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2017年11月 6日 (月)

対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子(6)

「ゲージ場の量子論」(対称性の自発的破れ)の続きです。
 

2017813日に 

「対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子(5)」 

をアップしてから,2か月半あまりも経りました。
 

この前回記事の最後では「対称性の自発的破れ」の項目は 

テキストの第6章には,まだ続きがあるのですが,これもアップ 

するかどうか?はPedingにします。・・ 

と書きましたが,続きを読み返すと結構重要な内容と思ったので, 

まだ,続けることにしました。
 

実は,途中で不連続対称性の復習に脱線したのは,この記事を 

書き上げる最後の部分での論議で,自分の時間反転への理解が 

あやふやなことに気付き,改めてテォストを読み直そうとした 

からでした。
 

今や,自力でできないことはできないのは仕方ないと諦める 

境地に達していますが,年齢に関係なく,まだやればできる 

と思えることなら,初歩からでもコツコツとやり直すに吝か 

ではありません。今さら急ぐ旅ではないし,追われる仕事も 

ないので,本題記事が数か月遅れようが気にしません。
 

§6.3 NG粒子の低エネルギー定理.
 

先に触れたように,NG粒子の低エネルギー極限での散乱振幅 

は対称性の要求から力学系の詳細には全く依存せずに決定され, 

これを「NG粒子に対する低エネルギー定理」と呼びます。
 

(6-1):「先に触れたように」とは,前回記事の最後で, 

:πは系のLagrangian密度に,-Ψ~iγ5Ψπの相互作用項 

を持つので.くりこまれたNGボソン場:πr=Zπ-1/2πの 

Fermion:Ψへの結合は,intπΨΨ=gπΨΨΨ~iγ5Ψπr , 

(πΨΨ=Zπ-1/2)なる形で与えられます。
 

この結合定数:πΨΨ=Zπ-1/2,元の基本結合定数:λ=2 

には直接,依存せず,0|σ()|0>=σ0 だけから決まるのは 

興味深いことです。 と書いたことです。(6-1終わり※)
 

ここでは簡単な例に話を留めますが,代わりに,低エネルギー 

定理の結果をてっとり早く見出す非線型表現Lagrangian 

構成法について次節で記述します。
 

,まず,()×U()カイラル対称性の話から始めます。
 

前節の「南部-Jonalashino模型」でFermion:Ψが(1/) 

展開のSU()の添字i=1,2,..,Nの他に,もう1つ別の 

添字:f=1,2,..,nを持って,Ψ={ψif}となっていた, 

とします。
 

このとき,iをカラー添字,fをフレイバー添字と呼べば, 

これはQCDLagrangian密度:=-(1/4)μνaμν 

+Σf=1Fψif~[iγμ{μigAμλa/2}ij-mfδij]ψif 

において,クォーク質量:fを全てゼロとした零質量 

QCDのクオーク場:ψif()との類似が明らかです。
 

このフレイバーがn種類ある「南部-Jonalashino模型」 

でも,零質量QCDでも,カイラルU()×U()対称性 

を持っています。
 

(※実は量子論的にはアノマリー(量子異常)と呼ばれる現象 

があり,(1)対称性が破れ,SU()×SU()×U(1) 

の対称性のみが残りますが本節では,これを無視します。)
 

ここでは,以下の近似の意味を明確にするため,Fermion: 

ΨはN個のDirac:ψのSU()変換群の基本表現を示す 

列ベクトルであるとします。
 

すなわち,カラー添字i=1,2,..,Nの方は省略してΨ={ψf} 

とします。,その左手型成分: ψf(1/2)(1-γ5)ψf, 

右手型成分: ψf(1/2)(1+γ5)ψf,それぞれ, 

別々のU()変換: 

ψf'()exp(iθ)ff’ψf'() 

exp(iθ)∈U() 

ψf'()exp(iθ)ff’ψf'() 

exp(iθ)∈U()R  

を実行してもは不変です。
 

変換対称性と関わる位相変換の 

Noetherカレントは, 

μ=-i{∂L/(μψf)}()ff’ψf’ 

与えられますが,(1+γ5)γμ(1-γ5)2γμ(1-γ5), 

および,(1-γ5)γμ(1+γ5)2γμ(1+γ5) より.  

