマ行列の表示をも含む任意の表示で,常に 

(Cγ0)γμ*(Cγ0)-1=-γμを満たすCを構成できることを示す 

には十分です。
 

※以上,参考の再掲終了 (注14-1終わり※)
 

Dirac方程式は,スピノル:ψ()の次のような置き換え,の下 

で不変です。すなわち,ψ()→ Cψ~()で=Cγ0ψ() 

です。ただし,Cは4×4行列で.Cγμ-1=-(γμ) or  

αβ(γμ)βλ(-1)λρ=-(γμ)ρα を満たす性質を 

持っています。
 

 (γ0)=γ0.(γ2)=γ2を満たす参考テキストの表示では, 

C=iγ2γ0と選択すればCγμ-1=-(γμ)が満たされ, 

このとき,C=iγ2γ0=-C-1=-C=-CT です。
 

場理論では.量子力学での波動関数の荷電共役: 

ψ()→ Cψ~()に相当する場のユニタリ変換をさせる 

演算子:Cを求めます。
 

すなわち, 

ψα()-1=Cαβψ~β()(Cγ0) αβψβ()なる 

ユニタリ変換です。 

このとき,ψ~α()-1=-ψβ()(-1)βα となります。
 

(※つまり,ψ()-1=Cψ~()),ψ~()-1 

=-{ψ()-1}です。)
 

(14-2):ψ~α()-1=-ψβ()(-1)βα から 

ψ~α()= -{ψβ()}(-1)βα を得ます。
 

故に,ψ~α()αλ=-{ψβ()}δβλ 

=-ψλ()C です。
 

そこで, C=iγ2γ0=-Cによって, 

βαψ~α()ψβ() or Cψ~ψ 

同様に, 

-ψβ()(-1)βαψ~α() or ψ-1=-ψ~
 

したがって,ψα()-1=Cαβψ~β(),行列要素 

として,<α|ψ|β>=C<α|ψ~|β>を意味する 

ため,Mechanicsのψ()→ Cψ~()に同等なので, 

荷電共役変換のユニタリ演算子として無矛盾です。
 

(14-2終わり※)
 

の変換の下でDirac方程式だけでなく同時刻の正準反交換関係 

も不変なることは容易に示され,()=:ψ~()(i-m)ψ() 

,作用積分では消える非本質的な発散項だけ変化するのみです。
 

(14-3);反交換関係については.Cがユニタリなので変換で不変な 

ことは自明です。また,CL()-1() 

=:{ψ~()(i-m)|ψ()}-1:-:ψ~()(i-m)ψ() 

=-:ψβ()(-1)βα(iγμαβμ-m)αλψ~λ() 

-:ψ~()(iγμμ-m)ψ():です。
 

これから,結局, 

CL()-1()iγμαβμ:ψ~α()ψβ() 

が得られ,∫d4{CL()-1()}0 です。
 

(14-3終わり※)
 

次に,ψ~()γμψ()を作用させます。 

ψ~()γμψ()-1=-ψβ()(-1)βαγμαβαλψ~λ() 

=―ψ~α()γμαβψβ()=-ψ~()γμψ() です。
 

ここで,単純にψ~()γμψ()をカレント:μ()であるとすると 

真空期待値が無限大になる零点振動の困難が生じるため正規順序を 

取るのと同等な意味で.μ()(1/2)[ψ~(),γμψ()] 

(1/2)[ψ~()γμψ(){γμψ()}αβψ~β()] 

と定義します。
 

これについても明らかに,μ()-1=-jμ()が得られ, 

荷電共役に対して電磁カレントが奇()であることがわかります。
 

さらに真空:|0>が縮退していないなら,それはの偶()な固有状態 

であり<0|μ()|0>=-<0|μ()|0>より<0|μ()|0>=0 

を得ます。
 

Dirac場についてを具体的に作るため,運動量空間に移行して 

「空孔理論」で論じた電子-陽電子スピノルの性質を用います。
 

(Cγ0)αββ(,)=vα(,)exp{iφ(,)}, 

(Cγ0)αββ(,)=uα(,)exp{iφ(,)} です。
 

一方,場の運動量空間での展開は, 

ψα()=Σ±s∫d3(/p)1/2{^(,)α(,)exp(ipx) 

+d^(,)α(,)exp(ipx)}, 

ψ~α()=Σ±s∫d3(/p)1/2{^(,)~α(,)exp(ipx) 

+d^(,)~α(,)exp(ipx)} です。
 

これらとψα()-1=Cαβψ~β(), 

ψ~α()-1=-ψβ()(-1)βα から, 

^(,)-1=d^(,)exp{iφ(,)} 

^(,)-1=b^(,)exp{iφ(,)}を得ます。
 

このことは荷電共役変換が定義に一致して粒子と反粒子の相互交換 

を引き起こすことを示しています。
 

ここで,を陽に表わすために前と同様な道筋に従います。 

まず,Cを2つのユニタリ変換の積に分解します。 

すなわち,21です。
 

そして,1は位相因子:φを除くように選びます。 

つまり, 

1^(,)1-1exp{iφ(,)}^(,), 

1^(,)1-1exp{iφ(,)}^(,), および, 

2^(,)2-1=d^(,), 

2^(,)2-1=b^(,) です。
 

1exp(i1^)とし,1^|0>=0となる正規順序で, 

[1^,^(,)]=φ(,)}^(,)  

[1^,^(,)]=φ(,)}^(,)を満たすものを 

つくると,1^=-∫d3Σ±sφ(,) 

×{^(,)^(,)-d^(,)~(,)} です。
 

結局,1exp[i∫d3(Σ±sφ(,) 

×{^(,)^(,)-d^(,)~(,)})です。
 

一方,2exp(i2^)とおけば, 

[2^,^(,)](π/2){^(,)-d^(,)}, 

[2^,^(,)](π/2){^(,)-b^(,)}から, 

2^exp[iπ/2∫d3Σ±s{^(,)-b^(,)} 

{^(,)-d^(,)}]を得ます。
 

こうして,21の陽な形が得られました。
 

が運動の恒量でないケースには,これまでと同じく.t=0 

同じ形の自由場の0をつくり,一般のtの荷電共役演算子 

としては,()exp(i^)0exp(i^)によって. 

