ゲージ場の量子論(24)

「ゲージ場の量子論(23)」からの続きです。
 

※ 将来のために計画を立て我慢したり,節約して蓄えろ,とか, 

将来などないと思っている高齢の障害者ジジイには,もはや 

聞こえない話です。
 

新約聖書には「愚か者よ。お前は今夜召される。」 

と主が叱咤した話があります。私にもイエスの言葉が聞こえそうです。
 

「朝に道をきかば夕に死すとも可なり」(孔子？)　とか。。  

「柔肌の熱き血潮に触れもみで淋しからずや,道を説く君」

(与謝野晶子)　とか。。。

※ ＦＰ共役変換と反ＢＲＳ対称性 

ゲージ固定条件：∂^μＡ^ａ_μ＋αＢ^ａ＝0でLandauゲージ: 

α＝0を採用した場合,∂^μＡ^ａ_μ＝ 0ですから,ＦＰゴーストと 

反ゴーストの運動方程式:∂^μＤ_μｃ^ａ＝Ｄ^μ∂_μｃ~^ａ＝0 は同じ 

形:∂^μＤ_μｃ^ａ＝∂^μＤ_μｃ~^ａ＝0 になります。
 

(※何故なら,∂^μＡ^ａ_μ＝ 0 なので,

Ｄ^μｃ~^ａ＝∂_μｃ~^ａ－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ~^ｃ 

より,∂^μＤ_μｃ~^ａ＝∂^μ∂_μｃ~^ａ－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μ∂^μｃ~^ｃ 

＝Ｄ^μ∂_μｃ~^ａとなり.∂_μとＤ^μが交換するからです。)
 

そこで,ｃ^ａとｃ~^ａの入れ換えに対する対称性があると予想 

されます。
 

実際α＝0の場合,Ｌ_ＧＦ＋Ｌ_ＦＰ 

＝－∂^μＢ^ａＡ^ａ_μ－ i(∂^μｃ~^ａ)Ｄ_μｃ^ａ 

＝∂^μＢ~^ａＡ^ａ_μ＋ i(∂^μｃ^ａ)Ｄ_μｃ~^ａと書けます。
 

ここでＢ~^ａはＢ^ａ＋Ｂ~^ａ＝－iｇ(ｃ×ｃ)^ａで定義されます。
 

それ故,LandauゲージのLagrangianは, 

Ｃ_ＦＰ:ｃ^ａ → ｃ~^ａ,ｃ~^ａ → ｃ^ａ,Ｂ^ａ → Ｂ~^ａ 

という変換に対して明らかに不変です。ただし,ゲージ場: 

Ａ^ａ_μと物質場:φ_lは,変換されないとします。 

この変換をＦＰ共役変換と呼びます。
 

そしてＢＲＳ電荷:Ｑ_ＢのＦＰ共役変換:Ｃ_ＦＰＱ_ＢＣ_ＦＰ^-1を 

Ｑ~_Ｂと記し,反ＢＲＳ電荷と呼びます。
 

Ｑ~_Ｂの引き起こす変換を,[iλＱ~_Ｂ,Φ]＝λδ~_ＢΦとすると, 

[iλＱ~_Ｂ,Ａ^ａ_μ]＝Ｃ_ＦＰ[iλＱ_Ｂ,Ａ^ａ_μ]Ｃ_ＦＰ^-1 

＝λＣ_ＦＰ(Ｄ_μｃ^ａ)Ｃ_ＦＰ^-1＝λＤ_μｃ~^ａ＝λδ~_ＢＡ^ａ_μ 

と書けます。そして,このδ~_Ｂを反ＢＲＳ変換と呼びます。
 

δ~_ＢＡ^ａ_μ＝Ｄ_μｃ~^ａ,δ~_Ｂφ_i＝－iｇｃ~^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j, 

δ~_Ｂｃ^ａ＝iＢ~^ａ, δ~_Ｂｃ~^ａ＝(ｇ/2)(ｃ~×ｃ~)^ａ 

となります。δ~_ＢＢ~^ａ＝0 も明らかです。
 

Landauゲージの場合,この反ＢＲＳ変換がLagrangian: 

Ｌ~の不変性を与えることは明らかです。
 

Landauゲージ(α＝0)のＬ_ＧＦ＋Ｌ_ＦＰ 

＝－(∂^μＢ^ａ)Ａ^ａ_μ－ i(∂^μｃ~^ａ)(Ｄ_μｃ^ａ) 

は,Ｌ_ＧＦ＋Ｌ_ＦＰ＝δ_Ｂδ~_Ｂ{(i/2)Ａ^ａμＡ^ａ_μ} 

とも書けます。
 

※(注24-1):何故なら, 

まず,δ~_Ｂ{(i/2)Ａ^ａμＡ^ａ_μ}＝i(Ｄ^μｃ~^ａ)Ａ^ａ_μ 

＝i{(∂^μｃ~^ａ)Ａ^ａ_μ－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂμｃ^ｃＡ^ａ_μ} 

＝i(∂^μｃ~^ａ)Ａ^ａ_μです。
 

故に, δ_Ｂδ~_Ｂ{(i/2)Ａ^ａμＡ^ａ_μ}＝iδ_Ｂ{(∂^μｃ~^ａ)Ａ^ａ_μ} 

＝i{(i∂^μＢ^ａ)Ａ^ａ_μ}－i(∂^μｃ~^ａ)(Ｄ_μｃ^ａ) 

＝－(∂^μＢ^ａ)Ａ^ａ_μ－ i(∂^μｃ~^ａ)(Ｄ_μｃ^ａ) 

＝(Ｌ_ＧＦ＋Ｌ_ＦＰ)_α＝0を得ます。(注24-1終わり※)
 

しかしながら,大変興味深いことに,実はLandauゲージ 

でなくても任意のαで,Ｌ^の反ＢＲＳ不変性が成立する

ことがわかります。これを示しましょう。
 

まず,δ~_ＢＢ^ａ＝－ｇ(Ｂ×ｃ~)^ａです。
 

※(注24-2):証明です。 

まず,Ｂ^ａ＋Ｂ~^ａ＝－iｇ(ｃ×ｃ~)^ａですから, 

δ~_ＢＢ^ａ＝－{δ~_ＢＢ~^ａ＋iｇδ~_Ｂ(ｃ×ｃ~)^ａ} 

＝－iｇ{(δ~_Ｂｃ×ｃ~)^ａ－ (ｃ×δ~_Ｂｃ~)^ａ} 

＝－iｇ[(iＢ~×ｃ~)^ａ－ {ｃ×(ｇ/2)(ｃ~×ｃ~)}^ａ] 

＝ｇ[{－Ｂ－iｇ(ｃ×ｃ~)}×ｃ~]^ａ

＋iｇ{ｃ×(ｇ/2)(ｃ~×ｃ~)}^ａ 

＝－ｇ(Ｂ×ｃ~)^ａ 

－iｇ[ｇ{(ｃ×ｃ~)×ｃ~}^ａ－(ｇ/2){ｃ×(ｃ~×ｃ~)}^ａ]
 

ところが,{(ｃ×ｃ~)×ｃ~}^ａ＝ｆ_ａｂｃ(ｃ×ｃ~)^ｂｃ~^ｃ 

＝ｆ_ａｂｃｆ_ｂｄｅｃ^ｄｃ~^ｅｃ~^ｃです。
 

他方, {ｃ×(ｃ~×ｃ~)}^ａ＝ｆ_ａｂｃｃ^ｂ(ｃ~×ｃ~)^ｃ 

＝ｆ_ａｂｃｆ_ｃｄｅｃ^ｂｃ~^ｄｃ~^ｅ 

＝ｆ_ａｄｂｆ_ｂｅｃｃ^ｄｃ~^ｅｃ~^ｃです。
 

結局, {ｃ×(ｃ~×ｃ~)}^ａ＝2ｆ_ａｂｃｆ_ｂｄｅｃ^ｄｃ~^ｅｃ~^ｃ
 

以上から, δ~_ＢＢ^ａ＝－ｇ(Ｂ×ｃ~)^ａを得ます。
 

(注24-2終わり※):
 

したがって,δ~_Ｂ(Ｂ^ａｃ^ａ)＝－ｇ(Ｂ×ｃ~)^ａｃ^ａ＋Ｂ^ａ(iＢ~^ａ) 

＝－ｇＢａ(ｃ×ｃ~)^ａ＋iＢ^ａ{－Ｂ^ａ－iｇ(ｃ×ｃ~)^ａ{ 

つまり,δ~_Ｂ(Ｂ^ａｃ^ａ)＝－iＢ^ａＢ^ａまたは, 

Ｂ^ａＢ^ａ＝iδ~_Ｂ(Ｂ^ａｃ^ａ)　が得られます。
 

そこで,(α/2)Ｂ^ａＢ^ａ＝δ~_Ｂ({(αi/2)Ｂ^ａｃ^ａ}であり 

ベキ零性:(δ~_Ｂ)²＝0 が成立するため,δ~_Ｂ({(α/2)Ｂ^ａＢ^ａ} 

＝0 となり,項(α/2)Ｂ^ａＢ^ａが反ＢＲＳ不変ですから,αがゼロ 

でなく任意でもα＝0 と同じくＬ^が不変であるとわかります。
 

δ~_Ｂのベキ零性は, 

[iλ₁Ｑ~_Ｂ,[ iλ₂Ｑ~_Ｂ,Φ]]＝λ₁λ₂ (δ~_Ｂ)²Φ 

＝Ｃ_ＦＰ[iλ₁Ｑ_Ｂ,[ iλ₂Ｑ_Ｂ,Φ]]Ｃ_ＦＰ^-1＝Ｃ_ＦＰλ₁λ₂ δ_Ｂ²ΦＣ_Ｆ^—1 

＝0 から従います。
 

反ＢＲＳ変換まで含めた拡大ＢＲＳ代数は, 

{Ｑ_Ｂ,Ｑ_Ｂ}＝2Ｑ_Ｂ²＝0, {Ｑ~_Ｂ,Ｑ~_Ｂ}＝2Ｑ~_Ｂ²＝0, 

{Ｑ_Ｂ,Ｑ~_Ｂ}＝0, 

また,[iＱ_ｃ,Ｑ_Ｂ]＝－Ｑ_Ｂ,[iＱ_ｃ,Ｑ~_Ｂ]＝－Ｑ~_Ｂ, 

[Ｑ_ｃ,Ｑ_Ｂｃ]＝0 　です。
 

{Ｑ_Ｂ,Ｑ~_Ｂ}＝0,はＢＲＳ変換と反ＢＲＳ変換の反可換性: 

δ_Ｂδ~_Ｂ＝－δ~_Ｂδ_Ｂと等価です。 

これは直接確認することもできます。
 

本質的議論では,ＢＲＳ変換か反ＢＲＳ変換の一方だけ 

で十分です。それ故,これ以降では,もっぱらＢＲＳ変換 

のみを考えて議論を進めます。
 

§5-6 Ward-高橋恒等式。および,自由場の量子化と漸近場 

ゲージ理論において,どのような漸近場が現われるのか.摂動論 

的仮定の下で調べます。そのため,まずゲージ(ＢＲＳ)不変性 

から従う摂動から任意次数で成立する,Ward-高橋恒等式から

始めます。
 

※ Ward-高橋恒等式 

一般にゲージ不変性に限らず,ある対称性が存在すると,種々 

のGreen関数,頂点関数等の間に,いろいろな関係式が成立 

します。このような関係式を一般にWard-高橋恒等式, 

略してＷＴ恒等式と呼びます。
 

ゲージ不変性に関わるGreen関数に関わるＷＴ恒等式は, 

全てＢＲＳ演算子:Ｑ_Ｂを用いて,次のように簡単に与える 

ことができます。
 

すなわち,Ｏ_k(ｘ)を任意の場(または,その多項式)の演算子 

として,真空のＢＲＳ不変性: Ｑ_Ｂ{0＞＝0を用いると, 

0＝＜0|{Ｑ_Ｂ,Ｔ(Ｏ_k(ｘ₁),Ｏ_k(ｘ₂),..,Ｏ_m(ｘ_ｎ))}|0＞ 

＝Σ_k＝1ⁿ(－)^Ｓk

＜0|Ｔ(Ｏ_k(ｘ₁),Ｏ_k(ｘ₂),..δ_ＢＯ_ｋ(ｘ_k),..Ｏ_m(ｘ_ｎ)|0＞ 

なる恒等式を得ます。
 

ただし,Ｓ_ｋ＝Σ_i=1^ｋ-1|ｉ|です。( |ｉ|はＯ_ｉの統計指数)
 

1粒子既約な(1ＰＩ)頂点関数,または,その生成汎関数 

に対するＷＴ恒等式を得るには,次のようにします。
 

まず,全ての場:Φ_ＬとそのＢＲＳ変換;δ_ＢΦ_Ｉ(に対して 

外場(external source)を導入します。
 

Ｓ[Ｊ,Ｋ]＝∫ｄ⁴ｘ[Ｊ^ａμＡ^ａ_μ＋Ｊⁱφ_i＋Ｊ~^ａ_ｃｃ^ａ＋Ｊ^ａ_ｃ~ｃ~^ａ 

＋Ｊ^ａ_ＢＢ^ａ＋Ｋ^ａμＤ_μｃ^ａ－iＫⁱｃ^ａｇ(Ｔ^ａ)_ijφ_j 

＋(1/2)Ｋ^ａ_ｃｇ(ｃ×ｃ)^ａ]　です。
 

ここで,場は全てHeisenberg場であり,Ｊ~^ａ_ｃ,Ｊ^ａ_ｃ~,Ｋ^ａμ 

はGrassmann数,Ｊ^ａμ,Ｊ^ａ_Ｂⁱ,Ｋ^ａ_ｃは普通の数です。 

物質場についてはφ_iがBose粒子場なら,ＫⁱはGrassmann数, 

Ｊⁱは普通の数で,φ_iがfermi粒子場なら逆です。
 

ＢＲＳ変換された量:δ_ＢΦ_Lは既にＢＲＳ不変なので. 

{iＱ_Ｂ,Ｄ_μｃ^ａ}＝{iＱ_Ｂ,ｃ^ａｇ(Ｔ^ａ)_ijφ_j} 

＝{iＱ_Ｂ,(ｃ×ｃ)^ａ}＝0 です。
 

そこで,0＝＜0|{iＱ_Ｂ, ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞ 

＝i∫ｄ⁴ｘ＜0|Ｔ[Ｊ^ａμＤ_μｃ^ａ－(－)^|ｉ|Ｊⁱｃ^ａｇ(Ｔ^ａ)_ijφ_j 

－(1/2)Ｊ~^ａ_ｃ(ｃ×ｃ)^ａ－iＪ^ａ_ｃ~Ｂ^ａ]ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞ 

が成立します、|ｉ|は(Ｊⁱの統計指数)＝(Φ_iの統計指数)です。
 

摂動論の項目では,外場:Jを与えてGteem関数の生成汎関数を 

Ｚ[Ｊ]とし,Ｚ[Ｊ]＝exp(iＷ[Ｊ])によって得られる,連結Green 

関数の生成汎関数:Ｗ[Ｊ,Ｋ],および頂点関数に対する生成汎関数 

Γ[Φ,Ｋ]を考察しましたが，同様に,,
 

exp(iＷ[Ｊ,Ｋ]＝＜0|ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞, 

Γ[Φ,Ｋ]＝Ｗ[Ｊ,Ｋ]－Ｊ_I・Φ_I, 

Φ_I(ｘ)=(δ/δＪ_I(ｘ))Ｗ[Ｊ,Ｋ] 

＝＜0|Ｔ{Φ_I(ｘ)expiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞/＜0|ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞, 

によって.これらを定義します。
 

ただし,ここでは Ｊ_Iは,Ｊ^ａμ,Ｊⁱ, Ｊ~^ａ_ｃ,Ｊ^ａ_ｃ~,Ｊ^ａ_Ｂの全て 

を意味します。
 

一般的記号として,Φ_I(ｘ) 

＝＜0|Ｔ{Φ_I(ｘ)expiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞/＜0|ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞ 

で定義されるΓの引数:Φ_Ｉは,ｃ-数(期待値)であり,対応する 

Heusenberg場:Φ_Ｉ＝Ａ^ａ_μ,φ_i, ｃ^ａ,ｃ~^ａ,Ｂ^ａと同じ記号で 

表わしますが.混同しないよう注意を要します。
 

上のΓ[Φ,Ｋ]＝Ｗ[Ｊ,Ｋ]－Ｊ_I・Φ_Iの右辺,および,以下に 

おいてドット(dot)・は,積分記号:∫ｄ⁴ｘの省略とします。
 

そうすれば,恒等式: 0＝＜0|{iＱ_Ｂ,ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞ 

＝i∫ｄ⁴ｘ＜0|Ｔ[Ｊ^ａμＤ_μｃ^ａ－(－)^|ｉ|Ｊⁱｃ^ａｇ(Ｔ^ａ)_ijφ_j 

－(1/2)Ｊ~^ａ_ｃ(ｃ×ｃ)^ａ－iＪ^ａ_ｃ~Ｂ^ａ]ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞ 

は, [Ｊ^ａμ({δ/δＫ^ａμ)＋(－)^{ｉ{Ｊ^l(δ/δＫⁱ) 

－Ｊ~^ａ_ｃ(δ/δＫ^ａ_ｃ)－Ｊ^ａ_ｃ~(δ/δＪ^ａ_Ｂ)}Ｗ[Ｊ,Ｋ]＝0 

と書き直せます。
 

Γ[Φ,Ｋ]＝Ｗ[Ｊ,Ｋ]－Ｊ_I・Φ_I,のLegendre変換から.従う, 

Φ_I(ｘ)=(δ/δＪ_I(ｘ))Ｗ[Ｊ,Ｋ] 

＝＜0|Ｔ{Φ_I(ｘ)expiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞/＜0|ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞, 

に双対な関係式:(δ/δΦ_I(ｘ))Γ[Φ,Ｋ]＝－(－)^|Ｉ|Ｊ_I(ｘ), 

および,(δ/δＫ_I(ｘ))ΓＷ[Φ,Ｋ]＝(δ/δＫ_I(ｘ))Γ[Φ,Ｋ] 

を用いると,先の恒等式は,次のように書き直されます。
 

すなわち, 

(δΓ/δＡ^ａ_μ)(δΓ/δＫ^ａμ)＋(δΓ/δφ_i)(δΓ/δＫⁱ) 

－(δΓ/δｃ^ａ)(δΓ/δＫ^ａ_ｃ)＋i(δΓ/δｃ~^ａ)Ｂ^ａ＝0 

と書けます。
 

これが,(1ＰＩ)頂点関数の生成汎関数:Γに対するＷＴ恒等式 

です。ｔだし,Grassmann数による微分は全て左微分です。
 

ΓのＮＬ場:Ｂ^ａや反ゴースト場:ｃ~^ａへの依存性は,特殊で 

運動方程式:∂^μＡ_ａ^μ＋αＢ^ａ＝0,∂^μＤ_μｃ^ａ＝Ｄ^μ∂_μｃ~^ａ＝0 

より従う次の恒等式を満たします。
 

δΓ/δＢ^ａ＝∂^μＡ_ａ^μ＋αＢ^ａ, 

∂^μ(δΓ/δＫ^ａμ)＋iδΓ/δｃ~^ａ＝0
 

※(注24-4):上記の証明です。 

まず,証明すべき式のＡ_ａ^μ,Ｂ^ａ, ｃ~^ａetc.は場の演算子 

ではなく,ｃ-数であることに注意します。
 

[Ｏ,[Ｏ,Ｓ]]＝0なら,[Ｏ,exp(iＳ)]＝[Ｏ,Ｓ]exp(iＳ) 

なので,∂^μ＜0|Ｔ{Ａ^ａ_μ(ｘ)expiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞ 

＝i∫ｄ⁴ｙδ(ｘ⁰－ｙ⁰) 

×＜0{Ｔ[Ａ^ａ₀(ｘ),Ｊ^ｂ_Ｂ(ｙ)Ｂ^ｂ(ｙ)]expiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞ 

＋＜0|Ｔ{∂^μＡ^ａ_μ(ｘ)expiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞ 

＝＜0|Ｔ{－Ｊ^ａ_Ｂ(ｘ)＋∂^μＡ^ａ_μ(ｘ)expiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞ 

です。両辺に,＜0|Ｔ{αＢ^ａ(ｘ)expiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞ 

を加えて,＜0|Ｔ{expiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞で割ると, 

＜0|Ｔ{expiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞は∂^μで微分してもゼロなので 

期待値の意味で∂^μＡ_ａ^μ＋αＢ^ａ＝－Ｊ^ａ_Ｂ(ｘ)を得ます。
 

そして,Ｊ^ａ_Ｂ(ｘ)＝－δΓ/δＢ^ａより 

δΓ/δＢ^ａ＝∂^μＡ_ａ^μ＋αＢ^ａです。
 

次に, ∂^μ＜0|Ｔ{Ｄ^μｃ^ａ(ｘ)expiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞ 

＝i∫ｄ⁴ｙδ(ｘ⁰－ｙ⁰) 

×＜0{[Ｄ₀ｃ^ａ(ｘ),Ｓ[Ｊ,Ｋ]_ｙ]expiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞ 

＋＜0|Ｔ{∂^μＤ^μｃ^ａexpiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞です。
 

iＤ₀ｃ^ａ＝π^ａ_ｃ~よりＤ₀ｃ^ａ＝－iπ^ａ_ｃ~ですから,Ｄ₀ｃ^ａと 

同時刻に(反)交換しないのは外場項の中ではｃ~のみで, 

{Ｄ⁰ｃ^ａ(ｘ,ｔ),ｃ~^ｂ(ｙ,ｔ)}＝δ^ａｂδ³(ｘ－ｙ)です。
 

ｃ~^ａに対応する外場Ｊ^ａ_ｃ~はGrassmann数なので, 

∂^μ＜0|Ｔ{Ｄ^μｃ^ａ(ｘ)expiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞ 

＝i∫ｄ⁴ｙδ(ｘ⁰－ｙ⁰) 

×＜0{[Ｄ₀ｃ^ａ(ｘ),Ｊ^ｂ_ｃ~ ｃ~^ｂ(ｙ)]expiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞ 

＋＜0|Ｔ{∂^μＤ^μｃ^ａexpiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞ 

＝＜0|Ｔ{－Ｊ^ａ_ｃ~(ｘ)＋∂^μＤ^μｃ^ａexpiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞
 

故に,両辺を＜0|Ｔ{expiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞で割って期待値の 

意味で,－∂^μ(δＷ/δＫ^ａμ)＝－Ｊ^ａ_ｃ~(ｘ)です。(左辺は右微分)
 

 ∂^μ(δΓ/δＫ^ａμ)＝－iδΓ/δｃ~^ａ (左辺は左微分) 

すなわち, ∂^μ(δΓ/δＫ^ａμ)＋iδΓ/δｃ~^ａ＝0 

を得ます。
 

(注24-4終わり※)
 

Γに対するＷＴ恒等式,と上記2つの恒等式は,後のゲージ理論 

のくり込み可能性の議論において特に重要な役割を果たします。
 

ユニタリ性(unitarity)に関連して大切なGreen関数の 

ＷＴ恒等式は,δ_Ｂ(Ｂ^ａｃ~^ｂ)＝Ｂ^ａδ_Ｂｃ~^ｂ)＝i(Ｂ^ａＢ^ｂ)より, 

{Ｑ_Ｂ,Ｂ^ａｃ~^ｂ}＝Ｂ^ａＢ^ｂ.,つまり, 

＜0|Ｔ[Ｂ^ａ(ｘ)Ｂ^ｂ(ｙ)]|0＞＝＜0|{Ｑ_Ｂ,Ｔ[Ｂ^ａ(ｘ)ｃ^ｂ(ｙ)]}|0＞ 

＝0　です。
 

また,δ_Ｂ(Ａ^ａ_μｃ~^ｂ)＝iＡ^ａ_μＢ^ｂ＋(Ｄ_μｃ^ａ)ｃ~^ｂより 

{Ｑ_Ｂ,Ｔ[Ａ^ａ_μ(ｘ)ｃ^ｂ(ｙ)]} 

＝Ｔ[Ａ^ａ_μ(ｘ)Ｂ^ｂ(ｙ)]－iＴ[(Ｄ_μｃ^ａ(ｘ))ｃ~^ｂ(ｙ)]
 

＜0|Ｔ[Ａ^ａ_μ(ｘ)Ｂ^ｂ(ｙ)]|0＞ 

＝i＜0|Ｔ[(Ｄ_μｃ^ａ(ｘ))ｃ~^ｂ(ｙ)]|0＞　です。
 

一方,運動方程式∂^μＤ_μｃ^ａ＝0、および,反交換関係 

{Ｄ₀ｃ^ａ(ｘ,ｔ),ｃ~^ｂ(ｙ,ｔ)}＝δ^ａｂδ³(ｘ―ｙ)　から,
 

∂_ｘ^μ＜0|Ｔ[Ｄ_μｃ^ａ(ｘ)ｃ~^ｂ(ｙ)]|0＞ 

＝δ(ｘ⁰－ｙ⁰)＜0|{Ｄ₀ｃ^ａ(ｘ,ｔ),ｃ~^ｂ(ｙ,ｔ)}|0＞ 

＋＜0{Ｔ[∂^μＤ_μｃ^ａ(ｘ)ｃ~^ｂ(ｙ)]｜0＞ 

＝δ^ａｂδ⁴(ｘ－ｙ)　を得ます。
 

したがって,先にで求めた恒等式: 

＜0|Ｔ[Ａ^ａ_μ(ｘ)Ｂ^ｂ(ｙ)]|0＞ 

＝i＜0|Ｔ[(Ｄ_μｃ^ａ(ｘ))ｃ~^ｂ(ｙ)]|0＞と合わせて,
 

Ｆ.Ｔ.＜0|Ｔ{Ｄ_μｃ^ａ(ｘ)ｃ~^ｂ(ｙ)}|0＞＝iδ^ａｂｐ_μ/ｐ² 

Ｆ.Ｔ.＜0|Ｔ{Ａ^ａ_μ(ｘ)Ｂ^ｂ(ｙ)}|0＞＝－δ^ａｂｐ_μ/ｐ² 

が得られます。
 

ただしＦ.Ｔ.はFourier変換;∫ｄ⁴ｘexp{iｐ(ｘ－ｙ)} 

を演算することを意味します。 

例えば∂_ｘ^μは 部分積分により,(－iｐ^μ)となるからです。
 

これらはゲージ理論に,どんな物質場が温まれていようと常に 

成立する厳密な恒等式であり,Ａ^ａ_μ,Ｂ^ａ,Ｄ_μｃ^ａ.ｃ~^ａの 

チャネルには,必ず,零質量の粒子(漸近場)が存在することを 

表わしています。
 

今日はここまでにします。

(参考文献)：九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

ゲージ場の量子論(23)

「「ゲージ場の量子論(22)」からの続きです。
 

条件:Ｑ_Ｂ|Phys＞＝0　⇔　|Pys＞∈Ｖ _Physは実際,可換群 

の場合にＮＬ場:Ｂ(ｘ)(正確には∫ｄ³ｘΛ(ｘ)∂^⇔₀Ｂ(ｘ) 

□Λ(ｘ)＝0)がゲージ変換の生成子であったことを想起 

すれば,ＧＢ-ＮＬ条件:Ｂ^(＋)(ｘ)|Phys＞＝0とＱ_Ｂ|Phys＞＝0　 

に類似しています。
 

※(注23-1):電磁場のＮＬ定式化のLagrangian密度は, 

Ｌ~＝－(1/4)Ｆ_μνＦ^μν＋Ｌ_matter(φ,Ｄ_μφ)＋Ｌ_ＧＦ,  

Ｌ_ＧＦ＝Ｂ(∂^μＡ_μ)＋(α/2)Ｂ²,Ｄ_μ＝∂_μ＋iｅＡ^μ 

で与えられますが,これが可換ゲージ群Ｕ(1)の対称性 

を持つ代表的な系のLagrangian密度です。
 

Ｌ~に対するEuler-Lagrangeの方程式から, 

Ａ_μについては,運動方程式Ｄ^νＦ_νμ－ｅｊ_μ＝∂_μＢが 

導かれます。ただし,ｅｊ_μ＝－∂Ｌ/∂Ａ^μ＝i∂Ｌ/∂(∂_μφ)φ 

です。一方,Ｂについては,ゲージ固定式:∂^μＡ_μ＋αＢ＝0  

が導かれます。
 

これで,通常の意味では,ゲージ固定されているのですが, 

変換:Ａ_μ→Ａ_μ＋∂_μΛにより,∂^μＡ_μ＋αＢ  

→ ∂^μＡ_μ＋□Λ＋αＢ なので.もしも,Λ(ｘ)が□Λ＝0 

の解なら,なお,Ｌ~はゲージ不変です。
 

そこで,□Λ(ｘ)＝0を満たすΛ(ｘ)に対し,εを微小 

として,φ_i → exp(iεｅΛ)φ_i＝(1＋iεｅΛ)φ_i,or  

δφ_i＝iεｅΛφ_i,Ａ_μ→Ａ_μ＋εｅ∂_μΛ(Ｂは不変) 

なる局所ゲージ変換に対しては,なお,δＬ~＝0です。
 

それ故,パラメーターεはｘには依存しない大局的変換 

である,という意味で,Noetherの定理が適用できて,保存 

カレント:Ｊ^(NL)_μ＝－{∂Ｌ/∂(∂^μＡ^ν)}(∂^νΛ) 

－{∂Ｌ/∂(∂^μＡφi)}(iΛφ_i)が存在します。
 

Ｊ^(NL)_μ＝Ｆ_μν(∂^νΛ)－ｅｊ_μΛ－Ｂ(∂_μΛ) 

これは,Ｊ^(NL)_μ＝＝Ｆ_μν(∂^νΛ)－(Ｄ^νＦ_νμ)Λ 

＋(∂_μＢ)Λ－Ｂ(∂_μΛ) 

＝(∂_μＢ)Λ－Ｂ(∂_μΛ)＋∂^ν(Ｆ_μνΛ) 

と書けます。
 

したがって,これから得られる保存チャージは 

Ｑ^(NL)＝∫ｄ³ｘ{(∂₀Ｂ)Λ－Ｂ(∂₀Λ)} 

＝∫ｄ³ｘΛ(ｘ)∂^⇔₀Ｂ(ｘ)であり, Noether定理 

からこのＱ^(NL)が,量子化後の演算子のとして. 