これらの,それぞれのU()変換に対応するカレントは, 

Lμ(1/2)ψf~γμ(1-γ5)()ff’ψf’ 

Rμ(1/2)ψf~γμ(1+γ5)()ff’ψf’ 

です。
 

それらのチャージを.,(0)=∫d3,0() 

とします。
 

それらのψfとの交換関係を調べると,[,]=fabcc 

より,明らかに[(0),Lμ()]iabcLμ(); 

[(0),Rμ()]0, および, 

[(0),Rμ()]iabcRμ(); 

[(0),Lμ()]0  

の同時刻交換関係が成立します。
 

重要な点は,チャ-ジ-カレントの交換関係は.単に,カレント: 

(Lμ(),LRμ())のカイラルU()×U()変換 

の下では,その随伴表現に属する:()bc=fbacという性質 

を述べているだけで,()×U()のカイラル対称性を 

持つ系では,これらの交換関係は常に成立する, 

ということです。
 

以下で必要なのは,チャージ:,とカレント:Lμ, 

LRμとの交換関係のみであり,「南部-Jonalashino模型」 

,零質量QCDである必要も,カレントの具体的形が上述の式 

である必要もありません。
 

(6-2):予備知識:「連続群の随伴表現」とは, 

連続群Gの表現とは,ある線型空間:Sがあって,GからS 

への準同型写像fのことです。
 

準同型写像とは,1,2∈Gに対して, 

(12)=f(1)(2が成立することを意味します。 

このとき,Sをこの表現の表現空間といいます。
 

Lie群GのLie代数(Lie;Gの生成子の空間)の上で 

の表現:つまり,表現空間がの表現を随伴表現といいます。
 

Gの生成子{i}i,表現と無関係に, 

[i,j]iΣkijkkなる性質を持ち,係数fijk 

Gの構造定数と呼びます。
 

随伴表現のの上の準同型写像をAdで表わし,X∈ 

対して,d()()=gXg-1G で定義します。
 

X=Σiii ならAd()X=Σii{d()(i)} 

=Σkk です。
 

 [1,2,...], [1,2,...],の上の 

列ベクトルとすると,行列としてc=[d()(i)]aの成立 

,=Σi{d()(i)}kli,です。
 

無限小変換では,g ~ 1iΣiεjj,X=Σiiiのとき 

d()(i)=gTj-1(1iΣjεjj)i ( 1iΣkεkk) 

1iΣjεj[j,i]1+Σjkεjjikk です。
 

d()()=gXg-1~ X-iεlΣiji[j,i] 

=X+εjΣjikijikkΣij(δik+εjjik)ik 

より,{d()}j=Σi(δik+εjjik)k
 

(1iεjj)を示す行列:jとしては, 

(j)kiijikikij です。 

or 添字を変えると,()cbibacです。
 

(6-2終わり※)
 

カレントを組み替えて,ベクトルカレント:Vと軸性ベクトル 

カレント:Aを定義します。
 

すなわち, 

μ()=jRμ()+jLμ(), 

μ()=jRμ()-jLμ() です。
 

これらに対応するチャージは, 

(0)=Q(0)+Q(0),および, 

5(0)=Q(0)-Q(0)です。
 

容易にわかるように,チャージーカレント交換関係は, 

[,μ()]iabcμ(), 

[,μ()]iabcμ(),  

[5,μ()]iabcμ(), 

[5,μ()]iabcμ()  

となります。
 

以下で考察するのは,軸性チャージ:5が全て,自発的に破れ, 

(()群をなす)ベクトルチャージ:の対称性のみが残る 

場合,つまり,G=U()×U()が自発的に,H=U() 

まで破れる場合です。
 

この場合,5の破れに対応して現われるn2個のNGボソン:π 

が出現して全て擬スカラー粒子です。これらが残っているU() 

