ゲージ場の量子論(31)

「ゲージ場の量子論(30)」からの続きです。 

物理的Ｓ行列のユニタリ性の論議に入ります。

§5.9 物理的Ｓ行列のユニタリ性  

(ＢＲＳ代数と4重項機構)  

本節ではＢＲＳ代数の表現という立場から,あらゆる  

可能な漸近場を分類し,摂動論に依らない形で物理的  

Ｓ行列のユニタリ性の証明を完結します。

※ＢＲＳ代数の表現 

前回最後では形式的摂動論に現われる漸近場のモードを 

分析しましたが,そもそも漸近場が保存電荷:Ｑの下で線形 

に変換することは,「漸近場の１粒子状態は保存電荷:Ｑの 

なす代数の表現になる、」ことを意味することに気付きます。
 

すなわち,どういう漸近場が現われ得るか.という問題は摂動論 

を超えて,単に種々の保存電荷:Ｑのなす代数を考えるだけで 

多くが規定されます。
 

したがって,ＢＲＳ変換の下で,どのような変換を受ける漸近場 

が可能か？は,ＢＲＳ電荷:Ｑ_ＢとＦＰゴースト電荷:Ｑ_ｃのなす代数: 

(1/2)|Ｑ_Ｂ,Ｑ_Ｂ}＝Ｑ_Ｂ²＝0,[iＱ_ｃ.Ｑ_Ｂ]＝Ｑ_Ｂ.[Ｑ_ｃ.Ｑ_ｃ]＝0 

によって決定されます。
 

この代数をＢＲＳ代数と呼びます。
 

Ｑ_Ｂ,Ｑ_ｃは,共にエネルギー・運動量:Ｐ_μ,角運動量:Ｍ_μν,スカラー 

電荷;Ｑ^ａなどの他の保存電荷と可換なので,漸近場の粒子状態は, 

それらの保存量子数が同時に指定されたＢＲＳ代数の既約表現 

として分類できます。
 

ＢＲＳ代数の既約表現は,Ｑ_Ｂのベキ零性:Ｑ_Ｂ²＝0 のため.極めて 

簡単で高々２次元表現です。
 

※(注31-1):この２次元表現という言い方は私には適切ではない 

と感じます。Ｑ_ＢをLie代数とするLie群:exp(iλＱ_Ｂ)に対して 

Ｑ_Ｂ|α_i＞＝0 なる{|α_i＞}で張られる不変部分空間:Ｅ₁とその 

補空間:Ｅ₂とを,それぞれ１次元空間と考えるなら, exp(iλＱ_Ｂ) 

の表現行列は2×2行列で,確かに2次元ですが。。。
 

(注31-1終わり※)
 

したがって,既約表現としての分類は1重項か,2重項です。 

ⅰ)ＢＲＳ 1重項(singlet) 

