対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子（20)

※16日から入院中ですが,ネットにアクセスが可能で,この 

項目はこれで終わる予定だったため,予め,病院まで 

持参していた参考ノートから原稿書きをしました。
 

さて,「対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子(19)」 

から§6.7 Weinberg-Salam模型の続きです。
 

前回の最後では,小林・益川がクォーク２世代だけでは,模型に 

ＣＰの破れを導入できないことに注目し,Ｕ_Ｆｆが複素数となる 

自由度を得るために第３世代クォークの必要性を指摘した。 

というところで終わりました。
 

一般にクォークがｎ世代のときはｑ_Ｆとｑ_ｆで2ｎ個あるため 

ｎ×ｎ複素行列:Ｕ_Ｆｆのｎ²個の実パラメータ(2ｎ²からｎ²個の 

ユニタリ条件:Σ_ＦＵ_ＦｆＵ_Ｆｆ’^＊＝δ_ｆｆ’のｎ²を引いてｎ²個) 

のうち,(2ｎ－1)個(ｑ_Ｆとｑ_ｆの2ｎ個から全体の位相1を引く) 

は吸収できて,(ｎ²―2ｎ＋1)=(ｎ－1)²個が残ります。
 

一方, ｎ×ｎ行列:Ｕ_Ｆｆが実行列であれば,ユニタリ行列は回転の 

直交行列を意味し,その条件はΣ_ＦＵ_ＦｆＵ_Ｆｆ’＝δ_ｆｆ’で,これは 

{ｎ＋ｎ(ｎ－1)/2}個の独立条件なので,独立パラメータは

ｎ(ｎ－1)/2個です。
 

以上から,ｎ×ｎ混合行列行列:Ｕ_Ｆｆはｎ(ｎ－1)/2の実回転角: 

θ_i(一般化Cabbibo角)と(ｎ―1)(ｎ－2)/2個の位相因子:ｅ^δi 

(小林・益川位相)を含むことがわかります。
 

後者の位相因子:ｅ^δi＝rxp(iδ_j)が問題のＣＰを破る位相因子で, 

果たして,その個数はｎ＝1,2ではゼロでｎ＝3の3世代で初めて 

1個現われることになります。
 

小林・益川自身はＣＰの破れの起源として,このｎ×ｎ混合行列 

の位相以外にも,例えばHiggs2重項を2種以上導入して,その間 

の相互作用項に位相を与える可能性も指摘しています。
 

※アノマリーの相殺

古典論の段階で存在するカレントの保存が量子論(loopグラフ)の 

段階で成立しないことがあり,その現象を一般にアノマリー

(anomaly)(量子異常)と呼びます。
 

これは,くり込みなどの項目を論じた後の章で一般論として詳論 

する予定ですが,Weinberg-Salam模型に関わる部分だけを簡単に 

述べます。
 

Fermion場がカイラル(左手型,or 右手型)の場合には 

図6.14に示した三角形のloopグラフがカイラルアノマリー 

を引き起こします。
 

ゲージ理論においては,ゲージ場の結合するカレントに,この 

アノマリーが存在すれば,ゲージ対称性,それ故,ＢＲＳ対称性 

が壊され,Ｓ行列のユニタリ性,引いては理論のくり込み可能性 

まで成立しなくなります。
 

Weinberg-Salam模型は,正にカイラルFermionに結合するゲージ 

理論ですから,このアノマリーの危険性を孕んでいますが,実は, 

大変うまい具合にアノマリーへのレプトンの寄与とカラー 

３自由度のクォークの寄与が相殺します。
 

これを以下で説明します。
 

後章で示すように,一般に群Ｇのゲージ場Ａ^ａ_μが表現Ｔ^ａ_Ｌに

属する左手型Fermion:Ｌと表現Ｔ^ａ_Ｒに属する右手型Fermin:Ｒ

とに,Ｌ_int＝Ａ^ａ_μ(Ｌ~γ^μＴ^ａ_ＬＬ＋Ｒ~γ^μＴ^ａ_ＲＲ)で,結合

しているとき,ゲージ場:Ａ^ａ_μ,Ａ^ｂ_ν,Ａ^ａ_ρの３点頂点に対する

図6.14のアノマリーは,

ｄ^ａｂｃ＝Ｔr[{Ｔ^ａ_Ｌ,Ｔ^ｂ_Ｌ}Ｔ^ｃ_Ｌ]－Ｔr[{Ｔ^ａ_Ｒ,Ｔ^ｂ_Ｒ}Ｔ^ｃ_Ｒ] 