交換関係:[iεＱ^(NL),Ａ_μ]＝εｅ∂_μΛ,および, 

[iεＱ^(NL),φ_i]＝εｅΛφ_i,によって先の微小変換を 

生ぜしめる生成子となるわｋｒです、　 

(注23-1終わり※)
 

実は,Ｑ_ＢとＢ(ｘ)は単に位ているだけではなく,可換群: 

Ｕ(1)の特殊事情の下では,補助条件:Ｑ_Ｂ|Phys＞＝0が 

ＧＢＮＬ条件:Ｂ^(＋)(ｘ)|Phys＞＝0を再現すろことを示す 

ことができます。
 

ここでの定式化は,もちろん,ゲージ群がＵ(1)であるとして 

もよく,この定式化ではＦＰゴーストが入ってきますが,その 

運動方程式:∂^μＤ_μｃ＝Ｄ^μ∂_μｃ~＝0は,ｆ_ａｂｃ＝0 なので 

独立な自由場の方程式:□ｃ(ｘ)＝0, □ｃ~(ｘ)＝0  

となります。
 

しかも,ＢＲＳ電荷の表式は,  

Ｑ_Ｂ＝∫ｄ³ｘ{Ｂ^a(Ｄ₀ｃ^ａ) －(∂₀Ｂ^ａ)ｃ^ａ 

－(i/2)ｇｆ_ａｂｃ∂₀ｃ~^aｃ^ｂｃ^ｃ}ですが, 

これも,この場合は非常に簡単になります。 

Ｑ_Ｂ＝∫ｄ³ｘＢ(ｘ)∂^⇔₀ｃ(ｘ)です。
 

これは運動量表示では, 

Ｑ_Ｂ＝＝i∫ｄ³ｋ{ｃ^＋(ｋ)Ｂ(ｋ)－ｃ(ｋ)Ｂ^＋(ｋ)}です。
 

Ｂ^＋(ｋ),Ｂ^＋(ｋ)は,それぞれＢ場の生成,消滅演算子で 

ｃ(ｘ)も□ｃ(ｘ)＝0 の解なので,ｃ^＋(ｋ),ｃ^＋(ｋ) 

もＢ場と同じく,それぞれゴ＾スト場-ｃの生成,消滅 

演算子です。
 

さらに,ＦＰゴースト場;ｃ(ｘ),ｃ~(ｘ)が自由場である 

ことは,最初ゴースト粒子が存在しない状態から出発 

すれば,ゴーストは永久に生成されないことを意味します。
 

※(注23-2):ＦＰゴーストが存在しない状態を,|0＞_ＦＰとｄ 

するとｃ,ｃ~が自由場の場合,Hamiltonian;Ｈにはｃ,ｃ~ 

と他の粒子場との相互作用項がありません。
 

そこで,ゴースト以外の任意の粒子の時間発展を示すFeynman 

グラフでは,真空偏極グラフにさえ中間状態としてｃ,ｃを含む 

部分は出現しないので.時間発展でexp(－iＨｔ)|0＞_ＦＰ＝|0＞_ＦＰ 

となるはずです。　(注23-2終わり※) 
 

それ故,系の状態空間をゴーストを含まない空間:Ｖ '×|0＞_ＦＰ 

に限定しても時間発展とは矛盾しません。 

ただし,Ｖ 'は通常のＧＢ-ＮＬ定式化で扱われるＦＰゴースト 

以外の粒子で張られる空間で,|0＞_ＦＰはＦＰゴーストセクター 

の真空状態です。
 

したがって,ＧＢ-ＮＬ定式化での物理的状態:|Phys＞は,今の定式化  

では,|Phys＞×|0＞_ＦＰに対応します。
 

これに対しては補助条件:Ｑ_Ｂ|Phys＞＝0 は, 

Ｑ_Ｂ(|Phys＞×|0＞_ＦＰ)＝0　を意味しますが,  

Ｑ_Ｂ＝i∫ｄ³ｋ{ｃ^＋(ｋ)Ｂ(ｋ)－ｃ(ｋ)Ｂ^＋(ｋ)より,  

これはi∫ｄ³ｋ{ｃ^＋(ｋ)Ｂ(ｋ)|Phys＞×ｃ^＋(ｋ)|0＞_ＦＰ 

＝0 という条件に帰着します。

しかし,これは座標空間へのFourier変換によって, 

Ｂ^(＋)(ｘ)|Phys＞＝0 に一致します。
 

可換群の場合は１個の補助条件:Ｑ_Ｂ|Phys＞＝0 が∀ｘに対する 

無限個の補助条件:Ｂ^(＋)(ｘ)|Phys＞＝0 を再現したのは,もちろん, 

ゴーストの存在しない状態に限ったからです。
 

しかし,実のところは可換群,非可換群を問わず,補助条件は, 

Ｑ_Ｂ|Phys＞＝0 の１個だけでよく,それ以上にＦＰゴースト 

がどういう状態にあるか？を指定する必要はありません。 

このことは§5-8で一般的に証明します。
 

前節の最後に触れたゲージ固定項＋ＦＰゴースト項が, 

Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝δ_Ｂ(＊)の形を持つことの1つの重要な側面と 

いうのは今や明らかです。それは,ＢＲＳ電荷を用いて, 

Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝が,Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝{iＱ_Ｂ,＊}なる形に掛けるので, 

これは,Ｑ_Ｂ|Phys＞＝0 を満たす部分空間では実質的には 

零演算子であることです。 

(※Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝{iＱ_Ｂ,＊}より,＜Phys|Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}|Phys＞＝0 

ですが,＜Phys|は部分空間:Ｖ _physの双対ket空間の完全系 

をなすのでＶ _physではＬ_{ＧＦ＋ＦＰ}|Phys＞＝0 を意味します。）
 

この事実が,後に 

「物理的Ｓ行列がゲージ固定の仕方に依存しない。」ということ 

を証明する際に本質的な役割を果たします。
 

※ Maxwell方程式 

ゲージ場:Ａ^ａ_μと物質場:φ_lに対して,元の局所ゲージ変換の 

パラメータ:θ^ａ(ｘ)をｘに依らない定数:θ^ａに置き換えた変換 

をし,ＮＬ場:Ｂ^ａ,ＦＰゴースト場:ｃ^ａ,ｃ~^ａについては随伴表現 

として変換させる大局的変換を大局的ゲ^―ジ変換 

(global gauge transformation),またはカラー回転 

(color rotatopn)と呼びます。
 

再掲Lagrangian:Ｌ~＝－(1/4)Ｆ^ａ_μνＦ^ａμν 

＋Ｌ_matter(φ,Ｄ_μφ)＋Ｌ_ＧＦ＋Ｌ_ＦＰ, 

Ｌ_ＧＦ＝－∂^μＢ^ａＡ^ａ_μ＋(α/2)Ｂ^ａＢ^ａ, 

Ｌ_ＦＰ＝－ i(∂^μｃ~^ａ)Ｄ_μｃ^ａ 

は,この変換に対する対称性を持ちます。
 

※(注23-3):Ｌ~の不変性を証明します。 

大局的変換:φ_i → exp(－iｇＴ^ａθ^a)φ_i 

～ φ_i＋δφ_i＝{1－iｇＴ^ａθ^a)φ_i,∂_μθ^ｃ＝0より 

Ａ^ａ_μ→ Ａ^ａ_μ＋δＡ^ａ_μ＝Ａ^ａ_μ－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μθ^ｃ 

に対して,－(1/4)Ｆ^ａ_μνＦ^ａμν＋Ｌ_matter(φ,Ｄ_μφ) 

が不変なのは明白です。
 

一方,Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝Ｂ^ａ∂^μＡ^ａ_μ＋(α/2)Ｂ^ａＢ^ａ 

＋iｃ~^ａ∂^μＤ_μｃ^ａにおいて 

さらに,Ｂ^ａ→ exp{－iｇAd(Ｔ^ａ)θ^a}Ｂ 

＝Ｂ^ａ＋δＢ^ａ＝Ｂ^ａ－ｇｆ_ａｂｃＢ^ｂθ^ｃ 

ｃ^ａ＝ｃ^ａ＋δｃ^ａ＝ｃ^ａ－ｇｆ_ａｂｃｃ^ｂθ^ｃ 

ｃ~^ａ＝ｃ~^ａ＋δｃ~^ａ＝ｃ~^ａ－ｇｆ_ａｂｃｃ~^ｂθ^ｃ 

が加えられる変換に対し,
 

δＬ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝(－ｇｆ_ａｂｃＢ^ｂθ^ｃ)(∂^μＡ^ａ_μ) 

＋Ｂ^ａ∂^μ(－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μθ^ｃ)＋α(－ｇｆ_ａｂｃＢ^ａＢ^ｂθ^ｃ) 

－iｇｆ_ａｂｃθ^ｃｃ~^ｂ∂^μＤ_μｃ^ａ

＋iｇｆ_ａｂｃθ^ｃｃ~^ａ∂^μＤ_μｃ^ｂ 

ですが,これも明らかにゼロです。
 

したがって,このカラー回転に対してδＬ~＝0です。 

(注23-3終わり※)
 

そこで,Noether定理による保存カレントＪは, 

ｇθ^ａＪ^ａ_μ＝{∂Ｌ~/∂(∂^μＡ^ａ_ν)}(－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μθ^ｃ) 

＋{∂Ｌ~/∂(∂^μφ_i)}{－iｇθ^ａ(Ｔ^ａφ)_i} 

＋{∂Ｌ~/∂(∂^μＢ^ａ)}(－ｇｆ_ａｂｃＢ^ｂθ^ｃ) 

＋{∂Ｌ~/∂(∂^μｃ^ａ)}(－ｇｆ_ａｂｃｃ^ｂθ^ｃ) 

＋{∂Ｌ~/∂(∂^μｃ~^ａ)}(－ｇｆ_ａｂｃｃ~^ｂθ^ｃ) 

＝Ｆ^ａ_μν(ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂνθ^ｃ)＋ｇｊ^ａ_μθ^ａ 

－Ｂ^ａ(ｇｆ_ａｂｃＢ^ｂθ^ｃ)＋iｇｆ_ａｂｃ∂^μｃ~^ａｃ^ｂθ^ｃ 

－iｇｆ_ａｂｃＤ_μｃ^ａｃ~^ｂθ^ｃより,
 

 Ｊ^ａ_μ＝ｆ_ａｂｃＡ^ｂμＦ^ｃ_νμ＋ｊ^ａ_μ＋ｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μＢ^ｃ 

－iｆ_ａｂｃｃ~^ｂ(Ｄ_μｃ^ｃ)＋iｆ_ａｂｃ(∂_μｃ~^ｂ)ｃ^ｃです。 

つまり, Ｊ^ａ_μ＝(Ａ^ν×Ｆ_νμ)^ａ＋ｊ^ａ_μ＋(Ａ_μ×Ｂ)^ａ 

－i{ｃ~×(Ｄ_μｃ)}^ａ＋i{(∂_μｃ~) ×ｃ}^ａです。
 

対応する電荷:Ｑ^ａ＝∫ｄ³ｘＪ^ａ₀は,カラー電荷と呼ばれ, 

大局的ゲージ変換(カラー回転)の生成子になります。
 

[iθ^ｂＱ^ｂ,Φ^ａ(ｘ)]＝{θ×Φ(ｘ)}^ａ, (Φ＝Ａ_μ,Ｂ,ｃ,ｃ~) 

[iθ^ｂＱ^ｂ,φi(ｘ)]＝－iθ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j(ｘ)　です。
 

この大局的ゲージ変換のカレントを用いるとゲージ場の 

運動方程式;Ｄ^νＦ^ａ_νμ－ｇｊ^ａ_μ＝∂_μＢ^ａ－iｇｆ_ａｂｃ∂_μｃ^^ｂｃ^ｃ 

が次のような注目すべき形に書き換えられます。
 

すなわち,∂^νＦ^ａ_νμ－ｇＪ^ａ_μ＝{Ｑ_Ｂ,Ｄ_μｃ~^ａ}　です。
 

※(注23-4):運動方程式から,ｇｊ^ａ_μ＝Ｄ^νＦ^ａ_νμ－∂_μＢ^ａ 

－iｇｆ_ａｂｃ∂_μｃ^^ｂｃ^ｃ＝∂^νＦ^ａ_νμ－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂνＦ^ｃ_νμ 

－∂_μＢ^ａ－ｇｆ_ａｂｃ∂_μｃ^^ｂｃ^ｃです。これを, 

ｇＪ^ａ_μ＝ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂμＦ^ｃ_νμ＋ｇｊ^ａ_μ＋ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μＢ^ｃ 

－iｇｆ_ａｂｃｃ~^ｂ(Ｄ_μｃ^ｃ)＋iｇｆ_ａｂｃ(∂_μｃ~^ｂ)ｃ^ｃ 

の右辺に代入します。
 

すると,ｇＪ^ａ_μ＝∂^νＦ^ａ_νμ－∂_μＢ^ａ＋ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μＢ^ｃ 

－iｇｆ_ａｂｃｃ~^ｂ(Ｄ_μｃ^ｃ) 

＝∂^νＦ^ａ_νμ－Ｄ_μＢ^ａｃ－iｇｆ_ａｂｃｃ~^ｂ(Ｄ_μｃ^ｃ) 

となります。
 

一方,.{Ｑ_Ｂ,Ｄ_μｃ~^ａ}＝－iδ_ＢＤ_μｃ~^ａ 

＝－Ｄ_μ(iδ_Ｂｃ~^ａ)＋iｇｆ_ａｂｃ(δ_ＢＡ^ｂ_μ)ｃ~^ｃ 

＝Ｄ_μＢ^ａ＋iｇｆ_ａｂｃｃ~^ｂ(Ｄ_μｃ^ｃ)　です。
 

したがって,∂^νＦ^ａ_νμ－ｇＪ^ａ_μ＝{Ｑ_Ｂ,Ｄ_μｃ~^ａ} 

を得ます。　　(注23-4終わり※)
 

この形から、補助条件:Ｑ_Ｂ|ｆ₁＞＝0,Ｑ_Ｂ|ｆ₂＞＝0,を満たす 

任意の物理的状態:|ｆ₁＞,|ｆ₂＞∈Ｖ _Physに対して, 

＜ｆ₁|(∂^νＦ^ａ_νμ－ｇＪ^ａ_μ)|ｆ₁＞＝0　が成立します。
 

すなわち,物理的状態部分空間のＶ _Phys上では行列要素, 

あるいは期待値の意味で,∂^νＦ^ａ_νμ＝ｇＪ^ａ_μです。
 

これは,電磁気学のMaxwell方程式:∂^νＦ^νμ＝ｅｊ^μ 

によく似ていることいから, 

∂^νＦ^ａ_νμ－ｇＪ^ａ_μ＝{Ｑ_Ｂ,Ｄ_μｃ~^ａ}　をMaxwell方程式 

と呼ぶことにします。
 

このMaxwell方程式は,後章で論じる大局的ゲージ不変性 

の自発的破れ,カラー閉じ込めの関係や,Weinberg-Salam 

電弱模型での電荷の普遍性の証明などにおいて重要な 

役割を果たします。
 

大局的ゲ^ジ不変性の他にも,Ｌ~は物質場:Ｌ_matter(φ,Ｄ_μφ) 

も同じ対称性を持てば,基本的離散対称性:Ｃ,Ｐ,Ｔを持って 

います。
 

ここでは,ＣＰＴ対称性のみに触れておきます。
 

物質場:φ_iによるＬ_matter(を不変にするＣＰＴ変換: 

ＣＰＴφ(ｘ)Ｔ^-1Ｐ^-1Ｃ^-1＝φ^ＣＰＴ(ｘ)　に加えて, 

(Ａ^ａ_μ) ^ＣＰＴ(ｘ)＝－Ａ^ａ_μ(－ｘ),(Ｂ^ａ) ^ＣＰＴ(ｘ)＝Ｂ^ａ(－ｘ), 

(ｃ^ａ) ^ＣＰＴ(ｘ)＝－ｃ^ａ(－ｘ),(ｃ~^ａ) ^ＣＰＴ(ｘ)＝ｃ~^ａ(－ｘ), 

を行えば,Ｌ~は不変となります、
 

このときＱ_Ｂ^ＣＰＴ＝Ｑ_Ｂ,Ｑ_ｃ^ＣＰＴ＝Ｑ_ｃ,(Ｑ^ａ) ^ＣＰＴ＝Ｑ^ａと 

変換することにも注意しておきます。
 

途中ですが今日はここまでにします。

(参考文献)：九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

ゲージ場の量子論(22)

「ゲージ場の量子論(21)」からの続きです。
 

※ＢＲＳ電荷 

まず.全系のLagrangian: Ｌ~を再掲します。これは. 

Ｌ~＝－(1/4)Ｆ^ａ_μνＦ^ａμν＋Ｌ_matter(φ,Ｄ_μφ) 

＋Ｌ_ＧＦ＋Ｌ_ＦＰで与えられます。 

ただし.Ｌ_ＧＦ＝－∂^μＢ^ａＡ^ａ_μ＋(α/2)Ｂ^ａＢ^ａ, 

Ｌ_ＦＰ＝－ i(∂^μｃ~^ａ)Ｄ_μｃ^ａです。
 

既に述べたように,このLagrangian:Ｌ~は,ＢＲＳ不変です。 

ＢＲＳ変換:は変換パラメータがｘ^μに依存しないGrassmann数: 

λであったので,1つの大局的変換です。
 

よって,Noetherの定理によって,対応する保存カレント:Ｊ^Ｂ_μ 

と電荷(チャージ):Ｑ_Ｂ＝∫ｄ³ｘＪ^Ｂ₀(ｘ)が存在します。
 

Noetherカレント:Ｊ^Ｂ_μは,δ_ＢＢ^ａ＝0 なので 

λＪ^Ｂ_μ＝{∂Ｌ~/∂(∂^μＡ^ａ_ν)}δ_ＢＡ^ａ_ν＋{∂Ｌ~/∂(∂^μφ_i)}δ_Ｂφ 

＋{∂Ｌ~/∂(∂_μｃ^ａ)}δ_Ｂｃ^ａ＋{∂Ｌ~/∂(∂_μｃ~^ａ_ν)}δ_Ｂｃ~^ａ 

で与えられます。ただし,δ_Ｂ＝λδ_Ｂです。
 

つまり,λＪ^Ｂ_μ＝{∂Ｌ~/∂(∂^μＡ^ａ_ν)}(λＤ_νｃ^ａ) 

＋{∂Ｌ~/∂(∂^μφ_i)}{iｇλｃ^ａ(Ｔ^ａφ)_i} 

＋{∂Ｌ~/∂(∂_μｃ^ａ)}{(λ/2)ｇｆ_ａｂｃｃ^ｂｃ^ｃ} 

＋{∂Ｌ~/∂(∂_μｃ~^ａ_ν)}(iλＢ^ａ)　です。
 

ここで変換パラメータλはGrassmann数で,符号に注意する 

ため,一時的にλを陽に書きました。
 

物質場のカレントの定義:ｊ^ａ_μ＝－ｇ^-1(∂Ｌ_matter/∂Ａ^ａμ) 

＝－i{∂Ｌ_matter/∂(∂^μφ_i)}(Ｔ^ａφ)_iと,運動方程式: 

Ｄ^νＦ^ａ_νμ－ｇｊ^ａ_μ＝∂_μＢ^ａ＋iｇｆ_ａｂｃ∂_μｃ^ｂｃ^ｃを 

用いて上式の左側からλをはずします。
 

Ｊ^Ｂ_μ＝－Ｆ^ａ_μν(∂^νｃ^ａ－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂνｃ^ｃ)＋ｇｊ^ａ_μｃ^ａ 

＋(∂_μｃ^ａ－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ)Ｂ^a 

－(i/2)ｇｆ_ａｂｃ∂_μｃ~^aｃ^ｂｃ^ｃ, 

ここで,ｇｊ^ａ_μ＝－(∂^νＦ^ａ_μν^－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂνＦ^ｃ_μν)－∂_μＢ^ａ 

－iｇｆ_ａｂｃ∂_μｃ^ｂｃ^ｃですから, 

ｇｊ^ａ_μｃ^ａ＝－(Ｄ^νＦ^ａ_μν)ｃ^ａ－(∂_μＢ^ａ)ｃ^ａより. 