漸近場の1粒子状態を,そのＦＰゴースｔ数;Ｎ_ＦＰ＝iＱ_ｃを 

Ｎ,他のエネルギー・運動量,スピンなどの量子数を総称した 

ものをｋとして,|ｋ,Ｎ＞と記すことにします。
 

このとき,状態:|ｋ,Ｎ＞がＱ_Ｂ|ｋ,Ｎ＞＝0を満たし,かつ 

|ｋ,Ｎ＞＝Ｑ_Ｂ|χ＞と×ような|χ＞が存在しない場合, 

この|ｋ,Ｎ＞をＢＲＳ 1重項と呼びます。
 

ⅱ)ＢＲＳ 2重項(doublet) 1粒子状態:|ｋ,Ｎ＞が 

Ｑ_Ｂ|ｋ,Ｎ＞＝0 を満たさなかったら,[iＱ_ｃ.Ｑ_Ｂ]＝Ｑ_Ｂ 

より,iＱ_ｃＱ_Ｂ|ｋ,Ｎ＞＝(Ｎ＋1)Ｑ_Ｂ|ｋ,Ｎ＞なので, 

Ｑ_Ｂ|ｋ,Ｎ＞≠0 は,ゴースト数が(Ｎ＋1)の状態で, 

|ｋ,Ｎ＋1＞＝Ｑ_Ｂ|ｋ,Ｎ＞≠0 と書けます。
 

そして, |ｋ,Ｎ＞,|ｋ,Ｎ＋1＞がＢＲＳ代数の2重項 

の基底を与えます。 

Ｑ_Ｂ|ｋ,Ｎ＋1＞＝Ｑ_Ｂ²|ｋ,Ｎ＞＝0なので,変換:Ｑ_Ｂは 

これ以上の状態は生み出しません。
 

ＢＲＳ変換系列は,|ｋ,Ｎ＞ → |ｋ,Ｎ＋1＞ → 0 です。
 

一般に2重項の中の|ｋ,Ｎ＞をＢＲＳ親(parent)状態, 

|ｋ,Ｎ＋1＞をＢＲＳ子供(daughter)状態と呼ぶことに 

します。ＢＲＳ子供状態はＱ_Ｂのベキ零性から,もはや 

ＢＲＳ変換を受けません。Ｑ_Ｂ|ｋ,Ｎ＋1＞＝0 です。
 

ＢＲＳ2重項があれば,必ず,もう1組,その相棒となる 

ＢＲＳ2重項が存在することが次のように示されます。
 

まず,ＢＲＳ子供状態は零ノルムです。何故なら 

＜ｋ,Ｎ＋1|ｋ,Ｎ＋1＞＝＜ｋ,Ｎ|Ｑ_Ｂ²|ｋ,Ｎ＞＝0です。
 

そこで,子供状態:|ｋ,Ｎ＋1＞には, 必ず, 

ある相棒状態:|ｋ,－(Ｎ＋1)＞が存在して,内積として, 

＜ｋ,－(Ｎ＋1)|ｋ,Ｎ＋1＞≠0 が満たされねばなりません。
 

何故なら,|ｋ,Ｎ＋1＞との内積がゼロでない状態が全く存在 

しないなら,そもそも,|ｋ,Ｎ＋1＞は如何なるGreen関数にも 

極を作り得ず,その存在すら認識されないはずだからです。
 

そこで,少なくとも1つは＜χ|ｋ,Ｎ＋1＞≠0となる|χ＞ 

が存在します。
 

この|χ＞は,Ｐ_μのようなHermite保存量については, 

|ｋ,Ｎ＋1＞と同じ量子数ｋを,反HermiteなＦＰゴースト数: 

Ｎ_ＦＰについては,|ｋ,Ｎ＋1＞と逆符号の－(Ｎ＋1)を運ぶ状態 

でなければなりません。
 

※(注31-2):|χ＞=|ｋ',Ｎ'＞ と書き,  

Ｐ_μ|ｋ',Ｎ’＞＝ｐ_μ'|ｋ’,Ｎ’＞,  

Ｎ_ＦＰ|ｋ',Ｎ'＞＝iＱ_ｃ|ｋ',Ｎ'＞  

＝Ｎ'|ｋ',Ｎ'＞　とします。

すると,  

＜ｋ',Ｎ'|Ｐ_μ|ｋ,Ｎ＋1＞＝ｐ_μ＜ｋ',Ｎ'|ｋ,Ｎ＋1＞  

＝ｐ_μ'＜ｋ',Ｎ'|ｋ,Ｎ＋1＞で＜ｋ',Ｎ'|ｋ,Ｎ＋1＞≠0  

ですから,ｐ_μ'＝ｐ_μ を得ます。

その他のHermite(実)量子数についても同様ですから,ｋ'＝ｋです。
 

一方,iＱ_ｃ|ｋ',Ｎ'＞＝Ｎ'|ｋ',Ｎ'＞より, 

＜ｋ',Ｎ'｜iＱ_ｃ＝＜ｋ',Ｎ'｜(－Ｎ')　です。 

それ故,＜ｋ',Ｎ'|iＱ_ｃ|ｋ,Ｎ＋1＞＝(Ｎ＋１)＜ｋ',Ｎ'|ｋ,Ｎ＋1＞ 

＝(－Ｎ')＜ｋ',Ｎ'|ｋ,Ｎ＋1＞　です。
 

故に,＜ｋ',Ｎ'|ｋ,Ｎ＋1＞≠0より,Ｎ'＝－(Ｎ＋1)を得ます。 

|χ＞=|ｋ,－(Ｎ＋1)＞　です。(注31-2終わり※)
 