＝Ｔr_(Ｌ－Ｒ)[{Ｔ^ａ,Ｔ^ｂ}Ｔ^ｃ]に比例することがわかります。

 

今のWeinberg-Salam模型の場合,ゲージ場はＳＵ(2)_Ｗ×Ｕ(1)_Ｙ 

の(Ａ_μ,Ｂ_μ)であり,ＡＡＡ,ＡＡＢ,ＡＢＢ,ＢＢＢの4つの 

タイプのアノマリーを調べる必要があります。
 

Ａ_μの結合する行列:Ｔは弱アイソスピンで,これは左手型の 

ＳＵ(2)_Ｗ-２重項の場合は(τ/2),右手型Fermionではゼロ 

です。また,Ｂ_μが結合するのは,弱超電荷:Ｙです。
 

そこで,ＡＡＡアノマリーはＳＵ(2)_Ｗ×2重項ごとに. 

Ｔr[{τⁱ,τ^ｊ}τ^ｋ]＝2δ^ijＴr(τ^ｋ)＝0に比例するので存在 

しません。
 

ＡＢＢタイプもＴr_Ｌ(τ)＝0でＴr_Ｒもゼロですから 

Ｔr[ＹＹτ]＝Ｙ₂Ｔr(τ)＝0です。
 

ＡＡＢアノマリーはＴr_(Ｌ－Ｒ)[{Ｔ^ａ,Ｔ^ｂ}Ｔ^ｃ] 

＝(1/４)Ｔr_Ｌ[{τⁱ,τ^j}Ｙ]＝(δ_ij/2)Ｔr(Ｙ) 

＝(δ_ij/2)Ｔr( (Ｑ－τ^３/2) ＝(δ_ij/2)Ｔr( (Ｑ)
 

それ故,ＡＡＢアノマリーは左手型Fermionの電荷の総和に 

比例します。
 

最後のＢＢＢアノマリーは, 

Ｔr_(Ｌ―Ｒ)(ＹＹＹ)＝Ｔr_(Ｌ―Ｒ)[(Ｑ－Ｔ^３)³] 

＝Ｔr_(Ｌ―Ｒ)(Ｑ^３)－(3/4)Ｔr_Ｌ(Ｑτ^３τ^３)に比例します。
 

ところがＴr_(Ｌ―Ｒ)(Ｑ^３)は左手型Fermionと右手型Fermionの差 

で,電荷は同じＱについて左手型Fermionと右手型Fermionが 

必ず,対で存在するので,相殺してゼロです。
 

そこでＢＢＢアノマリーもまた左手型Fermionの電荷の総和に 

比例します。
 

ここでレプトンの電荷は各世代ごとに 

Ｑ(ν_e)＋Ｑ(ｅ)＝Ｑ(ν_μ)＋Ｑ(μ)＝Ｑ(ν_τ)＋Ｑ(τ)＝－1 

です。
 

一方,カラークォークの電荷は各世代ごとに 

3×{Ｑ(ｕ)＋Ｑ(ｄ)}＝3×{Ｑ(ｃ)＋Ｑ(ｓ)}

＝3×{Ｑ(ｔ)＋Ｑ(ｂ)}＝3×(2/3－1/3)＝＋1です。
 

したがって,レプトンとクォークの寄与が相殺して.アノマリーは 

現われないことになります。
 

この相殺のために,クォークとレプトンの対応が常に成立している 

必要があります。発見されていないｔクォークはこのためにも存在 

しなければなりません。(※実は,1995年に発見されました。)
 

このクォークとレプトンの対応やアノマリーの相殺は

Weinberg-Salam模型では全く偶然的なことに過ぎませんが,

クォークとレプトンの間により深い関係だあることを示唆

しています。このことがＳＵ(5)やＳＯ(10)などのゲージ群

に基づく大統一理論(grand unified theory)への1つの大きな

動機になったのです。
 

※電荷の普遍性
 

Weinberg-Salam模型での電荷の普遍性(charge universality)

