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2018年2月15日 (木)

ゲージ場の量子論(28)」

「ゲージ場の量子論(27)」からの続き: 

§5-7 摂動論のFeynman則と簡単な計算 

の続きです。
 

※行列要素関係式とGren関数WT恒等式 

前回は.非常に具体的な計算を行なって摂動のg2 

のオーダーまでの範囲で,S行列要素の関係式: 

0|(1,)(2,±)|α>=0 

0|(1,)(2,)|α>=0 

0|(1,)(2,)|α> 

i0|c~(1)(2)S|α> 

を見出しました。
 

特に,(2)のWT恒等式:5.3,5.9を駆使して 

計算しましたが,実は,最後の結果である上記のS行列 

要素の関係式自体は,直接,4点Green関数に対する 

WT恒等式から従うものです。
 

すなわち, 一般的WT恒等式:, 

0=<0|{i,(1(1)2(2)..n())}|0 

=Σk1n()k0|(1(1)2(2).δ(k).m()|0 

において,n=4として,

1=ψα,2=ψ~β,3=Aν,4=c~とすると, 

0=<0|{i,(ψα()ψ~()ν()~())}|0 

=<0|(δψβ()ψ~()~()|0 

-<0|(ψα()δψ~β()ν()~()|0 

+<0|(ψα()ψ~β()δν()~()|0 

+<0|(ψα()ψ~β()ν()δ~()|0 

すなわち, 

0|(igc()ψα()ψ~β()ν()~()|0 

-<0|(ψα()igψ~β()()ν()~()|0 

+<0|(ψα()ψ~β()ν()~()|0 

+<0|(ψα()ψ~β()iν()i()|0>=0

あるいは,, 

-<0|(ψα()ψ~β()iAAν()i()|0 

=<0|(igc()ψα()ψ~β()ν()~()|0 

-<0|(ψα()igψ~β()b()()~()|0 

+<0|(ψα()ψ~β()ν()~()|0 

なる4点Greem関数のWT恒等式です。
 

これはFeynman図では下の図5.13で表わされます。
 

図の中での中央blob,あらゆる可能なFeynmanグラフの 

総和を示すものです。
 

,簡単のため,このWT恒等式:5.13を摂動の最低次; 

(2)で考えることにし,この両辺で第3章S行列の項 

で与えた次のLSZ簡約公式(reduction-formula)を適用 

します。 

1..m-1mout|1..nin  

-<1..m-1out|(m)1..nin >=i∫d4 

{m()x1..m-1out|φ()|1..nin }より, 

1..mout|1..nin  

=Πi=1{i∫d4ii*m(i)i}Πj=1[{i∫d4ii(j)j} 

0|(φ(x1..φ()|φ(1.)..φ(n))|0 }] です。

(※ただし,散乱粒子場:φ(),全て質量μのKlein-Gordon 

方程式に従うスカラー場であるとし,x=□+μ2と定義して. 

演算子:(+μ2)に代えて記号:xを用いました。)
 

ixi(+μ2)は運動量kのk空間では-i(2-μ2)を意味 

,これは丁度,場の伝播関数=2Green関数:i/(2-μ2iε) 

を相殺する逆数になっています。
 

S行列要素の散乱粒子場が質量mのDirac:ψ()なら 

xi(+μ2)の代わりに,xi(γμxμ―m)が挿入 

されますが,これは運動量pのp空間では(―m)を意味 

します。 Dirac場のLSZ公式ではix=が(ix) 

置き換えられるため,やはり,伝播関数:i/(-m+iε) 

の逆数です。
 

したがって、運動量空間に変換した4点Green関数の 

つの外線の足に,(i)(―m),または,質量ゼロの 

ゲージ場の(i2)を掛けた後,各運動量を質量殻の上: 

=m,または,20 に置き,外線波動関数:(-v~), 

,または,ε(σ)*μを掛ければ,
 

5.13の左辺は.Dirac粒子-反粒子ペアの初期状態から 

番目のチャネルが縦波ゲージ場となる2粒子状態への 

散乱振幅となります。
 

ところが,5.13の右辺は3番目のグラフ以外は,1,2,3 

どれかのチャネルにゴーストを伴う2粒子状態になっている 

ため,1粒子極を含まず,(i)(―m)(i2)を掛けても 

分母と分子が相殺されず,質量殻上:=m,やk20 に置く 

とき,これらのグラフの寄与はゼロとなります。
 

唯一,この過程で番目のグラフは生き残りますが,.2 

規則により,これはチャネル3の運動量:νに比例します。
 

そこで,3の足のゲージ粒子の波動関数:ε(σ)*ν(2)との 

縮約で{-k2ε(σ*(2)}の因子をつくります。
 

この因子を除けば,丁度,FPゴースト-反ゴーストの 

ペアへの散乱振幅を与えるので,結局,5.13の等式は, 

前述の関係式: 

[(1)+v~(2)→ε()μ(1)+ε(±)μ(2)]0,, 

[(1)+v~(2)→ε()μ(1)+ε()μ(2)]0  

および,[(1)+v~(2)→ε()μ(1)+ε()μ(2)] 

i[(1)+v~(2)→c(1)+c~(2)]  

