対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子（19)

「対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子(18)」 

から§6.7 Weinberg-Salam模型の続きです。
 

※クォークの結合 

何百と存在するハドロン(Hadron＝バリオン(Baryon:重粒子) 

とメソン(Meson:中間子))に関しては,それらをｑｑｑやｑｑ~ 

の結合状態として実現している基本構成子:クォーク(quark) 

場:ｑ(ｘ)を用いてLagrangian密度を書きます。
 

クォーク場:ｑ(ｘ)は,強い相互作用(QCD:量子色力学: 

:Quantum Color Dynamics)のカラーＳＵ(3)_ｃ以外にそれと 

直交する自由度:フレイバー(Flavor)の添字ｆを持っています。
 

以下では,カラー添字は省略します。
 

クォークのフレイバーの種類として,質量の順に軽い方から, 

ｕ(up),ｄ(down),ｓ(dtrange),ｃ(charm),ｂ(bottom)の５種 

が既に観測されており,後にわかる理由によって,もう１つ 

ｔ(top)があると考えられています。
 

これら６種のクォークの電荷は,ｅを単位として, 

ｕ,ｃ,ｔのｑ_Ｆ(Ｆ＝1,2,3)が,Ｑ＝2/3,ｄ,ｓ,ｂのｑ_ｆ 

(ｆ＝1,2,3)が Ｑ＝－1/3を与えられ,Ｑ＝2/3と 

Ｑ＝－1/3の２系列に分けられます。
 

Ｑ＝2/3の系列を上系列(upper quarks)と呼んでｑ_Ｆ 

で表わし.Ｑ＝－1/3の系列を下系列(lower quarks) 

と呼んでｑ_ｆで表わすことにします。
 

これらのクォークの左手型成分はＳＵ(2)_Ｗ-２重項, 

右手型成分はＳＵ(2)_Ｗ-１重項とし,弱超電荷Ｙは,公式: 

Ｑ＝Ｔ³＋Ｙで決めてＳＵ(2)_Ｗ×Ｕ(1)_Ｙの多重項を得ます。
 

Ｌ_ｕ＝[ｕ,ｄ']_Ｌ^Ｔ,Ｌ_ｃ＝[ｃ,ｓ']_Ｌ^Ｔ, Ｌ_ｔ＝[ｔ,ｂ']_Ｌ^Ｔ 

(Ｙ＝1/6),Ｒ_ｕ＝ｕ_Ｒ,Ｒ_ｃ＝ｃ_Ｒ,Ｒ_ｔ＝ｔ_Ｒ(Ｙ＝2/3), 

Ｒ_ｄ＝ｄ_Ｒ,Ｒ_ｓ＝ｓ_Ｒ,Ｒ_ｂ＝ｂ_Ｒ(Ｙ＝－1/3)です。
 

そこで,クォークもレプトンと同じく３世代構造 

になります。
 

レプトンと異なるのはＳＵ(2)_Ｗ-２重項,の下成分;  

ｑ_Ｆ'＝(ｄ',ｓ',ｂ')(Ｆ＝1,2,3)が,質量固有状態:  

ｑ_ｆ＝(ｄ,ｓ,ｂ)(ｆ＝1,2,3)と,必ずしも一致せず, 

一般にユニタリ回転を受けてｑ_Ｆ'＝Σ_ｆ＝1³Ｕ_Ｆｆｑ_ｆ 

となる点です。

このユニタリ回転Ｕの存在は.まだ３種のクォークｕ,ｄ,ｓ 

しか知られていなかった1960年代にまずCabbiboが導入 

したもので,続いて1970年に, 

Glashow-Illiopoulpus-Miani(GIM)が第４のクォ-クｃを 

導入しクォーク2世代を完結させて

 と書きました。
 

回転角θ_ｃはCabbibo角(Cabbibo angle)と呼ばれ,実験値 

ではsinθ_ｃ～0.22　です。
 

(※私が大学院に入学した1974年には(J/ψ)と呼ばれる新粒子 

が発見されましたが,当時は,正体が不明の未知の粒子でした。 

後にこれが,ｃ(charmクォークを含むメソンであると判明した 

のでした。私の論文では,８重項グルノンの1つか？という予想

がありました。。)
 

さらに1973年,小林-益川はＣＰ不変性の破れを説明する 

ために第３世代:ｔ,ｂの存在を予言し,上の２×２行列の 

Ｕを３×３行列としたユニタリ回転に拡張しました。
 

この３×３行列:Ｕは小林-益川混合行列と呼ばれ, 

その１つのパラメータの取り方は.次で与えられます。
 

ただし,ｃ_i＝cosθ_i,ｓ_i＝sinθ_i(ｉ＝1,2,3)です。
 

この行列は実験的には対角成分が支配的です。
 

Ｌ_ｕ＝[ｕ,ｄ^']_Ｌ^Ｔ,Ｌ_ｃ＝[ｃ,ｓ^']_Ｌ^Ｔ, Ｌ_ｔ＝[ｔ,ｂ^']_Ｌ^Ｔ 

のＳＵ(2)_Ｗ-２重項においては, ＳＵ(2)_Ｗ-２重項,の上成分 

(Ｔ³=1/2)が丁度上系列クォーク(質量固有状態):ｕ,ｃ,ｔ 

となるように取りましたが,この３つの線形結合に 

取り直せば下成分(Ｔ³=－1/2)が丁度下系列クォーク: 

ｄ,ｓ,ｂに一致するようにもできます。
 

Ｌ_Ｆ＝[ｑ_Ｆ,ｑ_Ｆ^']＝Ｕ_Ｆｆｑ_ｆ]_Ｌ^Ｔ＝Ｕ_Ｆｆ[Ｕ_ｆＦ'^＋ｑ_Ｆ',ｑ_ｆ]_Ｌ^Ｔ 

＝Ｕ_ＦｆＬ_ｆと書けて,Ｌ_ｆは下系列対角なＳＵ(2)_Ｗ-２重項です。
 

さて, 

Ｌ_ｕ＝[ｕ,ｄ^']_Ｌ^Ｔ,Ｌ_ｃ＝[ｃ,ｓ^']_Ｌ^Ｔ, Ｌ_ｔ＝[ｔ,ｂ^']_Ｌ^Ｔ 

Ｒ_ｕ＝ｕ_Ｒ,Ｒ_ｃ＝ｃ_Ｒ,Ｒ_ｔ＝ｔ_Ｒ,Ｒ_ｄ＝ｄ_Ｒ,Ｒ_ｓ＝ｓ_Ｒ,Ｒ_ｂ＝ｂ_Ｒ 

を用いて,クォーク部分のLagrangianを書くと. 

Ｌ^kin_quark＝Σ_F[Ｌ~_Ｆiγ_μ{∇_μ＋(i/6)ｇ^'Ｂ_μ＋ 

(i/2)ｇ(τＡ_μ)Ｌ_Ｆ]＋Σ_F{Ｒ~_Ｆiγ_μ{∇_μ＋(2i/3)ｇ^'Ｂ_μ}Ｒ_Ｆ} 

＋Σ_ｆＲ[Ｒ~_ｆiγ_μ{∇_μ－(i/3)ｇ^'Ｂ_μ}Ｒ_ｆ].
 

Ｌ^nmass_quark＝－Σ_ｆｆ_ｆ{(Ｌ~_ＦΦ)Ｒ_Ｆ＋Ｒ~_ｆ(Φ^＋Ｌ_ｆ)} 

 －Σ_Ｆｆ_Ｆ{(Ｌ~_ＦΦ~)Ｒ_ｆ＋Ｒ~_Ｆ(Φ~^＋Ｌ_Ｆ)} 

となります。
 

ただし,Ｆは上系列クォーク:ｕ,ｃ,ｔを,ｆは下系列クォーク: 

ｄ,ｓ,ｂを表わしています。
 

また,∇_μはQCDのグルオン(guluon:膠粒子)場:Ｇ^ａ_μを用いた 

カラーＳＵ(3)_ｃの共変微分: 

つまり,∇_μｑ＝{∂_μ＋iｇ_cＧ^ａ_μ(λ^ａ/2)}ｑです。
 

Ｌ^nmass_quarkの右辺第２項に現われるΦ~は,レプトン部分の質量項: 

Ｌ^nmass_lepton＝Σ_{ｊ＝ｅ,μ,τ}(－ｆ_j){(Ｌ~_ｊΦ)Ｒ_ｊ＋Ｒ~_ｊ(Φ^＋Ｌ_ｊ)} 

でのHiggs場:Φに対して,Φ~＝iτ²Φで与えられ,真空期待値は 

＜0|Φ|0＞＝[0,ｖ/√2,0]^Ｔに対して,＜0|Φ~|0＞＝[ｖ/√2,0]^Ｔ 

です。これは上系列クォークに質量を与えるためです。
 

ここでも,レプトンの場合と同じ関係式:ｆ_ｊ＝√2ｍ_ｊ/ｖ 

＝ｇｍ_ｊ/(√2Ｍ_Ｗ)が成立し、Higgs場との湯川結合定数:ｆ_Ｆ,ｆ_ｆ 

はクォークの質量:ｍ_Ｆ,ｍ_ｆに比例します。
 

ゲージ場との相互作用項も,レプトンの場合と同じく 

Ｌ_int＝－{ｇ/(2√2)}(Ｗ_μ^＋Ｊ^μ＋Ｗ_μＪ^μ＋) 

－ｅＡ_μＪ_ｅｍ^μ－(ｇ/cosθ_Ｗ)Ｚ_μＪ_Ｚ^μで与えられます。
 

ここでの荷電カレント:Ｊ_μはクォーク部分を意味し, 

Ｊ_μ＝Ｊ^quark_μ＝Σ_Ｆ,ｆｑ_Ｆ~Ｕ_Ｆｆ^＋γ_μ(1－γ₅)ｑ_ｆです。
 

また,電磁相互作用カレント:Ｊ_ｅｍμは, 

Ｊ_ｅｍμ＝Ｊ^quark_ｅｍμ＝(2/3)(ｕ~γ_μｕ＋ｃ~γ_μｃ＋ｔ~γ_μｔ) 

－(1/3) (ｄ~γ_μｄ＋ｓ~γ_μｓ＋ｂ~γ_μｂ)です。
 

Ｚボソンの結合する中性カレント:Ｊ_Ｚ^μは, 

Ｊ_Ｚμ＝Ｊ^quqrk_Ｚμ＝ｊ^{(3) quqrk}_μ－sin²θ_ＷＪ^quark_ｅｍμであり 

ｊ^{(3) quqrk}_μ＝Σ_Ｆ{Ｌ~_Ｆγ_μ(τ³/2)Ｌ_Ｆ} 

＝Σ_Ｆ(1/4)[ｑ_Ｆ~γ_μ(１－γ₅)ｑ_Ｆ 

－Σ_{ｆ,Ｆｆ’}{ｑ_ｆ~Ｕ_ｆＦ^＋γ_μ(１－γ₅)Ｕ_Ｆｆ'ｑ_ｆ’}] 

＝(1/4){Σ_Ｆｑ_Ｆ~γ_μ(１－γ₅)ｑ_Ｆ－Σ_ｆｑ_ｆ~γ_μ(１－γ₅)ｑ_ｆ} 

です。
 

※GIM機構 

荷電カレント:Ｊ^quark_μ＝Σ_Ｆ,ｆｑ_Ｆ~Ｕ_Ｆｆ^＋γ_μ(1－γ₅)ｑ_ｆに 

おいては,ＳＵ(2)_Ｗ-２重項にクォーク混合(mixing)がある反映 

として混合行列Ｕ_Ｆｆが現われています。
 

話を簡単かつ明確にするため,混合行列が次 

で与えられるクォーク２世代しかない場合,を考える 

ことにすれば
 

Ｊ^(2世代)_μ＝(ｄ~cosθ_ｃ＋ｓ~sinθ_ｃ)γ_μ(1－γ₅)ｕ 

＋(－ｄ~sinθ_ｃ＋ｓ~cosθ_ｃ)γ_μ(1－γ₅)ｃ　となります。
 

混合行列は対角成分が支配的(cosθ_ｃ＞＞sinθ_ｃ)ですから, 

同一世代的遷移(Cabbibo favered process):ｕ⇔ｄ,ｃ⇔ｓ 

が主で,世代間遷移(Cabbibo suppressed process):ｕ⇔ｓ, 

ｃ⇔ｄは相対的に少ないです。
 

しかし,たとえ因子sinθ_ｃが微小とはいえ,世代間遷移が 

存在することが重要です。例えば(ｕｓ~)結合状態である 

Ｋ^＋中間子は,－ｄ~sinθ_ｃγ_μ(1－γ₅)ｃの項を通してのみ 

崩壊できるのです。
 

これに対し,中性カレント:Ｊ_Ｚμでは,クォ－ク混合の効果は 

消えて,フレイバーについて対角的なことが重要です。 

つまり,Ｊ^(2世代)_Ｚμ＝ｊ^{(3) (2世代)}_μ－sin²θ_ＷＪ^(2世代)_ｅｍμ 

ｊ^(3)(2世代)_μ＝(1/4){Σ_Ｆｑ_Ｆ~γ_μ(１－γ₅)ｑ_Ｆ 

－Σ_ｆｑ_ｆ~γ_μ(１－γ₅)ｑ_ｆ} 

Ｊ^(2世代)_ｅｍμ＝(2/3)(ｕ~γ_μｕ＋ｃ~γ_μｃ) 

