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2018年1月

2018年1月16日 (火)

ゲージ場の量子論(17)

「ゲージ場の量子論(16)」からの続きです。
 

Σν=1(2N-2)(μ,ν)[ν,ρ]D=δμρ(1≦μ,ρ≦(2N-2)) 

Dirac括弧を計算する具体的方法としても大変有用な式です。
 

実際,1,2,..,2N-2m, (2N-2)個のΓの座標で, 

2N-2m1=φ1, 2N-2m2=φ2,..,, 2N=φ2m,2m個の拘束変数 

のように変数を選び,2-形式:dqi∧dpiをdzμ∧dzν 

書き直すのは容易です。そして,そのときの係数がLagrange括弧 

なので,その(2N-2)×(2N-2)行列の逆行列を求めればいい 

だけです。
 

これらの事実から第2類拘束条件に対する別の取り扱い法があること 

がわかります。すなわち,単2m個の拘束条件:φα0を解き,  

余分な変数を消去して,全ての量を適切なΓの独立な正準変数: 

,で表わす方法です。そうすれば話は,普通のPoisson括弧で  

済み,(それと一致する)Dirac括弧など考える必要はなくなります。

もちろん,それでもいいのですが,実際にはφα0を陽に解くのが 

むずかしいとか,解けるけど解くと系の対称性が陽には見えなくなる 

とか,種々の不都合が現われることが多いです。
 

特に場の理論の場合, 拘束条件を解くと重要なLorentz不変性が明白で 

なくなったり,非局所的な相互作用が誘致されたりします。
 

それらの不都合を避けるため,全ての余分な変数を残しておき,なお, 

物理的にはΓの中のみを考えるのと等価な正準形式を与えるのが, 

Dirac括弧の方法であり,その利点です。
 

Dirac括弧はΓにおけるPoisson括弧ですから,Poisson括弧 

の全ての性質が成り立ちます。
 

例えば,[,]D()||||[,]P , 

[,]D,] D()||(||||)[[,]D,] D 

()||(||||)[[,]D,] D 0 です。
 

これは強い等式として成立します。
 

(17-1): 証明です。 

(∂F/∂qi)dqi=dqi{(/∂qi)}ですが, 

(∂F/∂qi){(/∂qi)}の偶奇性は,||||です。 

dqiの偶奇性は,もちろん,||です。
 

Grassman:,Bでは,BA=()|A||B|ABなので, 

{(/∂qi)}dqi()|F||F||i|dqi{(/∂qi)} 

です。そして,定義により, 

[,]P.B(∂F/∂qi){(/∂pi)} 

()|i|(∂F/∂pi){(/∂qi)} 

[,]P.B()|i|(∂G/∂pi){(/∂qi)} 

 (∂G/∂qi){(/∂pi)}です。
 

ところが,()|i|(∂G/∂pi){(/∂qi)} 

()||()||(||1)()|i|(|f|1)()(|||||) (|||||) 

(∂F/∂qi){(/∂pi)} 

()|i|(2G|2||4)()||||(∂F/∂qi){(/∂pi)} 

()||||(∂F/∂qi){(/∂pi)} です。
 

また,(∂G/∂qi){(/∂pi)} 

()||()||||(∂F/∂pi){(/∂qi)}
 

以上から[,]P.B=-()||||[,]P.B です。
 

次に,[,φα]P.B.(-1)αβ[φβ,]P.B.を考えます。
 

まず,αβ[φα,φβ]P.B=-()|α||β|[φβ,φα]P.B 

()|α||β|1βαです。
 

δαγ=Cαβ(-1)βγ(-1)βγ(-1)βγより, 

1()|α||β|1βα(-1)βγ (γ=α)
 

故に,(-1)βα()|α||β|()|α||β|1(-1)αβ 

一方,[,φα]P.B()|||α|11φβ,]P.B ,かつ, 

[φβ,]P.B. ()|||β|11,φβ]P.B です。
 

結局, [,φα]P.B.(-1)αβ[φβ,]P.B. 

=-()||||[,φα]P.B.(-1)αβ[φβ,]P.B. 

が得られます。
 

以上から,[,]D=-()|||| [,]D 

がいえました。
 

次に,Jacobi恒等式がDirac括弧でも成立することを示す 

のも直線的ですが,長くなるので証明は省略します。 

(17-1終わり※)
 

さて,拘束のある系のHamiltonian, 

~=H+φaλa,=H-φα(-1)αβ1φβ,]P.B  

与えられていましたが,前回の終わりから,拘束は全て第2 

と仮定しているので系のHamiltonian, 

単にH'=H-φα(-1)αβ1φβ,]P.B です。
 

力学量Fの運動方程式は, 

d[,]P.B.[,φα]P.B.(-1)αβ[φβ,]P.B.  