Ｊ^Ｂ_μ＝－Ｆ^ａ_μν(Ｄ^νｃ^ａ)－(Ｄ^νＦ^ａ_μν)ｃ^ａ 

－(∂_μＢ^ａ)ｃ^ａ＋(Ｄ_μｃ^ａ)Ｂ^a－(i/2)ｇｆ_ａｂｃ∂_μｃ~^aｃ^ｂｃ^ｃ

です。
 

結局,Ｊ^Ｂ_μ＝＝Ｂ^a(Ｄ_μｃ^ａ) －(∂_μＢ^ａ)ｃ^ａ 

＋(i/2)ｇ(∂_μｃ~^a)(ｃ×ｃ)^ａ－∂^ν(Ｆ^ａ_μνｃ^ａ) 

という簡単な表式を得ます。
 

ただし群の添字;ａを持つ量:Ｆ^ａ,Ｇ^ａに対して, 

(Ｆ×Ｇ)^ａ＝ｆ_ａｂｃＦ^ｂＧ^ｃなる表現を用いました。
 

－∂^ｋ(Ｆ^ａ_0νｃ^ａ)は表面積分で消えるため,この 

大局的対称性変換の保存電荷: Ｑ_Ｂは, 

Ｑ_Ｂ＝∫ｄ³ｘ{Ｂ^a(Ｄ₀ｃ^ａ) －(∂₀Ｂ^ａ)ｃ^ａ 

－(i/2)ｇｆ_ａｂｃ∂₀ｃ~^aｃ^ｂｃ^ｃ}で与えられます。
/  

この保存チャージはNoetherの定理の帰結で, 

Lagrangianを不変に保つ対称性変換の生成子に 

なります。
 

すなわち,[iλＱ_Ｂ,Φ_Ｉ(ｘ)]＝λδ_ＢΦ_Ｉ(ｘ)です。 

ただし,Φ_ＩはＡ^ａ_μ,φi,ｃ^ａ,ｃ~^ａ,Ｂ^ａのどれかを 

意味しδ_ＢΦ_Ｉは,前節で与えたλを省いた全ての 

ＢＲＳ変換を意味します。(※λはGrassmann;奇の数 

なので,Φ_Ｉ(によっては,λをはずずと左辺の交感子は 

反交換子になります。)
 

Ｑ_ＢはＢＲＳ電荷,または,ＢＲＳ演算子と呼ばれます。
 

一方,先に触れたＦＰゴースト数;Ｎ_ＦＰもこの系の保存量です。 

ただ,普通のFermion数とは異なり,対応するのはＬ~の位相 

変換ではばく,次のスケール変換の下での不変量です。 

ｃ^ａ(ｘ) → exp(ρ)ｃ^ａ(ｘ), 

ｃ~^ａ(ｘ) → exp(－ρ)ｃ~^ａ(ｘ)(ρは実数パラメータ)
 

これはゴースト場:ｃ^ａ,ｃ~^ａはHermite(実)であり, 

位相という概念は有り得ないからです。
 

この変換のNoetherカレントは, 

Ｊ^ｃ_μ＝{∂Ｌ~/∂(∂^μｃ^ａ)} exp(ρ)

－{∂Ｌ~/∂(∂^μｃ~^ａ)}exp(－ρ) 

＝－i(∂_μｃ~^ａ)ｃ^ａ＋iｃ~^ａＤ_μｃ^ａ 

＝i{ｃ~^ａＤ_μｃ^ａ－(∂_μｃ~^ａ)ｃ^ａ}であり,
 

保存電荷は,Ｑ_ｃ＝i∫ｄ³ｘ{ｃ~^ａＤ₀ｃ^ａ－(∂₀ｃ~^ａ)ｃ^ａ} 

です。これをＦＰゴースト電荷と呼ぶことにします。
 

これは確かに上記スケール変換の生成子になっています。 

[iＱ_ｃ,ｃ^ａ(ｘ)]＝ｃ^ａ(ｘ),[lＱ_ｃ,ｃ~^ａ(ｘ)]＝－ｃ~^ａ(ｘ) 

これは自明です。
 

この交換関係からＦＰゴースト数演算子;Ｎ_ＦＰは, 

Ｑ_ｃ,のｉ倍と同定されます。Ｎ_ＦＰ＝iＱ_ｃです。 

興味深いことは, ＦＰゴースト電荷:Ｑ_ｃはＢＲＳ電荷:  

Ｑ_Ｂと同じくHermite(実)演算子であることです。 

Ｑ_Ｂ^＋＝Ｑ_Ｂ,および.Ｑ_ｃ^＋＝Ｑ_ｃです。
 

それ故, ＦＰゴースト数演算子:Ｎ_ＦＰ＝iＱ_ｃは,反Hermite 

(純虚数)演算子であるにも関わらず,実数の固有値:ｃ^ａが＋1, 

ｃ~^ａが－1,を持つ,ことを意味します。
 

このように奇妙なことが起こるのは,後で陽に示すように, 

ＦＰゴーストの状態空間が,不定計量を持つからです。
 

Ｑ_Ｂ＝∫ｄ³ｘ{Ｂ^a(Ｄ₀ｃ^ａ) －(∂₀Ｂ^ａ)ｃ^ａ 

－(i/2)ｇｆ_ａｂｃ∂₀ｃ~^aｃ^ｂｃ^ｃ}であり, 

Ｑ_ｃ＝i∫ｄ³ｘ{ｃ~^ａＤ₀ｃ^ａ－(∂₀ｃ~^ａ)ｃ^ａ} 

ですから,これらは次のような簡単な代数を満たします。 

これはＢＲＳ代数と呼ばれます。
 

まず,.(1/2){Ｑ_Ｂ, Ｑ_Ｂ}=Ｑ_Ｂ²＝0 です。 

故に,Ｑ_ＢはGrassmann 奇です。 

また,[iＱ_ｃ,Ｑ_Ｂ]＝Ｑ_Ｂ,[Ｑ_ｃ,Ｑ_ｃ]＝0, です。 

故に,Ｑ_ｃはGrassmann 偶です。
 

ΦがBose場のとき, 

δ_Ｂ²Φ＝{iＱ_Ｂ.[iＱ_Ｂ,Φ]} 

＝－Ｑ_Ｂ(Ｑ_ＢΦ－ΦＱ_Ｂ)－(Ｑ_ＢΦ－ΦＱ_Ｂ)Ｑ_Ｂ 

＝－[Ｑ_Ｂ²,Φ] であり,
 

ΦがFermi場のとき, 

δ_Ｂ²Φ＝[iＱ_Ｂ.{iＱ_Ｂ,Φ}] 

＝－Ｑ_Ｂ(Ｑ_ＢΦ＋ΦＱ_Ｂ)＋(Ｑ_ＢΦ＋ΦＱ_Ｂ)Ｑ_Ｂ 

＝－[Ｑ_Ｂ²,Φ]です。
 

そこで,いずれにしても,Ｑ_Ｂ²＝0は,ＮＲＳ変換の 

ベキ零性:δ_Ｂ²＝0 を意味します。
 

このＱ_Ｂ²＝0 は,Ｑ_Ｂ＝∫ｄ³ｘ{Ｂ^a(Ｄ₀ｃ^ａ) －(∂₀Ｂ^ａ)ｃ^ａ 

－(i/2)ｇｆ_ａｂｃ∂₀ｃ~^aｃ^ｂｃ^ｃ}なる表式から直接示すこと 

もできます。
 

すなわち,2iＱ_Ｂ² 

＝{iＱ_Ｂ,∫ｄ³ｘ[Ｂ^a(Ｄ₀ｃ^ａ)－(∂₀Ｂ^ａ)ｃ^ａ 

－(i/2)ｇｆ_ａｂｃ∂₀ｃ~^aｃ^ｂｃ^ｃ]} 

＝∫ｄ³ｘ[Ｂ^a(δ_ＢＤ₀ｃ^ａ)－(∂₀Ｂ^ａ)δ_Ｂｃ^ａ 

－∂₀(δ_Ｂｃ~^a)(i/2)ｇ(ｃ×ｃ)^ａ]　です。
 

Ｄ₀ｃ^ａ＝δ_ＢＡ^ａ₀,δ_Ｂ²＝0からδ_ＢＤ₀ｃ^ａ＝0 です。
 

故に,.2iＱ_Ｂ²＝－∫ｄ³ｘ[(∂₀Ｂ^ａ)δ_Ｂｃ^ａ 

＋∂₀(δ_Ｂｃ~^a)(i/2)ｇ(ｃ×ｃ)^ａ] 

ところが,Ｂ^ａ＝－iδ_Ｂｃ~^ａなので, 

(∂₀Ｂ^ａ)δ_Ｂｃ^ａ＝-i∂₀ (δ_Ｂｃ~^ａ)(δ_Ｂｃ^ａ)です。
 

一方,(1/2)ｇ(ｃ×ｃ)^ａ＝δ_Ｂｃ^ａなので 

∂₀(δ_Ｂｃ~^a)(i/2)ｇ(ｃ×ｃ)^ａ＝i∂₀(δ_Ｂｃ~^a)(δ_Ｂｃ^ａ),
 

したがって,Ｑ_Ｂ²＝0　を得ました。
 

交換関係:[iＱ_ｃ,Ｑ_Ｂ]＝Ｑ_Ｂ,および,[Ｑ_ｃ,Ｑ_ｃ]＝0,は, 

単に電荷演算子: Ｑ_Ｂ,Ｑ_ｃが,ＦＰゴースト数:Ｎ_ＦＰの 

値として,それぞれ＋1,0を持つことを示しています。
 

最後にＢＲＳ変換のパラメータλが純虚数のGrassman数 

であること:λ^＊＝－λであること,を注意しておきます。
 

実際,任意の演算子;ＯとGrassman数:λの積:λＯのHemite 

共役は,(λＯ)^＋＝Ｏ^＋λ^＋ですから,λ^＊＝－λなら全ての場; 

ΦのHermite性が,ＢＲＳ変換後のΦ'＝Φ＋λδ_ＢΦに 

なっても保持されることが保証されます。
 

例えば,(λδ_ＢＡ^ａ_μ)^＋＝(λＤ_μｃ^ａ)^＋＝(Ｄ_μｃ^ａ)λ^＊ 

＝－λ^＊Ｄ_μｃ^ａですから,－λ^＊＝λならλδ_ＢＡ^ａ_μもＡ^ａ_μ同様 

Hermiteになります。
 

※物理的状態を選ぶ補助条件 

一般に,ゲージ理論を共変ゲージで扱うと必ず,負ノルム 

を持つ粒子が現われます。例えば次節で説明しますが 

Feynmanゲージ(α＝1)でのゲージ場:Ａ^ａ_μ)の自由場 

(または漸近場)の生成・消滅演算子:ａ^ａ＋_μ(ｋ).ａ_ａ(ｋ)は, 

交換関係:[ａ^ａ_μ(ｋ),ａ^ｂ＋_ν(ｑ)]＝－ｇ_μνδ^ａｂδ³(ｋ－ｑ) 

を満たします。
 

Lorentz不変性から,右辺にMinkowski計量:ｇ_μν 

＝diag(1.－1,－1,－1)が出現しますが,これは時間成分 

(第0成分)のゲージ粒子＝添字ａを省略した局所化形で 

ａ^＋₀(ｆ)|0＞＝∫ｄ³ｋｆ(ｋ)ａ^＋₀(ｋ)|0＞で与えられる 

粒子状態が,負ノオルムを持つことを意味します。
 

すなわち,＜0|ａ₀(ｆ)ａ^＋₀(ｆ)|0＞ 

＝∫ｄ³ｋｄ³ｑｆ^＊(ｋ)ｆ(ｑ) ＜0|ａ₀(ｋ)ａ^＋₀(ｑ)|0＞ 

＝－∫ｄ³ｋ|ｆ(ｋ)|^２＜ 0　となります。
 

さらに,今の非可換ゲージ理論ではＦＰゴーストが存在し, 

それらも負ノルムを含み,「スピンと統計の関係」を破る 

奇妙な粒子です。
 

これらの明らかに非物理的な粒子の出現することを禁止し, 

謂わゆる負の確率という困難が生じない,物理的に意味の 

ある理論を得るためには,全状態空間:Ｖ の中から物理的状態: 

|Phys＞をうまく選び出してやる必要があります。
 

可換群:Ｕ(1)に基づくQEDの場合(Lagrangianは,Ｌ~で添字:ａ 

を消し,ｆ_ａｂｃをゼロとしてＦＰゴースト項も落としたもの 

で与えられる。)には,その昔,Gupta-Bleulerが,Feynman 

ゲージのとき,補助条件:(∂^μＡ_μ)^(＋)(ｘ)|Phys＞＝0  

を置いて,物理的部分空間:Ｖ _Phys＝{|Phys＞}を定義し,全て 

うまくいくことを示しました。
 

ただし,(∂^μＡ_μ)の肩の添字:(＋)は,∂^μＡ_μの正振動数部分, 

つまり,消滅演算子部分を表わしています。
 

一方,中西とLautrapは, Gupta-Bleuler条件: 

(∂^μＡ_μ)^(＋)(ｘ)|Phys＞＝0 を,Ｂ^(＋)(ｘ)|Phys＞＝0 という 

補助条件に置き換えるFeynmanゲージ以外でもうまくいくよう 

一般化しました。

ＮＬ場:Ｂ(ｘ)の満たす運動方程式:∂^μＡ_μ＋αＢ＝0 

の関係からα＝0のLandauゲージ以外では,上記中西-Lautrap 

条件がGupta-Bleuler条件に等価であることがわかります。
 

しかしながら,:これらＧＢ条件やＮＬ条件は可換群の場合に 

しかうまくいきません。そもそも正振動数(消滅演算子)部分, 

負振動数(生成演算子)部分の分離というものは自由場の場合 

しかうまく定義できません。
 

一般の群の場合, Ｂ^ａ(ｘ)の満たす運動方程式は, 

Ｄ^νＦ^ａ_νμ－ｇj^ａ_μ＝∂_μＢ^ａ＋iｇｆ_ａｂｃ∂_μｃ^ｂｃ^ｃ 

および,∂^μＤ_μｃ^ａ＝Ｄ^μ∂_μｃ~^ａ＝0 から, 

Ｄ^μ∂_μＢ^ａ＋iｇｆ_ａｂｃ∂_μｃ^ｂＤ^μｃ^ｃ＝0　となります。
 

※(注22-1):Ｄ^μＤ^νＦ^ａ_νμ＝0　は,Ｆ^ａ_νμのν,μについて 

の反対称性から明らかです。
 

また,j^ａ_μ＝－iｇ(Ｄμφ^＋Ｔ^ａφ－φ^＋Ｔ^ａＤ_μφ)ですから 

∂_μj^ａ_μ＝0,かつ,Ｄ_μj^ａ_μ＝0 です。
 

そこで計算によって直ちに, 

Ｄ^μ∂_μＢ^ａ＋iｇｆ_ａｂｃ∂_μｃ^ｂＤ^μｃ^ｃ＝0　が成立すること 

がわかります。
 

∂_μj^ａ_μ＝0,はNoetherの定理により当然成立しなければ 

なりません。 

そして,局所ゲージ不変性が成立し,平坦な空間の微分が∂_μ→ Ｄ_μ 

のように,多様体上の共変微分に変わっても.この保存するという 

性質は不変と思われますから,Ｄ_μj^ａ_μ＝0,の成立は当然でしょう。 

(注22-1終わり※)
 

Ｕ(1)群の場合,ｆ_ａｂｃ＝0 でかつ添字:ａがないので自由場 

の方程式は,□Ｂ(ｘ)＝0 に帰着します。そのため正負振動数 

部分への分離が次のようにできます。
 

すなわち,Ｂ^(＋)(ｘ)＝∫ｄ³ｋｇ_ｋ(ｘ)Ｂ(ｋ), 

Ｂ^(－)(ｘ)＝∫ｄ³ｋｇ_ｋ^＊(ｘ)Ｂ^＋(ｋ)　です。 

ただし,ｇ_ｋ(ｘ)Ｂ＝exp(－iｋｘ)/{(2π)³ｋ⁰}^1/2,ｋ₀=|ｋ| 

です。
 

しかし,一般の非可換群の場合には,Ｂ(ｘ)は, 

Ｄ^μ∂_μＢ^ａ＋iｇｆ_ａｂｃ∂_μｃ^ｂＤ^μｃ^ｃ＝0　のように,複雑な 

相互作用の影響があり,上のような分離はできません。
 

それに,たとえ何らかの方法で正,負振動数部分を定義できた 

,としても,ある時刻で補助条件:Ｂ^(＋)(ｘ)|Phys＞＝0を設定 

したとき,続く時刻でもそれが成立していることが示せません。
 

すなわち,ＧＢ条件やＮＬ条件は可換群以外の場合,時間発展 

とは整合しません。

しかし,驚くべきことに,一般の非可換ゲージ理論の場合にも  

物理的部分空間:Ｖ _Physを定義する補助条件を見出すことが  

できます。 

しかも,ある意味では可換群のそれより簡単な条件です。
 

それは,先に導入したＢＲＳ電荷:Ｑ_Ｂを用いて, 

Ｑ_Ｂ|Phys＞＝0　⇔　|Pys＞∈Ｖ _Physとするわけです。
 

※これは九後・小嶋(1977)によって初めて提唱されました。 

T/Kugo,and I.Ojima Phys.Lett.Vol73B (1978)p.459　)
 

この条件はＱ_ＢがＢＲＳ変換の生成子であり,ＢＲＳ変換が 

「量子的ゲージ変換」であることから,直観的に「物理的状態 

はゲージ不変である。」ことを意味しています。
 

途中ですが,続く話が長くなりそうなので, 

今日はここまでにします。

(参考文献)：九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

訃報！ 野中広務さん

自民党の重鎮で元衆議院議員の野中広務さんが,去る26日に,亡くなられたそうです。　享年92歳でした。

　京都新聞　→　野中広務氏死去92歳

反骨の人,です。自民党ながら戦争反対。。弱者の味方でした。。

ご冥福をお祈りします。合掌！！

ゲージ場の量子論(21)

「ゲージ場の量子論(20)」からの続きです。
 

※あと数日(2月1日)で68歳を迎えますが,今,スラスラと科学記事 

のブログ書いている心境は,まあ,20歳も年を取りジジイとなってる 

のを別にすると約20年前,48歳,平成10年頃の精神状態に似ています、
 

巣鴨のワンルームに蟄居して,非常勤の予備校講師,専門学校講師 

で食いつなぎながら,就活していたけれど一向に定職に付けず, 

それでも,「どうにかなるさ」と,生来の脳天気で,その分金無し 

ヒマありで他にやることもなく,ノンキに読書三昧で,こうした 

テーマのノート作りがとてもはかどっていた時期でした。
 

もっと,アウトドアで生命力が強く生活的にも貪欲で建設的な 

精神ならよかったかも。。と思ったりもしますネ,
 

ＩＴとかも趣味ではなく,就活ではなく,自分で借金しても事業 

を始めてみるとかで,今さらですが,歴史は変わっていたかも。。
 

しかし,仮面ウツ病は続いてたし途中で人生投げ出さずに生きて 

きただけでもマシか？？。。。

結局,妻も子もなく寂しさを犠牲にして自分のためダケにしか

生きてこなかったのですが。。
 

自分が守ってあげる対象とか,生きる動機(motivation)が無いと 

後が少ない余生は精神的に辛いようです。
 

(※§5－2ゲージ場の量子化(経路積分型式)から始まる,この参照 

ノートの作成開始日付も,まさに48歳の終わり頃,1998年12/26(土) 

となってました。)
 

§5-5 ゲージ場の正準量子化；共変的な演算子形式 

※正準量子化(相対論的に共変なゲージで演算子形式 

(operator formalism)での場の量子化)
 

ゲージ固定関数として, Ｆ^ａ＝∂^μＡ^ａ_μ＋(α/2)Ｂ^ａ 

を取ります。そうすると,全系のLagrangianは 

Ｌ~＝－(1/4)Ｆ^ａ_μνＦ^ａμν＋Ｌ_matter(φ,Ｄ_μφ) 

＋Ｌ_ＧＦ＋Ｌ_ＦＰで与えられます。 

ただし.Ｌ_ＧＦ＝－∂^μＢ^ａＡ^ａ_μ＋(α/2)Ｂ^ａＢ^ａ, 

Ｌ_ＦＰ＝－ i(∂^μｃ~^ａ)Ｄ_μｃ^ａです。
 

また,便宜上,Ｌ_ＧＦ＋Ｌ_ＦＰの部分は,前節の表式から, 

部分積分した形に書き直しておきました。
 

まず,正準(反)交換関係を設定するために,共役運動量 

変数を計算します。
 

π^ａμ＝∂Ｌ~/∂Ａ^ａ_μ^d＝Ｆ^ａμ0　 

π^ａ_B＝∂Ｌ~/∂Ｂ^ａd＝－Ａ^ａ₀　 

πⁱ_φ＝∂Ｌ~/∂φ_i^d, 

π^ａ_ｃ＝∂Ｌ~/∂ｃ^ａd＝－iｃ~^ａd, 

π^ａ_ｃ~＝∂Ｌ~/∂ｃ~^ａd＝i(ｃ^ａd－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ₀ｃ^ｃ） 

です。
 

ここでは(Ａ₀,Ｂ)セクターのみが特異で1次拘束条件: 

φ^ａ₁＝π^ａ0＝0,φ^ａ₂＝π^ａ_B＋Ａ^ａ₀～ 0 を与えますが,他は 

全て普通(正則)です。
 

ゲージ固定条件が無かった以前の拘束条件とは異なり, 

今の場合,Poissom括弧は, 

[φ^ａ₁(ｘ),φ^ｂ₂(ｙ)]_P.B.＝－δ^ａｂδ³(ｘ－ｙ)≠0で 

あり,φ^ａ=[φ^ａ₁φ^ａ₂,]は第2類の拘束条件です。
 

したがって,これらの拘束条件の時間発展の無矛盾性の 

要求は,φ^ｂ_ｋ^d(ｙ) ～ [φ^ａb₁(ｙ),Ｈ]_P.B.＋∫ｄ³ｘ 

[φ^ｂ_ｋ^d(ｙ),φ^ａ₁(ｘ)λ^ａ₁(ｘ)＋φ^ａ₂(ｘ)λ^ａ₂(ｘ)] _P.B ～ 0 

(ｋ＝1,2)で,単に未定係数：λ^ａ₁(ｘ),λ^ａ₂(ｘ)を決める 

非特異な方程式に過ぎず,さらに,これ以上の拘束条件 

は現われません。
 

すなわち,第1類拘束条件は出現せず,ゲージはうまく 

固定されています。
 

そこで,Dirax括弧の定義:[Ｆ,Ｇ] _D ＝[Ｆ,Ｇ]_P.B. 

＋[Ｆ,φ_α]_P.B(Ｃ^-1)_αβ[φ_α,Ｇ]_P.B. 

(ただし,Ｃ_αβ＝[φ_α,φ^β]_P.B. ) 

に基づいて(Ａ₀,Ｂ)セクターのDirax括弧を計算 

すると,
 

[Ｂ^ａ(ｘ,ｔ),－Ａ^ｂ₀(ｙ,ｔ)]_D ～[Ｂ^ａ(ｘ,ｔ),π^ｂ_B(ｙ,ｔ)]_D 

～ －δ^ａｂδ³(ｘ－ｙ),  

[Ａ^ａ₀(ｘ,ｔ),Ａ^ｂ₀(ｙ,ｔ)]_D ～[Ｂ^ａ(ｘ,ｔ),Ｂ^ｂ(ｙ,ｔ)]_D 

～ 0 となります。
 

※(注21-1); Dirax括弧計算結果の証明です。 

まず,[φ^ａ₁(ｘ),φ^ｂ₂(ｙ)]_P.B.＝－δ^ａｂδ³(ｘ－ｙ)なので, 

α＝(ａ,ｋ),β＝(ｌ,ｂ)(ｋ,ｌ＝1,2)とするとき, 

(Ｃ^-1)_αβ＝Ｃ_αβです。したがって,[Ｆ,Ｇ] _D ＝[Ｆ,Ｇ]_P.B. 

＋[Ｆ,φ_α]_P.BＣ_αβ[φ_α,Ｇ]_P.B. でDirax括弧が計算 

できます。
 

まず,[Ｂ^ａ,－Ａ^ｂ₀] _D ＝[Ｂ^ａ,－Ａ^ｂ₀]_P.B. 

－[Ｂ^ａ,π^ｃ0]_P.Bδ^ｃｄδ³(ｘ－ｙ)[π^ｄ_B＋Ａ^ｄ₀,－Ａ^ｂ₀]_P.B.  

＋[Ｂ^ａ,π^ｃ₀＋Ａ^ｃ₀]_P.Bδ^ｃｄδ³(ｘ－ｙ)[π^ｄ0,－Ａ^ｂ₀]_P.B. 

です。
 

ところが, [Ｂ^ａ,－Ａ^ｂ₀]_P.B.～０, [Ｂ^ａ,π^ｃ0]_P.B. ～ 0, 

 [π^ｄ_B＋Ａ^ｄ₀,－Ａ^ｂ₀]_P.B. ～ 0,  

[Ｂ^ａ,π^ｃ₀＋Ａ^ｃ₀]_P.B.＝δ^ａｃδ³(ｘ－ｙ). 

[π^ｄ0,－Ａ^ｂ₀]_P.B. ＝δ^ｃｂδ³(ｘ－ｙ).です。
 

それ故,[Ｂ^ａ,－Ａ^ｂ₀] _D  ～ δ^ａｂδ³(ｘ－ｙ),を得ます。
 

次に,[Ｂ^ａ,π^ｂ_B] _D＝[Ｂ^ａ,π^ｂ_N]_P.B. 

－[Ｂ^ａ,π^ｂ0]_P.Bδ^ｃｄδ³(ｘ－ｙ)[π^ｄ_B＋Ａ^ｄ₀,π^ｂ_B]_P.B.  

＋[Ｂ^ａ,π^ｃ₀＋Ａ^ｃ₀]_P.Bδ^ｃｄδ³(ｘ－ｙ)[π^ｄ0,π^ｂ_B]_P.B. 

です。
 

ところが, [Ｂ^ａ,π^ｂ_B]_P.B.～δ^ａｂδ³(ｘ－ｙ), 

[Ｂ^ａ,π^ｃ0]_P.B. ～ 0,[π^ｄ_B＋Ａ^ｄ₀,π^ｂ_B]_P.B. ～ 0,  

[Ｂ^ａ,π^ｃ₀＋Ａ^ｃ₀]_P.B. ～ 0.,[π^ｄ0,π^ｂ_B]_P.B. ～ 0.です。
 

それ故,[Ｂ^ａ,π^ｂ_B] _D  ～ δ^ａｂδ³(ｘ－ｙ),を得ます。
 

また,[Ａ^ａ₀,Ａ^ｂ₀]_D＝[Ａ^ａ₀,Ａ^ｂ₀]_P.B. 

－[Ａ^ａ₀,π^ｃ0]_P.Bδ^ｃｄδ³(ｘ－ｙ)[π^ｄ_B＋Ａ^ｄ₀,Ａ^ｂ₀]_P.B.  

＋[Ａ^ａ₀,π^ｃ₀＋Ａ^ｃ₀]_P.Bδ^ｃｄδ³(ｘ－ｙ)[π^ｄ0,Ａ^ｂ₀]_P.B. 

～0　および, 

[Ｂ^ａ,Ｂ^ｂ]_D＝[Ｂ^ａ,Ｂ^ｂ]_P.B. 

－[Ｂ^ａ,π^ｃ0]_P.Bδ^ｃｄδ³(ｘ－ｙ)[π^ｄ_B＋Ａ^ｄ₀,Ｂ^ｂ]_P.B.  

＋[Ｂ^ａ,π^ｃ₀＋Ａ^ｃ₀]_P.Bδ^ｃｄδ³(ｘ－ｙ)[π^ｄ0,Ｂ^ｂ]_P.B. 

～0は明白です。　(注21-2終わり※)
 

このDirac括弧式自体は,(Ａ₀,Ｂ)セクターでは,Ｂ_ａのみを座標 

変数として,－Ａ^ａ₀はＢ_ａのに共役な運動量π^ａ_Bに同等はので, 

さらにＡ^ａに共役な変数を求めることはしない,というやり方 

(簡便法)で求まる普通のPoisson括弧と同じです。
 

(※一般に,Lagrangianに時間微分が1箇所Ｑｑ^dの形でしか 

現われていない変数の組:(ｑ,Ｑ)に対し,ｑを座標変数,Ｑを 

それに共役な運動量変数とみなす簡便括弧計算法が成り立ち, 

Dirac流の面倒なDirac括弧の計算と同じ結果を与えます。)
 

実は,物質場の部分でもDirac場:ψがあれば.(ψ,ψ^＋)に 

対しても同じ事情が存在します。

すなわち,「Dirac場の作用積分で一部部分積分したもの： 

Ｓ＝∫ｄ⁴ｘ{(1－α)ψ~γ^μ∂_μψ－α(∂_μψ~)γ^μψ－ｍψ~ψ} 

(αは任意パラメータ)を出発点の作用積分とし, ψ,ψ^＋を共に 

独立な座標変数と考えて,前に論じた特異系の量子化の手続きを 

遂行すれば,Dirac括弧を通して得られるψ,ψ^＋の反交換関係は。 

単にα＝0の作用積分でψを座標変数:iψ^＋を(座標変数と思わず) 

ψに共役な運動量変数とみなす,以前にDirac場を正準量子化 

したときの簡便量子化法の結果と一致します。
 

※(注21-2):Ｌ＝(1－α)ψ~γ^μ∂_μψ－α(∂_μψ~)γ^μψ－ｍψ~ψ 

から,π_ａψ＝∂Ｌ/∂ψ_a^d＝i(1－α)ψ^＋_ａ,π_ψａ＋＝∂Ｌ/∂ψ^＋_ａ^d 

＝iαψ_ａ,そして,このＬは特異系であり, 

φ_ａ1＝π_ａψ－i(1－α)ψ_ａ^＋＝0,,および, 

φ_ａ2＝π_ａψ＋－iαψ_ａ＝0,,は1次の拘束条件です。
 

これらは全てGrassmann数ですがPoisson括弧は 

[φ_ａ1(ｘ),φ_ｂ2(ｙ)]_P.B. 

＝－iαδ_ａｂδ³(ｘ－ｙ) －i(1－α) δ_ａｂδ³(ｘ－ｙ) 

＝－iδ_ａｂδ³(ｘ－ｙ),および, 

[φ_ａ1(ｘ),φ_ｂ1(ｙ)]_P.B. ＝[φ_ａ2(ｘ),φ_ｂ2(ｙ)]_P.B. ＝0 

です。そこで全体として第2類拘束です。
 

Dirac括弧の係数行列Ｃとしては,Ｃ^-1＝Ｃですから, 

Ｆ,ＧをGrassmann数として,[Ｆ,Ｇ]_D＝[Ｆ,Ｇ]_P.B. 