－(1/3)(ｄ~γ_μｄ＋ｓ~γ_μｓ)です。
 

これは,混合行列の積:Σ_ｆＵ_ｆＦ^＋Ｕ_Ｆｆ’が,Ｕのユニタリ性から 

δ_ｆｆ'になるからです。
 

ところが,もしもクォークがｕ,ｄ,ｓの３種しかなかったらどう 

でしょうか？　
 

その場合は,ｃがないのでＳＵ(2)_Ｗ-２重項はＬ_ｕしか無く, 

そこで,Σ_ｆＵ_ｆＦ^＋Ｕ_Ｆｆ’のＦはＦ＝ｕのみなので,δ_ｆｆ'には 

なりません。
 

すなわち,ｊ^{(3) (2世代)}_μ＝Σ_Ｆ{Ｌ~_Ｆγ_μ(τ³/2)Ｌ_Ｆ}  

＝(1/4)[ｕ~γ_μ(１－γ₅)ｕ－(ｄ~cosθ_ｃ＋ｓ~sinθ_ｃ) 

γ_μ(１－γ₅)(ｄcosθ_ｃ＋ｓsinθ_ｃ) となり,特に, 

－(1/4)cosθ_ｃsinθ_ｃ{ｄ~γ_μ(１－γ₅)＋ｈ.ｃ}の  

項はフレイバーについて対角的ではなく,フレイバーを 

変える中性カレント(Flavor changing neutral current) 

略してFCNCと呼ばれます。
 

このようなFCNCがあれば,例えば(ｄｓ~－ｓｄ~)結合状態の  

 ^{Ｋ_Ｌ0中間子の崩壊過程Ｋ:_Ｌ0 → μ＋＋μ－が,主崩壊モードである} 

^{Ｋ_Ｌ0 → π－＋ｅ＋＋ν_ｅ, Ｋ_Ｌ0 → π－＋μ＋＋ν_μと同程度}  

の確率で起こるはずです。
 

しかし.実験によると,この崩壊過程の分岐比(branching ratio:  

全崩壊確率中に占める割合)の値は,Ｂ(Ｋ_Ｌ⁰ → μ^＋＋μ^－)  

＝(7.3±0.4)×10^-9と極めて小さいです。
 

したがって.このようなFCNCはtreeレベルでは存在禁止で 

あるはずです。
 

このため,GIMは,当時未発見のｃクォークを導入して,  

２世代分のＳＵ(2)_Ｗ-２重項を作り,それぞれ'FCNCの寄与が  

相殺するようにしたのです。すなわち,ｆ≠ｆ’に対しては  

Σ_ｆＵ_ｆＦ^＋Ｕ_Ｆｆ'＝0 となるようにしました。
 

このような相殺の機構をGIM機構と呼びます。
 

この機構は,クォークが何世代存在しても同様ですから,３世代目 

の下系列のｂクォークが発見された今は,ｂの関係するFCNCを 

相殺するため,(この参考文献著書発行当時は未発見だった)上系列  

のｔクォークの存在が必要とされるわけです。
 

Ｋ_Ｌ⁰ → μ^＋＋μ^－の分岐比が完全にゼロではなく, 

Ｂ＝(7.3±0.4)×10^-9の値を取るということは,GIM機構  

を持つゲージ理論を支持する証拠になっています。
 

つまり,Ｋ_Ｌ⁰ → μ^＋＋μ^－の過程はtreeレベルでなく,図6.13  

のような1-ループ(1-loop)グラフが寄与しています。
 

ｕを媒介とするｓ~ｕ～ｕ~ｄには係数sinθ_ｃcosθ_ｃ,ｃの媒介  

では,ｓ~ｃ～ｃ~ｄで係数は－cosθ_ｃsinθ_ｃと,符号が違うので  

ｕとｃの質量の2乗差が効いてきます。
 

すなわち,その過程の振幅:Ｍは,大雑把に計算して, 

Ｍ ～{ｇ⁴/Ｍ_Ｗ²}{(ｍ_ｃ²－ｍ_ｕ²)/ Ｍ_Ｗ²}sinθ_ｃcosθ_ｃ 

_{～α(ｍｃ²/ ＭＷ²)sinθｃ×Ｇとなりますが,これは主崩壊モード}  

の通常の振幅:Ｇsinθ_ｃに比べて,因子α(ｍ_ｃ²/ Ｍ_Ｗ²)  

～(1/137)(ｍ_ｃ²/ Ｍ_Ｗ²)～0.3×10^-4だけ小さく,確率はその2乗 

～10^-9に比例するので,分岐比:Ｂ＝(7.3±0.4)×10^-9をうまく  

再現しているからです。
 

※ＣＰの破れ  

弱い相互作用は,例えば荷電カレントがＶ－Ａ型なのでパリティ 

Ｐを最大限に破っています。
 

このＰの破れは,Weinberg-Salam模型ではFermi粒子のカイラル  

(左手型,右手型)成分を基本的な場として扱っているため,うまく  

取り入れられています。
 

ところが,弱い相互作用では,さらにＣＰ不変性も破れています。
 

例えば,ＣＰ＝－1の長寿命モードＫ⁰中間子:Ｋ_Ｌ⁰ がＣＰ＝＋1の  

2π状態にも崩壊します。
 

Ｋ_Ｌ⁰の添字Ｌはlongtime(長寿命)のＬですが,Ｐ＝－1,

Ｃ＝＋1です。 

一方,2πはπ^＋＋π^－でもπ⁰＋π⁰でもＣ＝＋1,内部パリティは  

Ｐ＝(－1)²＝＋1ですが,Ｋ_Ｌ⁰ のスピンはゼロなので,その崩壊  

過程では2πはｌ＝0 の軌道ｓ状態にあるはずですから,結果  

ＣＰ＝＋1となりＣＰは破れています。
 

ＣＰの破れが,Weinberg-Salam模型で起こるためには,  

そのLagrangianの結合定数のどれかが実数ではなく,複素数 

である必要があります。
 

ゲージ場部分やHiggs場の自己相互作用部分(Higgs２重項が  

１種類だけならＬのHermite性からこれは起こり得ません。
 

Higgs場とクォークやレプトンとの湯川相互作用部分もFermion  

場の定義を取り直せば結合定数:ｆ_Ｆ,ｆ_{f,ｆｊを全て実数(正)}  

に取れるので.ＣＰは破れません。
 

Ｌ^nmass_lepton＝Σ_{ｊ＝ｅ,μ,τ}(－ｆ_j){(Ｌ~_ｊΦ)Ｒ_ｊ＋Ｒ~_ｊ(Φ^＋Ｌ_ｊ)} 

や,Ｌ^nmass_quark＝－Σ_ｆｆ_ｆ{(Ｌ~_ＦΦ)Ｒ_Ｆ＋Ｒ~_ｆ(Φ^＋Ｌ_ｆ)} 

 －Σ_Ｆｆ_Ｆ{(Ｌ~_ＦΦ~)Ｒ_ｆ＋Ｒ~_Ｆ(Φ~^＋Ｌ_Ｆ)}では,既にこうした 

操作を実行して湯川結合定数を,Fermionの種類について対角的な 

実数,かつ,正の量にした形を与えたので,実は常にそうできること 

を,ここで示しておきます。
 

(証明):クォーク・セクター:Ｌ^nmass_quarkに限定して話をすると,  

ＳＵ(2)_Ｗ-２重項の左手型クォーク場:Ｌ_iと,ＳＵ(2)_Ｗ-１重項の  

右手型上系列クォーク場:Ｒ^上_Iと右手型下系列クォーク場:Ｒ^下_i  

とが,ｎ世代分(ｉ＝1,..,ｎ)存在する場合,そのHiggs場-２重項  

Φとの湯川相互作用項の最も一般的な形は  

Ｌ_Ｙ＝ －Σ_i,j=1^ｎ{ｇ^下_ij(Ｌ~_iΦ)Ｒ^下_j＋ｇ^上_ij(Ｌ~_iΦ~)Ｒ^上_j 

＋ｈ.ｃ} です。ただし,ｇ^下_ij,およびｇ^上_ijは一般に複素数の 

湯川結合定数であり,それぞれ,ｎ²個あります。
 

まず,任意のｎ次複素行列:Ｍはユニタリ行列Ｕ,Ｖを用いて対角化 

できる。つまり,ＵＭＶ^＋が対角成分:λ₁,..,λ_ｎが全て実数,かつ 

正の対角行列になるようにできる。という 

「特異値標準形の定理」の成立することが知られています。
 

そこで,湯川結合定数:(ｇ^上_ij),および,(ｇ^下_ij)を,それぞれ,ｎ次  

の複素行列とみなせば,それぞれ２個のユニタリ行列で対角化

できます。つまり,Σ_ijＵ^上_Ｆiｇ^上_ijＶ^上_jＦ’^＋＝ｆ_Ｆδ_ＦＦ',および,  

Σ_ijＵ^下_ｆiｇ^下_ijＶ^下_jｆ'^＋＝ｆ_ｆδ_ｆｆ’とできるユニタリ行列:  

Ｕ^上,下,Ｖ^上,下が存在します。ｆ_Ｆ,ｆ_ｆは正の実数です。
 

初めのクォーク場:Ｌ_i,Ｒ^上_I,Ｒ^下_iの代わりにそれらをユニタリ変換  

した次の場,Ｌ_Ｆ＝ΣＵ^上_ＦiＬ_i,Ｌ_ｆ＝ΣＵ^下_ｆiＬ_i, Ｒ_Ｆ＝ΣＶ^上_ＦiＲ^上_i

Ｒ_ｆ＝ΣＶ^下_ｆiＲ^下_iを用いれば,  

Ｌ_Ｙ＝ －Σ_i,j=1^ｎ{ｇ^下_ij(Ｌ~_iΦ)Ｒ^下_j 

＋ｇ^上_ij(Ｌ~_iΦ~)Ｒ^上_j＋ｈ.ｃ}が,標準形である 

Ｌ^nmass_quark＝－Σ_ｆｆ_ｆ{(Ｌ~_ＦΦ)Ｒ_Ｆ＋Ｒ~_ｆ(Φ^＋Ｌ_ｆ)}  

 －Σ_Ｆｆ_Ｆ{(Ｌ~_ＦΦ~)Ｒ_ｆ＋Ｒ~_Ｆ(Φ~^＋Ｌ_Ｆ)}に帰着します。  

(証明終わり)
 

Ｕ^上,下,Ｖ^上,下をＬ_Ｆ＝Ｕ_ＦｆＬ_ｆのＵ_Ｆｆと比較すれば  

Ｕ_Ｆｆ＝(Ｕ^上Ｕ^下＋)_Ｆｆ

と書けて,小林・益川行列:Ｕ_Ｆｆは,

湯川結合定数行列をそれぞれ対角化する上系列

ユニタリ行列と下系列ユニタリ行列のずれから

生ずることが明らかです。
 

一旦,Ｌ^nmass_quarkのような標準形に書けば,湯川相互作用が 

ＣＰ不変性を破らないことは直ちにわかります。

実際, Higgs場Φのt’Hooftパラメトリゼーション: 

Φ(ｘ)＝(1/√2){ｖ＋ψ(ｘ)－iχ(ｘ)τ}[0,1]^Ｔ 

＝(1/√2)[－χ²(ｘ)－ｉχ¹(ｘ),ｖ＋ψ(ｘ)＋ｉχ³(ｘ)]^Ｔ 

(ψ,χ＝[χ¹,χ²,χ³]は実スカラー場)において, 

χ(ｘ)＝0に取るユニタリ・ゲージでは,(※このゲージ以外では 

非物理的Higgs場:χが残っており,χの関わる湯川相互作用 

は,Ｕ_Ｆｆが複素数のとき,ＣＰを破ります。しかし,これは次に 

論じる荷電カレント相互作用と本質的に一体の効果です。)
 

ΦはΦ(ｘ)＝(1/√2) [0₁,ｖ＋ψ(ｘ)]^Ｔとなり, 

これを代入すれば,標準形の湯川相互作用は, 

Ｌ^nmass_quark＝－{Σ_ｆ(ｍ_ｆ＋ｆ_ｆψ/√2)ｑ_ｆ~ｑ_ｆ}－(ｆ → Ｆ) 

となります。(ｍ_j＝ｆ_ｊｖ/√2)
 

これは,クォーク質量項と実結合定数の湯川相互作用:ｑ~ｑψ 

を与え,明らかにＣＰ不変です。
 

それ故,Weinberg-Salam模型でＣＰ不変性の破れを起こす唯一の 

可能性はクォーク場の荷電カレント相互作用部分: 

