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2018年3月 5日 (月)

ゲージ場の量子論(33)

ゲージ場の量子論(32)」からの続きです。
 

※お化けは存在している? でも閉じ込められてて決して 

この世には出てこないし,どんな機器を使っても,人の五感 

では感知できないが,見えない舞台裏で暗躍して重要な役割を 

果たしているらしい。※
 

§5-10 観測可能量(observable)

状態空間:の物理的部分空間:physの中の零ノルムの 

状態:|χ>∈0,あらゆる物理的状態:|f>∈phys 

直交します。その事実から, 零ノルムのベクトル:|χ> 

を本質的に無視した空間:physphys /0の上で,全て 

の散乱過程を矛盾なく考察できるはずです。
 

しかしながら,物理において観測される量はS行列だけ 

ではありません。エネルギー。運動量や電磁場の強さ 

なども観測されなければなりません。
 

そこで,非可換ゲージ理論においては,どのような演算子 

が観測可能量(observable)なのか?ということが問題に 

なります。

※観測可能量 

まず,全ての散乱過程は,時間発展,Lorentz変換の下で不変な 

正定値Hilbert空間:physphys /0の上で矛盾なく定義 

できるものでなければなりません。
 

全ての演算子は,元々,全空間:の上の場の演算子ですから, 

のある演算子Aが,phys上でも矛盾なく定義できる,ということは 

Aは零ノルムベクトル:|χ>∈0 分の違いを感知しないもので 

あるはずです。
 

すなわち, 

()任意の|1,|2>∈phys ,および,任意の|χ1,|χ2>∈0, 

に対して,<f1+χ1||2+χ2>=<f1||2>なる性質を持つ, 

という要請を課すこと,が考えられます。
 

この要請:()を満たす演算子;Aを観測可能量と定義します。
 

観測可能量の演算子Aに対する要請として,()と同じくらい 

良さそうに思えるものとして. 

() phys phys, phys phys  

があります。
 

すなわち,「物理手的状態にA,またはAを演算しても物理的 

状態に留まれ」という要請です。任意の演算子は必ず,Hermite 

部分と反Hermite部分の和になりますが,以後,簡単のため, 

一般性を失うことなくAはHermite演算子であるとします。

そこでA=Aです。
 

要請()が満たされていると,任意の|f>∈physに対して 

|f>∈physが成り立ち,かつ,任意の|χ>∈0に対して 

は任意の|g>∈physと直交するから<χ||f>=0を得ます。
 

したがって,任意の|1,|2>∈phys 任意の|χ1,|χ2>∈0, 

に対して,<f1+χ1||2+χ2>=<f1||2>が成立して要請 

()が満たされます。() ()です。
 

一方,先の定理の一般的条件:()()からは,逆の() () 

は示すことができず,この意味で要請()の方が要請()より 

強いです。しかし,phys,|Phys>=0 を満たす{|Phys} 

で定義されている今の場合は,逆の() ()も証明できて, 

()()は等価です。
 

つまり,要請()は任意の|χ>∈0,任意の|f>∈phys 

ついて,<χ||f>=0 が成立することと等価なため, 

演算子Aが要請()を満たしていれば,任意の|Ψ>∈ 

対しQ|Ψ>∈0 なので,=Qより,任意の|f>∈phys 

に対して<Ψ||f>=0 が成立します。
 

|Ψ>∈にが任意での状態ベクトルであることから,これは, 

|f>=0を意味しますからA|f>∈phys となり, 

要請()が満たされます。
 

一般にAが時空のある有限領域のHeisenberg場の演算子 

の関数として定義されているとき,Aは局所的演算子 

(local operator)と呼ばれます。エネルギー・運動量演算子: 