－[Ｆ,φ_α]_P.B. Ｃ_αβ[φ_ａ1α,Ｇ]_P.B. と書けます。
 

ψ_ａ,ψ^＋_ｂを独立な座標変数と見る立場では,そのPoisson括弧 

はゼロですから,[ψ_ａ(ｘ),ψ^＋_ｂ(ｙ)]_D＝[ψ_ａ(ｘ),ψ^＋_ｂ(ｙ)] _P.B. 

＋∫ｄ³ｗｄ³ｚ[ψ_ａ(ｘ), π_ｃψ(ｗ)－i(1－α)ψ^＋_ｃ(ｗ)]_P.B.  

iδ_ｃｄδ³(ｗ－ｚ)[π_ｄψ＋(ｚ)－iαψ_ｄ(ｚ),ψ^＋_ｂ(ｙ)]_P.B. 

－∫ｄ³ｗｄ³ｚ[ψ_ａ(ｘ), π_ｃψ＋(ｗ)－iαψ_ｃ(ｗ)]_P.B.  

iδ_ｃｄδ³(ｗ－ｚ)[π_ｄψ(ｚ)－i(1－α)ψ^＋_ｄ(ｚ),ψ^＋_ｂ(ｙ)]_P.B. 

＝ 0 ＋∫ｄ³ｗｄ³ｚδ³(ｘ－ｗ)iδ³(ｗ－ｚ)}{－δ³(ｚ－ｙ)}－ 0 

＝－iδ³(ｘ－ｙ)　を得ます。
 

同様にして,[ψ_ａ(ｘ),ψ_ｂ(ｙ)]_D＝[ψ^＋_ａ(ｘ),ψ^＋_ｂ(ｙ)]_D＝0 

も得られますが,詳細は省略します。
 

よってi[Ｆ,Ｇ] _D →{Ｆ,Ｇ}＝ＦＧ＋ＧＦというFermionの 

量子化を行えば,簡便法で,π_ａψ＝iψ^＋_ａ,とした正準反交換関係 

{π_ａ(ｘ),ψπ_ｂψ(ｙ)]＝iδ³(ｘ－ｙ). 

{ψ_ａ(ｘ),ψ_ｂ(ｙ)}]_D＝{π_ａψ(ｘ),π_ｂψ(ｙ)}＝0 

に一致する結果を得ます。　(注21-2終わり※)
 

Poisson括弧,またはDirac括弧を(－i)倍して 

(反)交換関係に置き換える通常の量子化の手続きに 

従って、演算子に対する次の正準(反)交換関係が 

得られます。
 

[Ａ^ａ_ｊ(ｘ,ｔ),π^ｂｋ(ｙ,ｔ)]＝iδ^ａｂδ³(ｘ－ｙ) 

[Ａ^ａ₀(ｘ,ｔ),Ｂ^ｂ(ｙ,ｔ)]＝iδ^ａｂδ³(ｘ－ｙ) 

[φ_i(ｘ,ｔ),π_φ^j(ｙ,ｔ)]＝iδ_i^jδ³(ｘ－ｙ) 

{ｃ^ａ(ｘ,ｔ),π_ｃ^ｂ(ｙ,ｔ)]＝{ｃ~^ａ(ｘ,ｔ),π_ｃ^ｂ(ｙ,ｔ)] 

＝iδ^ａｂδ³(ｘ－ｙ)であり,その他の組合わせは,可換,または 

反可換です。
 

物質場:φ_iについて[ , }なる記号を用いたのは,Bose粒子か 

Fermi粒子かに応じて交換関係か反交換関係を対応させると 

いう意味です。
 

ＦＰゴースト;ｃ^ａ,および,反ゴースト:ｃ~^ａについては, 

Fermi粒子として量子化すべく反交換関係を設定しました。
 

そして,ｃ^ａ,ｃ~^ａは,全ての物質場のFermion場とも反可換で 

あると約束をとることにしておきます。
 

一般に対称性変換につながらない２種のFermion場の間では, 

Klein変換と呼ばれる変換を用いて同時刻で可換にも反可換 

にもすることがでみます。すなわち,
 

「Fermion場:ψに対し,[Ｎ,ψ]＝－ψ,[Ｎ,ψ^＋]＝ψ^＋ 

を満たす演算子:ＮをΨの個数演算子と呼びますが,今,２種の 

Fermion場:ψ_i(i＝1,2))が同時刻正準反交換関係: 

{ψ_i(ｘ,ｔ),ψ^＋_j(ｙ,ｔ)}＝δ_ijδ³(ｘ－ｙ), 

{ψ_i(ｘ,ｔ),ψ_j(ｙ,ｔ)}＝{ψ^＋_i(ｘ,ｔ),ψ^＋_j(ｙ,ｔ)}＝0 

を満たしているとき,
 

Ｎ_iをψ_iの個数演算子として,次のKlein変換: 

Ψ_１(ｘ)＝ψ_１(ｘ),Ψ₂(ｘ)＝exp(iπＮ₁)ψ₂(ｘ) 

で定義される新しい場:Ψ_１(i＝1,2)は.Ψ_１自身のそれぞれの 

正準反交換関係は元と同じですが, 

Ψ₁とΨ₂の間は元の反可換則でなくて可換則になる。」

という命題が,成立します。
 

※(注21-3):上記命題の証明です。 

まず,{Ψ₁(ｘ,ｔ),Ψ^＋₁(ｙ,ｔ)}＝δ³(ｘ－ｙ), 

{Ψ₁(ｘ,ｔ),Ψ₁(ｙ,ｔ)}＝{Ψ^＋₁(ｘ,ｔ),Ψ^＋₁(ｙ,ｔ)}＝0 

は自明です。
 

次に,Ψ₂(ｘ)＝exp(iπＮ₁)ψ₂(ｘ)より, 

Ψ^＋₂(ｘ)＝ψ^＋₂(ｘ)exp(－iπＮ₁）なので, 

 Ψ^＋₂(ｘ)Ψ₂(ｘ)＝ψ^＋₂(ｘ)ψ₂(ｘ)　です。
 

また,Ｎ₁はΨ^＋₁とΨ₁の双1次形式と考えられるので, 

Ｎ₁自身はψ₂(ｘ)ψ₂^＋(ｘ)と可換です。
 

故に,Ψ₂(ｘ)Ψ^＋₂(ｘ)＝exp(iπＮ₁)ψ₂(ｘ)ψ^＋₂(ｘ)exp(－iπＮ₁） 

＝ψ₂(ｘ)ψ₂^＋(ｘ)ですから, 

ψ₂(ｘ)ψ₂^＋(ｘ)＝－ψ₂(ｘ)ψ₂^＋(ｘ)＋δ³(ｘ－ｙ)によって, 

{Ψ₂(ｘ),Ψ^＋₂(ｘ)}＝δ³(ｘ－ｙ)です。
 

同様に,{Ψ₂(ｘ),Ψ₂(ｘ)}＝{Ψ^＋₂(ｘ),Ψ^＋₂(ｘ)}＝0 です。
 

一方, [Ｎ₁,Ψ₁]＝－Ψ₂より, Ψ₁Ｎ₁＝(Ｎ₁＋1)Ψ₁, 

 Ψ₁Ｎ₁²＝(Ｎ₁＋1)Ψ₁Ｎ₁＝(Ｎ₁＋1)²Ψ_1..etc. 

故に, Ψ₁exp(iπＮ₁)＝exp{iπ(Ｎ₁＋1)}Ψ₁ 

＝－exp(iπＮ₁)ψ₁です。
 

Ψ₁(ｘ)Ψ₂(ｘ)＝Ψ₁(ｘ)exp(iπＮ₁)ψ₂(ｘ) 

＝－exp(iπＮ₁)ψ₁(ｘ)ψ₂(ｘ)＝exp(iπＮ₁)ψ₂(ｘ)ψ₁(ｘ) 

＝Ψ₂(ｘ)Ψ₁(ｘ),つまり, [Ψ₁(ｘ),Ψ₂(ｘ)]＝0を得ます。
 

同様に, exp(－iπＮ₁)Ψ₁^＋＝－Ψ₁^＋exp(－iπＮ₁)より, 

[Ψ^＋₁(ｘ),Ψ^＋₂(ｘ)]＝0です。さらに, 

[Ψ₁(ｘ),Ψ^＋₂(ｘ)]＝[Ψ^＋₁(ｘ),Ψ₂(ｘ)]＝0　も成立します。 

(証明終わり)　　　　　(注21-3終わり※)
 

さて,Ｌ~＝Ｌ(Ａ,φ)＋Ｌ_ＧＦ＋Ｌ_ＦＰを持つ系はもはや特異系 

ではないので,既述の正準(反)交換関係を用いてHeisemberg 

の方程式を求めれば,これらは,L~から直接導かれる次の 

Euler-Lagrabge方程式に一致するはずです。
 

まず,∂Ｌ~/∂Ａ^ａ_μ－∂_νＬ~/∂(∂_νＡ^ａ_μ)}＝0　より, 

－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_νＦ^ｃνμ＋∂_νＦ^ａνμ－∂^μＢ^ａ 

－iｇｆ_ａｂｃ∂^μｃ~^ｂｃ^ｃ＋∂Ｌ_matter/∂Ａ^ａ_μ＝0　より,  

Ｄ^νＦ^ａ_νμ－ｇｊ^ａ_μ＝∂_μＢ^ａ＋iｇｆ_ａｂｃ∂_μｃ~^ｂｃ^ｃ 

です。
 

次に,∂Ｌ~/∂Ｂ^ａ－∂_μＬ~/∂(∂_μＢ^ａ)}＝0 より, 

∂^μＡ^ａ_μ＋αＢ^ａ＝0　です。
 

∂Ｌ~/∂ｃ^ａ－∂_μＬ~/∂(∂_μｃ^ａ)}＝0 より, ∂^μＤ_μｃ^ａ＝ 0 

(右微分でも左微分でも同じです。)　また, 

∂Ｌ~/∂ｃ~^ａ－∂_μＬ~/∂(∂_μｃ~^ａ)}＝0 より,∂^μｃ~^ａＤ_μ＝ 0 

∂^μＤ_μｃ^ａ＝∂^μＤ_μｃ~^ａ＝ 0　です。
 

ただし,物質場のカレント:ｊ^ａ_μ＝は, 

ｊ^ａ_μ＝－ｇ^-1(∂Ｌ_matter/∂Ａ^ａμ) 

＝－i{∂Ｌ_matter/∂(∂^μφ_i)}(Ｔ^ａφ)_i 

この最後の等式は,Ｌ_matteにＡ_μと∂_μφが.必ず共変微分: 

Ｄ_μφ＝(∂_μ＋iｇＡ^ａ_μＴ^a)φの組合わせでのみ,含まれて 

いるから成立します。
 

ここで,これまではっきりと述べなかったＦＰゴースト場 

のHermiteに関して注意しておきます。
 

すなわち,Ｌ_ＦＰをHermiteにするためには,ｃ^ａとｃ~^ａは,, 

共にHermite(実)演算子である必要があります。 

ｃ^ａ＋(ｘ)＝ｃ^ａ(ｘ), ｃ~^ａ＋(ｘ)＝ｃ~^ａ(ｘ)　です。
 

ゲージ場:Ａ^a_μや,Ｂ^ａもHermite演算子とし,他の物質場：φ_i 

のHermite性については.通常のものと同じとしておきます。
 

こうすれば,ＦＰゴーストのLagrangian:Ｌ_ＦＰ,それ故,全系の 

Lahrangian:Ｌ~がHermiteになります。 

Ｌ_ＦＰ^＋＝Ｌ_ＦＰ, Ｌ~^＋＝Ｌ~です。
 

このことの最も重要な帰結は,全系のHamiltonian:ＨがHermite 

演算子になり,それ故,系の時間発展の演算子:expi(－iＨｔ)が, 

ユニタリ(unitary)演算子になるということです。
 

このことは特に無限の過去の状態から,無限の未来の状態への 

遷移を記述するＳ行列演算子がユニタリ(unitary)であること 

を意味します。Ｓ^＋Ｓ＝ＳＳ^＋＝1です。(※確率保存の条件)
 

この条件が,後述するＳ行列:Ｓ_physのユニタリ性の証明の基礎 

となります。
 

今日はここまでにします。
 

(参考文献)：九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

ゲージ場の量子論(20)

「ゲージ場の量子論(19)」からの続きです。
 

※秋には台風の中を通院した,悪い星の下に生まれた,雨男,雪男 

は２か月に1回だけの予約外来通院で,23日には雪で凍った道 

の上,苦労して病院に行って来ました。疲れる！まだ生きてる！！
 

§5-4 ＢＲＳ対称性 

前節で得られた共変ゲージでの経路積分表式に基づき, 

非可換ゲージ理論は,t'Hooft(トフフト)を初めとする人々 

によりくり込み可能性やユニタリ性の証明,漸近的自由性 

の発見など,大きく発展させられました。
 

その発展が一息ついた頃,Becchi(ベッキ),Ronet(ルネ), 

Stora(ストラ)の３人は,前節のLagrangian密度:Ｌ~がある 

奇妙な変換の下で不変であることに気付きました。
 

この変換はパラメータがGrassmann数であり,２回続けて行う 

とゼロになる(ベキ零世)という特殊な性質を持っているもので. 

今日,ＢＲＳ変換と呼ばれています。
 

ゲージ理論の量子系のLagrangian密度:Ｌ~のＢＲＳ対称性は 

非常に基本的なもので,歴史的には先行していたゲージ固定  

の方法.くり込み可能性,ユニタリ性の証明など,ゲージ理論  

の構造全般に関して,大変透徹した理解を与えます。

そこで,ここではそのような理論の歴史的順序を全く逆転して 

局所ゲージ不変な理論から出発して,まず,ＢＲＳ変換を構成し  

次にそれに基づいてゲージ固定の手続きを行ない,量子論的な  

Lagrangian:Ｌを得るという順序で話をします。

すなわち,出発点は古典的な場のゲージ変換と,その下で不変 

な古典的Lagrangian:Ｌであって、前節のFadeev-popovの 

ゲージ固定処方や量子化の知識を全く前提にしません。
 

むしろ,ＦＰゴースト場:ｃ^ａ.ｃ~^ａや中西-Lautrap場(ＮＬ場):Ｂ^ａ 

なるものは、第１ステップのＢＲＳ変換によって導入されます。
 

また,第２ステップは「ＢＲＳ変換によるゲージ固定処方」も, 

実は元の,Fadeev-popovのそれより,ずっと一般的なものを 

与えることがわかります。
 

もちろん,歴史的にはFadeev-popovの仕事なくして;ＢＲＳ 

変換の発見は有り得なかったわけではありますが。。。
 

※ＢＲＳ変換の構成 

Yang-Mills場の古典論,すなわち,前節の古典的Lagrangian 

密度:Ｌ(Ａ,φ)と場のゲージ変換を出発点としてＢＲＳ変換 

をどのように構成するか,その構成法を,やや天下り的に,  

与えることにします。
 

この構成法は,しかし,任意の局所ゲージ不変な系に対して 

適用できるもので,他の系への適用の仕方が明らかになる 

ような形で述べます。
 

ⅰ) まず,元々のゲ^ジ不変なLagrangian密度:Ｌ(Ａ,φ) 

に現われているゲージ場:Ａ^ａ_μと物質場:φ_iに対して, 

ＢＲＳ変換は,元の無限小ゲージ変換において,単に,その 

無限小変換パラメータ:θ^ａ(ｘ)をGrassmann数パラメータ: 

λとＦＰゴーストがｃ^ａ(ｘ)の積で置き換えて, 

θ^ａ(ｘ) → λｃ^ａ(ｘ)　とすれば得られます。
 

すなわち,δ_Ｂφ(ｘ)＝－iｇλｃ^ａ(ｘ)(Ｔ^ａ)_ijφ_ｊ(ｘ), 

δ_ＢＡ_μ(ｘ)＝λ{∂_μｃ^ａ(ｘ)－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μ(ｘ)ｃ^ｃ(ｘ)} 

＝λＤ^μｃ^ａ(ｘ)　です。
 

この天下り的構成法では,θ^ａ(ｘ) → λｃ^ａ(ｘ)の手続き 

でＦＰゴースト場は導入されるので,その)個数や添字は, 

一般に局所ゲージ変換パラメータのそれに等しいことに 

なります。
 

(※普通,変換パラメータ:θ^ａ(ｘ)は可換なｃ-数なので, 

θ^ａ(ｘ) → λｃ^ａ(ｘ)でλがGrassmann数なら,それは 

ｃ^ａ(ｘ)がGrassman 奇の量であることを意味します。
 

変換パラメータ自身がGrassmann数である超対称性ゲージ  

変換の場合は,逆にＦＰゴースト場:ｃ^ａ(ｘ)はGrassmann  

偶の量となります。)
 

Grassmannn数:λはＢＲＳ変換の大局的(ｘに依らない) 

変換パラメータです。

　この変換パラメータ:λを省いた形のＢＲＳ変換:  

δ_Ｂ,つまりδ_Ｂ＝λδ_Ｂもしばしな有用であり,これは,  

行列記法:ｃ(ｘ)＝ｃ^ａ(ｘ)Ｔ^ａ,Ａ_μ(ｘ)＝Ａ^ａ_μ(ｘ)Ｔ^ａ

を使ってδ_ＢΦ(ｘ)＝－iｇｃ(ｘ)φ(ｘ),  

δ_ＢＡ_μ(ｘ)＝∂_μｃ(ｘ)－iｇ[ｃ(ｘ),Ａ_μ(ｘ)]  

で与えられます。
 

Grassmannn数:λをはずしたので,δ_Ｂは演算規則として 

Grassmannn奇の量(Fermion)を跳び越すとき(－)符号 

を出します。
 

すなわち,δ_Ｂ(ＦＧ)＝()Ｇ＋(－)^|Ｆ{Ｆδ_ＢＧ
 

ⅱ)(ⅰ)の続きで,導入されたＦＰゴースト場;ｃ^ａ(ｘ) 

のＢＲＳ変換は,物質場:φ_iやゲージ場:Ａ_μの上での２回 

ＢＲＳ変換がゼロになるように決めます。
 

すなわち,φ_iやＡ_μの上でベキ零性:δ_Ｂ²＝0 が成り立つことを要請 

します。
 

物質場:φの上でのベキ零性の要求は,0＝δ_Ｂ(δ_Ｂφ) 

＝－δ_Ｂ(iｇｃφ)＝－iｇ{(δ_Ｂｃ)φ－ｃδ_Ｂφ} 

＝－iｇ{(δ_Ｂｃ)＋ｃ(iｇｃ)}φ
 

任意の物質場;φに対してこれが成立するので 

ＦＰゴースト場のＢＲＳ変換は, 

δ_Ｂｃ(ｘ)＝－iｇｃ²(ｘ)　です。
 

これをｃ(ｘ)＝ｃ^ａ(ｘ)Ｔ^ａ,の成分ｃ^ａ(ｘ)で表示すれば, 

ｃ^ａが反交換量なので, 

ｃ²＝(1/2)ｃ^ａｃ^ｂ[Ｔ^ａ, Ｔ^ｂ] ＝(i/2)ｆ_ａｂｃｃ^ａｃ^ｂＴ^ｃより, 

δ_Ｂｃ^ａ(ｘ)＝(1/2)ｆ_ａｂｃｃ^ｂ(ｘ)ｃ^ｃ(ｘ)　となります。
 

ⅲ)上では物質場の上でのベキ零性:δ_Ｂ²φ＝0 から, 

δ_Ｂｃ(ｘ)＝－iｇｃ²(ｘ)を導きましたが,これによって, 

ゲージ場の上でのベキ零性:δ_Ｂ²Ａ_μ＝0 も自動的に 

満たされていることを確かめることができます。
 

※(注20-1):何故なら,δ_ＢＡ_μ＝∂_μｃ－iｇ[ｃ,Ａ_μ] 

なのでδ_Ｂ(δ_ＢＡ_μ)＝∂_μδ_Ｂｃ_μ 

－iｇ{(δ_Ｂｃ)Ａ_μ(－ｃ(δ_ＢＡ_μ)－(δ_ＢＡ_μ)ｃ－(δ_Ｂｃ)Ａ_μ} 

＝∂_μδ_Ｂｃ_μ＝－∂_μ(iｇｃ²)＝－iｇ{(∂_μｃ)ｃ＋ｃ(∂_μｃ)} 

＝0　です。(注20-1終わり※)
 

もう1つ確認すべき,自明でない点はＦＰゴーストｃの変換則: 

δ_Ｂｃ＝－iｇｃ²から,ゴースト自身の上でのベキ零性:δ_Ｂ²ｃ＝0 

が満たされるかどうか？ということです。
 

しかし,幸い,これは次のように容易に確かめることができます。 

すなわち,δ_Ｂｃ＝－iｇｃ²より,δ_Ｂ(δ_Ｂｃ)＝－iｇδ_Ｂ(ｃｃ) 

＝－iｇ{(δ_Ｂｃ)ｃ－(δ_Ｂｃ)ｃ＝(iｇ)²{ｃ²ｃ－ｃｃ²}＝0　 

です。
 

ⅳ)最後に,ＦＰゴースト場:ｃ^ａ(ｘ)の1個1個に対応して 

反ゴースト場:ｃ~^ａ(ｘ)を導入して,そのＢＲＳ変換として 

ＮＬ場:Ｂ^ａ(ｘ)のｉ倍を定義します。
 

すなわち,δ_Ｂｃ~^ａ(ｘ)＝ｉＢ^ａ(ｘ)です。
 

さらにδ_Ｂ²ｃ~^ａ＝0 を要請すれば,ＮＬ場:Ｂ^ａ(ｘ)の 

ＢＲＳ変換が δ_ＢＢ^ａ(ｘ)＝0 と決まるので,ベキ零性: 

δ_Ｂ²＝0 が新しい場:ｃ~^ａ,Ｂ^ａの上でも成立すること 

になります。
 

以上がＢＲＳ変換の構成法の全てです。この構成法により 

明らかにＢＲＳ変換は,常にベキ零性:δ_Ｂ²＝0 を示します。
 

※Lagrangian段階でのゲージ固定処方 

ＢＲＳ変換が構成されると,ゲージ不変な古典場のLagrangian: 

Ｌ(Ａ,φ)に対して,次のように非常に簡単で,かつ一般的な 

ゲージ固定の処方を与えることができます。
 

まず,ゴースト場:ｃ^ａに－1,反ゴースト場:ｃ~^ａに＋1を付与 

する加法的量子数;Ｎ_ＦＰを定義して,これをゴースト数と 

呼ぶことにします。(※したがって,ｃｃとｃ~ｃは,それぞれ, 

ゴースト数:Ｎ_ＦＰが,－2と0です。)
 

次に,ースト数がゼロであるような場の関数:Ｆ^ａ(Ａ,φ,ｃ,ｃ~Ｂ) 

をゲージ変換パラメータ:θ^ａと同じ数だけ任意に選んで設定します。
 

そして,Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝－iδ_Ｂ(ｃ~^ａＦ^ａ)と定義しこれを(ゲージ固定項, 

＋Fadeev-popov項)として,元のゲージ不変なLagrangian: 

Ｌ(Ａ,φ)に加えます。これが,今,与えたＢＲＳ変換に基づくゲージ 

固定処方の全てです。
 

関数:Ｆ^ａはゲージ固定関数(gauge fixing function)と呼ばれます。 

Ｆ^ａは.全く任意といっても,もちろんゲージを完全に固定するもの, 

という制限があります。
 

こうして,元のゲージ不変なLagrangianにゲージ固定項, 

＋Fadeev-popov項を加えたもの: 

Ｌ~(Ａ,φ,ｃ,ｃ~Ｂ)＝Ｌ(Ａ,φ)＋Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}(Ａ,φ,ｃ,ｃ~Ｂ) 

が量子論におけるLagrangianとなります。
 

ゲージ固定というからには,このＬ~では,局所ゲージ不変性は 

全て失われていて,もはや第1類拘束条件を1つも導かない, 

というようなＦ^ａの選択でなければなりません。
 

1つの例として,ゲージ固定関数を,Ｆ^ａ＝∂^μＡ^ａ_μ＋(α/2)Ｂ^ａ 

(αはゲージパラメータ)と取ってみます。
 

そうすると,ＢＲＳ変換則によって 

Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝－iδ_Ｂ[ｃ~^ａ{∂^μＡ^ａ_μ＋(α/2)Ｂ^ａ}] 

＝Ｂ^ａ{∂^μＡ^ａ_μ＋(α/2)Ｂ^ａ}＋iｃ~^ａ(∂^μＤ_μｃ^ａ) 

＝Ｂ^ａ(∂^μＡ^ａ_μ)＋(α/2)Ｂ^ａＢ^ａ＋iｃ~^ａ∂^μＤ_μｃ^ａ 

となり,結局,前節の(Ｌ_ＧＦ＋Ｌ_ＦＰ)を再現しました。
 

一般にゲージ固定関数:Ｆ^ａがＦＰゴーストを全然含まない 

場合,Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝－iδ_Ｂ(ｃ~^ａＦ^ａ)のδ_Ｂがｃ~^ａにかかる部分 

とＦ^ａにかかる部分が,それぞれ,ゲージ固定項:Ｌ_ＧＦと 

対応するＦＰゴースト項:Ｌ_ＦＰとを与えることになります。
 

Ｌ_ＧＦ＝Ｂ^ａＦ^a(Ａ,φ,Ｂ), 

Ｌ_ＦＰ＝－iｃ~^ａδ_Ｂ{Ｆ^a(Ａ,φ,Ｂ}　です。
 

以上の手続きが前々節の最後の第1類拘束系の取り扱いの 

2番目の方式よして挙げた 

「Lagrangian段階でのゲージ固定処方」の一般の系の場合 

の処方です。
 

ＢＲＳ変換の構成と,それに基づくゲージ固定処方に関して 

重要な注意をいくつか述べておきます。
 

ⅰ) ＢＲＳ変換:δ_Ｂはゲージ固定を行う前に決められており. 

ゲージ固定条件には依存しません。
 

ⅱ)ゲージ固定項:Ｌ_ＧＦと対応するＦＰゴースト項:Ｌ_ＦＰは 

両者を一まとめにして,Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝δ_Ｂ(＊)の形をしている 

ので,そのＢＲＳ不変性はδ_Ｂのベキ零性から明白です。
 

δ_ＢＬ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝δ_Ｂ{δ_Ｂ(＊)}＝0　です。
 

一方,元のゲージ場:Ａ_μと物質場:φ_iに対するＢＲＳ変換は, 

θ^ａ(ｘ)＝λ^ａｃ^ａ(ｘ)を変換パラメータとする特殊なゲージ 

変換に過ぎない,ことから,ゲージ不変なＬ(Ａ,φ)は 

明らかにＢＲＳ不変です。
 

(※ 関数:ｆに対するＢＲＳ変換とは,ｆがｆ→ｆ＋δ_Ｂｆと 

変換されることを意味するのでｆがＢＲＳ不変であることは 

δ_Ｂｆ＝0 と同値です。)
 

従って,上の手順で得られる量子力学系の全Lagrangian： 

Ｌ~(Ａ,φ,ｃ,ｃ~Ｂ)＝Ｌ(Ａ,φ)＋Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}(Ａ,φ,ｃ,ｃ~Ｂ) 

は自動的にＢＲＳ不変です。 

つまり,δ_ＢＬ~＝δ_ＢＬ(Ａ,φ)＋δ_ＢＬ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝0で す。
 

すなわち, Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}を加えたことによってＬ(Ａ,φ)の持って 

いた局所的ゲージ不変性は完全に消えたのですが,代わりに, 

得られたＬ~は大局的なＢＲＳ不変性を持つことになります。
 

しかも,元々あった場:Ａ_μとφ_iに関してはＢＲＳ変換は 

特殊な形のゲージ変換なので,この意味で「ＢＲＳ不変性は 

量子力学系のゲージ不変性である。」ということができます。
 

※(注20-2):ゲージ固定の意味 

ＢＲＳ変換:δ_Ｂのパラメータ:λｃ^ａ(ｘ)を単なるθ^ａ(ｘ) 

に戻したときの普通のゲージ変換を,δ_θと書けば,ゲージ不変 

なＬ(Ａ,φ)については相変わらずδ_θＬ(Ａ,φ)＝0 です。
 

しかし,一般に.ゴースト場についてδ_θは効かない,とすれば. 