(ｇ/2√2){Ｗ^μｑ_Ｆ~γ_μ(1－γ₅)Ｕ_Ｆｆｑ_ｆ＋ｈ.ｃ}の結合定数: 

ｇＵ_Ｆｆが複素数,つまり,混合行列Ｕ_Ｆｆが複素数になることです。
 

※(注19-1):まず,ＣＰＷ^μ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1Ｃ^-1＝Ｗ_μ^＋(－ｘ,ｔ)です。 

ＣＰｑ(ｘ,ｔ)Ｐ^-1Ｃ^-1＝Ｃ(γ⁰ｑ)^~Ｔ(－ｘ,ｔ)＝Ｃｑ^＋Ｔ(－ｘ,ｔ) 

故に,ＣＰｑ^＋(ｘ,ｔ)Ｐ^-1Ｃ^-1＝ｑ^Ｔ(－ｘ,ｔ)Ｃ^＋
 

そこで,ＣＰ{ｑ_Ｆ~γ_μ(1－γ₅)ｑ_ｆ(ｘ,ｔ)}Ｐ^-1Ｃ^-1 

＝ｑ_Ｆ^ＴＣ^＋γ⁰γ_μ(1－γ₅)Ｃｑ_ｆ^Ｔ(－ｘ,ｔ) 

＝－ｑ_ｆ~γ_μ(1－γ₅)Ｃｑ_Ｆ(－ｘ,ｔ) 

何故ならFermionについては,荷電共役行列:Ｃが 

あって,Ｃ^＋γ_μＣ＝Ｃ^-1γ_μＣ＝－γ_μ^Ｔ,Ｃ^＋γ₅Ｃ＝γ₅^Ｔ＝γ₅ 

を満たします。そして,γ⁰γ_μγ⁰＝γ^μです。
 

よって,{Ｗ^μｑ_Ｆ~γ_μ(1－γ₅)Ｕ_Ｆｆｑ_ｆ＋ｈ.ｃ}の第1項は 

ＣＰ変換でＷ_μ^＋ｑ_ｆ~γ^μ(1－γ₅)Ｕ_Ｆｆｑ_Ｆ(－ｘ,ｔ)に 

変わりますが,一方,第2項:ｈ.ｃの－ｘ,ｔでの式は, 

Ｗ_μ^＋ｑ_ｆ~γ^μ(1－γ₅)Ｕ_Ｆｆ^＊ｑ_Ｆ(－ｘ,ｔ)ですから, 

Ｌ(ｘ,ｔ)は.Ｕ_Ｆｆが実でないなら,ＣＰ変換でＬ(－ｘ,ｔ) 

に変わらないため,ＣＰが破れることになります。 

(注19-1終わり※)
 

ところが,定義が示すように混合行列:Ｕ_Ｆｆは左手型クォークの 

上系列場ｑ_ＦのＳＵ(2)_Ｗ-2重項の相棒(下成分)ｑ_Ｆ’の下系列場 

ｑ_ｆとの相対的関係を与えるものですから,ｑ_Ｆ場の位相と(従って 

ｑ_Ｆ'も共通に)ｑ_ｆ場の位相を取り直す自由度を使えば行列要素; 

Ｕ_Ｆｆの位相も変えることができます。
 

例えば,クォークが２世代のときは.Ｕ_Ｆｆは２×２ユニタリ行列 

で元来４つの複素数要素＝８自由度から4つのユニタリ性条件 

で４実パラメータの自由度なので,ｕ,ｃ,ｄ,ｓの4つの位相を 

使えば4－1＝3個を吸収できます。(1を引くのは全体にかかる 

共通位相を除外したからです。)
 

そこで,残る1実パラメータをCabbibo角θ_ｃとして,Ｕ_Ｆｆを実数 

に取れて2世代では,ＣＰの破れを導入できません。
 

小林-益川は,このことに初めて注目し,Ｕ_Ｆｆが複素数と 

なる自由度を得るために第3世代クォークの必要性を 

指摘したのです。
 

途中ですが,今回はここまでにします。
 

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論(Ⅱ)」 

(培風館)

ＰＳ:小林・益川は2008年南部先生と共にノーベル物理学賞

を受けました。私,1975年か1976年に小林先生の集中講義

を受けた記憶ありますが,当時は浅学のため,内容は理解

できていませんでしたね。(猫にコンバンワ!です。)

訃報！！衣笠祥雄さん

元プロ野球広島カープの鉄人・衣笠祥雄さんが去る4月23日夜,結腸ガンで亡くなられました。享年71歳でした。 

日刊スポーツ　→衣笠氏死去・4日前まで解説　鉄人を貫く　

.

現役時代の背番号28で連続試合出場記録を持つ鉄人でした。私の3年先輩星野さんに次いで惜しい人を亡くしまはした。

東京六大学のスターだった田淵,星野,山本浩二は,みな衣笠と同じ年齢でしたが,衣笠は高校卒業でプロに入ったので3年早い苦労人でした。

見るからに。。こんないい人いません。。。私たちON世代には英雄でした。

いまどき,,ガンは治療すれば必ずしもすぐ亡くなる病気じゃないはずです。。闘病中ということでしたが潔いというか惜しいことです。

ご冥福を祈ります。合掌！！

対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子（18)

「対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子(17)」 

から§6.7 Weinberg-Salam模型の続きです。
 

※レプトンとの結合 

弱い相互作用の電荷の変化する部分に関しては(Ｖ－Ａ)型 

の相互作用であることから,レプトン場は左手型成分： 

ψ_Ｌ＝((1－γ₅)/2}ψのみがＳＵ(2)_Ｗ-２重項で,右手型成分: 

ψ_Ｒ＝((1＋γ₅)/2}ψはＳＵ(2)_Ｗ-1重項を取らねばなりません。
 

現在ではｅ.μ以外に,より重いレプトン:τ粒子の存在が 

知られているので, 

Ｌ_ｅ＝[ν_ｅ,ｅ]_Ｌ^Ｔ, Ｌ_μ＝[ν_μ,μ]_Ｌ^Ｔ,Ｌ_τ＝[ν_τ,τ]_Ｌ^Ｔ  

(Ｙ＝－1/2),Ｒ_ｅ＝ｅ_Ｒ. Ｒ_μ＝μ_Ｒ. Ｒ_τ＝τ_Ｒ (Ｙ＝－1) 

と定義します。ここで超弱電荷:Ｙの値は,Ｑ＝Ｔ³＋Ｙによって 

決まるものです。
 

こうすれば,ｅ. μ.τに対応するニュートリノ:ν_ｅ.ν_μ.ν_τ 

の右手型成分が現われない,ことは注目に値します。
 

零質量？のニュートリノは謂わゆるWeyl場であり 右手型成分 

は元々無いからです。
 

τ粒子の存在が未知であった昔から,質量の違いを除けば全く 

同一の性質を持つ,電子ｅとμ粒子が何故,存在するのか？という 

ことが謎であり,これは「ｅ-μパズル」と呼ばれていました。
 

現在では,τ粒子まで加わっているため,「ｅ-μパズル」は 

「自然は,何故３度も同じことを繰り返すのか？」という問い 

に直されます。
 

今では,Ｌ_ｅ＝[ν_ｅ,ｅ]_Ｌ^Ｔ, Ｌ_μ＝[ν_μ,μ]_Ｌ^Ｔ,Ｌ_τ＝[ν_τ,τ]_Ｌ^Ｔ 

(Ｙ＝－1/2),Ｒ_ｅ＝ｅ_Ｒ. Ｒ_μ＝μ_Ｒ. Ｒ_τ＝τ_Ｒ (Ｙ＝－1) 

に現われる,ｅ,μ,τの多重項の繰り返しを.３世代構造 

(3-generation　structure)と呼んでいます。
 

これらを用いてレプトン部分のLagrangian:Ｌでは, 

Ｌ-２重項がＹ＝－1/2に,Ｒ-1重項がＹ＝－1に対応して,演算子 

Ｙを,それぞれの固有値に置き換えます。また,Ｒ_ｊ(ｊ＝ｅ,μ,τ) 

については,1重項なのでＴ＝0です。
 

そこで,Dirac運動項は 

Ｌ^kin_lepton＝Σ_{ｊ＝ｅ,μ,τ}[Ｌ~_ｊiγ_μ{∂_μ－(i/2)ｇ'Ｂ_μ＋ 

(i/2)ｇ(τＡ_μ)｝Ｌ_ｊ＋Ｒ~_ｊiγ_μ(∂_μ－iｇ'Ｂ_μ)Ｒ_ｊ], 

Ｌ^nmass_lepton＝Σ_{ｊ＝ｅ,μ,τ}(－ｆ_j){(Ｌ~_ｊΦ)Ｒ_ｊ＋Ｒ~_ｊ(Φ^＋Ｌ_ｊ)} 

と書けるはずです。
 

※(注18-1):何故なら、仮にＲ_jもニュートリノを上成分に持つ 

2重項と仮定すれば, 

Dirac質量項＝－Σ_{ｊ＝ｅ,μ,τ}{(Ｌ~_ｉ＋Ｒ~)Ｍ_ij(Ｌ_ｊ＋Ｒ_ｊ)} 

ですが,Ｌ~_ｉＬ_ｊ,Ｒ~_ｉＲ_ｊに比例する項は恒等的にゼロなので, 

Dirac質量項＝－Σ_{ｊ＝ｅ,μ,τ}{(Ｌ~_ｉＭ_ijＲ_ｊ)＋Ｒ~_ｉＭ_ijＬ_ｊ}と 

なります。
 

そして,質量行列:Ｍ_ijはＭ_ij＝－ｆ_iδ_ijと書くことができ,しかも 

この質量も２重項場(Higgs場)Φに起因するとして,Ｒ_jを１重項 

に戻し,Hermite性を保持しながら,湯川型を仮定すると, 

質量項＝Σ_{ｊ＝ｅ,μ,τ}(－ｆ_j){(Ｌ~_ｊΦ)Ｒ_ｊ＋Ｒ~_ｊ(Φ^＋Ｌ_ｊ)} 

と書けます。　　(注18-1終わり※)
 

レプトンのDirac質量項は,Higgs-2重項Φとの湯川相互作用 

から,真空期待値:＜0|Φ(ｘ)|0＞＝[0,ｖ/√2]^Ｔを得た後に 

初めて現われます。
 

例えば,電子項;ｊ＝ｅの部分は, 

－ｆ_ｅ{[ν_ｅ~,ｅ~][0,ｖ/√2]^Ｔｅ_Ｒ＋ｈ,ｃ} 

＝－(ｆ_ｅｖ/√2)ｅ~ｅ＝－ｍ_ｅｅ~ｅ　と解釈されます。 

(※ｍ_ｅは電子質量,ｈ.ｃはHermite共役項の意です。)
 

したがって,レプトンの,Higgs-2重項の湯川結合定数:ｆ_ｊ 

は,treeレベルで,それぞれの質量に比例し,ｖ＝2Ｍ_Ｗ/ｇと 

いう以前の評価から,ｆ_ｊ＝√2ｍ_ｊ/ｖ＝ｇｍ_ｊ/(√2Ｍ_Ｗ)と 

書けることになります。
 

そこで,湯川結合定数ｆ_ｊは,通常,(ｆ_ｊ/ｇ)～ ｍ_ｊ/(√2Ｍ_Ｗ) 

＜＜1なので,ＳＵ(2)_Ｗの結合定数ｇに比べてかなり小さい 

ことがわかります。
 

次に,Ｌ^kin_lepton＝Σ_{ｊ＝ｅ,μ,τ}[Ｌ~_ｊiγ_μ{∂_μ－(i/2)ｇ'Ｂ_μ＋ 

(i/2)ｇ(τＡ_μ)}Ｌ_ｊ＋Ｒ~_ｊiγ_μ(∂_μ－iｇ'Ｂ_μ)Ｒ_ｊ]のＡ_μ, 

Ｂ_μを,Ｗ_μ,Ｗ^＋_μ,Ｚ_μ,Ａ_μに書き換えます。
 

結果,Ｌ_int＝－{ｇ/(2√2)}(Ｗ_μ^＋Ｊ^μ＋Ｗ_μＪ^μ＋) 

