くりこみ理論(次元正則化)(2)

くりこみ理論(次元正則化)の 続きです。
 

４次元時空のテンソル添字で縮約されず残っているものは, 

そのまま.抽象的にｎ次元時空の添字とみなしておきます。
 

計量テンソルｇ^μνもそうです。縮約された場合はｎ次元の 

内積となり,特にｇ^μ_μ＝ｎ..(14)　です。
 

ただし,完全反対称テンソルは添字の個数が次元数ｎに等しい 

場合だけ定義できるものなので,一般の複素数ｎに自然に拡張 

することはできません。そこで４次元のε^μνλσはｎ次元時空 

でも添字(μ,ν,λ.ρ)が(0,1.2,3)の置換:σになってるとき 

のみゼロでなく,sgnσの値をとる定数テンソルであると定義 

しておきます。
 

Diracスピノルの複素ｎ次元への拡張にはかなり任意性が 

ありますがここでは任意の偶数次元ｎ＝2ｋの場合に拡張し 

2^n/2成分の既約ＳＯ(1.ｎ－1)スピノルを考えます。
 

(※ｎ＝2ｋのとき,ＳＯ(ｎ)はｋ個の２次元スピノル空間に 

分解されます。全体は２次元空間の直積です。例えばｎ＝6 

ｋ＝3での基底は,[1.0]^t×[1.0]^t×[1.0]^t etc.であり,合計 

で８＝2³個です。※)
 

このスピノルで定義されたガンマ行列は, 

{γ^μ,γ^ν}_＋＝2ｇ^μν.(15)を満たす抽象的代数量であり,その 

トレース(対角和)はTr(γ^μγ^ν)_＋＝ｇ^μνTr(1)＝ｇ^μν2^ｎ/2(16) 

という規約になります。
 

(※このTr(1)＝2^ｎ/2という式について深く考える必要はなく 

ｎ＝4のときTr(1)＝4となるようなｎの連続関数であれば 

いいです。※)
 

ここで,唯一の問題となるのは偶数ｎ＝2ｋ次元のγ₅＝γ⁵の 

行列です。これは,Γ₅＝i^ｋ－1γ⁰γ¹..γ^ｎ－1 

＝{i^ｋ－1(－)^ｎ－1/ｎ!}ε_μ1μ2..μnγ^μ1γ^μ2..γ^μn(17)であり, 

完全反対称テンソルε_μ1μ2..μnと同様 .複素ｎ次元に拡張する 

ことはできません。そこで4次元のε_μνλρの場合と同じく, 

γ₅＝iγ⁰γ¹γ²γ³.＝{(－i)/4!}ε_μνλργ^μγ^νγ^λγ^ρ(18)で 

定義される決まった行列と考えることにします。
 

こうするとγ⁵はγ⁰,γ¹,γ²,γ³とは反可換ですが他のγ^μとは 

可換という面倒な性質を持つことになります。
 

γ₅やε_μνλρを複素ｎ次元に自然に拡張できないので,もしも 

ゲージ変換がγ₅やε_μνλρを含む場合,次元正則化でもゲージ 

不変性を壊します。これが後述するようなアノマリー(量子異常) 

に関係しています。
 

§7.2 1-loop計算と乗法的くりこみ 

本節では紫外発散がどのように現われるか？を見るため,具体的 

に１つの簡単な模型をとって1^loop計算を実行します。 

合わせて,現われる発散をどう処理するか？ 謂わゆる乗法的 

くりこみ(multiplicative renormalization)の手続きについて 

説明します。
 

簡単な模型として,アイソスピンが１のスカラー場: 

φ＝(φ¹,φ²,φ³)^Tと,アイソスピンが1/2のDirac場: 

ψ＝(ψ₁,ψ₂)^Tから成る湯川相互作用系:Lagrangian密度 

がＬ＝(1/2)(∂^μφ∂_μφ－μ²φ²) 