δ_θＬ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝δ_θＬ_ＧＦ≠0 なので,Ｌ~＝Ｌ＋Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}において 

は,確かにゲージ不変性は完全に消えてなくなります。 

(注20-2終わり※)
 

ⅲ)今の処方ではゲージ固定関数:Ｆ^ａは,ＦＰゴースト場:ｃ^ａやｃ~^ａ 

を含んでいてもいいはずです。 

しかし,そうした場合には,Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝－iδ_Ｂ(ｃ~^ａＦ^ａ)は,ゴースト 

の４次の相互作用:ｃ~ｃ~ｃｃをも含むことになります。
 

ところが前節のFadeev-Popovの処方では,ＦＰゴーストは 

Fadeev-Popov行列式をGauss積分の書き換えるトリックでのみ 

現われるので,そうした相互作用項は決して出てきません。
 

それ故,今のゲージ固定処方の方が前節のFadeev-Popovの処方 

より,かなり一般的にされたものであるといえます。
 

元のLagrangianに加える「ゲージ固定項＋ＦＰゴースト項」 

としてＬ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝δ_Ｂ(＊)の形を採用するのは上記の(ⅱ)とは 

別の重要な意味がありますが,それは次節で述べる予定です。
 

 この節は,ここで終わりで切りがいいので,今日はここまで 

にします。
 

(参考文献)：九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

ゲージ場の量子論(19)

体は不自由ですが,ある意味,他にやることなくてヒマなので, 

こればかりに集中してやや急ピッチですが, 

「ゲージ場の量子論(18)」から,§5－3ゲージ場の量子化 

(経路積分型式)の続きです。

※Faddev-Popov行列式 

前回最後に,ゲージ固定条件導入方式で得た非共変 

Coulombゲージでの遷移振幅の経路積分表示式: 

Ｔ＝∫ＤＡＤφΨ_Ｆ^＊Ψ_ＩΠ_ｘ{Π_ａδ(∇Ａ^ａ(ｘ))} 

Π_ｔ(DetＭ)exp{i∫ｄ⁴ｘＬ(Ａ,φ)}　において
 

作用積分:Ｓ[Ａ,φ]＝∫ｄ⁴ｘＬ(Ａ,φ)は, 

ゲージ変換:Ａ_μ(ｘ) → Ａ^θ_μ(ｘ) 

＝(－i/ｇ)Ｕ(θ(ｘ))∂_μＵ^-1(θ(ｘ))＋Ｕ(θ(ｘ))Ａ_μＵ^-1(θ(ｘ)) 

φ(ｘ) → φ^θ(ｘ)＝Ｕ(θ(ｘ))φ(ｘ) 

の下で不変です。
 

ここでは,θ(ｘ)はゲージ変換群:Ｇの元: θ(ｘ)∈Ｇで,Ｕ(θ(ｘ)) 

は,そのユニタリ表現と考えます。ある関数の組: (Ａ_μ,φ)が上記 

ゲージ変換でつながる全ての(Ａ^θ_μ,φ^θ)は,θを動かすにつれて, 

関数空間において,ある軌跡を描きますが,それをゲージ軌跡 

(gauge orbit)と呼びます。
 

作用積分: Ｓ[Ａ,φ]は１つのゲージ軌跡に載る全ての関数:(Ａ^θ_μ,φ^θ) 

に対して,同一の値を与えるので,上述の経路積分表式で.δ関数因子: 

Π_ｘ{Π_ａδ(∇Ａ^ａ(ｘ))}Π_ｔ(DetＭ)が存在しなければ, 

あらゆる(Ａ_μ,φ)にわたる経路積分:∫ＤＡＤφから.ゲージ変換: 

θ(ｘ)の関数自由度分だけ,∞重に数え過ぎが生じます。
 

つまり,無限大の因子:|∫Πｄθ(ｘ)|＝|∫Ｄθ|を含んでしまうこと 

になります。Coulombゲージのδ関数:{Π_ａδ(∇Ａ^ａ(ｘ))}は,各ゲージ 

軌跡上の関数から代表元を選ぶ役割をしていて,この無限大因子の出現 

を防いでいる意味があります。
 

しかし,これは当然で,そもそもゲージ固定条件というのは,ゲージ軌跡 

方向の運動を強制的に固定するもので,関数空間内でゲージ軌跡を 

横断するあらゆる超曲面が横たわる角度日夜積分の非一様性を補償 

するものであると推量されます。
 

このように考えると,ゲージ固定条件として,例えば, 

相対論的に共変な,∂^μＡ^ａ_μ＝ｆ^ａ,行列記法で∂^μＡ_μ＝ｆ 

を採用してもいいはずです。
 

ここでｆ^ａは全く任意に決めたｃ-数関数です。
 

このゲージ固定条件を理論に取り入れるために,Faddev-Popov 

(ファデーエフ・ポポフ)に従って,次の量を定義します。
 

すなわち,Δ^-1[Ａ,ｆ]＝∫ＤθΠ_ｘ,ａδ(∂^μＡ^θ_μ(ｘ)－ｆ(ｘ))  

です。ただし,Δ[Ａ,ｆ]は,Ａ,ｆの汎関数です。
 

経路積分測度:Ｄθ＝Πｘ∫ｄθ(ｘ)の各点ｘにおけるｄθは群Ｇ上 

の不変測度と呼ばれるもので,∀θ'∈Ｇに対して,ｄθ＝ｄ(θθ') 

＝ｄ(θ'θ)を満たします。 

(※実際に後で必要になるのは,ｄθのθが単位元の近傍のときの 

表式だけで,陽な表式は,そのときに与えます。) 

(※ｄθは右不変,左不変なハール(Haar)測度で,ｘでの１次元積分 

なら,(ｄｘ/ｘ),または,Πｄｇ_ij(detｇ)^-n　etc.のようなものです。
 

したがって, Ｄθ＝Ｄ(θθ')＝Ｄ(θ(θ), 

特にＤ(θ^-1)＝Ｄθです。 

例えば,∫ｆ(ｘ)ｄｘ/ｘ＝∫ｆ(ｘ)ｄ(ｘ₀ｘ)/(ｘ₀ｘ) 

＝∫ｆ(ｘ₀^-1ｘ)ｄｘ/ｘであり,∫ｆ(1/ｘ)ｄｘ/ｘ＝∫ｆ(ｙ)ｄｙ/ｙ 

です。ｙ＝1/ｘ,ｄｙ/ｙ＝ｄ(1/ｘ)/(1/ｘ)です。)
 

この測度の不変性から直ちに,量:Δ[Ａ,ｆ]のゲージ不変性: 

Δ[Ａ^θ,ｆ]＝Δ[Ａ,ｆ]が従います。
 

Δ^-1[Ａ,ｆ]＝∫ＤθΠ_ｘ,ａδ(∂^μＡ^θ_μ(ｘ)－ｆ(ｘ))の両辺に 

Δ[Ａ,ｆ]を掛けて1としたものを,遷移振幅の表式に掛けます。
 

Ψ_Ｆ^＊,Ψ_ＩやΠ_ｘ,ａδを省略して,Ｔは 

Ｔ＝∫ＤＡＤφδ(∇Ａ(ｘ))Δ_Ｍ[Ａ]exp{iＳ[Ａ,φ]} 

∫Ｄθδ(∂^μＡ^θ_μ(ｘ)－ｆ(ｘ))Δ[Ａ,ｆ]
 

ただし,DetＭの関数依存性を考慮して,DetＭ=Δ_Ｍ[Ａ] 

としました。
 

Ｓ[Ａ,φ],Δ[Ａ,ｆ]のゲージ不変性から 

Ｔ＝∫Ｄθ∫ＤＡＤφδ(∇Ａ)Δ_Ｍ[Ａ]exp{iＳ[Ａ^θ,φ^θ]} 

δ(∂^μＡ^θ_μ－ｆ)Δ[Ａ^θ,ｆ]
 

ここで.積分変数を(Ａ_μ,φ)から(Ａ'_μ,φ')＝(Ａ^θ_μ,φ^θ)に 

変数変換します。
 

このとき,経路積分測度はゲージ不変です。 

ＤＡ'＝ＤＡ,Ｄφ'＝Ｄφです。
 

※(注19-1): ＤＡ'＝ＤＡ,Ｄφ'＝Ｄφを証明します。 

ＤＡ'＝Det(δＡ'^ａ_μ/ΔＡ^ｂ_ν)ＤＡ 

＝det[δ^μ_νδ³(ｘ－ｙ){δ^ａｂ－ｇｆ_ａｂｃθ^ｃ(ｘ)}]ＤＡ
 

ところで,超行列Ｍに対してln(detＭ)＝Ｔr(lnＭ), 

or detＭ＝exp[Ｔr(lnＭ)]です。
 

Ｍ＝exp(εＸ)＝1＋εＸ＋Ｏ(ε²)なら,Ｔr(lnＭ)＝εＴr(Ｘ) 

 detＭ＝det[1＋εＸ＋Ｏ(ε²)] ＝exp[εＴr(Ｘ)]
 

ＤＡ'＝det(∂Ａ'^ａ_μ/∂Ａ^ｂ_ν)ＤＡ 

＝det[δ^μ_νδ³(ｘ－ｙ){δ^ａｂ－ｇｆ_ａｂｃθ^ｃ(ｘ)}]ＤＡ 

＝exp[4∫ｄ⁴ｘ[－ｇｆ_ａａｃθ^ｃ(ｘ)δ⁴(0)]ＤＡ＝ＤＡ　です。
 

一方,Ｄφ'＝ Det(δφ'_ｉ/Δφ_ｋ)Ｄφ 

＝det[δ³(ｘ－ｙ){δ_ｉｋ－iｇ(Ｔ^ａ)_ikθ^ａ(ｘ)}]Ｄφ 

＝exp[－iｇ∫ｄ⁴ｘ[Ｔr(Ｔ^ａ)θ^ｃ(ｘ)δ⁴(0)]Ｄφ　です。
 

Ｔ^ａがＵ(1)群の生成子1でないならＴr (Ｔ^ａ)＝0　です。
 

ＧがＵ(1)を部分群としてを含む場合でも.φとφ^＊の変換は, 

φ→[1－iｇ(Ｔ^ａ)θ]φ,,φ^＊→[1－＋iｇ(Ｔ^ａ)θ]φ^＊ 

でＤφは実はＤφＤφ^＊ですからそれらのＴ^ａのつくるトータル 

のトレースはゼロで,結局,Ｄφ'＝Ｄφを得ます。 

(注19-1終わり※)
 

ＤＡ'＝ＤＡ,Ｄφ'＝Ｄφと,さらに,Ａ＝Ａ'^θ-1を用います。 

そして変換後に(Ａ'_μ,φ')のprime記号をはずして(Ａ_μ,φ) 

記号にすると,Ｔ＝∫Ｄθ∫ＤＡＤφδ(∇Ａ^θ-1)Δ_Ｍ[Ａ^θ-1] 

δ(∂^μＡ_μ－ｆ)Δ[Ａ,ｆ]exp{iＳ[Ａ,φ^θ]}　です。
 

ただし,不変測度の性質Ｄ(θ^-1)＝Ｄθをも用いました。
 

さて,ここでΔ[Ａ,ｆ]の評価を行います。 

この式には,δ(∂^μＡ_μ－ｆ)因子があるので,∂^μＡ_μ＝ｆを 

満たすＡ_μの近傍のみで評価すれば十分です。
 

つまり,Δ^-1[Ａ,ｆ]＝∫ＤθΠ_ｘ,ａδ(∂^μＡ^θ_μ(ｘ)－ｆ(ｘ)) 

の定義において,Ｇの単位元θ＝1の近傍のみがＤθに効いて 

きます。
 

単位元の近傍では,θ＝1－iｇθ^ａ(ｘ)Ｔ^ａ 

(Ａ^θ)^ａ_μ(ｘ)＝Ａ^ａ_μ(ｘ)＋(Ｄ_μθ)^ａ(ｘ)
 

また,不変底度:Ｄθは.Ｔr (Ｔ^ａＴ^ａ) ＝Ｎδ^ａｂなる直交基底 

をとる群Ｇでは,Ｄθ＝Π_ｘ{Π_ａｄθ^ａ(ｘ)}×(定数)で与える 

ことができます。
 

※(注19-2):空間Ｇの次元をＭとするとＭ次元多様体の各点Ｐに 

おける体積要素は,その点でのｄθ¹…,ｄθ^ａ.,..,ｄθ^Ｍによって, 

ｄＶ_Ｍ(Ｐ)＝ｄθ¹…ｄθ^ａ..ｄθ^Ｍ＝Π_あ＝1^Ｍｄθ^ａ(Ｐ)　です。
 

単位元の近傍の元をθ₀(δθ)＝exp{Σ_ａ＝1^Ｍδθ^ａＴ^ａ}と書き, 

任意の元:θ₁(θ)＝exp{Σ_ａ＝1^Ｍδθ^ａＴ^ａ}を左 から掛けたとき, 

ｄＶ_Ｍがどのように変わるかを見ます。
 

θ₁・θ₀＝exp[{Σ_ａ＝1^Ｍθ'^ａ(θ,δθ)Ｔ^ａ} 

＝exp{Σ_ａ＝1^Ｍθ^ａＴ^ａ}exp{Σ_ｂ＝1^Ｍδθ^ｂＴ^ｂ}　です。
 

両辺をδθで偏微分すると. θ₀はθ＝1の近傍なので, 

Σ_ａ＝1^Ｍ{(∂θ'^ａ/∂θ^ｂ)Ｔ^ａ}＝Ｔ^ｂを得ます。
 

それ故,これの右からを掛けてトレースを取ると, 

∂θ'^ｃ/∂θ^ｂ＝Ｎδ_ｂｃです。
 

したがって,ｄＶ'_Ｍ＝ｄθ'¹…ｄθ'^Ｍ 

＝det(∂θ’^ａ/∂θ^ｂ)ｄθ¹…ｄθ^Ｍ＝ｄＶ_Ｍ
 

結局, Π_ａ＝１^Ｍｄθ^ａは不変測度であり,これを定数倍 

したものも不変測度です。（注19-2終わり※）
 

したがって, 

Δ^-1[Ａ,ｆ]＝∫ＤθΠ_ｘ,ａδ(∂^μＡ^θ_μ(ｘ)－ｆ(ｘ)) 

＝∫(Π_ａ=１^Ｍｄθ^ａ) Π_ｘ,ａδ(∂^μＤ_μθ(ｘ)) 

＝Det^-1(∂^μＤ_μ)　と書けます。
 

(※何故なら,∫δ(Ａｘ)ｄｘ＝det(Ａ^-1)δ(0) 

＝det^-1(Ａ)δ(0)　です。)
 

すなわち,Δは4次元関数の汎関数行列式:  

Δ[Ａ,ｆ]＝DetＮ,であり,Ｎ^ａｂ_ｘｙ＝∂^μＤ_μ 

＝∂_ｘ{δ^ａｂ∂_μ－ｇｆ_ａｃｂＡ^ｃ_μ(ｘ)}δ⁴(ｘ－ｙ) 

です。
 

結局,∂^μＡ_μ＝ｆなので,式からｆは消えて,Δ[Ａ,ｆ] 

は実はｆには依存しないという結果を得たことが重要です。
 

そして,Δ[Ａ,ｆ]＝DetＮと行列式に表わせるので,これを 

Fadeev-Popovの行列式と呼びます。
 

ところで,このΔ[Ａ,ｆ]＝DetＮ, 

Ｎ^ａｂ_ｘｙ＝∂_ｘ{δ^ａｂ∂_μ－ｇｆ_ａｃｂＡ^ｃ_μ(ｘ)}δ⁴(ｘ－ｙ) 

の形を見ると,これは前回定義した,DetＭ＝Δ_Ｍ[Ａ]. 

Ｍ^ａｂ_ｘｙ(ｔ)＝∇_x{δ^ａｂ∇_ｙ＋ｇｆ_ａｃｂＡ^ｃ(ｘ,ｔ)}δ³(ｘ－ｙ) 

との類似性が歴然としています。
 

そこで,Δ^-1[Ａ,ｆ]＝∫ＤθΠ_ｘ,ａδ(∂^μＡ^θ_μ(ｘ)－ｆ(ｘ))と同様, 

Coulomゲージでも,Δ_ｃ^-1[Ａ]＝∫ＤθΠ_ｘ,ａδ(∇Ａ^θ(ｘ)) 

と定義すると,やはり不変測度θがあって,それに対しゲージ不変性: 

Δ_ｃ[Ａ^θ]＝Δ_ｃ[Ａ]が従うことがわかり,単位元の近傍で 

(Ａ^θ)^ａ_μ(ｘ)＝Ａ^ａ_μ(ｘ)＋(Ｄ_μθ)^ａ(ｘ)と同様, 

(Ａ^θ)^ａ_ｋ(ｘ)＝Ａ^ａ_ｋ(ｘ)＋(Ｄ_ｋθ)^ａ(ｘ)と変換すること 

からΔ_ｃ[Ａ]＝Π_tDetＭ＝Π_tΔ_Ｍ[Ａ]　が示せます。
 

Δ_ｃ^-1[Ａ]＝Π_tDet^-1(－∂_ｋＤ_ｋ)＝ですから 

Ｔ＝∫Ｄθ∫ＤＡＤφδ(∇Ａ)Δ_Ｍ[Ａ] 

δ(∂^μＡ_μ－ｆ)Δ[Ａ,ｆ]exp{iＳ[Ａ,φ]} 

における∫ＤθΠ_ｘ,ａδ(∇Ａ)Δ_Ｍ[Ａ]の部分は実は1に 

等しいことがわかりました。
 

結局,Ｔ＝∫ＤＡＤφΨ_Ｆ^＊Ψ_ＩΠ_ｘ,ａδ(∂^μＡ^ａ_μ－ｆ^a) 

(DetＮ)exp{iＳ[Ａ,φ]}　が得られます。
 

出発点のＴの表式と比較すると,相対論的に共変でない 

CoulombゲージのΠ_ｘ,ａδ(∇Ａ^ａ(ｘ))Π_t(DetＭ)を,相対論的 

に共変なδ(∂^μＡ^ａ_μ(ｘ)－ｆ^a(ｘ))(DetＮ)に置き換えること 

に成功したことになります。
 

上述の式変形の途中では始.終状態の波動関数:Ψ_Ｆ^＊_,Ψ_Ｉ 

を省略していたので明確ではなかったのですが,それらの 

波動関数自身もゲージ不変なときにのみ,これらの導出は, 

正当化される手続きです。
 

しかし,物理的状態はゲージ変換で不変,または,せいぜい 

ユニタリ変換を受けるだけなので,物理的状態間の遷移振幅 

に関する限り,この最終表式:Ｔ＝∫ＤＡＤφΨ_Ｆ^＊Ψ_Ｉ 

Π_ｘ,ａδ(∂^μＡ^ａ_μ－ｆ^a)(DetＮ)exp{iＳ[Ａ,φ]}は,他のゲージ 

と等価な正しい情報を与えることになり,理論的には,それだけ 

で十分です。
 

※Fadeev-popovゴースト
 

Ｔ＝∫ＤＡＤφΨ_Ｆ^＊Ψ_Ｉ 

Π_ｘ,ａδ(∂^μＡ^ａ_μ－ｆ^a)(DetＮ)exp{iＳ[Ａ,φ]}を 

もう少し摂動計算に便利な形に書き換えることを考えます。
 

遷移振幅Tは最終状態がゲージ不変である限り,元のCoulomb 

ゲージの表式と同じ値を示し,実はｃ数関数:ｆ^ａ(ｘ)には全く 

依存しないことを先に述べました。
 

それ故,例えば,次のGauss関数の積分で与えられる定数: 

ξ＝∫Ｄｆexp i[∫ｄ^４ｘ{－{1/(2α)ｆ^ａ(ｘ)ｆ^ａ(ｘ)}}を 

Ｔの表式の両辺に掛けて,さらにξ^-1を掛け,積分変数の順序 

を交換し,δ(∂^μＡ^ａ_μ－ｆ^a)の中のｆ^ａを,上のξを与える 

積分変数:ｆ^ａと同一視することも許されます。
 

つまり,Ｔ＝ξ^-1∫ＤＡＤφＤｆΨ_Ｆ^＊Ψ_Ｉ(DetＮ) 

exp{iＳ[Ａ,φ]}Π_ｘ,ａδ(∂^μＡ^ａ_μ(ｘ)－ｆ^a(ｘ)) 

exp i[∫ｄ^４ｘ{－{1/(2α)ｆ^ａ(ｘ)ｆ^ａ(ｘ)}}　です。
 

すると,Ｔ＝ξ^-1∫ＤＡＤφΨ_Ｆ^＊Ψ_Ｉ(DetＮ) 

exp i∫ｄ^４ｘ[Ｌ(Ａ,φ)－{1/(2α)}(∂^μＡ^ａ_μ) ²} 

となります。 

(※ξ^-1は摂動の真空泡で割ると相殺されて消えます。)
 

この段階で出現した,－{1/(2α)}(∂^μＡ^ａ_μ) ²}はQED 

の場合にゲージ固定項として既知のFermi項の形です。
 

勝手な定数αは,ゲージパラメータと呼ばれます。
 

ただ,ここでは可換群:Ｕ(1)に基づくQEDとは異なり, 

Fadeev-popov行列式:DetＮが現われるのが重要です。
 

ξの代わりに,新変数:Ｂ^ａ(ｘ)を導入した形では 

１＝∫ＤＢＤｆexp i[∫ｄ⁴ｘ{Ｂ^ａｆ^ａ＋(α/2)Ｂ^ａＢ^ａ)}] 

を挿入します。 

(※何故なら,右辺＝∫ＤＢδ(Ｂ)exp i[∫ｄ⁴ｘ{(α/2)Ｂ^ａＢ^ａ} 

]＝1　です。)
 

Ｔ＝∫ＤＡＤＢＤφΨ_Ｆ^＊Ψ_Ｉ(DetＮ) 

exp i∫ｄ^４ｘ[Ｌ(Ａ,φ)＋Ｂ^ａ∂^μＡ^ａ_μ＋(α/2)Ｂ^ａＢ^ａ] 

となります。
 

１＝∫ＤＢＤｆexp i[∫ｄ⁴ｘ{Ｂ^ａｆ^ａ＋(α/2)Ｂ^ａＢ^ａ)}] 

において右辺で∫ＤＢを先に実行すれば, 

1＝ξ^-1∫Ｄｆexp i[∫ｄ^４ｘ{－{1/(2α)ｆ^ａｆ^ａ}}が得られる 

ので先の操作と等価です。
 

しかし,Ｂ^ａ(ｘ)は他の場:Ａ^ａ_μ(ｘ),φ(ｘ)と同様,経路積分される 

補助的な場の役割をしており,以下の議論でも,有用な役割を果たす 

ので以下では, 

１＝∫ＤＢＤｆexp i[∫ｄ⁴ｘ{Ｂ^ａｆ^ａ＋(α/2)Ｂ^ａＢ^ａ)}] 

を挿入する方法を採用します。
 

Ｂ^ａ(ｘ)はQEDの共変な正準型式をつくった際に,その重要性 

を指摘した人の名をとって,中西-Lautrap場,略してＮＬ場と 

呼ばれています。
 

Fadeev-popov行列式:DetＮの部分をさらに摂動論で扱いやすく 

するために２種の実Grassmann 変数:ｃ^ａ(ｘ) ,ｃ~^ａ(ｘ)を 

導入し,Δ[Ａ,ｆ]＝DetＮ,Ｎ^ａｂ_ｘｙ＝∂^μＤ_μ 

＝∂_ｘ{δ^ａｂ∂_μ－ｇｆ_ａｃｂＡ^ｃ_μ(ｘ)}δ⁴(ｘ－ｙ) 

を用いると,Fadeev-popov行列式:DetＮは, 

 DetＮ＝∫ＤｃＤｃ~expi[∫ｄｘ{iｃ~^ａ(ｘ)(∂^μＤ_μ)ｃ^ａ(ｘ)}] 

＝∫ＤｃＤｃ~expi[∫ｄｘ{iｃ~^ａ(ｘ)∂^μＤ_μｃ^ａ(ｘ)}] 

Ｄ_μｃ^ａ(ｘ)＝∂_μｃ^ａ(ｘ)－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μ(ｘ)ｃ^ｃ(ｘ) 

と書き直せます。
 

ｃ^ａ(ｘ)が普通の実変数なら右辺のGauss積分はDet^-1Ｎ 

となってしまうのでGrassmann 変数でなければなりません。
 

DetＮ＝∫ＤｃＤｃ~expi[∫ｄｘ{iｃ~^ａ(ｘ)∂^μＤ_μｃ^ａ(ｘ)}] 

の右辺は,ｃ^ａ(ｘ) ,ｃ~^ａ(ｘ)があたかも粒子場であって指数部 

がその作用積分であるような形になっています。
 

運動項は通常のスカラー場と同様なｃ~^ａ□ｃ^ａの形をしており, 

－ｇｆ_ａｂｃ∂^μ(Ａ^ｂ_μｃ^ｃ)の項はＡ^ｂ_μとの相互作用を与えます。
 

しかし,このスカラー場ｃ^ａ(ｘ) ,ｃ~^ａ(ｘ)はGrassmann 数 

なのでFermi統計に従うという奇妙なものです。
 

このような奇妙な粒子の存在は,まず,FeynmanがYang-Mills場 

の1ループグラフのユニタリ性のために,必要であることに気付き 

続いて,De Wittが任意の高次ループグラフに対して一般化した 

のですが,それを経路積分で初めて系統的に導入した人の名を 

とって,Fadeev-popovゴースト(ghost),略してＦＰゴースト 

と呼びます。
 

まとめると遷移振幅は,結局, 

Ｔ＝∫ＤＡＤＢＤｃＤｃ~ＤφΨ_Ｆ^＊Ψ_Ｉ(DetＮ) 

exp i[∫ｄ^４ｘＬ~ (Ａ,Ｂ,ｃ,ｃ~,φ)

ただし,Ｌ~ (Ａ,Ｂ,ｃ,ｃ~,φ) 

＝Ｌ(Ａ,φ)＋Ｌ_ＧＦ(Ａ.Ｂ)＋Ｌ_ＦＰ(ｃ,ｃ~,Ａ) 

