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2018年2月

2018年2月23日 (金)

ゲージ場の量子論(31)

「ゲージ場の量子論(30)」からの続きです。 

物理的S行列のユニタリ性の論議に入ります。

§5.9 物理的S行列のユニタリ性  

(BRS代数と4重項機構)  

本節ではBRS代数の表現という立場から,あらゆる  

可能な漸近場を分類し,摂動論に依らない形で物理的  

S行列のユニタリ性の証明を完結します。

※BRS代数の表現 

前回最後では形式的摂動論に現われる漸近場のモードを 

分析しましたが,そもそも漸近場が保存電荷:Qの下で線形 

に変換することは,「漸近場の1粒子状態は保存電荷:Qの 

なす代数の表現になる、」ことを意味することに気付きます。
 

すなわち,どういう漸近場が現われ得るか.という問題は摂動論 

を超えて,単に種々の保存電荷:Qのなす代数を考えるだけで 

多くが規定されます。
 

したがって,BRS変換の下で,どのような変換を受ける漸近場 

が可能か?は,BRS電荷:とFPゴースト電荷:のなす代数: 

(1/2)|,}=Q20,[i.]=Q.[.]0 

によって決定されます。
 

この代数をBRS代数と呼びます。
 

,,共にエネルギー・運動量:μ,角運動量:μν,スカラー 

電荷;などの他の保存電荷と可換なので,漸近場の粒子状態は, 

それらの保存量子数が同時に指定されたBRS代数の既約表現 

として分類できます。
 

BRS代数の既約表現は,のベキ零性:20 のため.極めて 

簡単で高々2次元表現です。
 

(31-1):この2次元表現という言い方は私には適切ではない 

と感じます。QLie代数とするLie:exp(iλQ)に対して 

|αi>=0 なる{|αi}で張られる不変部分空間:1とその 

補空間:2とを,それぞれ1次元空間と考えるなら, exp(iλQ) 

の表現行列は2×2行列で,確かに2次元ですが。。。
 

(31-1終わり※)
 

したがって,既約表現としての分類は1重項か,2重項です。 

)BRS 1重項(singlet) 

漸近場の1粒子状態を,そのFPゴースt数;FPi 

,他のエネルギー・運動量,スピンなどの量子数を総称した 

ものをkとして,|,N>と記すことにします。
 

このとき,状態:|,N>がQ|,N>=0を満たし,かつ 

|,N>=Q|χ>と×ような|χ>が存在しない場合, 

この|,N>をBRS 1重項と呼びます。
 

)BRS 2重項(doublet) 1粒子状態:|,N>が 

|,N>=0 を満たさなかったら,[i.]=Q 

より,i|,N>=(N+1)|,N>なので, 

|,N>≠0 は,ゴースト数が(N+1)の状態で, 

|,N+1>=Q|,N>≠0 と書けます。
 

そして, |,N>,|,N+1>がBRS代数の2重項 

の基底を与えます。 

|,N+1>=Q2|,N>=0なので,変換: 

これ以上の状態は生み出しません。
 

BRS変換系列は,|,N> → |,N+1> → 0 です。
 

一般に2重項の中の|,N>をBRS親(parent)状態, 

|,N+1>をBRS子供(daughter)状態と呼ぶことに 

します。BRS子供状態はQのベキ零性から,もはや 

BRS変換を受けません。Q|,N+1>=0 です。
 

BRS2重項があれば,必ず,もう1,その相棒となる 

BRS2重項が存在することが次のように示されます。
 

まず,BRS子供状態は零ノルムです。何故なら 

<k,N+1|,N+1>=<k,|2|,N>=0です。
 

そこで,子供状態:|,N+1>には, 必ず, 

ある相棒状態:|,(N+1)>が存在して,内積として, 

<k,(N+1)|,N+1>≠0 が満たされねばなりません。
 

何故なら,|,N+1>との内積がゼロでない状態が全く存在 

しないなら,そもそも,|,N+1>は如何なるGreen関数にも 

極を作り得ず,その存在すら認識されないはずだからです。
 

そこで,少なくとも1つは<χ|,N+1>≠0となる|χ> 

が存在します。
 

この|χ>は,μのようなHermite保存量については, 

|,N+1>と同じ量子数kを,HermiteなFPゴースト数: 

FPについては,|,N+1>と逆符号の-(N+1)を運ぶ状態 

でなければなりません。
 

(31-2):|χ>=|k',N'> と書き,  

μ|k',>=pμ'|k’,,  

FP|k',N'>=i|k',N'>  

=N'|k',N'> とします。

すると,  

<k',N'|μ|,N+1>=pμ<k',N'|,N+1 

=pμ'<k',N'|,N+1>で<k',N'|,N+1>≠0  

ですから,μ'=pμ を得ます。

その他のHermite()量子数についても同様ですから,k'=kです。
 

一方,i|k',N'>=N'|k',N'>より, 

<k',N'|i=<k',N'|(-N') です。 

それ故,<k',N'|i|,N+1>=(N+1)<k',N'|,N+1 

(-N')<k',N'|,N+1> です。
 

故に,<k',N'|,N+1>≠0より,N'=-(N+1)を得ます。 

|χ>=|,(N+1)> です。(31-2終わり※)
 

規格化をして<k,(N+1)|,N+1>=1と固定して 

おきます。
 

ここで重要な点は,|,(N+1)>が,別のBRS2重項 

の親状態になっていることです。
 

何故なら,|,(N+1)>をBRS変換した状態: 

|,-N>=Q||,(N+1)>がゼロでないことが 

次のWT恒等式からわかるからです。
 

すなわち, 

<k,,|,-N>=<k,,||,(N+1) 

=<k,N+1|,(N+1)>=1 です。
 

かくして,BRS2重項は,常に2組対になって現われること 

がわかりました。
 

BRS変換系列は,|,N> → |,N+1> → 0 , 

および,|,(N+1)> → |,-N> → 0 であり, 

ゼロでない内積の対は,|,N>()|,-N>(子供), 

|,N+1(子供)|,(N+1)()です。
 

このような内積で対をなす2組のBRS2重項表現はBRS代数 

の表現として基本的なもので,2組をまとめてBRS4重項(quartet) 

と呼びます。
 

以上から,BRSの表現は,()で定めたBRS1重項と,上のBRS 

4重項=「BRS2重項の対」しかないことが示されました。
 

これは,摂動論に依らない議論であり,非可換ゲージ理論に現われる 

漸近場は,それが「素粒子」の場であろうが,結合状態(束縛状態, 

または共鳴状態)の場であろうが,何であっても,この表現のどちらか 

に対応します。
 

前節最後に述べた摂動論に現われる漸近場を見てとると,確かに, 

BRS変換系列から,ゲージ場の縦波,スカラー波,FPゴースト, 

反ゴーストの4つのモードがBRS4重項表現に, ゲージ場の横波 

モードとDirac粒子,反粒子がBRS1重項表現に,それぞれ属して 

いることがわかります。
 

次に漸近場の計量構造について考えます。 

まず,BRS1重項モードに関しては,そのBRS不変性は,その計量 

については何の意味も呈しません。
 

しかも,そのBRS1重項状態:|k,N>1重項を作る生成演算子 

をaとして|k,N>1重項=a|0>とすれば,[,] 

{,}0 (Fermi粒子なら,{,}{,}0) 

が従うため,このモードは真空に何個掛かっても,|Phys>=0 

で指定される物理的部分空間:physにのみ自由に出現する状態 

です。
 

したがって,理論が物理的に無矛盾であるためには,これらの 

「BRS1重項モード状態は全て正定値計量を持つ」必要が

あります。
 

[k,l]=δkl,または,{k,l}=δkl です。 

(※上では,,lが離散量子数として離散表記しましたが,連続な3次元 

ベクトルの場合なら[(),()]=δ3(),または, 

{(),()}=δ3() です。)
 

全く一般的な議論を展開している際には,これは仮定,あるいは, 

規定,要請です。
 

しかし,ここまで論じてきた非可換ゲージ理論 

の形式的摂動論の場合は,BRS1重項モードの横波モード, 

Dirac粒子,反粒子は全て,確かに正定値計量を持っていました。
 

「BRS1重項モードが正定値計量である。」という仮定(要請) 

,特にBRS1重項の1粒子状態:|k,N>1重項はFPゴースト 

:FP=Nがゼロの状態しかないという仮定を含んでいることに 

気付きます。
 

つまり,もしN≠0のBRS1重項状態:|,N>があったとすると, 

<k,|,N>=0 です。 

(※何故なら,<k,|i|,N>=N<k,|,N> 

(-N)<k,|,N>なので,N≠0 なら<k,|,N>=0 

です。)
 

よって,先のBRS2重項状態と同様,N≠0なら相棒状態: 

|,-N>が存在して<k,-N|,N>=1ですが,|,-N>が 

2重項なら|,N>も2重項になるため,これも1重項です。
 

|,N>=σk|0,|,-N>=σ~k|0>でσk,σ~k 

定義すれば,[,σk]=[.σk][,σ~k][.σ~k]0, 

[σk,σ~l][σ~k,σl]=δklですが,このような 

反対角交換関係はFPゴースト,反ゴーストの場合同様, 

必ず,負計量の状態を含むことになります。
 

例えば,|1>=(σk-σ~k)|0,|2>=σkσ~k|0>などは 

負ノルム状態です。
 

したがって,「BRS1重項モードが正定値計量である。」という仮定 

,「BRS1重項状態にはFPゴースト数:FP=Nがゼロの状態 

しかない。」ということを含んでいます。
 

※BRS4重項状態の計量構造 

BRS4重項に属する粒子の計量構造は全く一般的にBRS不変性 

だけから完全に決定されます。
 

BRS4重項の各1粒子状態の生成・消滅演算子を, 

|.N>=χ|0.|.-N>=β|0.  

i|.N+1>=γ|0.|.(N+1)>=γ~|0, 

および,,そのHermte共役で導入します。
 

BRS4重項に属する2つのBRS親状態: |,N>, 

|,(N+1)>のうち,どちらかは偶数のFPゴースト数 

を持つので,以下,一般性を失うことなくNを偶数 

とします。
 

FPゴーストは(Bose統計に従う)Fermi粒子なので, 

χ.βのモードがBoson,γ.γ~のモードはFermion 

です。(※もしもBRS4重項がDirac粒子など純正Fermi 

粒子奇数個の結合状態なら統計が逆になりますが,その場合 

はNを奇数にして常にχ.βのモードがBosonとなる 

ようにします。)
 

 BRS変換性,|,N> → |,N+1> → 0 , 

および,|,(N+1)> → |,-N> → 0 から, 

[,χ]=-iγ,{,γ}0, 

[,χ]=-iγ,{,γ}0, 

{,γ~}=β,[,β]0, 

{,γ~}=β,[,β]0, です。
 

さらに内積のWT恒等式:1=<k,N+1|,(N+1) 

=<k,||,(N+1)>=<k,|,-N>1から, 

[χ,βl]=-i{γ,γ~l}=δklです。
 

FPゴースト数が互いに逆符号の状態間以外は,内積がゼロ 

のため,次の交換関係,反交換関係はゼロです。 

すなわち, 

[χ,γl][χ,γ~l][β,γl][β,γ~l]0, 

{γ,γl}{γ~,γ~l}0 です。 

(Nが偶数なので-(N+1)0です。)
 

また,BRS子供状態は零ノルムであるため, 

[β,βl]0 です。
 

これら以外の唯一の組み合わせは,[χk,χl]ですが.これは 

BRS不変性からは決まらず 

,一般的に[χk,χl]=ωklと置くことにします。
 

これらの交換関係をまとめるとBRS4重項モード, 

Φk(χk,βk,γk,γ~k)は次の計量構造を持つことがわかります。 

(ただし,Fermionの消滅,生成演算子:γk,γ~k,γk,γ~k, 

の交換関係:[ , ],反交換関係:{ , }に読み換えます;)
 

以上は,摂動論に依らない議論で,全く一般的なものですが 

,摂動論のBRS4重項も,もちろん,この計量構造を持って 

います。その場合のモード対応は, 

(χk,βk,γk,γ~k)((,),(),(),~()) 

です。
 

※素4重項 

ここで寄り道になりますが,非可換ゲージ理論には 

(共変ゲージである限り)物質場の詳細や摂動論に依らず, 

群Gの添字:aの各々に対して,1組ずつBRS4重項が 

常に存在することがいえること,についてコメントして 

おきます。
 

この4重項は,(elementary)(結合状態でない)FPゴースト: 

~をメンバーに含むので,素4重項と呼びます。
 

(χk,βk,γk,γ~k)((,),(),(),~()) 

,この素4重項の摂動論における現われ方の1例です。
 

この事実は,WT恒等式: 

.. 0|{μ()~()}|0 

=F.. (i)0|{μ()()}|0 

iδabμ/2  から従います。
 

この伝播関数(2点Green関数)に対するWT恒等式は,20 

極を持つので,μ,~.μ,の各Heisenberg場の演算子 

に零質量の漸近場が存在することを示しています。
 

すなわち,0 → ±∞ において,  

μ() → ∂μχ().. ,() → β().., 

μ() → ∂μγ()...,~() → γ~().... 