規格化をして＜ｋ,－(Ｎ＋1)|ｋ,Ｎ＋1＞＝1と固定して 

おきます。
 

ここで重要な点は,|ｋ,－(Ｎ＋1)＞が,別のＢＲＳ2重項 

の親状態になっていることです。
 

何故なら,|ｋ,－(Ｎ＋1)＞をＢＲＳ変換した状態: 

|ｋ,－Ｎ＞＝Ｑ_Ｂ||ｋ,－(Ｎ＋1)＞がゼロでないことが 

次のＷＴ恒等式からわかるからです。
 

すなわち, 

＜ｋ,,Ｎ|ｋ,－Ｎ＞＝＜ｋ,,Ｎ|Ｑ_Ｂ|ｋ,－(Ｎ＋1)＞ 

＝＜ｋ,Ｎ＋1|ｋ,－(Ｎ＋1)＞＝1　です。
 

かくして,ＢＲＳ2重項は,常に2組対になって現われること 

がわかりました。
 

ＢＲＳ変換系列は,|ｋ,Ｎ＞ → |ｋ,Ｎ＋1＞ → 0 , 

および,|ｋ,－(Ｎ＋1)＞ → |ｋ,－Ｎ＞ → 0　であり, 

ゼロでない内積の対は,|ｋ,Ｎ＞(親)と|ｋ,－Ｎ＞(子供), 

|ｋ,Ｎ＋1＞(子供)と|ｋ,－(Ｎ＋1)＞(親)です。
 

このような内積で対をなす2組のＢＲＳ2重項表現はＢＲＳ代数 

の表現として基本的なもので,2組をまとめてＢＲＳ4重項(quartet) 

と呼びます。
 

以上から,ＢＲＳの表現は,(ⅰ)で定めたＢＲＳ1重項と,上のＢＲＳ 

4重項＝「ＢＲＳ2重項の対」しかないことが示されました。
 

これは,摂動論に依らない議論であり,非可換ゲージ理論に現われる 

漸近場は,それが「素粒子」の場であろうが,結合状態(束縛状態, 

または共鳴状態)の場であろうが,何であっても,この表現のどちらか 

に対応します。
 

前節最後に述べた摂動論に現われる漸近場を見てとると,確かに, 

ＢＲＳ変換系列から,ゲージ場の縦波,スカラー波,ＦＰゴースト, 

反ゴーストの4つのモードがＢＲＳ4重項表現に, ゲージ場の横波 

モードとDirac粒子,反粒子がＢＲＳ1重項表現に,それぞれ属して 

いることがわかります。
 

次に漸近場の計量構造について考えます。 

まず,ＢＲＳ１重項モードに関しては,そのＢＲＳ不変性は,その計量 

については何の意味も呈しません。
 

しかも,そのＢＲＳ１重項状態:｜ｋ,Ｎ＞_１重項を作る生成演算子 

をａ_ｋ^＋として｜ｋ,Ｎ＞_１重項＝ａ_ｋ^＋|0＞とすれば,[Ｑ_Ｂ,ａ_ｋ^＋] 

＝{Ｑ_Ｂ,ａ_ｋ}＝0　(Fermi粒子なら,{Ｑ_Ｂ,ａ_ｋ^＋}＝{Ｑ_Ｂ,ａ_ｋ}＝0) 

が従うため,このモードは真空に何個掛かっても,Ｑ_Ｂ|Phys＞＝0 

で指定される物理的部分空間:Ｖ_physにのみ自由に出現する状態 

です。
 

したがって,理論が物理的に無矛盾であるためには,これらの 

「ＢＲＳ１重項モード状態は全て正定値計量を持つ」必要が

あります。
 

[ａ_k,ａ_l^＋]＝δ_ｋｌ,または,{ａ_k,ａ_l^＋}＝δ_ｋｌです。 

(※上では,ｋ,ｌが離散量子数として離散表記しましたが,連続な3次元 

ベクトルの場合なら[ａ(ｋ),ａ^＋(ｌ)]＝δ³(ｋ－ｌ),または, 

{ａ(ｋ),ａ^＋(ｌ)}＝δ³(ｋ－ｌ)　です。)
 