群の随伴表現(=U()Lie代数の空間での表現基底)に属し,  

しばしばπ粒子(pion)と呼ばれます。
 

(※現実のπ中間子:π±,π0は近似的なカイラル 

SU(2)×SU(2)対称性のQが破れて残ったSU(2)

に対応する3重項のNGボソン(=アイソ空間のベクトル)

とみなされています。※)
 

※注(6-3):(),()はそれぞれ,22個の独立な実数 

決まる行列要素という行列自由度から,ユニタリ性の条件式:  

2個の自由度を引いた残りのn2自由度を持ち,それぞれ  

の群の生成子をなすチャージのn2個のQ,2個のQ5 

対応しています。  (6-3終わり※)
 

()のn次元基本表現をなす,n個のスピン1/2Fermi粒子  

が結合状態か何かで,系のLagrangianに存在しているとしそれら  

を核子(nucleon)と呼んで.Nで表わします。
 

1つの核子が1つの軟NGボソン:πを放出する過程に対応して 

軸性カレントAμ()を運動量piμとpfμの核子状態で挟んだ 

行列要素:

<N(f)|μ()|(i)>=Mμ()exp(iqx) 

を考察します。ただし,q=pi-pfです。
 

(6-4):|()>は, i番目のNの運動量表示の場の演算子 

=消滅・生成演算子:i(,),および,i(,) 

i(,){(2π)3(0/)}1/2i(,),および, 

i(,){(2π)3(0/)}1/2i(,)と規格化した 

1粒子状態:|,,s>=Bi(,)|0>のスピンsを省略した 

表式:|i,2>を意味します。i番目の添字i省略した表現が 

|()>です。
 

そこで,運動量がp1i番目のNと,運動量がp2のj番目のNの 

内積は,i,1|,2>=(2π)3(0/)δ3(12)δij 

なっています。
 

ここで,質量がm,スピンが1/2Dirac粒子の場理論定式化を 

復習すると,エネルギーはE=p0(2+m2)1/であり, 

場の演算子は,ψ()=Σ±s∫d3(2π)-3/2(/)1/2 

{(,)(,)exp(ipx) 

+d(,)(,)exp(ipx)},および, 

ψ()=Σ±s∫d3(2π) -3/2(/)1/2 

{(,)~(,)γ0exp(ipx) 

+d(,)~(,)γ0exp(ipx)} 

なる展開で表現されます。
 

このDirac場の同時刻の正準反交換関係は, 

{ψα(,),ψβ(,)}=δαβδ3(x-), 

それ以外はゼロですから, 

{(1,1),(2,2)}=δs1s2δ3(12) , 

{(1,1),(2,2)}=δs1s2δ3(12) 

それ以外はゼロです。
 

場理論の座標表示では,時空座標の演算子:μ^, 

μ^=∫d3ψ()μψ() で与えられます。
 

粒子の座標の固有値:yに属する固有ベクトルは, 

|y>=cψ()|0>とすると,μ^|y>=yμ|i 

を満たすので,0=y0の同時刻で,<x|y>=δ3() 

の規格化条件を課すなら,c=1であって,|x>=ψ()|0 

です。
 

核子の1粒子状態を,|()>=|,s>=b(,)|0 

と定義するなら,|x>=ψ()|0>より, 

座標表示=波動関数は, 

<x|()>=<0|ψ()(,)|0 

(2π)-3/2(/)1/2(,)exp(ipx) 

です。
 

しかし,1粒子状態を,(ps)の代わりに, 

i(,){(2π)3(0/i)}1/2i(,) によって, 

|()>=|,s>=B(,)|0>と定義する 

なら,波動関数は,<x||() 

=<0|ψ()(,)|0>=u(,)exp(ipx) 

です。
 

粒子でなく,反粒子なら,|()>=d(,)|0>または 

|()>=D(,)|0>ですが,
 

後者の定義を採用すれば,波動関数は, 

<x||()>=<0|ψ()(,)|0 

=v(,)exp(ipx) です。
 

(6-4終わり※)
 

このとき,Lorentz不変性,()対称性,(パリティ), 

あるいは,CP(または,)の不変性の仮定から,μ(), 

μ()=u~(){γμγ5(2) 