[,]D [,H']Dとなるため,φαに比例する項は忘れて 

もよいことになります。
 

※第2類拘束系の量子化 

量子化するにはDirac括弧のi倍を交換関係に置き換えれば 

いいだけです。
 

すなわち,i[,]D[,]=FG-()||||GFとします。
 

運動方程式:d[,]Dは,i(∂F/∂t)[,] 

と読みかえられることになります。
 

古典論においてF,GのDirac括弧を計算し,それを演算子: 

,Gの間の正準()交換関係に読みかえます。
 

拘束条件:φα0 も演算子:i,iの間の拘束となりますが, 

上述のDirac括弧の性質から,上のように設定した正準() 

交換関係と矛盾しません。
 

演算子形式(operator formalism)の量子論は,この手続きに 

よって完全に決定されます。しかしながら,ここまで論じてきた 

遷移振幅の経路積分の表式がどのように変更を受けるかを見て 

おくのも応用上有益です。
 

念のため,2類拘束の定義を復習します。
 

Dirac,力学量(=qi,jの関数):(,)が全ての拘束: 

φとの間で,[, φ]P.B. 0 (A=1,2,..,)を満たす 

とき,Rを第1,さもないとき,これを第2類と呼びました。
 

相似変換:[φ,φ]P.B  [φα,φβ]P.B=Cαβ 

(α,β=1,2,..,)から,全拘束:φのうち.φα(α=1,2,..) 

は第2, φa(a=r+1,..,)は第1類です。
 

さて,Dirac括弧を経由した量子化は,独立なΓの正準変数: 

l,lを用いた普通の正準量子化と等価ですから, 

ある初期状態:ΨIから終状態:ΨFへの遷移振幅は, 

T=<Ψ,F|ΨI,I 

=∫ΨΨI expi∫dt[d-H(,)] 

で与えられます。ただし,Hamiltonian:Hをq, 

表わしたものです。
 

しかし,この表式では,拘束条件:φα 0を陽に解いて,全てを 

,で表わす必要があり,先述したような不便さがあります。 

そこで,これをp,qで表わしたもの:次式が等価であることを  

主張します。つまり,T=∫qΨΨI  

Πt[Πα=12mδ(φα)det1/2([φβ,φβ]P.B.) 

expi∫dt[pqd-H(,)] です。
 

ここでの経路積分:qは,元の全ての変数にわたる 

Πi=11Niiを意味します。

(17-2):以下,2つの経路積分が等価であることを証明します。
 

まず,2m個の拘束:φα(α=1,..,2)は全て第2類拘束なので, 

行列:αβ[φα,φβ]P.Bの階数は2mです。そしてC={αβ} 

は交代行列(反対称行列)なので,正則な2m×2m行列: 

(detL≠0)が存在して,LCLTによりm次の単位行列:m 

反対角成分のEm,-Emとするブロック反対角行列に変換できます。
 

つまり,拘束:φαを線型変換で組みかえて 

Σα=12aαφα=ψa, Σβ=12bβφβ=ξb (,b=1,..,) 

[φ1,..,φ2]2m行2m列の行列:{aα} 

よって,[ψ1,..,ψ,ξ1,..,ξ]に変換したとき, 

[ψa,χ]P.B=δab,[ψa,ψ]P.B[ξa,ξ]P.B0 

(,b=1,..,)とできるはずです。
 

すると,δ関数の性質から 

Πα=12mδ(φα)|det()|Π=1{δ(ψa)δ(ξa)} 

です。
 

そして,det(LCLT)1から|det()|2 det() 1, 

|det()| det()-1/2det-1/2{[φα,φβ]P.B} 

Πα=12mδ(φα) det-1/2{[φα,φβ]P.B}=Π=1{δ(ψa)δ(ξa)} 

です。
 

また,この関数組みかえで部分空間:Γは2m個の条件;ψ=ξa0  

で指定されることになります。この(2N-2)次元のΓ内の座標  

付けを与えるのが,正準座標:l,lですが全体の2N次元

位相空間:Γの中のΓ超平面近傍での正準座標として(N-m)

対の,に加えて,m個の座標変数:q'=ψ(,)

(a=1,..,),それに共役な運動量変数:p'を選ぶことにします。
 

Γはψ=ξa0を満たす断面なので,Γの上では∂ψa/∂ql  

=∂ψa/∂pl0です。さらにΓの上で条件:[ψ,ψ]P.B0 

満たしているというψの性質により少なくとも今必要なΓ 

無限小近傍ではψをq,に独立な座標変数q'として取ること 

ができます。
 

つまり,元の変数:(,)から新変数:(,q',,p')への 

変換は謂わゆる正準変換となります。
 

経路積分測度:qや∫dt(pqd)は正準変換不変ですから 

qΨΨI Πt[Πα=12mδ(φα)det1/2{[φβ,φβ]P.B.} 

exp i∫dt[pqd-H(,)] 

=∫p'q'ΨΨI  

Πt[Π=1δ(q')δ(ξa)} 

exp i∫dt[d+p'q'd-H(,p',,q')] 

となります。
 

Γ内の超平面:Γ,q'0,および, 

ξ(,q'=0,,p')0 (a=1,…) 

を満たす解:p'=p'(,)で指定されます。
 

よって,T=<Ψ,F|ΨI,I 

=∫ΨΨI expi∫dt[d-H(,)] 

におけるHamiltonian:, 

(,)=H[,p'(,),,q'=0] 

で与えられます。
 

ところで,拘束:ξ,Γの近傍では,ξ(,q',,p') 

(∂ξ/∂q')|Γ*q'(∂ξ/∂p')|Γ* 

×{p'-p'(,)}と展開できるので 

Π=1δ(q()δ(ξa) 

=Π=1δ(q')δ{p'-p'(,)} 

|det-1{(∂ξ/∂p')|Γ*| と書けます。
 

ところが,ψ =q'なので,[ψ,ξb]P.B(∂ξ/∂p') 