＋ψ~(γ^μ∂_μ－ｍ－ｇφτ)ψ－(λ/8)(φ²)² 

で与えられるものを考えることにします。
 

Feynmanグラフにおいて,φの伝播関数は点線でψの伝播関数は 

矢印付きの実線で表わすことにします。
 

※下の図7.1,図7.2はFermion(Dirac場)の自己エネルギー 

のグラフです。

    図7.2では,左辺のFermionの２点Green関数(伝播関数): 

 iＳ_{F'(ｘ)＝＜0|Ｔ[ψ(ｘ)ψ(0)]|0＞には図で灰色のblobで}  

示した１PI(１粒子既約)なグラフ全体が図7.2右辺のように  

繰り返しの形で効きます。

しかし,運動量表示での左辺の総和:iＳ_F'(ｐ)は,図7.1の左辺 

では,上述の自己エネルギーを図7.2と同じく灰色blobで 

示していますが,これを－iΣ(ｐ)と記せば,図7.2が簡単に 

表現されて,iＳ_F'(ｐ)＝i(ｐ－ｍ)^-1 

＋{i(ｐ－ｍ)^-1}{－iΣ(ｐ)}{i(ｐ－ｍ)^-1} 

＋{i(ｐ－ｍ)^-1}{－iΣ(ｐ)} {i(ｐ－ｍ)^-1}{－iΣ(ｐ)}

{i(ｐ－ｍ)^-1}＋..＝i{ｐ－ｍ－Σ(ｐ)}^-1＝i{Γ_ψ⁽²⁾(ｐ)}^-1

となります。
 

※(注2-1):最右辺のΓ_ψ⁽²⁾(ｐ)はψによる２点1ＰＩ頂点関数を 

示す記号です。頂点関数は２点の場合,特別に2点Ｇreen関数の 

逆数に一致します。 

つまり.Γ_ψ⁽²⁾(ｐ)＝－{iＳ_F(ｐ)}^-1＋{－iΣ(ｐ)} 

＝i{ｐ－ｍ－Σ(ｐ)} 

です。
 

久しぶりの記事で,これらの意味を再認識するために, 

少々長たらしいですが2017年９/７の過去記事: 

「対称性の自発的破れと南部-Goldston粒子(3)」から 

「ゲージ場の量子論」の第４章摂動論(経路積分)の 

有効作用・有効ポテンシャルと頂点関数の定義や, 

それらの関係について記した(注3-1)を再掲します。
 

(※以下再掲載記事開始)
 

※(注3-1):有効ポテンシャルの定義,意味については, 

本ブログの2014年9/21から2015年4/21までにアップした 

記事:「ゲージ場の量子論から(その1)(経路積分と摂動論)」 

(1)～(12)において摂動論を記述した後,有効作用,および, 

有効ポテンシャルの項に入る予定でしたが,その直前で中断 

して,このシリーズ再開後は間の項目を飛ばして 

「ゲージ場の量子論から(その1)(経路積分と摂動論)(15)」 

に進んでいました。
 

そこで,この記事シリーズから,適宜,必要事項を引用し,これに 

追加して説明します。
 

便宜上,(12)のGrassmann 代数の知見と面倒な考察を要する 

Fermion場の話は考慮せず,(1) ～ (11)のBoson場のみから成る 

系で考えます。
 

まず,時間ｔを含むHeisenberg表示の初期(始)状態,終状態を, 

それぞれ,|φ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞,|φ_Ｆ,ｔ_Ｆ|＞として,その遷移振幅を, 

位相空間の積分:∫∫ＤπＤφによる経路積分で表わすと, 

＜φ_Ｆ,ｔ_Ｆ|φ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞

＝∫∫_{φ(ｘ,ｔＩ)＝φＩ(ｘ)}^{φ(ｘ,ｔＦ)＝φＦ(ｘ)}ＤπＤφ 

×exp(i∫_ｔＩ^ｔＦｄ^４ｘ[π(ｘ)φ_ｄ(ｘ)－Ｈ(π(ｘ),φ(ｘ))]) 

となります。
 

この式の右辺から,先に∫Ｄπだけを実行して,配位空間の積分: 

∫Ｄφのみによる積分表式にしたものは,Ｎを比例定数として, 

＜φ_Ｆ,ｔ_Ｆ|φ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞ 

＝Ｎ∫_{φ(ｘ,ｔＩ)＝φＩ(ｘ)}^{φ(ｘ,ｔＦ)＝φＦ(ｘ)}Ｄφ 

×exp[i∫_ｔＩ^ｔＦｄ^４ｘＬ(φ,∂φ)]　です。
 

次に,特にGreen関数の経路積分を考えます。
 

必ずしもφの固有状態ではない一般の状態を想定し初期状態 

を|Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞,終状態を,|:Ψ_Ｆ,ｔ_F＞として, 

一般化されたＮ点Green関数を, 

Ｇ^(Ｎ)(ｘ_１,..,ｘ_Ｎ; Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ;Ψ_Ｆ,ｔ_F) 

