記事リバイバル⑧-2(原子核のα崩壊の理論[Ⅱ])

※続きの再掲載リバイバル記事です。やはり,HTMLではなくテキストを編集し直すと文字サイズなどが化けてしまいがちです。。

以前,ときどき,「お前の記事は参考文献と書いてるけど実は,その参考書の丸写しに過ぎないじゃないか。。」との批判めいたコメントがありましたが,その本を読み丸写しだとわかる程度の方であれば別に私の記事を読む必要はないでしょう。

私の勉強法は坊主の写経のごとくノートに書き写しながら(外国語なら翻訳して),躓いて理解できないときは自分なりに行間を埋めてゆくというモノで,その履歴ノートを「自己満足的に」ブログ＝日記としてまとめたツモリの備忘録であり。。。他者を啓蒙してあげようとかの教師的な意図は無いですから。。

元本を自力でスラスラ読める方なら私の拙い記事を参照して頂く必要は無いでしょうね。

自然科学の解説文というのは,オリジナルな発明や発見で無い限り,所詮はパクリにすぎないですから。。。※

さて前記事の続きです。 

　動径波動関数:ｕ(ｒ)(特にｕ_f(ｒ))を具体的に求めるために１次元のSchroedinger方程式に対してＷＫＢ近似(準古典近似)を行ないます。

　まず,波動方程式:[－ｈ_c²/(2ｍ)](ｄ²ｕ/ｄｒ²)＋[Ｖ(ｒ)－Ｅ]＝ 0 において,Ｖ(ｒ)＝Ｅを満たすｒをｒ_Ｅと名付けます。

　こうすれば,Ｖ(ｒ)は減少関数ですから,ｒ＜ｒ_ＥではＶ(ｒ)＞Ｅ,ｒ＞ｒ_ＥではＶ(ｒ)＜Ｅです。

　そこで,ｒ＜ｒ_Ｅ の部分を領域Ⅰとして,

　κ(ｒ)≡(1/ｈ_c)[2ｍ{Ｖ(ｒ)－Ｅ}]^1/2と定義すると,

　これはこの領域Ⅰでは常に正の実数で,

　波動方程式は,ｄ²ｕ/ｄｒ²－κ(ｒ)²＝0 です。

　同様にｒ＞ｒ_Ｅ の部分を領域Ⅱとして,

　ｋ(ｒ)＝(1/ｈ_c)[2ｍ{Ｅ－Ｖ(ｒ)}]^1/2と定義すると,

　これはこの領域Ⅱでは常に正の実数で,

　波動方程式は,ｄ²ｕ/ｄｒ²＋ｋ(ｒ)²＝0 です。

　さて,まず領域Ⅱ:謂ゆる振動的領域においてＷＫＢ近似を実行します。

　平面波の拡張として,ｕ(ｒ)≡ｅ^iＳ(ｒ)とおくことでＳ(ｒ)を定義すると

　波動方程式ｄ²ｕ/ｄｒ²－κ(ｒ)²＝0 は,

 (ｄＳ/ｄｒ)²＋iｄ²Ｓ/ｄｒ²＝－ｋ(ｒ)²となります。

　これを積分すると,形式的に

　Ｓ(ｒ)＝±∫[ｋ(ｒ')²＋iｄ²Ｓ/ｄｒ'²]^1/2ｄｒ'を得ます。

　ここで,第１近似としてこの式の右辺の被積分関数で項ｄ²Ｓ/ｄｒ²を無視すると,Ｓ(ｒ)～Ｓ₁(ｒ)＝±∫ｋ(ｒ')ｄｒ'となります。

　さらに,ｄ²Ｓ₁/ｄｒ²＝±ｄｋ/ｄｒですから,第２近似として

　Ｓ(ｒ)～Ｓ₂(ｒ)＝±∫[ｋ(ｒ')²±iｄｋ(ｒ')/ｄｒ']^1/2ｄｒ'