ですが.[ψ,ξb]P.B=δabですから,Π=1δ(q')δ(ξa) 

=Π=1δ(q’)δ{p(-p((,)}を得ます。
 

それ故,p'q'ΨΨI  

Πt[Π=1δ()δ(ξa)} 

exp i∫dt[d+pd-H(,p',,q')] 

において,先に∫p'q'を遂行すれば 

ΨΨ 

exp i∫dt[d-H[,p'(,),,q'=0] 

となります。
 

これは,確かに,T=<Ψ,F|ΨI,I 

=∫ΨΨI expi∫dt[d-H(,)] 

に一致し,等価です。 (17-2終わり※)
 

※第1類拘束条件の取扱い 

ここまで拘束が全て第2類の場合の取り扱いを考察しました。
 

1類拘束:φ(a-1,..,M-2)と第2類拘束:φα(α=1,..,2) 

が共存する場合を考えます。
 

再び述べますが,力学量:(,)が全ての拘束:φとの間で, 

[, φ]P.B. 0 (A=1,2,..,)を満たすとき,Rを第1, 

さもないとき,これを第2類と呼びます。
 

それ故,1類拘束:φ(a-1,..,M-2)Poisson括弧 

は第1類拘束だけの線形結合となります。 

[φ,φb]P.B=fabcφです。
 

これは第1類の力学量R,SのPoisson括弧:[,]P.Bがまた 

1類となるからです。
 

つまり, 1類の条件:[, φ]P.B. 0 (A=1,2,..,) 

強い等式として[, φ]P.B.=rφ(A=1,2,..,)なること 

を意味します。同様に[, φ]P.B.=sφ(A=1,2,..,) 

ですから,,,φに対するJacobi恒等式より,結局, 

[[,]P.B.,φ]P.B.0(A=1,2,..,) がいえるからです。
 

そこで,[φ,φb]P.Bは強い等式として第2類を排除した第1類拘束 

だけの線形結合で表わせるわけです。
 

1類拘束:φがあると,系のHamiltonian:H は,その個数だけ, 

全く不定の未定係数:λを持つH~で与えられることになります。 

~=H'+φλです。
 

このHamiltonianでは,[φ,~]P.B.,=Cφが成り立ち, 

全ての拘束条件:φ0,φα 0も矛盾なく時間発展 

します。
 

しかしながら,正準変数:,pは.必ずしも.φとのPoisson括弧 

がゼロとなるわけではないので,その時間発展は, 

id [i,’]P.B.,[i,φ]P.B.λ,および, 

id [i,’]P.B.,[i,φ]P.B.λa のようになり, 

不定係数:λに依存します。
 

すなわち,系の運動は第1類拘束条件の数だけ決まりません。
 

この決定されない運動の方向は, 

δqi[i,φ]P.B.,δpi[i,φ]P.B.ですが,これらは 

φを母関数(generator=生成子)とする正準変換を意味します。
 

つまり,φ,q → q+δq,p → p+δp, 

δqi=∂φa/∂pi,δpi=∂φ/∂qiなる変換を生成 

する関数であり,この変換は正準変換(古典的接触変換)です。
 

このことは,系に第1次拘束で生成される変換:δqi[i,φ]P.B. 

δpi[i,φ]P.B.の下での不変性が存在して,系の全ての物理量: 

Fはこの変換の下で不変であるべきこと,つまり, 

δF=[,φ]P.B. 0 なることを意味します。 

(※これは,ゲージ不変性を意味することがわかります。)
 

さらに,[φ,φb]P.B=fabcφ,このφの生成する変換が 

閉じていて構造定数:abcを持つLie代数を構成することを 

示しています。
 

これらは局所ゲージ不変性を持つ系に特徴的なことであり, 

先述したように第1類拘束:φは変換の母関数(生成子) 

なっています。
 

こうして,1類拘束条件は,古典論的にゲージ不変性に対応する 

ものであることが示されました。これを量子化するとゲージ場の 

量子論になるはずです。
 

この第1類拘束条件に対する1つの取扱い方法は,ゲージ固定条件 

をおくものです。
 

元来,ゲージ変換で動く方向へは運動は決まらず,しかも全ての物理量 

,それらの方向にどのように運動しても不変なので,その方向への 

運動を,予め勝手に決めておいても,かまわないはずです。
 

したがって,1類拘束の数だけ勝手な条件:χ(,)0 

(a-1,..,M-2)を設けます。
 

これらはゲージ固定条件(gauge fixing condition)と呼ばれること 

もありますが,全く任意ではなく,ゲージ変換方向の運動がこれで完全 

に決定されるためには,Hamiltonianに現われる不定係数λが決まる 

ようなものでなければなりません。
 

この要請は.ゲージ固定条件;χ(,)0 (a-1,..,M-2) 

が任意の時刻で成立するという条件:  

