くりこみ理論(次元正則化)(2)

くりこみ理論(次元正則化)の 続きです。
 

４次元時空のテンソル添字で縮約されず残っているものは, 

そのまま.抽象的にｎ次元時空の添字とみなしておきます。
 

計量テンソルｇ^μνもそうです。縮約された場合はｎ次元の 

内積となり,特にｇ^μ_μ＝ｎ..(14)　です。
 

ただし,完全反対称テンソルは添字の個数が次元数ｎに等しい 

場合だけ定義できるものなので,一般の複素数ｎに自然に拡張 

することはできません。そこで４次元のε^μνλσはｎ次元時空 

でも添字(μ,ν,λ.ρ)が(0,1.2,3)の置換:σになってるとき 

のみゼロでなく,sgnσの値をとる定数テンソルであると定義 

しておきます。
 

Diracスピノルの複素ｎ次元への拡張にはかなり任意性が 

ありますがここでは任意の偶数次元ｎ＝2ｋの場合に拡張し 

2^n/2成分の既約ＳＯ(1.ｎ－1)スピノルを考えます。
 

(※ｎ＝2ｋのとき,ＳＯ(ｎ)はｋ個の２次元スピノル空間に 

分解されます。全体は２次元空間の直積です。例えばｎ＝6 

ｋ＝3での基底は,[1.0]^t×[1.0]^t×[1.0]^t etc.であり,合計 

で８＝2³個です。※)
 

このスピノルで定義されたガンマ行列は, 

{γ^μ,γ^ν}_＋＝2ｇ^μν.(15)を満たす抽象的代数量であり,その 

トレース(対角和)はTr(γ^μγ^ν)_＋＝ｇ^μνTr(1)＝ｇ^μν2^ｎ/2(16) 

という規約になります。
 

(※このTr(1)＝2^ｎ/2という式について深く考える必要はなく 

ｎ＝4のときTr(1)＝4となるようなｎの連続関数であれば 

いいです。※)
 

ここで,唯一の問題となるのは偶数ｎ＝2ｋ次元のγ₅＝γ⁵の 

行列です。これは,Γ₅＝i^ｋ－1γ⁰γ¹..γ^ｎ－1 

＝{i^ｋ－1(－)^ｎ－1/ｎ!}ε_μ1μ2..μnγ^μ1γ^μ2..γ^μn(17)であり, 

完全反対称テンソルε_μ1μ2..μnと同様 .複素ｎ次元に拡張する 

ことはできません。そこで4次元のε_μνλρの場合と同じく, 

γ₅＝iγ⁰γ¹γ²γ³.＝{(－i)/4!}ε_μνλργ^μγ^νγ^λγ^ρ(18)で 

定義される決まった行列と考えることにします。
 

こうするとγ⁵はγ⁰,γ¹,γ²,γ³とは反可換ですが他のγ^μとは 

可換という面倒な性質を持つことになります。
 

γ₅やε_μνλρを複素ｎ次元に自然に拡張できないので,もしも 

ゲージ変換がγ₅やε_μνλρを含む場合,次元正則化でもゲージ 

不変性を壊します。これが後述するようなアノマリー(量子異常) 

に関係しています。
 

§7.2 1-loop計算と乗法的くりこみ 

本節では紫外発散がどのように現われるか？を見るため,具体的 

に１つの簡単な模型をとって1^loop計算を実行します。 

合わせて,現われる発散をどう処理するか？ 謂わゆる乗法的 

くりこみ(multiplicative renormalization)の手続きについて 

説明します。
 

簡単な模型として,アイソスピンが１のスカラー場: 

φ＝(φ¹,φ²,φ³)^Tと,アイソスピンが1/2のDirac場: 

ψ＝(ψ₁,ψ₂)^Tから成る湯川相互作用系:Lagrangian密度 

がＬ＝(1/2)(∂^μφ∂_μφ－μ²φ²) 

