対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子（10)

「ゲージ場の量子論」(対称性の自発的破れ)の続きです。
 

§6.4 非線形表現の続きです。
 

前回は,非線型表現のLagrangianにおいて基本的役割を 

果たす量は,ξ(π)∈Ｇ/Ｈから作られる次の1形式 

(1次微分形式)です。
 

すなわち,α(π)＝(－i)ξ(π)^-1ｄξ(π),または,もっと 

陽に成分で,α＝α_μｄｘ^μ,ｄξ＝∂_μξｄｘ^μとして, 

α_μ(π)＝(－i)ξ(π)^-1∂_μξ(π)です。 

(※これは,数学ではマウレ－・カルタン形式 

(Maurer-Cartan form)と呼ばれます。)
 

と書いて終わりました。
 

ここからは今回の記事です。
 

まず,α(π)は,群:ＧのLie代数:Ｇに属するので,その基底:  

{Ｔ^Ａ}＝{Ｓ^α∈Ｈ,Ｘ^a∈(Ｇ－Ｈ)}で展開できます。
 

※(注10-1):α(π)＝(－i)ξ(π)^-1ｄξ(π),ξ(π)＝exp(iπ),  

故に,詳細は後述しますが,α(π)＝exp(－iπ)ｄπexp(iπ)  

＝ｄπ＋(－i)（1/2!)[π,ｄπ] 

＋(－i)²(1/3!)[π,[π,ｄπ]]＋..であり, 

右辺∈Ｇ＝Ｈ∪(Ｇ－Ｈ)です。 

(注10-1終わり※)

そこで,α(π)をＨに属する成分:α_//と(Ｇ－Ｈ)に属する 

成分:α_⊥に分けて,それぞれを,Ｈに平行な成分, Ｈに直交 

する成分と呼びます。
 

α_μ(π)＝α_//μ(π)＋α_⊥μ(π)  

α_//μ(π)＝α_//^α_μＳ^α＝2Ｔr[Ｓ^αα_μ(π)]Ｓ^α ∈Ｈ  

α_⊥μ(π)＝α_⊥^a_μＸ^a＝ 2Ｔr[Ｘ^aα_μ(π)]Ｘ^a ∈(Ｇ－Ｈ)
 

Maurer-Cartan形式:α_μ(π)のｇ∈Ｇによる変換は,  

ξ(π)の変換則から,α_μ(π) → α_μ(π')  

＝ｈ(π,ｇ)α_μ(π)ｈ^-1(π,ｇ)

＋(－ｉ)ｈ(π,ｇ)∂_μｈ^-1(π,ｇ) となります。

(※ｇは時空座標ｘには依らない大局的変換です、  

よって∂_μｇ＝0 です。※)
 

※(注10-2):何故なら

ξ(π) → ξ(π')＝ｇξ(π)ｈ^-1(π,ｇ) なので,  

(－i)ξ(π)^-1∂_μξ(π) → ξ(π')∂_μξ(π)  

＝(－i)ｈ(π,ｇ)ξ(π)^-1ｇ^-1∂_μ{ｇξ(π)ｈ^-1(π,ｇ) (π)}  

＝(－i)ｈ^-1(π,ｇ)ξ(π)^-1∂_μξ(π)∂_μξ(π)ｈ(π,ｇ)  

＋(－ｉ)ｈ(π,ｇ)∂_μｈ^-1(π,ｇ)
 

(注10-2終わり※)
 

そして,非斉次項: ｈ∂_μｈ^-1はＨに属するので,  

α_//μ(π) → α_//μ(π')  

＝ｈ(π,ｇ)α_//μ(π)ｈ^-1(π,ｇ)

＋(－ｉ)ｈ(π,ｇ)∂_μｈ^-1(π,ｇ)
 

α_⊥μ(π) → α_/⊥μ(π')

＝ｈ(π,ｇ)α_/⊥μ(π)ｈ^-1(π,ｇ) です。
 

すなわち,直交成分:α_⊥μ(π)だけが斉次変換します。

(Ｇ－Ｈ)の基底である破れた生成子:{Ｘ^a}は先述したように, 

一般にＨの可約な表現により,表現空間:(Ｇ－Ｈ)の基底は 

{Ｘ^a}＝{Ｘ^a1}＋|Ｘ^a2}＋..＋|Ｘ^an}と既約分解されます。
 

そのため,(Ｇ－Ｈ)に属するα_μ(π)の直交成分:α_⊥μ(π)は 

ｎ個の既約成分に分割されます。 

α_⊥μ⁽ⁱ⁾(π)＝α_⊥μ^ai)(π)Ｘ^ai＝2Ｔr[Ｘ^aiα_μ(π)]Ｘ^ai 

(ｉ＝1,2,..,ｎ)　です。ここで,慣例通り,簡単のため省略した 

Σ_aiの添字ａ_iは,既約セクター:{Ｘ^ai}の上のみを走る和を 

意味します。
 

分解された既約成分:α_⊥μ⁽ⁱ⁾(π)は,各々独立に変換されて, 

α_⊥μ⁽ⁱ⁾(π)→ α_/⊥μ⁽ⁱ⁾(π')＝ｈ(π,ｇ)α_/⊥μ⁽ⁱ(π)ｈ^-1(π,ｇ) 

または, α_/⊥μ^ai(π')＝ρ⁽ⁱ⁾_aibi(ｈ(π,ｇ))α_⊥μ^biπ) 

と変換します。
 

したがって,ＮＧボソン場のみから作られる,微分次数が 

最低次(2次)のＧ-不変な最も一般的なLagrangian密度は, 

Ｌ＝Σ_i=1ⁿｆ_i²Ｔr[{α_⊥μ⁽ⁱ(π))²] 

で与えられることがわかります。
 

よって,(Ｇ－Ｈ)のＨ-既約成分の数:ｎだけの任意定数 

ｆ_i²を含みます。
 

この任意定数:ｆ_iは次元が＋1の量であることがわかります。 

この定数:ｆ_iは先に定義したＮＧボソンの崩壊定数(結合定数): 

ｆ_πのことで,ｉ番目のＨ-既約セクターのＮＧボソン:π^ai(ｘ)に 

対応するものなのでｆ_π⁽ⁱ⁾とでも書くべき量です。
 

このことを見るために,まず,Maurer-Cartan形式:α_μ(π)を 

π(ｘ)＝π^a(ｘ)Ｘ^aで陽に表わすべく,次の式に注意します。 

α_μ(π)＝(－i)exp(iπ)∂_μ{exp(iπ)} 

＝∂_μπ＋(－i/2!)[π,∂_μπ]

＋{(－i)²/3!}[π,[π, ∂_μπ]]＋..
 

※(注10-3): exp(－iπ)[exp{i(π＋Δπ)－exp(iπ)]/Δｘ^μ 

＝[exp(－iπ)exp{i(π＋Δπ)}－1]/Δｘ^μです。
 

ここで,Ｆ(ｘ)＝exp(ｘＡ)exp(ｘＢ)とおくと, 

ｄＦ/ｄｘ＝Ａexp(ｘＡ)exp(ｘＢ)＋exp(ｘＡ)Ｂexp(ｘＢ) 

＝{Ａ＋exp(ｘＡ)Ｂexp(－ｘＡ)}Ｆ(ｘ) 

＝{Ａ＋Ｂ＋(1/2!)[Ａ,Ｂ]ｘ＋(1/3!)[Ａ,[Ａ,Ｂ]]ｘ²..}Ｆ(ｘ) 

です。Ｆ(0)＝1より積分してｘ＝1と置くと,  

Ｆ(1)＝exp(Ａ)exp(Ｂ) 

＝exp|Ａ＋Ｂ＋(1/2!)[Ａ,Ｂ]＋(1/3!)[Ａ,[Ａ,Ｂ]]＋..} 

です。
 

故にexp(－iπ)exp{i(π＋Δπ)} 

＝exp|iΔπ＋(1/2!)[π,Δπ]＋(－i)(1/3!)[π,[π,Δπ]]＋..}
 

lim_Δｘ→0([exp(－iπ)exp{i(π＋Δπ)}－1]/Δｘ^μ) 

＝i∂_μπ＋(1/2!)[π,∂_μπ]＋(－i)(1/3!)[π,[π,∂_μπ]]＋. 

が得られます。
 

ここで,2006年10/23の本ブログの過去記事: 

「量子力学の交換関係の問題(その2)」を参照しました。
 

これは短いので全文を再掲載・引用します。
 

(※以下は再掲載記事です。)
 

今回も量子力学の交換関係の問題を解きます。
 

「線形演算子:Ａ,Ｂが,[Ａ,[Ａ,Ｂ]]＝0 ,または, 

[Ｂ,[Ａ,Ｂ]]＝0 を満足するとき, 

expＡexpＢ＝exp(Ａ＋Ｂ＋[Ａ,Ｂ]/2) 

が成立することを証明せよ。」という問題です。
 

続いて解答です。 [Ａ,[Ａ,Ｂ]]＝0 と仮定し,関数ｆ(ｘ)を 

ｆ(ｘ)＝exp(ｘＡ)exp(ｘＢ)で定義します。 

このとき,もちろんｆ(0)＝1です。
 

ｆ(ｘ)をｘで微分すると, 

ｄｆ/ｄｘ＝Ａexp(ｘＡ)exp(ｘＢ)＋exp(ｘＡ)Ｂexp(ｘＢ) 

＝{Ａ＋exp(ｘＡ)Ｂexp(－ｘＡ)}ｆ(ｘ) 

と書くことができます。
 

そこで,今度はｇ(ｘ)＝exp(ｘＡ)Ｂexp(－ｘＡ)という 

関数:ｇ(ｘ)を考えます。
 

すると,まずｇ(0)＝Ｂ です。次にｘで微分すると 

ｄｇ/ｄｘ＝exp(ｘＡ)[Ａ,Ｂ]exp(－ｘＡ)ですから, 

ｘ＝0 とおいて,ｇ'(0)＝[Ａ,Ｂ]です。
 

さらに微分すると, 

ｄ²ｇ/ｄｘ²＝exp(ｘＡ)[Ａ,[Ａ,Ｂ]] exp(－ｘＡ) 

より,ｇ"(0)＝[Ａ,[Ａ,Ｂ]]　を得ます。
 

結局,帰納的に考えると, 

ｇ(ｘ)＝exp(ｘＡ)Ｂexp(－ｘＡ)は, 

ｇ(ｘ)＝Ｂ＋[Ａ,Ｂ]ｘ＋[Ａ,[Ａ,Ｂ]]ｘ²/2! 

＋[Ａ,[Ａ,[Ａ,Ｂ]]]ｘ³/3!＋..とMaclaurin展開される 

ことになります。
 

そして,特にｘ＝1とおくと, 

ｇ(1)＝expＡ・Ｂexp(－Ａ) ＝Ｂ＋[Ａ,Ｂ]＋[Ａ,[Ａ,Ｂ]]/2! 

＋[Ａ,[Ａ,[Ａ,Ｂ]]]/3!＋..　が成立します。
 

しかし,問題の解答としては,これは余談です。
 

ところで,仮定より[Ａ,[Ａ,Ｂ]]＝0ですから, 

この場合にはｇ(ｘ)＝exp(ｘＡ)Ｂexp(－ｘＡ) 

＝Ｂ＋[Ａ,Ｂ]ｘとなります。
 

したがって,ｄｆ/ｄｘ＝{Ａ＋Ｂ＋[Ａ,Ｂ]ｘ}ｆ(ｘ)　です。
 

ｆ(0)＝1という条件下でこの線形微分方程式を解くと, 

解は一意的でｆ(ｘ)＝exp{(Ａ＋Ｂ)ｘ＋[Ａ,Ｂ]ｘ²/2) 

となります。
 

これにｘ＝1を代入すると, 

ｆ(1)＝expＡexpＢ＝exp(Ａ＋Ｂ＋[Ａ,Ｂ]/2) 

が得られます。
 

一方,[Ｂ,[Ａ,Ｂ]]＝0 のときは, 

ｄｆ/ｄｘ＝exp(ｘＡ)Ａexp(ｘＢ)＋exp(ｘＡ)exp(ｘＢ)Ｂ 

＝ｆ(ｘ){exp(－ｘＢ)Ａexp(ｘＢ)＋Ｂ}  

と書けます。
 

そして,[Ｂ,[Ａ,Ｂ]]＝0 なら{exp(－ｘＢ)Ａexp(ｘＢ) 

＝Ａ＋[Ａ,Ｂ]ｘなので, 

ｄｆ/ｄｘ＝ｆ(ｘ){Ａ＋Ｂ＋[Ａ,Ｂ]ｘ}となり, 

同様にして同じ結果が得られます。(再掲載終了※)
 

ここで問題としているＦ(ｘ)＝exp(ｘＡ)exp(ｘＢ)と 

2006年の過去記事の問題におけるｆ(ｘ)＝exp(ｘＡ)exp(ｘＢ) 

の違いは,前者では[Ａ,[Ａ,Ｂ]]＝0,または,[Ｂ,[Ａ,Ｂ]]＝0  

を仮定していないので,より一般的問題への拡張 

となっていることです。　(注10-3終わり※)
 

α_μ(π)＝(－i)exp(iπ)∂_μ{exp(iπ)}  

＝∂_μπ＋(－i/2!)[π,∂_μπ]

＋{(－i)²/3!}[π,[π, ∂_μπ]]＋.. の右辺第1項が

∂_μπなので, 

α_⊥μ(π)＝Ｘ^ai∂_μπ^ai(ｘ)＋(πについて2次以上の項)　  

となることがわかります。
 

それ故,ＮＧボソン場:π^ai(ｘ)がLagrangian密度:

Ｌ＝Σ_i=1ⁿｆ_i²Ｔr[{α_⊥μ⁽ⁱ(π))²]において規格化された 

運動項(1/2)(∂_μπ^ai∂^μπ^ai)を持ち,かつ正しい場の 

次元:dimπ^ai＝＋1を持つように,変数π^ai(ｘ)の再定義 

をします。すなわち,π^ai(ｘ)→ π^ai(ｘ)/ｆ_iとします。
 

※(注10-4):次元＝単位の話を復習します。 

自然単位ｃ＝ｈ＝1を採用しているので,1＝[ｃ]＝ＬＴ^-1 

よりＬ＝Ｔですから,エネルギー:の単位は[Ｅ]＝ＭＬ²Ｔ^-2 

＝Ｍであり,単位は質量と同じです。
 

そこで,Planck定数:ｈの単位が,エネルギー×時刻＝ＭＴ 

と読めますから,結局:Ｔ＝Ｌ＝Ｍ^-1で全ての単位はＭだけ 

で表わすことができて,これを質量次元といいます。
 

例えば,ＬをLagrangian,ＨをHamiltonianとすると. 

[Ｈ]＝[Ｌ]＝Ｍであり,その密度の単位は,ＭＬ^-3＝Ｍ⁴ 

です。それ故,[Ｌ]＝Ｍ⁴です。
 

そしてφがスカラー場なら自由粒子の系では, 

Ｌ＝(1/2)∂_μφ∂^μφ―μ²φ²なので[φ]＝Ｍです。 

これをdimφ＝＋1とも書きます。
 

他方,ｇ＝exp(iπ)∈Ｇは,ψ(ｘ)を 

ψ→ ψ'＝ｇΨ＝exp(iπ)ψに変換させる位相変換なの 

で[π]＝1でありＮＧボソン場の質量次元はゼロです。
 

α_⊥μ(π)＝Ｘ^ai∂_μπ^ai(ｘ)＋(πについて2次以上の項) 

より[α_⊥μ(π)]＝Ｍですから,[Ｌ]＝Ｍ⁴と 

Ｌ＝Σ_i=1ⁿｆ_i²Ｔr[{α_⊥μ⁽ⁱ(π))²]から[ｆ_i]＝Ｍを得ます。
 

そこで,π^ai(ｘ)→ π^ai(ｘ)/ｆ_iなるスケール変換で 

[π^ai(ｘ)]＝Ｍ,or dimπ^ai(ｘ)＝＋1を得ます。 

(注10-4終わり※)
 

そうすれば,ξ(π) → ξ(π')＝ｇξ(π)ｈ^-1(π,ｇ) 

というπのｇ∈Ｇによる変換則から,ｇが破れた生成子:Ｘ^ai方向 

の無限小変換:ｇ＝rxp(iθ^aiＸ^ai)～1＋iθ^aiＸ^aiのときには, 

ξ(π)＝exp(iπ/ｆ_i) → ξ(π')＝exp{i(π＋δπ)/ｆ_i} 

＝(1＋iθ^aiＸ^ai) exp(iπ/ｆ_i)ｈ^-1(π,ｇ)　です。
 

この変換ではπ^ai(ｘ)の変換:π'^ai－ π^ai＝δπ^aiのみが, 

πについて0次の項を持ち. 