μ,スカラー電荷:などの保存電荷:,これらは空間の 

無限領域で定義されているため,全て,局所的ではありません。
 

もしもAが局所演算子であるなら,Aはさらに 

()[,]0,または{,}0  

を満たすことがいえます。
 

つまり,真空:|0>は物理的状態なので要請()から, 

|0>=0です。 

そこで[,]|0>=0,または,{,}|0>=0 が従います。
 

ところが,「一般にOが局所的演算子なら,|0>であればO=0 

である。」という定理(Reeh-Schliederの定理)が存在します。 

(公理的場理論より) ,そして,Aが局所的演算子なら,[,], 

{,}も局所的演算子なので,()[,]0,または{,}0 

がいえます。(※ここで疑問なのはQ|0>=0, Aが局所的から, 

そもそも,A=0 ですが。。ということです。)
 

そして,()()ですから,要請()が最も強い要請ということに 

なりますが,Aが局所的演算子なら,()()は全て等価です。
 

※観測可能量のカラー電荷 

().「局所的観測可能量=BRS1重項演算子」であると 

述べているわけですが,そのような局所的観測可能量は,必ず, 

カラー1重項(color siblet)演算子でなければならない, 

いう興味深い事実を示すことができます。
 

その前に,用語の定義を2つ述べます。
 

)ある演算子Mについて|,}の形の演算子は,20 

より,明らかにBRS不変ですから,観測可能量ですが,物理的 

空間:physではゼロです。
 

つまり,任意の|f>,|g>∈physに対して<f||,}|g>=0 

なので,|,}は自明な観測可能量,あるいは,単に, 

零演算子(null operator)と呼ばれます。
 

)以前論じたカラーSU(3)対称性群の大局的ゲージ変換 

の生成子であるカラー電荷:はカラー対称性が自発的に 

破れていない限り無矛盾な演算子で,正確には, 

=∫d[0()-ω∂νν0()] 

で定義されます。
 

後の第6章で詳論しますが,ωはJμ()中の零質量の極の寄与 

,νν0()のそれと相殺されるように選ばれた定数です。 

(※付加項:{-ω∂νν0()}Noether定理からは決まらない 

カレント不定項∂ν[μν]の形をしています。)
 

さて,カラー電荷: 

=∫d[0()-ω∂νν0()],BRS不変です。
 

つまり,[,]i(1-gω)∫d[k{k0()×c()}] 

0 です。
 

(33-1):上式を証明します。 

[証明] [i,μν()] 

[i,(μν-∂νμ-gfabcμν)] 

=∂μδν-∂νδμ-gfabcδμν 

-gfabcμδν 

δμ=∂μ-gfabcμ=Dμa です。
 

故に, [i,μν()] 

=∂μν-∂νμ-gfabc(μ)ν 

-gfabcμν 

=-gfabcμ(ν)+gfabcν(μ) 

-gfabc(μ)ν-gfabcνν 

+g2abcbdeνμ 

+g2abccdeμν 

=-gfabc(μν-∂νμ-gfbdeνμ) 

を得ます。
 

つまり,[i,μν]=-gfabcνμです。
 

他方,以前,カラー回転に対して不変なLagrangian 

に基づくゲージ場の運動方程式が,Noetherカレント; 

μ()により,次のMaxwell方程式と呼ばれる 

方程式に書けるのを見たことを思い起こします。
 

ννμ+gJμ{,μ~} です。 

よって,μ=g-1[ννμ{,μ~}] 

と書けます。
 

それ故,μ-ω∂ννμ 

=g-1(1-gω)ννμ-g-1{,μ~} 

したがって,[i, μ-ω∂ννμ] 

=g-1(1-gω)ν[i,νμ]  

=-(1-gω)abcν(νμ) 

が得られます。
 

ところが,保存されるカラー電荷は, 

=∫d[0()-ω∂νν0()]ですから, 

[,]i(1-gω)abc∫dν(ν0) 

i(1-gω)abc∫dk(k0)です、
 

しかし,右辺は被積分関数が(0)3次元発散の形 

であり,(0)の無限遠での速やかなゼロへの減衰と, 

Gausssの積分定理から,結局,積分結果はゼロです。 

[証明終わり]
 

(33-1終わり※)
 