全く一般的な議論を展開している際には,これは仮定,あるいは, 

規定,要請です。
 

しかし,ここまで論じてきた非可換ゲージ理論 

の形式的摂動論の場合は,ＢＲＳ１重項モードの横波モード, 

Dirac粒子,反粒子は全て,確かに正定値計量を持っていました。
 

「ＢＲＳ１重項モードが正定値計量である。」という仮定(要請) 

は,特にＢＲＳ1重項の1粒子状態:｜ｋ,Ｎ＞_１重項はＦＰゴースト 

数:Ｎ_ＦＰ＝Ｎがゼロの状態しかないという仮定を含んでいることに 

気付きます。
 

つまり,もしＮ≠0のＢＲＳ1重項状態：|ｋ,Ｎ＞があったとすると, 

＜ｋ,Ｎ|ｋ,Ｎ＞＝0 です。 

(※何故なら,＜ｋ,Ｎ|iＱ_ｃ|ｋ,Ｎ＞＝Ｎ＜ｋ,Ｎ|ｋ,Ｎ＞ 

＝(－Ｎ)＜ｋ,Ｎ|ｋ,Ｎ＞なので,Ｎ≠0 なら＜ｋ,Ｎ|ｋ,Ｎ＞＝0 

です。)
 

よって,先のＢＲＳ2重項状態と同様,Ｎ≠0なら相棒状態: 

|ｋ,－Ｎ＞が存在して＜ｋ,－Ｎ|ｋ,Ｎ＞＝1ですが,|ｋ,－Ｎ＞が 

2重項なら|ｋ,Ｎ＞も2重項になるため,これも1重項です。
 

|ｋ,Ｎ＞＝σ_k^＋|0＞,|ｋ,－Ｎ＞＝σ~_k^＋|0＞でσ_k,σ~_kを 

定義すれば,[Ｑ_Ｂ,σ_k]=[Ｑ_Ｂ.σ_k^＋]＝[Ｑ_Ｂ,σ~_k]＝[Ｑ_Ｂ.σ~_k^＋]＝0, 

[σ_k,σ~_l^＋]＝[σ~_k,σ_l^＋]＝δ_klですが,このような 

反対角交換関係はＦＰゴースト,反ゴーストの場合同様, 

必ず,負計量の状態を含むことになります。
 

例えば,|1＞＝(σ_k^＋－σ~_k^＋)|0＞,|2＞＝σ_k^＋σ~_k^＋|0＞などは 

負ノルム状態です。
 

したがって,「ＢＲＳ１重項モードが正定値計量である。」という仮定 

は,「ＢＲＳ１重項状態にはＦＰゴースト数:Ｎ_ＦＰ＝Ｎがゼロの状態 

しかない。」ということを含んでいます。
 

※ＢＲＳ4重項状態の計量構造 

ＢＲＳ4重項に属する粒子の計量構造は全く一般的にＢＲＳ不変性 

だけから完全に決定されます。
 

ＢＲＳ４重項の各１粒子状態の生成・消滅演算子を, 

|ｋ.Ｎ＞＝χ_ｋ^＋|0＞.－|ｋ.－Ｎ＞＝β_ｋ^＋|0＞.  