χd [χ,’]P.B.,[χ,φ]P.B.λ0 から,λが決まる 

こと:det[χ,φ]P.B.0ではないことを要求することになります。 

[χ,χ]P.B.の方には条件なしです。
 

また,[φ,φ]P.B. 0なので,2(M-2)個の条件;{φ,χ} 

による全Poisson括弧の行列の行列式も弱い意味で非ゼロと 

なり,これらは全体として条件;{φ,χ}が第2類の拘束条件と 

なることを意味するため,結局,前述した拘束が全て第2類拘束の 

場合の取り扱いに帰着します。
 

1類拘束条件に対しては,もう1つ別の取扱い方法があります。
 

1類拘束条件は,そもそも,系が(局所)ゲージ不変性を持つところ 

から生じています。

それ故,議論の出発点のLagrangianの段階から勝手なゲージ固定

をしていいので,系のLagrangianにゲージ固定項と呼ばれるもの

を適当に付加し,変更したLagrangianから出発すれば第1類拘束

条件が現われないことを利用するものです。
 

量子電磁力学(QED)におけるFermi項と呼ばれる(1/2)(μμ)2, 

ゲージ固定項の有名な例ですが,(1)群以外の非可換ゲージ理論 

では,これほど素朴なゲージ固定項ではうまくいきません。
 

この「Lagrangian段階でのゲージ固定」による取扱い法は,場の理論 

の場合,相対論的不変性を明白にしたままで扱えるという大きな利点  

を持つので.以下では,この方法を採用します。
 

また,量子論においては, 1類拘束条件に対する更に別の取扱い  

もあります。それはゲージ固定条件を設けず,代わりに,物理的状態 

|Phys>に対しφa|Phys>=0 (a=1,.M-2)を要求するものです。
 

このように,状態に付ける条件は一般に補助条件

(subsidary consition)と呼ばれます。

今の場合,φaはゲージ変換を生成する演算子なのでφa|Phys>=0, 

"物理的状態はゲージ変換で不変であるべし"との要求になっています。
 

ゲージ固定条件を設けないので,~=H(+φλのλは不定 

ですが勝手な値;例えばλa0としておきます。 

そうすれば,とにかく全ての演算子の時間発展は決まり, 

しかも,物理的状態は,φa|Phys>=0を満たすため, 

Phys|[,φa]|Phys>となって,任意の力学量:Fの時間発展 

にλを勝手に取った任意性が,物理的状態空間においては 

現われません。
 

φa|Phys>=0の補助条件が矛盾を含まないのは.φが第1類拘束 

,量子化前の[φ,φb]P.B=fabcφが示す通り,()交換関係 

が閉じていて,拘束:φの線形結合で与えられるからです。
 

さて,§5-2はこれで終わり.切りがいいので今日はここまでにします。
 

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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2018年1月 8日 (月)

訃報!!深水三章さん。

有名人の訃報続きで,記事が後先になりましたが,俳優の深水三章さんが2017年12月30日に自宅玄関前で急死されたようです。

 

死因は虚血性心不全,野村サッチーの死因と同じです。

しかし,深水さんは享年,まだ70歳でした。

 

日刊スポーツ→ 深水三章さん 自宅前で急死 忘年会の帰り..70歳「深水 三 章」の画像検索結果

やはり今年はいつもより寒い冬であるらしく心臓病で亡くなる人が多いですね。日平均気温で6度を下回ると,急性心筋梗塞も急激に増えるらしいです。

心臓に持病がなくても特に高齢者はヒートショックに気をつけないと。。

かくいう私も慢性の「虚血性心不全」が持病で,特に冬場に飲酒などをして自宅近くでタクシーを降りてから自宅に入るまでのほんの数分間に死にそうに辛いこともよくあり,途中でつい嘔吐したりしています。まあ順番ですかね。。

ご冥福をお祈りします。合掌!!

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2018年1月 6日 (土)

訃報!!星野仙一さん。

同郷の英雄,星野仙一氏が去る4日に亡くなられたらしいです。

死因は膵臓ガンで享年70歳でした。

Yahooニュース → 星野仙一氏死去70歳 死因は膵臓がん

「星野仙一」の画像検索結果

私が岡山県の金光学園高校に入学した昭和40年は4月に選抜高校野球で父親の母校岡山東商が平松投手を擁して唯一岡山県に全国優勝をもたらした年で,それが父親の享年46歳の命日でした。,

星野仙一氏は確かその前年に倉敷商のエースで甲子園には出られなかったと記憶しています。

世間は,それから明治大学を出てプロで活躍後に彼の存在を知ったのでしょうが,私は故強の高校野球応援の関係でもっと前から,この私より3年先輩の彼の存在を知っていました。

年もそんなに離れていないしTVでは私より元気そうでしたので今朝の訃報にはとても驚きました。

 言っちゃ悪いけどプロ野球界には,野村,金田,張本,長嶋,王など,ずっと年上でしぶとく生きている人がまだたくさんいますし。。

岡山県,倉敷市などは中央の有名人は,少ないのですが,有名になると普通以上にユニ-クな人が多いですね。プロ野球のピッチャーなら同年代の平松,松岡,星野など巨人キラーがそろってましたし 野手なら,もう亡くなったけど関西高校出身の大杉。。。岡山南高校出身のバントの川相昌弘とか

プロボクサーの強いけれどクセのあった辰吉丈一郎とか.スケートの高橋大輔とか,。体操の森末信二とか。。さらに女子マラソンの有森裕子,将棋の世界なら大山15世名人など。。みんなハンパじゃないです。

最近は岩井志麻子とか,ブルゾンちえみ。とか,ちょっと県人として恥ずかしい感じの有名人もチラホラいます。

ずいぶん昔の歴史上なら宮本武蔵や竹久夢二とかも岡山ですネ。。

ご冥福をお祈りします。合掌!!