を再現することになります。
 

ここで与えた議論は,容易に摂動の全次数に拡張できます。
 

しかし,全次数の議論では,5.13の第4項は図5.14 

示すタイプのグラフがFPゴースト1粒子の極を作る 

ようになるため,もはや落とせなくなります。
 

しかし,同時にLSZ公式で正しい散乱振幅を得るには, 

くり込まれたHeisenberg:-1/2μ,1/2,~3-1/2, 

~3-1/2~Green関数を用いなければならない, 

(摂動の最低次ではZ=1です。)ということも考慮する 

必要があります。
 

この2つの点に留意すれば,前述のつの関係式は摂動 

の全次数でも(tad-poleを除いて)変更なく成立すること 

が示せます。これについては次節で,より一般的,かつ, 

系統的な方法を展開する予定なので,ここでは,これ以上 

深入りしません。
 

同様にして,種々な多点Green関数のWT恒等式から出発 

して外線に伝播関数の逆数を掛けて質量殻上に載せる 

という手続きで,摂動の任意次数で成立する無限に多くの 

S行列要素間の関係式:つまりS行列WT恒等式を得る 

ことができます。
 

そして,そのようなS行列WT恒等式の全体が,物理的S行列­: 

Physがユニタリであることを保証することがわかります。
 

例えば,先に得たS行列WT恒等式: 

0|(1,)(2,±)|α>=0 

0|(1,)(2,)|α>=0 は, 

添字:,bを省略した表現で, 

Dirac粒子-反粒子ペア状態:|α>の散乱状態: 

|α>の中にa(1,)(2,±){0>や 

(1,)(2,){0>のような 

縦波ベクトルを含む状態が現われないことを 

示しています。

(※何故なら,ゲージ粒子の1粒子完全性は, 

∫d3(,σ)|0>η~στ0|(,τ)1であり, 

S行列要素:<β||α>のユニタリ性は S|α>が 

縦波とスカラー波の逆転的展開式: 

|α>=∫d3 

[..(,)|..><..|(2,)|α> 

+a(,)|..><..|(2,)|α>] 

で与えられるからです。)
 

一方,スカラー波とベクトル粒子を含む, 

(1,)(2,±){0>や 

(1,)(2,){0>の状態 

に対応するS行列WT恒等式の制限は存在 

しないので,これらの状態は散乱状態:|α> 

の中に一般に現われます。
 

縦波同様,スカラー波も非物理的モードのはず 

なのに,これらは現われると考えられます。
 

しかし,ここで,交換関係:[(,),(,)]0, 

[(,),(,)][(,),(,)] 

=δ3()を思い起こすと,スカラーモード同士は 

可換で,スカラーモードは縦波モードとのみ非可換です。
 

このため, ,スカラー波を含むa(1,)(2,±){0 

やa(1,)(2,){0>の状態がいくら現われても 

スカラーモードの可換性から.これらは零ノルムの状態 

なので,観測にはかかりません。
 

このとき,縦波モードの状態:(1,)(2,±){0 

,(1,)(2,){0>が禁止されていることが 

重要です。
 

何故なら,(1,)(2,±){0 

やa(1,)(2,){0>の状態がゼロでない内積を 

持ち得る相棒状態が,(1,)(2,±){0 

,(1,)(2,){0>のみなので,もしも同時に 

現われるなら,それらの線形結合がゼロでないノルムを持ち, 

そのノルムに比例する確率で観測されてしまうからです。
 

さらに,線形結合の相対的重みによっては負ノルム状態も 

存在できることになり,物理的解釈不可能になりますから 

縦波モード状態が禁止されて存在しないのは本質的 

なことです。
 

もう1つの,S行列WT恒等式: 

0|(1,)(2,)|α> 

i0|c~(1)(2)S|α> 

の意味するところはより興味深いです。
 

これは,縦波とスカラー波のモードが1つずつの 

ゲージ場の粒子状態も,FPゴースト-反ゴースト 

のペア状態も禁止されず,,単にそれらが係数iを 

除いて同じ重みで出現することを主張しています。
 

すなわち,対応: 

<β|(,)|α> → ε()*μ() 

<β|(,)|α> → ε()*μ(), 

および,展開式:|α>=∫d3 

[..(,)|..><..|(2,)|α> 

+a(,)|..><..|(2,)|α>] 

によって,
 

それらの状態は,|α>の中で常に, 

[(1,)(2,)i~(2)(1)]|0 

という形の線形結合で現われると考えられます。
 

ところが,この形の状態間の内積は, 

[(,),(,)][(,),(,)] 

=δ3(),および, 

{(),~()}=-{~(),()} 

=δ3() から,
 

0|(1,)(2,)(1,)(2,)|0 

=δ3(21)δ3(12) 

 0|i(1)~(2)(i)~(2)(1)|0 

=-δ3(21)δ3(12)となります
 

ゲージ粒子のL-S状態がゼロでない内積を 

持ち得る相棒の状態はL-S状態のみであり, 

FPゴースト-反ゴーストのc-~状態の 

相棒もc-~状態のみですから,これら非物理的状態 

が上記の線形結合の組み合わせでしか現われないなら 

内積が相殺して零ノルムとなり,観測にかからないこと 

になります。
 

このような議論を,非理的モード:つまり,縦波, 

スカラー波,,FPゴースト,反ゴーストの関わる 

任意のS行列要素に対して,零ノルムの 

組み合わせでしか現われないということを証明 

する必要がありますが,これは膨大な作業です。
 

すなわち,色々なGreen関数のWT恒等式を 

手当たり次第に書き下し,それから外線を質量殻上 

に載せる操作で,S行列WT恒等式が,たとえ得られた 

としても,それらのS行列要素間の関係式は多粒子状態 

になると飛躍的に複雑なものとなり,果たして非物理的 

モードが全て零ノルム状態で出ることを保証できるか? 

わからなくなります。
 

それ故,実際に証明を実行するにはS行列WT恒等式 

の本質を捉えた,より強力な方法が必要とされます。
 

それは次節と次々節で与える予定です。
 

本節は,これで終わりなので今回はここで終わります。

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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