+qμγ5(2)}(i)の一般形を取ることがわかります。
 

(6-5):上記式の証明です。 

<N(f)|μ()|(i)>=Mμ()exp(iqx) 

においては,始状態bra:|(i),終状態ket:<N(f)| 

に対応するDiracスピノルを,それぞれ, 

(i,i)=u(i),~(,)=u()~と書き, 

()のスピノルをχ(i),χ()とします。
 

さらに,運動量変数;q=pf-pi,p=pi+pfが使用可能な 

Lorentz共変量ですから,これらからLorentz擬ベクトル 

(軸性ベクトル),かつ,()随伴表現となるMμ 

作らなければなりません。
 

()に関する因子は,明らかに,{χ()χ(i)} です。
 

一方, Lorentz共変部分は,Diracスピノル u(i), ()~ 

から作ることができる独立な共変量が, 

()~{1,γ5,γμ,γμγ5,σμν}(i) 

1144616個です。
 

これらによってつくることが可能で独立と思われる擬ベクトル 

の全ては,Γ(1)μ=qμ()~γ5(i), Γ(2)μ=pμ()~γ5(i), 

Γ(3)μ=u()~γμγ5(i), 

Γ(4)μ(1/2)εμνρσν()~σρσ(i) 

=qν()~γ5σμν(i),Γ(5)μ=pν()~γ5σμν(i), 

Γ(6)μ(μ,または,μ)()~γ5(i), 

Γ(7)μ(μ,または,μ)()~ γ5(i)   

で与えられます。
 

ここで,自由Dirac方程式;i(i)=mu(i),および, 

()=mu() or ()~=mu() ~などを用いると, 

Γ(4) ~ Γ(7),Γ(1) ~ Γ(7)の線形和で表わすことができる 

ため, 結局, 

(i)χ(i)を u(i),()χ()をu(f)と表記して 

<N(f)|μ()|(i)>=exp(iqx) 

[~(f){1(2)μγ5+g2(2)μγ5 

+g3(2)γμγ5}(i)] を得ます。
 

ここで,i2=p2=m2ですから,定数でない独立なLorentz 

不変変数(スカラー量)で可能な引数はq2のみなのでg1,2,3 

はq2の関数であるとしました。
 

そして,μHermite性から<N(i)|μ()|(f) 

=<N()|μ()|(i) 

=<N()|μ()|(i)> です。
 

故に,~()(){1(―qμ)γ5~+g2μγ5~ 

+g3(γμγ5)~}(i)=u~(f){1(2)μγ5 

+g2(2)μγ5+g3(2)γμγ5}(i) です。 

ただし,Γ~=γ0Γγ0です。
 

γ5~=-γ5,(γμγ5)~=γμγ5,()=Tですから, 

1=g1,2=-g2, 3=g3 を得ます。
 

つまり,1,3は実数で,2は純虚数です。
 

次に(時間反転)不変性の要求は, 

行列要素:<N()|μ(0)|(i)> が, 

<N()|-1μ(0)-1|(i) 

=<()|μT(0)|(i)に等しいこと 

を意味します。
 

ただし,μ(0)­=Σμ(0)­時間反転による変換後 

の演算子が,μT(0)=Σaμ(0)()となることを 

用いました。
 

電磁場:μのt'=-tの時間反転の変換性のアナロジーで 

各aについて,μ(,)-1=Aaμ(,-t), 

または,-1μ(,-t)=Aaμ(,)になると 

考えられます。
 

時間反転:t →t'=-tに伴って,演算子でなく状態が, 

|α> → |α7>=|α>,|β> → |β'>=|β> 

と変換されると考えますが, 

は「複素共役を取れ」という指令:とユニタリ変換: 