,カラー回転群の[,]iabcを満たす生成子 

を形成し,それ自身,時空全体で定義された非局所的観測可能量 

です。
 

そして,時空座標に依らないカラー回転(大局的ゲージ変換) 

不変な演算子:,つまり,全てのaについて[,]0 

満たす演算子:Oを「カラー1重項演算子」といいます。
 

[,]0なので,BRS電荷:自身がカラー1重項 

演算子の1つとなっています。
 

[,]0により,[,]0 を満たす局所的観測可能量: 

Aは,一般性を失うことなく,カラー対称性変換群の既約表現に 

属すると仮定できます。
 

 つまり,[,]0により,|Phys>=0のVphys自体 

がQを生成子とするカラー回転群の不変部分空間です。
 

そして,[,]0より,|Phys>がQ|Phys>=0 

を満たすので,|Phys>∈Vphysですから,集合:{|Phys} 

はカラー回転群の不変部分空間:physの部分空間です。
 

特に,この{|Phys}が量子数が一定の既約表現空間に 

属する,と仮定できます。
 

すなわち,[,]0より,とAが同時対角化が可能 

なので,の固有ベクトルをAの基底に取ることが可能 

であるからです。
 

そこで,がFPゴースト数:FPiの確定した演算子 

なので,Aは決まったFPゴースト数を持つとしていいです。
 

次の命題が成り立ちます。 

[命題Ⅰ]: 局所的観測可能量:Aは零演算子でない限り, 

カラー1重項演算子である。
 

[証明]:本題を証明する代わりに,対偶命題: 

「Aがカラー1重項でないなら,Aは零演算子である」 

を証明します。
 

まず,可換性:[,]0から,Aの属するカラー電荷: 

の既約表現:R=|i}(iは表現の基底を成す場の 

演算子)とすると,[,i]=-Taijjと書けます。 

(aは対称性群の生成子:の表現空間基底:|i} 

よる表現行列です。)
 

R=|i}のメンバー(基底):iは全て局所的観測可能量: 

つまり,[,i]0 を満たします。
 

何故なら,[,]0を満たす非局所的観測可能量 

ですから,前述のようにQの表現空間は,physの部分空間と 

考えていいわけですが,iはその空間の生成・消滅の 

局所演算子を意味するので,|0>=0,つまり, 

[,]|0>=0 であり,局所性から[,]0  

を得ます。

ここで.Maxwell方程式: 

gJμ=∂ννμ{,μ~}を用います。
 

両辺から,gω∂ννμを引くと. 

(1-gω)ννμ{,μ~} 

=g(μ-ω∂ννμ) であり, 

そして.=∫d3(0-ω∂νν0) 

です。
 

それ故,[,i](1-gω)∫d3ν[ν0,i] 

-∫d3[{,0~},i] 

=-[,∫d3[0~(),i]] です。
 

(33-2):何故なら,まず,Jacobi恒等式から, 

[[,0~],i]=-[[μ~,i],] 

[[i ],μ~] ですが 

仮定により,[i ]0 なので, 

[[,0~],i][,[0~,i]] 

です。
 

ところが,[{,0~},i][[,0~],i] 

2i0~20~i 

[[,0~],i]2[,[0~,i]] です。
 

以上から,  

[{,0~},i]=-[,[0~,i]] 

が得られます。 (33-2終わり※)
 

ここで,iが局所的であるが故,∫d3ν[ν0,i]0 

となること,を用いました。
 

[,i]=-[,∫d3[0~(),i]] 

,[,i]=-Taijjを代入し,さらにTai 

を掛けて添字:aとiで和を取れば, 

gC2()k[,Σa∈G∫d3[0~(),aii]] 

を得ます。
 

ただし,2()はゲージ群:(カラーSU(3))2次の

 

Casimir(カシミア)演算子のAiの属する既約表現:Rでの 

固有値です。 

つまり,2(),Σa∈Gaijaik=C2()δik で定義 

される定数です。
 

左辺のCasimir演算子行列は全てのGの生成子の表現行列: 