δπ^ai＝ｆ_iθ^ai＋(πについて1次以上の項)　です。
 

よってＸ^ai方向の変換に対するNoetherカレントは, 

ｊ^ai_μ(ｘ)＝(－i){∂Ｌ/∂(∂_μπ^ai)}{(iｆ_i)＋Ｏ(π)} 

＝ｆ_i(∂_μπ^ai)＋(πについて2次以上の項)の形になるため, 

ｆ_iは確かにπ^aiの崩壊係数を意味することがわかります。
 

Ｇ/Ｈの既約な対称空間の場合,つまり,[Ｇ－Ｈ,Ｇ－Ｈ]⊂Ｈ 

で既約な場合,展開:α_μ(π)＝∂_μπ＋(－i/2!)[π,∂_μπ] 

＋{(－i)²/3!}[π,[π, ∂_μπ]]＋..において, 

πの偶数次の部分がα_//μ(π)∈Ｈで奇数次の部分が, 

α_//μ(π)∈(Ｇ－Ｈ)となって分離されます。
 

さらに,(Ｇ－Ｈ)が既約空間:つまり, 

{Ｘ^a}＝{Ｘ^a1}＋|Ｘ^a2}＋..＋|Ｘ^an}の直和分割がｎ＝1ですから 

Lagrangian密度:Ｌ＝Σ_i=1ⁿｆ_i²Ｔr[{α_⊥μ⁽ⁱ(π))²]は, 

π→π/ｆ_iでｆ_i＝ｆ_πとして, 

Ｌ＝Ｔr{(∂_μπ＋{(iｆ_π)^-2/3!}[π,[π, ∂_μπ]]＋..)²} 

＝Ｔr{(∂_μπ)²}－(3ｆ_π²)^-1Ｔr{(∂_μπ[π,[π, ∂_μπ]])} 

＋..　となります。
 

ここまで,Ｇは単純群であるとして,非自明な部分群の直和では 

表わせない直既約群である,と仮定しましたが,単純群でない 

場合ても本質的には同様です。
 

例として,前述したカイラル群;Ｇ＝Ｕ(ｎ)_Ｌ×Ｕ(ｎ)_Ｒの対称性 

が,Ｈ＝Ｕ(ｎ)_Ｖにまで破れる場合を考えます。
 

このとき,Ｇは半単純群です。 

つまり,Ｇの部分群は,自明な正規部分群:Ｇ,{1}を除き, 

全て非可換群です。
 

ｇ∈Ｇは,ｇ_Ｌ∈Ｕ(ｎ)_Ｌとｇ_Ｒ∈Ｕ(ｎ)_Ｒの組:(ｇ_Ｌ,ｇ_Ｒ)であり, 

チャージ:Ｑ^a＝Ｑ^a_Ｌ＋Ｑ^a_Ｒに対応する破れていない生成子は, 

(Ｔ^a,Ｔ^a)で,チャージ:Ｑ₅^a＝－Ｑ^a_Ｌ＋Ｑ^a_Ｒに対応する破れた 

生成子は,(－Ｔ^a,Ｔ^a)で与えられ,それ故,部分群:Ｈ＝Ｕ(ｎ)_Ｖ 

は,(ｇ,ｇ)の形の元から成っています。
 

そこで,ξ(π),α_μ(π),α_//μ(π),α_⊥μ(π)に対応する量は, 

まず,ξ(π):π∈(Ｇ－Ｈ)については, 

(exp(－iπ^aＴ^a/ｆ_π),exp(iπ^aＴ^a/ｆ_π)) 

＝(ξ^-1(π), ξ(π))です。
 

α_μ(π),α_//μ(π),α_⊥μ(π)については, 

(－i)(ξ^-1(π),ξ(π))^-1∂_μ(ξ^-1(π),ξ (π)) 

＝(－i)(ξ(π)∂_μξ^-1(π),ξ^-1(π)∂_μξ(π)) 

＝(α_//μ(π)－α_⊥μ(π),α_//μ(π)＋α_⊥μ(π)), 

最後の式は,α_//μ(π),α_⊥μ(π)の定義でもあります。
 

α_//μ(π)＝(2i)^-1[ξ^-1(π)∂_μξ(π)＋ξ(π)∂_μξ^-1(π)] 

α_⊥μ(π)＝(2i)^-1[ξ(π)∂_μξ^-1(π)－ξ^-1(π)∂_μξ(π)] 

＝(2i)^-1ξ(π)(Ｕ^-1∂_μＵ)ξ^-1(π)　です。
 

ただし,Ｕ＝ξ²(π)＝exp(2iπ/ｆ_π)なる変数を導入 

しました。また,この場合,Ｇ/Ｈは既約で,１つしかない崩壊定数 

ｆ_πで予めＮＧボソン場を規格化しておきました。
 

ξ(π) → ξ(π')＝ｇξ(π)ｈ^-1(π,ｇ)に相当する 

(ｇ_Ｌ,ｇ_Ｒ)∈Ｇによるの変換則は,(ξ^-1(π),ξ(π)) 

→ (ξ^-1(π'),ξ(π'))＝(ｇ_Ｌ,ｇ_Ｒ)(ξ^-1(π),ξ(π)) 

(ｈ(π,ｇ_Ｌ,ｇ_Ｒ),ｈ(π,ｇ_Ｌ,ｇ_Ｒ)^-1 

＝(ｇ_Ｌξ^-1(π)ｈ^-1(π,ｇ_Ｌ,ｇ_Ｒ,ξ(π),

ｇ_Ｒξ(π)ｈ^-1(π,ｇ_Ｌ,ｇ_Ｒ)) 

です。
 

この場合,両辺で右元を左元で割ったものを計算すれば, 

Ｕ＝ξ²(π)→ Ｕ'＝ξ²(π')＝ｇ_Ｒξ²(π)ｇ_Ｌ^-1, 

つまり,Ｕ→ Ｕ’＝ｇ_ＲＵｇ_Ｌ^-1です。
 

Ｇ-不変,カイラル不変なLagrangian密度は,一意的に, 

Ｌ_カイラル＝ｆ_π²Ｔr{α_⊥μ(π)²}＝(ｆ_π²/4)Ｔr{(Ｕ∂_μＵ)²} 

となります。
 

α_⊥μ(π)＝(2i)^-1[ξ(π)∂_μξ^-1(π)－ξ^-1(π)∂_μξ(π)] 

は,α_μ(π)＝(－i)ξ(π)∂_μξ^-1(π)の展開におけるπの 

奇数次項を表わしていることは明らかですから,Ｌ_カイラルは 

既約対称な(Ｇ/Ｈ)の場合のLagrangian密度: 

Ｌ＝Ｔr{(∂_μπ)²}－(3ｆ_π²)^-1Ｔr{(∂_μπ[π,[π,∂_μπ]])} 

と同じ式になることがわかります。
 

今日はここまでにします。
 

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論(Ⅱ)」 

(培風館)

季節はずれのエイプリルフール？

　何ーー？量子コンピュータの試作機公開だって？？

テクノロジーニュース　→　

[世界界初の量子コンピュータＮＴＴが開発

「ミニブラックホ－ルが地球上で見つかった。」という昔,「いろもの」さんや「アクシオン」さんが言ってた4月1日ののジョークと同じくらいにジョ－クかフェイクっぽい。

　2006年5/4の過去記事:：

「公開キー暗号(神はサイコロ遊びをなさる)」　を参照されたい。

ＰＳ:今日の掘り出しモノ:「ちあきなおみ」の「朝日楼」

対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子（9)

「ゲージ場の量子論」(対称性の自発的破れ)の続きです。
 

さて,我々は一般相対性理論によって, 

我々の宇宙の４次元時空は擬Riemann多様体であり,その 

計量テンソル成分を(ｇ_μν)とすると時空点の世界間隔:ｄｓ 

はｄｓ²＝ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^νで与えられること,
 

そして,時空を運動する粒子のLagrangian密度:Ｌを, 

Ｌ(ｘ)＝－ｄｓ＝(ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^ν)^1/2として,作用:  

Ｓ＝∫ｄ^４ｘＬ(ｘ)＝－∫ｄｓに対する作用原理: 

停留条件(最大固有時間)δＳ＝0を満たすEuler-Lagrange  

方程式が時空内の粒子(質点)の運動を支配する測地線 

の方程式(自由落下)を与えることを知っています。

そこで,以下の論議の最終目的は次のとおりです。
 

例えば,カイラル群:Ｇ＝Ｕ(ｎ)_Ｌ×Ｕ(ｎ)_ＲがＨ＝Ｕ(ｎ)_Ｖ 

へと自発的に破れた場合,商空間:Ｇ/ＨをＮＧボソンの場: 

π^a(ｘ)を座標とする多様体と見なすことができます。
 

そして,多様体Ｇ/Ｈの座標は,π^a(ｘ)に限らず, 

φ^α＝ｆ^α(π)(α＝1,2,dim(Ｇ/Ｈ))のように, 

一般的ニ選ぶことができて,そのときの計量テンソル: 

ｇ_αβ(φ) により,カイラルLagrangianの自然な形式 

として時空多様体標準のＬ_カイラル＝ｇ_αβ(φ)∂_μφ^α∂^μφ^β 

とできることを見るのが最終目的です。
 

そのため,ＮＧボソンの場:π^aによるＧ/Ｈの代表元: 

ξ(π)が,ξ(π)＝exp{i(Σ_aπ_aＸ^a)}, 

π(ｘ)＝Σ_aπ_a(ｘ)Ｘ^a∈(Ｇ－Ｈ)　で与えられ, 

さらに,ｆ_πを崩壊定数としてスケール変換:  

π(ｘ)　→　π(ｘ)/ｆ_π,を実行して, 

Ｕ＝ξ²(π)＝exp{2iπ(ｘ)/ｆ_π}(から 

ＮＧボソン場のカイラルLagrangian密度:Ｌ_カイラル 

がＬ_カイラル＝－(ｆ_π²/４)Ｔr(Ｕ∂_μＵ)で与えられる 

ことがわかり,これが結局:Ｌ＝ｇ_αβ(φ)∂_μφ^α∂^μφ^β 

となることを導くわけです。
 

以下はその手順の手さぐり作業と見なせます。
 

§6.4 非線形表現 

一般的に対称性がＧからＨへと破れた場合にＮＧボソンが自分 

自身,または他の物質場と,どういう相互作用をし得るのか？を 

対称性の要求から決める１方法として,非線形表現Lagrangian 

を構成する方法を述べます。
 

このLagrangianにおいて,ＮＧボソン場の微分の次数が最も低い 

項は,任意パラメータなしで一意的に決まる,という事情があり, 

§6.3の「低エネルギー定理」に対応します。
 

さて,ＮＧボソン非線形Lagrangianを求めます。
 

対称性が群Ｇから部分群Ｈへ破れた場合,既述したように 

Ｇの生成子:Ｔ^Ａの全体Ｇを,破れていない生成子:Ｓ^α∈Ｈ  

と破れた生成子:Ｘ^a∈Ｇ－Ｈ に分離します。
 

{Ｔ^Ａの全体∈Ｇ }＝{Ｓ^α∈Ｈ,Ｘ^a∈Ｇ－Ｈ }です。
 

ここで,Ｔr(Ｓ^αＸ^a)＝0　for ∀Ｓ^α∈Ｈ,∀Ｘ^a∈Ｇ－Ｈ, 

Ｔ^Ａ,Ｓ^α,Ｘ^aは最も簡単な基本表現の表現行列(Hermite行列) 

と理解しておきます。
 

基本表現以外の表現：ρの場合の表現行列は,これらと区別して 

ρ(Ｔ^Ａ),ρ(Ｓ^α),ρ(Ｘ^a)などと表わすことにします。
 

さらに規格化を,Ｔr(Ｓ^αＳ^β)＝(1/2)δ^αβ, 

Ｔr(Ｘ^aＸ^b)＝(1/2)δ^abとなるように取っておきます。
 

※(注9-1):Ｎ次のHermite行列:Ｘ,Ｙの内積:(Ｘ,Ｙ) 

を(Ｘ,Ｙ)＝Ｔr(ＸＹ)で定義します。この定義は,実数上 

の線形空間での実数値内積であるための必要十分条件を 

全て満たす無矛盾な定義であることがわかります。
 

すなわち,ＸのＮ個の固有値をλ₁,λ₂,..λ_Ｎとすると, 

ＸがHermite行列なら,これらの固有値は全て実数であり 

Ｘは適切な正則行列Ｐによる相似変換:ＰＸＰ^-1により 

対角要素がλ₁,λ₂,..λ_ＮのＮ次対角行列に相似変換可能です。

このとき,Ｔr(ＰＸＰ^-1)＝Ｔr(Ｘ)＝Σ_ｊ=1^Nλ_jです。
 

同様に,Ｙの固有値をσ₁,σ₂,..σ_Ｎとすると,これらも全て 

実数で.Ｔr(ＸＹ)＝Σ_ｊ=1^Nλ_jσ_jです。 

したがって,(Ｘ,Ｙ)＝Ｔr(ＸＹ)は常に実数です。
 

そこで,この定義は,実数上の線形空間での実数値内積 

であるための必要十分条件とされる次の条件を全て満足 

します。
 

Ｘ,Ｙ,Ｚを任意のHermite行列とすると, 

1.(Ｙ,Ｘ)=(Ｘ,Ｙ) (交換則) 

2. (Ｘ＋Ｙ,Ｚ)=(Ｘ,Ｚ)＋(Ｙ,Ｚ) (分配則), 

3. ∀ｋ∈Ｒに対して,(ｋＸ,Ｙ)＝ｋ(Ｘ,Ｙ) 

4.(Ｘ,Ｘ)≧0, .(Ｘ,Ｘ)＝0 ⇒Ｘ＝0　 

が成立します。
 

ちょっと成立が怪しいのは,条件4だけですが,(Ｘ,Ｘ) 

＝Ｔr(Ｘ²)＝Σ_ｊ=1^Nλ_j²ですから,これも明らかにクリア 

されています。
 

そして,特に∀Ｘ,∀Ｙに対して常にＴr[Ｘ,Ｙ]＝0です。
 

ここで,(Ｘ,Ｙ)＝Ｔr(ＸＹ)＝0のとき,ＸとＹは直交する 

といいます。
 

ユニタリ群:Ｇの生成子:{Ｔ^Ａ}の作る線形空間:Ｇは, 

ｇ∈Ｇに対して,ｇ＝exp(iＸ)となるHermite演算子: 

Ｘ全体の集合で,ＧのLie環(またはLie代数) 

と呼ばれます。これがＭ次元の線形空間を作るとき, 

その基底がＭ個の生成子の集合:{Ｔ^Ａ}_A=1^Mです。
 

Ｎ次元の表現空間では,ｇの表現,およおび,Ｘの表現は, 

それぞれ,Ｎ次のＵnitary行列,および,Hermite行列　 

となります。
 

ところで,Schmidtの直交化法により,任意の有限次元 

の内積が定義された線形空間の基底は,正規直交化する 

ことが可能です。そこで,例えば(Ｔ^Ａ,Ｔ^Ｂ)＝Ｔr(Ｔ^ＡＴ^Ｂ) 

＝δ^AB(Ａ,Ｂ＝1,2..,Ｍ)と規格化できます。
 

ＨがＧの部分群であるとき,ＨのLie代数:ＨはＧの 

Lie代数:Ｇの直交空間,(Ｇ－Ｈ)はＧの直交穂空間と 

なるようにとることができます。　(注9-1終わり※)
 

さて,Ｔr(Ｓ^αＳ^β)＝(1/2)δ^αβ,Ｔr(Ｘ^aＸ^b)＝(1/2)δ^ab, 

なる規格化とＴr(Ｓ^αＸ^a)＝0 　によって, 

まず,Ｔr(Ｓ^α[Ｓ^β,Ｘ^a])＝Ｔr ([Ｓ^α,Ｓ^β]Ｘ^a)＝0  

です。したがって,常に[Ｓ^α,Ｘ^a]∈(Ｇ－Ｈ)　です。
 

つまり,[Ｈ,Ｇ－Ｈ]⊂(Ｇ－Ｈ)ということになります。
 

※(注9-2):何故なら,Ａ[Ｂ,Ｃ]＝ＡＢＣ－ＡＣＢ 

＝[Ａ,Ｂ]Ｃ－[Ｂ,ＡＣ]で,Ｔr([Ｂ,ＡＣ])＝0 より, 

Ｔr(Ａ[Ｂ,Ｃ])＝Ｔr ([Ａ,Ｂ]Ｃ)です。
 

そして,部分環(部分代数):Ｈ は交換子[ , ]に対して 

閉じていて,[Ｓ^α,Ｓ^β]∈Ｈ ですから, 

[Ｓ^α,Ｓ^β]＝Σ_γｃ_γＳ^γと書けて,Ｔr (Ｓ^γＸ^a)＝0  

なので,Ｔr ([Ｓ^α,Ｓ^β]Ｘ^a)＝0 を得ます。  

(注9-2終わり※)
 

一方,[Ｘ^a,Ｘ^b]は(Ｇ－Ｈ)に属するとは限らず,一般には 

Ｓ^αとＸ^aの線形結合で与えられますが,特にＳ^αのみの 

線形結合で書ける場合,つまり,[Ｇ－Ｈ,Ｇ－Ｈ]⊂Ｈ 

の場合,商空間(oset space)(or 等質空間:homogeneous space) 

Ｇ/Ｈ(Ｈを法とする同値類の集合)は,対称空間(symmetry space) 

と呼ばれます。
 

商空間:Ｇ/Ｈが対称空間であるとは要するに, 

Ｇの元Ｘに対する"パリティ変換"τ:Ｇ → Ｇ を, 

Ｙ∈Ｈなら,τ(Ｙ)＝Ｙ, Ｙ∈(Ｇ－Ｈ)なら,τ(Ｙ)＝－Ｙ 

で定義するとき,このτを実行しても代数(環)が不変である 

ことを意味します。(※数学では,この"パリティ変換":τ 

のことを対合的自己同型写像(involutive homomorphism)と 

いうようです。)
 