≡＜Ψ_Ｆ,ｔ_F|Ｔ[φ(ｘ_１)..φ(ｘ_Ｎ)]|Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞ 

/＜Ψ_Ｆ,ｔ_F|Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞ 

＝＜Ψ_Ｆ,|exp(－iＨｔ_F)Ｔ[φ(ｘ_１).φ(ｘ_Ｎ)exp(iＨｔ_Ｉ)]|Ψ_Ｉ＞ 

/＜Ψ_Ｆ|exp{－iＨ(ｔ_F－ｔ_Ｉ)}|Ψ_Ｉ＞　によって,定義します。
 

これを変形して,最終的にGreen関数の経路積分式として. 

Ｇ^(Ｎ)(ｘ_１,..,ｘ_Ｎ;Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ;Ψ_Ｆ,ｔ_F) 

＝Ｎ_ＦＩ∫ＤφΨ_Ｆ^＊[φ(ｘ_Ｆ)] Ψ_Ｉ[φ(ｘ_Ｆ)]φ(ｘ_１)..φ(ｘ_Ｎ) 

×exp[i∫_ｔＩ^ｔＦｄ^４ｘＬ(φ,∂φ)]　を得ます。
 

ここで,一般化されたGreen関数の生成汎関数:Ｚ_ＦＩ[Ｊ]なるもの 

を次のように定義して導入します。
 

すなわち,Ｚ_ＦＩ[Ｊ] 

＝＜Ψ_Ｆ,ｔ_F||Ｔexp{i∫ｄ^４ｘＪ(ｘ)φ(ｘ)}| Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞ 

/＜Ψ_Ｆ,ｔ_F|Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞　です。
 

Ｚ_ＦＩ[Ｊ]をＪでＮ階微分してＪ＝0 と置いたものが一般化された 

Ｎ点Green関数になります。 

つまり,[δ^ＮＺ_ＦＩ[Ｊ]/δＪ(ｘ_１)..δＪ(ｘ_Ｎ)]_{ｊＪ(ｘ１)＝..Ｊ(ｘＮ)＝0} 

＝Ｇ^(Ｎ)(ｘ_１,..,ｘ_Ｎ; Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ;Ψ_Ｆ,ｔ_F)　です。
 

実は,これが,Ｚ_ＦＩ[Ｊ]がＧ^(Ｎ)(ｘ_１,..,ｘ_Ｎ; Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ;Ψ_Ｆ,ｔ_F) 

の生成汎関数である,という意味です。
 

そして,一般化されたGreen関数は,特に初期状態:|Ψ_Ｉ＞, 

終状態:|Ψ_Ｆ＞が共に系の真空状態 |0＞であるとしたとき, 

通常の意味のＮ点Green関数; 

Ｇ^(Ｎ)(ｘ_１,..,ｘ_Ｎ)＝＜0|Ｔ(φ(ｘ_１)..φ(ｘ_Ｎ))0＞ 

に一致します。
 

さて,話は重複するかもしれませんが, 

相互作用:Ｌ_int(φ)が存在して,Lagrangian密度Ｌが, 

Ｌ(φ,∂φ)＝(1/2)∂_μφ∂^μφ－(1/2)μ²φ²(ｘ)＋Ｌ_int(φ) 

で与えられる実スカラー粒子の場:φ(ｘ)を想定します。
 

この相互作用しているスカラー粒子のＮ点Green関数Ｇ^(Ｎ)は, 

Ｇ^(Ｎ)(ｘ₁,..,ｘ_N)＝＜0|Ｔ(φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)..φ(ｘ_Ｎ)|0＞ 

で与えられますが,これの生成汎関数を特にＺ[Ｊ]とします。
 

Ｚ[Ｊ]は,配位空間の経路積分によって 

Ｚ[Ｊ]＝Ｎ∫Ｄφ exp[i∫ｄ^４ｘ{(－1/2)φ(□＋μ²)φ＋Ｌ_int(φ)