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ゲージ場の量子論(16)」

「ゲージ場の量子論(15)」からの続きです。
 

まず,ゲージ場理論の応用例として量子色力学(QCD) 

を紹介します。
 

 量子色力学(QCD)
 

量子化した非可換ゲージ理論の現実的な例としては 

量子色力学(quantum chromodynamics 略してQCD)と呼ばれる 

ものがあります。
 

ゲージ群GがSU(3)の場合で,ゲージ場:aμ8成分 

(カラー8重項)あってグルオン(gluon)と呼ばれます。
 

物質場は,全てのハドロン(hadron)の基本構成子(クォーク; 

quark)と呼ばれるDirac粒子:ψif()です。
 

添字:i1,2,3はG=SU(3)の基本表現(カラー3重項)です。 

もう1つの添字:f=12,..,Fは,ゲージ群SU(3)とは独立な 

添字でフレーバー(flavor)と呼ばれクォーク種類を表わします。 

(※現在のところ,クォークは6種類存在するとされており 

(F=6),質量の低い順にu(up),(down)(strange), 

(charm),(bottom),(top)と名付けられています。)
 

したがって,QCDLagrangian密度は, 

QCD=-(1/4)aμνaμν 

+Σf=1Fψ~if[iγμ{μigAaμ(λa/2)}-mfδij]ψjf 

です。ただし,カラー8重項の添字a,カラー3重項の添字 

,jについては和記号を省略しました。
 

グルオンの交換によるクォーク間の相互作用はカラー添字i 

のみに関わるものなので,クォークの種類(フレーバー): 

には全く無関係です。

 

それ故,SU(3)カラーゲージ相互作用によるクォーク何体 

かの結合状態が生ずればF種類のクォークの質量:(f=1…,) 

の全てが縮退した極限では,クォ-クはフレーバー群:()の基本 

表現:に対応し,その結合状態は必ずU()の既約表現多重項と 

して縮退して出現することになります。
 

実際,観測されている数多くのハドロン共鳴状態は,バリオンの場合, 

クォーク3:ψfψf’ψf”として直積:××の既約分解から 

期待されるU()の多重項として分類され,また,メソンの場合は 

クォーク・反クォーゥ:ψfψ~f’の結合状態として直積:× 

の既約分解から現われる多重項として,大変うまく分類されること 

がわかっています。
 

しかも先述のQCDLahrangian密度ではU()の対称性の 

現われが質量項:-mfψ~ifψifのみなので,そのことからハドロン 

の多重項の中で質量の分岐の仕方が予言できて,それも実験値と 

よく合致しています。
 

このとき,バリオンがクォーク3体の結合状態であることとQCD 

のカラーゲージ群がSJ(3)であることが対応している点に留意 

しておきます。
 

事実,クォークの単離した1体状態ψや2体状態:ψψ,4体状態: 

ψψψψに対応する共鳴状態は観測されず,クォーク3体の 

ψψψのバリオンと,クォーク・反クォーク対:ψψ~のメソン 

のみが観測されています。この観測事実はこのゲージ群を採用 

すれば,結局,カラーSU(3)群の1重項( color-singulet)のみ 

が粒子状態として存在し得る,という一言に要約できます。
 

実際,カラー基本3重項のクォーク場:ψifからは,それらを 

最低で3個使うか,その反クォーク場との対を作るかによって 

初めてSU(3)カラー1重項をを構成できます。
 

バリオンなら,ff’f” ~ εijkψifψfψkf メソンなら, 

ff’ ~ ψifψ~jf’がカラー1重項に組み得るクォーク数 

最小の配位です。
 

3階完全反対称テンソル:εijkが不変テンソルであるのは, 

カラー群がSU(3)であるからです。
 

カラー1重項以外,つまり,カラーチャージを持った粒子が 

現われない現象をカラー閉じ込め(color-confinement) 

いいます。QCDにおいて閉じ込めが起こっていることを満足 

な形で証明した人はいませんが.にも拘わらず,専門研究者 

の誰もが現実に閉じ込めが起こっていることを信じて 

疑いません。
 

その理由は「格子ゲージ理論(lattice gauge theory)」に 

基づくモンテカルロ数値計算がそれを支持していること 

以外に, 

QCDの摂動計算で発見された「漸近的自由性(asymptotic frredom) 

の存在が大きいです。 

「漸近的自由性」とは,短距離に近づけば近づくほど相互作用の強さ 

が弱くなる,という性質で,これは真空がカラー電場に対する媒質 

としては反誘電体である,ことを意味しています。
 

すなわち,同種電荷(同じカラーチャージ)が引き合い,外部からの 

カラー電場:Eに対して真空の分極:は逆向きになり,カラー電束 

,=εなる式で,誘電率εがε<1となります。
 

そして,もし真空がカラーに対して完全反誘電体:ε=0なら, 

完全反磁性体;μ~0で特徴付けられる超伝導体の中で磁束: 

が広がることができずに「ひも状」となる(マイスナー効果) 