の問題に,こで触れておきます。
 

電荷の普遍性とは光子の荷電粒子との質量殻上での合定数が,

厳密に普遍的であるかどうか？いうことです。
 

例えば電子(またはμ粒子)の電荷は陽子の電荷＝結合定数と

非常な高精度で(逆符号で)一致していることが知られています。
 

この問題はＵ(1)群に基づくQEDの場合は,ほとんど自明でした。 

Ｕ(1)群の場合はＷＴ恒等式が非常に簡単で,それから直ちに,

荷電粒子:φ_iの裸の結合定数:ｅ_i⁰(つまり,Lagtrangianに

現われる結合定数)と観測される質量殻上の結合定数:ｅ_iとが

比例するという関係が容易に導かれます。
 

先に述べたＷＴ恒等式: 

－＜0|Ｔ[ψ_i(ｘ)ψ~_j(ｙ)iＢ^ａ(ｚ)]|0＞ 

＝＜0|Ｔ[(－iｇ)ｃ^ｂ(ｘ)(Ｔ^ｂ)_ｉｋψ_ｋ(ｘ)ψ~_j(ｙ)ｃ~^ａ(ｚ)|0＞ 

＋＜0|Ｔ[ψ_i(ｘ)iｇψ_ｋ(ｙ)ｃ^ｂ(ｙ)(Ｔ^ｂ)_ｋjｃ~^ａ(ｚ)|0＞
 

ここで,Ｕ(1)ゲージの場合はｇ＝ｅ⁰で,Ｔ^ａ＝Ｑなので, 

[Ｔ^ａ,ψ_i]＝－(Ｔ^ａ)_ijψ_ｊ＝－ｑ_iψ_i,つまり(Ｔ^ａ)_ijψ_ｊ＝ｑ_iψ_i
 

そこで,－＜0|Ｔ[ψ_i(ｘ)ψ~_j(ｙ)iＢ(ｚ)]|0＞ 

＝－iｅ⁰ｑ_i＜0|Ｔ[ｃ(ｘ)ψ_i(ｘ)ψ~_j(ｙ)ｃ~(ｚ)|0＞ 

＋iｅ⁰ｑ_i＜0|Ｔ[ψ_i(ｘ)ψ_ｊ(ｙ)ｃ(ｙ)ｃ~(ｚ)|0＞
 

これは,ψ_i,ψ_jの同次式ですから,これらは既にくり込まれた 

Heisenberg場としていいです。
 

さらに,ＢはＦ.Ｔ＜0|Ｔ[Ｂ(ｘ)Ａ_μ(ｙ)]|0＞＝ｋ_μ/ｋ²のみを

ゼロでない連結Green関数として持ち,

Ａ_μ＝Ｚ₃^1/2Ａ^ren_μ ⇔ Ａ^ren_μ＝Ｚ^1-1/2Ａ_μ 

より,左辺＝(－iＺ₃^-1/2ｋ^μ/ｋ²)iＳ_Ｆ'(ｐ－ｋ)

(－iΓ^ren_μi)iＳ_Ｆ'(ｐ) 

となります。
 

一方,ｃ,ｃ~はQEDでは自由場ですから, 

Ｆ.Ｔ＜0|Ｔ[ｃ(ｘ)ｃ~(ｙ)]|0＞＝－１/ｋ²です。
 

故に,右辺＝iｅ⁰ｑ_i(－１/ｋ²){－iＳ_Ｆ'(ｐ)＋iＳ_Ｆ'(ｐ－ｋ)}
 

よって, 

Ｚ₃^-1/2ｋ^μΓ^ren_μi＝ｅ⁰ｑ_i{iＳ_Ｆ'^-1(ｐ)－iＳ_Ｆ'^-1(ｐ－ｋ)} 

これと,光子の質量殻近傍ではＳ_Ｆ'^-1(ｐ)＝ｐ－ｍ, 

Γ^ren_μ ～ γ_μから,ｅ_i＝Ｚ₃^1/2ｅ⁰ｑ_iを得ます。 

(証明終わり)
 

