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2017年12月27日 (水)

ゲージ場の量子論(15)

 

,ゲージ場の量子論の6章対称性の自発的破れの項目の 

記事を書いてますが,完全理解のためには,すぐ前の第5章の 

ゲージ場の知識が必要です。
 

そこで,「ゲージ場の量子論から(経路積分と摂動論)(12)」の 

続きとして,少し飛びますが第5章のゲージ場の量子論の論議  

から記事の続きを再開します。
 

§5-1 局所ゲージ不変性

※内部対称性群 

例えば自由Dirac場のLagrangian密度:=ψ~(γμμ-)ψ 

,(1)位相変換:ψ'()exp(iθ)ψ().および, 

その複素共役の変換の下で不変です。
 

ところが,もしDirac場がN種類あって,このスピノル場を総称 

して,縦ベクトルでΨ=(ψi)(ψ1,ψ2,..,ψ)と表わし,Ψ~を  

Ψ~(ψ~i)(ψ~1,ψ~2,..,ψ~)(ψ~i=ψiγ0)なる 

横ベクトルで表わして各質量が(1,2,..)で与えられるとき, 

mを対角成分が(1,2,..)の質量対角行列とすれば,系全体の 

Lagrangian密度は,=Ψ~(γμμ-)Ψと書けます。
 

これは.一般のN×Nユニタリ行列:UによるN成分の場の回転 

ψl'()=Uijψj(){exp(iθaa)}ijψi()に対して 

不変です。
 

一般に,(),または作用積分:S=∫d4()を不変に保つ 

このような対称性変換は.連続して2つ以上作用させても,Sは 

不変に保たれるので変換全体が群をなします。
 

上記の変換では群の元:UがN×Nユニタリ行列の形なのでU() 

と呼ばれます。θa()変換パラメータでTaは無限小変換の生成子 

(generator)と呼ばれます。

U=exp(iθaa)がユニタリ(unitary)行列でθaが実数ですから,aHermote行列です。
 

このようなTa,独立なものがN2個あります。
 

何故なら,N×N複素行列の成分は複素数がN2個なので実数 

としては22次元なのですが, aHermote行列:()=T 

である,という条件から,全てが実数成分というのと同等なので 

これはN2次元です。そこで,パラメータθの独立なものの個数 

もN2個です。
 

一般に群Gの独立な生成子の個数をGの次元と呼び,dimGと 

書くので, 今の場合dim()=N2です。
 

慣例に従って,の規格直交化をTr()(1/2)δab 

とします。※ XとYの内積を(,)=Tr()で定義 

できるからです。
 

こうすると,例えばN=2のとき,(2)の生成子:,Pauli 

σ行列の(1/2),(1/2)σa(a=1,2,3),および単位行列:1 

に比例するT0(1/2)14つです。
 

N=3のとき,(3)の生成子:,通常Gell-Man行列と呼ばれる 

8個の3×3行列λa(1/2),(1/2)λa(a=1,2,..8),および, 

0(1/6)1の9つを採用します。
 

一般に群Gの部分群Hが任意のg∈Gに対してgHg-1⊂Hを 

満たすとき,HをGの不変部分群(正規部分群)と呼びます。 

特に,GがG自身と{1}の他に不変部分群を持たないときGは単純群 

であるといわれ,(1)の不変部分群(Abel不変部分群)を持たない 

ときGは半単純群である,といわれます。
 

半単純群はいくつかの単純群の直積で与えられることがわかって 

います。
 

上記のU()の場合は単位元:1に比例する生成子:0による変換: 

exp(iθ00)がU(1)部分群をなし,明らかにU()の不変部分群と 

なっています。残りのN21個の生成子:a(a=1,2,..,21) 

のトレースは全てゼロです。
 

それ故,Det[exp(iΣ=1,2-1θa)]=+1であり,このN21)次元 

のg=exp(iΣ=1,2-1θa)全体は特殊ユニタリ群:SU() 