の積でT=KUと表わされる反ユニタリ演算子です。
 

そこで,-1μ(,-t)=Aaμ(,)という式の 

意味は,状態による行列要素において, 

<α|-1μ(,-t)|β>=<α|aμ(,)|β> 

=<β|aμ+(,)|α>が成立する,という意味です。
 

つまり,t'=-tなる変換で,<α'|μ(,-t)|β'> 

=<α|μ(,-t)|β> 

=<β|μ(,-t)|α> 

=<β|aμ+(,)|α> です。
 

したがって,μ(,-t)U=Aμ+(,)より, 

 UAμ(,)-1=Aμ+(,-t) です。
 

対称性群の一般変換としてのゲージ場は,線形和で, 

μ(,)1=Σaμ+(,)ですが,個々の 

aμHermite演算子なので, 

μ(,)1=Σaμ+(,-t)()と書けます。
 

μ(,-t)U=Aμ+(,)から, 

UAμ(,)-1=Aμ+(,-t) 

=Σaμ+(,-t)()であり,結局, 

TAμ(,)-1­=Σaμ(,-t)() 

=AμT(,-t) を得ます。 
 

一方,|()>の波動関数は,0|ψ(0) |() 

=<0|1-1ψ(0) |()>=<0|-1ψ(0) |() 

=<0|iγ1γ3ψ(0)|()iγ1γ3()です。
 

(何故なら,(γ1)=γ1,(γ3)=γ3です。)
 

そこで,<N()|μ(0)|(i) 

=u~(f){1(2)μγ5+g2(2)μγ5 

+g3(2)γμγ5}(i) 

ですが,
 

時間反転不変性から, 

<N()|μ(0)|(i) 

=<()|aμT(0)|(i) 

=u~(f)()(iγ1γ3)~ 

×(1^μγ5+g2^μγ5+g3γ^μγ5)(iγ1γ3)(i) 

が要求されます。
 

ただし,^μ,^μ,γ^μ,μ,μ,γμの時間反転後の値 

を意味します。
 

まず,Γ~=γ0Γγ0より, 

(iγ1γ3)~=-iγ0γ3γ1γ0=-iγ3γ1 です。 

故に,(lγ1γ3)~γ5(iγ1γ3)=γ3γ1γ5γ1γ3=γ5, 

また,(lγ1γ3)~γ^μγ5(iγ1γ3)=γ3γ1γ^μ(γ1γ3)γ5  

です。ここで先読みしてγ^μT=-γμ*, 

つまり,γ^μ=-γμと仮定すると, 

μ=0ならγ^0=γ0=-γ0ですから. 

(lγ1γ3)~γ^0γ5(iγ1γ3)=-γ3γ1γ0(γ1γ3)γ5 

=-γ0γ5 

μ=2ならγ^2=-γ2=-γ2ですから 

(lγ1γ3)~γ^2γ5(iγ1γ3)=-γ3γ1γ2(γ1γ3)γ5 

=-γ2γ5=-γ2γ5 

μ=1,3ならγ^1=γ1=γ1です。
 

以上から,(lγ1γ3)~γ^μγ5(iγ1γ3) 

=-γμγ5(γμγ5),または. 

lγ1γ3)~(γ^μγ5)(iγ1γ3)(γμγ5)です。
 

そこで,~(f)() {1(2)μγ5+g2(2)μγ5 

+g3(2)γμγ5}(i) 

=u~(f)(){1(2)^μγ5+g2(2)^μγ5 

+g3(2)γ^μγ5}(i) を得ます。
 

これは,1,2,3が実数で,^μ=qμ,^μ=pμ, 

γ^μ=-γμであれば成立します。
 

そこで,2は実数で.かつ純虚数ですからg20です。
 

以上から,<N(f)|μ()|(i) 

=Mμ()exp(iqx) 

そして,μ() 

=u~(){γμγ5(2)+qμγ5(2)}(i) 

と書けることが証明されました。(証明終わり)
 

(6-5終わり※)
 

長くなったし,切りがいいので,今日はここまでにします。 

  (参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論()


  PS:関係ないけど,中学生のころ故郷の大原美術館 

 観て感動したエル。グレコの受胎告知,また故郷に

 帰れたら 見てみたいですね。
 

 マリアのスカートの赤色などすばらしいと思いました。

ついでに 山下清 画伯 作品

    「山下清 作品」の画像検索結果

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