－ｅＡ_μＪ_ｅｍ^μ－(ｇ/cosθ_Ｗ)Ｚ_μＪ_Ｚ^μが得られます。
 

ただし,Ｊ_μは4-Fermi相互作用の荷電カレントのレプトン  

部分:Ｊ^lepton_μ＝2ｊ^(1－i2)_leptonμであり  

Ｊ^lepton_μ＝ｅ~γ_μ(1－γ₅)ν_ｅ＋μ~γ_μ(1－γ₅)ν_μ 

＋τ~γ_μ(1－γ₅)ν_{τ で与えられます。}
 

Ｊ_ｅｍμは電磁相互作用カレントで,これは  

Ｊ^lepton_ｅｍμ＝－(ｅ~γ_μｅ＋μ~γ_μμ＋τ~γ_μτ)の意味です。
 

また,Ｊ_Ｚ^μはＺボソンの結合する中性カレントで 

Ｊ_Ｚμ＝ｊ⁽³⁾_leptonμ－sin²θ_ＷＪ^lepton_ｅｍμであり 

ｊ⁽³⁾_leptonμ＝Σ_{ｊ＝ｅ,μ,τ}{Ｌ~_ｊγ_μ(τ³/2)Ｌ_ｊ}です。
 

※(注18-2):Dirac相互作用における電子項;ｊ＝ｅの部分のみ 

に着目し,Ａ¹_μ＝(1/√2)(Ｗ_μ＋Ｗ_μ^＋),

Ａ²_μ＝(i/√2)(Ｗ_μ－Ｗ_μ^＋), 

Ａ³_μ＝cosθ_ＷＺ_μ＋sinθ_ＷＡ_μ,

Ｂ_μ＝－sinθ_ＷＺ_μ＋cosθ_ＷＡ_{μ を代入します。}

特に,τＡ^μ＝τ¹Ａ^1μ＋τ²Ａ^2μ＋τ³Ａ^3μ 

＝(1/√2){(τ¹＋iτ²)Ｗ^μ＋(τ¹－iτ²)Ｗ^＋μ} 

＋τ³(cosθ_ＷＺ^μ＋sinθ_ＷＡ^μ)　です。
 

Ｌ~_ｅiγ_μ{∂_μ－(i/2)ｇ'Ｂ^μ＋(i/2)ｇ(τＡ^μ)}Ｌ_ｅ 

＋Ｒ~_ｅiγ_μ(∂_μ－iｇ'Ｂ_μ)Ｒ_ｅ 

＝ｅ~iγ_μ∂_μｅ＋ν_ｅＬ~iγ_μ∂_μν_ｅＬ 

＋(ｇ'/2)(ｅ_Ｌ~γ_μｅ_Ｌ＋ｅ_Ｒ~γ_μｅ_Ｒ＋ν_ｅＬ~γ_μν_ｅＬ) 

(－sinθ_ＷＺ^μ＋cpsθ_ＷＡ^μ) 

－(ｇ/2)}[ν_ｅＬ~,ｅ_Ｌ~]γ_μ 

×[(1/√2){(τ¹＋iτ²)Ｗ^μ＋(τ¹－iτ²)Ｗ^＋μ} 

＋τ³(cosθ_ＷＺ^μ＋sinθ_ＷＡ^μ)][ν_ｅＬ,ｅ_Ｌ]^Ｔ
 

＝ｅ~iγ_μ∂_μｅ＋ν_ｅＬ~iγ_μ∂_μν_ｅＬ－(ｅ~γ_μｅ)(ｅＡ^μ) 

－(ｅ~γ_μｅ)(ｇ’sinθ_ＷＺ_μ) 

+(1/2)(ｅ_Ｌ~γ_μｅ_Ｌ－ν_ｅＬ~γ_μν_ｅＬ)ｇＺ^μ/cosθ_Ｗ 

－(ｇ/√2)}(ν_ｅＬ~γ_μｅ_Ｌ )Ｗ^μ＋(νｅ_Ｌ~γ_μν_ｅＬ )Ｗ^＋μ} 
 

(※※ここで,紛らわしいのですが,(ｅＡ^μ)の係数ｅは素電荷 

でｅ＝ｇsinθ_Ｗ＝ｇ’cosθ_Ｗ＞0 であり, 

cosθ_Ｗ＝ｇ/(ｇ²＋ｇ'²)^1/2,sinθ_Ｗ＝ｇ'/(ｇ²＋ｇ'²)^1/2 

より,ｇ'sinθ_Ｗ＋ｇcosθ_Ｗ＝(ｇ²＋ｇ'²)/(ｇ²＋ｇ'²)^1/2 

＝(ｇ²＋ｇ'²)^1/2＝ｇ/cosθ_Ｗ,っです。それ故 

ｇ'sinθ_ＷＺ_μ＝ｇ'²Ｚ_μ/(ｇ²＋ｇ'²)^1/2 

＝ｇsin²θ_ＷＺ_μ/cosθ_Ｗを用いました。)
 

μ粒子部分,τ粒子部分についても同様です。
 

(注18-2終わり※)
 

電磁相互作用項:－ｅＡ_μＪ_ｅｍ^μは,丁度,荷電レプトンの 

運動項:Σ_{ｊ＝ｅ,μ,τ}ψ_ｊ~iγ_μ∂_μψ_ｊの∂_μを共変微分の形の 

極小相互作:iＤ_μ＝(i∂_μ－ｅＡ_μ),or Ｄ_μ＝(∂_μ＋iｅＡ_μ) 

にすることに相当しています。
 

Ｗボソンの荷電カレントのレプトン項: 

－{ｇ/(2√2)}(Ｗ_μ^＋Ｊ^μ＋Ｗ_μＪ^μ＋)を用いて前掲の図6.12 

の型no]Feynmanグラフの寄与を計算すれば,Ｗボソンの質量 

Ｍ_Ｗに比して低エネルギーの領域(ｐ²＜＜Ｍ_Ｗ²)では実質上 

4-Fermi相互作用:Ｌ_Fermi＝－(Ｇ/√2)Ｊ_μ^＋Ｊ^μを再現します。
 

つまり,ｐ²＜＜Ｍ_Ｗ²)では,(ｐ²－Ｍ_Ｗ²)～ －Ｍ_Ｗ²より, 

{iｇ/(2√2)}²Ｊ_μ^＋(iｇ_μν)(ｐ²－Ｍ_Ｗ²)^-1Ｊ^μ 

～－i(Ｇ/√2)Ｊ_μ^＋Ｊ^μなる対応です。
 

よって.Ｇ/√2＝ｇ²/(8Ｍ_Ｗ²)より,Ｗの質量は, 

Ｍ_Ｗ～{√2ｇ²/(8Ｇ)}^1/2＝{√2ｅ²/(8Ｇsin²θ_Ｗ)}^1/2 

～(37.3/|sinθ_Ｗ|)GeVと評価されます。
 

Ｍ_Ｚ²＝(ｇ²＋ｇ'²)ｖ²/4＝Ｍ_Ｗ²/cos²θ_Ｗを用いると 

Ｍ_Ｚ＝Ｍ_Ｗ/|cosθ_Ｗ｜～(74.6/|sinθ_Ｗ|)GeV, 

ｖ/√2＝√2Ｍ_Ｗ/ｇ＝{√2/(4Ｇ)}^1/2 ～ 174 GeV,
 

こうして, ｖ/√2がパラメータ無しで決まったことに 

着目します。これはＳＵ(2)_Ｗ×Ｕ(1)_Ｙ → Ｕ(1)_Ｅ.Ｍの 

自発的破れの特徴的スケ－ルが100 GeV程度であること 

を示しています。
 

さらに電荷を持たないＺボソンと中性カレントＪ_Ｚ^μの 

相互作用項があり,Ｚボソンを媒介とする図6.12は,旧来 

の4-Fermi相互作用では知られてなかった,中性カレント 

相互作用:(1/2!)(ｇ/cosθ_Ｗ)²Ｊ_Ｚμ^＋(ｇ_μν)(ｐ²－Ｍ_Ｚ²)^-1Ｊ_Ｚ^μ 

～ －(4Ｇ/√2) Ｊ_Ｚμ^＋Ｊ_Ｚ^μが存在することを予言します。
 

これの存在は,実際,(反)ニュートリノと電子(陽子)の弾性散乱 

ν_ｅ~ｅ→ν_ｅ~ｅ, ν_μ~ｅ→ν_μ~ｅ,ν_μｅ→ν_μｅ, 

ν_ｅ~ｐ→ν_ｅ~ｐ, ν_ｅｐ→ν_ｅｐ..などで観測され,それらの 

データからWeinberｇ角因子:sin²θ_Ｗが決定されました。
 

最近の値は,sin²θ_Ｗ＝0.2325±0.0008です。
 

これを用いれば,Ｗ,Ｚボソンの質量は, 

Ｍ_Ｗ ～77.４GeV,Ｍ_Ｚ ～ 88.3GeVと予言されます。
 

果たして1968年,CERNでRubbiaらによって,遂に発見 

されたＷ,Ｚボソンはその質量の観測値が 

Ｍ_Ｗ＝(80.26±0.026)GeV,Ｍ_Ｚ＝(91.17±0.02)GeVでした。
 

上述の予言値は,これとよく一致していますが,ループグラフ 

の補正計算では,予言値が2～3％大きい方に修正されて 

Ｍ_Ｗ ～80GeV,Ｍ_Ｚ ～ 91GeVとなり,理論と実験の一致は驚く 

ほど良いです。
 

※ここまで得た結果と,まだ詳しく考察してない部分を

要約します。 

前回記事では,ゲージ場とHiggs場のLagrangianを 

Ｌ＝Ｌ_ゲージ場＋Ｌ_Higgsと書くと, 

Ｌ_ゲージ場＝－(1/4){∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μ－ｇ(Ａ_μ×Ａ_ν)}² 

－(1/4)(∂_μＢ_ν－∂_νＢ_μ)² 

＝－(1/4)Ｆ^Ａ_μνＦ^Ａμν－(1/4)Ｆ^Ｚ_μνＦ^Ｚμν 

－(1/2)(Ｄ_μＷ_ν－Ｄ_νＷ_μ)^＋(Ｄ^μＷ^ν－Ｄ^νＷ^μ) 

＋i(|ｅ|Ｆ^Ａ_μν＋ｇcosθ_ＷＦ_Ｚμν)Ｗ^μ＋Ｗ^ν 

＋(ｇ²/2){|Ｗ_μＷ^μ|²－(Ｗ_μ^＋Ｗ^μ)²}であり,
 

Ｌ_Higgs＝|Ｄ_μΦ|²＋μ²Φ^＊Φ－(λ/2)(Φ^＊Φ)², 

Ｄ_μ＝∂_μ＋(i/2)ｇ’Ｂ_μ＋(i/2)ｇ(τＡ_μ) 

であることを見ました。
 

今回,レプトンのDirac運動項: 

Ｌ^kin_lepton＝Σ_{ｊ＝ｅ,μ,τ}[Ｌ~_ｊiγ_μ{∂_μ－(i/2)ｇ'Ｂ_μ＋ 

(i/2)ｇ(τＡ_μ)Ｌ_ｊ＋Ｒ~_ｊiγ_μ(∂_μ－iｇ'Ｂ_μ)Ｒ_ｊ], 

の計算から,
 

Ｌ^kin_lepton＝Σ_{ｊ＝ｅ,μ,τ}[Ｌ~_ｊiγ_μ∂_μＬ_ｊ＋Ｒ~_ｊiγ_μ∂_μＲ_ｊ] 

＋Ｌ_intであってレプトンとゲージ場の相互作用項:Ｌ_int 

が,Ｌ_int＝－{ｇ/(2√2)}(Ｗ_μ^＋Ｊ^μ＋Ｗ_μＪ^μ＋) 

－ｅＡ_μＪ_ｅｍ^μ－(ｇ/cosθ_Ｗ)Ｚ_μＪ_Ｚ^μで与えられる 

こと,そして,
 

また,レプトンのDirac質量項は, 

Ｌ^nmass_lepton＝＝－Σ_{ｊ＝ｅ,μ,τ}{(Ｌ~_ｉＭ_ijＲ_ｊ)＋Ｒ~_ｉＭ_ijＬ_ｊ} 

＝Σ_{ｊ＝ｅ,μ,τ}(－ｆ_j){(Ｌ~_ｊΦ)Ｒ_ｊ＋Ｒ~_ｊ(Φ^＋Ｌ_ｊ)} 

で与えられることを見ました。
 

残るHiggs2重項場:ΦのセクターのLagrangianは, 

Ｌ_Higgs＝|Ｄ_μΦ|²＋μ²Φ^＊Φ－(λ/2)(Φ^＊Φ)² ですが, 

Ｌ_Higgs＝|{∂_μ－(i/2)ｇ'Ｂ_μ＋(i/2)ｇ(τＡ_μ)}Φ|² 

＋μ²Φ^＊Φ－(λ/2)(Φ^＊Φ)² は,ｇ'→ 0 の極限で 

Higgs-Kibble模型と同じものに帰着する,と書きました。
 

ＳＵ(2)Higgs-Kibble模型での考察と同じく, 

Higgs2重項Φは,Φ(ｘ)＝[φ₁,φ₂]^Ｔ 

＝(1/√2){ｖ＋ψ(ｘ)－iχ^ａ(ｘ)τ^ａ}[0,1]^Ｔ 

＝(1/√2)[－χ²(ｘ)－ｉχ¹(ｘ),ｖ＋ψ(ｘ)＋iχ³(ｘ)]^Ｔ 

(ψ,χ＝[χ¹,χ²,χ³]は実スカラー場) 

