記事リバイバル⑧の1(原子核のα崩壊の理論[Ⅰ])

※前回の記事リバイバル⑦とと前後しますが,「原子核のα崩壊」を量子論の「トンネル効果」と見なしてWKB近似を用いて解いたG.Gamow(ガモフ)の仕事を紹介した2006年の10/4と,10/5の過去記事を再掲載しておきます。※ 

原子番号が (Ｚ＋2)の放射性核のα崩壊による半減期を Ｔ_1/2とし,その崩壊で放出されるα粒子のエネルギーをＥとすると,これは 

　logＴ_1/2＝ａ[Ｚ/(√Ｅ)]＋ｂ　 

　という関係式でうまく表現されることが知られています。 

　　　　

(※α粒子はヘリウムの原子核:₂⁴Ｈｅなのでα崩壊により原子番号(Ｚ＋2)の放射性核になります。)

これはガイガーヌッタル(Geiger-Nittal)の法則と呼ばれています。

(なお,ここでのlogは常用対数であり自然対数lnではありません。) 

　このGeiger-Nuttallの法則を説明した有名なジョージ・ガモフ 

(George Gamow)のα崩壊の理論は,量子力学に特有のトンネル効果 

という現象を応用した理論です。
 

　これは,定常的な理論で説明されることも多いようですが, 

ここでは量子遷移を中心とした非定常的な理論とＷＫＢ近似に 

よって理論を展開したいと考えます。
 

(※注:ＷＫＢ近似とは,Wentzel,Kramers,Brillouinによる近似法で 

別名:準古典近似とも呼ばれています。※)
 

　まず,ｈをPlank定数とし,ｈ_c≡(ｈ/2π)とします。
 

　α崩壊は初期状態:|ｉ>＝ψ_iから終状態:|ｆ>＝ψ_fへの量子遷移であると考えて,崩壊過程に時間を含む摂動論を適用することにします。
 

　摂動論によれば,摂動HamiltonianをＨ'とするとき, 

　最低次の遷移確率ｗは,黄金律(Golden rule)として有名な式: 

　ｗ＝(2π/ｈ_c)|＜ｆ|Ｈ'|ｉ＞|²ρ_f(Ｅ)で与えられます。
 

　ここで,＜ｆ|Ｈ'|ｉ＞は＜ｆ|Ｈ'|ｉ＞≡∫ψ_f^*Ｈ'ψ_iｄ³ｘなる 

Ｈ'の行列要素で,ρ_f(Ｅ)は終状態ｆのエネルギー状態密度です。

　以下,簡単のため,α粒子の軌道角運動量がゼロのＳ波のみを 

考えることにします。
 

　すると定常状態の波動関数は動径ｒだけの関数になるので, 

　ψ(ｘ)＝[1/(4π)]^1/2ｕ(ｒ)/ｒと置くと規格化は, 

　１＝∫|ψ|²4πｒ²ｄｒ＝∫|ｕ|²ｄｒと書けます。

　そしてＨ'もｒだけの関数であるとすると, 

　＜ｆ|Ｈ'|ｉ＞＝∫ψ_f^*Ｈ'ψ_iｄ³ｘ＝∫ｕ_f^*Ｈ'ｕ_iｄｒ 

　と書けます。
 

　さらにｕ_iはそのままでｕ_fのみ, 

 ψ_f(ｘ)(ρ_f(Ｅ))^1/2＝[1/(4π)]^1/2ｕ_f(ｒ)/ｒのように, 

　∫|ｕ_f|²ｄｒ＝ρ_f(Ｅ)と規格化しておけば, 

　黄金律はｗ＝(2π/ｈ_c)|∫ｕ_f^*Ｈ'ｕ_iｄｒ|²と簡単になります。
 

　原子核の半径(有効レンジ)をＲとし,核力とクーロン斥力の合成されたポテンシャルＶ(ｒ)を,Ｖ(ｒ)＝Ｖ₁(ｒ)＝－Ｖ₀(ｒ≦Ｒ)；(Ｖ₀＞0), 

　Ｖ(ｒ)＝Ｖ₂(ｒ)＝2Ｚｅ²/ｒ(ｒ≧Ｒ)とモデル化します。 

　(ＭＫＳ単位では係数4πε₀が面倒なので,c.g.s.単位を取ります。)

"α粒子＝ヘリウム原子核"の質量をｍとすると,Schroedinger方程式は, 

　ｒの１次元方程式となって, 

　[－ｈ_c²/(2ｍ)](ｄ²ｕ/ｄｒ²)＋(Ｖ(ｒ)－Ｅ)＝0 です。
 

　これは,ｕ＝ｕ_i,Ｖ(ｒ)＝Ｖ₁(ｒ),Ｅ＝Ｅ_iと置けば, 

　ｒ≦Ｒにおける束縛状態ｕ_i(ｒ)の満たす方程式になり, 

　ｕ＝ｕ_f,Ｖ(ｒ)＝Ｖ₂(ｒ),Ｅ＝Ｅ_fと置けば, 

　ｒ≧Ｒにおける散乱状態ｕ_f(ｒ)の満たす方程式となります。
 

　そして,核力で束縛されている入射α粒子のクーロン障壁によって受ける摂動Ｈ'は明らかにＨ'(ｒ)＝Ｖ(ｒ)－Ｖ₁(ｒ)と書けます。
 

　これはｒ≦Ｒではゼロであり,ｒ≧Ｒでは(Ｖ₂(ｒ)－Ｖ₁(ｒ)) 

ですから,第１近似の崩壊確率は 

ｗ＝(2π/ｈ_c)|∫_R^∞ｕ_f^*(Ｖ₂－Ｖ₁)ｕ_iｄｒ|²  

　となります。
 

　この崩壊確率ｗを求める式の積分で,ＶはSchroedinger方程式 

から,Ｖ_a(ｒ)ｕ_a＝Ｅ_aｕ_a＋[ｈ_c²/(2ｍ)](ｄ²ｕ_a/ｄｒ²) 

(ａ＝ｉ,f or 1,2 )となるので,これを代入します。
 

　Ｅ_f＝Ｅ_iであることに注意し,積分を行う際にｕのｒによる２階導関数を部分積分によって消去して,ｒ＝∞ではｕもｄｕ/ｄｒも消えることを用いると次の表式が得られます。
 

　すなわち,崩壊確率ｗ＝(2π/ｈ_c)|∫_R^∞ｕ_f^*(Ｖ₂－Ｖ₁)ｕ_iｄｒ|²は, 

ｗ＝[(2π/ｈ_c){ｈ_c²/(2ｍ)}²|(ｄｕ_f^*/ｄｒ)ｕ_i－ｕ_f^*(ｄｕ_i/ｄｒ)|²]_ｒ＝Ｒと表現されます。
 

　このことから,ｕ_i(ｒ)とｕ_f(ｒ)の動径ｒが核半径Ｒ付近にある,

つまりｒ～Ｒのときのそれらの関数形を求めることが非常に重要になります。 (つづく)