()を作ります。
 

さて,変換がLagrangian密度:の中に現われる全ての粒子場 

に対して同時的に適用されるとき強い相互作用のLagrangian模型 

に従うπ中間子-核子相互作用をLの中に導入しても荷電共役不変性 

を壊すことはありません。 

また,電磁相互作用に対してもこの不変性は保持されます。
 

選択則の予言に荷電共役を適用するという興味深い例といて 

ポジトロニウムの崩壊を考えます。中性K中間子:0に対して 

用いたのと同じ方法で偶または奇のCのポジトロニウム固有状態 

をつくることができます。
 

ポジトロニウム状態をつくるために,まず,真空から自由な電子-陽電子 

対をつくり,それから異なるスピン-運動量を持つ状態を重ね合わせて, 

与えられた角運動量を持つ初期ポジトロニウム状態を表現します。
 

すなわち,Ψe+e-=∫d33p'Σ,s'(,;p',s') 

^(,)^(p',s')|0> とします。
 

これは電磁相互作用が存在するときには正しい状態ではないですが, 

電磁相互作用のの下での不変性から,真の状態と同じ対称性の性質 

を持つはずです。
 

そこでの下で偶の状態に相応するようにするには,どのような 

振幅:(,;p',s')をとればよいか?ということを考える必要 

があるだけです。
 

そうした偶のポジトロニウム状態は2つの光子に崩壊することが 

観測されています。 

そして,奇の状態に対応するものは3つの光子に崩壊しますが, 

こうした状態をつくるために,上記のΨe+e-を適用すると, 

^とd^の反交換代数により, 

Ψe+e-=∫d33p'Σ,s'(,;p',s') 

^(,)^(p',s')|0 

=-∫d33p'Σ,s'(p',s';,) 

^(,)^(p',s')|0> です。
 

ここで,本質的でない位相:φ(,)omitしました。
 

明らかに,電子と陽電子の交換に対して偶な状態. 

つまり.(,;p',)=F(p',s';,)に対しては, 

Ψe+e-はCの下で奇であり,他方, 

(,;p',s')=-F(p',s';,)に対しては, 

Ψe+e-はCの下で偶です。
 

このことから,ポジトロニウムの313重項状態は3つの光子を 

放出して,崩壊し,3101重項状態は2つの光子に崩壊することが 

わかります。
 

Fermionの対に反して,Bose粒子と反Bose粒子の交換対称状態は, 

の下でも偶ですが,これは反交換関係に由来する()符号が 

ないからです。
 

一般的規則として粒子-反粒子対の荷電共役の下での固有値は, 

そうした粒子対が2つの同等な粒子に対して許されている状態 

にあるなら+1です。,さもなければ逆です。
 

さて,短いですがここで荷電共役については終わりなので 

今回はここで終わります。 

次回は,Time-riversal(時間反転)に移る予定です。
 

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell  

“Relativistic Quantum Fields”(McGrawHill)

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2017年10月 9日 (月)

力学覚え書き(その1)

ノーベル医学生理学賞が体内時計。。物理学賞が重力波 

ということで,思いついたことを少し。。
 

最初の思いつきは, 体内時計の時間が今の地球自転周期24時間と 

1時間のずれがあるらしい,という話と月や太陽の地球への重力 

による潮汐力の効果で地球の自転速度が年々僅かずつ遅くなって 

いるという話が結び付く?と浅薄な邪推をしたことでした。 

しかし,これらは向きが逆の話で勘違いでした。。
 

宇宙空間に月と地球だけがあるとして月を質量がmの質点で近似 

地球を質量がMで自転軸のまわりの慣性モーメントがIの剛体球で 

近似,地球自転の角速度をω1,月が地球の周りを回る軌道を円軌道 

近似して回転角速度をω2とします。
 

自転する地球の半径をa,月が公転する半径(月と地球の距離) 

Rとすると,月と地球は万有引力:F=-GMm/Rで互い 

引っ張り合っています。
 

このとき,地球のスピン角運動量は,S=Iω1,月の公転の軌道 

角運動量はL=mR2ω2で与えられます。
 

普通に運動方程式を立てると,/dt=,/dt=- 

です。は月が地球に及ぼすトルク(力のモーメント)です。
 

系の総角運動量:(),系には外からのトルクが無く閉じて 

いると仮定しているので保存されます。 

すなわち,()/dt=0です。
 

地球の自転軸と月の公転軸の角度(地球の赤道面が公転面と 

なす角度)をθとすると,N=FRsinθ 

(-GMm/2)sinθ  

=-(GMm/)sinθですから,地球の自転軸のまわりの 

慣性モーメントIと月の質量mは一定とすると

解くべき方程式系は,(dω1/dt)=-(GMm/)sinθ(1), 

および,{(2ω2/dt)(GMm/)sinθ(2),あるいは, 

ω2(dR/dt){GM/(22)} sinθ-R(dω2/dt)(2)’

です。
 

(2),公転角速度ω2の変化が小さいとして無視する近似では 

月と地球の距離Rが増加して離れていくことを意味する式

になります。
 

他方,剛体球近似では地球半径がaなら,I=(2/5)Ma2ですから 

dω1/dt=-{5Gm/(22)sinθの率で自転が遅くなります。
 

大体の見積りは,今の自転周期がT=24時間=24×3600秒で 

ω12π/,地球半径:a~ 6400km 6.4×106, 

万有引力定数が:G ~ 6.67 × 10-11 m2 kg-2 月の質量  

m~ 5.75×1022kg,月と地球の距離:R ~ 384km

3.84×108 

θ~23.5度=23.5π/180,sinθ~ 0.4 を代入して計算すると 

dω/dt=-Gm sinθ/(Ra2) ~ -10-11くらいです。
 

(※地軸の傾きは23.4度とか23.5度とか小学校で習ったけど月の 

公転面の傾きθとしてこれを採用してもいいのかな?)
 

今から1万年=3.15×1011秒後ではω1の減少はΔω1 -3, 

10万年~ 3.15×1012秒が経つと,Δω1 ~ -30です。
 

現在は,自転角速度はω124×3600/(2π)13758,ですが, 

今から10万年経つと,30/1375831/600の割合で角速度が小さく 

なります。自転周期=1日が24時間=86400秒ですから,その1/600 

は約150秒=230秒です。
 

大体の見積りでは10万年当たり.これだけ1日が延びる勘定です。 

単純計算では,哺乳類,人類誕生の200万年前の自転周期-1日は 

23時間くらいで,今よりも短いようです。。。
 

ありゃ昔の方が短かいのか??と,実際にはここで初めて勘違いに 

気付きました。
 

体内時計の1日は25時間に近いことが知られているので,最初. 