Ｌ_ＧＦ(Ａ.Ｂ)＝Ｂ^ａｆ^ａ＋(α/2)Ｂ^ａＢ^ａ, 

Ｌ_ＦＰ(ｃ,ｃ~,Ａ)＝iｃ~^ａ∂^μＤ_μｃ^ａ 

で与えられることになります。
 

量子論の全Lagrangianは,元のゲージ不変なLagrangian:Ｌ 

にゲージ固定項:Ｌ_ＧＦとFadeev-popov項;Ｌ_ＦＰを加えたもの 

になります。
 

遷移振幅がＴ＝∫ＤＡＤＢＤｃＤｃ~ＤφΨ_Ｆ^＊Ψ_Ｉ(DetＮ) 

exp i[∫ｄ^４ｘＬ~]で与えられることから,共変ゲージにおける 

Green関数の生成汎関数;Ｚ[Ｊ]の経路積分表式は 

Ｚ[Ｊ]＝∫ＤＡＤＢＤｃＤｃ~ＤφΨ_Ｆ^＊Ψ_Ｉ(DetＮ) 

exp i[∫ｄ^４ｘ(Ｌ~ ＋Ｊ・φ)], で与えられることが 

わかります。ここで,Ｊ・φ＝J^ａμＡ^a_μ＋Ｊ_iφ_i＋Ｊ~^ａ_ｃｃ^ａ 

＋Ｊ^ａ_ｃ~ｃ~^ａ＋Ｊ^ａ_ＢＢ^ａです。
 

。ただし,一般にGreen関数,それ故Ｚ[Ｊ]はゲージ不変な量 

ではなく,採用しているゲージに依存します。上述の物理的状態 

間の遷移振幅:Ｔの場合,のように,他のゲージとの等価性が 

示せるのは,Green関数の含む物理的情報,例えば,Ｓ行列の値 

などに関してのみです。
 

今日はここまでにします。 

次回は新節のＢＲＳ対称性に入ります。

(参考文献)：九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

訃報！！夏木陽介さん

俳優の夏木陽介さんが去る14日に腎細胞ガンで亡くなられていたことが19日の本人のブログでわかりました。享年81歳でした。

NHKニュース　→　俳優の夏木陽介さん　死去81歳

私の青春時代,には,この方や村野武武徳さん。森田健作さん。中村正俊さんなど。青春ものの先生がはやってた時代のはまり役でした。

アクション時代劇や「Gメン75」などでもご活躍でした。

ご冥福をお祈りします。合掌！！

ゲージ場の量子論(18)

「ゲージ場の量子論(17)」からの続きです。
 

§5－3　ゲージ場の量子化(経路積分型式)
 

「ゲージ場の量子論(15)」で与えたゲージ不変な 

Lagrangian密度:Ｌ(Ａ.φ)を持つ系の量子化を論じます。
 

Ｌ(Ａ.φ)＝－(1/4)Ｆ^a_μνＦ^aμν＋Ｌ_matter(φ.Ｄ_μφ) 

Ｆ^a_μν＝∂_μＡ^a_ν－∂_νＡ^ａ_ν－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μＡ^ｃ_ν 

Ｄ_μφ＝(∂_μ＋iｇＴ_ａＡ^a_μ)φ　です。
 

ここで物質場部分:Ｌ_matter(φ.Ｄ_μφ)は,φがスカラー場なら, 

Ｌ_matter(φ.Ｄ_μφ)＝(Ｄ_μφ)^＋Ｄ_μφ－Ｖ(φ^＋φ) であり, 

φがDirac場:ψなら,Ｌ_matter(ψ.Ｄ_μψ)＝(ψ~(iγ^μＤ_μ－ｍ)ψ  

です。物質場:φの量子化に関しては取り立てて特別なことは 

ないので,ここでは,もっぱらゲージ場:Ａ^a_μに関する量子化を問題 

にします。
 

※拘束条件 

ゲージ場:Ａ^a_μに共役な運動量変数:π^ａμは, 

π^ａμ＝∂Ｌ/∂(Ａ^a_μ)^d＝Ｆ^ａμ0です。 

添字:μが空間座標のそれｉ＝1,2,3のときは, 

π^ａi＝Ｆ^ａｉ0＝∂^ｌＡ^a0－∂⁰Ａ^ａｉ－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂｉＡ^ｃ0 

3次元べクトｒｕ記号:Ａ＝=(Ａ¹,Ａ²,Ａ³)を用いると, 

π^ａ＝－Ａ^ａd－∇Ａ^a0－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂＡ^ｃ0＝Ｅ^ａ 

となります、Ｅ^ａはＡ^a_μがMaxwell方程式に従う電磁場の 

場合の電場に対応するものです。
 

この式はπ^ａとＡ^ａを関係付ける普通の式です。
 

しかし,μ＝0の時間成分:π^ａ0は,Ｆ^ａμνがμ,νについて 

反対称のため,ゼロになります。そこでπ^ａ₀＝0 と書けます。
 

この最後の式は系の1次拘束条件です。
 

前回の記事の論議から,系のHamiltonian:Ｈの密度:Ｈ~ は, 

この拘束の未定係数項:π^ａ₀λ^ａまで含めて, 

Ｈ ~＝π^ａμ(Ａ^a_μ)^d＋(1/4)Ｆ^a_μνＦ^aμν＋Ｈ_matter(π_φ,φ,Ａ^a_μ) 

＋π^ａ₀λ^ａ 

＝(1/2){(Ｅ^ａ)²＋(Ｂ^ａ)²] 

＋π^ａ(∇Ａ^a₀＋ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂＡ^ｃ₀)＋Ｈ_matter＋π^ａ₀λ^ａ 

ただしＢ^ａ＝(Ｂ^ａ1,Ｂ^ａ2,Ｂ^ａ3)＝－(Ｆ^ａ₂₃,Ｆ^ａ₃₁,Ｆ^ａ₁₂) 

＝∇×Ａ^a＋(1/2)ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ×Ａ^ｃです。
 

また,π^ａ0(Ａ^a₀)^d項は,π^ａ₀λ^ａの中に吸収しました。
 

何故なら,π^ａk(Ａ^a_k)^d ＝－π^ａ(Ａ^a)^d 

＝(Ｅ^ａ)²＋π^ａ(∇Ａ^a₀＋ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂＡ^ｃ₀)であり, 

(1/4)Ｆ^a_μνＦ^aμν＝－(1/2){(Ｅ^ａ)²－(Ｂ^ａ)²] 

であるからです。
 

Ｈ~＝∫ｄ³ｘＨ~ ですから,拘束条件:π^ａ₀＝0 が,その時間発展 

と無矛盾であるためには,次式が満足される必要があります。
 

すなわち,(π^ａ₀)^d ～ [π^ａ₀,∫ｄ³ｘＨ~ ]_P.B. ＝Ｄπ^ａ－ρ^a ～ D , 

ただし,Ｄπ^ａ＝∇ π^ａ＋ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂπ^ｃであり, 

ρ^a(φ,π_φ)＝∂Ｈ_matter/∂Ａ^ａ₀です。
 

ここで,正準Poisson括弧: 

 [Ａ^ａ_μ(ｘ,ｔ),π^ａν(ｙ,ｔ)]_P.B. ＝δ_μ^νδ^ａｂδ³(ｘ－ｙ) 

を用いました。
 

そうして, Ｄπ^ａ－ρ^a ～ D　は２次的拘束条件です。 

(※これは,電磁場のGaussの法則:∇Ｅ＝ρ/εに対応している 

と見えます。)
 

さらに,ゲージ不変性のゆえに,恒等的に, 

[Ｄπ^ａ－ρ^a,Ｈ~]_P.B. ＝0　です。
 

※(注18-1):上記最後の命題たちの証明です。
 

まず,Ｈ ~＝(1/2){(Ｅ^ａ)²＋(Ｂ^ａ)²] 

＋π^ａ(∇Ａ^ａ₀＋ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂＡ^ｃ₀)＋Ｈ_matter＋π^ａ₀λ^ａ 

＝－(1/2){(Ｅ^ａ)²－(Ｂ^ａ)²]－π^ａＡ^ａd＋Ｈ_matter＋π^ａ₀λ^ａ 

であり,[π^ａ₀(ｘ,ｔ),Ｈ]_P.B.  

＝[π^ａ₀(ｘ,ｔ),∫ｄ³ｙＨ~(ｙ,ｔ)]_P.B.  

＝∫ｄ³ｙ[π^ａ₀(ｘ,ｔ),Ｈ~(ｙ,ｔ)]_P.B. です。
 

正準変数のゼロでないPoisson括弧は, 

[Ａ^ａ_μ(ｘ,ｔ),π^ａν(ｙ,ｔ)]_P.B. ＝δ_μ^νδ^ａｂδ³(ｘ－ｙ)  

であり,π^ａ₀(ｘ,ｔ)とＨ(ｙ,ｔ)のPoisson 括弧を取るとき, 

Ｈ(ｙ,ｔ)の中のＡ^ａ₀(ｙ,ｔ)の因子を持たない項については 

寄与は全てゼロです。
 

すなわち,[Ａ^ｂ₀(ｘ,ｔ),π^ａ₀(ｙ,ｔ)]_P.B. ＝δ^ａｂδ³(ｘ－ｙ) 

なので,[π^ａ₀(ｘ,ｔ),Ａ^ｂ₀(ｙ,ｔ),]_P.B. ＝－δ^ａｂδ³(ｙ－ｘ) 

であり,この因子を持つ項以外の寄与はゼロです。
 

そして,Ｅ^ａ＝－Ａ^ａd－∇Ａ^a₀－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂＡ^ｃ₀より, 

[π^ａ₀(ｘ,ｔ),Ｅ^ｐ(ｙ,ｔ)]_P.B. 

＝δ_ａｐ[π^ａ₀(ｘ,ｔ),∇_yＡ^ｐ₀(ｙ,ｔ)]_P.B. 

δ_ａｒδ³(ｙ－ｘ)ｇｆ_ｐｑｒＡ^ｑ(ｙ,ｔ)なので,
 

[π^ａ₀(ｘ,ｔ),Ｅ^ｐ(ｙ,ｔ)]_P.B.＝δ_ａｐ∇_yδ³(ｙ－ｘ) 

－δ_ａｒδ³(ｙ－ｘ)ｇｆ_ｐｑｒＡ^ｑ(ｙ,ｔ)　を得ます。
 

それ故,－[π^ａ₀(ｘ,ｔ),(Ｅ^ｐ)²(ｙ,ｔ)]_P.B. 

＝－[π^ａ₀(ｘ,ｔ),(Ｅ^ｐ)²(ｙ,ｔ)]_P.B.Ｅ^ｐ(ｙ,ｔ) 

－Ｅ^ｐ(ｙ,ｔ)[π^ａ₀(ｘ,ｔ),(Ｅ^ｐ)²(ｙ,ｔ)]_P.B.  

＝－{δ_ａｐ∇_yδ³(ｙ－ｘ)－δ_ａｒδ³(ｙ－ｘ)ｇｆ_ｐｑｒＡ^ｑ(ｙ,ｔ)} 

π^ｐ(ｙ,ｔ)－π^ｐ(ｙ,ｔ) 

×[∇_yδ³(ｙ－ｘ)－δ_ａｒδ³(ｙ－ｘ)ｇｆ_ｐｑｒＡ^ｑ(ｙ,ｔ)] 

＝2δ³(ｙ－ｘ)[∇_yπ^ａ(ｙ,ｔ)＋ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ(ｙ,ｔ)π^ｃ(ｙ,ｔ)] 

＝2δ³(ｙ－ｘ)Ｄ_yπ^ａ(ｙ,ｔ)　が得られます。
 

ここで,Ｅ^ｐ＝π^ｐを用いました。
 

一方,Ｂ^ａ＝∇×Ａ^a＋(1/2)ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ×Ａ^ｃより, 

明らかに,[π^ａ₀(ｘ,ｔ),Ｂ^ａ(ｙ,ｔ)]_P.B.＝0, です。
 

そこで,－[π^ａ₀(ｘ,ｔ),(1/2){(Ｅ^ｐ)²－(Ｂ^ｐ)²](ｙ,ｔ)]_P.B. 

＝(1/2)[π^ａ₀(ｘ,ｔ), (Ｅ^ｐ)²(ｙ,ｔ)]_P.B.  

＝δ³(ｙ－ｘ)Ｄ_yπ^ａ(ｙ,ｔ)　です。
 

したがって,[π^ａ₀(ｘ,ｔ),Ｈ~]_P.B. 

＝∫ｄ³ｙδ³(ｙ－ｘ)Ｄ_yπ^ａ(ｙ,ｔ) 

＋∫ｄ³ｙ[π^ａ₀(ｘ,ｔ),Ｈ_matter(ｙ,ｔ)]_P.B. 

＝Ｄπ^ａ(ｘ,ｔ)－(∂Ｈ_matter/∂Ａ^ａ₀)(ｘ,ｔ) 

＝Ｄπ^ａ(ｘ,ｔ)－ρ^ａ(ｘ,ｔ)　を得ます。
 

しかも. [Ｄπ^ａ(ｘ,ｔ)－ρ^ａ(ｘ,ｔ),Ｈ~]_P.B. 

＝[Ｄπ^ａ(ｘ,ｔ)－ρ^ａ(ｘ,ｔ),∫ｄ³ｙＨ(ｙ,ｔ)]_P.B. ＝0　 

が示されます。
 

何故なら,まず, [∇π^ａ(ｘ,ｔ),π^ｄ(ｙ,ｔ)]_P.B. ＝ 0　

は明白です。
 

また, 

[Ａ^ｂπ^ｃ(ｘ,ｔ),π^ｄ(ｙ,ｔ)]_P.B.＝ －π^ｃ(ｘ,ｔ)δ^ｂｄδ³(ｘ－ｙ) 

です。それ故, [ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂπ^ｃ(ｘ,ｔ),π^ｄ(ｙ,ｔ)π^ｄ(ｙ,ｔ)]_P.B. 

＝ －2ｇｆ_ａｂｃπ^ｃ(ｘ,ｔ)π^ｂ(ｘ,ｔ)δ³(ｘ－ｙ)＝0　を得ます。
 

以上から,[Ｄπ^ａ(ｘ,ｔ),(Ｅ^ｄ)²(ｙ,ｔ)]_P.B. ＝ 0　です。
 

同様に,[Ｄπ^ａ(ｘ,ｔ),(Ｂ^ｄ)²(ｙ,ｔ)]_P.B. ＝ 0　 

も陽に示せますが,詳細は省略します。
 

[Ｄπ^ａ(ｘ,ｔ),(1/2){(Ｅ^ｄ)²－(Ｂ^ｄ)²}(ｙ,ｔ)]_P.B. ＝ 0
 

物質場のLagrangian密度: Ｌ_matterはBose系なら 

Ｌ_matter＝(Ｄ_μφ)^＋Ｄ^μφ－Ｖ(φ^＋φ) ,Ｄ_μ=∂_μ＋iｇＡ^ａ_μ(Ｔ^ａ) 

ただし,φ＝[φ₁,..,φ_ｎ]^Ｔ, φ^＋＝[φ^＊₁,..,φ^＊_ｎ]です。
 

その共役運動量は 

π_φｋ＝∂Ｌ_matte/∂φ^＊_ｋ＝Ｄ₀^＊φ^＊_ｋ

＝φ^＊_ｋ^d－iｇＡ^ａ₀φ^＊_ｌ(Ｔ^ａ)_ｌｋ
 

π^＊_φｋ＝∂Ｌ_matte/∂φ_ｋ^＊d＝Ｄ₀φ_ｋ＝φ_ｋ^d＋iｇＡ^ａ₀(Ｔ^ａ)_ｋｌφ_ｌ 

であり,[π_φｋ(ｘ,ｔ),φ_ｌ(ｙ,ｔ)]_P.B. ＝－δ_ｋｌδ³(ｘ－ｙ),
 

[π^＊_φｋ(ｘ,ｔ),φ^＊_ｌ(ｙ,ｔ)]_P.B. ＝－δ_ｋｌδ³(ｘ－ｙ) 

を満たします。
 

Hamiltonian密度は, 

Ｈ_matter＝π_φｋφ_ｋ^d＋π^＊_φｋφ^＊_ｋ^d－Ｌ_matter　  

＝π_φｋ{π_φｋ－iｇＡ^ａ₀(Ｔ^ａ)_ｋｌφ_ｌ} 

 ＋{π^＊_φｋ＋iｇＡ^ａ₀φ^＊_ｌ(Ｔ^ａ)_ｌｋ}π^＊_φｋ 

－π^＋_φπ_φ＋(Ｄ_ｊφ)^＋Ｄ_ｌφ＋Ｖ(φ^＋φ) 

＝π^＋_φπ_φ＋(Ｄ_ｊφ)^＋Ｄ_ｌφ＋Ｖ(φ^＋φ) 

－iｇＡ^ａ₀{π^＋_φＴ^ａφ－φ^＋Ｔ^ａπ^＋_φ} 

より,

ρ^ａ＝∂Ｈ_matter /∂Ａ^ａ₀

＝－iｇ(π^＋_φＴ^ａφ－φ^＋Ｔ^ａπ_φ)
 

結局,[ρ^ａ(ｘ,ｔ),Ｈ ~(ｙ,ｔ)]_P.B. ～ 0 であり,, 

[Ｄπ(ｘ,ｔ) －ρ^ａ(ｘ,ｔ),Ｈ~]_P.B. ～　0 

が得られます。　　(注18-1終わり※)
 

とにかく,得られた拘束条件は時刻ｔに依らず成立する 

ことがわかったので,ｔを陽に書かず, 

φ^ａ₁(ｘ)＝π^ａ₀(ｘ) ～ 0.  

φ^ａ₂(ｘ)＝Ｄπ^ａ(ｘ)－ρ^ａ(ｘ) ～ 0　 

と表示します。
 

こうして,2×dimＧ(空間座標ｘだけの連続無限)個の拘束条件 

があることになります、
 

これらの拘束の間のPoisson括弧は, 

[φ^ａ₁(ｘ), φ^ｂ₁(ｙ)]_P.B. ＝[φ^ａ₁(ｘ),φ^ｂ₂(ｙ)]_P.B. ＝0, 

[φ^ａ₂(ｘ), φ^ｂ₂(ｙ)]_P.B. ＝δ³(ｘ－ｙ)ｇｆ_ａｂｃφ^ｃ₂(ｘ) 

と計算されるので,φ^ａ₁(ｘ) ～ 0,φ^ａ₂(ｘ) ～ 0　は全て 

第1類拘束条件です。
 

※(注18-2): 何故なら,まず,φ^ａ₁＝π^ａ₀ですが,これはＡ^a₀を 

含まないので,確かに,[φ^ａ₁(ｘ),φ^ｂ₁(ｙ)]_P.B. ＝0

を満たします。
 

また,φ^ａ₁＝π^ａ₀,φ^b₂＝Ｄπ^ｂ－ρ^ｂで,φ₁,φ₂のそれぞれの 

正準座標:(Ａ₀,π₀),(Ａ,π)は,互いに独立で,一方に他方は 

含まれないので,[φ^ａ₁(ｘ), φ^ｂ₂(ｙ)]_P.B. ＝0　です。

最後に,[φ^ａ₂,φ^ｂ₂]_P.B.＝[Ｄπ^ａ－ρ^ａ,Ｄπ^ｂ－ρ^ｂ]_P.B.  

＝[Ｄπ^ａ,Ｄπ^ｂ]_P.B. －[Ｄπ^ａ,ρ^ｂ]_P.B. －[ρ^ａ,Ｄπ^ｂ]_P.B. 

＋[ρ^ａ,ρ^ｂ]_P.B. です。
 

簡単のため,引数ｘ,ｙとδ³(ｘ－ｙ)とを省略しました。
 

Ｄπ^ａ＝∇π^ａ＋ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂπ^ｃ 

Ｄπ^ｐ＝∇π^ａ＋ｇｆ_ｐｑｒＡ^ｑπ^ｒです。
 

そして,[∇π^ａ,ｇｆ_ｐｑｒＡ^ｑπ^ｒ]_P.B.＝－ｇｆ_ｐｑｒδ_ａｑ∇π^ｒ 

＝－ｇｆ_ｐａｒ∇π^ｒ, 

同様に,[ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂπ^ｃ,∇π^ｐ]_P.B.＝ｇｆ_ａｂｃδ_ｂｐπ^ｃ∇ 

＝ｇｆ_ａｐｃπ^ｃ∇  です。
 

Gaussの定理から積分の寄与としては,(∇π^ｃ＋π^ｃ∇) 

がφに作用するとき,∇π^ｃφ＋π^ｃ∇φ＝(∇π^ｃ)φ　です。
 

一方,[ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂπ^ｃ, ｇｆ_ｐｑｒＡ^ｑπ^ｒ]_P.B.  

＝ｇ²ｆ_ａｂｃｆ_ｐｑｒ(δ_ｂｒπ^ｃ Ａ^ｑ－δ_ｃｑＡ^ｂπ^ｒ) 

＝ｇ²(ｆ_ａｂｃｆ_ｐｑｂπ^ｃＡ^ｑ－ｆ_ａｂｃｆ_ｐｃｒＡ^ｂπ^ｒ) 

ｆ_ａｑｒｆ_ｐｂｑＡ^ｑπ^ｒ－ｆ_ａｂｃｆ_ｐｃｒＡ^ｂπ^ｒ 

＝ｇ²(ｆ_ａｂｒｆ_ｐｑｂ－ｆ_ａｑｃｆ_ｐｃｒ)Ａ^ｑπ^ｒ 

＝ｇ²ｆ_ａｐｃｆ_ｃｑｒＡ^ｑπ^ｒです。
 

ここで,構造定数に対する恒等式: 

ｆ_ｂｃｄｆ_ａｄｅ＋ｆ_ｃａｄｆ_ｂｄｅ＋ｆ_ａｂｄｆ_ｃｄｅ＝0 

を用いました。
 

以上から,[Ｄπ^ａ,Ｄπ^ｐ]_P.B

＝ｇｆ_ａｐｃ(∇π^ｃ＋ｇｆ_ｃｑｒＡ^ｑπ^ｒ)_. 

＝ｇｆ_ａｐｃＤπ^ｃが得られます。　
 

そこで,もしも[ρ^ａ,ρ^ｐ]_{P.B.　 B}＝－ｇｆ_ａｐｃρ^ｃが示せれば, 

[Ｄπ^ａ,Ｄπ^ｐ]_P.B＝ｇｆ_ａｐｃ(Ｄπ^ｃ－ρ^ｃ), 

すなわち,[φ^ａ₂(ｘ),φ^ｂ₂(ｙ)]_P.B.

＝δ³(ｘ－ｙ)ｇｆ_ａｐｃφ^ｂ₂ (ｘ) 

が証明できます。　　　　　　　(注18-2終わり※)
 

実際に,[φ^ａ₂(ｘ),φ^ｂ₂(ｙ)]_P.B.

＝δ³(ｘ－ｙ)ｇｆ_ａｐｃφ^ｂ₂ (ｘ) 

を正確に示すには,上述のように電荷密度:ρ^ａも 

[ρ^ａ(ｘ),ρ^ｂ(ｙ)]_P.B.＝－δ³(ｘ－ｙ)ｇｆ_ａｂｃρ^ｃ(ｘ) 

を満たすことを示す必要があります。
 

これは,ρ^ａ＝－iｇ(π_φａＴ^ａφ－φ^*ａＴ^ａπ_φａ),および, 

[Ｔ^ａ,Ｔ^ｂ]_P.B.＝iｆ_ａｂｃＴ^ｃを用いれば示せます。
 

前節で述べたように,第1類拘束条件は一般に(局所)ゲージ変換 

を生成する母関数(generator)であると主張しましたが,
 

今の場合に拘束の任意の線形結合: 

Ｇ[θ]＝∫ｄ³ｘ{θ^ａ₁(ｘ)φ^ａ₁(ｘ)＋θ^ａ₂(ｘ)φ^ａ₂(ｘ)} 

を作り実際にそうなっていることを確かめます。
 

量子化を行っている時刻をｘ⁰＝ｔとして,

4次元変換パラメータ:θ^ａ 

を,θ^ａ(ｘ)|_ｘ0＝ｔ＝－θ^ａ₂(ｘ), 

∂θ^ａ(ｘ)|_ｘ0＝ｔ＝θ^ａ₁(ｘ)－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ₀(ｘ,ｔ)θ^ｃ₂(ｘ) 

を満たすものとしてもってきます。
 

θ^ａφ^ａ₁＋θ^ａ₂φ^ａ₂ 

＝π^ａ₀(∂θ^ａ－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ₀θ^ｃ)－θ^ａ(Ｄπ^ａ－ρ^ａ) 

＝π^ａ₀(∂θ^ａ－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ₀θ^ｃ) 

＋π^ａｊ(∂_ｊθ^ａ－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_ｊθ^ｃ)＋θ^ａρ^ａ 

＝π^ａμ(∂_μθ^ａ－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μθ^ｃ)＋θ^ａρ^ａ
 

故に,Ｇ[θ]＝∫ｄ³ｘ{θ^ａφ^ａ₁＋θ^ａ₂φ^ａ₂} 

＝∫ｄ³ｘ{π^ａμ(Ｄ_μθ^ａ(ｘ)＋θ^ａ(ｘ)ρ^ａ(ｘ)}|_ｘ0＝ｔ 

です。
 

よって,ｘ⁰＝ｔにおいて, 

δＡ^ａ_μ(ｘ)＝[Ａ^ａ_μ(ｘ),Ｇ[θ]]_P.B. 

＝δＧ/δπ^ａμ(ｘ)＝Ｄ_μθ^ａ(ｘ),  

δπ^ａμ(ｘ)＝[π^ａμ(ｘ),Ｇ[θ]]_P.B. 

＝－δＧ/δＡ^ａ_μ(ｘ)＝－ｇ_ａｂｃπ^ｂμ(ｘ)θ^ｃ(ｘ), 

となります。
 

こうして,Ｇ[θ]を母関数として,「ゲージ場の量子論(15)」 

で論じた局所ゲージ変換:δＡ^a_μ(ｘ)＝∂_μθ_a(ｘ) 

－ｇｆ_abcＡ^ｂ_μ(ｘ)θ_c(ｘ)＝Ｄ_μθ_a(ｘ) 

が確かに再現されます。
 

また, δπ^ａμ(ｘ)＝[π^ａμ(ｘ),Ｇ[θ]]_P.B. 

＝－δＧ/δＡ^ａ_μ(ｘ)＝－ｇ_ａｂｃπ^ｂμ(ｘ)θ^ｃ(ｘ)は

場の強さ,π^ａμ＝Ｆ^ａμ0が,随伴表現として斉次的に 

変換するのを正しく表わしています。
 

物質場については, 例えばスカラー場:φ(ｘ)の場合, 

δφ(ｘ)＝[φ(ｘ),Ｇ[θ]]_P.B.＝δＧ/δπ 

＝－iｇθ^ｃ(ｘ)Ｔ^ｃφ(ｘ)　です。
 

※量子化 

まず,前節で述べた,第１類拘束条件の第1の取り扱い 

方法で量子化してみます。2×dimＧ個の第１類拘束条件 

に対応して次のゲージ固定条件: 

χ^ａ₁(ｘ)＝Ａ^ａ₀(ｘ)～ 0, χ^ａ₂(ｘ)＝∇Ａ^ａ(ｘ) ～ 0  

を設定します。
 

これらの拘束条件:φ^ｂ₁,φ^ｂ₂とのPoisson括弧を求めます。 

[χ^ａ₁(ｘ),φ^ｂ₁(ｙ)]]_P.B.＝[Ａ^ａ₀(ｘ,ｔ),π^ｂ₀ (ｙ,ｔ)]_P.B.  