＋Ｊφ}] 

＝Ｎ∫Ｄφ exp[i{(－1/2)φ*(□＋μ²)φ＋Ｊ*φ}]と書けます。
 

右辺の最後の式では,煩わしい∫ｄ^４ｘという表現を省略するため, 

時空座標ｘの任意関数φIｘ),ψ(ｘ)に対して,内積とよばれる 

演算:φ*ψを,φ*ψ＝∫ｄ^４ｘφ(ｘ)ψ(ｘ)＝ψ*φによって定義 

導入しました。
 

Ｚ[Ｊ]は,結局,Ｚ[Ｊ]＝＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)＋Ｊ*φ}]＞₀ 

/＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}＞₀　なる式に表わせることが 

わかります。
 

ただし,任意のφの汎関数Ｆ(φ)について, 

＜Ｆ(φ)＞₀＝(exp{(1/2)(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)}*Ｆ(φ))_φ=0 

と定義しました。
 

＜Ｆ(φ)＞₀の意味はＦ(φ)に左から微分演算子: 

exp{(1/2)(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)} 

＝Σ_k=0^∞(1/ｋ！)(1/2)^k(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)}^ｋを作用させ 

最後にφをゼロと置く操作です。
 

これは,＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)＋Ｊ*φ}]＞₀では, 

級数展開Σ_k=0^∞(1/ｋ！) )1/2)^ｋ(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)}^ｋの 

１次ごとにexp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}]からφ(ｘ)φ(ｙ)のような 

φの対を１つ取り除き,代わりに自由場のFeynman伝播関数: 

iΔ_Ｆ(ｘ－ｙ)＝＜0|ＴＴ(φ_in(ｘ)φ_in(ｙ)|0＞ で置き換える 

という操作を示しています。
 

そして,係数(1/2)はｘとｙの交換の自由度２で割ることを意味  

します。また,自由場のFeynman伝播関数は,Fourier積分の形で  

Δ_Ｆ(ｘ－ｙ)＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4[exp{－iｋ(ｘ―ｙ)} 

/(ｋ²－ｍ²＋iε)] なるものです。
 

生成関数における指数関数の級数展開は,  

Ｚ[Ｊ]＝＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)＋Ｊ*φ}]＞₀  

/＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}＞₀

＝Σ_ｍ=0^∞(1/ｍ！)∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ^４ｙ_ｍ  

＜iＬ_int(ｙ₁).. iＬ_int(ｙ_ｍ)exp(iＪ*φ)＞₀/(分母) 

となります。
 

右辺の級数展開は相互作用Ｌ_intがＬに比べて,微小な摂動で 

あると考えたときの摂動展開級数そのものです。
 

(分母)＝＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}＞₀の効果については,遷移 

要素の摂動計算に考慮すべきでないと考えられる真空泡グラフを 

(分子)から相殺して除去する操作に関わるものなので,本質的寄与 

をする(分子)の各項について具体的計算方法を考えます。
 

具体的には,＜　＞₀は.まず.φの２個の積の場合,明らかに, 

＜φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)＞₀＝iΔ_Ｆ(ｘ₁－ｘ₂)＝[φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)]  

です。便宜上,iΔ_Ｆ(ｘ₁－ｘ₂)を,Symbolicに[φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)] 

なる記号で表現しました。このように,φ(ｘ₁),φ(ｘ₂)の組を 

Feynman伝播関数 iΔ_Ｆ(ｘ₁－ｘ₂)で置き換える操作を縮約 

(contraction)と呼びます。
 

以下.具体的に,経路積分による定式化を整理すれば,Feynman 

グラフによる通常の伝統的摂動論の計算法に一致することが 

示せることを記述しています。
 

Fermionへの一般化もできますが,今回これは省略します。
 

ここまでは既に記述した過去シリーズ記事の(1)～(11)の 

内容です。
 

ここから今回本題の「有効作用と有効ポテンシャル,」の 

話を追加します。
 

まず,Green関数の生成汎関数は, 

Ｚ[Ｊ]＝＜0|Ｔexp(iＪ＊φ)]|0＞ 

＝＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)＋Ｊ*φ}]＞₀ 

/＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}＞₀ 

­­＝Ｎ∫Ｄφexp[i{Ｓ[φ]＋Ｊφ}]　 