これは昔の方が1日が長くて,体内時計がこれに同期していた? 

と考えたのでしたが.実は昔は今より回転が速かったのなら1日が 

短いので反対でした。。相変わらず,オッチョコチョイです。
 

ところで,この計算自体合ってるのかな?自信はありません。

この頃は本当に字だけの本が読みたいけど,老眼鏡でも見えず, 

判読疲れで細かい本は読めません。理科年表でさえ読み辛く

この頃は記憶に頼るか,ネットで調べて拡大する方が早いです、

とても不便です。
 

まあ,そういう意味では,計算しなくてもネットで探せば何でも 

ある時代ですが,自分で確かめないとダメという性分なので。。
 

しかし,2億年続いた恐竜の滅亡は地磁気のNとSの逆転が原因? 

とか言われているらしいし,月以外に太陽の影響もあるし氷河期も 

あったし。。月が衛星になって何十億年も同ペースで,外から突然 

の衝撃なども受けず,静かに閉じた系として進展してきたのか?も 

疑問ですが。。
 

ところで,本ブログでは初等力学について.余りり論じてなかった 

ので,これを機に剛体や質点系力学についておさらいしてみます。
 

これも,眼が悪くて参考書をろくに読めないので,主として記憶に 

頼りますが。。
 

n個の質点から成る質点系があるとし,そのi番目の粒子質量を 

i,位置座標をiとして,その速度を,i=di/dtとします。
 

その運動量をi=miiで定義すると,各々の質点が従う古典論の 

Newtpnの運動方程式はdi /dt=iです。 

ここで,iは質点iに作用する力です。
 

質点iに作用する力:i,n個の系の外部から作用する外力exti 

と系の他の質点j(j≠i)がiに及ぼす内力:intjiの総和の和 

に分割されます。すなわち,iexti+∑j≠iintjiです。
 

系内の粒子同士で互いに及ぼす内力:intjiは電気力.重力のような 

もので.作用・反作用の法則から,intji=-intij、および, 

(i)×intij0 が満たされます。
 

ここで,双質量をM=Σmiとして,系の重心の位置ベクトルを 

=Σmii/Mで定義します。
 

重心速度は,=d/dt=Σmii/,重心運動量は=M 

=Σiで与えられます。
 

i /dt=exti+∑j≠iintjiを総和することで,重心運動 

の方程式:dP/dt=Σiextiが得られます。
 

他方,質点iの原点の回りの角運動量をii×iで定義すると, 

i/dt=(i×i)/ii×(i/dt) 

i×ii×exti+∑j≠i(i×intji) が成立します。
 

系の総角運度量を=Σii=Σi(i×i)とすると, 

/dt=Σi(i×exti)+Σij≠i(i×intji) 

=Σi(i×exti)=ΣiextiN と書けます。
 

ここで,位置にある質点に働く力がのとき,×をその 

質点にかかる原点:Oの回りのトルク(力のモ-メント)と呼ぶと, 

extiは質点iにかかる外力だけのトルクであり,はその総和 

を意味します。
 

最後の等式では,内力のトルクの総計がゼロを用いました。
 

何故なら,Σij≠i(i×intji)(1/2)[Σij≠i (i×intji) 

+Σjj≠i (j×intij)](1/2)Σi,j(ij)(ij)×Fintji0 

となるからです。
 

さて,今では通常の物質は全て微小な分子の集まりでできている 

ことを知っています。そして.その個数は我々の常温,常圧で1cm3 

の体積中に1022個も存在するオーダーなので,構成分子を質点と 

みなしても,物質の塊は莫大な個数の質点系です。
 

このとき,系の内力は基本的に電気力で,それは分子を束縛する 

分子間力と呼ばれています。
 

それ故,古典物理では物体を連続体近似することが多いようです。 

例えば,気体,液体,固体を弾性体,気体,液体をそれぞれ,圧縮性, 

非圧縮性の流体で近似したり,固体を剛体で近似します。
 

特に,剛体というのは弾性体的には応力が無限大で全く変形しない 

理想的な固体モデルです。したがって,その物体内での異なる2 

(原点Oともう1)の位置が指定できれば,その剛体の位置状態は 

完全に決まります。
 

そこで,この2点の6個の座標の軌道を求める独立な6個の方程式 

があり,これが解ければ 異なる2点の運動が定まります。 

それ故,剛体の運動を定めるには,6個の方程式が必要十分です、
 

ところで,ここまでの質点系の論議で,重心運動の方程式: 

dP/dt=Σiextiは独立成分が3個の方程式です。
 

また,方程式:/dt=Σi(i×exti)=Σiexti=N 

も独立成分は3個で.合わせて独立成分6個の方程式なので, 

これらを運動を決める必要十分な方程式と見ることができます。
 

1質点なら運動方程式は3個で十分だったのですが,大きさのある 

剛体モデルなら6個に増えます。
 

特に,原点Oを含む固定軸の回りを角速度ωで回転している剛体,

角運動量の総和:.回転軸をz軸にとる座標系で 

L=Σ(i×mii){Σmi(i2+yi2)}ω=Iω; 

I=Σmi(i2+yi2)と書けます。
 

このとき,Iを,このz軸のまわりの慣性モーメントと呼びます。
 

離散的なn個の質点でなく位置における密度がρ()の連続体 

ならI=∫3rρ()2sin2θ=2π∫d3rρ()4sin2θと 

書けます。
 

ただし,θは極座標表示:(,,) 

(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ) の極角です。
 

特に密度が一様:ρ()=ρで半径がaの球の自転軸のまわり 

の慣性モーメントなら,I=∫d3rρr2sin2θ 

2π∫0drρr4-11(cosθ)sin2θ=8πρa5/15です。 

そこで,質量がMならM=4πρa3/3よりρ=3/(4πa3)なので 

I(2/5)Ma2を得ます。


 

ここで特に,i=R+r~iと書いて,重心座標と相対座標 

を分離します。 

両辺をtで微分するとv=V+v~i です。すぐわかるように, 

Σii~i0 なる性質があります。
 

故に,総運動エネルギーTは,T=(1/2)Σmi,2 

(1/2)MV2(1/2)Σmi~i2+VΣmi~i 

(1/2)MV2(1/2)Σmi~i2となり,Tは重心運動エネルギー: 