＋ψ~(γ^μ∂_μ－ｍ－ｇφτ)ψ－(λ/8)(φ²)² 

で与えられるものを考えることにします。
 

Feynmanグラフにおいて,φの伝播関数は点線でψの伝播関数は 

矢印付きの実線で表わすことにします。
 

※下の図7.1,図7.2はFermion(Dirac場)の自己エネルギー 

のグラフです。

    図7.2では,左辺のFermionの２点Green関数(伝播関数): 

 iＳ_{F'(ｘ)＝＜0|Ｔ[ψ(ｘ)ψ(0)]|0＞には図で灰色のblobで}  

示した１PI(１粒子既約)なグラフ全体が図7.2右辺のように  

繰り返しの形で効きます。

しかし,運動量表示での左辺の総和:iＳ_F'(ｐ)は,図7.1の左辺 

では,上述の自己エネルギーを図7.2と同じく灰色blobで 

示していますが,これを－iΣ(ｐ)と記せば,図7.2が簡単に 

表現されて,iＳ_F'(ｐ)＝i(ｐ－ｍ)^-1 

＋{i(ｐ－ｍ)^-1}{－iΣ(ｐ)}{i(ｐ－ｍ)^-1} 

＋{i(ｐ－ｍ)^-1}{－iΣ(ｐ)} {i(ｐ－ｍ)^-1}{－iΣ(ｐ)}

{i(ｐ－ｍ)^-1}＋..＝i{ｐ－ｍ－Σ(ｐ)}^-1＝i{Γ_ψ⁽²⁾(ｐ)}^-1

となります。
 

※(注2-1):最右辺のΓ_ψ⁽²⁾(ｐ)はψによる２点1ＰＩ頂点関数を 

示す記号です。頂点関数は２点の場合,特別に2点Ｇreen関数の 

逆数に一致します。 

つまり.Γ_ψ⁽²⁾(ｐ)＝－{iＳ_F(ｐ)}^-1＋{－iΣ(ｐ)} 

＝i{ｐ－ｍ－Σ(ｐ)} 

です。
 

久しぶりの記事で,これらの意味を再認識するために, 

少々長たらしいですが2017年９/７の過去記事: 

「対称性の自発的破れと南部-Goldston粒子(3)」から 

「ゲージ場の量子論」の第４章摂動論(経路積分)の 

有効作用・有効ポテンシャルと頂点関数の定義や, 

それらの関係について記した(注3-1)を再掲します。
 

(※以下再掲載記事開始)
 

※(注3-1):有効ポテンシャルの定義,意味については, 

本ブログの2014年9/21から2015年4/21までにアップした 

記事:「ゲージ場の量子論から(その1)(経路積分と摂動論)」 

(1)～(12)において摂動論を記述した後,有効作用,および, 

有効ポテンシャルの項に入る予定でしたが,その直前で中断 

して,このシリーズ再開後は間の項目を飛ばして 

「ゲージ場の量子論から(その1)(経路積分と摂動論)(15)」 

に進んでいました。
 

そこで,この記事シリーズから,適宜,必要事項を引用し,これに 

追加して説明します。
 

便宜上,(12)のGrassmann 代数の知見と面倒な考察を要する 

Fermion場の話は考慮せず,(1) ～ (11)のBoson場のみから成る 

系で考えます。
 

まず,時間ｔを含むHeisenberg表示の初期(始)状態,終状態を, 

それぞれ,|φ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞,|φ_Ｆ,ｔ_Ｆ|＞として,その遷移振幅を, 

位相空間の積分:∫∫ＤπＤφによる経路積分で表わすと, 

＜φ_Ｆ,ｔ_Ｆ|φ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞

＝∫∫_{φ(ｘ,ｔＩ)＝φＩ(ｘ)}^{φ(ｘ,ｔＦ)＝φＦ(ｘ)}ＤπＤφ 

×exp(i∫_ｔＩ^ｔＦｄ^４ｘ[π(ｘ)φ_ｄ(ｘ)－Ｈ(π(ｘ),φ(ｘ))]) 

となります。
 

この式の右辺から,先に∫Ｄπだけを実行して,配位空間の積分: 