作ります。
 

すなわち,SU(),=g-1Detg=+1を満たすN×N複素 

行列gの全体の集合です。そして,()~U(1)×SU()です。 

Pauliのσ行列,Gell-Manのλ行列は,それぞれ,SU(2),SU(3) 

の生成子です。
 

一般に,群Gの生成子:a, 

特定の交換関係:[a,]iabccを満たします。 

ここに,abcは実数で群Gの構造定数(structure constant) 

と呼ばれます。
 

G=SU(2)でT(1/2)σa(a=1,2,3)の場合は 

abc=εabc(εabcLevi-Civitaの記号)です。
 

実際,,,k=1,2,3でi,,kが全て異なるときは, 

[σ,σ]2iεijkσ であり,i=jのとき, 

[σ,σ]0 です。
 

一般に規格化:r()(1/2)δabの下では, 

上の構造定数はiabc2r([a,]c)と書けます。
 

そこで,トレースの巡回対称性により,abcはa., 

について反対称です。
 

例えば,iacb2r([a,c]b) 

2r(acb-Tcab)=-2r([a,b]c) 

=-iabc です。
 

先のN次元のΨ=(ψi)(ψ1,ψ2,..,ψ)を表現空間の 

ベクトルとするN×N特殊ユニタリ行列による線形変換は 

:G=SU()のN次元基本表現(basic repentation), 

または定義表現(definining repentation)と呼ばれます。
 

SU(2)の場合のPauli行列:σの(1/2)倍やSU(3)の場合 

Gell-Man行列:λの(1/2)倍はG=SU()の生成子:a 

,N=2,3の場合の表現行列と呼ばれ,その具体的行列要素 

から構造定数:abc,abc2r([a,]c)によって計算 

できますが,実は,構造定数:abc自体は群G自身の掛け算 

規則から決まるので,これはどの表現で計算しても同じです。
 

抽象的に,生成子も集合{a},基底として,X=iθaaの形を 

元とするdimG次元の線形空間を張ります。
 

この空間は,交換子:[,]の形の掛け算も定義されて環(ring) 

を成し,(Lie):Gに対応するLie,またはLie代数(Lie algebra) 

と呼ばれて,記号:で表現されます。
 

生成子:aの表現行列が与えられれば,その指数関数:exp(iθaa) 

によって対応するLie群の元の表現行列が与えられます。
 

基本表現以外の重要な表現としては,随伴表現 

(adjoint representation)と呼ばれるものがあります。
 

これはdimG次元のLie代数の表現で生成子:aの表現行列 

として(a)bcibac[ad(a)]bc とするものです。
 

(15-1):参考書「連続群論」(培風館)によれば,随伴表現: 

adとは,∀g∈G,∀X∈に対して,ad()()=gXg-1 

なる写像で定義されます。
 

すると,ad()(aX+bY)=aad()()+bad()(), 

ad(12)()(12)(12)-1ad(1)ad(2)() 

より.adは確かにGの線形表現です。
 

gが無限小変換;g=1iεYなら, 

ad()()=X+iε[.]ですから,Y=TaでX=Σbφbbなら 

ad()()=Σφb{biε[a.b]} 

=Σb(φbb-εfabccφb)
 

すなわち, φb → φb{1iεad(a)}bcφc=φb-εfacbφです。 

故に,ad(a)bciacbibacです。(15-1終わり※)
 

ところで,Jacobiの恒等式: 

[a,[b,c]][b,[c,a]][c,[a,]]0 

は任意の行列表現のTa,b,cに対しても成立するので, 

随伴表現からfbcdade+fcadbde+fabdcde0 なる恒等式 

が従います。

随伴表現の表現空間のベクトルはTaと同一の添字を持つ量: 