(1/2)MV2と相対運動エネルギー:~(1/2)Σmi~i2 

に分離されます。
 

系全体が重心を含むある固定軸の回りを角速度ωで回転 

している剛体では, 固定軸をz軸に取ると,相対運動の速度 

がv~i(~i2+y~i2)1/2ω で与えられるので,
 

相対運動のエネルギー=回転エネルギーは, 

~(1/2)Σii~,2(1/2)Σmi~i2 

(1/2)Σ(~i2+y~i2)1/2ω2(1/2)~ω2 

で与えられます。
 

ここでは,~=Σ(~i×mi~i)=I~ω,;であり 

~=Σmi(~i2+y~i2)です。
 

例題として,高校物理で学んだような物体が自分の重みで斜面を 

下りてくる問題を考えます。
 

滑って下りてくるとき,物体を質量mの質点で近似して摩擦ゼロと 

すると.質点の速度vはニュートン力学の力学的エネルギーの 

保存則から斜面の最高点(出発点)からの降下高さhとすると, 

位置エネルギー減少分=mgh=(1/2)mv2=運動エネルギー 

の増加分ですから,その点での斜面上の速度の大きさは 

v=(2gh)1/2です。
 

しかし,一般には物体は質点じゃなくて,大きさがあります。 

斜面を下りてくるのがパチンコ玉のようなものとして半径が 

aの剛体球近似し,今度は滑りは全く無く完全に転がり下りる 

とし,蛇行せず直線的に転がるとして回転の角速度をωと 

してみます。
 

回転=aωで,慣性モーメントをIとすると回転エネルギ^ 

,(1/2)Iω2です。
 

球の中心=重心の速度の大きさも,v=aωですから重心運動の 

運動エネルギーは,(1/2)mv2(1/2)ma2ω2 です。 

故にエネルギー保存則は,mgh=(1/2) ma2ω2(1/2)Iω2 

あるいは,,mgh=(1/2) mv2(1/2)(/2)2 

(1/2){m+(/2)}2となり実質的に慣性モーメント分だけ 

降下速度が減少します。
 

球の公式:I=(2/5)ma2を代入すると(9/10)mv2=mgh=から 

v=(10gh/9)1/2です。
 

近似計算でしたが,半径が大きいほど,ゆっくり転がり下りてくる 

というっ常識に合っています。
 

ところで地球から月を見ると,常に一方の面しか見えず,これは 

自転周期と公転周期が全く一致しているためですが,地球への 

月の潮汐力の反作用の結果であるとされています。
 

実際の地球の海の潮汐は,月だけでなく太陽も影響して新月や満月 

では地球に対し両者がほぼ直線に並んで重力を及ぼすので気象に 

特有のタイムラグありますが,こうしたとき大潮になるようです。
 

一般に,月に限らず,どの衛星や惑星の自転-公転系でも長時間が 

経てば自転周期と公転周期が同期するところでバランスする 

という共鳴現象がある,ことを以前から聞いています。
 

量子論でのプランク定数による束縛電子の離散的軌道でもない 

だろうし古典軌道の固有周期運動が本当に整数比で安定になる 

のか?という疑問と.それが真ならその理由は何か?について 

興味津々ですが,生半可ではうまく計算できないので,そこらが 

詳しい天体力学の本が読めたら読むということでPendingにして 

終わります。

うらぶれ このみに ふくかぜかなし。。

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2017年10月 7日 (土)

転居から1年経ちました。

 早いもので巣鴨駅から健康な人の足で8分の南大塚1丁目のアパートから都営三田線西巣鴨駅近くの西巣鴨4丁目のアパートに昨年10月6日に引っ越してきてから,1年がたちました。

 振り返ると,現在の豊洲駅から徒歩10分くらいの江東区枝川の木場南スカイハイツ10階の3DK分譲マンションの1室から,巣鴨陽光ハイツの7階ワンルームに越してきたのが,1994年44歳の春で,それから2010年60歳で南大塚1丁目のアパート,そして2017年10月の現在まで豊島区巣鴨周辺には,23年余りも住んでいて,故郷の岡山県倉敷市に生まれて1浪までの19年間を超えました。

 思えば,40年前の1977年4月に27歳で就職のために上京して.青梅街道沿いの新高円寺駅近くの杉並区梅郷1丁目の,風呂無し共同トイレのアパート6畳間に35歳まで8年間,いて,飯田橋にあった会社との往復のみで,会社帰りに飲酒した後に寝るだけの生活から,35歳の1985年.急にローンで3DKの分譲マンションを購入し,住居という入れ物を用意して普通の家庭生活を夢想していたものの,前と生活はほとんど変わらず,

 40歳のときの1990年,そのころは会社は神保町に移っていましたが,バブルのさなかに13年勤続の最初の会社を退職し,受験塾を共同経営するなどしたが,うまくはいかず,再就職した2度目の会社もバブルがはじけて私向きの仕事が無しで42歳の1992年11月には失職,,7か月間は失業保険でくらし,1993年7月ころからはガードマンのアルバイトを皮切りに,予備校や,専門学校の非常勤講師などのフリーターをして食いつなぐものの,ローンの支払いが困難となりました。

 そこで,1994年に9年間住んだマンションを手放しました。

 バブル時代に少しは値上がりしていたので,差額で巣鴨にワンルームの1室を購入しました。まあ.一種の縮小再生産ですネ。

 そして,1999年12月の50歳直前に,ずっと就職活動をしていたけれど,40歳を過ぎてると就職難で,やっと就職試験に合格した。。と思ったら,正社員でなく派遣社員でした。派遣先は,20時から翌朝7時半までの隔日の夜間労働です。

 長年のゼイタクな生活パターンは,すぐには縮小できず,生活が維持できないので多い時には3つくらいかけもちで仕事をして疲労し,借金も増えてきているうち,一挙に借金を返済するため,ワンルームも売りに出すことを決意して,とりあえず2006年暮れには北区滝野川4丁目のアパート3階に移りましたが,既に引っ越し作業中に長年の糖尿病と不摂生で心臓病を発病しました。

 結局,,2007年4月には心臓バイパス手術を受けて,派遣会社もクビです。

 大病で失業となり,マンションが売れても借金返済どころじゃなく,,なり,とりあえず2008年3月には,まだ売れてなかった元のワンルームに戻りました。

 丁度,リーマンショックで予定より100万以上も安くマンションは2008年5月には知り合いに売却できましたが,,結局,私への支払い不足分をローン代わりに,買い主を大家にして家賃を償却する形で,2年間は,そのまま暮らしましたが,2010年8月に南大塚の賃貸アパートに転居したのでした。