∫Ｄφのみによる積分表式にしたものは,Ｎを比例定数として, 

＜φ_Ｆ,ｔ_Ｆ|φ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞ 

＝Ｎ∫_{φ(ｘ,ｔＩ)＝φＩ(ｘ)}^{φ(ｘ,ｔＦ)＝φＦ(ｘ)}Ｄφ 

×exp[i∫_ｔＩ^ｔＦｄ^４ｘＬ(φ,∂φ)]　です。
 

次に,特にGreen関数の経路積分を考えます。
 

必ずしもφの固有状態ではない一般の状態を想定し初期状態 

を|Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞,終状態を,|:Ψ_Ｆ,ｔ_F＞として, 

一般化されたＮ点Green関数を, 

Ｇ^(Ｎ)(ｘ_１,..,ｘ_Ｎ; Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ;Ψ_Ｆ,ｔ_F) 

≡＜Ψ_Ｆ,ｔ_F|Ｔ[φ(ｘ_１)..φ(ｘ_Ｎ)]|Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞ 

/＜Ψ_Ｆ,ｔ_F|Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞ 

＝＜Ψ_Ｆ,|exp(－iＨｔ_F)Ｔ[φ(ｘ_１).φ(ｘ_Ｎ)exp(iＨｔ_Ｉ)]|Ψ_Ｉ＞ 

/＜Ψ_Ｆ|exp{－iＨ(ｔ_F－ｔ_Ｉ)}|Ψ_Ｉ＞　によって,定義します。
 

これを変形して,最終的にGreen関数の経路積分式として. 

Ｇ^(Ｎ)(ｘ_１,..,ｘ_Ｎ;Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ;Ψ_Ｆ,ｔ_F) 

＝Ｎ_ＦＩ∫ＤφΨ_Ｆ^＊[φ(ｘ_Ｆ)] Ψ_Ｉ[φ(ｘ_Ｆ)]φ(ｘ_１)..φ(ｘ_Ｎ) 

×exp[i∫_ｔＩ^ｔＦｄ^４ｘＬ(φ,∂φ)]　を得ます。
 

ここで,一般化されたGreen関数の生成汎関数:Ｚ_ＦＩ[Ｊ]なるもの 

を次のように定義して導入します。
 

すなわち,Ｚ_ＦＩ[Ｊ] 

＝＜Ψ_Ｆ,ｔ_F||Ｔexp{i∫ｄ^４ｘＪ(ｘ)φ(ｘ)}| Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞ 

/＜Ψ_Ｆ,ｔ_F|Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞　です。
 

Ｚ_ＦＩ[Ｊ]をＪでＮ階微分してＪ＝0 と置いたものが一般化された 

Ｎ点Green関数になります。 

つまり,[δ^ＮＺ_ＦＩ[Ｊ]/δＪ(ｘ_１)..δＪ(ｘ_Ｎ)]_{ｊＪ(ｘ１)＝..Ｊ(ｘＮ)＝0} 

＝Ｇ^(Ｎ)(ｘ_１,..,ｘ_Ｎ; Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ;Ψ_Ｆ,ｔ_F)　です。
 

実は,これが,Ｚ_ＦＩ[Ｊ]がＧ^(Ｎ)(ｘ_１,..,ｘ_Ｎ; Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ;Ψ_Ｆ,ｔ_F) 

の生成汎関数である,という意味です。
 

そして,一般化されたGreen関数は,特に初期状態:|Ψ_Ｉ＞, 

終状態:|Ψ_Ｆ＞が共に系の真空状態 |0＞であるとしたとき, 

通常の意味のＮ点Green関数; 

Ｇ^(Ｎ)(ｘ_１,..,ｘ_Ｎ)＝＜0|Ｔ(φ(ｘ_１)..φ(ｘ_Ｎ))0＞ 

に一致します。
 

さて,話は重複するかもしれませんが, 

相互作用:Ｌ_int(φ)が存在して,Lagrangian密度Ｌが, 

Ｌ(φ,∂φ)＝(1/2)∂_μφ∂^μφ－(1/2)μ²φ²(ｘ)＋Ｌ_int(φ) 