※(注9-3):一般に,[Ｘ^a,Ｘ^b]＝Σ_αｃ_αＳ^α＋Σ_aｄ_aＸ^a 

と書けます。故に,両辺に線形写像:τを実行すると, 

τ[Ｘ^a,Ｘ^b]＝Σ_αｃ_ατ(Ｓ^α)＋Σ_aｄ_aτ(Ｘ^a)ですから, 

[Ｘ^a,Ｘ^b]＝Σ_αｃ_αＳ^α－Σ_aｄ_aＸ^aと書けます。
 

そこで,[Ｘ^a,Ｘ^b]＝Σ_αｃ_αＳ^α＋Σ_aｄ_aＸ^a が,τで不変 

なら,それはΣ_αｃ_αＳ^α－Σ_aｄ_aＸ^a＝Σ_αｃ_αＳ^α＋Σ_aｄ_aＸ^a 

を意味します。
 

したがって,∀ａについてｄ_a＝0　ですが,これは商空間: 

Ｇ/Ｈが対称空間:[Ｇ－Ｈ,Ｇ－Ｈ]⊂Ｈであること,に 

同値です。つまり,[Ｘ^a,Ｘ^b]の作る空間:[Ｇ－Ｈ,Ｇ－Ｈ]  

が”パリティ変換”:τで不変なことと,Ｇ/Ｈが対称空間で 

あること:[Ｇ－Ｈ,Ｇ－Ｈ]⊂Ｈ　は同値である, 

ということです。　(注9-3終わり※)
 

環の商空間:Ｇ/Ｈが対称空間である場合は,破れていない 

生成子＝Ｈの元:Ｓ^αには偶(＋),破れた生成子＝(Ｇ－Ｈ) 

の元:Ｘ^aには奇(－)のパリティを付与できる場合です。
 

(※(注9-4);カイラル群:Ｇ＝Ｕ(ｎ)_Ｌ×Ｕ(ｎ)_Ｒが 

Ｈ＝Ｕ(ｎ)_Ｖへと破れた場合,Ｈ＝Ｕ(ｎ)_Ｖのパリティは 

偶(＋)で (Ｇ－Ｈ)＝Ｕ(ｎ)_Ａのパリティは奇(－)であり, 

群としての商空間:Ｇ/Ｈは群としての対称空間の例です。

(注9－4終わり※)
 

ここまで見てきたように,ＮＧボソンの個数は商空間:Ｇ/Ｈ 

の次元;dim(Ｇ/Ｈ)＝dimＧ－dimＨ に等しく,ＮＧボソン場: 

π^aは破れていない部分群Ｈの下で線形に変換します。
 

この事実は,ＮＧボソン場:π^aを,商空間Ｇ/ＨまたはＧ/Ｈの 

座標に取るべきことを示唆しています。
 

そこで,ξ(π)を群Ｇの(右)商空間:Ｇ/Ｈの代表元 

(representative)とし,次のように,ＮＧボソン場:π^aを 

パラメータ化します。すなわち,ξ(π)＝exp{iπ(ｘ)} 

π(ｘ)＝Σ_aπ^aＸ^aとします。
 

この時点で,ＮＧ場:π^a(ｘ)は質量次元がゼロの場です。？
 

※(注9-5):(右)剰余類(coset): 

ｇＨ＝{ｇ’∈Ｇ|ｇ’＝ｇｈ:ｈ∈Ｈ}をＨを)法として 

同値類別した同値類と考え,これを元とする商集合が 

商群:Ｇ/Ｈ＝{ｇＨ|ｇ∈Ｇ}です。
 

そして,これの元:ξＨを構成する全ての同値な元のうちの 

１つのξ∈Ｇを,ξＨの代表元と呼びます。
 

ξ(π)＝exp{i(Σ_aπ^aＸ^a)}と書いて場:π^aをLie代数の元: 

π(ｘ)＝Σ_aπ^a(ｘ)Ｘ^a∈(Ｇ－Ｈ)を構成するパラメータ 

と考えます。
 

ξ(π)∈(Ｇ－Ｈ)であり,これは破れた方の群:(Ｇ－Ｈ)の元 

に対応しています。Σ_aで線形和を取るＸ^a∈(Ｇ－Ｈ)のａの 

個数は;dim(Ｇ/Ｈ)＝dimＧ－dimＨ です。　 

(注9-5終わり※)
 

ξ(π)＝exp{i(Σ_aπ^aＸ^a)}に左から群Ｇの元ｇを掛けた 

ｇξ(π)もＧの元ですから,Ｇ/Ｈのある代表元ξ(π')と 

Ｈのある元;ｈの積に一意的に分解できます。
 

すなわち,ｇξ(π)＝ξ(π’)ｈ(π,ｇ)です。
 

※(注9-6):何故なら,Ｇ＝∪_g∈Ｇ(ｇＨ)よりｇξ(π)∈Ｇ 

なら,あるξ'∈Ｇが存在してｇξ(π)∈ξ'Ｈとなり, 

ξ'Ｈの代表元を,ξ(π')とすると,Ｈのある元;ｈに 

対して,ｇξ(π)＝ξ(π')ｈと書けます。
 

そして,ｇξ(π)＝ξ₁ｈ₁＝ξ₂ｈ₂なら,ξ₁～ξ₂,つまり, 

ξ₂∈ξ₁Ｈ or ξ₁Ｈ＝ξ₂Ｈです。
 

この意味で,ｇξ(π)＝ξ(π')ｈという分解は一意的 

というのは,ξ₁Ｈとξ₂ＨがＧ/Ｈの同じ元で,ｇを掛けると 

分解がξ(π)Ｈからξ(π')Ｈに変わるという意味では, 

ｇξの分解は一意的という意味です。
　

(注9-6終わり※)
 

そこで,ＮＧ場:π(ｘ)のｇ∈Ｇによる変換(大局的変換) 

π(ｘ)→π'(ｘ)は,ξ(π')＝ｇξ(π)ｈ^-1(π,ｇ)  

で与えられます。

ただし,ξ(π)＝exp{iπ(ｘ)},ξ(π')＝exp{iπ'(ｘ)} 

です。
 

写像Ｆを,Ｆ(ｇ)( ξ(π))＝ｇξ(π)ｈ^-1(π,ｇ)と定義 

すると,Ｆ(ｇ₂ｇ₁)(ξ(π))＝ｇ₂ｇ₁ξ(π)ｈ^-1(π,ｇ₂ｇ₁) 

＝ｇ₂ｇ₁ξ(π)ｈ^-1(π,ｇ₁)ｈ(π,ｇ₁)ｈ^-1(π,ｇ₂ｇ₁) 

＝ｇ₂Ｆ(ｇ₁)ｈ(π,ｇ₁)ｈ^-1(π,ｇ₂ｇ₁)です。
 

故に,ｈ^-1(π,ｇ₂ｇ₁)＝ｈ(π,ｇ₁)ｈ^-1(π,ｇ₂ｇ₁) 

＝ｈ^-1(π₁,ｇ₂)∈Ｈとすれば,Ｆ(ｇ₂ｇ₁)＝Ｆ(ｇ₂)Ｆ(ｇ₁) 

が成立する,という意味でＦは準同型写像です。
 

そこでＦはＧの1つの表現ですが,  

Ｆ(ｇ)(ξ(απ₁＋βπ₂))＝αＦ(ｇ)( ξ(π₁)) 

＋βＦ(ｇ)( ξ(π₂))が成立しないので 

線形ではないです。
 

そこで,こうしたπによるＧの表現を,非線型表現 

(non-linear representation)と呼びます。
 

しかし,ｇ＝ｈ∈Ｈのときには予期されるように,これは 

線形な表現となります。
 

実際,まず,[Ｈ,Ｇ－Ｈ]⊂(Ｇ－Ｈ)より, 

[Ｓ^α,Ｘ^a]∈(Ｇ－Ｈ)なので,ｈＸ^aｈ^-1∈(Ｇ－Ｈ)です。
 

よって,ｈ∈Ｈに対してｈＸ^aｈ^-1∈(Ｇ－Ｈ)なる変換は, 

{Ｘ^a} → (Ｇ－Ｈ)の準同型写像です。 

つまり,表現空間:(Ｇ－Ｈ)の上の部分群:Ｈの1つの表現 

であり,しかも,ｈ(αＸ^a＋βＸ^ｂ)ｈ^-1＝αｈＸ^aｈ^-1＋βｈＸ^bｈ^-1 

ですから,線形表現です。
 

そこで,表現:ξ(π')＝ｇξ(π)ｈ^-1(π,ｇ)でｇ＝ｈと 

したξ(π')＝ｈξ(π)ｈ^-1(π,ｈ)の場合, 

特に ｈ^-1(π,ｈ)＝ｈとする選択が可能で,このとき, 

ξ(π')＝ｈξ(π)ｈ^-1は,再び,Ｇ/Ｈの代表元となり, 

これは線形表現です。
 

そして,ξ(π')＝ｈξ(π)ｈ^-1は,π'＝ ｈπｈ^-1に同値 

でありπに関しても線形です。
 

この表現を,ρ(ｈ)(π)＝ｈπｈ^-1 (π＝Σ_aπ^aＸ^a  or  

ρ(ｈ)(Ｘ^a)＝ｈＸ^aｈ^-1のように表わせば,この表現:ρは, 

一般には可約な,群Ｈの表現空間:(Ｇ－Ｈ)の上での線形表現 

で,(Ｇ－Ｈ)の基底:{Ｘ^a}を表現ρの表現空間の基底とも 

呼びます。
 

特に,基底:{Ｘ^a}によって表現変換を展開し, 

ρ(ｈ)(Ｘ^a)＝ｈＸ^aｈ^-1＝Σ_bρ_ab(ｈ)Ｘ^ｂと書けば,ρ_ab(ｈ) 

はρの表現行列の行列要素を示しています。
 

{Ｘ^a}＝{Ｘ^a1}＋|Ｘ^a2}＋..＋|Ｘ^an}と直和分割できて 

各々の{Ｘ^ak}の春空間が任意のｈ∈Ｈについての変換:ρ(ｈ) 

の下で不変部分空間になるなら,表現:ρは既約表現の直和 

＝完全可約表現となります。
 

π(ｘ)＝Σ_aπ_a(ｘ)Ｘ^aを与えるＮＧボソン場の座標: 

{π_a(ｘ)}も,{Ｘ^a}の既約分解:{Ｘ^a1},|Ｘ^a2},..,|Ｘ^an} 

に対応して{π^a1(ｘ)},{π^a2(ｘ)},.. π^an(ｘ)}と分解され, 

各Ｈ-既約なセクター:{π^aj(ｘ)}に属する成分:π^aj(ｘ)は, 

そのセクターの中で表現:ρにより,π^aj’＝Σ_biρ^j_ajbi(ｈ)π^bi 

なる線形変換を受けます。
 

(Ｇ－Ｈ)の全ての生成子系:{Ｘ^a}がＨ-既約なとき,すなわち, 

{Ｘ^a}＝{Ｘ^a1}＋|Ｘ^a2}＋..＋|Ｘ^an}でｎ＝1の場合,商空間: 

Ｇ/Ｈは既約である,といわれます。
 

まず,簡単のため,Ｇが単純群であるとき,つまり,Ｇと{1} 

以外には正規部分群を持たない場合,を考えます。
 

非線型表現のLagrangianにおいて基本的役割を果たす量 

は,ξ(π)∈Ｇ/Ｈから作られる次の1形式(1次微分形式) 

です。
 

すなわち,α(π)＝(－i)ξ(π)^-1ｄξ(π),または,もっと 

陽に成分で,α＝α_μｄｘ^μ,ｄξ＝∂_μξｄｘ^μと書けば, 

α_μ(π)＝(－i)ξ(π)^-1∂_μξ(π)です。 

(※これは,数学ではマウレ－・カルタン形式 

(Maurer-Cartan form)と呼ばれます。)
 

途中ですが,今日はここまでにします。
 

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論(Ⅱ)」 

(培風館)

対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子（8)

「ゲージ場の量子論」(対称性の自発的破れ)の続きです。
 

前回は,1つの核子:Ｎが1つの軟ＮＧボソン:π^ａを放出する 

過程に対応して,軸性カレントＡ^ａ_μ(ｘ)を運動量がｐ_iとｐ_f 

の核子状態で挟んだ行列要素: 

＜Ｎ(ｐ_f)|Ａ^ａ_μ(ｘ)|Ｎ(ｐ_i)＞＝Ｍ^ａ_μ(ｑ)exp(－iｑｘ) 

(ｑ＝ｐ_i－ｐ_f)を考察し, 

「Goldbwrger-Treimanの関係式」と呼ばれる最も簡単な, 

「低エネルギ^定理」を見出しました。,
 

今回は軟ＮＧボソンの2体過程を考察します。
 

任意個数の軟ＮＧボゾン(soft NG-Boson)の関与する 

過程に対しても「低エネルギー定理」を導くことができ 

ますが,その最も簡単な例として,２つの軟ＮＧボソン 

の弾性衝突過程：πⁱ(ｐ_i)＋π^a(ｑ) → π^f(ｐ_f)＋π^b(ｋ) 

の散乱振幅を考察します。
 

ただし,軟らかい(ｓoft)ボソンとは,低エネルギー,つまり, 

振動数が小さくてゼロに近い,または,波長が無限大に近い 

Bose粒子を意味します。
 

予め,目的を明示しない論議では,何の計算をしているのか？ 

が不明で,モチベーションの持ち方に影響すると思われるので 

まず,結論から述べることにします。
 

２つのＮＧボソンの2体弾性衝突の過程： 

πⁱ(ｐ_i)＋π^a(ｑ) → π^f(ｐ_f)＋π^b(ｋ)では,全てのπは 

質量がゼロの質量殻上:ｐ_i²＝ｐ_f²＝ｑ²＝ｋ²＝0　にあるため, 

４元運動量保存則から散乱のｓ,ｔ,ｕ チャンネルの 

値は,ｓ＝(ｐ_i＋ｑ)²＝2ｐ_iｑ＝2ｋｐ_f, 

ｔ＝(ｐ_i－ｐ_f)² ＝－2ｐ_iｐ_f＝－2ｋｑ, 

ｕ＝(ｐ_i－ｑ)²＝－2ｐ_iｑ＝－2ｋｐ_f 

で定義されます。
 

この散乱での不変散乱振幅:Ｍ は, 

Ｍ[πⁱ(ｐ_i)＋π^a(ｑ) → π^f(ｐ_f)＋π^b(ｋ)] 

＝－(1/ｆ_π²)(1/2)[(iｆ_abc)(iｆ_bci)(ｋ＋ｑ)(ｐ_i＋ｐ_f) 

＝(2ｆ_π²)^-1(ｕ－ｓ)ｆ_ibcｆ_abcとなることがわかり, 

Bose対称性から,これは 

Ｍ[πⁱ(ｐ_i)＋π^a(ｑ) → π^f(ｐ_f)＋π^b(ｋ)] 

 ＝(3ｆ_π²)^-1{(ｕ－ｓ)ｆ_ifcｆ_cab＋(ｓ－ｔ)ｆ_ibcｆ_cfa 

＋(ｔ－ｕ)ｆ_iacｆ_cbf}　と書けます。
 

これが求める軟ＮＧボソンの2体衝突の振幅に対する 

「低エネルギー定理」を与えるというのが結論です。
 

これを示すため,まず,核子:Ｎと軟ＮＧボソン:πの弾性 

散乱:Ｎ(ｐ_i)＋π^a(ｑ) → Ｎ(ｐ_f)＋π^b(ｋ)のＳ波部分 

の振幅を考えます。
 

関係する行列要素は,(外線付き２点Green関数) 

＜Ｎ(ｐ_f)|Ｔ[Ａ^a_μ(ｘ)Ａ^b_ν(ｙ)]|Ｎ(ｐ_i)＞です。
 

これに∂_ｘ^μ∂_ｙ^νを作用させ,軸性カレントの保存則: 

∂_x^μＡ^ａ_μ＝0,∂_y^νＡ^b_ν＝0　を用いると,次式を得ます。
 

∂_ｘ^μ∂_ｙ^ν＜Ｎ(ｐ_f)|Ｔ{Ａ^a_μ(ｘ)Ａ^b_ν(ｙ)}|Ｎ(ｐ_i)＞ 

＝(1/2){∂_ｘ^μδ(ｘ⁰－ｙ⁰)

＜Ｎ(ｐ_f)|[Ａ^b_ν(ｙ),Ａ^a_μ(ｘ)]|Ｎ(ｐ_i)＞ 

＋∂_y^νδ(ｘ⁰－ｙ⁰)＜Ｎ(ｐ_f)|[Ａ^a_μ(ｘ),Ａ^b_ν(ｙ)]|Ｎ(ｐ_i)＞} 

です。
 

※(注8-1):何故なら,Bose粒子に対するＴ積の定義から, 

Ｔ[Ａ^a_μ(ｘ)Ａ^b_ν(ｙ)]＝θ(ｘ⁰－ｙ⁰)Ａ^a_μ(ｘ)Ａ^b_ν(ｙ) 