と同様,カラー電荷を持たない粒子から出る電束は「ひも状」 

になるはずです。
 

例えば,クォーク1体の場合は,このひもはの保存則から, 

どこまでも伸びざるを得ず,無限大のエネルギ-を持ち,有限 

エネルギーでは出現できない,ということになります。
 

一方,全体としてカラー電荷のないカラー1重項のメソンや 

バリオンなら,そてらは有限な長さの「ひも」でつながれた 

クォ-クの結合状態という描像で出現することになります。
 

メソンやバリオンの実際の散乱振幅で観測されている双対性 

(duality)という顕著な性質は,それが「ひも共状構造」を持つこと 

を強く示唆しています。(Venezianoの双対共鳴模型から弦理論 

へと展開されます。)
 

さて,最先端の仮説理論であるQCDや弦(ひも)理論から離れて 

次の論題に移ります。
 

§5.2 特異系の正準形式の量子化

ゲージ理論を量子化する際に遭遇する問題を幾分一般的に論じて 

みます。(※古典的には,ゲージ自由度の存在がPoisson 括弧式の 

代わりにDirac括弧式を必要とするような特異系であることに由来 

すること,などを論じます。※)
 

簡単のため,有限個の座標変数:|i}(i=1,..,)を持ち, 

作用積分:S=∫dtL(,d)(i=dqi/dt)で記述される 

系を考えます。
 

この系の運動は最小作用の原理から,とにかくEuler-Lagrange 

方程式:(/dt)(∂L/∂qi)-∂L/∂qi0で決定されます。
 

この際,Fermionに対応する古典系を考慮して,iGrassmann 

である場合も,以下の式が変更なく成り立つように右微分,左微分 

を区別して書くことにします。
 

また,符号因子:()|i|()||||||,座標qiや量: 

AがGrassmann偶のときゼロを表わすという前と同じ約束を 

します。
 

したがって,上述のEuler-Lagrange方程式は, i,iについて 

右微分とします。
 

※第1,2類の拘束条件

量子論に移行するためには,この系の運動を正準形式で扱わねば 

ならず,その際に種々の問題が生じます。
 

まず,第1に,iに共役な運動量変数:i 

i=∂L(,d)/∂qidで定義され,これを解いてqidをqi,i 

の関数として表わし,Hamiltonian;Hをqi,i,noの関数として 

(,)=piid-L(,d) により求める必要があります。
 

ところが,一般にはdet[2(,d)/∂qid∂qjd]0となって, 

i=∂L(,d)/∂qidがqidについて完全には解けない場合が 

あります。このような系を特異系(singular system)と呼びます。
 

i=∂L(,d)/∂qidがqidについて解けないということは. 

このN個の連立方程式系が完全に独立なpとqdの関係式ではなく, 

いくつかのqdが脱落した関係式:φ(,)0(A=1,2,..1≦N) 

を含むことを意味します。これらの関係式は,正準変数:,pの間の 

拘束を与え,これを「1次の拘束条件(primary constraints) 

と呼びます。
 

この拘束条件はM1=N-rank[2(,d)/∂qid∂qjd] 

の個数だけ存在するはずです。
 

全てのqid,必ずしも,とpでは表わせないにも関わらず, 

(,)=piid-L(,d) の右辺はqidには依存しない 

ことがいえます。実際,Hをδq,δpにより変分させると, 

δH=δpiid+piδqid{∂L(,d)/∂qid}δqid 

{∂L(,d)/∂qi}δqi=δpiid{∂L(,d)/∂qi}δqi 

となり,δqidに比例する項は消えます。
 

したがって,δHがδH=δpi{(/∂pi)}(∂H/∂qi)δqi 

なる形で与えられるという式を得ます。
 

しかしこの式の変分:δpi,δqjは独立任意ではなく,拘束条件: 

φ(,)0(A=1,2,..1)を満たしながらの変分なので 

δpi(|/∂pi)φ}(∂φ/∂qj)δqj0 の制限を受けます。
 

ここで,Lagrangeの未定係数法を適用します。 

λを右からかかるLagrangeの未定係数として, 

変分;δpi.δqjが任意の場合の式: 

δH={δpi{(/∂pi)}(∂H/∂qi)δqi] 

[δpi{(/∂pi)φ}(∂φ/∂qj)δqi]λ 

をつくり,これを  

δH=δpiid{∂L(,d)/∂qi}δqi 

と比較します。
 

つまり,δpi.δqjが全く任意の恒等式: 

δpiid{∂L(,d)/∂qi}δqi 

­­=δpi[{(/∂pi)}{(/∂pi)φ} 

(∂H/∂qi)δqi(∂φ/∂qj)δqi・λ 

が成立します。
 

それ故,id(/∂pi)H+(/∂pi)φ・λ, 

および,-∂L(,d)/∂qi 

(∂H/∂qi)()|i|||(∂φ/∂qi)λ 

が得られます。
 

そして、後者はpiの定義式;i=-∂L(,d)/∂qiから 

i=-(∂H/∂qi)()|i|||(∂φ/∂qi)λ 

と書き直せます。
 

結局, id(/∂pi)H+(/∂pi)φ・λ, 

-∂L(,d)/∂qi(∂H/∂qi)()|i|||(∂φ/∂qi)λ 

が正準変数に対する運動方程式です、
 

ここで,Grassman数をも考慮したPoisson括弧式を,[,]P.B 

(∂F/∂qi){(/∂pi)}()|i|(∂F/∂pi){(/∂qi)} 

で定義します、
 

すると,先に与えた正準変数に対する運動方程式は, 

id[i,]P.B[i,φ]P.B λ, 

id[i,]P.B[i,φ]P.B λA と書けます。
 

この形の正準方程式からq,pの任意関数:(,) 