φa(a=1,2,…dim)で群Gの変換exp(iθaa)によって, 

φ'bexp{iθaad(a)}bcφcなる変換を受けます。
 

これはdimG個のφaφ[φ1,φ2,,,]と縦ベクトルに並べた 

表現ですが「行列記法」と呼ばれる別の表現もよく用いられます。
 

すなわち,φ=Σbφbbなる表現において,b(b)ij 

行列表示してφ(φ)ij=Σbφb(b)ijによりφを行列と考える 

表示方法です。
 

G=SU()の場合,通常基本表現:(b)ijを用いるので 

(φ)ij=Σbφb(b)はN×N行列となります。
 

これを用いると,φ'b{1iεad(a)}bcφc, 

φ'=Uφ,ij{exp(iθaa)}ijと等価です。
 

このことは一般の行列X,Yについて, 

expY・X・exp(-Y)=X+[,](1/2!)[.[,]] 

..(expΔ)Xが成り立つことと,[a,b]iabcc 

から従います。ただし,ΔO=[,]と定義しています。
 

(15-2):以下,上記の変換則の証明です。 

φ'b[exp{iθaad(a)}bcφc,(φ)ij=φb(b)なる表示 

においては,φ'ij=Σbφ'b(b)ij  

=Σbexp{iθaad(a)}bcφc(b)ij 

{exp(iθaa)}ij 

ad(a)bcbibacb[a,c] です。
 

[iθaad(a)]biθa [a,c] ですから, 

exp{iθaad(a)}bcφc(b)ij[expΔiθaa]φc(b)ij 

exp(iθaa)φc(c)ij exp(iθaa)
 

以上から,φ=Uφ,ij{exp(iθaa)}ij 

です。(証明終わり)

(15-2終わり※)
 

※局所ゲージ変換 

対象としている系の場をφi()とするとき,系の対称性変換群: 

Gによるφi()の変換を, 

φ'i()=Uijφj(){exp(iθaa)}ijφj(), 

または単に,φ'()=Uφ()exp(iθaa)φ()と書きます。
 

簡単のためGは単純群と仮定しておきます。
 

ユニタリ表現を想定しているので,Gがユニタリでなくても, 

ijはユニタリ行列であり,(a)ijHermite行列です。
 

さて,ここまではUが時空座標xに依存しない大局的変換を想定 

しました。
 

しかし,以下では.「各時空点で勝手に座標軸を設定した回転変換 

でも理論は不変であるべきである。」というゲージ原理を要請します。
 

つまり,U=exp(igθaa)の変換パラメータ;θaが時空座標xの 

任意関数:θa()であるような局所的変換:φ'i()=U()ijφj() 

[exp{igθa()a}]iiφj()を行っても理論は不変です。
 

しかし,この局所不変性を実現するためにはゲージ場の導入が必要です。
 

局所時空点での座標軸が異なるような変換では,一般相対性理論での 

曲がった時空におけるベクトルやテンソルのように,ある点xでの場: 

φi()を別の点まで「平行移動する」とはどういう意味なのか?を 

指定する必要が生じます。
 

:x=(μ)におけるベクトル:φi()を無限小距離離れたx+dx 

に平行移動した点:x+dx=(μ+dxμ)における 

ベクトル成分;φ//i(x+dx), 

φ//i(x+dx)=φi()i(μ)ijφdxμ で定義します。
 

この行列:μ(μ)ij,点xからdxμだけ移動したときの内部 

座標軸の無限小回転を指定する量で.数学では接続(connection), 

物理ではゲージ場と呼ばれます。
 

これは,座標軸の無限小回転の係数行列を意味しますから場: 

自身は群GのLie代数:の元で生成子Taの線形結合として, 

[μ()]ij=Σa=1dimaμ()(a)ij で与えられます。
 

すなわち, ゲージ場;μ()は群Gの次元dimGと同じ個数の 

成分:aμ()を持ちます。
 

φ//(x+dx)が「点x+dxにおけるベクトルである。」というのは, 

点x+dxにおけるベクトル変換行列:(x+dx)で変換される量 

である,という意味です。
 

したがって,元々x+dxにあったベクトル場:φ(x+dx) 