＋θ(ｙ⁰－ｘ⁰)Ａ^b_ν(ｙ)Ａ^a_μ(ｘ)　です。
 

そこで,∂_ｘ^μＴ[Ａ^a_μ(ｘ)Ａ^b_ν(ｙ)] 

＝δ(ｘ⁰－ｙ⁰)Ａ^a_μ(ｘ)Ａ^b_ν(ｙ)

－δ(ｙ⁰－ｘ⁰)Ａ^b_ν(ｙ)Ａ^a_μ(ｘ) 

＝δ(ｘ⁰－ｙ⁰) [Ａ^a_μ(ｘ),Ａ^b_ν(ｙ)]　です。
 

同様に,∂_ｙ^νＴ[Ａ^a_μ(ｘ)Ａ^b_ν(ｙ)] 

＝－δ(ｘ⁰－ｙ⁰)Ａ^a_μ(ｘ)Ａ^b_ν(ｙ)

＋δ(ｙ⁰－ｘ⁰)Ａ^b_ν(ｙ)Ａ^a_μ(ｘ) 

＝－δ(ｘ⁰－ｙ⁰) [Ａ^a_μ(ｘ),Ａ^b_ν(ｙ)] 

＝δ(ｘ⁰－ｙ⁰)[Ａ^b_ν(ｙ),Ａ^a_μ(ｘ)]　です。
 

それ故,∂_ｘ^μ∂_ｙ^νＴ[Ａ^a_μ(ｘ)Ａ^b_ν(ｙ)] 

＝(1/2){∂_ｘ^μδ(ｘ⁰－ｙ⁰)[Ａ^b_ν(ｙ),Ａ^a_μ(ｘ)] 

＋∂_ｙ^νδ(ｘ⁰－ｙ⁰)[Ａ^a_μ(ｘ),Ａ^b_ν(ｙ)]} 

を得ます。　　　(注8-1終わり※)
 

再掲: 

∂_ｘ^μ∂_ｙ^ν＜Ｎ(ｐ_f)|Ｔ{Ａ^a_μ(ｘ)Ａ^b_ν(ｙ)}|Ｎ(ｐ_i)＞ 

＝(1/2){∂_ｘ^μδ(ｘ⁰－ｙ⁰)

＜Ｎ(ｐ_f)|[Ａ^b_ν(ｙ),Ａ^a_μ(ｘ)]|Ｎ(ｐ_i)＞ 

＋∂_y^νδ(ｘ⁰－ｙ⁰)＜Ｎ(ｐ_f)|[Ａ^a_μ(ｘ),Ａ^b_ν(ｙ)]|Ｎ(ｐ_i)＞} 

の両辺に,∫ｄ⁴ｘexp(－iｑｘ)∫ｄ⁴ｙexp(iｋｙ)を施し, 

ｑ,ｋを相対的に同じオーダーに保ちつつ,ゼロに近づけます。
 

すると,lim _q,k→0∫ｄ⁴ｘexp(－iｑｘ)∫ｄ⁴ｙexp(iｋｙ)

∂_ｘ^μ∂_ｙ^ν＜Ｎ(ｐ_f)|Ｔ{Ａ^a_μ(ｘ)Ａ^b_ν(ｙ)}|Ｎ(ｐ_i)＞ 

＝(1/2)lim_q,k→0∫ｄ⁴ｘexp(－iｑｘ)∫ｄ⁴ｙexp(iｋｙ) 

{iｑ^μ＜Ｎ(ｐ_f)|∫ｄ⁴ｘ[Ｑ₅^b(ｘ⁰),Ａ^a_μ(ｘ)]|Ｎ(ｐ_i)＞ 

－iｋ^ν＜Ｎ(ｐ_f)|∫ｄ⁴ｙ[Ｑ₅^a(ｙ⁰),Ａ^ｂ_ν(ｙ)]|Ｎ(ｐ_i)＞} 

 を得ます。
 

ただし,Ｏ(ｑｋ)は,ｑｋ ～ ｑ²～ｋ²程度のｑ、ｋについて 

無視すべき,２次以上の無限小項を意味します。
 

そして,[Ｑ^ａ₅,Ａ^ｂ_μ(ｘ)]＝iｆ_ａｂｃＶ^ｃ_μ(ｘ)から,  

＜Ｎ(ｐ_f)|∫ｄ⁴ｘ[Ｑ₅^b(ｘ⁰),Ａ^a_μ(ｘ)]|Ｎ(ｐ_i)＞ 

＝iｆ_ｂaｃ∫ｄ⁴ｘ＜Ｎ(ｐ_f)|Ｖ^ｃ_μ(ｘ)|Ｎ(ｐ_i)＞ 

ですが,

ベクトルカレント:Ｖ^ｃ_μ(ｘ)の核子による行列要素： 

＜Ｎ(ｐ_f)| Ｖ^ｃ_μ(ｘ)|Ｎ(ｐ_i)＞は,  

そのLorentz不変性,Ｕ(ｎ)_Ｖ対称性,および保存則の要請 

∂^μＶ^ａ_μ＝0　から,一般に次の形に書けるとわかります。

すなわち,＜Ｎ(ｐ_f)| Ｖ^ｃ_μ(ｘ)|Ｎ(ｐ_i)＞ 

＝ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^c{γ_μＦ₁(ｐ²)＋iσ_μνｐ^νＦ₂(ｐ²)/(2ｍ_Ｎ)} 

ｕ(ｐ_i)exp(iｐｘ)；ｐ＝ｐ_f－ｐ_i,かつ,Ｆ₁(ｐ²＝0)＝1 

です。
 

※(注8-2): Ｖ^ｃ_μのHermite性,Ｔ不変性,から 

,Lorentz変換でベクトル変換性を持つ量としての 

行列要素:＜Ｎ(ｐ_f)| Ｖ^ｃ_μ(ｘ)|Ｎ(ｐ_i)＞は, 

γ_μ,( ｐ_f＋ｐ_i)_μ,iσ_μν ,および,(ｐ_f－ｐ_i)^ν 

の実数のスカラー係数倍の線形結合形で与えられる 

と考えられます。
 

しかも,(ｐ_f＋ｐ_i)_μは, iσ_μν(ｐ_f－ｐ_i)^νで表わす 

ことができます。
 

それ故,＜Ｎ(ｐ_f)|Ｖ^ｃ_μ(ｘ)|Ｎ(ｐ_i)＞ 

＝ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^c{γ_μＦ₁(ｐ²)＋iσ_μνｐ^νＦ₂(ｐ²)/(2ｍ_Ｎ)} 

ｕ(ｐ_i)exp(iｐｘ) なる形に書けます。
 

この右辺にｐ^μを掛けると, 

ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^c{ｐＦ₁(ｐ²)＋iσ_μνｐ^μｐ^νＦ₂(ｐ²)/(2ｍ_Ｎ)} 

ｕ(ｐ_i)exp(iｐｘ)

＝ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^cｐｕ(ｐ_i)Ｆ₁(ｐ²)exp(iｐｘ) 

＝0　となり,この形なら無条件でベクトルカレント保存: 

∂^μＶ^ａ_μ＝0 が反映されます。
 

さらに,＜Ｎ(ｐ_f)|Ｖ^ｃ_μ(ｘ)|Ｎ(ｐ_i)＞ 

＝ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^c{γ_μＦ₁(ｐ²)＋iσ_μνｐ^νＦ₂(ｐ²)/(2ｍ_Ｎ)} 

ｕ(ｐ_i)exp(iｐｘ)　において, 

μ＝0　として両辺に∫ｄ³ｘを施すと, 

＜Ｎ(ｐ_f)|Ｑ^ｃ(ｘ⁰)|Ｎ(ｐ_i)＞ 

＝ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^c{γ₀Ｆ₁(ｐ²)＋iσ_μνｐ^νＦ₂(ｐ²)/(2ｍ_Ｎ)} 

ｕ(ｐ_i)exp(iｐ⁰ｘ⁰)(2π)³δ³(ｐ) となります。
 

この等式は,ｐ＝ｐ_i－ｐ_f＝0でも成立するので, 

ｐ_f＝ｐ_iを代入すると, 

＜Ｎ(ｐ_i)|Ｑ^ｃ|Ｎ(ｐ_i)＞ 

＝ｕ^＋(ｐ_i)Ｔ^c ｕ(ｐ_i)δ³(0)Ｆ₁(0)　です。
 

Ｔ^cは,Ｕ(ｎ)_Ｖ変換群の生成子としてのチャージＱ^ｃの 

核子状態:|Ｎ(ｐ_i)＞による行列表現に他ならないので, 

状態のスピノル部分の規格化:ｕ^＋(ｐ_i)ｕ(ｐ_i)＝1を 

考慮するとＦ₁(0)＝1　を得ます。　(注8-2終わり※)
 

したがって, 

lim_q,k→0∫ｄ⁴ｘexp(－iｑｘ)∫ｄ⁴ｙexp(iｋｙ) 

∂_ｘ^μ∂_ｙ^ν＜Ｎ(ｐ_f)|Ｔ{Ａ^a_μ(ｘ)Ａ^b_ν(ｙ)}|Ｎ(ｐ_i)＞ 

＝(1/2)lim_q,k→0∫ｄ⁴ｘexp(－iｑｘ)∫ｄ⁴ｙexp(iｋｙ) 

({iｑ^μ＜Ｎ(ｐ_f)|∫ｄ⁴ｘ[Ｑ₅^b(ｘ⁰),Ａ^a_μ(ｘ)]|Ｎ(ｐ_i)＞ 

－iｋ^ν＜Ｎ(ｐ_f)|∫ｄ⁴ｙ[Ｑ₅^a(ｙ⁰),Ａ^ｂ_ν(ｙ)]|Ｎ(ｐ_i)＞} 

＋Ｏ(ｑｋ))
　 

の右辺に,＜Ｎ(ｐ_f)|∫ｄ⁴ｘ[Ｑ₅^b(ｘ⁰),Ａ^a_μ(ｘ)]|Ｎ(ｐ_i)＞ 

＝iｆ_ｂａｃ∫ｄ⁴ｘexp(iｐｘ)ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^c{γ_μＦ₁(ｐ²) 

＋iσ_μνｐ^νＦ₂(ｐ²)/(2ｍ_Ｎ)}ｕ(ｐ_i),および, 

＜Ｎ(ｐ_f)|∫ｄ⁴ｙ[Ｑ₅^a(ｙ⁰),Ａ^ｂ_ν(ｙ)]|Ｎ(ｐ_i)＞ 

＝iｆ_ａｂｃ∫ｄ⁴ｙexp(iｐｙ)ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^c{γ_μＦ₁(ｐ²) 

＋iσ_μνｐ^μＦ₂(ｐ²)/(2ｍ_Ｎ)}ｕ(ｐ_i)を代入すると.
 

式の右辺 

＝lim_q,k→0 (iｆ_ａｂｃ)(1/2)(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ－ｐ_i－ｑ) 

(－i)(ｑ^μ＋ｋ^μ)[ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^c{γ_μＦ₁(ｐ²) 

＋iσ_μνｐ^νＦ₂(ｐ²)/(2ｍ_Ｎ)}ｕ(ｐ_i)＋Ｏ(ｑｋ)] 

＝(ｆ_ａｂｃ/2)(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ－ｐ_i－ｑ) 

[ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^c(ｑ＋ｋ)Ｆ₁(ｐ²)ｕ(ｐ_i)＋Ｏ(ｑｋ)] 

を得ます。
 

一方,左辺の行列要素: 

＜Ｎ(ｐ_f)|Ｔ{Ａ^a_μ(ｘ)Ａ^b_ν(ｙ)}|Ｎ(ｐ_i)＞に寄与する 

Feynmanグラフは,軟ＮＧボソンの極限:ｑ,ｋ→0　で 

特異性(Singularity)を持つ最も効くグラフは, 

先のＮＧボソン１体過程のときの図6.6と同じ書き方で, 

図6.7(ａ),(ｂ),(ｃ)のタイプに分類できます。

(ａ)のグラフは,ＮＧボソンの極:1/ｋ²,1/ｑ²の特異性 

が明らかですが, 

(ｂ),(ｃ)のタイプのグラフの核子1粒子の 

中間状態の伝播関数も,ｐ_i,ｐ_fが質量殻:ｐ_i²＝ｐ_f²＝ｍ_Ｎ² 

の上の運動量なので,例えば,{(ｐ_i＋ｑ)²－ｍ_Ｎ²}^-1 

＝{2ｐ_iｑ＋Ｏ(ｑ²)}^-1の特異性を持つことに注意して 

おきます。
 

先には,(図6.6(ａ)の寄与)が, 

＜0|Ａ^ａ_μ(ｘ)|π^b(ｑ)＞(－i/ｑ²)Ｇ^ab_fi(ｑ)； 

ただし,Ｇ^ab_fi(ｑ)＝ｇ_πＮＮｕ~(ｐ_f)Ｔ^ｂγ₅ｕ(ｐ_i) 

＜0|Ａ^ａ_μ(ｘ)|π^b(ｑ)＞ 

＝＜0|ｆ_π∂_μπ^as,a(ｘ)|π^b(ｑ)＞ 

＝iｆ_πδ^abｑ_μexp(－iｑｘ)　で与えられ,
 

結局,(図6.6(ａ)の寄与) 

～ｆ_πｇ_πＮＮｕ~(ｐ_f)Ｔ^aγ₅ｕ(ｐ_i)(ｑ_μ/ｑ²)exp(－iｑｘ) 

となり,(ａ)のグラフはｈ_Ａ(ｑ²)＝ｆ_πｇ_πＮＮ/ｑ²の寄与に 

相当します。 

そして軸性カレント:Ａ^ａ_μ(ｘ)の保存の要請:∂^μＡ^ａ_μ＝0 

を,核子状態で挟んだ行列要素: 

＜Ｎ(ｐ_f)|Ａ^ａ_μ(ｘ)|Ｎ(ｐ_i)＞＝Ｍ^ａ_μ(ｑ)exp(－iｑｘ) 

に適用すれば,0＝ｑ^μＭ^ａ_μ(ｑ) 

＝ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^ａ{ｑγ₅ｇ_Ａ(ｑ²)＋ｑ²γ₅ｈ_Ａ(ｑ²)}ｕ(ｐ_i)　 

となります。　と書きました。

これと同様に,π-Ｎ散乱での図6.7(ａ)のグラフの寄与は, 

( －ｆ_π²)Ｍ[Ｎ(ｐ_i)＋π^a(ｑ) → Ｎ(ｐ_f)＋π^b(ｋ)] 

×(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ－ｐ_i－ｑ) 

となります。
 

※(注8-3):図6.7(ａ)の斜線部は２点Green関数を核子状態 

で挟んだ行列要素に２つのＮＧボソンの足が付いたものです。
 

ＮＧボソンの足の寄与は

|(i/ｑ²)(－iｆ_πｑ_μ)}{(i/ｋ²)(iｆ_πｋ_ν)} 

ですが,これに∂_ｘ^μ∂_ｙ^ν＝ｑ^μｋ^νを掛けると,Green関数から 

Ｓ行列要素を導くＬＳＺのＮＧボソン外線除去の因子: 

(i/ｑ²)(1/ｋ²)の他の部分は散乱のＳ行列要素×(－ｆ_π²)の寄与 

となるのは明らかです。　(注8-3終わり※)
 

図6.7(ｂ),(ｃ)のグラフは,Ｓ波のπ-Ｎ散乱振幅にはＯ(ｑｋ) 

の寄与しかせず,今考えているオーダーでは,これらは無視して 

落とすことができます。
 

何故なら,(ｂ),(ｃ)のグラフの寄与をそれぞれ,Ｂ,Ｃと 

記せばＢの上グラフは図6.6(ａ)を２個,Ｃの上グラフ 

は図6.6(ｂ)を1個含みます。
 

先に,図6.6(ａ)と図6.6(ｂ)の和にｑ^μを掛けて縮約して 

ｑ→0とするとゼロ,つまりＯ(ｑ²)でしたから,Ｂ＋2Ｃ 

＝Ｏ(ｑｋ)と考えられます。
 

そこで(Ｂ＋Ｃ)の代わりに－Ｃを考察しＣ＝Ｏ(ｑｋ)を 

示せば十分です。
 

図6.7(ｃ)の上ラフと下グラフの和を具体的に書けば, 

Ｃ＝{ｕ~(ｐ_f)ｋγ₅(ｐ_i＋ｑ＋ｍ_Ｎ)ｑγ₅ｕ(ｐ_i)}/(2ｐ_iｑ) 

－{ｕ~(ｐ_f)ｑγ₅(ｐ_i－ｋ＋ｍ_Ｎ)ｋγ₅ｕ(ｐ_i)}/(2ｐ_iｋ) 

＝[ｕ~(ｐ_f){2(ｐ_iｑ)ｑ－２ｍ_Ｎｋｑ}/(2ｐ_iｑ) 

－{2(ｐ_iｋ)ｋ－２ｍ_Ｎｋｑ}/(2ｐ_iｋ)]ｕ(ｐ_i) 

なる形です。
 

そこで,ｋ～ｑなら,相殺して確かにＣ＝Ｏ(ｑ)＝Ｑ(ｑｋ) 

です。；(※ｑｑ＝ｑ²＝0,ｋｋ＝ｋ²＝0,ｐ_iｕ(ｐ_i) 

＝ｍ_Ｎｕ(ｐ_i) などを用いました。)
 