で定義される例質量の漸近場: χ,β,γ,γ~が存在します。
 

..と書いたのは,これら以外にも,20 の極と無関係な漸近場 

が存在するかもしれないからです。例えば,第1式でのχ() 

縦波モード:Z31/2(,)であり,..は残る横波,スカラー

モードに対応します。
 

各添字:aの漸近場:(χ,β,γ,γ~),BRS4重項になって 

いることはHeisenberg場のBRS変換則から得られます。 

[i.χ()]=γ(),{i.γ~()}iβ(), 

さらに,20から, 

{i.γ()}0,,[i.β()]0 ですから 

明らかです。
 

これらの()交換関係に関してもWT恒等式から,, 

{γ().γ~()}=-i[χ(),β()] 

=-δab(x-y)
 

WT恒等式:0|[()()]|0  

=<0|{,[()~()]}|0 >=0 

FPゴースト数保存から. 

[β().β()]{γ().γ()} 

{γ~().γ~()}0 が導かれます。
 

後述する「対称性の自発的破れたゲージ理論」では4重項 

のメンバー:χ,もはやゲージ場の縦波モードではなく, 

非物理的Higgsモードになります。
 

また,摂動論の枠外では,複合Heisenberg:μ 

チャネルに現われる4重項メンバー::γ,必ずしも 

Heisenberg:の漸近場と同一のものとは限らない 

ことを注意しておきます。
 

途中ですが,今回はここまでにします。


(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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訃報!! 大杉連さん。

俳優の大杉連さんが急性心不全で2月21日未明に急死されました。

 享年66歳でした。。。まだ若い。。

日刊スポーツ→  大杉錬さん急死l  

        「大杉 漣」の画像検索結果

20日にドラマ撮影後に宿泊先で腹痛「を訴え,病院に運ばれましたが,帰らぬ人となったということです。

急性心筋梗塞でも助かる率が70%なんですが。。

 イヤ,慢性の心不全で,既に隠れ心筋梗塞を2回もやっていて,11年前に順天堂病院で心臓手術を受けた68歳のわが身には,人ゴトではありません。

寒い季節は,高齢に差し掛かった身は元気なようでも危ないですよ。。

大杉さん2歳年下のほぼ同年代にも関わらず,,若いころテレビでお見かけした記憶がなく。。,急に中年の星としてテレビへの露出が多くなったようです。存在感はありました。名脇役です。最近はテレ朝の「相棒」で元気なお姿をお見かけしてましたが。寝耳に水です。。惜しいことです。。。

ご冥福をお祈りします。合掌!!

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2018年2月20日 (火)

ゲージ場の量子論(30)

「ゲージ場の量子論(29)」からの続き: 

§5.8 物理的S行列のユニタリ性の続きです。
 

※ 摂動論における漸近場のBRS変換 

Green関数のWT恒等式: 

0=<0|[iεQ,exp(ii・Φi)]|0 

=<0|{(iiεδΦi)exp(ii・Φi)}|0>から,質量殻上 

S行列のWT恒等式: 

:K:<0|{(iεaijΦj)exp(ii・Φi)}|0|j=0 0 

を導いた手続きが, 

前節に,摂動レベルでの4点Green関数のWT恒等式 

-<0|(ψα()ψ~β()iν()i()|0 

=<0|(igc()ψα()ψ~β()ν()~()|0 

-<0|(ψα()igψ~β()b()()~()|0 

+<0|(ψα()ψ~β()ν()~()|0 

に対して, 

LSZ公式<1..mout|1..nin  

=Πi=1m「[{i∫d4ii*m(i)i}Πj=1

[{i∫d4ii(j)j} 

0|(φ(x1..φ()|φ(1.).φ(n))|0 }] 

(x=□+μ2)によるS行列を対象とした議論の一般化に 

相当している,という注意に関連して,
 

形式的摂動論に現われる漸近場: 

0→±∞のとき,μ()→Z31/2asμ(), 

(ψ(),ψ~()) →Z21/2(ψas(),ψ~as()), 

((),~()) →Z~31/2(as(),~as()) 

のBRS変換を上記の方法で決定します。
 

これらがS行列WT恒等式から,ただちに導かれること 

を示します。
 

3,~3,.. 0|{μ()ν()}|0 

(1/i)δab[(μν-pμν/2){1/{2(2)} 

+α(μν/4)}, 

.. 0|{()~()}|0 

(1/i)δab[(i)/{2(2)}} 

のF-1(2),-1(2)をp2­0 

のまわりでTaylor展開した, 

-1(2)=Z3{1+Kp2+O(4)}, 

-1(2)=Z^3+O(2)} 

で定義される定数でした。
 

また,2,.. 0|{ψ()ψ~()}|0|離散的極部分 

i2 /(-m)で与えられるものでした。
 

くり込まれていないHeisenberg場のBRS変換は定義により, 

[iλQ,μ()]=λDμ() 

 [iλQ,ψ()]=-igλc()ψ(). 

[iλQ,ψ~()]=-igλc()ψ~(). 

[iλQ,()](/2)λ|()×()} 

[iλQ,~()]iλB(), 

[iλQ,()]0 で与えられます。 

(λはGrassmann数パラメータ)
 

これらの式から、漸近場のBRS変換則を得るには,左右 

両辺,特に右辺の"複合Heisenberg場"の漸近的極限, 

すなわち,離散的極部分を調べればいいです。
 

摂動論では展開の任意の(有限)次数において,結合状態 

(bound state)は現われず,
 

また,漸近場は,0→±∞のとき,μ()→Z31/2asμ(), 

(ψ(),ψ~()) → Z21/2(ψas(),ψ~as()), 

((),~()) → Z~31/2(as(),~as())で与えた 

asμ(),ψas(),ψ~as() as(),~as() 

が全てです。
 

そこで, [iλQ,ψ()]=-igλc()ψ(). 

[iλQ,ψ~()]=-igλc()ψ~()の右辺 

の"複合Heisenberg場" 

()ψ(),()ψ~()はFPゴースト 

:FP=+1Fermion:±1を同時に持つ演算子 

を意味しますが,そのようなチャネルには1粒子の 

「漸近場=離散的極部分」は存在せず, 

,結局,0→±∞で,()ψ() 0, 

()ψ~() 0 が結論されるため, 

[iλQ,ψas()]0, [iλQ,ψ~as()]0 を得ます。
 

よってDirac粒子の漸近場はBRS不変です。
 

同様に,(()×())a=fabc()()のチャネル 

はFPゴースト数:FP=+2の量子数を持ち,対応する1粒子 

漸近場が存在しないので,[iλQ,s()] 0 が従います。
 

また,[iλQ,μ()]=λDμ()の右辺の演算子; 

μ()=∂c()-g{μ()×()},Lorentz 

不変な4元ベクトルで,FPゴースト数:FP=+1の量子数 

を運びますが,FP=+1の漸近場はLorentzスカラーの  

as()のみですから, 

0→±∞で,Dμ() → Y1/2μas() 

1/2=Z~31/2{1+ω(0)}の形を取ります。

くり込み定数:1/2のうち,~31/2はDμas(のうちの∂μas 

部分のみの寄与です。残りのω~(0)=Z~31/2ω(0)の部分は留数 

()=A()|2=m2付近の説明から理解されるように,5.17 

Feynmanグラフ(側のゴースト2点関数の足を切ったもの) 

の寄与ω~(2)のゴースト極:20での値として計算される 

ものです。


 

ところが,実はこの複雑なくりこみ定数:1/2はFPゴースト 

場のくりこみ定数:3~1/2の逆数であることが, 

「ゲージ場の量子論(24)」で与えた次のWT恒等式 

から従います。
 

すなわち,..0|{μ()~()}|0 

=F..(i)0|{μ()()}|0 

iδabμ/2 です。よって,最右辺の極:20を持つ 

項が,重み1で出現しており,最左辺のc~() 

3~1/2~as()なる漸近形を持つくり込まれたHeisenberg 

場なのでDμ() → Y1/2μas(),1/23~1/21 

を意味するからです。
 

同じ,WT恒等式からNL場:()のくり込み定数:1/2 

.ゲージ場:μ()のくり込み定数:31/2の逆数であった 

という論議を思い起こさせます。
 

そこで,μ(),()の漸近形は,0 → ±∞で 

μ() → Z3~-1/2μs(),() → Z3-1/2s() 

となり,[iλQ,sμ()](33~)-1/2λ∂μs(), 

[iλQ,~s()](33~)-1/2iλBs() 

を得ます。
 

WT恒等式のおかげで右辺のくりこみ因子が(33~)-1/2 

と共通になっています。この定数因子は(33~)1/2 

新たにQと定義すれば吸収できます。
 

または,FPゴースト場のスケール変換不変性から 

c'asexp(ρ)as,~'asexp(-ρ)~as, 

exp(ρ)(33~)-1/2とした,c' as,c~' as 

を改めて漸近場:c as,c~ asに取っても吸収できます。
 

とにかく,どちらかを採用して,以後定数因子:(33~)-1/2 

は落とします。
 

かくして摂動論における漸近場のBRS変換が全て 

決まりました。[iλQ,sμ()]=λ∂μs() 

 [iλQ,ψs()][iλQ,ψ~s ()]0. 