i|ｋ.Ｎ＋1＞＝γ_ｋ^＋|0＞.－|ｋ.－(Ｎ＋1)＞＝γ~_ｋ^＋|0＞, 

および,,そのHermte共役で導入します。
 

ＢＲＳ４重項に属する２つのＢＲＳ親状態: |ｋ,Ｎ＞, 

|ｋ,－(Ｎ＋１)＞のうち,どちらかは偶数のＦＰゴースト数 

を持つので,以下,一般性を失うことなくＮを偶数 

とします。
 

ＦＰゴーストは(Bose統計に従う)Fermi粒子なので, 

χ_ｋ.β_ｋのモードがBoson,γ_ｋ.γ~_ｋのモードはFermion 

です。(※もしもＢＲＳ４重項がDirac粒子など純正Fermi 

粒子奇数個の結合状態なら統計が逆になりますが,その場合 

はＮを奇数にして常にχ_ｋ.β_ｋのモードがBosonとなる 

ようにします。)
 

 ＢＲＳ変換性,|ｋ,Ｎ＞ → |ｋ,Ｎ＋1＞ → 0 , 

および,|ｋ,－(Ｎ＋1)＞ → |ｋ,－Ｎ＞ → 0 から, 

[Ｑ_Ｂ,χ_ｋ^＋]＝－iγ_ｋ^＋,{Ｑ_Ｂ,γ_ｋ^＋}＝0, 

[Ｑ_Ｂ,χ_ｋ]＝－iγ_ｋ,{Ｑ_Ｂ,γ_ｋ}＝0, 

{Ｑ_Ｂ,γ~_ｋ^＋}＝β_ｋ^＋,[Ｑ_Ｂ,β_ｋ^＋]＝0, 

{Ｑ_Ｂ,γ~_ｋ}＝β_ｋ,[Ｑ_Ｂ,β_ｋ]＝0,　です。
 

さらに内積のＷＴ恒等式:1＝＜ｋ,Ｎ＋1|ｋ,－(Ｎ＋1)＞ 

＝＜ｋ,Ｎ|Ｑ_Ｂ|ｋ,－(Ｎ＋1)＞＝＜ｋ,Ｎ|ｋ,－Ｎ＞1から, 

[χ_ｋ,β_l^＋]＝－i{γ_ｋ,γ~_l^＋}＝δ_klです。
 

ＦＰゴースト数が互いに逆符号の状態間以外は,内積がゼロ 

のため,次の交換関係,反交換関係はゼロです。 

すなわち, 

[χ_ｋ,γ_l^＋]＝[χ_ｋ,γ~_l^＋]＝[β_ｋ,γ_l^＋]＝[β_ｋ,γ~_l^＋]＝0, 

{γ_ｋ,γ_l^＋}＝{γ~_ｋ,γ~_l^＋}＝0　です。 

(Ｎが偶数なので－(Ｎ＋1)≠0です。)
 

また,ＢＲＳ子供状態は零ノルムであるため, 

[β_ｋ,β_l^＋]＝0　です。
 

これら以外の唯一の組み合わせは,[χ_k,χ_l^＋]ですが.これは 

ＢＲＳ不変性からは決まらず 

,一般的に[χ_k,χ_l^＋]＝ω_klと置くことにします。
 

これらの交換関係をまとめるとＢＲＳ４重項モード, 

Φk＝(χ_k,β_k,γ_k,γ~_k)は次の計量構造を持つことがわかります。 

(ただし,Fermionの消滅,生成演算子:γ_k,γ~_k,γ_k^＋,γ~_k^＋, 

の交換関係:[ , ]は,反交換関係:{ , }に読み換えます；)
 

以上は,摂動論に依らない議論で,全く一般的なものですが 

,摂動論のＢＲＳ４重項も,もちろん,この計量構造を持って 

います。その場合のモード対応は, 

(χ_k,β_k,γ_k,γ~_k)＝(ａ^ａ(ｋ,Ｌ),Ｂ^ａ(ｋ),ｃ^ａ(ｋ),ｃ~^ａ(ｋ)) 

です。
 

※素４重項 

ここで寄り道になりますが,非可換ゲージ理論には 

(共変ゲージである限り)物質場の詳細や摂動論に依らず, 

群Ｇの添字:ａの各々に対して,１組ずつＢＲＳ４重項が 

常に存在することがいえること,についてコメントして 

おきます。
 

この４重項は,素(elementary)(結合状態でない)ＦＰゴースト: 