つまり,ｅ_i＝Ｚ₃^1/2ｅ_i⁰＝Ｚ₃^1/2ｅ⁰ｑ_iです。
 

ここで,Ｚ₃は光子場のくり込み定数で,ｑ_iは裸の結合定数: 

e_i⁰がe_i⁰＝e⁰ｑ_iで与えられる荷電粒子の生成演算子φ^＋の 

運ぶ電荷演算子Ｑの量子数です。 

すなわち,[Ｑ,φ^＋]＝ｑ_iφ^＋です。
 

Ｚ₃や,Ｚ₃ｅ₀は荷電粒子φ_iと無関係な定数なので 

ｅ_i＝Ｚ₃^1/2ｅ⁰ｑ_iは電荷の普遍性を証明しています。
 

すなわち,質量殻上の結合定数ｅ_iは量子数ｑ_iに普遍的 

比例定数で比例していること,特に量子数ｑ_iの荷電粒子 

は等しい質量殻上の結合定数を持つことを示しています。
 

ところが,Weinberg-Salam模型では,ＷＴ恒等式はかなり 

複雑になり,それを直接用いることによって,求めるべき 

比例関係:ｅ_i＝(定数)×ｅ_i⁰＝(定数)×ｅ⁰ｑ_iを導く 

のは容易なことではありません。
 

事実,Landauゲージ(α＝0)以外では,この方法での証明 

は過去に与えられていないようです。
 

そこで,ここでは"Maxwell方程式"を用いたより強力な 

証明法を紹介します。
 

この方法では,Weinberg-Salam模型のＳＵ(2)_Ｗ×Ｕ(1)_Ｙ 

の大局的不変性を尊重する任意の共変的ゲージ: 

Ｌ_ＧＦ＝－(∂^μＢ^ａ)Ａ^ａ_μ+(1/2)α₀Ｂ^ａＢ^ａの下で 

ｅ_i＝(定数)×ｅ_i⁰＝(定数)×ｅ⁰ｑ_iが証明できます。
 

ここで群の添字:ａはＵ(1)_Ｙに対応する0から, 

ＳＵ(2)_Ｗに対応する1,2,3まで走るものとします。
 

したがって,Ａ⁰_μは,L_ゲージ場＝(－1/4)(∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μ)² 

－(1/4)(∂_μＢ_ν－∂_νＢ_μ)²で,Ｂ_μと記したＵ(1)_Ｙの 

ゲージ場を表わすとします。
 

ここで以前に与えた"Maxwell方程式"により, 

∂^νＦ^ａ_νμ＝ｇＪ^ａ_μ＋{Ｑ_Ｂ,Ｄ_μｃ~^ａ}(ａ＝1,2,3) 

∂^νＦ⁰_νμ＝ｇ’Ｊ⁰_μ＋{Ｑ_Ｂ,∂_μｃ~⁰}です。
 

ＳＵ(2)_Ｗ×Ｕ(1)_Ｙ対称性はＵ(1)_ＥＭへと自発的に 

破れているので最終的には唯一の電荷演算子, 

つまり電磁的電荷演算子:Ｑのみが無矛盾となります。
 

量子数の関係式:Ｑ＝Ｔ³＋Ｙ(※これは正確には粒子φ_iごと 

の量子数間の関係式:qi＝τ3＋ｙiであり,場の理論の 

演算子:Ｑ,Ｔ³,Ｙの関係式ではないことに注意,実際, 

自発的対称性の破れのために, Ｔ³,やＹなどは無矛盾 

な演算子としては存在しないことに注意されたい。)
 

そうして,"Maxwell方程式"のａ＝3成分と0成分の 

次の線形結合を考えます。 

∂^νＦ_νμ＝ｅ⁰(Ｊ³_μ＋Ｊ⁰_μ)＋{Ｑ_Ｂ,Ｄ_μｃ^_μ}, 

Ｆ_νμ＝(ｇ'Ｆ³_νμ＋ｇＦ⁰_νμ)/(ｇ²＋ｇ'²)^1/2, 

ｃ^_μ＝(ｇ'Ｄ_μｃ~³＋ｇＤ_μｃ~⁰)/(ｇ²＋ｇ'²)^1/2 

です。
 

ここでｅ⁰＝ｇｇ'/(ｇ²＋ｇ'²)^1/2は先には電磁結合定数: 