[iλQ,s()][iλQ,s()]0 

[iλQ,~s()]iλBs() です。
 

これを,各モードの生成・消滅演算子に対する変換則 

に直しておきます。 

まず,[iλQ,sμ()]=λ∂μs()の右辺の 

μs()がスカラー波の微分で本質的に縦波ベクトル: 

iμexp(±ikx)のモードしか含んでないことから,左辺:  

sμ()の中のε(σ)μ(),ε(σ)μ()の係数:(,σ), 

(,σ),について 

2つの横波モード,スカラーモードはBRS変換で 

右辺には現われません。つまり,これらはBRS不変です。
 

[,(,±)]0, [,(,)]0 です。
 

残りの縦波モード:(,),その偏極平面波:()k,μ() 

,スカラー場平面波:k()の微分:μk()と一致する 

ように規格化され作られていたことでc(),()μ() 

展開式から,[i,(,)]=c()となることが 

わかります。
 

また,as()=-∂μasμ()(Feynmanゲージ:α1) 

のモード展開式に注意すれば, 

[,~()]=B()=-a(,)を得ます。
 

さらに,[iλQ,ψs()][iλQ,ψ~s ()]0

から,{,(,)}{,(,)}0, 

[iλQ,s()]0より,{,()}0 です。
 

(,),(,)Dirac粒子,反粒子の消滅演算子 

です。
 

ここで与えたのは消滅演算子に対するBRS変換ですが, 

生成演算子に対するBRS変換は,Hermire共役を取れば 

得られます。
 

これら変換則を眺めると,摂動論で現われる粒子モードは,, 

結局,BRS変換で非自明な変換をする系列: 

(,) → -i() 0 ,(,) i() 0 , 

~() → -a(,) 0 ,(,) → -a(,) 0 

のモードと,自明なBRS変換をする,すなわち,BRS不変なモード: 

(,±),(,) (,) 0, 

(,±),(,) (,) 0 とに分離している 

ことがわかります。
 

一旦,漸近場のモードのBRS変換則を見出せば,あらゆる 

S行列WT恒等式は,ほとんど自明な形で導くことができます。
 

自明なBRS変換をするモード,つまりゲージ場の横波モード 

Ditac粒子,反粒子モードは正定値計量を持ちますが, 

これらのモードのみで構成される状態; 

|α>=a(1,±)..(i,±)(1,1)..(m,m) 

(1,1)..(,n)|0>は明らかに,全てのモード 

がQと可換でQ|0>=0 ですから,|α>=0 を満たす 

ため,常に物理的状態であり,|α>∈physです。
 

それ故,この状態;|α>を与えるモードを物理的モード  

と呼びます。ここまでは,漸近場の生成・消滅演算子に一切  

as or in,outの添字を省略していましたが,もちろん, inout 

の2種類があり,どちらも同じ形のBRS変換性(および,BRS  

とは異なる,あらゆる保存電荷の変換性)を満たします。
 

Incoming場の生成演算子で作られた物理的状態: 

|α;in>=ain(1,±)..in(i,±)

in(1,1)..in(m,m) 

in(1,1)..in(,n)|0> からoutgoing場のそれ, 

|β;out>=aout(1',±)..out(',±) 

out(1',1')..out(m',m') 

out(1',1')..out(',n')|0> へのS行列要素: 

<βout|αin>に関しては,それらの物理的モードがBRS不変 

なので,何の制限もありません。
 

しかし,非自明なBRS変換をするモード,つまりゲージ場の 

縦波,スカラー波,および,FPゴースト,反ゴーストの4つの

モードの関与するS行列に対しては,BRS不変性が 

S行列WT恒等式の形で強い制限を与えます。
 

この4つのモードが,正に問題の不定計量をもたらす厄介者 

の非物理的モードである,ことを思い起こします。
 

しかしながら,丁度,この非物理的モードの挙動だけをBRS 

不変性がうまくコントロールします。
 

実際, |α;in,|β;out>が先に示したように物理的な 

in,outモードだけで作られた任意の状態とすれば, 

|α;in>=<β;out|0 なので,明らかに, 

0=<β;out|{,Φ1,out(1)..Φ,out() 

Φ1in(1)..Φ,in()}}|α;in 

の恒等式が任意の非物理的モードの漸近場の消滅演算子 

Φi,as()=aas(,),as(,),as(), ~as(), 

および,生成演算子: 

Φi,as()=aas(,),as(,),as(),~as() 

に対して成立します。
 

この恒等式は,あらゆるS行列WT恒等式をGreen関数を 

経由しないで直接与えるものです。例えばm=2,n=0, 

Φi(1)=c~(1),Φ2(2)=a(2,)と取れば, 

0=<β;out|{,~out(1)out(2,)}|α;in 

=<β;out|{,~out(1)}out(2,)|α;in 

-<β;out|~out(1){,out(2,)}|α;in 

=<β;out|[-aout(1,)out(2,) 

i~out(1)out(2)]|α;in>を得ます。
 

これは確かに,「ゲージ場の量子論(28)」で与えた 

WT恒等式: 0|(1,)(2,)|α> 

i0|c~(1)(2)|α> 

の一般化になっています。
 

本節はこれで終わりです。切りもいいので,今回は 

ここまでにします。


(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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2018年2月18日 (日)

ゲージ場の量子論(29)

「ゲージ場の量子論(29)」からの続きです。

新しい節に入ります。

§5.8 物理的S行列のユニタリ性

本節,および,次節で物理的S行列:Sphysがユニタリ 

(unitary)であることを証明します。

以下は,そのために必要な定理です。

[定理]:理論が次の3つの条件を満たすとする。

)全状態空間:で定義されたS行列演算子: 

はユニタリ(unitary)である。 

すなわち,S=SS=1 である。
 

)の中の物理的部分空間:phys={|Phys} 

,時間発展の下で不変である。 

それ故,特にS行列演算子の下で不変である。 

phys=Sphysphysである。
 

) physは半正定値計量 

(positive semi-definite metric)  

である。 

すなわち, |Phys>∈phys に対して, 

Phys|Phys>≧0 である。
 

このとき,物理的S行列:physは正定値計量を 

持つ商空間;physphys/0 (0phys 

零ノルム部分空間)の上で矛盾なく定義され, 

ユニタリ性を満たす。 

すなわち,physphys=Sphysphys=1 である。
 

(※この定理の中で商空間(quotient space)の意味 

,零ノルム部分空間:0については証明の中で 

詳しく説明します。)
 

[証明]physの中でノルムがゼロである状態の全体 

0と定義します。 

0{|χ>∈phys |<χ|χ>=0 } です。
 

このとき,0の元|χ>はどれも,phys 

任意の元|f>と直交します。<χ|f>=0です。 

何故なら,任意のz∈に対して 

|χ>+|f>∈physであるからです。

つまり,(<χ|+<f|)(|χ>+|f>) 

=<f|f>+2Re(<χ|f>)0 

が任意のzについて満たされる必要がある 

というこよは,zが実数でz→-∞でも 

そうでなければならず,結局,<χ|f>=0 

でなければならないからです。
 

零ノツム空間:0のこの性質は物理的部分空間 

physの中の1つの状態:|f>と零ノルム状態: 

|χ>∈0だけ異なる別の状態:|f>+|χ> 

とはphysの中で物理的に決して見分けることが 

できないことを意味しています。
 

それ故,ある状態:|f>∈physと零ノルム状態; 

|χ>∈0だけの差しかない状態全体の集合を,

|^>={|f'>∈phys |(|f'>-|f>)0 } 

と定義して,これを|f>を代表元とする同値類(class) 

と呼ぶことにします。
 

そして,この類の1つ1つを元とする集合を商空間と呼び, 

phys/0で表わします。これをHphysと書きます。

|χ>∈0 なら<χ|f>=0 という性質から,|^ 

に属する状態:|f>と,|^>に属する状態:|g>との 

内積:<f|g>は代表元:|f>,|g>の選び方に依らず 

同一です。
 

そこで,physとの元としての|^>と,|^>の内積を, 

<f^|^>=<f|g>;|f>∈|^,|g>∈|^ 

によって矛盾なく定義できます。
 

この内積を付与されたHphysでは<f^|^>=0なら, 

|^>=|0^>={|χ>∈phys |(|χ>-0 )0 } 

0が成立します。
 

したがって,physは正定値計量空間となるため,これを 

(0を零元とする)物理的Hilbert空間と呼びます。
 

)の仮定からphyはS行列演算子:,および,の下 

で不変ですから,その零ノルム部分空間0もS, 

下で不変です。
 

実際,任意の|f>∈phyに対して,|f'>=S|f>と 

すれば,|f'>∈phyなので,|χ>∈0なら 

<f||χ>=<f'|χ>=0 ですからS|χ>∈0 

です。同様に,|χ>∈0もいえます。
 

したがって,physにおけるて物理的S行列演算子:phys 

,元のにおけるS行列演算子:Sから,|^>∈Hphys 

に対して,phys|^>=|(Sf)^>で定義すれば, 

この定義は無矛盾(well-defined)です。
 

このとき,()のSのユニタリ性の仮定から, 

任意の|^,|^>∈Hphysに対して 

<f^|physphys|^>=<(Sf)^|(Sg)^ 

=<Sf|Sg>=<f||g>=<f|g> 

=<f^|^> が成立します。
 

それ故,physphys1です。同様に,physphys1 

も明らかなのでSphysはユニタリと結論されます。 

[証明終わり] 
 

さて,ここまで展開してきた非可換ゲージ理論の場合 

を考えます。
 

FPゴースト場;,~を正しくHermite演算子の場 

に取っておけば,Lagrangian密度:~,故にHamiltonian: 

HがHermiteとなるので,時間発展演算子:exp(iHt) 

がユニタリとなり,(,0)exp(iHt)exp(iHt0) 

もユニタリなのでS=U(,-∞)はユニタリです。
 

そこで,まず,上の定理の()仮定であるSのユニタリ性:: 

S=SS1は満たされています。
 

そして,物理的部分空間:physはBRS電荷:を用いて, 

|Phys>0 |Phys>physで定義されていますが, 

が保存量で,かつ,Lorentzスカラーなので,phys 

明らかに時間発展で不変(かつ,Lorentz不変)です。
 

したがって,定理の()の仮定も満足されています。
 

自明でないのは,()の仮定です。 

つまり,phyが半正定値計量を持つかどうか?です。
 

前節の具体的摂動計算では負ノルム状態を作る危険性 

のある非物理的モード:すなわち,ゲージ場の縦波・, 

スカラー波モードとFPゴースト・反ゴーストモード 

が摂動のg2のオーダーまでは,うまい具合に零ノルム 

状態でしか現われないことを示したわけで,phyの一部 

(Dirac粒子^反粒子ペア初期状態から散乱後に作られる 

ゲージ場,またはFPゴースト2粒子セクター)について 

半正定値性を示したことになります。
 

以下では,phyの半正定値性を,もっと系統的,かつ一般的な方法 

で示します。そのためにはWT恒等式のより本質的表現である 

BRS電荷:について考察する必要があります。
 

※保存電荷の漸近場による表現 

まず, BRS電荷:に限らず,一般に保存する電荷演算子 

Qがあれば漸近的完全性の仮定の下で,それを漸近場:Φas 

(asout,in)で表わすと,必ず双1次形(bi-linear form) 

なることを示します。
 

いいかえると,QがΦasiの上に起こす変換は必ず線形です。 

つまり,[iεQ,Φasi()]=-εajjΦasj()という主張です。 

(※ただし,εは無限小パラメータです。QがQのように 

Fermi的電荷の場合には,それはGrassmann数なので,Φasi 

によっては交換子は反交換子に置き換えられます。)
 

この主張に対する素朴な証明は,次のようなものです。 

すなわち,Qが漸近場;Φasiに起こす変換を一般に, 

[iεQ,Φasi()]=εδΦasi()と表わし,両辺に 

Klein-Gordon演算子:+μ2(または,Dirac演算子: 

(iγμxμ-mi))を掛けると,左辺は漸近場;Φasi 

自由場の方程式:(+μi2)Φasi()0を満たす 

ので消えるため,右辺=(+μi2)δΦasi0  

なければなりません。
 

これは,δΦasi,Φasiの質量μiと縮退した質量を持つ 

全ての漸近場:Φasi(μj=μii)の線形結合で書けること 

を意味し,[iεQ,Φasi()]=-εajjΦasj()が結論 

されます。
 

この証明は簡明でいいのですが,けちをつけるなら難点があります。 

例えば,Φinj()の変換:δΦini(+μi2)δΦini0を満たす 

からといって,果たしてδΦini,incoming:Φnsiのみの線形結合 

で表わせるのか?なぜ.同じ方程式を満たすΦnoutiが混じっては 

いけないのか?という問題があります。
 

そこで,もう少ししっかりした証明を与えることにします。 

完全系をなす漸近場:ΦasiDirac場でも本質的に同様 

なので,簡単のため,スカラー場,またはベクトル場のモード 

成分として扱うことにします。
 

ただし,ベクトル場の場合の縦波とスカラー波の間や 

Pゴースト,反ゴーストの間に見られる反対角計量 

(不定計量)の場合も扱えるよう,Φasiの4次元 

()交換関係を一般の計量:ηijを持つ, 

[Φasi(),Φasj()]=ηijΔ(x-y,μi)の形に  

しておきます。
 

もちろん,計量は同じ質量の漸近展開でのみゼロ  

でないのでμiηij=ηijμです。
 

完全系をなす漸近場:Φasiに対応する.くり込まれた 

Heisenberg場をΦiとします。すると,0→±∞のとき, 

Φi() → Φasi(),(asIn,またはout)です。
 

これらのHeisenberg:Φi()のQによる変換, 

[iεQ,Φi()]=εδΦi(),BRS変換: 