と表現されます。
 

このとき,Ｚ[Ｊ]＝exp{iＷ[Ｊ]}によって,Ｗ[Ｊ]を定義します。
 

Ｐをproper連結グラフ(固有連結グラフ)とすると, 

Ｚ[Ｊ]＝expＰと表わせるので,iＷ[Ｊ]は連結固有Green関数 

の生成汎関数です。
 

一方,Ｗ[Ｊ]＝Ｓ[φ]＋Ｊφと表わしていますが,具体的には, 

Ｊφ＝∫ｄ⁴ｘΣ_iＪ_iφ_i(ｘ),であり,Ｓ[φ]は作用積分の形で 

Ｓ[φ]＝∫ｄ⁴ｘＬ(φ(ｘ),∂φ(ｘ))　です。
 

ここで,有効作用;Γ[φ]をＷ[Ｊ]から.汎関数のLegebdre変換: 

Γ[φ]＝Ｗ[Ｊ]－Ｊφ　によって定義します。
 

ところで,δＺ/δＪ_i 

＝(iδＷ/δＪ_i)Ｚ＝i＜0|φ_i(ｘ)Ｔexp(iＪ＊φ)]|0＞より, 

φ~_i(ｘ)＝(δＷ/δＪ_i) 

＝＜0|φ_ｉ(ｘ)Ｔexp(iＪ＊φ)]|0＞/Ｚとおくと, 

φ~_i(ｘ)＝(δＷ/δＪ_i)は,Ｊ(ｘ)という外場が存在する 

ときの場:φ_ｉ(ｘ)の期待値を意味することがわかります。
 

Γ[φ]をＪ_ｉ(ｘ)でなく,上記の期待値:φ~_i(ｘ)の関数: 

Γ[φ~]と考えると,Ｊ_ｉ(ｘ)＝δΓ[φ~]/δφ~_i(ｘ)です。
 

(※注:何故なら.ＷはＪの関数と見ると,Ｗのφ~_iによる微分は

δＷ/δφ~_i＝Σ_k(δＪ_ｋ/δφ~_i)(δＷ/δＪ_ｋ) 

＝Σ_k (δＪ_ｋ/δφ~_i)φ~_ｋであり, 

一方,δ(Ｊφ)/δφ~_i＝(δＪ_ｋ/δφ~_i)φ~_ｋ＋Ｊ_ｉなので, 

δΓ/δφ_i＝δＷ/δφ~_i－δ(Ｊφ)/δφ~_i＝－Ｊ_i 

となるからです。(注終わり※)
 

有効作用:Γ[φ~]が重要な理由の1つは,これが1ＰＩ 

(１粒子既約)な頂点関数:Γ^(ｎ)の生成汎関数になっている点: 

つまり,Γ[φ~]＝Σ_n=0^∞(1/ｎ!)∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ_n 

φ~_i1(ｘ₁)..φ~_in(ｘ_n)Γ^(ｎ)i_1..in(ｘ₁,..ｘ_n) 

となっている点です。
 

ここで,Ｗ[Ｊ]に効くグラフで伝播関数の線を1本切ってグラフ 

が２つの部分に分離できるとき,その線を関節線と呼びます。 

伝播関数の線が外線のそれであれば常に関節線ですが,外線以外 

に関節線を持たないグラフを1ＰＩ(１粒子既約)なグラフ,内線 

にも関節線があるそれを１粒子可約なグラフと呼びます。
 

結局,Γ[φ~]は量子効果であるループグラフを除く単純な 

Treeレベルでは,ｈ_cをPlanck定数としたＯ(ｈ_c)を除く近似 

で古典的作用積分:Ｓ[φ~]＝∫ｄ⁴ｘＬ(φ~,∂φ~)に一致します。
 

この有効作用の物理歴意味をさらによく理解すべく,より特殊な 

場合を考えます。
 

外場Ｊと期待値φ~が共に時間ｘ⁰＝ｔに依存しない場合を 

考えると,この場合.時間並進不変性があるのでＷ[Ｊ],Γ[φ~] 

の∫ｄ⁴ｘ表現から,無限大の時間因子:  

Ｔ＝∫ｄｘ⁰がくくり出せます。
 

すなわち,Ｗ[Ｊ(ｘ)＝Ｊ(ｘ)] ＝－ｗ[Ｊ(ｘ)]∫ｄｘ⁰, 

Γ[φ~(ｘ)＝φ~(ｘ)]＝－Ｅ[φ~(ｘ)]∫ｄｘ⁰です。
 

さらに,Ｊとφ~が時空座標ｘに完全に依存しない定数の場合. 