 その間,家賃はなかったけれど,生活費の決まった収入がないので困りました。 一応,2010年の60歳からは,15年の正社員時代の厚生年金分の年金が入り.2015年の65歳からは,31年支払った分の満額の年金はもらってますが。。

 長年の仮面ウツ病では,ヨメのきてもなく。。不摂生で病気になっても反省など一切せず,生来のズボラな性格で,守るべき家族も無くて自分だけだし,「どうにかしよう。」という積極的な行動は全くせず,「どうにかなるさ。」という,行き当たりバッタリのなりゆきまかせの人生のなれrの果てが,今の身体不自由なグータラ粗大ゴミのクソジジイです。。

 しかし,人様のお世話になりながらも,よく67歳まで生きられたものです。。

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2017年10月 3日 (火)

場の量子論第Ⅱ部(13)(荷電共役1)

  早いものでもう10月に入りました。衣食足りているという意味では 

十分ですが,誰も救えないバチ当たりで,少し動くのさえ不自由な身 

では他にやることもないし,相変わらずの極楽トンボです。
 

さて不連続対称性変換の続き,荷電共役対称性,つまり,(粒子-反粒子 

の交換対称性の項目に入ります。 

反粒子の方を粒子と考えれば,粒子の方が反粒子になる話です。
 

粒子のみの空間と反粒子のみの空間:反空間があれば,対称で 

理論的には対等なはずですが,
 

現実の我々の宇宙は,殆どが謂わゆる粒子のみから成る空間です。 

反粒子の方は苦労しないと発見できません。
 

これらは,出合えば,たちまち双方が消滅し光のようなエネルギーの 

塊になるので,宇宙の大昔に共存していたとしても,アッという間に 

大爆発と共に消えてどちらか多い方が残ることになるでしょう。
 

§15.12 Charge conjugation(荷電共役)
 

荷電共役という対称変換作用は粒子と反粒子の役割の交代と 

関わっています。
 

B-JMechanicsのテキスト第5章での電子に対する特殊な適用 

では,これは電磁場と相互作用する電荷の符号を反対にすること 

に要約されました。この解釈は,ここでも維持されます。
 

測定装置のAextμ()という外場を含んだ全系のLagrangian密度; 

()-jμ()extμ()によれば,理論が荷電共役不変になる 

ためには,CL()-1(),および,μ()-1=-jμ() 

を成立させるようなユニタリ演算子:の存在が要求されます。
 

(13-1);測定装置を含む系の作用は. 

^=∫d4{()-jμ()extμ()}であり,|α>,|β>を 

任意の状態ベクトルとすると,の作用(粒子 → 反粒子変換) 

受けた新しい系では,状態は|α> → |α>,|β> → |β>, 

(ただし-1)と変換されると考えられます。
 

この新系で観測されるJ^,測定装置をAextμ()→ -Aextμ() 

と変えたものに相当するため作用の期待値(行列要素), 

<α|[∫d4{()+jμ()extμ()}|β> 

となります。
 

そこで,これが,元の作用<α|^|β>を不変に保ち,理論を不変に 

するという対応原理の要求から,条件: 

()().μ()=-jμ(),または. 

CL()-1(),μ()-1=-jμ()を得ます。 

(13-1終わり※)
 

上記のjμ(),電磁カレントですがは電気的に中性な非Hermite 

な場(実数でない場)を記述する粒子をも変換させる必要があります。
 

例えば,0,,Λを,それぞれ,その反粒子:0~,~,Λ~に変える

必要があります。

これは奇妙さ(Strangeness),核子数,アイソスピンなどの保存則

をもの下で不変に保つためです。
 

Hemite場で記述される光子やπ0中間子では,粒子と反粒子を区別  

できません。そこで,の下ではHermite場は,せいぜい因子:(1)  

で異なるだけです。
 

電磁場の場合には,()の下でLagrangian()() 

という項を不変に保つため,()-1=-()に従って,

変換しなければなりません。運動量空間に移行すると,直ちに,

^(,λ)-1=-^(,λ)が得られます。

(13-2):^(,λ) 

=∫d3(2π)-3/2(2ω)-1/2exp(ikx)ε(,λ) 

{ω()i0()}より.  

^(,λ)-1 

=-∫d3(2π)-3/2(2ω)-1/2exp(ikx)ε(,λ) 

{ω()i0()}=-^(,λ)は明らかです。  

(13-2終わり※)

パリティ演算子を陽に作ったとき展開した手法を模倣して, 

exp(i^)と置き,[^,^(,λ)]=α^(,λ)

を仮定すると,

^(,λ)-1^(,λ)+{iα+(α)2/2!

..(iα)n/!+..}exp(iα)^(,λ) です。
 

故に,^(,λ)-1=-^(,λ)を成立させるため

にはα=πととればいい,ことがわかります。
 

そこで任意のkとλ=1,2に対して,

[^,^(,λ)]=π^(,λ)を成立させるC^を求めると

C^=π∫d3{Σa^(,λ)a^(,λ)}

と選べばいいことになります。

 

結局,exp(i^)

=exp[iπ∫d3{Σa^(,λ)a^(,λ)}] です。
 

相互作用が存在する場合には,このは理論の対称演算子では 

なくなると思われます。こうしたケースではについてやった 

ように,t=0における0と書き,相互作用光子場のt=0 

が自由光子場の展開係数演算子によって上と同じ形に 

書かれたものとします。
 

そして,一般のtでは,()exp(i^)0exp(i^) 

によってCを作ります。
 

自由場の理論では,真空:|0>は縮退していないので1つの 

固有状態です。

(13-3):自由場のHamilyonianをH0^とすると,[0^,]0 

ですから,[0^,]|0>=0 ,つまり.(0^0^)|0>=0 

ですが,真空においてはH0^|0>=0ですから,0^|0>=0 です。
 

|0>≠0なので,|0>はH0^の固有値ゼロの1つの固有状態です。 

規約によって真空はの縮退のないH0^の固有値ゼロの固有状態で 

|0>のノルムは|0>のノルムに等しいため,|0>=exp(iφ)|0 

なる形式を持つ必要があります。 (13-3終わり※)
 

ユニタリ演算子:の位相を選ぶに当たっては,パリティ演算:

からのアナロジーで|0>=+|0>,つまり,真空:|0>は

荷電共役について偶(+)の固有状態になると規約します。
 

こうすれば,-光子状態は固有値が(1)の固有状態です。 

こうしたの固有値は,状態のチャージ・パリティという言葉で

記述されます。
 

相互作用がある場合でも,依然として真空に縮退がないならこの規約 

は保持されます。
 

π0中間子については,変換に関わる符号選択は,π0 2γ崩壊の 

観測によって指示されます。 

もしも,強い相互作用と電磁相互作用において,荷電共役不変性 

が成立するなら,2つの光子状態はチャージ・パリティが

()ですから,これとπ0coupleするならπ0の下で偶() 

でなければなりません。
 

次に電荷を持つπ中間子に移ると,()電荷.および,()電荷の状態 

を生成する場は,それぞれ,φ,および,φで記述されると考えるの  

が自然です。
 

φ ⇔ φという変換の下で,() (),  

μ() ⇔ -jμ() が成立しなければならないので,は任意 

の位相因子を除いて,φ()-1=φ(),φ()-1=φ() 

なる性質を持つと考えられます。
 

(13-4):荷電π中間子の自由Lagrangian密度:, 

=:∂μφμφ-mπ2φφ:で与えられます。
 

そして,電荷を含む電磁カレント;μ,0を陽電子(positron) 

の電荷(-e0が電子の電荷)とすると,  

μ()i[φ()μφ(){μφ()}φ()]  

です。特に,総電荷は,Q=∫d30() で与えられます。
 

それ故,CL()-1(),および,μ()-1=-jμ() 

が確かに成立しています。 (13-4終わり※)
 

したがって,荷電π±中間子の場;φ±()の運動量k-空間での展開 

,φ±()=∫d3}±^()()+a±^()k()} 

(※fk()=fk()(2π)-3/2(2ω)-1/2exp(ikx)  

(2π)-3/2(2ω)-1/2exp(ikx);ω(2+mπ2)1/2 )とすれば,  

^()-1=a^(),^()-1=a^() 

が成立します。
 

πをHermite場 成分のアイソ空間のベクトルで,φ[φ1,φ2,φ3] 

と表現すると,φ1(){φ()+φ()}/2,  

φ2()i{φ()-φ()}/2なので.φ1()-1=φ1(), 

φ2)-1=-φ2() です。
 

あるいは,運動量空間では,  

1^()-1=a1^(),2^()-1=-a2^()です。
 

このことは,がアイソ空間の(1,3)平面を鏡面としたときの鏡映  

演算子であることを示しています。
 

そこで,物理的には明らかですがの固有状態は,ゼロ個も含めて 

同数のπとπを含む必要があり,電気的に中性です。
 

(13-5):πがn,πがn個の状態にを作用させると 

πがn,πがn個の状態になりますが,の固有状態であれば 

状態は係数が変化するだけなのでn=nです。  

(13-5終わり※)
 

正式には,これはQ=-Qなることから証明できます。
 

(13-6):Q=i∫d3{φ0φ()(0φ)φ}  

=∫d3{^()^()-a^()^()}より,  

-1=∫d3{^()^()-a^()^()} 

=-Q です。故に,Q=-Qが成立します。  

(※ Qは素電荷:0の因子を略した電荷の表現です。)
 

現存する状態はQの固有状態のみであり,自然界にはこうした 

超選択則(Superselection-rule)があるようです。
 

|q>=q|q>なるQの固有状態:|q>が,の固有状態でも 

あって|q>=c|q>なら,cは符号を変えるだけでノルム  

不変なので||1であり, 

|q>=-|q>=-q|q>=-qc|q>ですが,  

|q>=Qc|q>=cq|q>でもあるので|q>≠0より 

qc=0です。そして,||1なのでq=0 を得ます。
 

つまり,の固有状態は電気的に中性です。 (13-6終わり※)
 

3種の完全なπ中間子の場;φ[φ1,φ2,φ3]に対してを作るため 

はφ2とのみ交換しないことを思い起こします。
 

光子に対して用いたのと同じ方法から,exp(i^)と置くと, 

^=π∫d3{2^()2^()} が得られます。
 

このが運動の恒量ではないような一般の場合には,これまでと  

同様,t=0でのを自由場の展開係数で作った上記と同じ表現

C=C0exp[iπ∫d3{2^()2^()}]とし,  

一般のtでの,Hamiltonian:H^について,  

()exp(i^)0exp(i^)として()  

を作ります。
 

π中間子に対して論じた上記考察はK中間子にも当てはまります。
 

まず,荷電π中間子:π±の場に対する論議は,何の変更もなく荷電 

K中間子:±の場に翻訳できます。
 

中間子は奇妙さ(Strangeness)の量子数S=SK+を持ち, 

Q=QK+をその電荷,Y=YK+をハイパーチャージ(hyperchatge)  

とすると,特にQK+=SK+=YK+です。
 

そこで,Q=-Qにより,SもYもと反交換します。 

つまり,S=-S,Y=-Yです。
 

(13-7):Bを重粒子数(baryon-number)とするとYはY=B+S 

で定義されます。中間子ならB=0 なのでY=Sです。
 

そして,一般には,Q=I3+Y/2なる式が成立するのですが,  

K中間子の場合,Y=S=1であり,アイソスピン:Iは粒子対:  

[,0]が(I.I3)=(1/2,1/2),粒子対[K0~,K]

(I.I3)=(1/2,-1/2)のDoubletを形成するのでKなら

3=1/2=Y/2であり,結果的にQ=Y=Sです。
 

ちなみに,K中間子の奇妙さ;Sは,がS=1,=K~ 

S=-1,0,0~はS=0 ですから,  

いずれも,Q=S=Yが成立しています。? (13-7終わり※)
 

は荷電共役Cの下でK=K~に変換されますが,さらに中性の 

K中間子K0,もK0~に変換される必要があります。
 

0中間子の場合に,からKへの変換の場合と唯一違うのは 

がゼロであることです。 

上でSやYの話を出したのはこのためです。
 

しかし,の場合,の場をφK+とすれば,=K~の場 

はφK+であって,QK+=SK+=YK+=NK+  

i∫d3{φK+0φK+(0φK+)φK+)}であるのに対し,
 

0の電荷:0がゼロであるからといって,同じように作った  

0=Y0=N0i∫d3{φ00φ0(0φ0)φ0)}  

が消えるわけではなく,0=-S0が成立します。
 

全ての粒子を含む系では,電荷Qについて,-1=-Qであり, 

強い相互作用と電磁相互作用のケースに限定するとアイソスピン; 