で与えられる,とします。
 

ＳＵ(2)対称性が破れる原因となる真空期待値は, 

＜0|Φ(ｘ)|0＞＝[0,ｖ/√2]^Ｔであり, 

＜0|ψ(ｘ)|0＞＝＜0｜χ^ａ(ｘ)|0＞＝0　です。
 

明らかに,対称性の破れにより生じた零質量のＮＧ 

ボソンがχ＝[χ¹,χ² ,χ³]^Ｔですが,粒子の電荷Ｑは, 

Ｑ＝Ｔ³＋Ｙを満たします。
 

Φの弱超電荷をＹ＝1/2として,Φ(ｘ)＝[φ₁,φ₂]^Ｔ 

＝(1/√2)[－χ²(ｘ)－iχ¹(ｘ),ｖ＋ψ(ｘ)＋iχ³(ｘ)]^Ｔ 

Φの下成分(Ｔ³＝－1/2)の電荷がＱ＝0となるように 

このＹを設定したのでした。
 

したがって,上成分(Ｔ³＝1/2)は,電荷Ｑ＝＋1を持つはず 

です。
 

まず,χ＝[χ¹,χ² ,χ³]^Ｔは,ＳＵ(2)のベクトルなので 

Ｔ＝1であり,ψはスカラーなのでＴ＝0です。 

これらは,Ｔ³|χ³＞＝|χ³＞,|χ³＞＝χ^3＋|0＞,Ｔ³|ψ＞＝0, 

|ψ＞＝ψ^＋|0＞より,[Ｔ³,χ^3＋]＝χ^3＋,[Ｔ³,ψ^＋]＝0を 

意味します。
 

故に,[Ｔ³,φ₂^＋]＝[Ｔ³,ψ^＋＋iχ^3＋]＝iχ^3＋です。 

そこで, [Ｑ,φ₂^＋]＝[Ｑ,ψ^＋＋iχ^3＋}＝[Ｔ³＋Ｙ,ψ^＋＋iχ^3＋] 

＝0 であれば,[Ｙ,ψ^＋＋iχ^3＋]＝－iχ^3＋ 

でなければなりません。
 

そこで,ψについての弱超電荷はＹ＝0 で[Ｙ,ψ^＋]＝0 

と仮定すれば,[Ｙ, χ^3＋]＝－χ^3＋となることが必要です。
 

それ故,ＮＧボソン:χ＝[χ¹,χ² ,χ³]^Ｔの弱超電荷は 

Ｙ＝－1で,[Ｙ,χ^ａ＋]＝－χ^ａ＋(ａ＝1,2,3)であると 

します。
 

こうすれば,Φ(ｘ)＝[φ₁,φ₂]^Ｔにおいて, 

[Ｑ,φ₂^＋}＝0,[Ｑ,φ₁^＋}＝φ₁^＋となり,上述したように 

Φの下成分がＱ＝0,上成分がＱ＝＋1を持ち,質量ｍの 

Higgs粒子ψは如何なる量子数も持たない,ということで 

全て辻褄が合います。
 

Higgs-Kibble模型の共変微分は,Weinberg-Salam模型の 

Ｄ_μΦ＝{∂_μ＋(i/2)ｇ'Ｂ_μ＋(i/2)ｇ(τＡ_μ)}Φ 

において,ｇ'＝0としたＤ_μΦ＝{∂_μ＋(i/2)ｇ(τＡ_μ)}Φ 

です。
 

Higgs-Kibble模型においては, 

|Ｄ_μΦ|²＝(Ｄ_μΦ)^＋Ｄ^μΦ＝(1/2)(∂_μψ)² 

＋(ｇ/2)Ａ^μ{χ(∂_μψ)－ψ(∂_μχ)－χ×(∂_μχ)} 

＋(1/2)(∂_μχ－ＭＡ_μ)²＋(ｇ/2)ＭＡ_μ²ψ 

＋(ｇ²/8)Ａ_μ²ψ²＋(ｇ²/8)Ａ_μ²χ²でした。
 

Ａ_μの獲得する質量はＭ＝ｇｖ/2＝|μ|(ｇ²/2λ)^1/2 

でした。
 

これはWeinberg-Salam模型では, 

|Ｄ_μΦ|²＝|{∂_μ＋(i/2)ｇ'Ｂ_μ＋(i/2)ｇ(τＡ_μ)}Φ|² 

であり,このうちゲージ場の質量項は(ゲージ場質量項) 

＝|(i/2){ｇ'Ｂ_μ＋ｇ(τＡ_μ)}[0,ｖ/√2]^Ｔ|² 

＝(ｇ²ｖ²/8){(Ａ¹_μ)²＋(Ａ²_μ)2} 

＋(ｖ²/8)(ｇ’Ｂ^μ－ｇＡ³_μ)²
 

＝Ｍ_Ｗ²Ｗ_μ^＋Ｗ^μ＋(1/2) Ｍ_Ｚ²Ｚ_μ^＋Ｚ^μ 

で与えられることを見ました。
 

Higgs機構により,元々零質量のゲージ場:Ｗ_μ,Ｚ_μが獲得 

する質量Ｍ_Ｗ,Ｍ_Ｚは,Ｍ_Ｗ²＝ｇ²ｖ²/4,Ｍ_Ｚ²＝(ｇ²＋ｇ'²)ｖ²/4 

＝Ｍ_Ｗ²/cos²θ_Ｗです。
 

ｇ'に無関係な項は,Higgs-Kibble模型と同じで, 

μ²Φ^＋Φ－(λ/2)(Φ^＋Φ)²  

＝－(1/2)ｍ²ψ²＋Ｖ₀[ｖ/√2)] －(λ/8)(ψ＋χ²)² 

－(1/2)ｍ√λ)ψ(ψ＋χ²)　です。
 

ただし,ψの獲得する質量ｍは,ｍ²＝2μ²,ｖ/√2＝(μ²/λ)^1/2 

で与えられ,－Ｖ₀[ｖ/√2]＝(1/2)μ²ｖ²－(λ/8)ｖ⁴です。
 

今回はここまでにし次回からはハドロン(クォーク)との 

結合等について考察します。
 

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論(Ⅱ)」 

(培風館)

対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子（17)

「対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子(16)」 

からの続きです。
 

有名な弱・電磁相互誤差用の模型を解説します。
 

§6.7 Weinberg-Salam模型 

対称性の自発的破れたゲージ理論は,弱・電磁相互作用 

(weak-electromagnetic interaction)を記述するのに 

適用され非常な成功を収めました。ここでは,今日, 

Weinberg-Salam模型,あるいは,標準模型(standard-midel) 

と呼ばれる模型の基本的部分を紹介します。
 

※ゲージ群;ＳＵ(2)_Ｗ×Ｕ(1)_Ｙ 

多くの実験的,理論的研究を経て,1960年代半ばには,弱い 

相互作用に関して,次のことが明らかにされていました。
 

弱い相互作用(の電荷の変化する過程に関する部分)は, 

Ｌ_Fermi＝－(Ｇ/√2)Ｊ_μ^＋Ｊ^μなる4-Fermi相互作用で 

記述できて,荷電(Charged)カレント:Ｊ_μはレプトン部分 

とハドロン部分から成り:Ｊ_μ＝Ｊ_μ^(lepton)＋Ｊ_μ^(hadron),
 

この両者とも,謂わゆる(Ｖ－Ａ)型カレント,つまり, 

(ベクトルカレント:Ｖ_μ)－軸性ベクトルカレント:Ａ_μ) 

で与えられます。
 

例えば,Ｊ_μ^(lepton)は,電子:ｅと電子ニュートリノ:ν_ｅ, 

μ粒子;μとμ-ニュートリノ:ν_ν,を用いて, 

Ｊ _μ^(lepton)＝ｅ~γ_μ(1－γ₅)ν_ｅ＋μ~γ_μ(1－γ₅)ν_μ 

で与えられます。ここでｅ, ν_ｅ etc.は,対応する粒子の 

Dirac場を示しています。
 

カレントＪ _μ^(lepton)は,左手型レプトンのＳＵ(2)-2重項: 

Ｌ_ｅ＝[ν_ｅ.ｅ] _Ｌ^Ｔ＝{(1－γ₅)/2}[ν_ｅ.ｅ]^Ｔ,および, 

Ｌ_μ＝[ν_μ.μ] _Ｌ^Ｔ＝{(1－γ₅)/2}[ν_μ.μ]^Ｔを定義して,
 

それらのＳＵ(2)カレント: ｊ^ａ_μ(ａ＝1,2,3)を 

ｊ^ａ_μ＝Ｌ_ｅ~γ_μ(τ^ａ/2)Ｌ_ｅ＋Ｌ_μ~γ_μ(τ^ａ/2)Ｌ_μ, 

(τ^ａはPauli行列)によって導入すれば,  

Ｊ _μ^(lepton)＝2(ｊ¹_μ－iｊ²_μ)＝2ｊ^(1－i2)_μ, 

Ｊ_μ^{(lepton) ＋}＝2(ｊ¹_μ＋iｊ²_μ)＝2ｊ^(1＋i2)_μと書けます。
 

ＳＵ(2)カレント:ｊ^ａ_μは;[τ^ａ/2,τ^ｂ/2]＝iε_ａｂｃ(τ^ｃ/2) 

より,明らかに, 

∫ｄ³ｙ[ｊ^ａ₀(ｙ,ｔ),ｊ^ｂ_μ(ｘ,ｔ)]＝iε_ａｂｃｊ^ｃ_μ(ｘ) 

のＳＵ(2)代数を満たしており,弱い相互作用に現われる 

荷電レプトンカレント:Ｊ _μ^{(lepton) ＋},Ｊ_μ^(lepton)は,その(1±i2) 

成分であるということです。
 

ハドロン部分;Ｊ _μ^{(hadron) ＋},Ｊ_μ^(hadron)も全く同様で.全体の 

Ｊ _μ＝Ｊ_μ^(lepton)＋Ｊ _μ^(hadron) も同じＳＵ(2)代数構造を持つ 

ことが知られています。このＳＵ(2)を「弱アイソスピン」 

(weak isotopic spin)と呼び,ＳＵ(2)_Ｗと記します。
 

Ｌ_Fermi＝－(Ｇ/√2)Ｊ_μ^＋Ｊ^μのFermi結合定数:Ｇの大きさ 

は,μ粒子の崩壊(μ→ｅ＋ν~_ｅ＋ν_μ)の確率などから,ｍ_ｐ 

を陽子質量として,Ｇ ～ 1.01×10^－5ｍ_ｐ^-2  

～ 1.166×10^－5(GeV^-2)で与えられることが知られています。
 

以上の現象論的事実から,弱い相互作用を(対称性の自発的に 

破れた)ゲージ理論で記述するには,ゲージ群として少なくとも 

上の弱アイソスピン:ＳＵ(2)_Ｗを含まなければならないことが 

わかります。
 

すなわち, ＳＵ(2)_Ｗのカレント:Ｊ_μに結合する質量がＭの 

Yang-Mills場が存在すれば,図6.12に示すfeynmanブラフに 

より,低エネルギー領域:ｐ²＜＜Ｍ²で, 

Ｌ_Fermi＝－(Ｇ/√2)Ｊ_μ^＋Ｊ^μのカレント・カレント型の 

4-Fermi相互作用が誘起されるからです。
 

このＳＵ(2)_Ｗの生成子をＴ^ａ(ａ＝1,2,3)とし,その大きさ 

をＴとします。
 

ところが,先に,Ｌ_ｅ＝[ν_ｅ.ｅ] _Ｌ^Ｔ＝{(1－γ₅)/2}[ν_ｅ.ｅ]^Ｔ, 

Ｌ_μ＝[ν_μ.μ] _Ｌ^Ｔ＝{(1－γ₅)/2}[ν_μ.μ]^Ｔで与えた 

レプトンのＳＵ(2)_Ｗ-2重項(Ｔ=1/2)は,Ｔ³＝1/2の主成分: 

ν_ｅやν_μは電荷Ｑがゼロ,Ｔ³＝－1/2の下成分ｅやμは, 

電荷Ｑが(－1)であり,ＳＵ(2)_Ｗ群が電磁相互作用の群: 

Ｕ(1)_ＥＭと直交していないことを示しています。
 

つまり,もしＵ(1)_ＥＭがＳＵ(2)_Ｗと直交した群であったら, 

ＳＵ(2)_Ｗ２重項:Ｌ_ｅ＝[ν_ｅ.ｅ] _Ｌ^Ｔ,Ｌ_μ＝[ν_μ.μ] _Ｌ^Ｔは, 

上成分も下成分も同じ電荷を持って弱い相互作用と電磁 

相互作用が独立にゲージ化できたのですが,実際にはそう 

ではありません。(※言い換えると.Ｌ_ｅ＝[ν_ｅ.ｅ] _Ｌ^Ｔ, 

Ｌ_μ＝[ν_μ.μ] _Ｌ^Ｔは,ＳＵ(2)_Ｗ２重項として, 

Ｕ_Ｗ＝exp(iＴ^ａθ^ａ)∈ＳＵ(2)_Ｗに対して2次元回転を 

受けますが,Ｕ_ＥＭ＝exp(iＱθ)∈Ｕ(1)_ＥＭに対して, 

[ν_ｅ.ｅ] _Ｌ^Ｔ→Ｕ_ＥＭ[ν_ｅ.ｅ] _Ｌ^Ｔ＝[Ｕ_ＥＭν_ｅ. Ｕ_ＥＭｅ] _Ｌ^Ｔ 

∝[ν_ｅ.ｅ] _Ｌ^ＴとはならないのでＳＵ(2)_Ｗ群がＵ(1)_ＥＭ 

と直交していないのです。)