したがってＳ波のπ-Ｎ散乱振幅においては, 

(iｆ_ａｂｃ/2)(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ－ｐ_i－ｑ)(－i) 

[ｕ~(ｐ_ｆ)(Ｔ^c) _fi(ｑ＋ｋ)Ｆ₁(ｐ²)ｕ(ｐ_i)＋Ｏ(ｑｋ)]_ｐ2＝0 

＝－ｆ_π²Ｍ[Ｎ(ｐ_i)＋π^a(ｑ) → Ｎ(ｐ_f)＋π^a(ｋ)] 

×(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ－ｐ_i－ｑ)　 

のように式の左辺と右辺が等置できます。
 

ここで,Ｆ₁(ｐ²＝0)＝1であり,この等式を散乱の重心系 

(ＣＭ系):ｑ＝－ｐ_i,ｋ＝－ｐ_fで考察すると, 

ｑ_i,ｋ→0では,ｐ_i～ｐ_fであり, 

ｕ~(ｐ_ｆ)(ｑ＋ｋ)ｕ(ｐ_i)＝－2ｍ_Ｎとなるため,
 

結局,Ｍ[Ｎ(ｐ_i)＋π^a(ｑ) → Ｎ(ｐ_f)＋π^b(ｋ)]_Ｃ.Ｍ 

＝(ｆ_abc /ｆ_π²)(Ｔ^c)_fiｍ_Ｎｑ＋Ｏ(ｑ²)が得られます。
 

これが,Ｓ波のπ-Ｎ散乱振幅に対する「低エネルギー定理」 

ですが,これが最終目的ではなく軟ＮＧボソン;πの 

π-π弾性散乱の「低エネルギー定理」に向かいます。
 

さて,標的粒子を核子:Ｎの代わりにＮＧボソン:πとして, 

軟ＮＧボソン同士の弾性散乱: 

πⁱ(ｐ_i)＋π^a(ｑ) → π^f(ｐ_f)＋π^b(ｋ)を考えます。
 

この場合,行列要素: 

＜Ｎ(ｐ_f)|Ｔ{Ａ^a_μ(ｘ)Ａ^b_ν(ｙ)}|Ｎ(ｐ_i)＞は, 

＜π^f(ｐ_f)|Ｔ{Ａ^a_μ(ｘ)Ａ^b_ν(ｙ)}|πⁱ(ｐ_i)＞に変わります 

が,図6.7(ｂ).(ｃ)に相当するものは相変わらず効きません。
 

その理由は,核子が標的の場合よりも簡単で,ＮＧボソン:π 

は擬スカラー粒子なので,パリティの保存の要請から図6.7 

(ｂ)の核子線をπに変えた３π頂点は禁止され,また,(ｃ) 

の＜π|Ａ^a_μ|π＞の寄与も禁止となって消えるからです。
 

一方,π-Ｎ過程でのGreen関数の発散微分: 

lim_q,k→0∫ｄ⁴ｘexp(－iｑｘ)∫ｄ⁴ｙexp(iｋｙ) 

∂_ｘ^μ∂_ｙ^ν＜Ｎ(ｐ_f)|Ｔ{Ａ^a_μ(ｘ)Ａ^b_ν(ｙ)}|Ｎ(ｐ_i)＞ 

＝(1/2) lim_q,k→0∫ｄ⁴ｘexp(－iｑｘ)∫ｄ⁴ｙexp(iｋｙ) 

({iｑ^μ＜Ｎ(ｐ_f)|∫ｄ⁴ｘ[Ｑ₅^b(ｘ⁰),Ａ^a_μ(ｘ)]|Ｎ(ｐ_i)＞ 

－iｋ^ν＜Ｎ(ｐ_f)|∫ｄ⁴ｙ[Ｑ₅^a(ｙ⁰),Ａ^ｂ_ν(ｙ)]|Ｎ(ｐ_i)＞} 

＋Ｏ(ｑｋ))　は,[Ｑ₅^a(ｘ⁰),Ａ^ｂ_μ(ｘ)]＝iｆ_abcＶ^c_μ(ｘ) 

であり,＜Ｎ(ｐ_f)|Ｖ^c_μ(ｘ)|Ｎ(ｐ_i)＞ 

＝ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^c{γ_μＦ₁(ｐ²)

＋iσ_μνｐ^νＦ₂(ｐ²)/(2ｍ_Ｎ)}ｕ(ｐ_i)； 

Ｆ₁(ｐ²)＝0)＝1,ｐ＝ｐ_i－ｐ_fと表わせるので,
 

(iｆ_ａｂｃ/2)(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ－ｐ_i－ｑ)(－i) 

[ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^c(ｑ＋ｋ)Ｆ₁(ｐ²)ｕ(ｐ_i)＋Ｏ(ｑｋ)] 

でしたが,
 

Ｎをπに変えると,ベクトルカレントの行列要素は 

＜π^f(ｐ_f)|Ｖ^c_μ(ｘ)]|πⁱ(ｐ_i)＞ 

＝iｆ_fci(－i)(ｐ_i＋ｐ_f)ｆ(ｐ²)exp(iｐｘ), 

ｆ(0)＝1,ｐ＝ｐ_f－ｐ_iなる形になります。
 

何故なら,πを表現空間とする変換群の随伴表現 

では,(Ｔ^c) _fi＝iｆ_fciであるからです。
 

π-Ｎ散乱での, 

(iｆ_ａｂｃ/2)(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ－ｐ_i－ｑ)(－i) 

[ｕ~(ｐ_ｆ)(Ｔ^c) _fi(ｑ＋ｋ)Ｆ₁(ｐ²)ｕ(ｐ_i)＋Ｏ(ｑｋ)]_ｐ2＝0 

＝－ｆ_π²Ｍ[Ｎ(ｐ_i)＋π^a(ｑ) → Ｎ(ｐ_f)＋π^a(ｋ)] 

×(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ－ｐ_i－ｑ)　であった等置式は.
 

π-π散乱では, 

(iｆ_ａｂｃ/2)(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ－ｐ_i－ｑ)(－i) 

ｆ_fci(ｑ＋ｋ)(ｐ_i＋ｐ_f){ｆ(ｐ²) ＋Ｏ(ｑｋ)}_ｐ2＝0 

＝－ｆ_π²Ｍ[πⁱ(ｐ_i)＋π^a(ｑ) →π^f(ｐ_f)＋π^b(ｋ)] 

×(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ－ｐ_i－ｑ)　となり,
 

Ｍ[πⁱ(ｐ_i)＋π^a(ｑ) →π^f(ｐ_f)＋π^b(ｋ)] 

＝－(2ｆ_π²)^-1[ｆ_abcｆ_bci(ｋ＋ｑ)(ｐ_i＋ｐ_f) 

＝(2ｆ_π²)^-1(ｕ－ｓ)ｆ_ibcｆ_abc 

となることがわかります。
 

何故なら,最初に示したように, 

ｓ＝(ｐ_i＋ｑ)²＝2ｐ_iｑ＝2ｋｐ_f, 

ｔ＝(ｐ_i－ｐ_f)² ＝－2ｐ_iｐ_f＝－2ｋｑ, 

ｕ＝(ｐ_i－ｑ)²＝－2ｐ_iｑ＝－2ｋｐ_fであり,
 

さらに;ｐ_i＋ｑ＝ｐ_f＋ｋにより, 

ｕ－ｓ＝－2ｑ(ｐ_i＋ｐ_f)＝－2ｋ(ｐ_i＋ｐ_f) 

＝－(ｋ＋ｑ)(ｐ_i＋ｐ_f)　であるからです。
 

Bose対称性より,これから, 

Ｍ[πⁱ(ｐ_i)＋π^a(ｑ) → π^f(ｐ_f)＋π^a(ｋ)] 

 ＝(3ｆ_π²)^-1{(ｕ－ｓ)ｆ_ifcｆ_cab＋(ｓ－ｔ)ｆ_ibcｆ_cfa 

＋(ｔ－ｕ)ｆ_iacｆ_cbf}＋Ｏ(ｓ、ｓｔ,..)　を得ます。
 

これで,求める軟ＮＧボソン;πのπ-π弾性散乱の 

「低エネルギー定理」を証明できたので,ここまで 

にします。
 

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論(Ⅱ)」 

(培風館)

対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子（7)

「ゲージ場の量子論」(対称性の自発的破れ)の続きです。
 

前回は「§6.3 ＮＧ粒子の低エネルギー定理.」において, 

1つの核子:Ｎが1つの軟ＮＧボソン:π^ａを放出する過程 

に対応して軸性カレントＡ^ａ_μ(ｘ)を運動量がｐ_i^μとｐ_f^μの 

核子状態で挟んだ行列要素:＜Ｎ(ｐ_f)|Ａ^ａ_μ(ｘ)|Ｎ(ｐ_i)＞ 

＝Ｍ^ａ_μ(ｑ)exp(－iｑｘ)(ｑ＝ｐ_i－ｐ_f)を考察し,
 

Lorentz不変性,Ｕ(Ｎ)対称性,Ｐ(パリティ),または,ＣＰ 

( orＴ)の不変性の仮定によって, 

Ｍ^ａ_μ(ｑ)が,Ｍ^ａ_μ(ｑ) 

＝ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^ａ{γ_μγ₅ｇ_Ａ(ｑ²)＋ｑ_μγ₅ｈ_Ａ(ｑ²)}ｕ(ｐ_i) 

という一般形を取ることがわかります。
 

と書き,このことを(※注)で証明したところで終わりました。
 

さて,Ｍ^ａ_μ(ｑ)に効くFeynmanグラフは,図6.6(ａ),(ｂ)に示す 

ように,概念的に２つのカテゴリーに分けることができます。

。
 

(ａ)は軸性カレント:Ａ^ａ_μ(図では黒ドットで表示)が放出された 

ＮＧボゾンの端点に付くもので,(ｂ)はＡ^ａ_μが核子線に付くもの 

です。
 

この両者の分離はＮＧボソンの質量殻:ｑ²＝0を離れたところでは 

ＮＧボソンに対応する"複合"Heisenberg場をどう取るか？に依存 

するので明確ではないですが概ね,(ｂ)には形状因子:ｇ_Ａ(ｑ²)が 

(ａ)にはｈ_Ａ(ｑ²)が対応すると考えれば十分です。
 

実際,図6.6(ａ)のグラフの寄与は,ＮＧボソンのｑ²＝0 の近傍 

では.＜0|Ａ^ａ_μ(ｘ)|π^b(ｑ)＞(－i/ｑ²)Ｇ^ab_fi(ｑ) 

と書けます。ただし,Ｇ^ab_fi(ｑ)は,図6.6(ａ)の斜線部に対応する 

因子です。
 

ところで,前々回記事の最後で,場:πは系のLagrangian密度に, 

－Ψ~iγ₅Ψπの相互作用項を持つので.くりこまれたＮＧボソン 

の場:π_r＝Ｚ_π^-1/2πのFermion場:Ψへの結合は, 

Ｌ^int_πΨΨ~­＝ｇ_πΨΨΨ~iγ₅Ψπ_r ,(ｇ_πΨΨ＝Ｚ_π^-1/2)なる形で 

与えられます。
 

と書きましたが,今の,Ψが核子:Ｎのときはｇ_πΨΨをｇ_πＮＮ 

と書けば,この結合定数:ｇ_πＮＮを用いて, 

Ｇ^ab_fi(ｑ)はＮＧボソン:πの核子Ｎとのi∫ｄ⁴ｘのiを頂点 

(－iγ₅)に掛けた結果,ｘ空間では因子:γ₅∫ｄ⁴ｘの寄与と 

なり,結局, 

Ｇ^ab_fi(ｑ)＝ｇ_πＮＮｕ~(ｐ_f)Ｔ^ｂγ₅ｕ(ｐ_i)　と書けます。
 

一方,ＮＧボソンの崩壊定数:ｆ_πは, 

「対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子(2)」 

において,対称性カレントｊ_μ(ｘ)が破れた後,出現する 

ＮＧボソンの漸近場:Φ^ａｓ(ｘ)により, 

＜0|ｊ_μ(ｘ)|ＮＧ＞＝ｆ_π＜0{∂_μΦ^ａｓ(ｘ)|ＮＧ＞ 

＝ｆ_π∫ｄ³ｋ(2π)^－3/2(2ｋ₀)^-1/2 (－iｋ_μ) 

ｇ(ｋ)evp(－iｋｘ)となる係数として定義されました。
 

これから,今の場合は,＜0|Ａ^ａ_μ(ｘ)|π^b(ｑ)＞ 

＝＜0|ｆ_π∂_μπ^as,a(ｘ)|π^b(ｑ)＞＝iｆ_πδ^abｑ_μexp(－iｑｘ) 

と書けることがわかります。
 

それ故,結局,図6.6(ａ)の寄与として, 

ｆ_πｇ_πＮＮｕ~(ｐ_f)Ｔ^ｂγ₅ｕ(ｐ_i)(ｑ_μ/ｑ²)exp(－iｑｘ) 

が得られます。
 

そこで,確かに,図6.6(ａ)のＮＧボソンのｑ²＝0 の極部分 

のグラフの寄与は,ｈ_Ａ(ｑ²)＝ｆ_πｇ_πＮＮ/ｑ²の寄与に相当 

します。
 

ところで,カイラル対称性が存在して,そのチャージが自発的 

に破れた結果でＮＧボソンが出現するためには,軸性カレント 

Ａ^ａ_μ(ｘ)が保存する必要がありますが,この要請:∂^μＡ^ａ_μ＝0 

を＜Ｎ(ｐ_f)|Ａ^ａ_μ(ｘ)|Ｎ(ｐ_i)＞＝Ｍ^ａ_μ(ｑ)exp(－iｑｘ 

に適用すれば,0＝ｑ^μＭ^ａ_μ(ｑ) 

＝ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^ａ{ｑγ₅ｇ_Ａ(ｑ²)＋ｑ²γ₅ｈ_Ａ(ｑ²)}ｕ(ｐ_i) 

となります。
 

ところが,ｕ(ｐ)は,ｍ_Ｎを核子:Ｎの質量とするDirac 

方程式:(ｐ－ｍ_Ｎ)ｕ(ｐ)＝0 の解ですから, 

ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^ａｑγ₅ｕ(ｐ_i)＝－ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^ａγ₅ｑｕ(ｐ_i) 

＝ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^ａγ₅ (ｐ_f－ｐ_i)ｕ(ｐ_i) 

＝－ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^ａｐ_fγ₅ｕ(ｐ_i)－ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^ａγ₅ｐ_iｕ(ｐ_i) 

＝－2ｍ_Ｎｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^ａγ₅ｕ(ｐ_i)　です。
 

そこで, 

ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^ａγ₅{－2ｍ_Ｎｇ_Ａ(ｑ²)＋ｑ²ｈ_Ａ(ｑ²)}ｕ(ｐ_i)＝0 

が成立する必要があります。
 

したがって,2ｍ_Ｎｇ_Ａ(ｑ²)＝ｑ²ｈ_Ａ(ｑ²)です。
 

特に,ｑ²＝0では,グラフ(ａ)のＮＧボソンの極部分; 

ｈ_Ａ(ｑ²)＝ｆ_πｇ_πＮＮ/ｑ²の項のみが効いてくるため, 

ｇ_πＮＮ＝2ｍ_Ｎｇ_Ａ(ｑ²＝0) /ｆ_πと結論されます。
 

ＮＧボソン:πと核子:Ｎの結合定数:ｇ_πＮＮを,核子質量: 

ｍ_Ｎと,軸性カレントのチャージ:Ｑ_Ａ＝ｇ_Ａ(ｑ²＝0), 

および,πの崩壊定数:ｆ_πに関係付ける,この等式は 

「Goldberger-Treimanの関係式」と呼ばれ 

「低エネルギー定理」の最も簡単な例を与えます。
 

かなり短いですが,この続きが長くなるので,今回は 

ここまでにします。
 

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論(Ⅱ)」 

 (培風館)

雑感

　死の商人の思惑通り戦争や戦争準備してるヒマなんかない。。

70億人が1人1本ずつでも植林しろよ。！！

対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子（6)

「ゲージ場の量子論」(対称性の自発的破れ)の続きです。
 

2017年8月13日に 

「対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子（5)」 

をアップしてから,2か月半あまりも経りました。
 

この前回記事の最後では「対称性の自発的破れ」の項目は 

テキストの第6章には,まだ続きがあるのですが,これもアップ 

するかどうか？はPedingにします。・・ 

と書きましたが,続きを読み返すと結構重要な内容と思ったので, 

まだ,続けることにしました。
 

実は,途中で不連続対称性の復習に脱線したのは,この記事を 

書き上げる最後の部分での論議で,自分の時間反転への理解が 

あやふやなことに気付き,改めてテォストを読み直そうとした 

からでした。
 

今や,自力でできないことはできないのは仕方ないと諦める 

境地に達していますが,年齢に関係なく,まだやればできる 

と思えることなら,初歩からでもコツコツとやり直すに吝か 

ではありません。今さら急ぐ旅ではないし,追われる仕事も 

ないので,本題記事が数か月遅れようが気にしません。
 

§6.3 ＮＧ粒子の低エネルギー定理.
 