時間発展の方程式が,次式で与えられることがわかります。 

d[,H+φλ]P.B()||[,λ]P.Bφ
 

そこで,新たにHamiltonian,~=H+φλで定義し直せば 

右辺第2項は拘束条件:φ0を用いて落とせるので, 

d[,~]P.B と書けます。
 

等号:=でなく~を用いたのはこの式がφ(,)0の条件付き 

(,)に対してのみ成立するという意味で,謂わゆる 

「弱い等式(Weak equatuon)」であるからです。
 

誤解のないように注意すると,Poisson 括弧式自体は2N個の正準変数 

(i.j)の位相空間:Γで定義されていて,その計算の際に,予めφ0 

であることを使ってはいけません。
 

拘束条件:φ0 (A=1,2,..,1)はΓの(2N-M1)次元部分多様体 

Γを定義します。「弱い等式」:~は,変域をΓに制限したとき 

成立する等式という意味です。
 

さらにHamiltonianの定義:~=H+φλは決して恣意的なもの 

ではなく,そもそも,LagrangianからHamiltonianを決める際に 

拘束条件に比例する量だけの不定性があったのです。
 

拘束条件:φ0 (A=1,2,..,1),時間発展の方程式と無矛盾 

であるためには,φd[φ,]P.B[φ,φ]P.B λ 0 が 

満たされる必要があります。
 

ところが,この式は単に未知数:{λ}を決める1次方程式である 

場合もあれば,新たな条件式「2次的拘束条件(secondary contraints) 

を与える場合もあります。
 

つまり,未知数:{λ}を決める1次方程式の係数行列の階数; 

rank[φ,φ]P.Bをr1とすると,1≦M1ですがr1<M1なら係数 

行列;[φ,φ]P.Bは特異(非正則)で方程式が解けないからです。
 

適当に[φ]の線形結合を取り直して,拘束条件の行列を変換して 

[φ,φ]P.B  [φα,φβ]P.B=Cαβ(α,β=1,2,..,1) 

 (det(αβ)0),それ以外の要素はゼロの行列に相似変換 

できます。
 

これから[φα,]P.B+Cαβλβ べ^ 0det(αβ)0)により 

未知数:{λα}(α=1,2,..,1)を決めることができて, 

λα=~-(-1) αβ[φβ,]P.B と書けます。
 

残りの(1)-r1)個の式は,単に,[φβ,]P.B 0 です。 

もしも,この左辺の[φβ,]P.B(β=1,2,..,(1-r1))が全て 

φα(α=1,2,..,1)の線形結合で書けるなら,この問題は 

それで無矛盾であり,これ以上の考察は不要です。
 

しかし,そうでない場合は[φβ,]P.B 0(β=1,2,.(1-r1)) 

が新たな「2次的拘束条件」を与えます。
 

(1-r1)このうち,独立なM2個を元々M1個あった独立な 

1次的拘束条件」に追加して新たな「1次的拘束条件」にまとめ, 

これから,同様に無矛盾な条件で「2次的拘束条件」を求めるという 

操作を反復し,左辺が既知の条件の線形結合にできて,もはや新たな 

拘束条件が生じなくなるまで繰り返します。
 

この最終段階では,最初のM1,1,それぞれ.M=M1+M2..,2, 

r=r1+r2.. ≦M に置き換えられます。
 

その結果,Hamiktonian:~, 

=H-φα(-1) αβ[φβ,]P.B (α=1,2,..), 

~=H+φaλa (a=r+1,..,) となります。
 

[φβ,]P.B 0,もはや新たな拘束条件を生み出さないことは. 

{φ}{φα.φa}(α=1,2,..r;a=r+1,..,)の全てに対し 

[φ,~]P.B =Cφ,φの線形結合に書けることを意味 

します。
 

(16-1):φd[φ,]P.B[φ,φ]P.B λ 0. 

φd[φ,~]P.B 0 と書けるので.これがCφ 

書けることは.φd 0 が新しい条件を含まないことと 

同等です。何故なら既存のφ 0からCφ 0  

が成立しているからです。(16-1終わり※)
 

Dirac,力学量(=qi,jの関数):(,)が全ての拘束: 

φとの間で,[, φ]P.B.0 (A=1,2,..,)を満たす 

とき,Rを第1(first class),さもないとき,これを第2 

(second class)と呼びました。
 

[φ,φ]P.B  [φα,φβ]P.B=Cαβ(α,β=1,2,..,) 

から,全拘束:φのうち.φα(α=1,2,..)は第2, φa 

(a=r+1,..,)は第1類であること,がわかります。
 

拘束条件について.1次的か,2次的かの区別は重要ではない 

ですが,1類か第2類かの分類は重要です。
 

※第2類拘束条件の取り扱い  

後述するように第1類拘束条件も結局は第2類拘束条件に帰着させる 

ことができるので,ここでは。まず全ての拘束条件が第2類である 

として,正準理論でどのように扱うかを述べます。
 

拘束条件:φα(α=1,2,..,)が全て第2類であるという仮定から 

αβ[φα,φβ]P.Bなるr×r行列はdet(αβ)0で逆行列: 