ここに,弱・電磁相互作用を同時に絡めて考えざるを得ない 

必然性があります。すなわち,統一せざるを得ないのです。
 

そこで,ＳＵ(2)_Ｗに直交したＵ(1)群を導入して,Ｕ(1)_Ｙと 

記し,その電荷(生成子)を弱超電荷(weak-supercharge)と 

呼び,Ｙとします。レプトンＳＵ(2)_Ｗ２重項:Ｌ_ｅ,Ｌ_μに, 

弱超電荷:Ｙ＝－1/2を付与することにすれば,電磁相互作用 

の電荷Ｑは.Ｑ＝Ｔ³＋Ｙで与えられることになります。
 

この関係式:Ｑ＝Ｔ³＋Ｙでは電磁道後作用Ｕ(1)_ＥＭの生成子Ｑ 

を,Ｕ(1)_Ｙの生成子ＹとＳＵ(2)_Ｗの第3成分の生成子Ｔ³で 

与えた代数の間の関係式であり,単に上のレプトン2重項のみ 

ならず,任意の多重項の上で成立すべきものです。
 

したがって,出発点で採用すべきゲージ群Ｇは, 

Ｇ＝ＳＵ(2)_Ｗ×Ｕ(1)_Ｙであり,電荷Ｑに結合する電磁場は, 

Ｑ＝Ｔ³＋Ｙにより,ＳＵ(2)_Ｗのゲージ場の第3成分とＵ(1)_Ｙ 

のゲージ場の線形結合で与えられることがわかります。
 

このとき,最終的な零質量ゲージ粒子は光子のみでなければ 

ならないので,Ｑ＝Ｔ³＋Ｙのみを残し,他の対称性は全て 

自発的に破れなければなりません。 

すなわち,Ｇ＝ＳＵ(2)_Ｗ×Ｕ(1)_Ｙから,Ｕ(1)_ＥＭへと破れます。
 

※ゲージ場とHiggs場の部分 

ゲージ群:ＳＵ(2)_Ｗ×Ｕ(1)_Ｙに対応して,ＳＵ(2)_Ｗのゲージ場 

:Ａ_μ=[Ａ¹_μ,Ａ²_μ,Ａ³_μ]とＵ(1)_Ｙのゲージ場;Ｂ_μを導入します。 

そのLagrangianは,次のＬ_ゲージ場で与えられます。
 

Ｌ_ゲージ場＝－(1/4){∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μ－ｇ(Ａ_μ×Ａ_ν)}² 

－(1/4)(∂_μＢ_ν－∂_νＢ_μ)²です。
 

ｇはＳＵ(2)_Ｗの結合定数です。一方,以下で現われるＵ(1)_Ｙ 

の結合定数はｇ'とします。(ｇ＞0,ｇ'＞0)
 

Ｇ＝ＳＵ(2)_Ｗ×Ｕ(1)_Ｙ → Ｕ(1)_Ｅ.Ｍの自発的破れを起こす 

べく,前のHiggs-Kibble模型と同様なＳＵ(2)_Ｗ-2重項の複素 

スカラー場:Φ(Higgs場)を導入し,以前と同じ真空期待値を 

持つようにします。＜0|Φ|0＞＝(1/√2)[0,ｖ]^Ｔです。
 

このとき, Ｕ(1)_Ｅ.Ｍの対称性:Ｑを壊さないためには,真空 

期待値を持つ2重項場:Φの下成分(Ｔ³＝－1/2)は,Ｑ＝0の場 

でなければなりません。
 

それ故,Higgs２重項場:Φには,弱超電荷:Ｙ＝1/2を付与します。 

それに対応した共変微分を用いて, 

Higgs２重項場:ΦのセクターのLagrangianは, 

Ｌ_Higgs＝|{∂_μ＋(i/2)ｇ'Ｂ_μ＋(i/2)ｇ(τＡ_μ)}Φ|² 

＋μ²Φ^＊Φ－(λ/2)(Φ^＊Φ)² で与えられます。
 

これは,ｇ'→ 0の極限でHiggs-Kibble模型と同じものに 

帰着します。
 

真空期待値:＜0|Φ|0＞＝(1/√2)[0,ｖ]^Ｔを実現する破れた 

真空の上で,ゲージ場:Ａ_μ,Ｂ_μの質量項は,treeレベルで 

運動項:|Ｄ_μΦ|²において,Φを[0,ｖ/√2]^Ｔなる値に置換 

した項から生じます。

つまり, 

(ゲージ場質量項)＝|(i/2){ｇ'Ｂ_μ＋ｇ(τＡ_μ)}[0,ｖ/√2]^Ｔ|² 

＝(ｇ²ｖ²/8){(Ａ¹_μ)²＋(Ａ²_μ)2}＋(ｖ²/8)(ｇ'Ｂ^μ－ｇＡ³_μ)² 

です。
 

したがって,ゲージ場を組みかえて,Ｗ_μ=(1/√2)(Ａ¹_μ－iＡ²_μ), 

Ｗ_μ^＋=(1/√2)(Ａ¹_μ＋iＡ²_μ), 

そして,[Ｚ_μ,Ａ_μ]^Ｔ＝[ｇＡ³_μ－ｇ'Ｂ_μ,ｇＡ³_μ＋ｇ'Ｂ_μ] ^Ｔ 

/(ｇ²＋ｇ'²)^1/2＝exp(－iτ³θ_Ｗ)[Ａ³_μ,Ｂ_μ]^Ｔ 

と定義し直します。
 

ここに,ｃosθ_Ｗ＝ｇ/(ｇ²＋ｇ'²)^1/2 , 

sinθ_Ｗ＝ｇ'/(ｇ²＋ｇ'²)^1/2であり,exp(－iτ³θ_Ｗ) 

は３軸の回りの角度θ_Ｗの回転を意味します。 

このθ_ＷはWeinberg角と呼ばれます。
 

すると, ゲージ場質量項は,対角化されて 

(ゲージ場質量項)＝Ｍ_Ｗ²Ｗ_μ^＋Ｗ^μ＋(1/2) Ｍ_Ｚ²Ｚ_μ^＋Ｚ^μ 

を得ます。ただし.Ｍ_Ｗ²＝ｇ²ｖ²/4,  

Ｍ_Ｚ²＝(ｇ²＋ｇ'²)ｖ²/4＝Ｍ_Ｗ²ｃos²θ_Ｗです。
 

ゲージ場とHiggs場のLagrangianをＬ＝Ｌ_ゲージ場＋Ｌ_Higgs 

と書くと,これは, 

Ｌ_ゲージ場＝－(1/4){∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μ－ｇ(Ａ_μ×Ａ_ν)}² 

－(1/4)(∂_μＢ_ν－∂_νＢ_μ)²,であり 

Ｌ_Higgs＝|Ｄ_μΦ|²＋μ²Φ^＊Φ－(λ/2)(Φ^＊Φ)², 

Ｄ_μ＝∂_μ＋(i/2)ｇ’Ｂ_μ＋(i/2)ｇ(τＡ_μ) 

でした。
 

これに,以下の逆変換;を代入してＡ¹_μ,Ａ²_μ,Ａ³_μ,Ｂ_μ 

を消去します。。すなわち,Ａ¹_μ＝(1/√2)(Ｗ_μ＋Ｗ_μ^＋), 

Ａ²_μ＝(i/√2)(Ｗ_μ－Ｗ_μ^＋),Ａ³_μ＝cosθ_ＷＺ_μ＋sinθ_ＷＡ_μ, 

Ｂ_μ＝－sinθ_ＷＺ_μ＋cosθ_ＷＡ_μ,および,
 

[Ｚ_μ,Ａ_μ]^Ｔ＝[ｇＡ³_μ－ｇ'Ｂ_μ,ｇＡ³_μ＋ｇ'Ｂ_μ] ^Ｔ 

/(ｇ²＋ｇ'²)^1/2＝exp(－iτ³θ_Ｗ)[Ａ³_μ,Ｂ_μ]^Ｔ 

を代入するわけです。
 

すると, 

Ｌ_ゲージ場＝－(1/4)Ｆ^Ａ_μνＦ^Ａμν－(1/4)Ｆ^Ｚ_μνＦ^Ｚμν 

－(1/2)(Ｄ_μＷ_ν－Ｄ_νＷ_μ)^＋(Ｄ^μＷ^ν－Ｄ^νＷ^μ) 

＋i(|ｅ|Ｆ^Ａ_μν＋ｇcosθ_ＷＦ_Ｚμν)Ｗ^μ＋Ｗ^ν 

＋(ｇ²/2){|Ｗ_μＷ^μ|²－(Ｗ_μ^＋Ｗ^μ)²} 

となります。
 

ここで,同一の点において,Ａ¹,Ａ²,Ａ³,Ｂは全て交換可能なBoson 

であり,Ｗ,Ｗ^＋,Ｚ,Ａもまたそうです。
 

そして,Ｆ^Ａ_μν,Ｆ^Ａ_μνは,Ｆ^χ_μν＝∂_μχ_ν－∂_νχ_μ(χ＝Ａ,Ｚ) 

を意味します。また,ｅ²＝ｇ²ｇ’²/(ｇ²＋ｇ'²), 

|ｅ|＝ｇ'cosθ_Ｗ＝ｇsinθ_Ｗです。
 

Ｗ_νの共変微分Ｄ_μＷ_νは,ｇＡ³_μ 

＝(ｇｇ'Ａμ＋ｇ²Ｚ_μ)/(ｇ²＋ｇ'²)^1/2 

＝|ｅ|Ａ_μ＋ｇcosθ_ＷＺ_μを用いて 

Ｄ_μＷ_ν＝(∂_μ＋iｇＡ³_μ)Ｗ_ν 

＝(∂_μ＋i|ｅ|Ａ_μ＋iｇcosθ_ＷＺ_μ)Ｗ_νで与えられます。
 

電磁相互作用:Ｕ(1)_Ｅ.Ｍに関しては,この荷電ベクトル場: 

Ｗ_νに対する共変微分は(∂_μ＋i|ｅ|Ａ_μ)＝(∂_μ－iｅＡ_μ) 

となっていて,ｅ＜0が電磁相互作用の結合定数を与える 

ことがわかります。
 

※(注17-1):上の結果を具体的で地道な計算で示します。 

∂_μＡ¹_ν－∂_νＡ¹_μ－ｇ(Ａ²_μＡ³_ν－Ａ³_μＡ²_ν) 

＝(1/√2)(∂_μＷ¹_ν－∂_νＷ¹_μ)＋(1/√2)(∂_μＷ¹_ν^＋－∂_νＷ¹_μ^＋) 

－ｇ(i/√2)(Ｗ_μ－Ｗ_μ^＋)(cosθ_ＷＺ_ν＋sinθ_ＷＡ_ν) 

＋ｇ(i/√2)(Ｗ_ν－Ｗ_ν^＋)(cosθ_ＷＺ_μ＋sinθ_ＷＡ_μ) 

＝(1/√2){(∂_μＷ¹_ν－∂_νＷ¹_μ)

＋iｇ(cosθ_ＷＺ_ν＋sinθ_ＷＡ_ν)Ｗ_μ 

－iｇ(cosθ_ＷＺ_μ＋sinθ_ＷＡ_μ)Ｗ_ν} 

＋(1/√2){(∂_μＷ¹_ν^＋－∂_νＷ¹_μ^＋)

－iｇ(cosθ_ＷＺ_ν＋sinθ_ＷＡ_ν)Ｗ_μ^＋ 

＋iｇ(cosθ_ＷＺ_μ＋sinθ_ＷＡ_μ)Ｗ_ν^＋}
 

同様に,∂_μＡ²_ν－∂_νＡ²_μ－ｇ(Ａ³_μＡ¹_ν－Ａ¹_μＡ³_ν) 

＝(1/√2){(∂_μＷ¹_ν－∂_νＷ¹_μ)

＋iｇ(cosθ_ＷＺ_ν＋sinθ_ＷＡ_ν)Ｗ_μ 

－iｇ(cosθ_ＷＺ_μ＋sinθ_ＷＡ_μ)Ｗ_ν} 

－(1/√2){(∂_μＷ¹_ν^＋－∂_νＷ¹_μ^＋)