先に触れたように,ＮＧ粒子の低エネルギー極限での散乱振幅 

は対称性の要求から力学系の詳細には全く依存せずに決定され, 

これを「ＮＧ粒子に対する低エネルギー定理」と呼びます。
 

※(注6-1):「先に触れたように」とは,前回記事の最後で, 

場:πは系のLagrangian密度に,－Ψ~iγ₅Ψπの相互作用項 

を持つので.くりこまれたＮＧボソン場:π_r＝Ｚ_π^-1/2πの 

Fermion:Ψへの結合は,Ｌ^int_πΨΨ~­＝ｇ_πΨΨΨ~iγ₅Ψπ_r , 

(ｇ_πΨΨ＝Ｚ_π^-1/2)なる形で与えられます。
 

この結合定数:ｇ_πΨΨ＝Ｚ_π^-1/2が,元の基本結合定数:λ＝2Ｇ 

には直接,依存せず,＜0|σ(ｘ)|0＞＝σ₀ だけから決まるのは 

興味深いことです。 と書いたことです。(注6-1終わり※)
 

ここでは簡単な例に話を留めますが,代わりに,低エネルギー 

定理の結果をてっとり早く見出す非線型表現Lagrangian 

構成法について次節で記述します。
 

,まず,Ｕ(ｎ)_Ｌ×Ｕ(ｎ)_Ｒカイラル対称性の話から始めます。
 

前節の「南部-Jonalashino模型」でFermion場:Ψが(1/Ｎ) 

展開のＳＵ(Ｎ)の添字ｉ＝1,2,..,Ｎの他に,もう1つ別の 

添字:ｆ＝1,2,..,ｎを持って,Ψ＝{ψ_if}となっていた, 

とします。
 

このとき,ｉをカラー添字,ｆをフレイバー添字と呼べば, 

これはQCDのLagrangian密度:Ｌ=-(1/4)Ｆ^ａ_μνＦ^ａμν 

＋Σ_f=1^Fψ_if~[iγ^μ{∂_μ＋iｇＡ^ａ_μλ^a/2}_i^j－ｍ_fδ_i^j]ψ_if 

において,クォーク質量:ｍ_fを全てゼロとした零質量 

QCDのクオーク場:ψ_if(ｘ)との類似が明らかです。
 

このフレイバーがｎ種類ある「南部-Jonalashino模型」 

でも,零質量QCDでも,カイラルＵ(ｎ)_Ｌ×Ｕ(ｎ)_Ｒ対称性 

を持っています。
 

(※実は量子論的にはアノマリー(量子異常)と呼ばれる現象 

があり,Ｕ(1)_Ａ対称性が破れ,ＳＵ(ｎ)_Ｌ×ＳＵ(ｎ)_Ｒ×Ｕ(1)_Ｖ 

の対称性のみが残りますが本節では,これを無視します。)
 

ここでは,以下の近似の意味を明確にするため,Fermion場: 

ΨはＮ個のDirac場:ψのＳＵ(Ｎ)変換群の基本表現を示す 

列ベクトルであるとします。
 

すなわち,カラー添字ｉ＝1,2,..,Ｎの方は省略してΨ＝{ψ_f} 

とします。,その左手型成分: ψ_Ｌf＝(1/2)(1－γ₅)ψ_f, 

右手型成分: ψ_Ｒf＝(1/2)(1＋γ₅)ψ_fに,それぞれ, 

別々のＵ(ｎ)変換: 

ψ_Ｌf'(ｘ)＝exp(－iθ^ａ_ＬＴ^ａ)_ff’ψ_Ｌf'(ｘ)； 

exp(－iθ^ａ_ＬＴ^ａ)∈Ｕ(ｎ)_Ｌ 

ψ_Ｒf'(ｘ)＝exp(－iθ^ａ_ＲＴ^ａ)_ff’ψ_Ｒf'(ｘ)； 

exp(－iθ^ａ_ＲＴ^ａ)∈Ｕ(ｎ)_Ｒ 

を実行してもＬは不変です。
 

変換対称性と関わる位相変換の 

Noetherカレントは, 

ｊ_μ＝－i{∂Ｌ/∂(∂_μψ_f)}(Ｔ^ａ)_ff’ψ_f’で 

与えられますが,(1＋γ₅)γ_μ(1－γ₅)＝2γ_μ(1－γ₅), 

および,(1－γ₅)γ_μ(1＋γ₅)＝2γ_μ(1＋γ₅)　より.  

これらの,それぞれのＵ(ｎ)変換に対応するカレントは, 

ｊ^ａ_Ｌμ＝(1/2)ψ_f~γ_μ(1－γ₅)(Ｔ^ａ)_ff’ψ_Ｌf’ 

ｊ^ａ_Ｒμ＝(1/2)ψ_f~γ_μ(1＋γ₅)(Ｔ^ａ)_ff’ψ_Ｌf’ 

です。
 

それらのチャージを.Ｑ^ａ_Ｌ,Ｒ(ｘ⁰)＝∫ｄ³ｘｊ^ａ_{Ｌ,Ｒ 0}(ｘ) 

とします。
 

それらのψ_fとの交換関係を調べると,[Ｔ^ａ,Ｔ^ｂ]＝ｆ_ａｂｃＴ^c 

より,明らかに[Ｑ^ａ_Ｌ(ｘ⁰),ｊ^ｂ_Ｌμ(ｘ)]＝iｆ_ａｂｃｊ^ｃ_Ｌμ(ｘ); 

[Ｑ^ａ_Ｌ(ｘ⁰),ｊ^ｂ_Ｒμ(ｘ)]＝0, および, 

[Ｑ^ａ_Ｒ(ｘ⁰),ｊ^ｂ_Ｒμ(ｘ)]＝iｆ_ａｂｃｊ^ｃ_Ｒμ(ｘ); 

[Ｑ^ａ_Ｒ(ｘ⁰),ｊ^ｂ_Ｌμ(ｘ)]＝0　 

の同時刻交換関係が成立します。
 

重要な点は,チャ－ジ-カレントの交換関係は.単に,カレント: 

(ｊ^ａ_Ｌμ(ｘ),ｊ^ａ_ＬＲμ(ｘ))のカイラルＵ(ｎ)_Ｌ×Ｕ(ｎ)_Ｒ変換 

の下では,その随伴表現に属する:(Ｔ^ａ)_ｂｃ＝ｆ_ｂａｃという性質 

を述べているだけで,Ｕ(ｎ)_Ｌ×Ｕ(ｎ)_Ｒのカイラル対称性を 

持つ系では,これらの交換関係は常に成立する, 

ということです。
 

以下で必要なのは,チャージ:Ｑ^ａ_Ｌ,Ｑ^ａ_Ｒとカレント:ｊ^ａ_Ｌμ, 

ｊ^ａ_ＬＲμとの交換関係のみであり,「南部-Jonalashino模型」 

や,零質量QCDである必要も,カレントの具体的形が上述の式 

である必要もありません。
 

※(注6-2)：予備知識：「連続群の随伴表現」とは, 

連続群Ｇの表現とは,ある線型空間:Ｓがあって,ＧからＳ 

への準同型写像ｆのことです。
 

準同型写像とは,ｇ₁,ｇ₂∈Ｇに対して, 

ｆ(ｇ₁ｇ₂)＝ｆ(ｇ₁)ｆ(ｇ₂が成立することを意味します。 

このとき,Ｓをこの表現の表現空間といいます。
 

Lie群ＧのLie代数(Lie環;Ｇの生成子の空間)Ｇの上で 

の表現:つまり,表現空間がＧの表現を随伴表現といいます。
 

Ｇの生成子{Ｔⁱ}_i⊂Ｇ は,表現と無関係に, 

[Ｔⁱ,Ｔ^j]＝iΣ_kｆ_ijkＴ^kなる性質を持ち,係数ｆ_ijkを 

Ｇの構造定数と呼びます。
 

随伴表現のＧの上の準同型写像をＡｄで表わし,Ｘ∈Ｇに 

対して,Ａd(ｇ)(Ｘ)＝ｇＸｇ^-1∈Ｇ　で定義します。
 

Ｘ＝Σ_iａ_iＴⁱ ならＡd(ｇ)Ｘ＝Σ_iａ_i{Ａd(ｇ)(Ｔⁱ)} 

＝Σ_kｃ_ｋＴ^kです。
 

 ａ＝[ａ₁,ａ₂,...]^Ｔ, ｃ＝[ｃ₁,ｃ₂,...]^Ｔ,とＧの上の 

列ベクトルとすると,行列としてｃ＝[Ａd(ｇ)(Ｔⁱ)]ａの成立 

は,ｃ_ｋ＝Σ_i{Ａd(ｇ)(Ｔⁱ)}_klａ_i,です。
 

無限小変換では,ｇ ～ 1－iΣ_iε_jＴ^jで,Ｘ＝Σ_iａ_iＴⁱのとき 

Ａd(ｇ)(Ｔⁱ)＝ｇＴ^jｇ^-1＝(1－iΣ_jε_jＴ^j)Ｔⁱ ( 1－iΣ_kε_kＴ^k) 

＝1－iΣ_jε_j[Ｔ^j,Ｔⁱ]＝1＋Σ_jkε_jｆ_jikＴ^kです。
 

Ａd(ｇ)(Ｘ)＝ｇＸｇ^-1～　Ｘ－iε_lΣ_ijａ_i[Ｔ^j,Ｔⁱ] 

＝Ｘ＋ε_jΣ_jikａ_iｆ_jikＴ^k＝Σ_ijｋ(δ_ik＋ε_jｆ_jik)ａ_iＴ^k 

より,{Ａd(ｇ)}_j＝Σ_iｋ(δ_ik＋ε_jｆ_jik)Ｔ^k
 

ｃ＝(1－iε_jＴ^j)ａを示す行列:Ｔ^jとしては, 

(Ｔ^j)_ki＝iｆ_jik＝iｆ_kijです。 

or 添字を変えると,(Ｔ^ａ)_ｃｂ＝iｆ_ｂａｃです。
 

(注6-2終わり※)
 

カレントを組み替えて,ベクトルカレント:Ｖと軸性ベクトル 

カレント:Ａを定義します。
 

すなわち, 

Ｖ^ａ_μ(ｘ)＝ｊ^ａ_Ｒμ(ｘ)＋ｊ^ａ_Ｌμ(ｘ), 

Ａ^ａ_μ(ｘ)＝ｊ^ａ_Ｒμ(ｘ)－ｊ^ａ_Ｌμ(ｘ)　です。
 

これらに対応するチャージは, 

Ｑ^ａ(ｘ⁰)＝Ｑ^ａ_Ｒ(ｘ⁰)＋Ｑ^ａ_Ｌ(ｘ⁰),および, 

Ｑ^ａ₅(ｘ⁰)＝Ｑ^ａ_Ｒ(ｘ⁰)－Ｑ^ａ_Ｌ(ｘ⁰)です。
 

容易にわかるように,チャージーカレント交換関係は, 

[Ｑ^ａ,Ｖ^ｂ_μ(ｘ)]＝iｆ_ａｂｃＶ^ｃ_μ(ｘ), 

[Ｑ^ａ,Ａ^ｂ_μ(ｘ)]＝iｆ_ａｂｃＡ^ｃ_μ(ｘ),  

[Ｑ^ａ₅,Ｖ^ｂ_μ(ｘ)]＝iｆ_ａｂｃＡ^ｃ_μ(ｘ), 

[Ｑ^ａ₅,Ａ^ｂ_μ(ｘ)]＝iｆ_ａｂｃＶ^ｃ_μ(ｘ)　 

となります。
 

以下で考察するのは,軸性チャージ:Ｑ^ａ₅が全て,自発的に破れ, 

(Ｕ(ｎ)_Ｖ群をなす)ベクトルチャージ:Ｑ^ａの対称性のみが残る 

場合,つまり,Ｇ＝Ｕ(ｎ)_Ｌ×Ｕ(ｎ)_Ｒが自発的に,Ｈ＝Ｕ(ｎ)_Ｖ 

まで破れる場合です。
 

この場合,Ｑ^ａ₅の破れに対応して現われるｎ²個のＮＧボソン:π^ａ 

が出現して全て擬スカラー粒子です。これらが残っているＵ(ｎ)_Ｖ 

群の随伴表現(＝Ｕ(ｎ)_ＶのLie代数の空間での表現基底)に属し,  

しばしばπ粒子(pion)と呼ばれます。
 

(※現実のπ中間子:π^±,π⁰は近似的なカイラル 

ＳＵ(2)_Ｌ×ＳＵ(2)_Ｒ対称性のＱ^ａが破れて残ったＳＵ(2)_Ｒ

に対応する3重項のＮＧボソン(＝アイソ空間のベクトル)

とみなされています。※)
 

※注(6-3):Ｕ(ｎ)_Ａ,Ｕ(ｎ)_Ｖはそれぞれ,2ｎ²個の独立な実数 

で決まる行列要素という行列自由度から,ユニタリ性の条件式:  

ｎ²個の自由度を引いた残りのｎ²自由度を持ち,それぞれ  

の群の生成子をなすチャージのｎ²個のＱ^ａ,ｎ²個のＱ^ａ₅に  

対応しています。　　(注6-3終わり※)
 

Ｕ(ｎ)_Ｖのｎ次元基本表現をなす,ｎ個のスピン1/2のFermi粒子  

が結合状態か何かで,系のLagrangianに存在しているとしそれら  

を核子(nucleon)と呼んで.Ｎで表わします。
 

1つの核子が1つの軟ＮＧボソン:π^ａを放出する過程に対応して 

軸性カレントＡ^ａ_μ(ｘ)を運動量ｐ_i^μとｐ_f^μの核子状態で挟んだ 

行列要素:

＜Ｎ(ｐ_f)|Ａ^ａ_μ(ｘ)|Ｎ(ｐ_i)＞＝Ｍ^ａ_μ(ｑ)exp(－iｑｘ) 

を考察します。ただし,ｑ＝ｐ_i－ｐ_fです。
 

※(注6-4):|Ｎ(ｐ)＞は, i番目のＮの運動量表示の場の演算子 

＝消滅・生成演算子:ｂ_i(ｐ,ｓ),および,ｂ_i^＋(ｐ,ｓ)を 

Ｂ_i(ｐ,ｓ)＝{(2π)³(ｐ⁰/ｍ)}^1/2ｂ_i(ｐ,ｓ),および, 

Ｂ_i^＋(ｐ,ｓ)＝{(2π)³(ｐ⁰/ｍ)}^1/2ｂ_i^＋(ｐ,ｓ)と規格化した 

1粒子状態:|ｉ,ｐ,ｓ＞＝Ｂ_i^＋(ｐ,ｓ)|0＞のスピンｓを省略した 

表式:|i,ｐ₂＞を意味します。ｉ番目の添字ｉ省略した表現が 

|Ｎ(ｐ)＞です。
 

そこで,運動量がｐ₁のi番目のＮと,運動量がｐ₂のｊ番目のＮの 

内積は,＜i,ｐ₁|ｊ,ｐ₂＞＝(2π)³(ｐ⁰/ｍ)δ³(ｐ₁－ｐ₂)δ_ijと 

なっています。
 

ここで,質量がｍ,スピンが1/2のDirac粒子の場理論定式化を 

復習すると,エネルギーはＥ＝ｐ⁰＝(ｐ²＋ｍ²)^1/であり, 

場の演算子は,ψ(ｘ)＝Σ_±ｓ∫ｄ³ｐ(2π)^-3/2(ｍ/Ｅ)^1/2 

{ｂ(ｐ,ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)exp(－iｐｘ) 

＋ｄ^＋(ｐ,ｓ)ｖ(ｐ,ｓ)exp(iｐｘ)},および, 

ψ^＋(ｘ)＝Σ_±ｓ∫ｄ³ｐ(2π) ^-3/2(ｍ/Ｅ)^1/2 

{ｂ^＋(ｐ,ｓ)ｕ~(ｐ,ｓ)γ⁰exp(iｐｘ) 

＋ｄ(ｐ,ｓ)ｖ~(ｐ,ｓ)γ⁰exp(―iｐｘ)} 

なる展開で表現されます。
 

このDirac場の同時刻の正準反交換関係は, 

{ψ_α(ｘ,ｔ),ψ_β^＋(ｙ,ｔ)}＝δ_αβδ³(ｘ－ｙ)で, 

それ以外はゼロですから, 

{ｂ(ｐ₁,ｓ₁),ｂ^＋(ｐ₂,ｓ₂)}＝δ_s1s2δ³(ｐ₁－ｐ₂) , 

{ｄ(ｐ₁,ｓ₁),ｄ^＋(ｐ₂,ｓ₂)}＝δ_s1s2δ³(ｐ₁－ｐ₂) 

それ以外はゼロです。
 

場理論の座標表示では,時空座標の演算子:ｘ^μ^は, 

ｘ^μ^＝∫ｄ³ｘψ^＋(ｘ)ｘ^μψ(ｘ) で与えられます。
 

粒子の座標の固有値:ｙに属する固有ベクトルは, 

|ｙ＞＝ｃψ^＋(ｙ)|0＞とすると,ｘ^μ^|ｙ＞＝ｙ^μ|ｙⁱ＞ 

を満たすので,ｘ⁰＝ｙ⁰の同時刻で,＜ｘ|ｙ＞=δ³(ｘ－ｙ) 