Q=Q.δ=δでもそうですが,δΦiは一般に場: 

Φiに関して非線形な多項式です。
 

0→±∞のとき,Φi() → Φasi() という仮定は, 

.T <0|(Φi() Φi())|0|離散的極部分 

iηij/(2-μi2) 

=F.T <0|(Φasi() Φasi())|0>  

を意味します。
 

,多項式場;δΦi()とΦi()の2点関数を計算し, 

その離散的極部分を取り出して, 

.T <0|(δΦi()Φi())|0|離散的極部分 

=-iik()ηkj/(2-μj2) 

=F. {-aik(i)}0|(Φasi()Φasi())|0 

となった,とします。(T積はT積を意味します。)
 

もちろん,極の留数部;ik()の中のpは全てLorentz 

の足:μがついたもので縮約されたp2を含みません。
 

.T <0|(Φi()Φi())|0|離散的極部分は図5.15 

に示したFeynman図で計算されます。
 

図の右側のΦjには必ず,相互作用を全て含めたfull 

伝播関数<0|(ΦiΦi)|0>が含まれており,それを除く 

因子部分のFeynman:5.16の寄与をAik()で記せば 

留数aik(),k()=Aik()|2=μj2で与えられます。
 

これは留数:ik()の具体的計算法を与えています。
 

ところが,先の2点関数の仮定から, 

k()=Aik()|2=μj2,0→±∞ のとき, 

δΦi() → -aijΦasj() を意味します。 

ただし,ij(i)をaikjと書きました。
 

そこで,[iεQ,Φi()]=εδΦi()においてx0→±∞ 

の極限を取れば,[iεQ,Φasi()]=-εajjΦasj() 

が結論されます。
 

念のため,このような漸近場の線形変換が,果たして実際に 

元のHeisenberg;Φiの非線型な変換: 

[iεQ,Φi()]=εδΦi()を実現するのだろうか? 

という問いに答えておきます。
 

そのために,Heisenbwrg場の演算子を漸近場で展開した表現 

を与えるHaag-LSZ公式を思い起こします。
 

S=;:<0|exp{i(j・Φj){|0|J=0 , 

SΦ()=;:<0|[Φ()exp{i(j・Φj){|0|J=0  

です。(※ドット・は∫d4xの省略記号です。)
 

ここで演算子::は,漸近場:Φasi()が計量: 

[Φasi(),Φasj()]=ηijΔ(x-y,μi)を持つため, 

:=:exp{Φasiη-1ijjδ/δJj} 

(j=□+μj2)で与えられます。
 

ただし,SとSΦ()の右辺の表式で演算子 

であるのは,:=の中に現われる漸近場:  

Φasiのみなので,[iεQ,Φasi()]=-εajjΦasj() 

により, 

[iεQ,]=;[iεQ,Φasi()]η-1ijjδ/δJj} 

0|[exp{i(j・Φj){|0|J=0  

=:-εajmΦasm():η-1ijj 

0|[iΦj exp{i(j・Φj){|0|J=0 および,

[iεQ,SΦ()] 

=;[iεQ,Φasi()]η-1ijjδ/δJj} 

0|[iΦexp{i(j・Φj){|0|J=0  

:εajmΦasm();η-1ijj 

0|[iΦjΦ()exp{i(j・Φj){|0|J=0  

です。
 

これらの表式から求める結果を得るには,Green関数 

の生成汎関数に対するWT恒等式が必要です。
 

Qは「自発的に破れていない」対称性の電荷演算子 

ですから,真空はQで不変です。つまり,|0>=0です。 

[iεQ,Φi()]=εδΦi()により, 

0=<0|[iεQ,exp(ii・Φi)]|0 

=<0|[(iiεδΦi)exp(ii・Φi)]|0 

なるWT恒等式を得ます。
 

さらに,これをJk()で微分すれば 

0=<0|[{εδΦk()iΦk()iεδΦi}exp(ii・Φi)]|0 

なる恒等式を得ます。
 

この恒等式に::を施せば,外場;i()は全て 

,Φasjη-1ijjで置き換えられます。 

このとき,Φasj()は質量殻:2=μi2上の関数で 

Klein-Gordon演算子:jは伝播関数の逆;(-p2+μj2) 

(-p2+μi2)ですから,この演算子の下ではJj 

掛かっている複合Heisebnberg演算子:δΦjには, 

そのチャネルでΦiの質量:μiと同じ質量の1粒子 

の極部分しか効きません。
 

それ故,.T <0|(Φi() Φi())|0|離散的極部分 

iηij/(2-μi2),および, 

.T <0|(δΦi()Φi())|0|離散的極部分 

=-iik()ηkj/(2-μj2) 

を考慮すると,
 

質量殻上(2=μj2),δΦj() → -aijΦj() 

の置き換えができます。
 

よって,Green関数のWT恒等式:  

0|[(iiεδΦi)exp(ii・Φi)]|0>=0. 

0|[{εδΦk()iΦk()iεδΦi}exp(ii・Φi)]|0 

0 ,次の質量殻上のS行列WT恒等式に帰着します。
 

0|[(iiεaijΦj)exp(ii・Φi)]|0|J=00

:<0|[{εδΦk()

iiεaijΦjΦk()}exp(ii・Φi)]|0|J=0 0 です。
 

ここで係数行列:ijはμi=μjのときのみゼロでないことは 

明らかなので,iij=aijjが成立します。
 

そこで,jΦasmη-1mijに置換して 

Φasm:η-1miεaijj 

0|[iΦjexp(ii・Φi)]|0|J=00 , および, 

:<0|[εδΦk()exp(ii・Φi)]|0|J=0 

Φasm;η-1miεaijj 

0|[{iΦjΦk()}exp(ii・Φi)]|0|J=0 

0 です。
 

ここで.Jacobi多項式;[iεQ,[Φasi(),Φasj()]] 

[[iεQ,Φasi()],Φasj()][Φasi(),[iεQ,Φasj()]] 

が成立しますが,[Φasi(),Φasj()]c-数ですから, 

左辺はゼロなので,[iεQ,Φasi]=-εaijΦajより 

εajk[Φask(),Φasj()]

()1|i||ε|εajk[Φasi(),Φask()]  

を得ます。
 

そこで.[Φasi(),Φasj()]iηijΔ(x-y)から,  

εajkηkjΔ(x-y)()1|i||ε|εajkηilΔ(x-y)  

η-1miεajk()1|i||ε|εajmη-1jk, 

故に,Φasmη-1miεajk()1|i||ε|Φasmεajmη-1jk, 

=-εajmΦasmη-1jjが成立するので
 

0Φasm:η-1miεaijj 

0|[iΦjexp(ii・Φi)]|0|J=0 

=-[iεQ,],および, 

0=::<0|[εδΦk()exp(ii・Φi)]|0|J=0 

[iεQ,Φk()] を得ます。
 

したがって, [iεQ,]0 ,および, 

[iεQ,Φi()] 

=::<0|[εδΦk()exp(ii・Φi)]|0|J=0 

=SεδΦi() が結論されます。
 

[iεQ,]0 はS演算子が保存量:Qの下で不変であること, 

を一般的に証明したこと,を意味します。 

つまり,保存電荷:Qを生み出す(ゲージ)対称性変換の下では, 

S行列は常に不変であること,を示しました。
 

一方,[iεQ,SΦi()]=SεδΦi(),求める漸近場に 

対するQの線形変換が,Heisenberg場に対する元の一般には 

非線形な変換を再現することを示しています。
 

今回はここで終わります。

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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2018年2月15日 (木)

ゲージ場の量子論(28)」

「ゲージ場の量子論(27)」からの続き: 

§5-7 摂動論のFeynman則と簡単な計算 

の続きです。
 

※行列要素関係式とGren関数WT恒等式 

前回は.非常に具体的な計算を行なって摂動のg2 

のオーダーまでの範囲で,S行列要素の関係式: 

0|(1,)(2,±)|α>=0 

0|(1,)(2,)|α>=0 

0|(1,)(2,)|α> 

i0|c~(1)(2)S|α> 

を見出しました。
 

特に,(2)のWT恒等式:5.3,5.9を駆使して 

計算しましたが,実は,最後の結果である上記のS行列 

要素の関係式自体は,直接,4点Green関数に対する 

WT恒等式から従うものです。
 

すなわち, 一般的WT恒等式:, 

0=<0|{i,(1(1)2(2)..n())}|0 

=Σk1n()k0|(1(1)2(2).δ(k).m()|0 

において,n=4として,

1=ψα,2=ψ~β,3=Aν,4=c~とすると, 

0=<0|{i,(ψα()ψ~()ν()~())}|0 

=<0|(δψβ()ψ~()~()|0 

-<0|(ψα()δψ~β()ν()~()|0 

+<0|(ψα()ψ~β()δν()~()|0 

+<0|(ψα()ψ~β()ν()δ~()|0 

すなわち, 

0|(igc()ψα()ψ~β()ν()~()|0 

-<0|(ψα()igψ~β()()ν()~()|0 

+<0|(ψα()ψ~β()ν()~()|0 

+<0|(ψα()ψ~β()iν()i()|0>=0

あるいは,, 

-<0|(ψα()ψ~β()iAAν()i()|0 

=<0|(igc()ψα()ψ~β()ν()~()|0 

-<0|(ψα()igψ~β()b()()~()|0 

+<0|(ψα()ψ~β()ν()~()|0 

なる4点Greem関数のWT恒等式です。
 

これはFeynman図では下の図5.13で表わされます。
 

図の中での中央blob,あらゆる可能なFeynmanグラフの 

総和を示すものです。
 

,簡単のため,このWT恒等式:5.13を摂動の最低次; 

(2)で考えることにし,この両辺で第3章S行列の項 

で与えた次のLSZ簡約公式(reduction-formula)を適用 

します。 

1..m-1mout|1..nin  

-<1..m-1out|(m)1..nin >=i∫d4 

{m()x1..m-1out|φ()|1..nin }より, 

1..mout|1..nin  

=Πi=1{i∫d4ii*m(i)i}Πj=1[{i∫d4ii(j)j} 

0|(φ(x1..φ()|φ(1.)..φ(n))|0 }] です。

(※ただし,散乱粒子場:φ(),全て質量μのKlein-Gordon 

方程式に従うスカラー場であるとし,x=□+μ2と定義して. 