ｅと定義したものと同じですが,に現われる裸の結合定数 

であることを強調するためｅ⁰と記しました。
 

この線形結合: 

∂^νＦ_νμ＝ｅ⁰(Ｊ³_μ＋Ｊ⁰_μ)＋{Ｑ_Ｂ,Ｄ_μｃ^_μ}では 

実際,Ｆ_νμは,場についての線形な部分が, 

丁度,先にＺ_μと同時に与えた電磁場: 

Ａ_μ＝(ｇＡ³_μ＋ｇ'Ａ⁰_μ)/(ｇ²＋ｇ'²)^1/2の 

∂_νＡ－∂_μＡ_νに一致しており, (Ｊ³_μ＋Ｊ⁰_μ)は例えば 

物質場部分の電磁相互作用カレント(ｊ^lepton_μ＋ｊ^quark_μ) 

に一致しています。
 

すなわち,形式的電荷演算子;∫ｄ³ｘ(Ｊ³₀＋Ｊ⁰₀)は 

正準交換関係を用いて,正しく電磁的電荷量子数:ｑ_i 

をカウントする[Ｑ,φ^＋]＝ｑ_iφ^＋を再現します。
 

しかしながら,既に詳述したように(Ｊ³₀＋Ｊ⁰₀)には, 

素４重項メンバーβ^ａ(ａ＝3,0)のある線形結合βの 

零質量１粒子項:∂_μβの寄与が存在するので,３次元 

積分の収束する無矛盾な電荷演算子Ｑとしては, 

Ｑ＝∫ｄ³ｘ[(Ｊ³₀＋Ｊ⁰₀)－ω∂^kＦ_k0] 

＝∫ｄ³ｘＪ^ＥＭ₀としなければなりません。
 

Ｆ_k0はＦ_νμの(ｋ,0)成分で,零質量電磁場:Ａμを含んで 

いるので∂^νＦ_νμは,上の零質量素4重項の1粒子状態; 

∂_μβをある重みで含み,係数ωは(Ｊ³₀＋Ｊ⁰₀)の含む 

∂_μβを丁度相殺するように選択されます。
 

(※このとき,∂^νＦ_νμの含むβが,(Ｊ³₀＋Ｊ⁰₀)の含むβ³ 

とβ⁰の線形結合:βと一致していることは,とにかく, 

電磁的量子数ｑiに対応するＵ(1)_ＥＭ対称性が自発的破れ 

を起こさず残っているという仮定:つまり, 

Ｑ＝∫ｄ³ｘ[(Ｊ³₀＋Ｊ⁰₀)－ω∂^kＦ_k0] ＝∫ｄ³ｘＪ^ＥＭ₀ 

の形の(Ｊ³₀＋Ｊ⁰₀)を含む電荷が無矛盾なものとして存在 

するという仮定,から従う1つの必要条件です。)
 

ここでＱ＝∫ｄ³ｘＪ^ＥＭ₀で定義されたカレント: 

Ｊ^ＥＭ_μ＝(Ｊ³_μ＋Ｊ⁰_μ)－ω∂^νＦ_νμを用いればMaxwell 

方程式は次の形になります。
 

すなわち,(1－ｅ⁰ω)∂^νＦ_νμ＝ｅ⁰Ｊ^ＥＭ_μ＋|Ｑ_Ｂ,ｃ^_μ} 

です。この式を2つの任意の物理的1粒子状態:|ｉ＞ 

と|ｆ＞(∈Ｖ_phys)で挟めば, 

(1－ｅ⁰ω)＜ｆ|∂^νＦ_νμ(ｘ)|ｉ＞ 

＝ｅ⁰＜ｆ|Ｊ^ＥＭ_μ(ｘ)|ｉ＞を得ます。
 

ただし,|ｉ＞,|ｆ＞∈Ｖ_phys)より, 

＜ｆ||Ｑ_Ｂ,ｃ^_μ}|ｉ＞＝0なることを用いました。
 

(1－ｅ⁰ω)＜ｆ|∂^νＦ_νμ(ｘ)|ｉ＞ 

＝ｅ⁰Ｊ＜ｆ|Ｊ^ＥＭ_μ(ｘ)|ｉ＞の両辺に∫ｄ³ｘexp(iｋｘ) 