の規格化条件を課すなら,ｃ＝1であって,|ｘ＞＝ψ^＋(ｘ)|0＞ 

です。
 

核子の1粒子状態を,|Ｎ(ｐ)＞＝|ｐ,ｓ＞＝ｂ^＋(ｐ,ｓ)|0＞ 

と定義するなら,|ｘ＞＝ψ^＋(ｘ)|0＞より, 

座標表示＝波動関数は, 

＜ｘ|Ｎ(ｐ)＞＝＜0|ψ(ｘ)ｂ^＋(ｐ,ｓ)|0＞ 

＝(2π)^-3/2(ｍ/Ｅ)^1/2ｕ(ｐ,ｓ)exp(－iｐｘ) 

です。
 

しかし,1粒子状態を,ｂ(ｐｓ)の代わりに, 

Ｂ_i(ｐ,ｓ)＝{(2π)³(ｐ⁰/ｍ_i)}^1/2ｂ_i(ｐ,ｓ) によって, 

|Ｎ(ｐ)＞＝|ｐ,ｓ＞＝Ｂ^＋(ｐ,ｓ)|0＞と定義する 

なら,波動関数は,＜ｘ||Ｎ(ｐ)＞ 

＝＜0|ψ(ｘ)Ｂ^＋(ｐ,ｓ)|0＞＝ｕ(ｐ,ｓ)exp(－iｐｘ) 

です。
 

粒子でなく,反粒子なら,|Ｎ(ｐ)＞＝ｄ^＋(ｐ,ｓ)|0＞または 

|Ｎ(ｐ)＞＝Ｄ^＋(ｐ,ｓ)|0＞ですが,
 

後者の定義を採用すれば,波動関数は, 

＜ｘ||Ｎ(ｐ)＞＝＜0|ψ^＋(ｘ)Ｄ^＋(ｐ,ｓ)|0＞ 

＝ｖ^＋(ｐ,ｓ)exp(－iｐｘ)　です。
 

(注6-4終わり※)
 

このとき,Lorentz不変性,Ｕ(Ｎ)対称性,Ｐ(パリティ), 

あるいは,ＣＰ(または,Ｔ)の不変性の仮定から,Ｍ^ａ_μ(ｑ)は, 

Ｍ^ａ_μ(ｑ)＝ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^ａ{γ_μγ₅ｇ_Ａ(ｑ²) 

＋ｑ_μγ₅ｈ_Ａ(ｑ²)}ｕ(ｐ_i)の一般形を取ることがわかります。
 

※(注6-5):上記式の証明です。 

＜Ｎ(ｐ_f)|Ａ^ａ_μ(ｘ)|Ｎ(ｐ_i)＞＝Ｍ^ａ_μ(ｑ)exp(－iｑｘ) 

においては,始状態ｂra:|Ｎ(ｐ_i)＞,終状態ket:＜Ｎ(ｐ_f)| 

に対応するDiracスピノルを,それぞれ, 

ｕ(ｐ_i,ｓ_i)＝ｕ⁽ⁱ⁾,ｕ~(ｐ_ｆ,ｓ_ｆ)＝ｕ^(ｆ)~と書き, 

Ｕ(ｎ)_Ｖのスピノルをχ⁽ⁱ⁾,χ^(ｆ)＋とします。
 

さらに,運動量変数;ｑ＝ｐ_f－ｐ_i,ｐ＝ｐ_i＋ｐ_fが使用可能な 

Lorentz共変量ですから,これらからLorentz擬ベクトル 

(軸性ベクトル),かつ,Ｕ(ｎ)_Ｖ随伴表現となるＭ^ａ_μを 

作らなければなりません。
 

Ｕ(ｎ)_Ｖに関する因子は,明らかに,{χ^(ｆ)＋Ｔ^ａχ⁽ⁱ⁾} です。
 

一方, Lorentz共変部分は,Diracスピノル ｕ⁽ⁱ⁾, ｕ^(ｆ)~ 

から作ることができる独立な共変量が, 

ｕ^(ｆ)~{1,γ₅,γ_μ,γ_μγ₅,σ_μν}ｕ⁽ⁱ⁾の 

1＋1＋4＋4＋6＝16個です。
 

これらによってつくることが可能で独立と思われる擬ベクトル 

の全ては,Γ⁽¹⁾_μ＝ｑ_μｕ^(ｆ)~γ₅ｕ⁽ⁱ⁾, Γ⁽²⁾_μ＝ｐ_μｕ^(ｆ)~γ₅ｕ⁽ⁱ⁾, 

Γ⁽³⁾_μ＝ｕ^(ｆ)~γ_μγ₅ｕ⁽ⁱ⁾, 

Γ⁽⁴⁾_μ＝(1/2)ε_μνρσｑ^νｕ^(ｆ)~σ^ρσｕ⁽ⁱ⁾ 

＝ｑ^νｕ^(ｆ)~γ₅σ_μνｕ⁽ⁱ⁾,Γ⁽⁵⁾_μ＝ｐ^νｕ^(ｆ)~γ₅σ_μνｕ⁽ⁱ⁾, 

Γ⁽⁶⁾_μ＝(ｑ_μ,または,ｐ_μ)ｕ^(ｆ)~ｑγ₅ｕ⁽ⁱ⁾, 

Γ⁽⁷⁾_μ＝(ｑ_μ,または,ｐ_μ)ｕ^(ｆ)~ ｐγ₅ｕ⁽ⁱ⁾ 

で与えられます。
 

ここで,自由Dirac方程式;ｐ_iｕ⁽ⁱ⁾＝ｍｕ⁽ⁱ⁾,および, 

ｐ_ｆｕ^(ｆ)＝ｍｕ^(ｆ)or ｕ^(ｆ)~ｐ_ｆ＝ｍｕ^(ｆ) ~などを用いると, 

Γ⁽⁴⁾ ～ Γ⁽⁷⁾は,Γ⁽¹⁾ ～ Γ⁽⁷⁾の線形和で表わすことができる 

ため, 結局, 

ｕ⁽ⁱ⁾χ⁽ⁱ⁾を ｕ(ｐ_i),ｕ^(ｆ)χ^(ｆ)をｕ(ｐ_f)と表記して 

＜Ｎ(ｐ_f)|Ａ^ａ_μ(ｘ)|Ｎ(ｐ_i)＞＝exp(－iｑｘ) 

[ｕ~(ｐ_f)Ｔ^ａ{ｇ₁(ｑ²)ｑ_μγ₅＋ｇ₂(ｑ²)ｐ_μγ₅ 

＋ｇ₃(ｑ²)γ_μγ₅}ｕ(ｐ_i)] を得ます。
 

ここで,ｐ_i²＝ｐ_ｆ²＝ｍ²ですから,定数でない独立なLorentz 

不変変数(スカラー量)で可能な引数はｑ²のみなのでｇ₁,ｇ₂,ｇ₃ 

はｑ²の関数であるとしました。
 

そして,Ａ_μのHermite性から＜Ｎ(ｐ_i)|Ａ^ａ_μ(ｘ)|Ｎ(ｐ_f)＞^＊ 

＝＜Ｎ(ｐ_ｆ)|Ａ^ａ_μ^＋(ｘ)|Ｎ(ｐ_i)＞ 

＝＜Ｎ(ｐ_ｆ)|Ａ^ａ_μ(ｘ)|Ｎ(ｐ_i)＞　です。
 

故に,ｕ~(ｐ_ｆ)(Ｔ^ａ)^＋{ｇ₁^＊(―ｑ_μ)γ₅~＋ｇ₂^＊ｐ_μγ₅~ 

＋ｇ₃^＊(γ_μγ₅)~}ｕ(ｐ_i)＝ｕ~(ｐ_f)Ｔ^ａ{ｇ₁(ｑ²)ｑ_μγ₅ 

＋ｇ₂(ｑ²)ｐ_μγ₅＋ｇ₃(ｑ²)γ_μγ₅}ｕ(ｐ_i)　です。 

ただし,Γ~＝γ⁰Γ^＋γ⁰です。
 

γ₅~＝－γ₅,(γ_μγ₅)~＝γ_μγ₅,(Ｔ^ａ)^＋＝Ｔ^ａですから, 

ｇ₁^＊＝ｇ₁,ｇ₂^＊＝－ｇ₂, ｇ₃^＊＝ｇ₃を得ます。
 

つまり,ｇ₁,ｇ₃は実数で,ｇ₂は純虚数です。
 

次にＴ(時間反転)不変性の要求は, 

行列要素:＜Ｎ(ｐ_ｆ)|Ａ_μ(0)|Ｎ(ｐ_i)＞　が, 

＜Ｎ(ｐ_ｆ)|Ｔ^-1ＴＡ_μ(0)Ｔ^-1Ｔ|Ｎ(ｐ_i)＞ 

＝＜ＴＮ(ｐ_ｆ)|Ａ^μＴ(0)|ＴＮ(ｐ_i)＞^＊に等しいこと 

を意味します。
 

ただし,Ａ_μ(0)­＝Σ_ａＴ^ａＡ^ａ_μ(0)で­時間反転による変換後 

の演算子が,Ａ^μＴ(0)＝Σ_ａＡ^ａμ(0)(Ｔ^ａ)^Ｔとなることを 

用いました。
 

電磁場:Ａ_μのｔ'＝－ｔの時間反転の変換性のアナロジーで 

各ａについて,ＴＡ^ａ_μ(ｘ,ｔ)Ｔ^-1＝Ａ^ａμ(ｘ,－ｔ), 

または,Ｔ^-1Ａ^ａ_μ(ｘ,－ｔ)Ｔ＝Ａ^ａμ(ｘ,ｔ)になると 

考えられます。
 

時間反転:ｔ →ｔ'＝－ｔに伴って,演算子でなく状態が, 

|α＞ → |α7＞＝Ｔ|α＞,|β＞ → |β'＞＝Ｔ|β＞ 

と変換されると考えますが, 

Ｔは「複素共役を取れ」という指令:Ｋとユニタリ変換:Ｕ 

の積でＴ＝ＫＵと表わされる反ユニタリ演算子です。
 

そこで,Ｔ^-1Ａ^ａ_μ(ｘ,－ｔ)Ｔ＝Ａ^ａμ(ｘ,ｔ)という式の 

意味は,状態による行列要素において, 

＜α|Ｔ^-1Ａ^ａ_μ(ｘ,－ｔ)Ｔ|β＞＝＜α|Ａ^ａμ(ｘ,ｔ)|β＞^＊ 

＝＜β|Ａ^ａμ＋(ｘ,ｔ)|α＞が成立する,という意味です。
 

つまり,ｔ'＝－ｔなる変換で,＜α'|Ａ_μ(ｘ,－ｔ)|β'＞ 

＝＜α|Ｔ^＋Ａ^ａ_μ(ｘ,－ｔ)Ｔ|β＞ 

＝＜β|Ｕ^＋Ａ^ａ_μ(ｘ,－ｔ)Ｕ|α＞ 

＝＜β|Ａ^ａμ＋(ｘ,ｔ)|α＞　です。
 

したがって,Ｕ^＋Ａ_μ(ｘ,－ｔ)Ｕ＝Ａ^μ＋(ｘ,ｔ)より, 

 ＵＡ_μ(ｘ,ｔ)Ｕ^-1＝Ａ^μ＋(ｘ,－ｔ)　です。
 

対称性群の一般変換としてのゲージ場は,線形和で, 

Ａ_μ(ｘ,ｔ)¹＝Σ_ａＴ^ａＡ^aμ＋(ｘ,ｔ)ですが,個々の 

Ａ^aμはHermite演算子なので, 

Ａ_μ^＋(ｘ,ｔ)¹＝Σ_ａＡ^aμ＋(ｘ,－ｔ)(Ｔ^ａ)^＋と書けます。
 

Ｕ^＋Ａ_μ(ｘ,－ｔ)Ｕ＝Ａ^μ＋(ｘ,ｔ)から, 

ＵＡ_μ(ｘ,ｔ)Ｕ^-1＝Ａ^μ＋(ｘ,－ｔ) 

＝Σ_ａＡ^aμ＋(ｘ,－ｔ)(Ｔ^ａ)^＋であり,結局, 

ＴＡ_μ(ｘ,ｔ)Ｔ^-1­＝Σ_ａＡ^ａμ(ｘ,－ｔ)(Ｔ^ａ)^Ｔ 

＝Ａ^μＴ(ｘ,－ｔ)　を得ます。　
 

一方,|ＴＮ(ｐ)＞の波動関数は,＜0|ψ(0) |ＴＮ(ｐ)＞ 

＝＜0|Ｔ¹Ｔ^-1ψ(0)Ｔ |Ｎ(ｐ)＞＝＜0|Ｔ^-1ψ(0)Ｔ |Ｎ(ｐ)＞ 

＝＜0|－iγ¹γ³ψ(0)|Ｎ(ｐ)＞^＊＝iγ¹γ³ｕ^＊(ｐ)です。
 

(何故なら,(γ¹)^＊＝γ¹,(γ³)^＊＝γ³です。)
 

そこで,＜Ｎ(ｐ_ｆ)|Ａ^ａ_μ(0)|Ｎ(ｐ_i)＞ 

＝ｕ~(ｐ_f)Ｔ^ａ{ｇ₁(ｑ²)ｑ_μγ₅＋ｇ₂(ｑ²)ｐ_μγ₅ 

＋ｇ₃(ｑ²)γ_μγ₅}ｕ(ｐ_i) 

ですが,
 

時間反転不変性から, 

＜Ｎ(ｐ_ｆ)|Ａ^ａ_μ(0)|Ｎ(ｐ_i)＞^＊ 

＝＜ＴＮ(ｐ_ｆ)|Ａ^ａμＴ(0)|ＴＮ(ｐ_i)＞ 

＝ｕ~^＊(ｐ_f)(Ｔ^ａ)^Ｔ(iγ¹γ³)~ 

×(ｇ₁ｑ^^μγ₅＋ｇ₂ｐ^^μγ₅＋ｇ₃γ^^μγ₅)^Ｔ(iγ¹γ³)ｕ^＊(ｐ_i) 

が要求されます。
 

ただし,ｑ^^μ,ｐ^^μ,γ^^μは,ｑ^μ,ｐ^μ,γ^μの時間反転後の値 

を意味します。
 

まず,Γ~＝γ⁰Γ^＋γ⁰より, 

(iγ¹γ³)~＝－iγ⁰γ³γ¹γ⁰＝－iγ³γ¹です。 

故に,(lγ¹γ³)~γ₅(iγ¹γ³)＝γ³γ¹γ₅γ¹γ³＝γ₅, 

また,(lγ¹γ³)~γ^^μγ₅(iγ¹γ³)＝γ³γ¹γ^^μ(γ¹γ³)γ₅ 

です。ここで先読みしてγ^^μＴ＝－γ_μ^＊, 

つまり,γ^^μ＝－γ_μ^＋と仮定すると, 

μ＝0ならγ^⁰＝γ₀^＋＝－γ₀ですから. 

(lγ¹γ³)~γ^⁰γ₅(iγ¹γ³)＝－γ³γ¹γ₀(γ¹γ³)γ₅ 

＝－γ₀γ₅ 

μ＝2ならγ^²＝－γ₂^＋＝－γ₂ですから 

(lγ¹γ³)~γ^²γ₅(iγ¹γ³)＝－γ³γ¹γ₂(γ¹γ³)γ₅ 

＝－γ₂γ₅＝－γ₂^＋γ₅ 

μ＝1,3ならγ^¹＝γ₁^＊＝γ₁です。
 

以上から,(lγ¹γ³)~γ^^μγ₅(iγ¹γ³) 

＝－γ_μ^＋γ₅＝(γ_μγ₅)^＋,または. 

lγ¹γ³)~(γ^^μγ₅)^Ｔ(iγ¹γ³)＝(γ_μ^＋γ₅)^＊です。
 

そこで,ｕ~^＊(ｐ_f)(Ｔ^ａ) ^Ｔ{ｇ₁(ｑ²)ｑ_μγ₅＋ｇ₂(ｑ²)ｐ_μγ₅ 

＋ｇ₃(ｑ²)γ_μγ₅}^＊ｕ^＊(ｐ_i) 

＝ｕ~^＊(ｐ_f)(Ｔ^ａ)^Ｔ{ｇ₁(ｑ²)ｑ^^μγ₅＋ｇ₂(ｑ²)ｐ^^μγ₅ 

＋ｇ₃(ｑ²)γ^^μγ₅}^Ｔｕ^＊(ｐ_i)　を得ます。
 

これは,ｇ₁,ｇ₂,ｇ₃が実数で,ｑ^^μ＝ｑ_μ,ｐ^^μ＝ｐ_μ, 

γ^^μ＝－γ_μ^＋であれば成立します。
 

そこで,ｇ₂は実数で.かつ純虚数ですからｇ₂＝0です。
 

以上から,＜Ｎ(ｐ_f)|Ａ^ａ_μ(ｘ)|Ｎ(ｐ_i)＞ 

＝Ｍ^ａ_μ(ｑ)exp(－iｑｘ)； 

そして,Ｍ^ａ_μ(ｑ) 

＝ｕ~(ｐ_ｆ)Ｔ^ａ{γ_μγ₅ｇ_Ａ(ｑ²)＋ｑ_μγ₅ｈ_Ａ(ｑ²)}ｕ(ｐ_i) 

と書けることが証明されました。(証明終わり)
 

(注6-5終わり※)
 

長くなったし,切りがいいので,今日はここまでにします。 

　　(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論(Ⅱ)」

　　ＰＳ:関係ないけど,中学生のころ故郷の大原美術館で 

　観て感動したエル。グレコの受胎告知,また故郷に

　帰れたら 見てみたいですね。
 

　マリアのスカートの赤色などすばらしいと思いました。

。

ついでに　山下清　画伯　作品

　　　　