＝δ^ａｂδ³(ｘ－ｙ) 

 [χ^ａ₂(ｘ), φ^ｂ₂(ｙ)]_P.B. 

＝[∇_xＡ^ａ(ｘ,ｔ),Ｄ_ｙπ^ｂ(ｙ,ｔ)－ρ^ｂ(ｙ,ｔ)]_P.B. 

＝∇_x{δ^ａｂ∇_ｙ＋ｇｆ_ａｃｂＡ^ｃ(ｘ,ｔ)}δ³(ｘ－ｙ)
 

[χ^ａ₁(ｘ), φ^ｂ₂(ｙ)]_P.B.＝[χ^ａ₂(ｘ), φ^ｂ₁(ｙ)]_P.B.＝0 

です。
 

そこで,ゲージ固定条件を付加した全体の条件: 

 {χ^ａ_i(ｘ), χ^ｂ₂(ｘ),φ^ｃ₁(ｙ) φ^ｄ₂(ｙ)}の 

Poisson括弧行列の行列式は非ゼロとなり,全体として 

第2類拘束条件をなすことがわかります。
 

そこで,変数Ａ^aとπ^ｂのDirac括弧を計算し,それにｉを掛けた 

ものを,正準交換関係として読み換えれば,ゲージ固定条件: 

χ^ａ₁(ｘ)＝Ａ^ａ₀(ｘ)～ 0, χ^ａ₂(ｘ)＝∇Ａ^ａ(ｘ) ～ 0 

での量子化ができます。
 

しかし,.Coulombゲージとか.輻射ゲージと呼ばれるこの 

ゲージは相対論的に非共変であり,Dirac括弧を経由した交換関係 

を演算中には,∇_x{δ^ａｂ∇_ｙ＋ｇｆ_ａｃｂＡ^ｃ}の逆が出現して非局所 

で非多項式のかなり複雑なものとあります。
 

それ故,ここでは,れ以上実際にDirac括弧をを計算することは 

せず,このゲージでの経路積分を調べて,そこから別の方策を 

模索することにします。
 

第2類拘束条件が{χ^ａ_i(ｘ), χ^ｂ₂(ｘ),φ^ｃ₁(ｙ) φ^ｄ₂(ｙ)} 

の遷移振幅は. 

Ｔ＝∫ＤπＤＡＤπ_φＤφΨ_Ｆ^＊Ψ_Ｉ

Π_ｘ{Π_ａδ(Ａ^ａ₀(ｘ))δ(∇Ａ^ａ(ｘ))} 

Π_ｘ{Π_ｂδ(π^ｂ₀(ｘ))δ(Ｄπ^ｂ(ｘ)－ρ^ｂ(ｘ))}Π_ｔ(DetＭ) 

exp i∫ｄ⁴ｘ{π^ａμＡ^ａ_μ^d＋π_φφ－Ｈ ~(π,Ａ,π_φ,φ)} 

となります。
 

ただし,DetＭは汎関数行列式であり,Ｍは, 

Ｍ^ａｂ_ｘｙ(ｔ)＝∇_x{δ^ａｂ∇_ｙ＋ｇｆ_ａｃｂＡ^ｃ(ｘ,ｔ)}δ³(ｘ－ｙ) 

なる超行列です。
 

ＤπＤＡは.Π_ａ,μＤπ^ａμＤＡ^ａ_μであり,Ｄπ_φＤφは物質場に 

ついての経路積分です。
 

まず,δ(Ａ^ａ₀(ｘ)),δ(π^ｂ₀(ｘ))があるので,Ａ^ａ₀,π^ａ₀の積分 

は自明に行うことができます。
 

また,δ関数の公式によれば,Π_ａδ(Ｄπ^ａ－ρ^ａ) 

＝∫Ｄλ^ａexpi∫ｄ⁴ｘ{λ^ａ(Ｄπ^ａ－ρ^ａ)}と書き換えること 

ができます。この新積分変数:λ^ａを既にδ(Ａ^ａ₀)とＤＡ^ａ₀で 

消したゲージ場の時間成分:Ａ^ａ₀と書くことにすれば,Ｄλ^ａ 

はＤＡ^ａ₀となってＤＡ^ａ₀が復活します。
 

∫ｄ⁴ｘＡ^ａ₀(ｘ)π^ａ₀ ^d(ｘ)＝－∫ｄ⁴ｘπ^ａ₀(ｘ)Ａ^ａ₀^d(ｘ) 

ですから,

これと∫ｄ⁴ｘ{π^ａμＡ^ａ_μ^d＋π_φφ－Ｈ ~(π,Ａ,π_φ,φ)} 

から∫ｄ⁴ｘ{π^ａｊＡ^ａ_ｊ^d＋π_φφ－Ｈ ~(π,Ａ,π_φ,φ)}
 

Hamiltonianmi密度;Ｈ~の形から,π^ａ,π_φによる積分はGauss積分 

であることがわかります。
 

そこで,積分:ＤπＤπ_φを先に実行すると, 

Ｔ＝∫ＤＡＤφΨ_Ｆ^＊Ψ_ＩΠ_ｘ{Π_ａδ(∇Ａ^ａ(ｘ))} 

Π_ｔ(DetＭ)exp{i∫ｄ⁴ｘＬ(Ａ,φ)}となります。
 

ここでＬは,元のLagrabgian密度; 

Ｌ(Ａ,φ)＝－(1/4)Ｆ^ａ_μνＦ^ａμν＋Ｌ_matter(φ,Ｄ_μφ)です。
 

これが,Coulombゲージ:∇Ａ^ａ～ 0 における経路積分の 

最終表式です。相対論的に非共変なのはΠ_ａδ(∇Ａ^ａ(ｘ)) 

Π_ｔ(DetＭ)の因子部分だけです。
 

切りがいいので,今日はここまでにします。
 

(参考文献)：九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

ゲージ場の量子論(17)

「ゲージ場の量子論(16)」からの続きです。
 

Σ_ν=1^{(2Ｎ－2ｍ)}(ｚ_μ,ｚ_ν)[ｚ_ν,ｚ_ρ]_D＝δ_μρ(1≦μ,ρ≦(2Ｎ－2ｍ)) 

はDirac括弧を計算する具体的方法としても大変有用な式です。
 

実際,ｚ₁,ｚ₂,..,ｚ_2N-2m, が(2Ｎ－2ｍ)個のΓ^＊の座標で, 

ｚ_2N-2m＋1＝φ₁, ｚ_2N-2m＋2＝φ₂,..,, ｚ_2N＝φ_2m,が2ｍ個の拘束変数 

のように変数を選び,2-形式:ｄｑ_i∧ｄｐ_iをｄｚ_μ∧ｄｚ_νで 

書き直すのは容易です。そして,そのときの係数がLagrange括弧 

なので,その(2Ｎ－2ｍ)×(2Ｎ－2ｍ)行列の逆行列を求めればいい 

だけです。
 

これらの事実から第2類拘束条件に対する別の取り扱い法があること 

がわかります。すなわち,単に2ｍ個の拘束条件:φ_α＝0を解き,  

余分な変数を消去して,全ての量を適切なΓ^＊の独立な正準変数: 

ｑ^＊,ｐ^＊で表わす方法です。そうすれば話は,普通のPoisson括弧で  

済み,(それと一致する)Dirac括弧など考える必要はなくなります。

もちろん,それでもいいのですが,実際にはφ_α＝0を陽に解くのが 

むずかしいとか,解けるけど解くと系の対称性が陽には見えなくなる 

とか,種々の不都合が現われることが多いです。
 

特に場の理論の場合, 拘束条件を解くと重要なLorentz不変性が明白で 

なくなったり,非局所的な相互作用が誘致されたりします。
 

それらの不都合を避けるため,全ての余分な変数を残しておき,なお, 

物理的にはΓ^＊の中のみを考えるのと等価な正準形式を与えるのが, 

Dirac括弧の方法であり,その利点です。
 

Dirac括弧はΓ^＊におけるPoisson括弧ですから,Poisson括弧 

の全ての性質が成り立ちます。
 

例えば,[Ｆ,Ｇ]_D＝(－)^|Ｆ||Ｇ|[Ｇ,Ｆ]_P , 

[Ｆ,Ｇ]_D,Ｈ] _D＋(－)^{|Ｆ|(|Ｇ|＋|Ｈ|)}[[Ｇ,Ｈ]_D,Ｆ] _D 

＋(－)^{|Ｈ|(|Ｆ|＋|Ｇ|)}[[Ｈ,Ｆ]_D,Ｇ] _D＝ 0 です。
 

これは強い等式として成立します。
 

※(注17-1):　証明です。 

(∂Ｆ/∂ｑ_i)ｄｑ_i＝ｄｑ_i{(∂/∂ｑ_i)Ｆ}ですが, 

(∂Ｆ/∂ｑ_i)と{(∂/∂ｑ_i)Ｆ}の偶奇性は,|Ｆ|＋|ｉ|です。 

ｄｑ_iの偶奇性は,もちろん,|ｉ|です。
 

Grassman数:Ａ,Ｂでは,ＢＡ＝(－)^|A|＋|B|ＡＢなので, 

{(∂/∂ｑ_i)Ｆ}ｄｑ_i＝(－)^|F||F|＋|i|ｄｑ_i{(∂/∂ｑ_i)Ｆ} 

です。そして,定義により, 

[Ｆ,Ｇ]_P.B＝(∂Ｆ/∂ｑ_i){(∂/∂ｐ_i)Ｇ} 

－(－)^|i|(∂Ｆ/∂ｐ_i){(∂/∂ｑ_i)Ｇ} 

－[Ｇ,Ｆ]_P.B＝(－)^|i|(∂Ｇ/∂ｐ_i){(∂/∂ｑ_i)Ｆ} 

 －(∂Ｇ/∂ｑ_i){(∂/∂ｐ_i)Ｆ}です。
 

ところが,(－)^|i|(∂Ｇ/∂ｐ_i){(∂/∂ｑ_i)Ｆ} 

＝(－)^|ｉ|(－)^{|ｉ|(|Ｇ|＋1)}(－)^{|i|(|fＦ|＋1)}(－)^{(|Ｇ||＋|ｉ|) (|Ｆ|＋||ｉ|)} 

(∂Ｆ/∂ｑ_i){(∂/∂ｐ_i)Ｇ} 

＝(－)^{|i|(2ＧG|＋2|Ｆ|＋4)}(－)^|Ｆ||Ｇ|(∂Ｆ/∂ｑ_i){(∂/∂ｐ_i)Ｇ} 

＝(－)^|Ｆ||Ｇ|(∂Ｆ/∂ｑ_i){(∂/∂ｐ_i)Ｇ}　です。
 

また,(∂Ｇ/∂ｑ_i){(∂/∂ｐ_i)Ｆ} 

＝(－)^|ｉ|(－)^|Ｆ||Ｇ|(∂Ｆ/∂ｐ_i){(∂/∂ｑ_i)Ｇ}
 

以上から[Ｆ,Ｇ]_P.B＝－(－)^|Ｆ||Ｇ|[Ｇ,Ｆ]_P.B　です。
 

次に,[Ｇ,φ_α]_P.B.(Ｃ^-1)^αβ[φ_β,Ｆ]_P.B.を考えます。
 

まず,Ｃ_αβ＝[φ_α,φ_β]_P.B＝－(－)^|α||β|[φ_β,φ_α]_P.B 

＝(－)^|α||β|＋1Ｃ_βαです。
 

δ_α^γ＝Ｃ_αβ＝(Ｃ^-1)^βγ＝(Ｃ^-1)^βγ(Ｃ^-1)^βγより, 

1＝(－)^|α||β|＋1Ｃ_βα(Ｃ^-1)^βγ(γ＝α)
 

故に,(Ｃ^-1)^βα＝(－)^|α|＋|β|(－)^|α||β|＋1(Ｃ^-1)^αβ 

一方,[Ｇ,φ_α]_P.B＝(－)^{|Ｇ||α|＋1}1φ_β,Ｇ]_P.B ,かつ, 

[φ_β,Ｆ]_P.B. ＝(－)^{|Ｆ||β|＋1}1Ｆ,φ_β]_P.B です。
 

結局, [Ｇ,φ_α]_P.B.(Ｃ^-1)^αβ[φ_β,Ｆ]_P.B. 

＝－(－)^|Ｆ||Ｇ|[Ｆ,φ_α]_P.B.(Ｃ^-1)^αβ[φ_β,Ｇ]_P.B. 

が得られます。
 

以上から,[Ｆ,Ｇ]_D＝－(－)^|Ｆ||Ｇ| [Ｇ,Ｆ]_D 

がいえました。
 

次に,Jacobi恒等式がDirac括弧でも成立することを示す 

のも直線的ですが,長くなるので証明は省略します。 

(注17-1終わり※)
 

さて,拘束のある系のHamiltonianは, 

Ｈ~＝Ｈ＋φ_aλ^a,Ｈ’＝Ｈ－φ_α(Ｃ^-1)^αβ1φ_β,Ｈ]_P.B で 

与えられていましたが,前回の終わりから,拘束は全て第2類 

と仮定しているので系のHamiltonianは, 

単にＨ'＝Ｈ－φ_α(Ｃ^-1)^αβ1φ_β,Ｈ]_P.B です。
 

力学量Ｆの運動方程式は, 

Ｆ^d＝[Ｆ,Ｈ]_P.B.－[Ｆ,φ_α]_P.B.(Ｃ^-1)^αβ[φ_β,Ｈ]_P.B.  

＝[Ｆ,Ｈ]_D ～ [Ｆ,Ｈ']_Dとなるため,φ_αに比例する項は忘れて 

もよいことになります。
 

※第2類拘束系の量子化 

量子化するにはDirac括弧のｉ倍を交換関係に置き換えれば 

いいだけです。
 

すなわち,i[Ｆ,Ｇ]_D→[Ｆ,Ｇ]＝ＦＧ－(－)^|Ｆ||Ｇ|ＧＦとします。
 

運動方程式:Ｆ^d＝[Ｆ,Ｈ]_Dは,i(∂Ｆ/∂ｔ)＝[Ｆ,Ｈ] 

と読みかえられることになります。
 

古典論においてＦ,ＧのDirac括弧を計算し,それを演算子: 

Ｆ,Ｇの間の正準(反)交換関係に読みかえます。
 

拘束条件:φ_α～0 も演算子:ｑ_i,ｐ_iの間の拘束となりますが, 

上述のDirac括弧の性質から,上のように設定した正準(反) 

交換関係と矛盾しません。
 

演算子形式(operator formalism)の量子論は,この手続きに 

よって完全に決定されます。しかしながら,ここまで論じてきた 

遷移振幅の経路積分の表式がどのように変更を受けるかを見て 

おくのも応用上有益です。
 

念のため,第2類拘束の定義を復習します。
 

Diracは,力学量(＝ｑ_i,ｐ_jの関数):Ｒ(ｑ,ｐ)が全ての拘束: 

φ_Ａとの間で,[Ｒ, φ_Ａ]_P.B.～ 0 (Ａ＝1,2,..,Ｍ)を満たす 

とき,Ｒを第1類,さもないとき,これを第2類と呼びました。
 

相似変換:[φ_Ａ,φ_Ｂ]_P.B → [φ_α,φ_β]_P.B＝Ｃ_αβ 

(α,β＝1,2,..,ｒ)から,全拘束:φ_Ａのうち.φ_α(α＝1,2,..ｒ) 

は第2類, φ_a(ａ＝ｒ＋1,..,Ｍ)は第1類です。
 

さて,Dirac括弧を経由した量子化は,独立なΓ^＊の正準変数: 

ｑ_l^＊,ｐ_l^＊を用いた普通の正準量子化と等価ですから, 

ある初期状態:Ψ_Iから終状態:Ψ_Fへの遷移振幅は, 

Ｔ＝＜Ψ_Ｆ,ｔ_F|Ψ_I,ｔ_I＞ 

＝∫Ｄｐ^＊Ｄｑ^＊Ψ_Ｆ^＊Ψ_I expi∫ｄｔ[ｐ^＊ｑ^＊d－Ｈ^＊(ｐ^＊,ｑ^＊)] 

で与えられます。ただし,Ｈ^＊はHamiltonian:Ｈをｑ^＊,ｐ^＊で 

表わしたものです。
 

しかし,この表式では,拘束条件:φ_α ＝ 0を陽に解いて,全てを 

ｑ^＊,ｐ^＊で表わす必要があり,先述したような不便さがあります。 

そこで,これをｐ,ｑで表わしたもの:次式が等価であることを  

主張します。つまり,Ｔ＝∫ＤｐＤｑΨ_Ｆ^＊Ψ_I  

Π_t[Π_α=1^2mδ(φ_α)det^1/2([φ_β,φ_β]_P.B.) 

expi∫ｄｔ[ｐｑ^d－Ｈ(ｐ,ｑ)] です。
 

ここでの経路積分:ＤｐＤｑは,元の全ての変数にわたる 

Π_i=11^NＤｐ_iＤｑ_iを意味します。

※(注17-2):以下,2つの経路積分が等価であることを証明します。
 

まず,2ｍ個の拘束:φ_α(α＝1,..,2ｍ)は全て第2類拘束なので, 

行列:Ｃ_αβ＝[φ_α,φ_β]_P.Bの階数は2ｍです。そしてＣ＝{Ｃ_αβ} 

は交代行列(反対称行列)なので,正則な2ｍ×2ｍ行列:Ｌ 

(detＬ≠0)が存在して,ＬＣＬ^Tによりｍ次の単位行列:Ｅmを 

反対角成分のＥm,－Ｅmとするブロック反対角行列に変換できます。
 

つまり,拘束:φ_αを線型変換で組みかえて 

Σ_α=1^2ｍＬ_ａαφ_α＝ψ_a, Σ_β=1^2ｍＬ_ｂβφ_β＝ξ_b(ａ,ｂ＝1,..,ｍ) 

[φ₁,..,φ_2ｍ]^Ｔを2ｍ行2ｍ列の行列:{Ｌ_ａα}に 

よって,[ψ₁,..,ψ_ｍ,ξ₁,..,ξ_ｍ]^Ｔに変換したとき, 

[ψ_a,χ_ｂ]_P.B＝δ_ａｂ,[ψ_a,ψ_ｂ]_P.B＝[ξ_a,ξ_ｂ]_P.B＝0 

(ａ,ｂ＝1,..,ｍ)とできるはずです。
 

すると,δ関数の性質から 

Π_α=1^2mδ(φ_α)＝|det(Ｌ)|Π_ａ=1^ｍ{δ(ψ_a)δ(ξ_a)} 

です。
 

そして,det(ＬＣＬ^T)＝1から|det(Ｌ)|² det(Ｃ) ＝1, 

|det(Ｌ)| ＝det(Ｃ)^-1/2＝det^-1/2{[φ_α,φ_β]_P.B} 

Π_α=1^2mδ(φ_α) det^-1/2{[φ_α,φ_β]_P.B}＝Π_ａ=1^ｍ{δ(ψ_a)δ(ξ_a)} 

です。
 

また,この関数組みかえで部分空間:Γは2ｍ個の条件;ψ_ａ＝ξ_a＝0  

で指定されることになります。この(2Ｎ－2ｍ)次元のΓ^＊内の座標  

付けを与えるのが,正準座標:ｑ^＊_l,ｐ^＊_lですが全体の2Ｎ次元

位相空間:Γの中のΓ^＊超平面近傍での正準座標として(Ｎ－ｍ)

対のｑ^＊,ｐ^＊に加えて,ｍ個の座標変数:ｑ'_ａ＝ψ_ａ(ｑ,ｐ)

(ａ＝1,..,ｍ),それに共役な運動量変数:ｐ'_ａを選ぶことにします。
 

Γ^＊はψ_ａ＝ξ_a＝0を満たす断面なので,Γ^＊の上では∂ψ_a/∂ｑ^＊_l  

＝∂ψ_a/∂ｐ^＊_l＝0です。さらにΓ^＊の上で条件:[ψ_ａ,ψ_ｂ]_P.B＝0を  

満たしているというψ_ａの性質により少なくとも今必要なΓ^＊の  

無限小近傍ではψ_ａをｑ^＊,ｐ^＊に独立な座標変数ｑ'_ａとして取ること 

ができます。
 

つまり,元の変数:(ｑ,ｐ)から新変数:(ｑ^＊,ｑ',ｐ^＊,ｐ')への 

変換は謂わゆる正準変換となります。
 

経路積分測度:ＤｐＤｑや∫ｄｔ(ｐｑ^d)は正準変換不変ですから 

∫ＤｐＤｑΨ_Ｆ^＊Ψ_I Π_t[Π_α=1^2mδ(φ_α)det^1/2{[φ_β,φ_β]_P.B.} 

exp i∫ｄｔ[ｐｑ^d－Ｈ(ｐ,ｑ)] 

＝∫Ｄｐ^＊Ｄｑ^＊Ｄｐ'Ｄｑ'Ψ_Ｆ^＊Ψ_I  

Π_t[Π_ａ=1^ｍδ(ｑ'_ａ)δ(ξ_a)} 

exp i∫ｄｔ[ｐ^＊ｑ^＊d＋ｐ'ｑ'^d－Ｈ(ｐ^＊,ｐ',ｑ^＊,ｑ')] 

となります。
 

Γ内の超平面:Γ^＊は,ｑ'_ａ＝0,および, 

ξ_ａ(ｑ^＊,ｑ'＝0,ｐ^＊,ｐ')＝0 (ａ＝1,…ｍ) 

を満たす解:ｐ'_ａ＝ｐ'_ａ(ｐ^＊,ｑ^＊)で指定されます。
 

よって,Ｔ＝＜Ψ_Ｆ,ｔ_F|Ψ_I,ｔ_I＞ 

＝∫Ｄｐ^＊Ｄｑ^＊Ψ_Ｆ^＊Ψ_I expi∫ｄｔ[ｐ^＊ｑ^＊d－Ｈ^＊(ｐ^＊,ｑ^＊)] 

におけるHamiltonian:Ｈ^＊は, 

Ｈ^＊(ｐ^＊,ｑ^＊)＝Ｈ[ｐ^＊,ｐ'(ｐ^＊,ｑ^＊),ｑ^＊,ｑ'＝0] 

で与えられます。
 

ところで,拘束:ξ_ｂは,Γ^＊の近傍では,ξ_ｂ(ｑ^＊,ｑ',ｐ^＊,ｐ') 

＝(∂ξ_ｂ/∂ｑ'_ａ)|_Γ＊ｑ'_ａ＋(∂ξ_ｂ/∂ｐ'_ａ)|_Γ＊ 

×{ｐ'_ａ－ｐ'_ａ(ｐ^＊,ｑ^＊)}と展開できるので 

Π_ａ=1^ｍδ(ｑ(_ａ)δ(ξ_a) 

＝Π_ａ=1^ｍδ(ｑ'_ａ)δ{ｐ'_ａ－ｐ'_ａ(ｐ^＊,ｑ^＊)} 

|det^-1{(∂ξ_ｂ/∂ｐ'_ａ)|_Γ＊|　と書けます。
 

ところが,ψ_ａ ＝ｑ'_ａなので,[ψ_ａ,ξ_b]_P.B＝(∂ξ_ｂ/∂ｐ'_ａ) 

ですが.[ψ_ａ,ξ_b]_P.B＝δ_ａｂですから,Π_ａ=1^ｍδ(ｑ'_ａ)δ(ξ_a) 

＝Π_ａ=1^ｍδ(ｑ’_ａ)δ{ｐ（_ａ－ｐ（_ａ(ｐ^＊,ｑ^＊)}を得ます。
 

それ故,∫Ｄｐ^＊Ｄｑ^＊Ｄｐ'Ｄｑ'Ψ_Ｆ^＊Ψ_I  

Π_t[Π_ａ=1^ｍδ(ｑ’_ａ)δ(ξ_a)} 

exp i∫ｄｔ[ｐ^＊ｑ^＊d＋ｐ’ｑ’^d－Ｈ(ｐ^＊,ｐ',ｑ^＊,ｑ')] 

において,先に∫Ｄｐ'Ｄｑ'を遂行すれば 

∫Ｄｐ^＊Ｄｑ^＊Ψ_Ｆ^＊Ψ 

exp i∫ｄｔ[ｐ^＊ｑ^＊d－Ｈ[ｐ^＊,ｐ'(ｐ^＊,ｑ^＊),ｑ^＊,ｑ'＝0] 

となります。
 

これは,確かに,Ｔ＝＜Ψ_Ｆ,ｔ_F|Ψ_I,ｔ_I＞ 

＝∫Ｄｐ^＊Ｄｑ^＊Ψ_Ｆ^＊Ψ_I expi∫ｄｔ[ｐ^＊ｑ^＊d－Ｈ^＊(ｐ^＊,ｑ^＊)] 

に一致し,等価です。　(注17-2終わり※)
 

※第1類拘束条件の取扱い 

ここまで拘束が全て第2類の場合の取り扱いを考察しました。
 

第1類拘束:φ_ａ(ａ－1,..,Ｍ－2ｍ)と第2類拘束:φ_α(α＝1,..,2ｍ) 

が共存する場合を考えます。
 

再び述べますが,力学量:Ｒ(ｑ,ｐ)が全ての拘束:φ_Ａとの間で, 

[Ｒ, φ_Ａ]_P.B.～ 0 (Ａ＝1,2,..,Ｍ)を満たすとき,Ｒを第1類, 

さもないとき,これを第2類と呼びます。
 

それ故,第1類拘束:φ_ａ(ａ－1,..,Ｍ－2ｍ)のPoisson括弧 

は第1類拘束だけの線形結合となります。 

[φ_ａ,φ_b]_P.B＝ｆ_ａｂｃφ_ｃです。
 

これは第1類の力学量Ｒ,ＳのPoisson括弧:[Ｒ,Ｓ]_P.Bがまた 

第1類となるからです。
 

つまり, 第1類の条件:[Ｒ, φ_Ａ]_P.B.～ 0 (Ａ＝1,2,..,Ｍ)は 

強い等式として[Ｒ, φ_Ａ]_P.B.＝ｒ_Ａ^Ｂφ_Ｂ(Ａ＝1,2,..,Ｍ)なること 

を意味します。同様に[Ｒ, φ_Ａ]_P.B.＝ｓ_Ａ^Ｂφ_Ｂ(Ａ＝1,2,..,Ｍ) 

ですから,Ｒ,Ｓ,φ_Ａに対するJacobi恒等式より,結局, 

[[Ｒ,Ｓ]_P.B.,φ_Ａ]_P.B.～0(Ａ＝1,2,..,Ｍ)　がいえるからです。
 

そこで,[φ_ａ,φ_b]_P.Bは強い等式として第2類を排除した第1類拘束 

だけの線形結合で表わせるわけです。
 

第1類拘束:φ_ａがあると,系のHamiltonian:Ｈ は,その個数だけ, 

全く不定の未定係数:λ^ａを持つＨ~で与えられることになります。 

Ｈ~＝Ｈ'＋φ_ａλ^ａです。
 

このHamiltonianでは,[φ_Ａ,Ｈ~]_P.B.,＝Ｃ_Ａ^Ｂφ_Ｂ が成り立ち, 

全ての拘束条件:φ_ａ ～ 0,φ_α ～0も矛盾なく時間発展 

します。
 

しかしながら,正準変数:ｑ,ｐは.必ずしも.φ_ａとのPoisson括弧 

がゼロとなるわけではないので,その時間発展は, 

ｑ_i^d ～ [ｑ_i,Ｈ’]_P.B.,＋[ｑ_i,φ_ａ]_P.B.λ^ａ,および, 

ｐ_i^d ～ [ｐ_i,Ｈ’]_P.B.,＋[ｐ_i,φ_ａ]_P.B.λ^ａのようになり, 

不定係数:λ^ａに依存します。
 

すなわち,系の運動は第1類拘束条件の数だけ決まりません。
 

この決定されない運動の方向は, 

δｑ_i＝[ｑ_i,φ_ａ]_P.B.,δｐ_i＝[ｐ_i,φ_ａ]_P.B.ですが,これらは 

φ_ａを母関数(generator＝生成子)とする正準変換を意味します。
 

つまり,φ_ａは,ｑ → ｑ＋δｑ,ｐ → ｐ＋δｐ, 

δｑ_i＝∂φａ/∂ｐ_i,δｐ_i＝∂φ_ａ/∂ｑ_iなる変換を生成 

する関数であり,この変換は正準変換(古典的接触変換)です。
 

このことは,系に第1次拘束で生成される変換:δｑ_i＝[ｑ_i,φ_ａ]_P.B. 