　(複号同順)を得ます。

　この第２近似のＳ₂(ｒ)をＳ(ｒ)と同一視する近似を採用します。

　これをＷＫＢ近似といいます。

　この近似が正当化されるためには,Ｓ₂(ｒ)～Ｓ₁(ｒ)が成立することが必要かつ十分な条件です。

　そのためには,|ｄｋ/ｄｒ|＜＜ｋ(ｒ)²であることが必要です。

　ｕ(ｒ)≡ｅ^iＳ(ｒ)を１次元の波と考えると,λ(ｒ)＝2π/ｋ(ｒ)は局所的な波長を意味しますから,この条件は|ｄλ/ｄｒ|＜＜1です。

　あるいは,Ｖ(ｒ)が有意な変化をする距離をｄとすると,λ(ｘ)＜＜ｄという条件に相当します。

　いずれにしろ,|ｄｋ/ｄｒ|＜＜ｋ(ｒ)²が散乱現象を"準古典近似＝ＷＫＢ近似で表現してもよい"ための条件になります。

　|ｄｋ/ｄｒ|＜＜ｋ²の条件下では,さらに

 [ｋ²±iｄｋ/ｄｒ]^1/2～ｋ[1±i(ｄｋ/ｄｒ)/(2ｋ²)]と近似できるので,

　Ｓ₂(ｒ)～±∫ｋ(ｒ')ｄｒ'＋(i/2)ln[ｋ(ｒ)] となります。

　以上から,振動的な領域ⅡでのＷＫＢ近似解は,

　ｕ_Ⅱ(ｒ)＝ｅ^iＳ(ｒ)＝[ｋ(ｒ)]^-1/2exp[±i∫ｋ(ｒ')ｄｒ']

　となります。

　ここで積分の下限をｒ_Ｅ に固定します。

　方程式が線形なので一般解は線形結合で表わすことができて,

　ｕ_Ⅱ(ｒ)＝Ａ_Ⅱ[ｋ(ｒ)]^-1/2cos [ξ₂(ｒ)＋φ]

と書くことができます。

　ξ₂(ｒ)は,ξ₂(ｒ)≡∫_rE^rｋ(ｒ')ｄｒ'で定義されています。

　次に指数的な領域Ⅰについて,やはりｕ(ｒ)≡ｅ^iＳ(ｒ)とおくことにより

　Ｓ(ｒ)を定義すると,

　ほとんど同様な方法によって,

　ｕ_Ⅰ(ｒ)＝ｅ^iＳ(ｒ)＝[κ(ｒ)]^-1/2exp[±∫κ(ｒ')ｄｒ']

　を得ることができます。

　そこで要求される条件として第Ⅰ領域でｒの減少する向きに減衰する解を取ると,ｕ_Ⅰ(ｒ)＝Ａ_Ⅰ[κ(ｒ)]^-1/2exp[－ξ₁(ｒ)]となります。

　ξ₁(ｒ)はξ₁(ｒ)≡∫_r^rEκ(ｒ')ｄｒ'で定義されています。

　そして,この近似が成立する条件も|ｄκ/ｄｒ|＜＜κ(ｒ)²です。

　あとはｕ_Ⅰ(ｒ)とｕ_Ⅱ(ｒ)がｒ＝ｒ_Ｅで滑らかに連結するように全ての不定定数を決めればいいわけです。

　ところが,ｒ＝ｒ_Ｅではκ＝ｋ＝0 なので,そもそもＷＫＢ近似が成立する条件は完全に崩れてしまうため,この近似では単に接続させるだけではまずいわけです。

　そこでこの折り返し部分で狭い領域Ⅲを考え,その領域では近似的にＶ(ｒ)を負の傾きを持ちｒ＝ｒ_ＥでＥを通る直線で近似します。

　つまり,Ｖ(ｒ)～Ｅ[1－ａ(ｒ－ｒ_Ｅ)] (ａ＞0 )ですね。

　これを解くにはベキ級数解を仮定して係数を比較する手法を用いる必要があるわけで,結局このＶ(ｒ)に対する動径波動関数ｕ(ｒ)として,厳密には特殊関数の１つであるある種のBessel関数が得られることになります。