Ｗ[Ｊ(ｘ)＝Ｊ]＝ ＝－ｗ[Ｊ]∫ｄ⁴ｘ, 

Γ[φ~(ｘ)＝φ~]＝－Ｖ[φ~]∫ｄ⁴ｘ です。
 

最後の,Ｖ[φ~]はφ~の関数であり,有効ポテンシャルと 

呼ばれます。
 

３次元空間のｘの関数:φ~(ｘ)の汎関数:Ｅ[φ~(ｘ)]には 

決まった名称はありませんが,Ｖ[φ~]にならって 

有効エネルギーと呼んでおきます。
 

Ｊとφ~がｔ＝ｘ⁰に依存しないときを考えると, 

Ｚ[Ｊ]＝exp{iＷ[Ｊ]}＝exp{－iｗ[Ｊ]Ｔ} 

＝＜0| exp{－iＨ[Ｊ]Ｔ}｜0＞,ただし,Ｈ[Ｊ] 

＝Ｈ－∫ｄ³ｘＪ(ｘ)φ~(ｘ)で, 

Ｈはエネルギーを意味するHamiltonianです。
 

つまり,期待値の関数としては, 

Ｈ＝∫ｄ³ｘ{π~φ~－Ｌ(φ~,∂φ~)}, 

＝－∫ｄ³ｘＬ(φ~,∂φ~)＝－Ｌです。
 

何故なら,φ~がｔ＝ｘ⁰に依存しないため, 

共役:π~＝∂L/∂(∂₀φ~)＝∂₀φ~ 

がゼロだからです。
 

そして,真空:|0＞はエネルギーＨの最低固有値状態 

(基底状態)でしたが,ここでも－iε処法を採用していると 

すれば,Ｔ＝∫ｄｘ⁰＝∞ の極限では,事実上, 

Ｈ[Ｊ]＝Ｈ－∫ｄ³ｘＪ(ｘ)φ~(ｘ)の基底状態:|0_Ｊ＞ 

のみがexp{－iｗ[Ｊ]Ｔ}＝＜0| exp{－iＨ[Ｊ]Ｔ}0＞ 

の|0＞に効きます。
 

それ故,Ｔ → ∞ではｗ[Ｊ]はＨ[Ｊ]の基底状態の 

エネルギー固有値です。 

つまり,Ｈ[Ｊ] |0_Ｊ＞＝ｗ[Ｊ] |0_Ｊ＞です。
 

他方,この)固有値問題は,量子力学の変分原理の問題と同じく, 

＜Ψ|Ψ＞＝1,＜Ψ|φ(ｘ)|Ψ＞＝φ~(ｘ)の下で,＜Ψ|Ｈ|Ψ＞ 

を停留値にする停留解:|Ψ＞を求める停留問題とみなすことが 

できます。すなわち,この,Ｈ|Ψ＞＝Ｅ|Ψ＞の解が, 

|Ψ＞＝|0_Ｊ＞,Ｅ＝ｗ[Ｊ]を与えます。
 

したがって,場の理論で真空を探す問題では,予め並進不変性を 

考慮して,Ｅ[φ(ｘ)]のｘに依存しないφ~の関数である有効 

ポテンシャルＶ[φ_i~]の停留点を∂Ｖ[φ~]/∂φ_i~＝0  から 

求めればいいです。
 

結局,有効ポテンシャル:Ｖ[φ~]は,場φ_i(ｘ)の期待値がφ_i~ 

(定数)である条件下での基底状態のエネルギー密度と解釈され 

その最低の固有値に対応する状態が真空です。
 

※※  

有効作用:Γ[φ~]が1粒子既約な頂点関数:Γ^(ｎ)の生成汎関数で 

あったことから従う有効ポテンシャル:Ｖ[φ~]のもう1つの側面 

に注意します。
 

頂点関数:Γ^(ｎ)の運動量表示Γ~^(ｎ)を運動量保存のδ関数を外して 

定義します。 

∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ_n exp{iｐ₁ｘ₁＋..＋iｐ_nｘ_n}

Γ^(ｎ)_i1/..in(ｘ₁,..,ｘ_n) 