を掛けて計算し,ｋ_μ→0の極限を取ることを考えます。
 

ＮＧボソンの低エネルギー定理と同様,ｋ_μ→0の極限で 

残るのはＦ_νμチャネルの零質量1粒子,つまり,光子の 

つくる極部分だけです。
 

Heisenberg場:Ｆ_νμ(ｘ)に含まれる,くり込まれた光子の 

漸近場:Ａ^ａｓ_μ(ｘ)の重みをＹとすると,ｘ⁰→±∞で 

Ｆ_νμ(ｘ)→Ｙ{∂_νＡ^ａｓ_μ(ｘ)－∂_μＡ^ａｓ_ν(ｘ)}＋.. 

です。ここでは無関係な質量を持つ粒子の漸近場の 

寄与である係数Ｙは, 

例えば2点関数:＜0|Ｔ[Ｆ_νμ(ｘ)Ｆ_ρσ(ｙ)]|0＞の 

ｋ²＝0の留数から読み取れます。
 

Ｆ_νμ(ｘ)→Ｙ{∂_νＡ^ａｓ_μ(ｘ)－∂_μＡ^ａｓ_ν(ｘ)}＋. 

は,∫ｄ⁴ｘexp(iｋｘ)＜0|Ｔ[Ｆ_νμ(ｘ)Ａ^ａｓ_ρ(ｙ)]|0＞ 

＝－Ｙ(ｋ_νｇ_μρ－ｋ_μｇ_νρ)/ｋ²を意味していること 

に注意すれば, 

lim_ｋ→0∫ｄ⁴ｘ＜ｆ|∂^νＦ_νμ(ｘ)|ｉ＞(1－ｅ⁰ω) 

＝Ｙ(1－ｅ⁰ω)lim_ｐf→ｐi(2π)⁴δ⁴(ｐ_f－ｐ_i)ｅ_fi(ｐ_i＋ｐ_f)_ρ 

なることがわかります。ただし,くり込まれた光子とｉ,ｆ 

の3点頂点:Γ⁽³⁾_μfiが質量殻ｋ²→0の近傍では, 

－iｅ_fi(ｐ_i＋ｐ_f)_μの形を取ることを用いました。

このｅ_fiは,|ｉ＞,|ｆ＞が不変規格化された状態のとき, 

質量殻上光子の物理的結合定数です。
 

一方,右辺はμ＝0成分を考えると,無矛盾な電荷演算子 

Ｑが,Ｑ＝∫ｄ³ｘ[(Ｊ³₀＋Ｊ⁰₀)－ω∂^kＦ_k0] ＝∫ｄ³ｘＪ^ＥＭ₀ 

で与えられること,および,Ｑが電荷量子数ｑをカウント 

することを用いて次式を導きます。
 

lim_ｋ→0∫ｄ⁴ｘexp(iｋ⁰ｘ⁰)exp(iｋｘ)ｅ⁰＜ｆ|Ｊ^ＥＭ₀(ｘ)|ｉ＞ 

＝∫ｄｘ⁰ｅ⁰＜ｆ|Ｑ|ｉ＞ 

＝ｅ⁰ｑ_iδ_filim_ｐf→ｐi (2π)⁴δ⁴(ｐ_f－ｐ_i)2ｐ_i0です。
 

ただし,ｑ_iは|ｉ＞の電荷量子数であり,不変規格化条件: 

＜ｆ|ｉ＞＝(2π)³2ｐ_i0δ³(ｐ_f－ｐ_i) 