－iｇ(cosθ_ＷＺ_ν＋sinθ_ＷＡ_ν)Ｗ_μ^＋ 

＋iｇ(cosθ_ＷＺ_μ＋sinθ_ＷＡ_μ)Ｗ_ν^＋}
 

後は計算結果だけ書きます。 

∂_μＡ³_ν－∂_νＡ³_μ－ｇ(Ａ¹_μＡ²_ν－Ａ²_μＡ¹_ν) 

＝cosθ_ＷＦ^Ｚ_μν＋sinθ_ＷＦ^Ａ_μν＋iｇ(Ｗ_μ^＋Ｗ_ν－Ｗ_μＷ_ν^＋)_,
 

∂_μＢ_ν－∂_νＢ_μ＝－sinθ_ＷＦ^Ｚ_μν＋cosθ_ＷＦ^Ａ_μνです。
 

それ故,これらを

Ｌ_ゲージ場 ＝－(1/4){∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μ－ｇ(Ａ_μ×Ａ_ν)}² 

－(1/4)(∂_μＢ_ν－∂_νＢ_μ)²

に代入すれば得られます。　(注17-1終わり※)
 

途中ですが,今回はここまでにし,レプトンとゲージ場 

の結合や物質場(Higgs場)についての項は次回に回します。
 

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論(Ⅱ)」 

(培風館)

訃報！！月亭可朝さん

落語家の月亭か朝さんが去る3月28日に急性肺繊維症のため亡くなっていたことがわかりました。享年80歳でした。

朝日新聞デジタル　→　　落語家の月亭さん死去

独特なメガネにハットというイデタチとオッパイギャグの「嘆きのボイン」のヒット曲でも一世を風靡しました。

生まれは関東ですが関西の桂米朝の弟子で異色お笑いタレントのハシリという存在であったと思います。初めて聞いたときには「ボイン」とは何？と思いましたが,その後「コイン」とか「ナイン」とか,回転速く発せられる造語の数々に感心したものでした。

ご冥福をお祈りします。合掌！！

PS：4月10日は2007年に順天堂の心臓血管外科で心臓バイパス手術を受けて命を拾った11年目の記念日です。

私の糖尿病が発覚したのは昭和63年（1988）の38歳前後で,この病気は,慢性病で何らかの合併症が起きない限りは一応日常は病気を意識せずに普通に生活できました。もっとも定期的に外来診療を受け血糖降下剤は飲んでたりしていましたが。。

そして2006年56歳の暮れに急に肺に水が溜まったせいでセキが止まらず呼吸が苦しくなり,ときどき,狭心症の発作が起きるという心臓病が発症して,やがて4月には心臓バイパス手術を受けて命を拾うことになりました。

一応,狭心症や心筋梗塞の危険性からは救われる結果になったのでした。

あれから10年以上も経ちました。心臓は動いてますが目と足が不自由です。

人工透析をしていないだけ,まだましですが。。全ては糖尿病が源です。

訃報！高畑勲さん

ジブリのアニメ映画の巨匠：高畑勲監督が去る4月5日肺がんもため死去されたそうです。享年82歳でした。

最新ニュース　→　  高畑勲監督　訃報

高畑勲監督の名前を知ったのは,その昔1990年代初めオーヂィオ・ヴィジュアルにはまりLDプレイヤーを買って,色々な映画などを鑑賞していたころ,たまたま,,ジブリのアニメ映画「火垂るの墓」を見たときでした。

後に「アルプスの少女ハイジ」などの名作も手掛けた人と知りました。 

私にはテーマが翔びすぎていて難しいと感じる同じジブリの宮崎映画とは違い,より身近で社会的テーマで思春期や立派な大人向けのアニメのように思えるものが多い,と感じていました。

「火垂るの墓」という自伝的小説の原作者:野坂昭如氏について,本ブログの2015年12/12の訃報記事：「訃報！！野坂昭如さん逝く」から引用します。

ずっと後になって,ジブリのアニメ映画で「火垂るの墓」を見て,感涙し昔読んだ短編がこういう内容だったのか？と驚き,改めて文庫本になっていた小説を購入して読み返したりしてみました。

　やはりあまり感情表現のない事実の羅列だけの短編でした。内容はアニメ通りなのですが,アニメにならないとわからないほど淡々とした文章でした。

　私にはこの文章だけから,あの感動的内容を読み取るほどの能力が欠けていたし今でも欠けているようです。

　神戸での空襲と妹を亡くした経験,後悔から書いたものでしょう。

 これから,あの感動的内容を読み取って表現した監督を尊敬してました。

　ご冥福をお祈りします。合掌！！

PS:私事ですが,最近寒暖差があって急変するので自律神経的に体調がオカシく寒いのか暑いのか？もジジイの脳は判断ができないようで,昨日は微熱がありました。

三つ子のタマシイ百まで(ユメは今も消えず)

今や体を動かすのも不自由で,,やがて古希を迎えようとしているジジイで,何とか生き延びてきた挙句,,ビンボーでギリギリ生活してるのに,ワークという名前だが一円にもならないライフワーク,またはユメだけは残っていて,冥途への旅＝夢の途中です。

ジジイのユメというのは「神しか知らないことを自分の認識能力内で理解すること」です。科学ブログを書く作業も含め,過去の知見を学習し反芻する中から,温故知新,なにか見いだせるハズ。。この意欲が消えて頭までボケてしまえば,人生はジ・エンドですが,。。。まだ楽しいです。

大発見して栄誉を得るのが目的じゃなく,他人であっても発見して教えてくだされば満足です。。。

いまさら,何らかの宝クジ的間違いで大金を得たとしても,それは,「星の銀貨」ではないが,自分のギリギリの食い扶持だけを取って,残りは貧しき人々にバラまくのみです。

「何らかの天賦の才能がある人と知的障害者を比較して何が違うのか？」自分の生まれた国や地方、その気候,親兄弟などの生家の環境,ものごころついて以後,自ら努力するかどうか？も含めて,高々,環境と遺伝子の違いだけであり,自分の能力がこの世でタマタマ優れていたとしても,,「人間は全て同じ人間である,人に優劣はないし,職業にも貴賤はない。」ということなどを,タテマエでなく本音で体感しない限り,この年齢,この状況で他人にヤサシクなることなどできませんネ。

(※衣食足りて礼節を知る,ウンまだ余裕ですね。。)

ＰＳ:また気まぐれで,安い６６健のキーボードを買って，ピアノの独習を始めましたが，独習では大変です。でも寿命以外に期限はないし急ぐタビでもないのでそのうちに。。。 

そうこうしてるうち,とりあえず子供のころ少しやっていたハーモニカを吹く方が,てっとりばやいと思いました。安いハーモニカを,Ａmazonで見つけ入手,そのうち,,聞かせられるようになったらヨウツベに投稿するかも。。生きてたら。。。

対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子（16)

「対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子(15)」 

からの続きです。 

Higgs現象の項の続きです。 

カラー閉じ込めの論議に入ります。
 

※カラー閉じ込め
 

既述のようにQCDにおいて,クォークやグルオンなど全て 

カラーを持った粒子(大局的ゲージ対称性群Ｇの１重項で 

ないもの)は最終的には物理的粒子として現われないと 

予想されており,これを「カラー閉じ込め」と呼びました。
 

既述のHiggs現象逆定理でおいた条件det(１＋ｕ)≠0 

が成立しない場合,つまり,det(１＋ｕ)＝0の場合,という 

のは,実は大変重要な場合で.正にこのカラー閉じ込めを 

実現する１つの十分条件を与えます。
 

以下,簡単のため,ｕ^ａ_ｂ ∝ δ^ａ_ｂの場合のみを考えると, 

次の定理が成立します。 

(※この場合,det(１＋ｕ)＝0は,ｕ^ａ_ｂ ＝－δ^ａ_ｂと同値)
 

[定理]:ｕ＝－１,つまり,ｕ^ａ_ｂ ＝－δ^ａ_ｂが成立するならば, 

カラー対称性は自発的に破れておらず,かつ,カラー閉じ込め 

が実現している。
 

すなわち,物理的粒子(ＢＲＳ１重項)は全てカラー１重項で 

あり,カラーを持つ粒子は全てＢＲＳ４重項表現に属する。
 

(証明):ここまでの論議から,大局的カラー対称性変換の 

Noeter保存カレント:Ｊ^ａ_μ(ｘ)について,Maxwell方程式; 

ｇＪ^ａ_μ(ｘ)＝∂^νＦ^ａ_νμ(ｘ)－{Ｑ_Ｂ,Ｄ_μｃ~^ａ(ｘ)} 

が成立し, そして,ｘ₀ → ±∞の極限において 

Ｊ^ａ_μ(ｘ) → ｖ^ａ_ｂ∂_μβ^ｂ(ｘ)＋.., 

Ｄ_μｃ~^ａ(ｘ) → (１＋ｕ)^ａ_ｂ∂_μγ~^ｂ(ｘ)＋.., 

∂^νＦ^ａ_νμ(ｘ) → ｗ^ａ_ｂ∂_μβ^ｂ(ｘ)＋..  

なる漸近的性質があることがわかっています。
 

ここで.ＢＲＳ4重項漸近場として, 

{iＱ_Ｂ,γ~^ａ(ｘ)}＝iβ^ａ(ｘ)が成立するため, 

{Ｑ_Ｂ,Ｄ_μｃ~^ａ}→ (１＋ｕ)^ａ_ｂ∂_μβ^ｂ(ｘ)＋..　 

ですから,Maxwell方程式は,ｇｖ^ａ_ｂ＝ｗ^ａ_ｂ－（１＋ｕ)^ａ_ｂ 

を意味します。
 

そこで,１＋ｕ＝0なら,ｇｖ^ａ_ｂ＝ｗ^ａ_ｂです。 

ｖ^ａ_ｂ＝＝ｖδ^ａ_ｂ,ｗ^ａ_ｂ＝ｗδ^ａ_ｂと書けば,ｇｖ＝ｗです。
 

修正NoetherカレントをＪ^ａ_μ(ｘ)－ω∂^νＦ^ａ_νμ(ｘ), 

ω＝ｖ/ｗ＝ｇ^-1という組み合わせで作ると,これは 

危険な零質量１粒子項:∂_μβ^a(ｘ)を含まないので 

カラー電荷:Ｑ^ａ＝∫ｄ₃ｘ{Ｊ^ａ₀(ｘ)－ｇ^-1∂^ｋＦ^ａ_ｋ0(ｘ)} 

は無矛盾(Well-defined)な演算子となります。
 

よって,カレントが零質量１粒子状態を含まないので, 

カラー対称性は全チャネルで自発的に破れていません。

ところが,ｇＪ^ａ_μ(ｘ)＝∂^νＦ^ａ_νμ(ｘ)－{Ｑ_Ｂ,Ｄ_μｃ~^ａ(ｘ)} 

ですから,Ｊ^ａ₀(ｘ)－ｇ^-1∂^ｋＦ^ａ_ｋ0(ｘ)＝－ｇ^-1{Ｑ_Ｂ,Ｄ₀ｃ~^ａ} 

より,Ｑ^ａ＝－ｇ^-1∫ｄ₃ｘ{Ｑ_Ｂ,Ｄ₀ｃ~^ａ(ｘ)}です。
 

それ故,任意の物理的状態:|ｆ＞,|ｇ＞∈Ｖ_physに対して,  

Ｑ_Ｂ|ｆ＞＝0, Ｑ_Ｂ|ｇ＞＝0より,＜ｆ|Ｑ^ａ|ｇ＞＝0 を 

得ます。
 

特に,|ｆ＞,|ｇ＞∈Ｖ_physをＢＲＳ1重項の任意の物理的 

１粒子状態:ａ_i^＋|0＞,ａ_i^＋|0＞に取れば, 

＜0|ａ_iＱ^ａａ_j^＋|0＞＝0 ですが,これらがカラー対称性の 

生成子:Ｑ^ａの表現行列:(Ｔ^a)_ijの表現空間に属する基底 

を成す粒子状態であれば,[Ｑ^ａ,ａ_i^＋]＝(Ｔ^a)_jiａ_i^＋です。
 

(※ 何故なら,[Ｑ^ａ,ａ_i]＝－(Ｔ^a)_ijａ_j,であり,カラー電荷 

Ｑ^ａはHermite(実数)なので,Ｔ^aもHermite行列です。 

すなわち,(Ｔ^a)_ji^＊＝(Ｔ^a)_ijだからです。)

　　ここで,[ａ_i,ａ_j^＋]＝δ_ijを用いれば.  