＝Γ~^(ｎ) _i1..in( (ｐ₁,..,ｐ_n)(2π)⁴δ⁴(ｐ₁＋..＋ｐ_n)

です。
 

Γ[φ]＝Σ_n=0^∞(1/ｎ!)∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ_nφ_i1(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n) 

Γ^(ｎ)i_1..in(ｘ₁,..ｘ_n)において, 

φ_i(ｘ)＝φ~_i(定数)とし,Ｖ[Φ]の定義式,および, 

(2π)⁴δ⁴(ｐ＝0)＝∫ｄ⁴ｘ exp(iｐｘ)|_p=0を考慮して 

Ｖ[φ~]＝－Σ_n=0^∞(1/ｎ!)φ~_i1..φ~_inΓ~^(ｎ)i_1..in(0...,0) 

を得ます。
 

すなわち,有効ポテンシャル:Ｖ[φ~]は運動量ｐ_i 

が全てゼロのときのｎ点頂点関数の生成関数 

という意味を持っています。
 

Ｗ[Ｊ]の経路積分表式: 

Ｚ[Ｊ]＝exp(iＷ[Ｊ])­­＝Ｎ∫Ｄφexp[i{Ｓ[φ]＋Ｊφ}] 

を,Γ[φ~]＝Ｗ[Ｊ])­­－Ｊφ=に代入して,自然単位にPlanck定数: 

ｈ_cを復活させると, 

Γ[φ~]＝(－iｈ_c)ln[∫Ｄφexp{(i/ｈ_c){Ｓ[φ]＋Ｊ(φ－φ~)}] 

経路積分Ｄφの積分変数をφ → φ＋φ~と変数置換し, 

－Ｊ_i(ｘ)＝δΓ/δφ_iを代入すれば,Γ[φ~] 

＝(－iｈ_c)ln[∫Ｄφexp{(i/ｈ_c){∫ｄ⁴ｘ 

(Ｌ[φ＋φ~]－(δΓ/δφ)φ)}]　です。
 

ここで,Ｌ[φ＋φ~]をｃ-数: φ~のまわりで量子場:φ(ｘ) 

で展開すると,Ｌ[φ＋φ~]＝Ｌ[φ~]＋(∂Ｌ/∂φ_i)φ_i 

＋(1/2)φ_i|(iＤ_F)^-1φ~}^ijφ_j＋Ｌ_int[φ;φ~]　です。
 

ここに,|(iＤ_F)^-1φ~}^ijは,|(iＤ_F)^-1φ~}^ij 

＝(∂²Ｌ[φ＋φ~]/∂φ_i∂φ_j)|_φ=0＝(∂²Ｌ[φ~]/∂φ~_i∂φ~_j) 

で与えられます。
 

これは場:φの期待値がφ~であるような真空の上でのFeynman 

伝播関数の逆数であり,Ｌ_int[φ;φ~]はφについて3次以上の 

φ~における相互作用項です。
 

このＬ[φ＋φ~]の展開をΓ[φ~]の表式に代入すると, 

Γ[φ~]＝∫ｄ⁴ｘＬ[φ~]＋Γ~[φ~]　: 

Γ~[φ~]＝(－iｈ_c)ln∫Ｄφexp[(i/ｈ_c){∫ｄ⁴ｘ 

[(1/2)φ_i|(iＤ_F)^-1φ~}^ijφ_j＋Ｌ_int[φ;φ~]－(δΓ/δφ)φ}] 

です。
 

これで,うまい具合に有効作用Γ[φ~]から,古典的作用積分: 

Ｓ[φ~]＝∫ｄ⁴ｘＬ[φ~]が分離されました。※※
 

(注3-1終わり※)
 

(以上再掲載終了※）(注2-1終わり※)
 

最初の予定外の過去記事を参照した注釈を書いたため,１記事  

としては長くなり過ぎたので,ほとんど過去の再掲載ですが  

今回はここまでにします。 

※(参考文献)九後太一郎著「ゲージ場の量子論Ⅰ,Ⅱ」