,特に3が保存されますが,Cの変換後もこの保存則が生き残る 

ためには,3-1=-I3が必要です。
 

そこで,Q=I3+Y/2=I3+S/2により-1=-S,または, 

S=-SC となるべきだからです。
 

0i∫d3{φ00φ0(0φ0)φ0), 

0=-S0満たすためには,+=-QK+の成立に 

対してφK+-1=φK+,φK+-1=φK+が必要であった 

のと同様.φ0-1=φ0,φ0-1=φ0が成立する必要 

があります。
 

そこで.Hermite1次結合で作られる中性K中間子のの固有状態: 

φK1i(φ0-φ0)/2, φ2(φ0+φ0)/2を考えると  

これらは,それぞれ,チャージ・パリティが奇(),()の固有状態  

です。
 

中性K中間子のチャージ・パリティが偶(),()の状態の粒子 

は弱い相互作用の崩壊の理論において重要な意味を持ちます。
 

まず,0は擬スカラー粒子であることが既知で,内部パリテイは  

()です。定義により,φ0(,)-1=-φ0(,)  

です。

 ところが,空間反転不変性の条件:(,)-1(,),  

および,μ(,)-1=jμ(,)が成立するためには.  

明らかに,φ0(,)-1=-φ0(,)も成立する  

必要があります。
 

それ故,反粒子:0~の内部パリティも奇()となります。  

したがって,それらの任意の1次結合の内部パリティも

()です。 

φ1(,)-1=-φ1(-x,),および,  

φ2(,)-1=-φ2(,)が成立します。
 

他方,既述の通り,φ1-1=-φ1,φ2-1=φ2です。

以上から,(CP)φ1(,)(CP)-1=φ1(,),  

(CP)φ2(,)(CP)-1=-φ2(-x,)   

が成り立ちます。
 

それ故,(CP)φ1(,)|0>=φ1(,)|0, 

(CP)φ2(,)|0>=-φ1,)|0> です。
 

そこで,軌道部分(に依存する部分)の効果を除くとき,1および, 

2は内部量子数の意味で,(CP)の作用の下で.それぞれ,(),  

および,()の粒子状態を示しています。
 

さて,,0 → 2π(0 → π+π),という,0崩壊では 

最も支配的な弱い崩壊の反応を考えます。
 

|F>=|ππ>とし|F>がこのK0崩壊反応でできる終状態 

であるとすると,角運動量の保存則から,|F>は軌道角運動量がゼロ 

(l=0)状態にあるはずです。
 

そこで,π+πの重心を原点にとって場:φπ+()などを 

symbolicにπ()などと書いて,|F>=π(σ)π(-σ)|0 

とすると(CP)|F>=|F> が成立します。
 

0崩壊の弱い相互作用のHamiltonianをH^として,0崩壊の振幅  

をH^の最低次で摂動近似すると,<|^0|0>ですが, 

この相互作用で(CP)が保存される:[ ^,CP]0 なら, 

(CP) -1^(CP)=H^なので,

<F|^1|0>=<F|(CP) -1^(CP)1|0 

=<F|^1|0を得ます。
 

一方,<F|^2|0>=<F|(CP) -1^(CP)2|0 

=-<F|^2|0>ですから,<F|^2|0>=0  

が得られます。
 

したがって,最低次近似ではありますが,1   2πは許容され, 

2 2πは禁止される。という選択則(Selection-ule)を得ます。
 

これは実験結果を良く反映していてK1はK0の短命部分,  

2はK0の長命部分と呼ばれています。
 

今日はここで終わります。 

次はDiracスピノル場の荷電共役に移る予定です。
 

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell  

"Relativistic Quantum Fields" (McGrawHill)

 PS:ココログフリーのテンプレートのメンテナンスで,HTML

からテキストへのコンパイラを修正したせいなのか? 

文字化けを直すの大変で。。途中でサジを投げます。
 

数式のない文章だけなら大丈夫みたい??ですが。。 

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2017年10月 1日 (日)

社会党に続く民進党のオウンゴール崩壊?

 かつて自民党に次ぐ野党勢力だった社会党の村山氏が首相になるという色気を出して,結局は自民党が意図したわけではなくオウンゴールでほぼ無くなって現在社民党として残骸が残っています。

 今度は思想的には安倍氏よりも危ない存在かもしれない第2自民党かと思われ,る小池氏の新党。都知事としても,豊洲移転問題など方針を曖昧にしたまま何となく人気が先行して都議選でも得票し,

 今回も原発や安保法制などに,はっきりとした方向性が曖昧なまま双方の浮動票を吸収せんとする選挙得票術に乗って,,私など「政党=綱領」というくらいのモノと認識していた立場からはリベラルだのなんだの,と綱領的に縛られない野合とは思っていたものの民進党がオウンゴールで崩壊しました。

小池さんなんかは細川氏とともに日本新党にいても結局は自民党に入ったように小選挙区制の宿命で2大政党をめざしたとキレイゴト述べてもアメリカの共和党と民主党などと違って,自民党と希望の党ならヘッドが違うだけの自民党内の2派閥が君臨するというだけになってしまうワケでしょう。。

(※ 小選挙区の対極の典型的な大選挙区制の全国比例代表1区だけで何の制約もないのが,最も得票率を公平に分配できますが,

 1人1党に代表されるように,小党乱立で1つも政策が決まらなかった。。というドイツの弊害例があるようです。

 昔の中選挙区にでも戻ったらどうでしょうか。アメリカのように大統領制でもないのに2大政党のマネをする必要はないし。小選挙区だと選挙技術次第で5割以上得票しても人数がⅠ位の与党になれないとかもありそう。。。)

 そのうち小池さんも希望の党も自民党に吸収されて今以上の独裁勢力になると思ってます。

 豊洲問題などどう転んでも人気は落ちるし,ここらで放り出して他人まかせにしたたほうが肩の荷がおりて賢明策でしょうか?