ｃ~^ａをメンバーに含むので,素４重項と呼びます。
 

(χ_k,β_k,γ_k,γ~_k)＝(ａ^ａ(ｋ,Ｌ),Ｂ^ａ(ｋ),ｃ^ａ(ｋ),ｃ~^ａ(ｋ)) 

は,この素４重項の摂動論における現われ方の１例です。
 

この事実は,ＷＴ恒等式: 

Ｆ.Ｔ. ＜0|Ｔ{Ｄ_μｃ^ａ(ｘ)ｃ~^ｂ(ｙ)}|0＞ 

＝Ｆ.Ｔ. (－i)＜0|Ｔ{Ａ^ａ_μ(ｘ)Ｂ^ｂ(ｙ)}|0＞ 

＝iδ^ａｂｐ_μ/ｐ²から従います。
 

この伝播関数(２点Green関数)に対するＷＴ恒等式は,ｐ²＝0に 

極を持つので,Ｄ_μｃ^ａ,ｃ~^ａ.Ａ^ａ_μ,Ｂ^ｂの各Heisenberg場の演算子 

に零質量の漸近場が存在することを示しています。
 

すなわち,ｘ₀ → ±∞ において,  

Ａ^ａ_μ(ｘ) → ∂_μχ^ａ(ｘ)＋.. ,Ｂ^ａ(ｘ) → β^ａ(ｘ)＋.., 

Ｄ_μｃ^ａ(ｘ) → ∂_μγ^ａ(ｘ)＋...,ｃ~^ａ(ｘ) → γ~^ａ(ｘ)＋.... 

で定義される例質量の漸近場: χ^ａ,β^ａ,γ^ａ,γ~^ａが存在します。
 

＋..と書いたのは,これら以外にも,ｐ²＝0 の極と無関係な漸近場 

が存在するかもしれないからです。例えば,第１式でのχ^ａ(ｋ)は 

縦波モード：Ｚ₃^1/2ａ_ａ(ｋ,Ｌ)であり,＋..は残る横波,スカラー

モードに対応します。
 

各添字:ａの漸近場:(χ^ａ,β^ａ,γ^ａ,γ~^ａ)が,ＢＲＳ4重項になって 

いることはHeisenberg場のBRS変換則から得られます。 

[iＱ_Ｂ.χ^ａ(ｘ)]＝γ^ａ(ｘ),{iＱ_Ｂ.γ~^ａ(ｘ)}＝iβ^ａ(ｘ), 

さらに,Ｑ_Ｂ²＝0から, 

{iＱ_Ｂ.γ^ａ(ｘ)}＝0,,[iＱ_Ｂ.β^ａ(ｘ)]＝0　ですから 

明らかです。
 

これらの(反)交換関係に関してもＷＴ恒等式から,, 

{γ^ａ(ｘ).γ~^ｂ(ｙ)}＝－i[χ^ａ(ｘ),β^ｂ(ｙ)] 

＝－δ^ａｂＤ(ｘ－ｙ)
 

ＷＴ恒等式:＜0|Ｔ[Ｂ^ａ(ｘ)Ｂ^ｂ(ｙ)]|0 ＞ 

＝＜0|{Ｑ_Ｂ,Ｔ[Ｂ^ａ(ｘ)ｃ~^ｂ(ｙ)]}|0 ＞＝0と 

ＦＰゴースト数保存から. 

[β^ａ(ｘ).β^ｂ(ｙ)]＝{γ^ａ(ｘ).γ^ｂ(ｙ)} 

＝{γ~^ａ(ｘ).γ~^ｂ(ｙ)}＝0　が導かれます。
 

後述する「対称性の自発的破れたゲージ理論」では4重項 

のメンバー:χ^ａは,もはやゲージ場の縦波モードではなく, 

非物理的Higgsモードになります。
 

また,摂動論の枠外では,複合Heisenberg場:Ｄ_μｃ^ａの 

チャネルに現われる4重項メンバー::γ^ａは,必ずしも 

Heisenberg場:ｃ^ａの漸近場と同一のものとは限らない 

ことを注意しておきます。
 

途中ですが,今回はここまでにします。

(参考文献)：九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)