演算子:(+μ2)に代えて記号:xを用いました。)
 

ixi(+μ2)は運動量kのk空間では-i(2-μ2)を意味 

,これは丁度,場の伝播関数=2Green関数:i/(2-μ2iε) 

を相殺する逆数になっています。
 

S行列要素の散乱粒子場が質量mのDirac:ψ()なら 

xi(+μ2)の代わりに,xi(γμxμ―m)が挿入 

されますが,これは運動量pのp空間では(―m)を意味 

します。 Dirac場のLSZ公式ではix=が(ix) 

置き換えられるため,やはり,伝播関数:i/(-m+iε) 

の逆数です。
 

したがって、運動量空間に変換した4点Green関数の 

つの外線の足に,(i)(―m),または,質量ゼロの 

ゲージ場の(i2)を掛けた後,各運動量を質量殻の上: 

=m,または,20 に置き,外線波動関数:(-v~), 

,または,ε(σ)*μを掛ければ,
 

5.13の左辺は.Dirac粒子-反粒子ペアの初期状態から 

番目のチャネルが縦波ゲージ場となる2粒子状態への 

散乱振幅となります。
 

ところが,5.13の右辺は3番目のグラフ以外は,1,2,3 

どれかのチャネルにゴーストを伴う2粒子状態になっている 

ため,1粒子極を含まず,(i)(―m)(i2)を掛けても 

分母と分子が相殺されず,質量殻上:=m,やk20 に置く 

とき,これらのグラフの寄与はゼロとなります。
 

唯一,この過程で番目のグラフは生き残りますが,.2 

規則により,これはチャネル3の運動量:νに比例します。
 

そこで,3の足のゲージ粒子の波動関数:ε(σ)*ν(2)との 

縮約で{-k2ε(σ*(2)}の因子をつくります。
 

この因子を除けば,丁度,FPゴースト-反ゴーストの 

ペアへの散乱振幅を与えるので,結局,5.13の等式は, 

前述の関係式: 

[(1)+v~(2)→ε()μ(1)+ε(±)μ(2)]0,, 

[(1)+v~(2)→ε()μ(1)+ε()μ(2)]0  

および,[(1)+v~(2)→ε()μ(1)+ε()μ(2)] 

i[(1)+v~(2)→c(1)+c~(2)]  

を再現することになります。
 

ここで与えた議論は,容易に摂動の全次数に拡張できます。
 

しかし,全次数の議論では,5.13の第4項は図5.14 

示すタイプのグラフがFPゴースト1粒子の極を作る 

ようになるため,もはや落とせなくなります。
 

しかし,同時にLSZ公式で正しい散乱振幅を得るには, 

くり込まれたHeisenberg:-1/2μ,1/2,~3-1/2, 

~3-1/2~Green関数を用いなければならない, 

(摂動の最低次ではZ=1です。)ということも考慮する 

必要があります。
 

この2つの点に留意すれば,前述のつの関係式は摂動 

の全次数でも(tad-poleを除いて)変更なく成立すること 

が示せます。これについては次節で,より一般的,かつ, 

系統的な方法を展開する予定なので,ここでは,これ以上 

深入りしません。
 

同様にして,種々な多点Green関数のWT恒等式から出発 

して外線に伝播関数の逆数を掛けて質量殻上に載せる 

という手続きで,摂動の任意次数で成立する無限に多くの 

S行列要素間の関係式:つまりS行列WT恒等式を得る 

ことができます。
 

そして,そのようなS行列WT恒等式の全体が,物理的S行列­: 

Physがユニタリであることを保証することがわかります。
 

例えば,先に得たS行列WT恒等式: 

0|(1,)(2,±)|α>=0 

0|(1,)(2,)|α>=0 は, 

添字:,bを省略した表現で, 

Dirac粒子-反粒子ペア状態:|α>の散乱状態: 

|α>の中にa(1,)(2,±){0>や 

(1,)(2,){0>のような 

縦波ベクトルを含む状態が現われないことを 

示しています。

(※何故なら,ゲージ粒子の1粒子完全性は, 

∫d3(,σ)|0>η~στ0|(,τ)1であり, 

S行列要素:<β||α>のユニタリ性は S|α>が 

縦波とスカラー波の逆転的展開式: 

|α>=∫d3 

[..(,)|..><..|(2,)|α> 

+a(,)|..><..|(2,)|α>] 

で与えられるからです。)
 

一方,スカラー波とベクトル粒子を含む, 

(1,)(2,±){0>や 

(1,)(2,){0>の状態 

に対応するS行列WT恒等式の制限は存在 

しないので,これらの状態は散乱状態:|α> 

の中に一般に現われます。
 

縦波同様,スカラー波も非物理的モードのはず 

なのに,これらは現われると考えられます。
 

しかし,ここで,交換関係:[(,),(,)]0, 

[(,),(,)][(,),(,)] 

=δ3()を思い起こすと,スカラーモード同士は 

可換で,スカラーモードは縦波モードとのみ非可換です。
 

このため, ,スカラー波を含むa(1,)(2,±){0 

やa(1,)(2,){0>の状態がいくら現われても 

スカラーモードの可換性から.これらは零ノルムの状態 

なので,観測にはかかりません。
 

このとき,縦波モードの状態:(1,)(2,±){0 

,(1,)(2,){0>が禁止されていることが 

重要です。
 

何故なら,(1,)(2,±){0 

やa(1,)(2,){0>の状態がゼロでない内積を 

持ち得る相棒状態が,(1,)(2,±){0 

,(1,)(2,){0>のみなので,もしも同時に 

現われるなら,それらの線形結合がゼロでないノルムを持ち, 

そのノルムに比例する確率で観測されてしまうからです。
 

さらに,線形結合の相対的重みによっては負ノルム状態も 

存在できることになり,物理的解釈不可能になりますから 

縦波モード状態が禁止されて存在しないのは本質的 

なことです。
 

もう1つの,S行列WT恒等式: 

0|(1,)(2,)|α> 

i0|c~(1)(2)S|α> 

の意味するところはより興味深いです。
 

これは,縦波とスカラー波のモードが1つずつの 

ゲージ場の粒子状態も,FPゴースト-反ゴースト 

のペア状態も禁止されず,,単にそれらが係数iを 

除いて同じ重みで出現することを主張しています。
 

すなわち,対応: 

<β|(,)|α> → ε()*μ() 

<β|(,)|α> → ε()*μ(), 

および,展開式:|α>=∫d3 

[..(,)|..><..|(2,)|α> 

+a(,)|..><..|(2,)|α>] 

によって,
 

それらの状態は,|α>の中で常に, 

[(1,)(2,)i~(2)(1)]|0 

という形の線形結合で現われると考えられます。
 

ところが,この形の状態間の内積は, 

[(,),(,)][(,),(,)] 

=δ3(),および, 

{(),~()}=-{~(),()} 

=δ3() から,
 

0|(1,)(2,)(1,)(2,)|0 

=δ3(21)δ3(12) 

 0|i(1)~(2)(i)~(2)(1)|0 

=-δ3(21)δ3(12)となります
 

ゲージ粒子のL-S状態がゼロでない内積を 

持ち得る相棒の状態はL-S状態のみであり, 

FPゴースト-反ゴーストのc-~状態の 

相棒もc-~状態のみですから,これら非物理的状態 

が上記の線形結合の組み合わせでしか現われないなら 

内積が相殺して零ノルムとなり,観測にかからないこと 

になります。
 

このような議論を,非理的モード:つまり,縦波, 

スカラー波,,FPゴースト,反ゴーストの関わる 

任意のS行列要素に対して,零ノルムの 

組み合わせでしか現われないということを証明 

する必要がありますが,これは膨大な作業です。
 

すなわち,色々なGreen関数のWT恒等式を 

手当たり次第に書き下し,それから外線を質量殻上 

に載せる操作で,S行列WT恒等式が,たとえ得られた 

としても,それらのS行列要素間の関係式は多粒子状態 

になると飛躍的に複雑なものとなり,果たして非物理的 

モードが全て零ノルム状態で出ることを保証できるか? 

わからなくなります。
 

それ故,実際に証明を実行するにはS行列WT恒等式 

の本質を捉えた,より強力な方法が必要とされます。
 

それは次節と次々節で与える予定です。
 

本節は,これで終わりなので今回はここで終わります。

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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ゲージ場の量子論(27)

「ゲージ場の量子論(26)」からの続きです。
 

§5-7 摂動論のFeynman則と簡単な計算 

補助条件:|Phys>=0 で指定される物理的部分空間: 

phys{|Phys}に限ったS行列;physがユニタリである 

ことを次節,および,次々節で,摂動論には依らず,かなり 

一般的に証明する予定です。
 

しかし,そのような一般論に入る前に,本節では摂動論の 

Feynman則を与え,少し具体的な振幅の計算をします。 

それはFeynmanグラフに慣れると同時に非可換ゲージ理論 

Fock空間の計量構造やWT恒等式の意味を理解する上で 

役に立つと思われます。
 

Feynman 

話を露わにすべく,既に考察した全系のLagrangian密度で, 

物質場の部分をDirac:ψにとって, 

~=-(1/4)μνaμν+ψ~{iγμ(μigAμ)―m}ψ 

(μ)μ(α/2)i(μ~)μ 

を以下で考察する対象の全系のLagrangian密度とします。
 

ゲージ固定項とFPゴースト項を既に含むこの~を「古典論」 

Lagrangian密度と見なして出発すれば,自明な第2類拘束条件: 

φ1=π0  0,φ2=π+A0 0しか出てきません。
 

それ故,遷移振幅;Tの位相空間経路積分表式は, 

T=∫ππψψππ~~ 

×Ψ~ΨΠ,[δ(π0)δ(π+A0)]exp[i∫d4 

{πaμμd+πdiψψd+πd

+π~~d}] 

となります。
 

ただし,det1/2|[φ1,φ2]P.B|因子は本質的には1に等しいこと 

を用いて落としました。
 

ここで,π0,πの積分を実行して,δ関数を落とし. 

さらにπ,π,π~積分も実行すれば, 

expの肩の被積分関数は丁度~になります。
 

したがって,Green関数の生成汎関数は 

[]=∫ψψ~~  

exp[i∫d4{~(,,ψ,ψ,,~)Φ}] 

と書けます。
 

ただし,Φ,Φ=Jaμμ+J+η~ψ 

+ηψ~+J~+J~c~a で与えられ,Fadeev-Popov 

の方法で求めた経路積分表式を再現します。
 

この表式により,直ちに第4章で行なったのと同様にして, 

摂動論のFeynman則を導くことができます。
 

利用の便宜のために,この非可換ゲージ理論における 

(運動量表示の)Feynman,特にFeynman伝播関数と 

頂点関数のグラフを表1にまとめておきます。


表1の頂点の最後のグラフの寄与は, 

2[eabecd(αγβδ-gαδβγ) 

+feacebd(αβγδ-gαδγβ) 

+feadebc(αβδγ-gαγδβ)] です。

1において,Dirac場やFPゴースト場につけてある  

矢印はψ~からψへc~からcへの方向を示し,運動量  

の向きとは無関係です。
 

ゲージ場の伝播関数の中のα,くり込まれたゲージ 

パラメータで,実際計算では,もっぱらFeynmanゲージ: 

α1を取ります。
 

(※事実.頂点関数の第1図,第2図でゲージ場の交換関係は 

Feynmanゲージで計算しているようです。)
 

また,頂点関数では運動量の向きは全て頂点から流出する 

方向に取りました。この場合,運動量がkの場のx依存性は 

exp(ikx),~の中の微分:μ(iμ)に同定されます。
 

外線に関しては,運動量表示のGreen関数:~(n)を計算 

するときは,表1の伝播関数を付与し,不変振幅:βα 

計算のときにはスカラー場には,{(2π)320}-1/2, 

Dirac場には,始状態には(2π)-3/2(/0)1/2(,), 

終状態には(2π)-3/2(/0)1/2~(,)etc., 

ベクトル場には{(2π)320}-1/ε(±)μ(), 

{(2π)320}-1/ε(±)μ()etc.を付与します。 

その他,ループ積分∫d4(2π)-4など,§4-6 

与えた規則を適用します。
 

ここで,ベクトル場:μの偏極状態の散乱振幅に関して, 

少し紛らわしい点の注意を与えておきます。
 

それはベクトル場の偏極ベクトル:ε(σ)μ()(σ=±,,) 

の間の内積η~στを与えたときに,縦波()-スカラー波() 

のセクターで反対角になっていることに由来するものです。
 

すなわち,このために,漸近場の消滅演算子:as(,σ) 

漸近場:asμ()から取り出す公式は, 

as(,σ)=η~στ(i)∫d3[(τ)μ()0asμ()] 

 =η~στ(i)∫d3[ε(τ)*μ(){exp(ikx)0asμ()} 

 ×{(2π)320}-1/2]となり,
 

したがって,LSZ公式は, 

<αout|out(,σ)|βin>-<αout|in(,σ)|βin 

=η~στ∫d4[(τ)μ() 

(i)<αout |-1/2μ()|βin] 

で与えられます。
 

これは,ket状態が<αout|out(,σ)で与えられる 

散乱過程の不変振幅;の計算でaout(,σ)粒子に相当 

する外線は,係数:{(2π)320}-1/2を除けば波動関数: 

η~στ(i)ε(τ)μ()を付与すべきことを意味します。
 

0||は ゲージ粒子のエネルギーで,ωとも書かれます。
 

特に,η~στはL-Sセクターで反対角になっているため, 

S行列要素との計算との間には見かけ上, 

<α|(,)|β> → ε()μ(), 

<α|(,)|β> → ε()μ()のような逆転 

が起こることになります。
 

にも関わらず,波動関数:ε()μ()で計算される, 

縦波()が出る散乱振幅, 

ε()μ()で計算されるものは,スカラー波()が出る 

散乱振幅と呼ぶことにします。
 

その理由は,不定計量の空間でのユニタリ性は行列で書くと, 

1粒子状態完全性として, 

∫d3(,σ)|0>η~στ0|(,τ)1 

のように,η~στを含むので, 

|0>を含む全ての状態:|..>を挟んだ完全性=ユニタリ性 

の表現で,初期状態が|β>の散乱状態:|β>の展開は 

|β>=∫d3[..+a(,)|..><..|(,)|β> 

+a(,)|..><..|(,)|β>+..]  