と交換します。つまり,Gの表現である全ての行列と交換する 

ため,Schurの穂題(シューアのレンマ)」によって一般にG 

の既約表現ごとに異なる定数を取る定数行列です。
 

このとき,次のことが成立します。 

「C2(),Aが属する既約表現が1重項表現でない限り 

ゼロではない。」という命題です。
 

(33-3):上の証明です。 

[証明]:|Ψ>はカラーQの固有値がゼロの任意の状態とします。 

すなわち,|Ψ>=0とします。
 

演算子としての Casimir operetor,2=Σa∈G 

与えられますから,[2,i]|Ψ>=[Σa∈G.i]|Ψ> 

=Σa∈G[.i]|Ψ>=-Σa∈Gijj|Ψ> 

=-Σa∈Gij[.j]|Ψ>=Σa∈Gijik|Ψ> 

=C2()δikk|Ψ>=C2()k|Ψ> です。
 

ところが,[.i]0であれば,[2,i]|Ψ>=0より, 

2()0は自明です。 

さもなければ,[2,i]0より上式からC2()0です。
 

したがって,結局,iがカラー1重項であること:[.i]0 

とC2()0 は同値です。[証明終わり]
 

(33-3終わり※)
 

gC2()k[,Σa∈G∫d3[0~(),aii]] 

であり,右辺は,|Phys>=0を満たす|Phys>の集合である 

physの上では零演算子=ゼロです。
 

上記のようにAkがカラー1重項であること:[,k]0  

2()0 が同値なので,これで,[,k]0 ⇔ Ak0  

なること,つまり,[命題Ⅰ]:「局所的観測可能江藤がカラー1重項 

でない限り,それは零演算子である。」ことが証明されました。 

[命題Ⅰの証明終わり]
 

もう1,興味あることは「局所的観測課魍魎は本当に局所的 

である。」という主張です。例えば,月の裏側上の場の演算子と地球上 

の場の演算子の積をとって初めて観測可能量となるようなものは 

ゼロ以外には存在しない。というようなことです。
 

まとめると,次の命題です。 

[命題Ⅱ]:互いに空間的(space-like)に離れた2つの有限時空領域: 

1とD2上のそれぞれのHeisenberg場で書かれた局所的演算子を 

それぞれ,{1i},{2j}とする。もし,A=Σij1i2jの形の局所的 

演算子が観測可能量であるならば,Aは零演算子を除いて既にD1 

だけで観測可能量になっている演算子とD2上だけで観測可能量に 

なっている演算子から成っている。
 

[証明]:BRS変換をδで表わすとA=Σij1i2jが観測可能量 

であるという仮定: δA=0 から, 

Σij(δ1i)2j=-Σij()|i|1i(δ2j) です。
 

BRS変換は時空の各点のHeisenberg場を,その点でのHeisenberg 

場に変える局所的変換であることを考慮し,この変換関係をD1上の 

演算子は単なる係数とみなして,2上の演算子間の関係式として 

見てみます。すると左辺の(δ1i)を係数とするO2jの線形結合 

,右辺のδ2ji|,2j}の線形結合に等しいという式になって 

いて,実はδ2j0です。
 

すなわち,左辺はD2上の演算子として零演算子であることを意味する 

ため,2上のある演算子:2jが存在して 

Σij(δ1i)2j=Σij(δ1i)(δ2j)と書けます。
 

そこで,演算子AをA=A~+Σij()|i|δ(1i 2j), 

~=Σij1i2j-Σij()|i|δ(1i 2j)と書き直します。
 

Σij()|i|δ(1i 2j)は本当の全領域上での零演算子です。
 

そして.~は実際にD1上の観測可能量と,2上の観測可能量 

だけで表現されています。これを示すために,BRS変換:δ 

を形式的にD1上の演算子のみを変換するδ1,2上の演算子 

のみを変換するδ22つの部分に分けて,δδ1δ2 

書きます。
 

求める命題Ⅱの証明はA~δ1でも, δ2でも不変であること 

を示せば十分です。実際,δ1~=Σij(δ1i)2j 

-Σij(δ1i)(δ2j)0,かつ,δ2~=Σij()|i|1i(δ2j) 