φ//(x+dx)の差はU(x+dx)で変換される共変な量です。 

φ(x+dx) φ//(x+dx)

{μφ()igAμ()φ()}dxμ 

=Dμφ()dxμ と書きます。
 

つまり,φ//(x+dx)φ(x+dx)-Dμφ()dxμ 

この両辺で局所ゲージ変換:φ’()=U()φ()を行ってdxの 

1次の項を比較すれば, (μφ)’()=U()μφ()です。
 

(※むしろDμφが上記ベクトルとしての変換を満たすように共変微分: 

μφが定義されたのです。)
 

任意のφに対して,(μφ)’()=U()μφ()が成立するため, 

共変微分演算子:μ=∂μigAμについては 

μ() → Dμ()=U()μ()-1()なる変換が従います。 

これに従ってゲージ場:μ(),μ()  

→ Aμ'()=-(i/)()μ()-1()

+U()μ()-1() と変換される必要があります。
 

こうした変換の総体を局所ゲージ変換と呼びます。
 

次に数学では曲率テンソル,物理学では場の強さ(field strength) 

呼ばれる量を定義します。
 

点xにおけるベクトルφ()を点x+dx+dyに平行移動で 

持っていくため,5.1に示す2つの経路に沿って行い,その差 

を計算します。
 

まず,x→x+dxでは 

φ//(x+dx)φ(x+dx)-Dμφ()dxμ, 

次に, φ//(x+dx),さらに x+dx→x+dx+dy 

と移動させると, 

φ////(x+dx+dy) 

φ//(x+dx+dy)-Dνφ//(x+dx)dyν 

φ(x+dx+dy)-Dμφ(x+dy)dxμ 

-Dνφ(x+dx)dyν+Dνμφ(x+dx)dxμdyν
 

もう1つの経路では,まず, 

φ//(x+dy)φ(x+dy)-Dνφ()dyνです。 

そして,φ////(x+dx+dy) 

φ//(x+dx+dy)-Dμφ//(x+dy)dxμ 

φ(x+dx+dy)-Dμφ(x+dy)dxμ

νφ(x+dx)dyν 

+Dμνφ() dxμdyνです。
 

以上から,経路差はΔφ(x+dx+dy) 

=φ////(x+dx+dy)φ////(x+dx+dy) 

[μ,ν] φ()dxμdyν です。
 

φ////(x+dx+dy)φ////(x+dx+dy)も共に 

点x+dx+dyで共変な量なので, 

Δφ(x+dx+dy)[μ,ν]φ()dxμdyν 

もそうです。
 

φ(x+dx+dyと同じく,(Δφ)'(x+dx+dy)

 

=U(x+dx+dy)Δφ(x+dx+dy)と変換します。
 

Δφは,既にdx,dyについて2次の量ですから, 

(Δφ)'()=U()Δφ()です。
 

交換子:μν()=-(i/)[μ,ν] 

=∂μν-∂νμi[μ,ν].もはや微分演算子では 

ありません。
 

この:μν()が曲率テンソルまたは,場の強さと呼ばれる量です。 

(Δφ)'()dxμdyνigFμν'()φ'()dxμdyν 

Δφ()dxμdyνigFμν()φ()dxμdyνであって 

φ()は任意なので 

μν'()=U()μν()-1()です。
 

さらに,[μ,[ν,ρ]]を添字μ,ν,ρについて巡回的に3 

加えた和はゼロになるというJacobi恒等式は. 