と書けるからです。
 

つまり,外線の1つがε()μ()で計算されるS行列 

要素;..|(,)|β>は,確かに縦波を含む 

終状態:(,)|..>になる散乱振幅を与えます。
 

FPゴースト,反ゴーストの場合も,上のような計量 

が示す反対角性と同様,見かけ上の逆転が生じます。 

|β>=∫d3[..+c()|..i..|~()|β> 

+c~()|..i..|()|β>+..] です。
 

※簡単な計算例 

さて1つの簡単な具体例として初期状態がDirac粒子と 

反粒子1個ずつの2体状態で,終状態がゲージ粒子の2体 

状態となる散乱過程を考えます。
 

この過程に効く最低次のFeynmanグラフは図5.2 

,,Cに示した3つです。
 

初期状態のDirac粒子と反粒子のスピノルを 

(1,1)=u,v~(2,2)=v~とし,終状態ゲージ場 

2粒子の偏極ベクトルを,ε(σ1)μ(1)=ε1μ, 

ε(σ2)μ(2)=ε2μと記し,表1のFeynman規則を適用すれば 

不変振幅:に対する図5.2のA,,Cの寄与は,それぞれ, 

次のようになります、
 

=ε1*με2*ν{(2π)-3{(2ω1)(2ω2)}-1/2(2π)-3{2/(21)1/2 

[~gTγν(11―m)-1gTγμ] 

=ε1*με2*ν{(2π)-3{(2ω1)(2ω2)}-1/2(2π)-3{2/(21)1/2 

[~gTγμ(12―m)-1gTγν] 

=ε1*με2*ν{(2π)-3{(2ω1)(2ω2)}-1/2(2π)-3{2/(21)1/2 

[gfabc{μν(1-k2)ρ+gνρ(122)μ 

+gρμ(21-k2)ν}(i)/(1+k2)2)(~gTcγρ)}] 

です。ただし,Feynmanゲージ;α1を取り,伝播関数中のiε 

を省略しました。なお,ωはゲージ粒子のエネルギー,EはFermi 

粒子のエネルギーです。
 

終状態ゲージ場が(物理的)横波状態の場合,これらの振幅の 

表式はこれ以上簡単にはなりません。
 

しかし,ここで,ε1*μが縦波状態:ε1*μ=ε()*μ(1)i1μ 

である場合を考えます。
 

まず,次の恒等式が成立することに注意します。 

(―m)-1(-m) -1(―m)-1(-m)-1 

この両辺に,右から(-m)(,)を掛け,その後pμを質量殻 

上にのせます。p2=m2であり(-m)(,)0 です。 

(―m)-1(,) =-u(,)を得ます。
 

同様に 

(―m)-1(-m)-1(―m)-1(k-p-m)-1 

の両辺に,左からv~(,)(-m)を掛け,その後 

-pμを質量殻上にのせます。v~(,)(-m)0 より,  

~(,)(-m)-1=v~(,)を得ます。
 

そこで,,および,の表式でε1*μi1μを代入すると, 

ε1*μγμiとなるので,係数: 

{(2π)-3{(2ω1)(2ω2)}-1/2(2π)-3{2/(21)1/2を省略 

すれば,それぞれ, 

~ -i2ε2*ν[~γν] および, 

B  i2ε2*ν[~γν] を得ます。
 

についても簡単化できますが,その前に,少し寄り道をして, 

これらの,の等式が,実は摂動最低次のWT恒等式の1つ 

になっていることに注意しておきます。
 

「ゲージ場の量子論(24)」では,WT恒等式が, 

0=<0|{i,(1(1)2(2).n())}|0 

=Σk1n()k0|(1(1)2(2),.δ(k).m()|0 

(=Σi=1-1||です。( ||はOの統計指数))  

なる恒等式で与えられることを見ました。
 

この式でn=3としO1=ψ,2=ψ~,3=c~とすると, 

0=<0|{i,(ψ()ψ~()~())}|0 

=<0|(δψ()ψ~()~()|0 

-<0|(ψ()δψ~()~()|0 

+<0|(ψ()ψ~()δ~()|0>です。
 

すなわち,0|(igcb()ψ()ψ~()~()|0 

-<0|(ψ()igψ~()b()~()|0 

+<0|(ψ()ψ~()i()|0>=0 

あるいは, 

0|(ψ()ψ~()i()|0 

=-<0|(b()(igT)ψ()ψ~()~()|0 

+<0|(ψ()ψ~()b()(igT)~()|0) 

なるWT恒等式になります。
 

ところが,この恒等式は,結合定数gに依らず成立するので 

gの各次数ごとに成立します。 

特にgの1次で両辺のGreen関数に効くFeynmanグラフ 

,5-3に示すものです。
 

これは,次のように読み取れます。 

i(iμ){(iμν)/2}i(―m)-1 

(igTγν)i(―m)-1 

=-{(1)/2}[(igT)i(―m)-1 

i(―m)-1(igT)] です。
 

(igT)を消去すると 

{(iν)/2}(―m)-1γν(―m)-1 

=-{(i)/2}[(―m)-1(―m)-1] 

となります。
 

これが前の恒等式: 

(―m)-1(-m)-1(―m)-1(-m)-1 

と同値なのは明らかです。
 

ここでGreen関数の内線,外線に伝播関数を用い, 

式B=-∂μμ (α1)を使いました。 

さらにBRS変換は,δψ=-igcψ,

δψ~=-igcψ~, 

δ~ψ=iとし,{i,Φ}δΦを用いました。
 

i(iμ){(iμν)/2}i(―m)-1(igTγν)i(―m)-1 

=-{(1)/2}[(igT)i(―m)-1i(―m)-1(igT)] 

で両辺に共通な伝播関数因子(1/2)を外に出したWT恒等式は, 

5.4のように描かれます。
 

そうすれば,~ -i2ε2*ν[~γν] , 

B  i2ε2*ν[~γν] のような片方のFerni粒子線 

が質量殻上の外線になっている場合のWT恒等式は,上図5.4の恒等式 

,(i)(-m)()などを掛けることによって得られ, 

5.5のA,Bのように表わせます。
 

この図5.5Feynmanグラフで表わしたWT恒等式を,直接, 

5.2のA,BのFeynmanグラフにおいて,ε*μi1μのときに 

適用すれば図5.6となります。
 

この図の右辺が,を直接.与えています。
 

これらの知見を得た後にを簡単化するのは容易です。 

すなわち,0=<0|{i,(1(1)2(2)..n())}|0 

=Σk1n()k0|(1(1)2(2).δ(k),.m()|0 

の一般的WT恒等式において,
 

n=3とし,1=Aν,2=Aρ,3=c~とした恒等式は 

0=<0|{i,(ν()ρ()~())}|0 

=<0|(ν()ρ()~()|0 

+<0|(ν()ρ()~()|0 

+<0|(ν()ρ()i()|0> となります。
 

つまり, -<0|(ν()ρ()i()|0 

=<0|(ν()ρ()~()|0 

+<0|(ν()ρ()~()|0> です。
 

これの.摂動の最低次:(1)Feynmanグラフは図5.7 

与えられます。
 

式に書き下すと, 

(i)(iμ){(i)/2}gfabc[μν(2k-p)ρ+gνρ(2p-k)μ 

+gρμ(-p-k)ν]{(1)/2}[i(p-k)ν{(1)/(p-k)2} 

(igfacb)(p-k)ν{(i)/2}(-gfbca)νρ{(i)/2} 

{(i)/(p-k)2}(igfbac)(-p)ν{(1)/2} 

{(i)/ (p-k)2}(-gfcba)ρν] です。
 

ただし,上では,表2に示す規則を使いました。


 

表2には,WT恒等式に現われるBRS変換により,生じる頂点,端点 

に成立するFeynman則をまとめておきました。
 

さらに,ゴースト伝播関数因子:(1/2を外し,左からε*νi(p-k)2 

を掛け,その後,(p-k)を質量殻上(p-k)20 に取れば,5.7 

極を持たない右辺第2項は落ちて,5.8を得ます。
 

この図5.8の恒等式を直接,ε1*μi1μのときのFeynman図である 

5.2のCに適用すれば,は図5.9のように表わされます。
 

すなわち,式で表わすと,1,2の規則を用いて, 

[(-ε22)gfcab2ρ{(1)/(1+k2)2} 

+ε2*ν(i)bac(-k1-k2)ν{(1)/(1+k2)2}i(1+k2)ρ 

+ε2*ν(-gfcba)ρν(1)]~gTγρuとなります。
 

ところが,5.9,または,上の表式の右辺第2項は,外線波動 

関数:,vのDirac方程式によってゼロになります。
 

(※何故なら,保存則:1-p2=k1+k2 より, 

(1+k2)ρ~γρ 

=v~(2+m)+v~(1-m)u=0 です。)
 

ここで重要な注意をしておきます。 

この式=カレント保存則は,実は図5.3のWT恒等式 

そのものです。(その2つのDirac場外線を両方共に 

質量殻上の波動関数にしたものです。)
 

このことは図5.9の第2項のゴースト端点因子が, 

.2からわかるように縦波ゲ―ジ場の波動関数と 

一致しているという重要な事実に基づきます。
 

この等式のために例えば図5.3右辺第2項Dirac場の線が 

たとえ質量殻上の波動関数でなく,内線の伝播関数として 

より大きなFeynmanグラフに含まれる場合でも図5.10 

ように,さらに続けてFeynmanグラフのWT恒等式を用いて 

変形できます。
 

これをさらに徹底すれば, Feynmanグラフの図形変形という 

手法だけで,より高次のWT恒等式を全て導くことも可能です。
 

このような図形的手法を「diagramの方法」と呼びます。
 

5.9に戻り,の右辺第2項が消えた後,右辺第3項も実は 

5.6で表わされる()と相殺して消えることが 

わかります。
 

これは生成子の表現行列:の満たすLie代数: 

[.]iabcのせいでFeynmanグラフで表示すると 

5.11の等式が成り立つからです。
 

したがって,結局,偏極ベクトル:ε1*μが縦波ベクトル: 

ε()*μ(1)i1μの場合,不変散乱振幅: 

,5.3の第1項のみとなり, 

=gfabc2ρ(ε22){1/(1+k2)2}~gTγρ 

で与えられることになります。
 

表2の最後に書いたように,ここで定義されている偏極ベクトル: 

