気分転換!!頭の体操
8月16日に4回目の手術:傷の植皮手術が終わり,うまく定着
すれば、あと半月程度で退院できると読んでいます。
入院は完全看護なので楽は楽なのですが糖尿病で3度の
薄味の病院食とお茶以外は口にできないのはストレスです。
退院したらチョコレートやアイス,カツ丼やインスタントの
焼きそばやヌードルにスシとか,フ健康でも美味なものを
食べたいとか妄想しています。
これらをたまに食べないと元気でないし頭も働きません。
あまりにも退屈なのでネットで国際数学]オリンピックの過去
問題でも解いてみました。気分転換。。頭の体操です。
[問]正の実数a2,a3,..an(n≧3)があってa2,a3,..an=1
が満たされているとき,次の不等式が成立することを証明せよ。
(a2+1)2(a3,+1)3..(an+1)n>nn
[解答]有名な「相加平均は相乗平均より大きい」という定理
を利用します。
これは「正の実数x1,x2,..xm(m≧2)があるとき,
常に(x1+x2+..+xm)/m≧(x1x2..xm)1/mが成立する。
ただし,等号はx1=x2=..xmのときに限り成立する」
というものです。
そこで,まず,(a2+1)/2≧√a2=a21/2,
それ故,(a2+1)2≧22a2です。
同様に(a3+1)/3=(a3+1/2+1/2)/3≧(a3/4)1/3
ですから,(a3+1)3≧(33/22)a3です。
以下,帰納的に,k=2,3,..nについて,
(ak+1)k≧{kk/(k-1)k-1}akを得ます。
そこで,これらをすべて左辺は左辺同士,右辺は
右辺同同士掛け合わせると,
(a2+1)2(a3+1)3..(an+1)n≧nn(a2a3..an)
が得られます。
仮定によりa2,a3,..an=1でしたから
(a2+1)2(a3+1)3..(an+1)n>nnが示されました。
何故なら等号はa2=1,a3=1/2,,.an=1/nでかつ,
a2,a3,..an=1の場合ですがこれは不可能です。
(終わり)
他にも問題を解きましたがまだ原稿書きは
体がきつくいのでここまでです。
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