　これを示すためには長たらしい計算の連鎖が必要なのですが,ここでは省略します。

　これは,先に直線近似を仮定しましたが,近似は別に直線でなければならないという明確な理由はなく他の近似をしてもかまわない,という意味で,"本質的でない特別な近似手法に関して真面目に論じる必要はないだろう。"と考えたのがその理由です。

　ＷＫＢ近似の本質は既に述べたと考えられるので,計算結果だけ書くと,

　規格化の曖昧さがあるので,Ａ_ⅠとＡ_Ⅱはその比だけが決まって

　Ａ_Ⅱ＝2Ａ_Ⅰ,また位相の方はφ＝－π/4 と決定されます。

　結果をまとめると,ｕ_Ⅰ(ｒ)＝Ａ[κ(ｒ)]^-1/2exp[－∫_r^rEκ(ｒ')ｄｒ'] (ｒ＜ｒ_Ｅ),ｕ_Ⅱ(ｒ)＝2Ａ[ｋ(ｒ)]^-1/2cos[∫_rE^rκｋ(ｒ')ｄｒ'－π/4] (ｒ＞ｒ_Ｅ)です。

　最後に,規格化条件∫|ｕ_f|²ｄｒ＝ρ_f(Ｅ)から,ｕ_f(ｒ)＝ｕ_Ⅱ(ｒ)として定数Ａを定めることにします。

　娘核の重心を中心として十分大きい半径Ｒ_∞を持つ球をとり,その球面上ではｕ_f(Ｒ_∞)＝ｕ_Ⅱ(Ｒ_∞)＝ 0 になると仮定します。

　ｒ≦Ｒ_∞ではＶ₂(ｒ) ～ 0 なので,ｋ(ｒ) ～ (2ｍＥ/ｈ_c)^1/2＝ｋ(一定),ｕ_f(ｒ) ～ 2Ａｋ^1/2cos[ｋ(ｒ－ｒ_Ｅ)－π/4]となります。

　束縛されていないα粒子のエネルギーＥはＥ＝ｈ_c²ｋ²/(2ｍ)ですから,

　状態密度はρ(Ｅ)＝ｄｎ/ｄＥ＝(ｄｎ/ｄｋ)(ｄｋ/ｄＥ)ｄＥ

　＝[ｍ/(ｈ_c²ｋ)](ｄｎ/ｄｋ)です。

　2Ａｋ^1/2cos(ｋＲ_∞＋δ)＝0 (ただしδ＝－ｋｒ_Ｅ－π/4 )より,

　ｋＲ_∞＋δ＝(ｎ＋1/2)π(ｎは整数)となるはずですから,

　ｄｎ/ｄｋ＝Ｒ_∞/πが得られ,ρ(Ｅ)＝(ｍＲ_∞)/(πｈ_c²ｋ)

　となります。

　そこで,∫_rE^R∞κ|ｕ_f|²ｄｒ＝ρ_f(Ｅ)で,

　ｕ_f(ｒ)＝2Ａｋ^1/2cos(ｋｒ＋δ),ρ_f(Ｅ)＝(ｍＲ_∞)/(πｈ_c²ｋ)

　を代入することから,結局,Ａ＝[ｍ/(2πｈ_c²)]^1/2が得られます。

　一方,ｕ_i(ｒ)の方はＶ₁(ｒ)＝－Ｖ₀(ｒ＜Ｒ),Ｖ₁(ｒ)＝Ｖ_Ｒ(ｒ≧Ｒ)から

　直接に解いて,ｕ_i(ｒ)＝Ｂsin(ｋ₀ｒ) (ｒ＜Ｒ),

　ｕ_i(ｒ)＝Ｃexp[－κ₀(ｒ－Ｒ)](ｒ≧Ｒ)