(※ただし,∫ｄｘ⁰＝2πδ(ｐ_f0－ｐ_i0))を用いました。
 

lim_ｋ→0∫ｄ⁴ｘexp(iｋ⁰ｘ⁰)exp(iｋｘ)ｅ⁰＜ｆ|Ｊ^ＥＭ₀(ｘ)|ｉ＞ 

＝∫ｄｘ⁰ｅ⁰＜ｆ|Ｑ|ｉ＞ 

＝ｅ⁰ｑ_iδ_filim_ｐf→ｐi (2π)⁴δ⁴(ｐ_f－ｐ_i)2ｐ_i0 

のμ＝0成分と比較して,ｅ_fi＝{Ｙ(1-ｅ⁰ω)}^-1δ_fiｅ⁰ｑ_i 

を得ます。
 

この式は質量殻上の光子の結合定数ｅ_fiが荷電粒子の種類 

に関して対角的であると同時にＹ,ωやｅ⁰が明らかにｉやｆ 

に依存しない定数なので,これは, 

求める電荷の普遍性:ｅ_i＝(定数)×ｅ_i⁰＝(定数)×ｅ⁰ｑ_iを 

証明しています。
 

この証明法のいいところは物理的粒子:|ｉ＞,|ｆ＞が上でＱ_Ｂ 

が消えることを用いたステップです。
 

＜ｆ||Ｑ_Ｂ,ｃ^_μ}|ｉ＞＝0は複雑なＷＴ恒等式に埋もれた 

必要な情報を非常に簡潔に取り出していることに相当します。
 

また,QEDの場合でも,もちろん上の証明が成立しています。
 

その場合は,単にＳＵ(2)部分を消去し,Ｕ(1)部分を残せば 

いいです。(※つまり,ｇ＝0,Ｊ^ａ=1,2,3_μ＝0,かつ, 

ｇ’→ｅ⁰,Ｊ⁰_μ→ｊ_μ＝ψ~γ_μψとすればいいです。)
 

そうすれば, 

∂^νＦ_νμ＝ｅ⁰(Ｊ³_μ＋Ｊ⁰_μ)＋{Ｑ_Ｂ,Ｄ_μｃ^_μ}は,通常の 

QEDのMaxwell方程式:∂^νＦ_νμ＝ｅ⁰ｊ_μ＋∂_μＢ, 

(Ｆ_νμ＝∂_νＡ_μ－∂_μＡ_μ,Ｂ＝{Ｑ_Ｂ,ｃ~})となり,この場合, 

上で問題にした零質量粒子βはＮＬ場:Ｂです。
 

容易にわかるように∂^νＦ_νμはＢをＺ₃∂_μＢ,だけ含むため,

ｅ⁰ｊ_μはＢを(Ｚ₃－1)∂_μＢだけ含み,したがってからωを 

求めることができます。 

すなわち,QEDの場合,(1－ｅ⁰ω)Ｚ₃＝1,ｅ⁰ω＝1－Ｚ₃^-1 

です。このQEDの場合には,次の漸近式: 

Ｆ_νμ(ｘ)→Ｙ{∂_νＡ^ａｓ_μ(ｘ)－∂_μＡ^ａｓ_ν(ｘ)}＋.. 

において,Ｙ＝Ｚ₃^1/2なので, 

ｅ_fi＝{Ｙ(1-ｅ⁰ω)}^-1δ_fiｅ⁰ｑ_iはｅ_fi＝ｑ_iδ_fiＺ₃^1/2ｅ⁰ 

となるわけです。
 

最後に,上の証明は荷電粒子:|ｉ＞,|ｆ＞がLagrangian 

に現われる素な場である,ということを全く仮定してない点に

注意します。
 

それ故,|ｉ＞や|ｆ＞は,クォーク３体結合状態である陽子 

でもよく,その光子結合定数ｅ_陽子が|ｅ_電子|と一致すること 

を証明しています。第６章の「対称性の自発的破れ」の項目 

はこれで終わりです。
 

そこで,今回はここまでです。
 

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論(Ⅱ)」 

(培風館) 

訃報です。。

※入院中につき,まとレスです。

私は５/30日に右足の指２本切断手術予定で医者に入院２カ月コースと言われました。自宅ではドコモ光で自宅室内のＷｉＦｉしか使えないので,入院中のブログは休みにしようと思っていたのですが病室のWiFiが使えたので,とりあえずアクセスしました。