基本的に安保法制や憲法改正。。共謀罪に,原発問題。。。私にはリベラルなどクソクラエですが「そりゃ理想だ。」と言われてもお金持ちじゃなく生活に余裕のない人民にとってどちらがシアワセかは明らかです。

 もっとも人民でなく国民という目でみると,日本人というだけでも飢え死にしたりしている人々を横目に,何人分も食べて大食いを自慢するようなバチアタリの集まりですから私も含めてテロられてもしょうがない存在ではあります。

 そんな国の選挙など問題外といえばその通りですがネ。。。

権力者本人が意図しなくても,官僚の任免権,給料の]金額を左右できる権利を持つ長期政権の内閣府への利権忖度問題など。。 短期で変わる時代はシロアリのほうが強かったけど。。

 それに北朝鮮への圧力一辺倒で自衛隊員が少々死んでも末端の国民が数万人死んでも。。とにかく戦争をしたがっていて,核も保有したいような姿勢々。。。一体何を考えてるのかなァ。。

 このクニにとって最重要なのは。。おそらく今のところ場当たり的で自転車操業の経済政策。。予算の先送りだけで今を乗り切り自分たちの死後の将来の子孫にツケをまわして知らんぷりの無責任。。,

 人口減少の子育て問題,。保育所など,金がないならプライオリティを決めて順に解決するしかないのに,何もかも中途半端で途中でコロコロと政策転換して解決前に放り出す。。 選挙のたびごとの人気取りでその場しのぎのカッコイイ,キャンペーンフレーズ。。

責任ダケは生きてるうちにとれよ。。

 この国のことなどより地球のことが心配で,もう余命のない最も無責任な私などの批判だけの言いたい放題でした。。

PS:誰も誤解はしないでしょうが。。

 私はどこかl既成政党や議員,候補者の支持者でも回し者でもなく,しいて言えば投票行かない派です。

 このブログの読者ならご存知でしょうが過去の2006年初期には「棄権権のすすめ」などの記事を書いています。政治活動としては,体が許せばデモ参加,募金,署名,そしてブログなどで意見を述べることはありますが,代議員制ブルジョア「民主主義も投票選挙なども信じていないので行きません。

(※例えば,ホームレス救済活動をするために立候補しても,そもそも支持してくれるであろう彼らは,住民登録がないのでなかなか投票できません。)

 かつて学生時代は,いわゆる反日共系新左翼の悲合法暴力学生と呼ばれ,ベ平連のデモや,成田闘争などに,ヘルメットに覆面、ゲバ棒などで参加していましたが。赤軍派などの海外でのテロ活動までには徹底していません。。

 若気の至りなどではなくいまも思想的には継続中のクソジジイです。ゲバラのようにもなりたかったなぁ。。

自慢ですが20歳になってから67歳の今日まで国政選挙の投票には行ったことがないです。

 大学時代20歳になったばかりの頃,市議会議員選挙に新左翼系の候補が立候補して車で送ってもらったので1回投票し,東京杉並区のアパートに住んでいたときに大家さんが区議会議員に立候補して日曜日に奥さんにせかされ義理でやった合計2回だけです。

 選挙はヤジ馬として競馬のように結果を見て楽しむのみです。

 こんなブログ誰も読んでないでしょうが。。基本的に私は上にバカが付くほど正直でウソはほぼ100%述べず,たとえ批判や誹謗中傷逮捕,テロなどを受けても思った通りを述べています。

 フルチンで歩きたいほど隠すモノはないけど寒いしパクられるから。

 若いころ,これくらいの気概と鉄面皮があれば,23歳から35年間官の仮面ウツ病もなかっただろうけど。。

 それはそれで今は知り合いに「人間に戻れ」と言われるほど宇宙人化していて,ムシロ人間としては必要なことで無いとサビシイ敏感な感性でした。。。

 ウマクいかないものです。。片足半棺桶の死に損ないが「矢でも鉄砲でももってこい。」という心境になっても意味ないですぅ。。

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ユニセフメーール:ロヒンギャ救済

ユニセフからのメール を転載します。

ロヒンギャはミャンマー(ビルマ)西部にすむ民族集団 でイスラム教徒の集まりらしいです。

ミャンマーはほぼ全域の住民が敬虔な 仏教徒で,少数のイスラム教徒は公然と迫害されているようです。,軍事政権から事実上アウン・サー・スーチー 率いる民主政権になったといっても,まだまだの国で軍の攻撃でバングラデシュに逃げ込む難民が増えています。

                 
 

UNICEF

 
 

 
 

ロヒンギャ難民緊急募金

 
 

田辺 俊三様  

 

 

ユニセフを通じてあたたかいご支援をお寄せいただき、ありがとうございます。

 

825日以降、ミャンマーのラカイン州からバングラデシュに流入したロヒンギャの人々の数は436,000人以上(926日現在)、そのうち60%は子どもと推定されています。

 

ある難民キャンプではここ数週間で難民の数が2倍以上にふくれあがり、雨ざらしの屋外での生活を余儀なくされている人も大勢います。着の身着のまま増水した危険な川を渡るなどして国境を越えた難民の人々へ、早急な支援が必要とされています。  

 

■ユニセフの活動内容

 

924日、ロヒンギャ難民の子どもとその家族のためにユニセフが手配した緊急支援物資100トンが、バングラデシュの首都ダッカに到着しました。支援物資には、浄水剤、家庭向け衛生キット、衛生用品、防水シートや子どものためのレクリエーション・キットが含まれており、さらに、通学バッグ、仮設テント、幼稚園キット、家庭用の水と衛生キットおよび栄養関連物資も今週中に到着する予定です。  

 

水と衛生>ユニセフは、新たに到着した36,000人の難民を対象に、毎日安全な水を提供しているほか、トイレの設置支援も進めています。  

 

栄養>重度の栄養不良の子どもたちを見つけ、医療機関への照会、治療を支援しています。

 

保健9月中旬から一週間かけて行われた、はしか、風疹、ポリオの予防接種キャンペーンを支援しました。下痢性疾患や肺炎などを治療する医薬品なども支援しています。  

 

教育と保護14,000人以上の難民の子どもたちが、42の「子どもにやさしい空間」で心のケアや教育支援を受けています。また、512人の子どもが保護者と離れ離れになっており、家族との再会を支援しています。  

 

ユニセフは、今後3か月間にバングラデシュ南部に逃れたロヒンギャ難民への緊急支援活動を行うための資金として、730万米ドルを国際社会に要請しています。支援を必要とする難民の子どもの数は今後半年間で50万人に達すると見られ、支援ニーズの拡大に伴い必要な活動資金は8,000万米ドルにまで増える見込みです。  

 
 

ユニセフ・ロヒンギャ難民緊急募金にご協力ください。

 
 

詳しくはこちら »

 
 

 

公益財団法人 日本ユニセフ協会
 
108-8607 東京都港区高輪4612 ユニセフハウス
 https://www.unicef.or.jp

 

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