+Σij(δ1i)(δ2j)0 です。 

ここで,{δi,δj}0 (,j=1,2)を用いました。
 

つまり,非局所的演算子積は零演算子という意味しか 

ありません。 [証明終わり]
 

※局所ゲージ不変量 

以上の命題から,結局,局所的観測可能量は自明なもの=零演算子 

を除けば,時空の各点でBRS1重項,かつ,カラー1重項の演算子 

のみから構成されていることがわかりました。
 

局所的観測可能量は(有限個の例外を除いて)ゲージ場;μ 

物質場:φiのみで書かれる局所ゲージ不変量で尽くされる, 

ことがわかります。
 

ここでは証明抜きで結果のみを定理の形で述べておきます。

[定理]Heisenberg場の多項式で与えられる局所的観測可能量=BRS 

不変な局所演算子:Aは次の形を持つ。
 

)Aの持つFPゴースト数:FPが負ならばAは零演算子である。 

すなわち,このとき,ある演算子:MによりA=[,]と書ける。 

)Aの持つFPゴースト数がゼロならば, 

A=Fゲージ不変(μ, φi)[,]と書ける。 

ただし,ゲージ不変,ゲージ場;μと物質場:φiのみから成る 

局所ゲージ不変な多項式である。 

)Aの持つFPゴースト数が正ならば 

A=P[i();ゲージ不変(μ, φi)][,]と書ける。
 

ただし,Pは.局所ゲージ不変関数 Fゲージ不変を係数とするIi() 

の多項式である。
 

そして,i()は同一時空点上のFPゴースト場:のみの微分 

を含まないカラー1重項多項式であり,各時空点ごとに有限個しか 

ない。
 

定理の最後にいうFPゴースト場:のみのカラー1重項多項式; 

i()の形を,ゲージ群Gが簡単な場合を例にとって与えておきます。
 

1) Gが1次元可換群:(1)のとき, 

この場合は,ゴースト場;cに添字がなくIi(),唯一で 

FP1のI1()=cしかない。
 

2) GがdimG=nの単純群(Gと{1}以外に正規部分群がない)のとき、 

をGの基本表現の生成子の表現行列として,C=Σa∈Gaなる 

行列とします。この場合,r20なので, FP1,2を持つカラー 

1重項多項式;i()は存在しません。ゼロにならない最初の演算子 

i(), FP3のTr3 ∝ fabcです。
 

FP=4は,r40よりIi()は存在せず, 

FP=5は,r5∝ dabc(c×c)(c×c)c です。 

ただし,dabc=Tr()です。 

同様にして,FP=nは,det(abc) ∝ ε1..n1..n 

etc.です。
 

この有限個のゴースト場多項式:i(),BRS不変でありながら 

通常のゲージ不変量でも零演算子でもない,局所的観測可能量の 

「例外」を与えるものです。
 

(33-4):元々,カラー自由度は基本粒子クォ-ク:qのFermi 

統計性の要求から導入されたものです。
 

バリオンはqqqのクォーク3体結合で与えられますが,例えば 

スピンが3/2の粒子(πp共鳴のΔ++=pppなど)のスピン 

波動関数は3体個々個のスピンが全て↑か,全て↓の対称で軌道 

もs波のフレーバーも同じなら完全対称状態です。
 

これは,個々のクォ-ク:qがスピン1/2Fermi粒子で交換反対称 

でありべきという統計的要請から,他に完全反対称のカラー波動関数 

因子が必要でした。3体の完全反対称のカラー波動関数は{εijk1 

1重項波動関数だけです。3×3×31251です。
 

ちなみに,中間子;qq~の場合は,3×3*181重項は{δij1 

の対称関数です。 (33-4終わりl※)
 

本節はここで終わりなので,今回はここまでにします。
 

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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