5/16日私が入院したと同時に大物芸能人３人の相次ぐ訃報が入りました。

　西城秀樹さん。星由里子さん。朝丘雪路さんです。

まず,5/16日に西城秀樹さんが急性心不全で亡くなられました。

享年63歳。まだ若いです。

　　

いわずと知れた新御三家、、野口五郎,西城秀樹,郷ひろみの一員で1955年生まれ,,１９７０年代の歌謡曲ブームに新スタイルを導入し,特に「ＹＭＣＡ」は大ヒットでした。

役者としても小林亜星の「寺内寛太郎一家」で樹稀樹林や浅田美代子らと共演、。大立ち回りは毎回楽しみでした。カレーのコマーシャルといい私より５歳若くちょうど東京に就職したころ全盛期で私も応援してました。

　脳梗塞を2003年,2011年の２度発症しても頑張ってる姿はカッコよかったです。結局,血栓性の病気らしく,若いのに脳梗塞に心筋梗塞や不整脈系の心臓病を併発したのは不運でした。

ご冥福をお祈りします。合掌！！

次に若大将＝加山雄三の永遠のマドンナ。。女優の星由里子さんが16日に心房細動および肺がんが原因で天に召されました。享年７４歳でした、

ニュース　→　女優の星由里子さん肺がんで死去　74歳

長年,私の住んでいた巣鴨1番街でスナック「若大将」を開いていた私より４歳年下の友人がいます。長崎出身の彼は若い時から加山雄三ファンで若大将シリーズが大好きだったので「若大将」をやっていたのでした。残念ながら店は立ち退きで数年前なくなりましたが友人として付き合っています。

昨日お見舞いに来ましたが星由里子さんんの訃報を嘆いていました。

加山雄三,星由里子,田中邦衛の映画、、私の趣味とは少し違いますがファンではありました。

ご冥福をお祈りします。合掌！！

そして昭和の大女優:朝丘雪路さんがアルツハイマー性認知症が原因で４月27日に亡くなられていたことがわかりました。

享年82歳でした。

NHKニュース　→　朝丘雪路さん死去

この方も今さらどうこう言わなくてもだれにも愛され,多士済々の宝塚出身のお嬢様女優でした。

　そして,テレビ創世期の１１ＰＭ(イレブンピーエム)で大橋巨泉の相手役で天然キャラの元祖でした。５歳年下の津川雅彦と結婚45年でした。

長門裕之と南田洋子といい,この兄弟は大女優を女房にしてやがて妻が認知症になって先に亡くなることまで共通です。基本的に２人とも奥様の介護ができる優しい旦那様であったのは幸運でした。

ご冥福をお祈りします。合掌！！

そして芸能人でｊはないですが毎日新聞編集委員の岸井成格(しげただ)さんが15日未明肺線がんのため亡くなられたそうです。享年７３歳でした。。

ニュース→　岸井成格さん死去

ＴＢＳ日曜番組の「サンデーモーニング」のコメンテーｔクァーとして知ってるだけですがとても共感できる人でした。

ご冥福をお祈りします。合掌！！

また入院します。

2,,3日前から足首の傷が腫れて熱があり自宅で点滴中ですが,感染症で危ないので5月16日朝に本郷の順天堂医院に入院予定です。　ではまた。。。

超直接民主制(コンピュート議会)

表題だけでわかるでしょう。

誰でも考えるような思い付き構想です。

代議員(選挙)不要,。いかなる法案もスマホ(携帯)1つで全員投票。。結果は即時集計で世論がそのまま反映されます。

昔は不可能だった直接投票と瞬時集計。。いまならできそう。。

プラトンの絶対専制「哲人政治」の対極にあるようなモノでしょうか。。

ＰＳ：南北朝鮮。。アリの１穴か？ドミノ倒しか？ベルリン壁再来期待。

南北の人民が自由往来できさえすれば。。あとはなし崩し

TOKIOの山口くん　かわいそう。。

人気商売は大変ですね。。小出恵介くん。ベッキーや極楽,トンボの山本くん。。小室ちゃん。。。etc.

他人の[不幸は蜜の味？？,週刊誌のメシのタネ？？