場の量子論第Ⅱ部(18)(ＴＣＰ定理)

  場の量子論第Ⅱ部の続きです。 

ＴＣＰ定理に入り,これで一応,終わる予定です。
 

§15-14 The TCP Theorem(ＴＣＰ定理)
 

既に,電磁相互作用と,次に与えるようなagrangean密度のπ-Ｎ 

相互作用が,陽に作った別々の対称性操作:Ｔ,Ｃ.Ｐの下で不変 

であることを証明しました。
 

上述のπ-Ｎ相互作用のLagrangean密度は, 

Ｌ＝Ψ~(iγ^μ∂_μ－Ｍ₀)Ψ＋(1/2){∂^μφ∂_μφ－μ₀²φφ} 

－iｇ₀Ψ~γ₅τΨφ　です。
 

項に２～３のiやγ因子を思慮深く挿入することにより,Proper 

Lorentz 変換や平行移動の下での不変性に影響を与えることなく, 

そして対称性操作としてのＴ,Ｃ.Ｐを壊すことなく相互作用項 

を修正することも可能です。
 

しかし,もしも次のことを仮定するなら,それだけで積ＴＣＰが 

対称性として維持される,ということは注目に値します。
 

1. 現状では,我々の場理論は局所的理論を意味する。それは 

正規順序を取られたHermiteなLagrangian密度が存在する理論 

であり,proper Lorentz 変換の下では共変である。
 

2. 理論は,スピンと統計間の通常の関係で量子化されている。 

例えば,Klein-Gordon場とMaxwell場はBose-Einstein統計に到る 

交換関係で量子化され,Dirac場は排他原理に導くFermi統計に到る 

反交換関係に従う。
 

この簡単な仮定でＴＣＰが対称性が常に成立する.というのが, 

LudasとZumino,および,PauliとSchwingerのＴＣＰ定理と呼ばれる 

ものです。
 

以下では,共通の時刻ｔで評価されるＴ(ｔ),Ｃ(ｔ).Ｐ(ｔ)の連続的 

適用に対してHaniltonian:Ｈが,ＰＣＴＨＴ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1＝Ｈを満足する 

という命題によって,相互作用するKlin-Gordon,Maxwell,Dirac場に 

対してのＴＣＰ定理について1つの証明を与えます。
 

上述の仮定1,2は,Laglangian密度:Ｌの性質に基づくものなので, 

Ｌを考察することから始めて,ＰＣＴＨＴ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1＝Ｈの証明に 

戻ることにします。
 

まず,第1にＰＣＴＬ(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1＝Ｌ(－ｘ,－ｔ)が時刻ｔ 

のＰ,Ｃ.Ｔに対して成立する,ことを示します。
 

Ｌは,Lorentz不変性の仮定により,φ_r(ｘ)とＡ_μ(ｘ),および, 

それらのｘ^μによる微分係数,さらにテンソルとして変換する, 

スピノル場とその座標による導関数の双１次形式:Ψ~^ＡΓΨ^Ｂ 

の積から成る,スカラーでできたHermite演算子であることが 

わかります。
 

ここで,添字Ａ,Ｂは内部自由度(ｐ,ｅ^－,νや.クォ－クの 

flavor,colorなど)のラベルであり,Γはガンマ行列の集合: 

{１,iγ₅,γ_μ,γ₅γ_μ,σ_μν}の元の1つを意味します。
 

まず,スカラー・Hermite場:φ_r(ｘ)へのＰＣＴの作用は 

ＰＣＴφ_r(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1＝±φ_r(－ｘ,－ｔ)　です。
 

ここで符号:±は任意であり,π中間子:φ=[φ₁,φ₂,φ₃]では, 

Ｔφ₁(ｘ,ｔ)Ｔ^-1＝±φ₁(ｘ,－ｔ),Ｔφ₂(ｘ,ｔ)Ｔ^-1 

＝－(±)φ₂(ｘ,－ｔ).Ｔφ₃(ｘ,ｔ)Ｔ^-1＝±φ₃(ｘ,－ｔ) 

のような時間反転:Ｔの符号選択に依存しています。
 

電荷固有状態を生成する複素スカラー場の演算子:φ,φ^＊では, 

ＰＣＴφ(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1＝±φ(－ｘ,－ｔ), 

ＰＣＴφ^＊(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1＝±φ^＊(－ｘ,－ｔ)　です。
 

Diracスピノル場:Ψ^ＡへのＰＣＴの作用は, 

ＰＣＴΨ^Ａ_α(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1 

＝－i(γ⁰γ₅)_αβΨ~^Ａ_β(－ｘ,－ｔ) 

＝iγ⁵_αβΨ^＋Ａ_β(－ｘ,－ｔ)　です。
 

そして,ＰＣＴΨ~^Ａ_α(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1 

＝－iΨ^Ａ_β(－ｘ,－ｔ)(γ⁰γ₅)_βαです。
 

※(注18-1): Ｔψ_α(ｘ,ｔ)Ｔ^-1＝i(γ¹γ³)_αβψ_β(ｘ,－ｔ) 

であり,Ｃψ(ｘ,ｔ)Ｃ^-1＝Ｃγ⁰ψ^＋(ｘ,ｔ),Ｃ＝iγ²γ⁰ 

なので, Ｃγ⁰＝iγ²で, 

ＣＴψ_α(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1＝{iγ²(iγ¹γ³)^＋}_αβψ^＋_β(ｘ,－ｔ) 

＝(－γ²γ³γ¹)_αβψ^＋_β(ｘ,－ｔ) です。
 

それ故,Ｐψ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1＝γ⁰ψ(ｘ,ｔ)から, 

ＰＣＴψ_α(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1 

＝(－γ⁰γ²γ³γ¹)_αβψ^＋_β(－ｘ,－ｔ) 

＝－i(γ⁰γ₅)_αβψ~_β(－ｘ,－ｔ)　を得ます。
 

何故なら,γ₅＝γ⁵＝iγ⁰γ¹γ²γ³ 

ψ^＋＝ψ~γ⁰＝γ⁰ψ~,または,(γ⁰)^Ｔ＝γ⁰です。
 

一方, Ｔ^-ψ_α(ｘ,－ｔ)Ｔ^-1＝Ｔ_αβψ_β(ｘ,ｔ)ですから 

, ＜Φ|Ｔ^-ψ_α(ｘ,－ｔ)Ｔ^-1|Ψ＞＝Ｔ_αβ＜Φ|ψ_β(ｘ,ｔ)|Ψ＞ 

ですが,Ｔ＝ＫＵなので 

＜Φ|Ｕψ_α(ｘ,－ｔ)Ｕ^-1|Ψ＞＝Ｔ_αβ^＊＜Φ|ψ_β(ｘ,ｔ)|Ψ＞^＊ 

or ＜Φ|Ｕψ_α(ｘ,－ｔ)Ｕ^-1|Ψ＞^＊＝Ｔ_αβ＜Φ|ψ_β(ｘ,ｔ)|Ψ＞
 

ところが,左辺＝＜Ψ|Ｕψ^＋_α(ｘ,－ｔ)Ｕ^-1|φ＞ 

＝＜Ψ|Ｔψ^＋_α(ｘ,－ｔ)Ｔ^-1|φ＞^＊です。
 

また,右辺＝Ｔ_αβ＜Φ|ψ_β(ｘ,ｔ)|Ψ＞ 

＝Ｔ_αβ＜Ψ|ψ^＋_β(ｘ,ｔ)|Ψ＞^＊です。
 

以上から,左辺＝右辺により,まず, 

Ｔψ^＋_α(ｘ,ｔ)Ｔ^-1＝(－i)(γ¹γ³)_αβψ^＋_β(ｘ,－ｔ)です。
 

そして,{(－i)(γ¹γ³)_αβψ^＋_β(ｘ,－ｔ)}^＋ 

＝iψ_β(ｘ,－ｔ)(γ¹γ³)^＊_βα＝iψ_β(ｘ,－ｔ)(γ¹γ³)_βα
 

故に, 

ＣＴψ^＋_α(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1 

＝(iγ²)_αβψ_λ(ｘ,－ｔ)i(γ¹γ³)_λβ 

＝－ψ_β(ｘ,－ｔ)(γ¹γ³γ²)_βα
 

(※何故なら(γ²)^Ｔ＝－γ²,or (iγ²)_αβ＝－(iγ²)_βα
 

それ故,ＰＣＴψ^＋_α(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1 

＝－ψ_β(－ｘ,－ｔ)(γ¹γ³γ²γ⁰)_βα 

＝－iψ_β(－ｘ,－ｔ)γ⁵_βα
 

したがって,ＰＣＴψ~_α(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1 

＝－iψ_β(－ｘ,－ｔ)(γ₅γ⁰)_βα 

を得ます。　　　(注18-1終わり※)
 

そこで.Diracスピノル場の双1次形式:Ψ~^ＡΓΨ^Ｂ 

＝Ψ~^Ａ_αΓ_αβΨ^Ｂ_βへのＰＣＴの作用は次のようになります。
 

ＰＣＴΨ~^Ａ_α(ｘ,ｔ)Γ_αβΨ^Ｂ_β(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1  

＝－Ψ^Ａ_λ(－ｘ,－ｔ)(γ₅γ⁰Γ^＊γ₅γ⁰)_λτΨ^Ｂ_τ(－ｘ,－ｔ)  

＝－Ψ^Ａ_λ(－ｘ,－ｔ)Γ'_τλΨ^Ｂ_τ(－ｘ,－ｔ)
 

ただし,Γ＝1,iγ₅,σ_μνのとき, Γ'＝Γ,  

Γ＝γ_μ,γ₅γ_μのとき, Γ'＝－Γ です。
 

※(注18-2):Γ'＝ (γ₅γ⁰Γ^＊γ₅γ⁰)^Ｔですから, 

Γ'＝γ₀^Ｔγ₅^ＴΓ^＊Ｔγ₀^Ｔγ₅^Ｔ＝γ₀γ₅Γ^＋γ₀γ₅Γです。
 

以下,具体的に右辺にΓ＝1,iγ₅,σ_μνを代入してΓ'＝Γ, 

Γ＝γ_μ,γ₅γ_μを代入して,Γ'＝－Γ　を得ます。 

(注18-2終わり※)
 

Ａ,Ｂが無関係で独立なFermi場:Ψ^Ａ,Ψ^Ｂは反交換しＬの中 

には,これらの場の積は正規順序で出現するというこれまで 

の規約を維持するとします
 

ＰＣＴ：Ψ~^Ａ_α(ｘ,ｔ)Γ_αβΨ^Ｂ_β(ｘ,ｔ)：Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1 

＝：Ψ~^Ｂ_τ(－ｘ,－ｔ)Γ’_τλΨ^Ａ_λ(－ｘ,－ｔ)：です。
 

実際,ベクトルカレントのケース:Γ＝γ^μで同種Fermi場:: 

Ａ＝Ｂのときにのみ,正規順序が必要です。
 

何故なら.－Ψ^Ａ_λ(－ｘ,－ｔ)Γ’_τλΨ^Ｂ_τ(－ｘ,－ｔ) 

＝Ψ~^Ｂ_τ(－ｘ,－ｔ)Γ’_τλΨ^Ａ_λ(－ｘ,－ｔ)

－δ_ＡＢδ⁴(0)Ｔr(γ⁰Γ') 

(※Ｔr(γ⁰1)＝Ｔr(γ⁰γ₅)＝0,Ｔr(γ⁰σ_μν)＝Ｔr(γ⁰γ₅γ_μ)＝0, 

Ｔr(γ⁰γ_μ)＝4ｇ_0μです。)
 

しかし,Ｐ,Ｃ,Ｔを定める条件として論議したのは正にこのΓ＝γ^μ 

のベクトルカレントによるものでした。
 

すなわち,時間反転: Ｔ j^μ(ｘ,ｔ)Ｔ^-1＝ｊ_μ(ｘ,－ｔ), 

プラス荷電共役:ＣＴ j^μ(ｘ,－ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1＝－ｊ_μ(ｘ,－ｔ) 

に空間反転の結果:

ＰＣＴ j^μ(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1＝－ｊ^μ(－ｘ,－ｔ) 

＝－：ψ~(－ｘ,－ｔ)γ^μψ(－ｘ,－ｔ)　となるべきです。
 

電磁場ベクトル:Ａに対して,同様にこれまで求めたことから, 

ＰＣＴ Ａ(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1＝－Ａ(－ｘ,－ｔ)です。
 

電荷密度:ρ(ｘ,ｔ)＝ｅ₀ｊ⁰(ｘ,ｔ)がゼロでないとき, 

スカラーポテンシャル:Ａ⁰＝Φは, 

Ａ⁰(ｘ,ｔ)＝Φ(ｘ,ｔ)

＝－{ｅ₀/(4π)}∫ｄ³ｙｊ⁰(ｙ,ｔ)/|ｘ－ｙ| 

で与えられることを見ました。
 

これにＰＣＴを作用させると, 

ＰＣＴ ｊ⁰(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1＝－ｊ⁰(－ｘ,－ｔ)から 

ＰＣＴ Ａ⁰ (ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1＝－Ａ⁰(－ｘ,－ｔ)を得ます。
 

結局,ＰＣＴ Ａ^μ(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1＝－Ａ^μ(－ｘ,－ｔ)です。
 

最後に∂/∂ｘ^μが現われる項ですが,

∂/∂ｘ^μ＝－∂/∂(－ｘ^μ) 

なることに着目し,
 

ＰＣＴｆ(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1＝±ｆ(－ｘ,－ｔ)なら, 

ＰＣＴ{∂ｆ(ｘ,ｔ)/∂ｘ^μ}Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1 

＝－{±∂ｆ(－ｘ,－ｔ)/∂(－ｘ^μ)}です。
 

さて,これで準備が終わったので,ＰＣＴが起こす変換規則 

を要約して列挙します。
 

1,あらゆる座標ｘ^μはｘ'^μ＝－ｘ^μに変わる。 

そこで.∂/∂ｘ^μ －∂/∂ｘ'^μ ＝ －∂/∂ｘ^μとなる。
 

2.Hermiteスカラー場:φ_r(ｘ)はｚ＋φ_r(ｘ')に変換する。 

ただし,ここでは共通の位相因子は＋1に固定した。
 

3. あらゆるFermi場とその導関数から成る双1次形式の偶階数 

テンソルは,それらのHermite共役に変換され,奇階数テンソル 

はそれらのHermite共役×(－1)に,変換される。
 

4. あらゆるｃ-数はその複素共役に変わる。
 

系を支配するLagrangian密度Ｌは,スカラーなのでＬの任意に 

与えられた各項に現われる,あらゆるテンソル添字は縮約される 

ため,項の添字の個数は偶数であり,そこで.3のマイナス符号は 

相殺されて消えます。
 

結局,こうした指令のトータルな効果は「Hermite共役を取れ,」 

という集約された指令に等価です。
 

そして,変換で因子の順序が変わるという問題は,Ｌの全ての項 

が正規順序で与えられるべきという制限によって除去されます。
 

これは,実はスピンと統計の関係の仮定から得られるものです。
 

何故なら,正規順序はスピンが1/2の反交換する場について 

マイナス符号を,スピンが0,または1のBose場に対しては 

プラス符号を導入するからです。
 

以上の結果,Hermiteなスカラー:Ｌに対して,. 

ＰＣＴＬ(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1＝Ｌ(ｘ')＝Ｌ(－ｘ,－ｔ) 

が得られます。
 

さらに,ＬからHamiltonian密度;Ｈへの移行は, 

Ｈ(ｘ)＝：－Ｌ＋Σ_ｒπ^r(ｘ)φ_r^d(ｘ)：で定義されます。 

ただし,ここでのφ_r(ｘ)はBose場だけでなくFernmi場を 

含む全ての場を総称しています。
 

Bose場に対しては[π_r(ｘ,ｔ),φ_ｓ(ｙ,ｔ)]＝－iδ³(ｘ－ｙ)δ_rs, 

Fermi場に対しては{π_r(ｘ,ｔ),φ_ｓ(ｙ,ｔ)}＝iδ³(ｘ－ｙ)δ^rs 

が成立しますが,これらはＰＣＴ変換で維持されます。
 

何故なら,ＰＣＴφ_r(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1＝η_rφ_r(－ｘ,－ｔ) 

なら,ＰＣＴπ_r(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1＝－η_r^＊π_r(－ｘ,－ｔ) 

であり,ＰＣＴ{iδ³(ｘ－ｙ)}Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1＝－iδ³(ｘ－ｙ) 

であるからです。
 

また,ＰＣＴφ_r^d(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1＝－η_rφ_r^d(－ｘ,－ｔ) 

より,ＰＣＴＨ(ｘ,ｔ)Ｔ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1＝Ｈ(－ｘ,－ｔ)　です。
 

それ故,Ｈ＝∫ｄ³ｘＨ(ｘ,ｔ)によって, 

ＰＣＴＨＴ^-1Ｃ^-1Ｐ^-1＝Ｈ　が導かれます。
 

こうしてＴＣＰ定理が証明されました。
 

これで,テキスト第15章の不連続変換の項目の紹介,および, 

詳解が全て完了しました。今日は,ここで終わります。
 

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell 

“Relativistic　Quantum Fields” (McGrawHill)