ε(σ)μ()(σ=±L,),με(σ)μ()=δσSを満たすため, 

2番目のゲージ粒子が横波でも縦波でもこの振幅はゼロになる 

ことがわかります。
 

[(1)+v~(2)→ε()μ(1)+ε(±)μ(2)]0 , 

[(1)+v~(2)→ε()μ(1)+ε()μ(2)]0 です。
 

そして,唯一残るスカラー波:ε2μ=ε()μ(2)の場合 

因子:(ε22)(i)になり,上記振幅Mは図5.9右辺第1項 

のグラフからもわかるように,丁度,下5.12に示すように 

終状態がFPゴースト-反ゴーストのペアとなる過程の散乱振幅 

は規格化定数の係数を除いて, 

cc~=-igfabc2ρ{(i)/(1+k2)2}~gTγρ 

=-gfabc2ρ{1/(1+k2)2}~gTγρ 

i倍に等しいことがわかります。


 

よって,[(1)+v~(2)→ε()μ(1)+ε()μ(2)] 

i[(1)+v~(2)→c(1)+c~(2)]  

という散乱振幅の等式を得ます。
 

-Sセクターの反対角計量:η~στによる逆転現象に注意 

すると,これらの等式は次のようなS行列要素の関係式に 

書き直せます。
 

0|(1,)(2,±)|α>=0 

0|(1,)(2,)|α>=0 

0|(1,)(2,)|α> 

i0|c~(1)(2)S|α>
 

ここで,Dirac粒子-反粒子ペアの初期状態を|α> 

と書きました。
 

途中ですが,今回はここで終わります。


(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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ゲージ場の量子論(26)

「ゲージ場の量子論(25)」からの続きです。 

※形式的摂動論における漸近場 

前記事で触れたように,先に与えた自由場のLagrangian:~0 

Yang-Mills理論の摂動論におけるくり込まれたHeisenberg 

場の漸近場の挙動を記述しています。
 

このことを,ここで証明しておきます。
 

相互作用の入ったHeisenberg;μ(),(),~() 

2Green関数は,一般にLorentz不変性とカラ-

(大局的ゲージ変換)不変性から, 

.. 0|{μ()ν()}|0 

(1/i)δab[(μν-pμν/2){1/{2(2)} 

+α(μν/4)}, 

.. 0|{()~()}|0 

(1/i)δab[(i)/{2(2)}} 

の形になります。
 

(26-1)上の証明です。 

まず,μ0|{μ()ν()}|0 

=δ(0-y0)0|[μ(),ν()]0=0|0 

+<0|{μμ()ν()}|0 

=-α<0|{()ν()}|0> です。
 

ところが,以前の記事「ゲージ場の量子論(24)」で 

..0|{μ()()}|0>=-δabμ/2 

となるということを述べました。
 

したがって, 

..μ0|{μ()ν()}|0 

=-αδab(ν/2) です。
 

それ故, 0|{μ()ν()}|0 

=Π(1)abμν(,)+Π(1)abμν(,) とおくことが 

できます。
 

ただし,..μΠ(2)abμν(,)=-αδab(ν/2), 

であり,Π(1)abμνμΠ(1)abμν(,)0 を満たす 

付加項です。
 

..μΠ(2)abμν(,)=-αδab(ν/2)であり, 

..μ=-iμ なので, 

..Π(2)abμν(,)=-iαδab(μν/2) 

 と書けると考えられます。
 

一方,μΠ(1)abμν(,)0 から 

μ=-iμ および,直交性とLorentz共変性により 

..Π(1)abμν(,) 

=-iδab(μν-pμν/2)(2)と書けます。
 

Feynmanゲージ(α=1)では 

.. 0|{μ()ν()}|0 

∝ δabμν/2  となるはずですから 

α=1ならf(2)1/2となるべきです。
 

そこで,電磁場の真空偏極のアナロジーで, 

1/(2)=p2{1+Π(2)} =p2(2)と書きます。 

-1(2)1+Kp2+O(4)Taylor展開できます。
 

以上から, .. 0|{μ()ν()}|0 

(i)δab[(μν―pμν/2){1/{2(2)} 

+α(μν/4)} を得ます。
 

次に,同じく記事「ゲージ場の量子論(24)」で述べたように, 

..0|{μ()~()}|0>=iδabμ/2です。
 

xμ0|{()~()}|0 

-gfacd0|{μ()()~()}|0 

=δ(0-y0)0|{(),~()}0=0|0 

+<0|{μ()~()}|0 

=δabδ4(x-y)+<0|{μ()~()}|0
 

ここで;さらに∂μをを掛けると. 

0|{()~()}|0 

-gfacdxμ0|{μ()()~()}|0 

=∂xμ0|{μ()~()}|0> です。
 

ところが, 

μ0|{μ()()~()}|0 

=δ(0-y0)0|{μ()(),~()}|0 

-α<0|{()()~()}|0 

+<0|{μ()μ()~()}|0 

=<0|{-αB+Aμ()μ()~()}|0 

ですが,これは,明らかにLorentzスカラーです。
 

そこで,これをFourier変換してもスカラーです。
 

それ故, 

..gfacdxμ0|{μ()()~()}|0 

=δabΠ(2) と置きます。
 

以上から,.. 0|{()~()}|0 

=δab{1+Π(2)}] =δab/(2) 

と書けます。ここで,1/(2)1+Π(2)としました。
 

したがって,.. =-p2 より, 

.. 0|{()~()}|0 

=-δab/{2(2)} を得ます。
 

(26-1終わり※)
 

(※他の組合わせ:0|{μ()~()}|0>などは, 

ゴースト数の保存則から全てゼロです。)
 

(2),(2),粒子の動力学によるスカラー関数で,摂動 

0次の自由場段階ではF(2)=G(2)1 です。
 

.. 0|{μ()ν()}|0 

(1/i)δab[(μν-pμν/2){1/{2(2)} 

+α(μν/4)},において,(μν/4)に比例する項が, 

α(μν/4)の形に決まっているのは, 

両辺に∂ν=∂/∂yνを演算したとき,μとAνの同時刻 

可換性により,.. 0|{μ()νν()}|0 

iν(1/i)αδab(μν/2)となって,これが運動方程式: 

νν(=-αBの関係から,先の恒等式: 

..0|{μ()()}|0>=-δabμ/2 

(-α)倍を再現しなければならない,からです。
 

したがって,,これらの式のαは裸のゲ-ジパラメータです。
 

摂動論では,(2),(2)の自由場のときの値:1からのずれは, 

極く小さいと考えるので,..0|{μ()ν()}|0 

や,F.. 0|{()~()}|0>の表式でのp2­0 の極 

(1/2,および,dipole:1/4),留数の微小な変化を別にして, 

極として存在し続けることになります。
 

以前に表式: 

∫d4exp(ikx)0|{φ()φ(0)}|01粒子極部分 

i/(2-m2iε) 

=∫d4exp(ikx)0|{1/2φas)1/2φas(0)}|0 

を得たときに注意したように,漸近場の2点関数は 

Heisenberg場の2点関数の1粒子極部分で与えられます。

それ故,規格化していないHeisenberg:φ()の漸近場:  

φ^as(),0→±∞でAμ() → A^asμ(),  

() → c^as(), ~() → c~^as()  

(asout,or in) で定義したとき,

(※群の添字:aは,しばらく省略します。)  
 

2­0 1粒子極部分を取り出して

.. 0|{^s()^asν()}|0 

(1/i)3[(μν-pμν/2)(1/2) 

-K(μν/2)+α(μν/4)}
 

そして、F.. 0|{^as()~^as()}|0 

(1/i)^3{(i)/2)} を得ます。
 

ここで,3,, ^3,-1(2),-1(2)をp2­0 

のまわりでTaylor展開した, 

-1(2)=Z3{1+Kp2+O(4)}, 

-1(2)=Z^3+O(2)} 

で定義される定数です。
 

そしてαは"裸の"パラメータαと,α=Z3αの関係 

で結び付いています。
 

実際に,摂動のループグラフを評価すると,(2)やG(2) 

(ln2)のような項を含み,3=F-1(0)や Z^3=G-1(0) 

無限大の発散量となります。
 

これは通常の場の理論の発散の紫外発散(ultraviolet divergence)  

をくり込みで除いた後に残る,零質量粒子の存在に起因する発散で, 

赤外発散(infrared divergence)と呼ばれています。

ここでは,赤外発散を避ける何らかのゲージ不変な正則化

の処方を取っていると仮定し,形式的な議論を続けること

にします。

.. 0|{^sμ()^asν()}|0 

(1/i)3[(μν-pμν/2)(1/2) 

-K(μν/2)+α(μν/4)}における(1/4)dipole 

(2重極),(α1)(μν/4)の形で現われているので,前述 

したように,くり込まれたゲージパラメータα1とするFeynman 

ゲージを取れば確かに消えます。
 

そこで,以後はFeynmanゲージ:α1を採用することにし, 

くり込まれた漸近場を,^asμ=Z31/2asμ,^as=Z^31/2as, 

~^asμ=Z31/2~asによってAasμ,as,~asで定義すれば, 

問題のHeisenberg場の,くり込まれた漸近場の2点関数は, 

0|{sμ()asν()}|0 

(i)[(μν-K∂μν)(x-y),および, 

0|{as()~as()}|0>=-D(x-y) 

となります。
 

漸近場:sμ,as,~asは全て自由場なのでD→ Dに 

よって4次元()交換関係として, 

[sμ(),asν()] 

(i)[(μν-K∂μν)(x-y),および, 

{as(),~as()}=-D(x-y)を得ます。
 

次に、Heisenberg場の方程式:μμ+αB=0 , 

くり込まれた漸近場と,くり込まれたゲージパラメータ: 

α=Z3-1αで書いても,μasμ+αas0となる 

ように,NL場:()の漸近場:as(), 

0 → ±∞で,() → Z3-1/2as()で定義します。
 

このとき,.. 0|{()sν()}|0 

=-δabν/2,および,0|{()s()}|0 

=<0|{,{()~s()}|0>=0 は漸近場に 

対しても同じになるので,
 

[asμ(),as()]=-∂xμ(x-y), 

[as(),as()]0です。
 

これによりBas()同士は可換ですからAasμを∂μas 

比例した項だけシフトしてA'asμ=Aasμ(/2)μas 

と定義し直しても[asμ(),as()]=-∂xμ(x-y) 

は不変のままです。
 

つまり,[A'asμ(),as()]=-∂xμ(x-y)です。
 

そこで,シフトで定義をしたゲージ場で, 

[sμ(),asν()](i)(μν-K∂μν)(x-y) 

,[A'sμ(),A'asν()]=-iμν(x-y) 

と簡単になります。
 

Yang-Mills漸近場:A'sμの上記の4次元交換関係と 

FPゴースト漸近場のそれ:{as(),~as()}=-D(x-y) 

は群の添字:aを復活させれば,以前の自由場のLagrangian:~0 

から求めた4次元交換関係と丁度一致し,したがって,運動方程式 

も□A'sμ=□cs=□c~s0 (□Bas=□Asμ0でもある) 

が従います。
 

これらは∂μsμ+αas0 と共に,~0から出る 

μμ+αBa0,,□c=□c~0,および, 

(α1のときの)□Aaμ(1-α)μa.□Ba0 

を再現しています。
 

以上で漸近場の系が~0で記述される自由場の系と同等である 

ことの証明が終わりました。
 

(※以下,普通,漸近場というときにはA'asμではなく, 

μ → Z31/2asμで定義されるAasμを指すことにします。)
 

本節はこれで終わり,切りもいいので,今回はここで終わります。

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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訃報 !まとめて3人。。ほか。。

すみません。12月分の携帯+ネット代未払いで2月2日から今まで携帯もネットも止められていました。年金が出てそれで先ほど支払って復活しました。

この間の有名人の訃報を書く余裕もなく,まとめて書きます。

レッツゴー 長作さん。

一世を風靡した関西漫才トリオ「レッツゴー3匹」の長作さんが2月1日に肺炎で亡くなられたことが4日にわかりました。享年74歳でした。

じゅん,長作,,正児のうち.残るはセンターだった正児さんのみで寂しいことです。「長作 レッツゴー」の画像検索結果

フリーアナウンサーの有賀さつきさん。

アナウンサーの有賀さつきさん死去は,2月5日,最初スポーツ紙で報じられて驚きました。死因は何らかのガンだったらしいです。享年52歳でした。

元フジテレビの花形アナウンサーで,その後フリーとなり,タレントt的にもいろいろ活躍されていました。若くして急逝。。惜しいことです。

「有賀 さつき 死因」の画像検索結果

俳優の川地民夫さん。

2月10日に脳梗塞で亡くなられたそうです。享年79歳でした。「川地民夫年齢」の画像検索結果

若いころ,石原裕次郎さんや菅原文太さんなどと共演,ご活躍でした。

ご冥福をお祈りします。合掌!!