δｐ_i＝[ｐ_i,φ_ａ]_P.B.の下での不変性が存在して,系の全ての物理量: 

Ｆはこの変換の下で不変であるべきこと,つまり, 

δＦ＝[Ｆ,φ_ａ]_P.B.～ 0 なることを意味します。 

(※これは,ゲージ不変性を意味することがわかります。)
 

さらに,[φ_ａ,φ_b]_P.B＝ｆ_ａｂｃφ_ｃは,このφ_ａの生成する変換が 

閉じていて構造定数:ｆ_ａｂｃを持つLie代数を構成することを 

示しています。
 

これらは局所ゲージ不変性を持つ系に特徴的なことであり, 

先述したように第1類拘束:φ_ａは変換の母関数(生成子)に 

なっています。
 

こうして,第1類拘束条件は,古典論的にゲージ不変性に対応する 

ものであることが示されました。これを量子化するとゲージ場の 

量子論になるはずです。
 

この第1類拘束条件に対する１つの取扱い方法は,ゲージ固定条件 

をおくものです。
 

元来,ゲージ変換で動く方向へは運動は決まらず,しかも全ての物理量 

は,それらの方向にどのように運動しても不変なので,その方向への 

運動を,予め勝手に決めておいても,かまわないはずです。
 

したがって,第1類拘束の数だけ勝手な条件:χ_ａ(ｑ,ｐ)＝0 

(ａ－1,..,Ｍ－2ｍ)を設けます。
 

これらはゲージ固定条件(gauge fixing condition)と呼ばれること 

もありますが,全く任意ではなく,ゲージ変換方向の運動がこれで完全 

に決定されるためには,Hamiltonianに現われる不定係数λ^ａが決まる 

ようなものでなければなりません。
 

この要請は.ゲージ固定条件;χ_ａ(ｑ,ｐ)＝0 (ａ－1,..,Ｍ－2ｍ) 

が任意の時刻で成立するという条件:  

χ_ａ^d ～ [χ_ａ,Ｈ’]_P.B.,＋[χ_ａ,φ_ｂ]_P.B.λ^ｂ＝0 から,λ^ａが決まる 

こと:det[χ_ａ,φ_ｂ]_P.B.～ 0ではないことを要求することになります。 

[χ_ａ,χ_ｂ]_P.B.の方には条件なしです。
 

また,[φ_ａ,φ_ｂ]_P.B. ～ 0なので,2(Ｍ－2ｍ)個の条件;{φ_ａ,χ_ａ} 

による全Ｐoisson括弧の行列の行列式も弱い意味で非ゼロと 

なり,これらは全体として条件;{φ_ａ,χ_ａ}が第2類の拘束条件と 

なることを意味するため,結局,前述した拘束が全て第2類拘束の 

場合の取り扱いに帰着します。
 

第1類拘束条件に対しては,もう1つ別の取扱い方法があります。
 

第1類拘束条件は,そもそも,系が(局所)ゲージ不変性を持つところ 

から生じています。

それ故,議論の出発点のLagrangianの段階から勝手なゲージ固定

をしていいので,系のLagrangianにゲージ固定項と呼ばれるもの

を適当に付加し,変更したLagrangianから出発すれば第1類拘束

条件が現われないことを利用するものです。
 

量子電磁力学(QED)におけるFermi項と呼ばれる(1/2)(∂_μＡ^μ)²は, 

ゲージ固定項の有名な例ですが,Ｕ(1)群以外の非可換ゲージ理論 

では,これほど素朴なゲージ固定項ではうまくいきません。
 

この「Lagrangian段階でのゲージ固定」による取扱い法は,場の理論 

の場合,相対論的不変性を明白にしたままで扱えるという大きな利点  

を持つので.以下では,この方法を採用します。
 

また,量子論においては, 第1類拘束条件に対する更に別の取扱い  

もあります。それはゲージ固定条件を設けず,代わりに,物理的状態 

|Phys＞に対しφ_a|Phys＞＝0 (ａ＝1,.Ｍ－2ｍ)を要求するものです。
 

このように,状態に付ける条件は一般に補助条件

(subsidary consition)と呼ばれます。

今の場合,φ_aはゲージ変換を生成する演算子なのでφ_a|Phys＞＝0は, 

"物理的状態はゲージ変換で不変であるべし"との要求になっています。
 

ゲージ固定条件を設けないので,Ｈ~＝Ｈ(＋φ_ａλ^ａのλ^ａは不定 

ですが勝手な値;例えばλ^a＝0としておきます。 

そうすれば,とにかく全ての演算子の時間発展は決まり, 

しかも,物理的状態は,φ_a|Phys＞＝0を満たすため, 

＜Phys|[Ｆ,φａ]|Phys＞となって,任意の力学量:Ｆの時間発展 

にλ^ａを勝手に取った任意性が,物理的状態空間においては 

現われません。
 

φ_a|Phys＞＝0の補助条件が矛盾を含まないのは.φ_ａが第1類拘束 

で,量子化前の[φ_ａ,φ_b]_P.B＝ｆ_ａｂｃφ_ｃが示す通り,(反)交換関係 

が閉じていて,拘束:φ_ｃの線形結合で与えられるからです。
 

さて,§5-2はこれで終わり.切りがいいので今日はここまでにします。
 

(参考文献)：九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

訃報！！深水三章さん。

有名人の訃報続きで,記事が後先になりましたが,俳優の深水三章さんが2017年12月30日に自宅玄関前で急死されたようです。

死因は虚血性心不全,野村サッチーの死因と同じです。

しかし,深水さんは享年,まだ70歳でした。

日刊スポーツ→　深水三章さん　自宅前で急死　忘年会の帰り..70歳

やはり今年はいつもより寒い冬であるらしく心臓病で亡くなる人が多いですね。日平均気温で6度を下回ると,急性心筋梗塞も急激に増えるらしいです。

心臓に持病がなくても特に高齢者はヒートショックに気をつけないと。。

かくいう私も慢性の「虚血性心不全」が持病で,特に冬場に飲酒などをして自宅近くでタクシーを降りてから自宅に入るまでのほんの数分間に死にそうに辛いこともよくあり,途中でつい嘔吐したりしています。まあ順番ですかね。。

ご冥福をお祈りします。合掌！！

訃報！！星野仙一さん。

同郷の英雄,星野仙一氏が去る4日に亡くなられたらしいです。

死因は膵臓ガンで享年70歳でした。

Yahooニュース → 星野仙一氏死去70歳　死因は膵臓がん

私が岡山県の金光学園高校に入学した昭和40年は4月に選抜高校野球で父親の母校岡山東商が平松投手を擁して唯一岡山県に全国優勝をもたらした年で,それが父親の享年46歳の命日でした。,

星野仙一氏は確かその前年に倉敷商のエースで甲子園には出られなかったと記憶しています。

世間は,それから明治大学を出てプロで活躍後に彼の存在を知ったのでしょうが,私は故強の高校野球応援の関係でもっと前から,この私より3年先輩の彼の存在を知っていました。

年もそんなに離れていないしTVでは私より元気そうでしたので今朝の訃報にはとても驚きました。

　言っちゃ悪いけどプロ野球界には,野村,金田,張本,長嶋,王など,ずっと年上でしぶとく生きている人がまだたくさんいますし。。

岡山県,倉敷市などは中央の有名人は,少ないのですが,有名になると普通以上にユニ-クな人が多いですね。プロ野球のピッチャーなら同年代の平松,松岡,星野など巨人キラーがそろってましたし　野手なら,もう亡くなったけど関西高校出身の大杉。。。岡山南高校出身のバントの川相昌弘とか

プロボクサーの強いけれどクセのあった辰吉丈一郎とか.スケートの高橋大輔とか,。体操の森末信二とか。。さらに女子マラソンの有森裕子,将棋の世界なら大山15世名人など。。みんなハンパじゃないです。

最近は岩井志麻子とか,ブルゾンちえみ。とか,ちょっと県人として恥ずかしい感じの有名人もチラホラいます。

ずいぶん昔の歴史上なら宮本武蔵や竹久夢二とかも岡山ですネ。。

ご冥福をお祈りします。合掌！！

ゲージ場の量子論(16)」

「ゲージ場の量子論(15)」からの続きです。
 

まず,ゲージ場理論の応用例として量子色力学(QCD) 

を紹介します。
 

※ 量子色力学(QCD)
 

量子化した非可換ゲージ理論の現実的な例としては 

量子色力学(quantum chromodynamics　略してQCD)と呼ばれる 

ものがあります。
 

ゲージ群ＧがＳＵ(3)の場合で,ゲージ場:Ａ^a_μは8成分 

(カラー8重項)あってグルオン(gluon)と呼ばれます。
 

物質場は,全てのハドロン(hadron)の基本構成子(クォーク； 

quark)と呼ばれるDirac粒子:ψ_if(ｘ)です。
 

添字:i＝1,2,3はＧ＝ＳＵ(3)の基本表現(カラー3重項)です。 

もう1つの添字:ｆ＝12,..,Ｆは,ゲージ群ＳＵ(3)とは独立な 

添字でフレーバー(flavor)と呼ばれクォーク種類を表わします。 

(※現在のところ,クォークは6種類存在するとされており 

(Ｆ＝6),質量の低い順にｕ(up),ｄ(down)ｓ(strange), 

ｃ(charm),ｂ(bottom),ｔ(top)と名付けられています。)
 

したがって,QCDのLagrangian密度は, 

Ｌ_QCD＝－(1/4)Ｆ^a_μνＦ^aμν 

＋Σ_f=1^Fψ~_if[iγ^μ{∂_μ＋iｇＡ^a_μ(λ^a/2)}－ｍfδ_i^j]ψ_jf 

です。ただし,カラー8重項の添字ａ,カラー3重項の添字 

ｉ,ｊについては和記号を省略しました。
 

グルオンの交換によるクォーク間の相互作用はカラー添字ｉ 

のみに関わるものなので,クォークの種類(フレーバー):ｆ 

には全く無関係です。

それ故,ＳＵ(3)カラーゲージ相互作用によるクォーク何体 

かの結合状態が生ずればＦ種類のクォークの質量:ｍ_ｆ(ｆ＝1…,Ｆ) 

の全てが縮退した極限では,クォ－クはフレーバー群:Ｕ(Ｆ)の基本 

表現:Ｆに対応し,その結合状態は必ずＵ(Ｆ)の既約表現多重項と 

して縮退して出現することになります。
 

実際,観測されている数多くのハドロン共鳴状態は,バリオンの場合, 

クォーク3体:ψ_fψ_f’ψ_f”として直積:Ｆ×Ｆ×Ｆの既約分解から 

期待されるＵ(Ｆ)の多重項として分類され,また,メソンの場合は 

クォーク・反クォーゥ:ψ_fψ~_f’の結合状態として直積:Ｆ×Ｆ^＊ 

の既約分解から現われる多重項として,大変うまく分類されること 

がわかっています。
 

しかも先述のQCDのLahrangian密度ではＵ(Ｆ)の対称性の 

現われが質量項:－ｍ_fψ~_ifψ_ifのみなので,そのことからハドロン 

の多重項の中で質量の分岐の仕方が予言できて,それも実験値と 

よく合致しています。
 

このとき,バリオンがクォーク3体の結合状態であることとQCD 

のカラーゲージ群がＳＪ(3)であることが対応している点に留意 

しておきます。
 

事実,クォークの単離した１体状態ψや２体状態:ψψ,４体状態: 

ψψψψに対応する共鳴状態は観測されず,クォーク３体の 

ψψψのバリオンと,クォーク・反クォーク対:ψψ~のメソン 

のみが観測されています。この観測事実はこのゲージ群を採用 

すれば,結局,カラーＳＵ(3)群の１重項( color-singulet)のみ 

が粒子状態として存在し得る,という一言に要約できます。
 

実際,カラー基本３重項のクォーク場:ψ_ifからは,それらを 

最低で３個使うか,その反クォーク場との対を作るかによって 

初めてＳＵ(3)カラー1重項をを構成できます。
 

バリオンなら,_ff’f” ～ ε^ijkψ_ifψ_ｊ’ｆψ_ｋｆ” メソンなら, 

Ｍ_f^f’ ～ ψ_ifψ~^jf’がカラー１重項に組み得るクォーク数 

最小の配位です。
 

3階完全反対称テンソル:ε^ijkが不変テンソルであるのは, 

カラー群がＳＵ(3)であるからです。
 

カラー１重項以外,つまり,カラーチャージを持った粒子が 

現われない現象をカラー閉じ込め(color-confinement)と 

いいます。QCDにおいて閉じ込めが起こっていることを満足 

な形で証明した人はいませんが.にも拘わらず,専門研究者 

の誰もが現実に閉じ込めが起こっていることを信じて 

疑いません。
 

その理由は「格子ゲージ理論(lattice gauge theory)」に 

基づくモンテカルロ数値計算がそれを支持していること 

以外に, 

QCDの摂動計算で発見された「漸近的自由性(asymptotic frredom)」 

の存在が大きいです。 

「漸近的自由性」とは,短距離に近づけば近づくほど相互作用の強さ 

が弱くなる,という性質で,これは真空がカラー電場に対する媒質 

としては反誘電体である,ことを意味しています。
 

すなわち,同種電荷(同じカラーチャージ)が引き合い,外部からの 

カラー電場:Ｅに対して真空の分極:Ｐは逆向きになり,カラー電束 

は,Ｄ＝Ｅ＋Ｐ＝εＥなる式で,誘電率εがε＜1となります。
 

そして,もし真空がカラーに対して完全反誘電体:ε＝0なら, 

完全反磁性体;μ～0で特徴付けられる超伝導体の中で磁束: 

Ｂが広がることができずに「ひも状」となる(マイスナー効果) 

と同様,カラー電荷を持たない粒子から出る電束Ｄは「ひも状」 

になるはずです。
 

例えば,クォーク１体の場合は,このひもはＤの保存則から, 

どこまでも伸びざるを得ず,無限大のエネルギ－を持ち,有限 

エネルギーでは出現できない,ということになります。
 

一方,全体としてカラー電荷のないカラー１重項のメソンや 

バリオンなら,そてらは有限な長さの「ひも」でつながれた 

クォ－クの結合状態という描像で出現することになります。
 

メソンやバリオンの実際の散乱振幅で観測されている双対性 

(duality)という顕著な性質は,それが「ひも共状構造」を持つこと 

を強く示唆しています。(※Venezianoの双対共鳴模型から弦理論 

へと展開されます。)
 

さて,最先端の仮説理論であるQCDや弦(ひも)理論から離れて 

次の論題に移ります。
 

§5.2　特異系の正準形式の量子化

ゲージ理論を量子化する際に遭遇する問題を幾分一般的に論じて 

みます。(※古典的には,ゲージ自由度の存在がPoisson 括弧式の 

代わりにDirac括弧式を必要とするような特異系であることに由来 

すること,などを論じます。※)
 

簡単のため,有限個の座標変数:ｑ＝|ｑ_i}(ｉ＝1,..,Ｎ)を持ち, 

作用積分:Ｓ＝∫ｄｔＬ(ｑ,ｑ^d)(ｑ_i^ｄ＝ｄｑ_i/ｄｔ)で記述される 

系を考えます。
 

この系の運動は最小作用の原理から,とにかくEuler-Lagrange 

方程式:(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｑ_i^ｄ)－∂Ｌ/∂ｑ_i＝0で決定されます。
 

この際,Fermionに対応する古典系を考慮して,ｑ_iがGrassmann数 

である場合も,以下の式が変更なく成り立つように右微分,左微分 

を区別して書くことにします。
 

また,符号因子:(－)^|i|や(－)^|Ａ|の|ｉ|や|Ａ|は,座標ｑ_iや量: 

ＡがGrassmann偶のときゼロを表わすという前と同じ約束を 

します。
 

したがって,上述のEuler-Lagrange方程式は, ｑ_i,ｑ_i^ｄについて 

右微分とします。
 

※第１,２類の拘束条件

量子論に移行するためには,この系の運動を正準形式で扱わねば 

ならず,その際に種々の問題が生じます。
 

まず,第１に,ｑ_iに共役な運動量変数:ｐ_iは 

ｐ_i＝∂Ｌ(ｑ,ｑ^d)/∂ｑ_i^dで定義され,これを解いてｑ_i^dをｑ_i,ｐ_i 

の関数として表わし,Hamiltonian;Ｈをｑ_i,ｐ_i,noの関数として 

Ｈ(ｑ,ｐ)＝ｐ_iｑ_i^d－Ｌ(ｑ,ｑ^d) により求める必要があります。
 

ところが,一般にはdet[∂²Ｌ(ｑ,ｑ^d)/∂ｑ_i^d∂ｑ_j^d]＝0となって, 

ｐ_i＝∂Ｌ(ｑ,ｑ^d)/∂ｑ_i^dがｑ_i^dについて完全には解けない場合が 

あります。このような系を特異系(singular system)と呼びます。
 

ｐ_i＝∂Ｌ(ｑ,ｑ^d)/∂ｑ_i^dがｑ_i^dについて解けないということは. 

このＮ個の連立方程式系が完全に独立なｐとｑ^dの関係式ではなく, 

いくつかのｑ^dが脱落した関係式:φ_Ａ(ｑ,ｐ)＝0(Ａ＝1,2,..Ｍ₁≦Ｎ) 

を含むことを意味します。これらの関係式は,正準変数:ｑ,ｐの間の 

拘束を与え,これを「1次の拘束条件(primary constraints)」 

と呼びます。
 

この拘束条件はＭ₁＝Ｎ－rank[∂²Ｌ(ｑ,ｑ^d)/∂ｑ_i^d∂ｑ_j^d] 

の個数だけ存在するはずです。
 

全てのｑ_i^dが,必ずしもｑ,とｐでは表わせないにも関わらず, 

Ｈ(ｑ,ｐ)＝ｐ_iｑ_i^d－Ｌ(ｑ,ｑ^d) の右辺はｑ_i^dには依存しない 

ことがいえます。実際,Ｈをδｑ,δｐにより変分させると, 

δＨ＝δｐ_iｑ_i^d＋ｐ_iδｑ_i^d－{∂Ｌ(ｑ,ｑ^d)/∂ｑ_i^d}δｑ_i^d 

－{∂Ｌ(ｑ,ｑ^d)/∂ｑ_i}δｑ_i＝δｐ_iｑ_i^d－{∂Ｌ(ｑ,ｑ^d)/∂ｑ_i}δｑ_i 

となり,δｑ_i^dに比例する項は消えます。
 

したがって,δＨがδＨ＝δｐ_i{(∂/∂ｐ_i)Ｈ}＋(∂Ｈ/∂ｑ_i)δｑ_i 

なる形で与えられるという式を得ます。
 

しかしこの式の変分:δｐ_i,δｑ_jは独立任意ではなく,拘束条件: 

φ_Ａ(ｑ,ｐ)＝0(Ａ＝1,2,..Ｍ₁)を満たしながらの変分なので 

δｐ_i(|∂/∂ｐ_i)φ_Ａ}＋ (∂φ_Ａ/∂ｑ_j)δｑ_j＝0 の制限を受けます。
 

ここで,Lagrangeの未定係数法を適用します。 

λ^Ａを右からかかるLagrangeの未定係数として, 

変分;δｐ_i.δｑ_jが任意の場合の式: 

δＨ＝{δｐ_i{(∂/∂ｐ_i)Ｈ}＋(∂Ｈ/∂ｑ_i)δｑ_i] 

＋[δｐ_i{(∂/∂ｐ_i)φ_Ａ}＋(∂φ_Ａ/∂ｑ_j)δｑ_i]λ^Ａ 

をつくり,これを  

δＨ＝δｐ_iｑ_i^d－{∂Ｌ(ｑ,ｑ^d)/∂ｑ_i}δｑ_i 

と比較します。
 

つまり,δｐ_i.δｑ_jが全く任意の恒等式: 

δｐ_iｑ_i^d－{∂Ｌ(ｑ,ｑ^d)/∂ｑ_i}δｑ_i 

­­＝δｐ_i[{(∂/∂ｐ_i)Ｈ}＋{(∂/∂ｐ_i)φ_Ａ} 

＋(∂Ｈ/∂ｑ_i)δｑ_i＋(∂φ_Ａ/∂ｑ_j)δｑ_i・λ^Ａ 

が成立します。
 

それ故,ｑ_i^d＝(∂/∂ｐ_i)Ｈ＋(∂/∂ｐ_i)φ_Ａ・λ^Ａ, 

および,－∂Ｌ(ｑ,ｑ^d)/∂ｑ_i 

＝(∂Ｈ/∂ｑ_i)＋(－)^|i||Ａ|(∂φ_Ａ/∂ｑ_i)λ^Ａ 

が得られます。
 

そして、後者はｐ_iの定義式;ｐ_i＝－∂Ｌ(ｑ,ｑ^d)/∂ｑ_iから 

ｐ_i＝－(∂Ｈ/∂ｑ_i)－(－)^|i||Ａ|(∂φ_Ａ/∂ｑ_i)λ^Ａ 

と書き直せます。
 

結局, ｑ_i^d＝(∂/∂ｐ_i)Ｈ＋(∂/∂ｐ_i)φ_Ａ・λ^Ａ, 

－∂Ｌ(ｑ,ｑ^d)/∂ｑ_i＝(∂Ｈ/∂ｑ_i)＋(－)^|i||Ａ|(∂φ_Ａ/∂ｑ_i)λ^Ａ 

が正準変数に対する運動方程式です、
 

ここで,Grassman数をも考慮したPoisson括弧式を,[Ｆ,Ｃ]_P.B 

＝(∂Ｆ/∂ｑ_i){(∂/∂ｐ_i)Ｇ}－(－)^|i|(∂Ｆ/∂ｐ_i){(∂/∂ｑ_i)Ｇ} 

で定義します、
 

すると,先に与えた正準変数に対する運動方程式は, 

ｑ_i^d＝[ｑ_i,Ｈ]_P.B＋[ｑ_i,φ_Ａ]_P.B λ^Ａ, 

ｐ_i^d＝[ｐ_i,Ｈ]_P.B＋[ｐ_i,φ_Ａ]_P.B λ^Ａと書けます。
 

この形の正準方程式からｑ,ｐの任意関数:Ｆ(ｑ,ｐ)の 

時間発展の方程式が,次式で与えられることがわかります。 

Ｆ^d＝[Ｆ,Ｈ＋φ_Ａλ^Ａ]_P.B－(－)^|Ａ|[Ｆ,λ^Ａ]_P.Bφ_Ａ
 

そこで,新たにHamiltonianを,Ｈ~＝Ｈ＋φ_Ａλ^Ａで定義し直せば 

右辺第２項は拘束条件:φ_Ａ＝0を用いて落とせるので, 

Ｆ^d～[Ｆ,Ｈ~]_P.B と書けます。
 

等号:＝でなく～を用いたのはこの式がφ_Ａ(ｑ,ｐ)＝0の条件付き 

の(ｑ,ｐ)に対してのみ成立するという意味で,謂わゆる 

「弱い等式(Weak equatuon)」であるからです。
 

誤解のないように注意すると,Poisson 括弧式自体は2Ｎ個の正準変数 

(ｑ_i.ｐ_j)の位相空間:Γで定義されていて,その計算の際に,予めφ_Ａ＝0 

であることを使ってはいけません。
 

拘束条件:φ_Ａ＝0 (Ａ＝1,2,..,Ｍ₁)はΓの(2Ｎ－Ｍ₁)次元部分多様体 

Γ^＊を定義します。「弱い等式」:～は,変域をΓ^＊に制限したとき 

成立する等式という意味です。
 

さらにHamiltonianの定義:Ｈ~＝Ｈ＋φ_Ａλ^Ａは決して恣意的なもの 

ではなく,そもそも,LagrangianからHamiltonianを決める際に 

拘束条件に比例する量だけの不定性があったのです。
 

拘束条件:φ_Ａ＝0 (Ａ＝1,2,..,Ｍ₁)が,時間発展の方程式と無矛盾 

であるためには,φ_Ａ^d＝[φ_Ａ,Ｈ]_P.B＋[φ_Ａ,φ_Ｂ]_P.B λ^Ｂ ～ 0　が 

満たされる必要があります。
 

ところが,この式は単に未知数:{λ^Ａ}を決める1次方程式である 

場合もあれば,新たな条件式「2次的拘束条件(secondary contraints)」 

を与える場合もあります。
 

つまり,未知数:{λ^Ａ}を決める1次方程式の係数行列の階数; 

rank[φ_Ａ,φ_Ｂ]_P.Bをｒ₁とすると,ｒ₁≦Ｍ₁ですがｒ₁＜Ｍ₁なら係数 

行列;[φ_Ａ,φ_Ｂ]_P.Bは特異(非正則)で方程式が解けないからです。
 

適当に[φ_Ａ]の線形結合を取り直して,拘束条件の行列を変換して 

[φ_Ａ,φ_Ｂ]_P.B → [φ_α,φ_β]_P.B＝Ｃ_αβ(α,β＝1,2,..,ｒ₁) 

 (det(Ｃ_αβ)≠0)で,それ以外の要素はゼロの行列に相似変換 

できます。
 

これから[φ_α,Ｈ]_P.B＋Ｃ_αβλ^{β べ^他}～ 0。det(Ｃ_αβ)≠0)により 

未知数:{λ^α}(α＝1,2,..,ｒ₁)を決めることができて, 

λ^α＝～－(Ｃ^-1) ^αβ[φ_β,Ｈ]_P.B と書けます。
 

残りの(Ｈ₁)－ｒ₁)個の式は,単に,[φ_β,Ｈ]_P.B ～ 0　です。 

もしも,この左辺の[φ_β,Ｈ]_P.B(β＝1,2,..,(Ｍ₁－ｒ₁))が全て 

φ_α(α＝1,2,..,ｒ