　で与えられます。

　ここで,ｋ₀＝(1/ｈ_c)[2ｍ(Ｅ＋Ｖ₀)]^1/2,および,

　κ₀＝(1/ｈ_c)[2ｍ(Ｖ_Ｒ－Ｅ)]^1/2です。

　定数Ｂ,Ｃについては,ｒ＝Ｒで滑らかに連結する条件と規格化条件から定まりますが,ここではそれを決めることは省略します。

　ｒ＝Ｒ 付近での動径波動関数として終状態:ｕ_f(ｒ)

　＝[ｍ/(2πｈ_c²)]^1/2[κ(ｒ)]^-1/2exp[－∫_r^rEκκ(ｒ')ｄｒ'](ｒ＜ｒ_Ｅ),

　始状態:ｕ_i(ｒ)

　＝Ｃ exp[－κ₀(ｒ－Ｒ)](ｒ≧Ｒ) の両方が得られました。

　これらを実際に,

ｗ＝[(2π/ｈ_c){ｈ_c²/(2ｍ)}²|(ｄｕ_f^*/ｄｒ)ｕ_i－ｕ_f^*(ｄｕ_i/ｄｒ)|²]_ｒ＝Ｒに代入してα崩壊の崩壊確率ｗを計算します。

　ここで,ｄｕ_f^*/ｄｒの計算に際して[κ(ｒ)]^-1/2のｒによる変動は指数関数の変動に比べごく小さいので,それを無視し,

κ(ｒ)としてκ(Ｒ)＝κ₀＝(1/ｈ_c)[2ｍ(Ｖ_Ｒ－Ｅ)]^1/2(一定)を用いることにします。

　このとき,ｗ＝Ｃ²ｈ_cκ₀Ｐ,Ｐ＝exp[－2∫κ(ｒ')ｄｒ']＝exp[－(2/ｈ_c)∫_R^rEκ{2ｍ(2Ｚｅ²/ｒ'－Ｅ)}^1/2ｄｒ']となります。

　右辺の積分は初等的に実行可能で,

　(2/ｈ_c)∫_R^rE{2ｍ(2Ｚｅ²/ｒ'－Ｅ)}^1/2ｄｒ'＝

[(32ｍＺ²ｅ⁴)/(ｈ²Ｅ)]^1/2{cos^-1(Ｒ/ｒ_Ｅ)－(Ｒ/ｒ_Ｅ)－(Ｒ/ｒ_Ｅ)²}^1/2}]

となります。

　ｒ_Ｅ＞＞Ｒなので,右辺の{cos^-1(Ｒ/ｒ_Ｅ)－(Ｒ/ｒ_Ｅ)－(Ｒ/ｒ_Ｅ)²}^1/2を[π/2－(Ｒ/ｒ_Ｅ)^1/2]で近似します。

2Ｚｅ²/ｒ_Ｅ＝Ｅより,ｒ_Ｅ＝2Ｚｅ²/Ｅですから,結局,

Ｐ＝exp[－{2πｅ²(2ｍ)^1/2/ｈ_c}(Ｚ/√Ｅ)＋(4ｅ√ｍ/ｈ_c)(ＺＲ)^1/2]

となります。

半減期と崩壊確率の関係は,

Ｔ_1/2＝ln2/ｗ＝ln2/(Ｃ²ｈ_cκ₀Ｐ)ですから,

logＴ_1/2＝－logＰ＋const となります。

これから,logＴ_1/2＝ａ[Ｚ/(√Ｅ)]＋ｂと書けることがわかります。

この式のパラメータは,ａ＝[2πｅ²(2ｍ)^1/2/ｈ_c](logｅ)＞0 etc.と陽に表わすこともできますから,結局「Geiger-Nuttallの法則」が理論的に示されたことになります。

参考文献；八木浩輔著「原子核と放射」(朝倉現代物理学講座）