εμνρσ[ν,[ρ,σ]]0 です。

これから, εμνρσνρσ0なる恒等式が従います。 

これをBianchi(ビアンキ)の恒等式と呼びます。
 

これは電磁場のFμν()=∂μν-∂νμ+に対する 

εμνρσνρσ0の一般化になっています。
 

しかし,実際にはμνρσνρσ0は成立せず,εμνρσνρσ0 

が成立します。
 

(15-3):何故なら [νρσ]ψ=Dν(ρσψ)-Fρσ(νψ)

(νρσ)ψではないです。Dν=∂νigAνより,  

ν(ρσψ)-Fρσ(νψ)=∂ν(ρσψ)も成立しません。 

一般にABψ=A(Bψ)であり(AB)ψではなくA(BCψ) 

(AB)(Cψ)なる結合則も成立しません。(15-3終わり※)
 

場の強さFμν=もゲージ場;μ同様,Lie代数Gの元で 

(μν)ij=Σadimμν(a)ijと展開されます。
 

μνは群Gが局所変換の場合の随伴表現として共変に挙動する 

ことがわかります。
 

他方ゲージ場Aμの変換則: 

μ'()=-(i/)()μ()-1()+U()μ()-1() 

は右辺第2項は随伴表現として共変的ですが,1項の非斉次項の存在 

のためゲージ場自身はG共変ではないです。
 

()exp(igθaa)∈Gの変換パラメータ:θa()が無限小の場合, 

つまり,()1igθa()aの場合, 

δφi()(φφ)i=+igθa()(a)ijφj()です。
 

そして,δAμ()=-(i/)()μ()-1() 

+U()μ()-1()-Aμ() 

=∂μθa()a igθc()μ()[c,]より,
 

δAaμ()=∂μθa()igfabcμ()θc() 

=Dμθa()です。
 

この右辺最後のDμ,パラメータθa()を随伴表現と 

見なしたときの共変微分:(μ)ac=∂μδacigAμ[ad(b)] ac 

です。
 

局所ゲージ変換の下で不変なLagrabgian密度を書き下すことが

できます。 

物質場については微分:μを共変微分:μに置き換えるだけです。
 

スカラー場φなら,matter(μφ)(μφ)-V(φφ, 

Dirac:Ψならmatter=Ψ~(iγμμ-m)Ψ です。 

これらは共変微分:μの変換則によって不変です。 

(※自動的に緋勇物質場とゲージ場の極小相互作用が含まれます)
 

ゲージ場のみの自由Lagrangianについては, 

μν()がFμν()=U()μν()-1()と変換する 

ため,ゲージ場=-(1/4)-1r(μνμν) 

= -(1/4)aμνaμν とすればこれは明らかに不変です。
 

Nは行列:aの規格化:r(ab)=Nδab の規格化因子で, 

もしも,以前の規格化表現を使うならN=1/2 です。
 

2行目では群の添字aについて和をとっているものとし, 

場の強さの成分は,両辺にN-1r(a..)を演算して 

μν()=∂μaν()-∂νaμ()-gfabcbμ()cμ() 

で与えられることがわかります。
 

このLagrangian密度はゲージ場の運動項とAμ34 

の自己相互作用項を与えます。 

パラメータgは結合定数と呼ばれます。
 

GがU(1)以外の場合のゲージ理論を非可換ゲージ理論, 

またはG=SU(2)の場合に初めて定式化した人たちの名を 

とってYang-Mills理論と称します。
 

ゲージ場の質量項:(1/2)2aμaμ(1/2)2-1r(aμaμ) 

はm≠0の場合ゲージ不変性を破るので対称性が破れる前には 

付加されない項です。つまりゲージ場の質量mは全てゼロです。
 

またゲージ群Gが単純群でない場合,一般にGがcompact群なら 

G=G1×G2×..×Gnの形に単純群かU(1)群のGj(j=12,..n) 

直積に分解できることが知られています。
 

μにあら現われる結合定数gは各単因子群Gjごとに異なるgj 

を付与します。各単因子群Gjごとに独立に変換するので,別々の 

jを与えても,全体のゲージ不変性には底触しません。
 

今日はここまでにします。 

今年は科学記事これが最後かも,寒くて体調怪しいです。
 

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ(培風館)

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