(-1) αβを持ちます。 

αβ(-1)βγ=δ αγ, (-1)αββγ=δ αγです。
 

φαが全てGrassmann偶の普通の数のとき, αβ[φα,φβ]P.B 

は反対称行列でありdet(αβ)0より,拘束の個数gは偶数です 

からr=2mと書けます。これは,Grassmann奇の拘束がああるとき 

も成立するため,以下,r=2mを仮定します。
 

ここで,Diracに従って, Dirac括弧式:[ , ]Dと呼ばれるものを 

定義します。
 

[,]D[,]P.B[,φα]P.B.(-1)αβ[φβ,]P.B.です。
 

元のPoisson括弧式:[ , ]P.B.はA~0でも[ , ]P.B.0 

とは限りませんでした。実際,φ0でも[φ]P.B.0 

は限りませんでした。
 

しかしDirac括弧式では,A~0なら[ , ]D10  

が満たされます。実際,任意の拘束条件:φγ0に対して 

[φγ,]D[φγ,]P.B-Cγα(-1)αβ[φβ,]P.B. 0 

確かに恒等的に成立します。 

そして,任意のA~0,Aが拘束条件:φγの線形結合である 

ことを意味するため,やはり恒等的に 

[,]D[,]P.B[,φα]P.B.(-1)αβ[φβ,]P.B. 0 

です。
 

それ故,φα0(α=1,2,,..,2)で定義される(2N-2) 

次元部分位相空間:Γ上で,一致するような物理量の類(class): 

^{|}F-F0=Cαβφαβ](0はF^の代表元)の任意の元 

に対して,Dirac括弧式はΓ上で同一の値を与えます。
 

この事実は,実はDirac括弧式:[,]Dがφα0で定義される 

(2N-2)次元部分位相空間:Γ上で,その正準変数:l,l 

(l=1,2,,.., (N-m))で定義されるPoisson括弧式:  

[,]P.B(∂F/∂ql){(/∂pl)} 

()|l|(∂F/∂pl){(/∂ql)}と同じものを与えている 

のではないかと予想されます。
 

以下,実際にそうであることを示します。ただし,煩わしさを避ける 

ため,しばらくの間,全ての量はGrassmann偶の普通の可換なc数の 

場合に限定します。
 

一般に,正準変数: i,i(i=1,2,,.., )でざ行座標付けされる 

位相空間:Γで正準2次微分形式と呼ばれる閉じた2-形式 

(closed 2-form):dα=dqi∧dpi(iについて総和する),座標 

の付け方に依らない量です。
 

例えば,正準変換:( i,i)(~i,~i)というのは, 

2-形式を不変にするような変換: 

dα=dqi∧dpi=dq~i∧dp~i=dα~で特徴付けられます。
 

ここで位相空間:Γで必ずしも正準変換とは限らない座標付け: 

μ=zμ(,)(μ=12,..,2)を導入します。
 

dqi(∂qi/∂zμ)dzμ,dpi(∂pi/∂zν)dzν,を用いて, 

2-形式が,dα=dqi∧dpi(1/2)Σμ,ν(μ,ν)dzμ∧dzν 

と書き直せます。
 

ただし,(μ,ν)Lagrange括弧式であり, 

(μ,ν)(∂qi/∂zμ) (∂pi/∂zμ) 

(∂pi/∂zμ)(∂qi/∂zν) です。
 

Lagrange括弧式: (μ,ν)Poisson括弧式:[μ,ν]P,B. 

の逆行列を与えます。(※証明は簡単なので省略します。)
 

Poisson括弧式はLagrange括弧式が決まれば,逆行列として 

一意的に決まります。
 

z変数を,その最後の2m個を第2類拘束条件φαに取ってみます。 

このとき,最初の(2N-2)個のzはφα0で指定され部分位相空間 

Γにおける正準座標変数です。
 

このときの重要な性質は, 最初の(2N-2)個のΓのz変数に 

制限したLagrange括弧式:(μ,ν)(1≦μ,ν≦(2N-2)) 

Dirac括弧式:[μ,ν]Dの逆行列を与えることです。
 

Σν=1(2N-2) (μ,ν)[ν,ρ]D=δμρ(1≦μ,ρ≦(2N-2)) 

 です。(※これも証明略)
 

これは,Dirac括弧式:[μ,ν]D.が部分位相空間:Γにおける 

Poisson括弧式: [μ,ν]P.B(1≦μ,ν≦(2N-2))に一致する 

ことを意味しています。
 

この項目は長くなるので,今日はここまでにします。

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論」(培風館)

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訃報!!真屋順子さん

「欣ちゃんのどこまでやるの?」の国民的お母さんの真屋順子さんが2017年12月28日に亡くなられていたことがわかりました。

 

享年75歳。。最後は色々な病気を併発されて闘病中でした。

日刊スポーツ→  「欣どこ」の母親 真屋順子さん死去 75歳「真屋順子」の画像検索結果

やさしいお顔のお茶の間のみんなのお母さんでした。。残念。。。

 ご冥福をお祈りします。合掌!!

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2018年1月 1日 (月)

HAPPY NEW YEAR!

あけおめ。。。。 ことよろ。。2018年 

Forever Peace of the World

下は,最近ローマ法王が全世界に公開を指示したとされる。。原爆投下後の「焼き場に立つ少年」です。原爆で死んだ弟を背負い直立不動で火葬場の順番を待つ少年の写真です。

「原爆少年」の画像検索結果

れいかちゃん。。

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