科学記事の原稿もメールも2週間分,たまっていて,メールの対応や記事の一挙アップなどをたくらんでいて,余裕がなく,やや儀礼的な訃報は簡単にしてスルーすることにしました。

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2018年2月 2日 (金)

ゲージ場の量子論(25)

「ゲージ場の量子論(24)」からの続きです。
 

 自由場の量子化 

これまで,ベクトル場やFermi統計に従うスカラー場の量子化 

,議論していなかったので,ここでその議論を与え,それらの 

粒子のFock空間の計量構造を明らかにしておきます。
 

まず,Lagrangian密度から相互作用を落とした自由場の部分: 

~0を見てみます。
 

~0=-(1/4)(μν-∂νμ)( μaν-∂νaμ) 

-∂μμ(α/2)(μ~)(μ)
 

通常は,μν=∂μν-∂νμ-gfabcμμ 

ですが,b=a,c=aでないなら.gfabcμμ, 

相互作用になり,自由場ということで,-gfabcμμ 

の付加項は落としました。また,物質場の部分も,ここでは 

論じないので落としました。
 

以下で説明するように,このLagrangian:~0,摂動論に 

おける,くり込まれたHeisenberg場の漸近場の挙動 

(運動方程式と交換関係)を記述するLagrangianでもあります。
 

そのとき,αはくり込まれたゲージパラメータで,これは 

初めの「裸のパラメータα:」とは異なろものです。
 

この~0で記述される自由場の運動方程式は, 

まず,~0/∂Aaμ-∂ν{~0/(νaμ)}0 

より,□Aμ-∂μ(νν)=∂μ,
 

~0/∂B-∂μ{~0/(μ)}0 より, 

μμ+α0 です。
 

~0/∂c-∂μ{~0/(μ)}0 ,および, 

~0/∂c~-∂μ{~0/(μ~)}0 より, 

□c=□c~0 です。
 

共役を取ると, 

πaμ=∂~0/(μ)d=Faμ0=-(aμ)d+∂μa0, 

π00より,の共役運動量変数はπak(k=1,2,3)のみです。
 

π=∂~0/∂Bd=-A,π=∂~0/∂cd=-i~d, 

π~=∂~0/∂c~did,です。
 

正準交換関係, 

[,πbk]iδabδjkδ3()(j,k=1,2,3 

[0,]iδabδ3(), 

{,π}{~,π~}iδabδ3()から. 

同時刻交換関係を得ます。
 

[(,),d(,)]iδabδjkδ3()(j,k=1,2,3 

[0(,),(,)]iδabδ3(), 

{(,),~(,)}{~(,),(,)} 

=δabδ3() です。
 

次に,運動方程式:□Aμ-∂μ(νν)=∂μ,  

および,μμ+α0 から 

□Aμ-=(1-α)μ,および,□B0 を得ます。
 

これは,α1ではAμが零質量のKlein-Gordon方程式: 

□Aμ0 を満たさず,□を2回演算して,初めて□2μ0 

を満たすことを示しています。
 

一般に,□Φ≠0で□2φ=0 を満たす場:φをdipole 

(ダイポール)場と呼びます。
 

また,α1のゲージをFeynmanゲージ,α0のゲージを 

Landauゲージといいます。したがって,Feynmanゲージ以外では, 

ゲージ場:μdipole成分が現われます。
 

dipoleが現われる場合(特にLandauゲ―ジは理論的には美しい) 

にも以下の分析は少し複雑にはなりますが,本質的には,同様に 

やれるので,ここでは簡単のため,以下. Feynmanゲージ:α1 

の場合に話を限ります。
 

Feynmanゲージでは,全ての場が単純な零質量場となります。
 

すなわち,□Aμ=□c=□c~0 です、 

ゲージ条件はB=-∂μμです。
 

このとき, =-∂μμから, 

[0(,),(,)]iδabδ3(), 

[0(,),-∂μμ(,)]iδabδ3() 

になりますが, [0(,),(,)]0ですから. 

これは,[0(,),00(,)]=-iδabδ3() 

を意味します。
 

そこで,[(,),d(,)]iδabδjkδ3() 

と一緒にして, 

[μ(,),νd(,)]=-iδabμνδ3() 

Feynmanゲージでの交換関係となります。
 

こうして Aμ,もc~も単に零質量のスカラー場と同じ 

運動方程式,(反)交換関係を満たすので,以前の自由スカラー場や 

電磁場の量子化で述べたように,これらは, 

μ()=∫d3{μ()()+a+aμ()()}, 

()=∫d3{()()+c+a()()}, 

~()=∫d3{~()()+c~+a()()},
 

(){(2π)320}-1/2exp(ikx), (0||) 

と展開できます。
 

展開係数は,生成・消滅演算子の()交換関係を満たします。 

[μ(),+bν()]=-δabμνδ3()  

{(),~+b()}=-{~(),+b()} 

iδabδ3() です。
 

そこで,同時刻と限らない一般の4次元交換関係やFeynman 

の伝播関数は,  

[μ(),νd()]=-iδabμν(-y), 

{(),~()}=-δab(-y) 

<0|[μ()ν()]|0>=-iδabμν(-y) 

 <0|[()~()]|0>=-δab(-y) 

となります。
 

ただし,零質量のデルタ関数:Δ,Δを特に,, 

記しました。 

()=Δ(,m=0), 

()=Δ(,m=0) 

=∫d4(2π)-4{exp(-ikx)/(2iε)} です。
 

生成・消滅演算子:μ(),+aμ()の交換関係: 

[μ(),+bν()]=-δabμνδ3()  

,以前,既に引用したものですが,後の物理的モード, 

非物理的モードの議論の際には,Lorentz添字:μ,νを直接 

使うより,横波,縦波,スカラー波という偏極成分に分解した 

方がいいと思われます。


まず,波の進行方向:に直交する平面に偏極している横波の 

独立な2つの偏極ベクトル:ε(±)μ()として,ヘリシティ 

(helicity):Jk/||の固有値:±1の固有ベクトルをとります。
I※ 左回転(),右回転()の円偏光,もう1つは固有値がゼロ  

の縦波があります。)

次元ベクトル:ε(±)()を用いて,  

ε(±)μ()[0,ε(±)()] と表わすと,kε(±)()0   

ε()() ε()()ε()()ε()()1,  

ε()()ε()()ε()()ε()()0 です。

この3次元ベクトル:ε(±)()の陽な表式は,例えばkが 

z軸(3)に平行://3とすると次式で与えられます。 

ε()()(1/2)[1,i,0], ε()()(1/2)[1,i,0], 

です。
 

残る独立な2つの偏極4元ベクトルを, 

ε()μ() =-iμ=-i[||,],  

ε()μ()=k~μ/(2||2)i[||,]/(2||2) 

と選択し,これらをそれぞれ,縦波モード(longitudinal mode) 

スカラーモード(scalar mode)と呼ぶことにします。
 

これら,4つの偏極ベクトル:ε(σ)μ()(σ=±,,) 

は次のような直交性,完全性を示します。 

すなわち,ε(σ)μ()ε(τ)μ()=-η~στ, 

Σσ,τε(σ)μ()η~στε(τ)ν()=-gμν です。
 

ただし,η~στ,η~++=η~- -1,η~LG=η~-SL1  

以外の要素は全てゼロの4×4行列の要素です。 

それ故,η~στ(η~-1) στ です。
 

この偏極ベクトルを用いてゲージ場の展開を書き直すと, 

μ()=∫d3Σσ=±,, 

{(,σ)(σ),μ()+a+a(,σ)(σ),μ()}

となります。 

ただし,(σ),μ(){(2π)320}-1/2ε(σ)μ()exp(ikx),  

(0||)です。
 

これによって,各モードの生成・消滅演算子:+a(,σ),

(,σ)を定義します。 

すると,これらに対する交換関係は,簡単な計算により 

[(,σ) +b(,τ)]=η~στδabδ3() 

となることがわかります。
 

これにより,先に導入したη~στ,1粒子状態の計量を与える 

ことがわかります。
 

よって横波状態:a+(,±)|0>は,正の計量を持ち.縦波モード, 

スカラーモードの状態は反対角な計量を持っています。
 

FPゴーストの生成・消滅演算子の反交換関係: 

{(),~+b()}=-{~(),+b()}iδabδ3() 

も反対角な計量構造を持っており,このような反対角な計量は負ノルム 

や零ノルムの状態を含むことを意味しています。
 

例えば,群の添字:aを略して, 

|LS()>=[(,)-a(,)]|0, 

|FP()>=[()i~()]|0>などは負ノルムの状態: 

<LS()|LS()>=<FP()|FP()>=-2δ3() 

です。
 

また,縦波,スカラー状態:(,)|0,(,)|0,ゴースト 

状態:() 0,~()|0>は全て,それぞれ,零ノルムで状態です
 

それ故,系のFock空間は不定計量空間(indefinite metric space) 

となります。
 

後で見るように, 

「正定値計量を持つ横波モード以外,すなわち,縦波,スカラーモード, 

および,FPゴーストモードは全て,非物理的モードで,これらは, 

|phys>=0 で指定される物理的部分空間:Physに本質的 

には現われない。」ことを証明する予定です。
 

また,偏極平面波関数: (σ),μ(),(),μ()=∂μ(), 

μ(σ),μ()=δσS()を満たすよう構成されています。
 

そのため,例えば, μ()=∫d3Σσ=±,, 

{(,σ)(σ),μ()+a+a(,σ)(σ),μ()} の両辺に 

μを作用させれば,-B()=∂μμ()=∫d3Σσ=±,, 

{(,)()+a+a(,)()}という簡単な表式が 

得られ,スカラーモードの生成・消滅演算子:+a(,),(,) 

,その名の通り,スカラーNL場:の生成・消滅演算子:a+(), 

()のマイナスに一致していることになります。 

(,)=-B()です。
 

短いですが,今日はここで終わります。


(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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2018年2月 1日 (木)

私の誕生日(68回目)です。

今日2月1日は私の誕生日。。68歳になりました。

私が生まれた1950年(昭和)25年は今の暦では寅年,五黄の寅ですが,干支かできた中国の旧暦では正月より前なので丑年六白の丑です。

ウシトラ年,干支は鬼ですね。ろくなもんじゃないですね。

68歳とはよく生きてきたたものです。2007年4月に長年の糖尿病が原因でかかった虚血性心不全で順天堂病院で心臓バイパス手術を受けて命を拾った頃はここまで生きるとは期待していませんでしたが。。。

「憎まれっ子よヨルハバカリ。。」

このブログの開始が2006年3月20日,,まだ心臓病の発病1年前の56歳になって1か月余りでしたからブログ「TOSHIの宇宙」ももすぐ12歳誕生日です。

 めでたくもありめでたくもなし。

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