<0|ａ_iＱ^ａａ_j^＋|0＞＝<0|ａ_i[Ｑ^ａ,ａ_ｊ^＋]|0＞  

＝<0|ａ_i(Ｔ^a)_ｋｊａ_ｋ^＋|0＞＝(Ｔ^a)_jiですから,結局,  

(Ｔ^a)_ji＝0　を得ます。

この,全てのａについて表現行列がゼロということは, 

ＢＲＳ1重項粒子:ａ_k^＋|0＞は全て,カラー1重項状態 

でもあることを意味します。　(証明終わり)　※)
 

ここで,いくつかのコメントを与えておきます。
 

(ⅰ)ｕ＝－１の条件は上述のようにカラー閉じ込めの１つの 

十分条件です。しかし,この条件が必要条件でもある？という 

ことについての論議もいくつかあります。
 

つまり,「カラー対称性が自発的破れを起こしていなければ 

ｕ＝－１である。」という命題ですが,これは未だ証明 

されていません。
 

(ⅱ) ｕ＝－１のとき,もしクォーク場:ψ_i(ｘ)や,ゲージ場: 

Ａ^ａ_μ(ｘ)に漸近場が存在したとすると,それらはカラーを持つ 

ので,それらはＢＲＳ４重項でなければなりません。
 

例えばψ_i(ｘ)のＢＲＳ変換は,[iλＱ_Ｂ,ψ_i(ｘ)] 

＝－iλｇｃ^ａ(ｘ)(Ｔ^ａ)_ijψ_ｊ(ｘ)ですが, 

これはクォーク場:ψ_i(ｘ)が漸近場:ψ^as_i(ｘ)を持てば,必ず, 

右辺のクォ－クとＦＰゴーストの複合Heisenberg場:  

ｃ^ａ(ｘ)(Ｔ^ａ)_ijψ_ｊ(ｘ)に,結合状態(共鳴状態,または 

束縛状態):Ｃ^as_ψi(ｘ)が形成されて, 

[iλＱ_Ｂ,ψ^as_i(ｘ)]＝－iλＣ^as_ψi(ｘ)を満たすＢＲＳ 

２重項:(ψ^as_i,Ｃ^as_ψi)となる必要があることを意味します。
 

ゲージ場の場合も,[iλＱ_Ｂ,Ａ^ａ_μ(ｘ)]＝λＤ_μｃ^ａ(ｘ) 

より,Ａ^ａ_μにベクトル漸近場が存在すれば,右辺の 

Ｄ_μｃ^ａ＝∂_μｃ^ａ－ｇ(Ａ_μ×ｃ)^ａに,ゲージ場とＦＰゴースト 

の結合状態が現われることになります、
 

すなわち,ｕ＝－１で実現されているカラー閉じ込めは, 

クォークやグルオンの漸近場が現われないこと,を主張するの 

ではなく,むしろ,それらの漸近場がQEDや摂動ゲージ理論の 

縦波・スカラーモードや素ＦＰモードと全く同様に,ＢＲＳ 

４重項機構によって閉じ込められる,ことを意味します。
 

(ⅳ) ｕ＝－１の条件は,実は,非物理的セクターで,既に多くの 

結合状態が存在することを意味しています。

まず,前記事でも書いたように, 2018年2/23の 

「ゲージ場の量子論（31）」では,ゲージ理論では 

常にゲージ群の添字ａの各々で,必ず,零質量ＢＲＳ 

４重項＝素4重項が存在し,Heisenberg場:Ａ^ａ_μ,Ｂ^ａ, 

Ｄ_μｃ^ａ,ｃ~^ａの中に,ｘ₀ → ±∞ において, 

Ａ^ａ_μ(ｘ) → ∂_μχ^ａ(ｘ)＋..,Ｂ^ａ(ｘ) → β^ａ(ｘ)＋.., 

Ｄ^μｃ^ａ(ｘ) → ∂_μγ^ａ(ｘ)＋.., 

ｃ~^ａ(ｘ) → γ~^ａ(ｘ)＋..,なる漸近場: 

(χ^ａ,β^ａ,γ^ａ,γ~^ａ)が存在する,という形で含まれる 

ことを示しました。
 

この常に存在する素４重項の漸近性を,Ａ^ａ_μ → ∂_μχ^ａ, 

Ｂ^ａ → β^ａ,Ｄ^μｃ^ａ → ∂_μγ^ａ,ｃ~^ａ → γ~^ａにより 

簡明に表記することにします。
 

ところが,前に注意したように,Landauゲージ:α＝0では, 

ＦＰ共役変換;Ｃ_ＦＰが存在して,このＣ_ＦＰ変換から, 

Ｂ~^ａ＝－Ｂ^ａ－iｇ(ｃ×ｃ)^ａ → β~^ａ, 

Ｄ_μｃ~^ａ → ∂_μΓ~^ａ,ｃ^ａ → Γ^ａ 

を満たす漸近場:(β~^ａ,Γ~^ａ, Γ^ａ) 

＝Ｃ_ＦＰ(－β^ａ,γ^ａ,－γ~^ａ)Ｃ_ＦＰ^-1 

が存在することもいえます。
 

※(注16-1):過去記事「ゲージ場の理論(24)」では, 

次のように書いています。
 

※ＦＰ共役変換と反ＢＲＳ対称性 

ゲージ固定条件：∂^μＡ^ａ_μ＋αＢ^ａ＝0でLandauゲージ: 

α＝0 を採用した場合,∂^μＡ^ａ_μ＝ 0ですから,ＦＰゴースト 

と反ゴーストの運動方程式:∂^μＤ_μｃ^ａ＝Ｄ^μ∂_μｃ~^ａ＝0 

は同じ形:∂^μＤ_μｃ^ａ＝∂^μＤ_μｃ~^ａ＝0 になります。
 

(※何故なら,∂^μＡ^ａ_μ＝ 0 なので, 

Ｄ^μｃ~^ａ＝∂_μｃ~^ａ－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ~^ｃ 

より,∂^μＤ_μｃ~^ａ＝∂^μ∂_μｃ~^ａ－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μ∂^μｃ~^ｃ 

＝Ｄ^μ∂_μｃ~^ａとなり.∂_μとＤ^μが交換するからです。)
 

そこで,ｃ^ａとｃ~^ａの入れ換えに対する対称性がある 

と予想されます。
 

実際α＝0の場合,Ｌ_ＧＦ＋Ｌ_ＦＰ 

＝－∂^μＢ^ａＡ^ａ_μ－ i(∂^μｃ~^ａ)Ｄ_μｃ^ａ 

＝∂^μＢ~^ａＡ^ａ_μ＋ i(∂^μｃ^ａ)Ｄ_μｃ~^ａと書けます。
 

ここで,Ｂ~^ａは,Ｂ^ａ＋Ｂ~^ａ＝－iｇ(ｃ×ｃ)^ａで定義 

されます。
 

それ故,LandauゲージのLagrangianは, 

Ｃ_ＦＰ:ｃ^ａ → ｃ~^ａ,ｃ~^ａ → ｃ^ａ,Ｂ^ａ → Ｂ~^ａ 

という変換に対して明らかに不変です。
 

ただし,ゲージ場:Ａ^ａ_μと物質場:φ_lは変換されない 

とします。この変換をＦＰ共役変換と呼びます。
 

そしてＢＲＳ電荷Ｑ_ＢのＦＰ共役変換:Ｃ_ＦＰＱ_ＢＣ_ＦＰ^-1 

をＱ~_Ｂと記し,反ＢＲＳ電荷と呼びます。
 

Ｑ~_Ｂの引き起こす変換を,[iλＱ~_Ｂ,Φ]＝λδ~_ＢΦと 

すると,[iλＱ~_Ｂ,Ａ^ａ_μ]＝Ｃ_ＦＰ[iλＱ_Ｂ,Ａ^ａ_μ]Ｃ_ＦＰ^-1 

＝λＣ_ＦＰ(Ｄ_μｃ^ａ)Ｃ_ＦＰ^-1＝λＤ_μｃ~^ａ＝λδ~_ＢＡ^ａ_μ 

と書けます。
 

そして,このδ~_Ｂを反ＢＲＳ変換と呼びます。 

δ~_ＢＡ^ａ_μ＝Ｄ_μｃ~^ａ, δ~_Ｂφ_i＝－iｇｃ~^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j, 

δ~_Ｂｃ^ａ＝iＢ~^ａ, δ~_Ｂｃ~^ａ＝(ｇ/2)(ｃ~×ｃ~)^ａ, 

となります。δ~_ＢＢ~^ａ＝0 も明らかです。
 

Landauゲージの場合,この反ＢＲＳ変換が 

Lagrangian:Ｌ~の不変性を与えることは明らかです。
 

(注16-1終わり※)
 

もちろん,摂動論においては,係数を除いて,－β~^ａ＝β^ａ, 

Γ^ａ＝γ^ａ,Γ~^ａ＝γ~^ａであり,新たな漸近場ではないとも 

考えられます。
 

しかし,ｕ＝－１の場合は,行列ｕの定義でもある 

Ｄ_μｃ~^ａ→ (１＋ｕ)^ａ_ｂ∂_μγ~^ｂ＋..,から, 

Ｄ_μｃ~^ａの中の∂_μγ~^ｂは無くなってしまいます。それ故, 

Γ~^ａ＝γ~^ａであれば矛盾するため,Γ~^ａはγ~^ａとは別物 

であり,そのＣ_ＦＰ変換であるγ^ａとΓ^ａも別物です。
 

また,γ~^ａはＢＲＳ２重項の親粒子でしたが,Γ~^ａは子供粒子 

でなければなりません。すなわち,{Ｑ_Ｂ,Γ~^ａ}＝0 です。
 

何故なら,ＷＴ恒等式： 

0＝＜0|Ｔ{Ｑ_Ｂ,Ｄ_μｃ~^ａ(ｘ)Ａ^ｂ_ν(ｙ)}|0＞ 

＝＜0|Ｔ[{Ｑ_Ｂ,Ｄ_μｃ~^ａ(ｘ)}Ａ^ｂ_ν(ｙ)]|0＞ 

＋＜0|Ｔ{Ｄ_μｃ~^ａ(ｘ)Ｄ_νｃ^ｂ(ｙ)}|0＞,および, 

Ｆ.Ｔ. ＜0|Ｔ[{Ｑ_Ｂ,Ｄ_μｃ~^ａ(ｘ)}Ａ^ｂ_ν(ｙ)]|0＞ 

＝－(ｐ_μｐ_ν/ｐ²)δ^ａｂ＋{ｇ_μν－(ｐ_μｐ_ν/ｐ²)}ｕ^ａｂ(ｐ²)
 

より,ｕ^ａｂ(ｐ²)＝－δ^ａｂなら,左辺＝－ｇ_μνδ^ａｂ 

＝－Ｆ.Ｔ.＜0|Ｔ{Ｄ_μｃ~^ａ(ｘ)Ｄ_νｃ^ｂ(ｙ)}|0＞です。
 

よって,このGrren関数:  

＜0|Ｔ[{Ｑ_Ｂ,Ｄ_μｃ~^ａ(ｘ)}Ａ^ｂ_ν(ｙ)]|0＞, 

＜0|Ｔ{Ｄ_μｃ~^ａ(ｘ)Ｄ_νｃ^ｂ(ｙ)}|0＞の双方にｐ²＝0の 

極は存在しません。
 

ゲージ場:Ａ^ｂ_νはＢＲＳ子供演算子ではない一般のベクトル 

演算子ですから,これは{Ｑ_Ｂ,Ｄ_μｃ~^ａ}が零質量スカラーも 

零質量ベクトルも含まないことを意味します。
 

(※もちろん,全く形式的には,{Ｑ_Ｂ,Ｄ_μｃ~^ａ}にｐ²＝0 の極 

があるが,ゲージ場:Ａ^ｂ_νを相手にしたときのみ,たまたま 

ｐ²＝0 の極の留数がゼロになるという可能性を完全に除外 

することはできませんが,。。。)
 

したがってＤ_μｃ~^ａの零質量漸近場:Γ~^ａは,{Ｑ_Ｂ,Γ~^ａ}＝0 

を満たすＢＲＳ子供粒子であるといえます。
 

このことは,カラー電荷:Ｑ^ａ＝－ｇ^-1∫ｄ³ｘ{Ｑ_Ｂ,Ｄ_μｃ~^ａ(ｘ)} 

の無矛盾な存在にとっても,必要なことでした。 

(※つまり,「カラーカレント:Ｊ^ａ_μが零質量1粒子状態を 

含まない＝カラー対称性が自発的に破れていない。」 

ことを意味しています。)
 

ここでは,これ以上,深入りする余裕はありませんが, 

このような性質を持った漸近場は,ＢＲＳ変換,反ＢＲＳ 

変換を含む拡張されたＢＲＳ代数を考察することにより 

(最小個数の場合),さらに(ｃ×ｃ)^ａ,および,(ｃ~×ｃ~)^ａ 

のチャネルに形成されるＦＰゴースト数が,＋2,－2の結合 

状態と共に,図6.11に描いたような全部で8個から成る 

(反)ＢＲＳ多重項となることが示されます。
 

図中の直線矢印:→は,ＢＲＳ変換,波線矢印は反ＢＲＳ 

変換を意味します。
 

すなわち,(反)ＢＲＳ2重項は4組現われます。 

なお,χ^ａは,Ｂ~^ａ→β^ａと同一視されます。
 

今回は短いですが,本節が終わりなので,ここまでに 

します。次回は,対称性の自発的破れ,Higgs現象の具体例 

であるWeinberg-Salam模型の紹介に入る予定です。
 

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論(Ⅱ)」 

(培風館)