で与えられる実スカラー粒子の場:φ(ｘ)を想定します。
 

この相互作用しているスカラー粒子のＮ点Green関数Ｇ^(Ｎ)は, 

Ｇ^(Ｎ)(ｘ₁,..,ｘ_N)＝＜0|Ｔ(φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)..φ(ｘ_Ｎ)|0＞ 

で与えられますが,これの生成汎関数を特にＺ[Ｊ]とします。
 

Ｚ[Ｊ]は,配位空間の経路積分によって 

Ｚ[Ｊ]＝Ｎ∫Ｄφ exp[i∫ｄ^４ｘ{(－1/2)φ(□＋μ²)φ＋Ｌ_int(φ)

＋Ｊφ}] 

＝Ｎ∫Ｄφ exp[i{(－1/2)φ*(□＋μ²)φ＋Ｊ*φ}]と書けます。
 

右辺の最後の式では,煩わしい∫ｄ^４ｘという表現を省略するため, 

時空座標ｘの任意関数φIｘ),ψ(ｘ)に対して,内積とよばれる 

演算:φ*ψを,φ*ψ＝∫ｄ^４ｘφ(ｘ)ψ(ｘ)＝ψ*φによって定義 

導入しました。
 

Ｚ[Ｊ]は,結局,Ｚ[Ｊ]＝＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)＋Ｊ*φ}]＞₀ 

/＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}＞₀　なる式に表わせることが 

わかります。
 

ただし,任意のφの汎関数Ｆ(φ)について, 

＜Ｆ(φ)＞₀＝(exp{(1/2)(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)}*Ｆ(φ))_φ=0 

と定義しました。
 

＜Ｆ(φ)＞₀の意味はＦ(φ)に左から微分演算子: 

exp{(1/2)(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)} 

＝Σ_k=0^∞(1/ｋ！)(1/2)^k(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)}^ｋを作用させ 

最後にφをゼロと置く操作です。
 

これは,＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)＋Ｊ*φ}]＞₀では, 

級数展開Σ_k=0^∞(1/ｋ！) )1/2)^ｋ(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)}^ｋの 

１次ごとにexp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}]からφ(ｘ)φ(ｙ)のような 

φの対を１つ取り除き,代わりに自由場のFeynman伝播関数: 

iΔ_Ｆ(ｘ－ｙ)＝＜0|ＴＴ(φ_in(ｘ)φ_in(ｙ)|0＞ で置き換える 

という操作を示しています。
 

そして,係数(1/2)はｘとｙの交換の自由度２で割ることを意味  

します。また,自由場のFeynman伝播関数は,Fourier積分の形で  

Δ_Ｆ(ｘ－ｙ)＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4[exp{－iｋ(ｘ―ｙ)} 

/(ｋ²－ｍ²＋iε)] なるものです。
 

生成関数における指数関数の級数展開は,  

Ｚ[Ｊ]＝＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)＋Ｊ*φ}]＞₀  

/＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}＞₀

＝Σ_ｍ=0^∞(1/ｍ！)∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ^４ｙ_ｍ  

＜iＬ_int(ｙ₁).. iＬ_int(ｙ_ｍ)exp(iＪ*φ)＞₀/(分母) 

となります。
 

右辺の級数展開は相互作用Ｌ_intがＬに比べて,微小な摂動で 

あると考えたときの摂動展開級数そのものです。
 

(分母)＝＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}＞₀の効果については,遷移 

要素の摂動計算に考慮すべきでないと考えられる真空泡グラフを 

(分子)から相殺して除去する操作に関わるものなので,本質的寄与 

をする(分子)の各項について具体的計算方法を考えます。
 

具体的には,＜　＞₀は.まず.φの２個の積の場合,明らかに, 

＜φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)＞₀＝iΔ_Ｆ(ｘ₁－ｘ₂)＝[φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)]  

です。便宜上,iΔ_Ｆ(ｘ₁－ｘ₂)を,Symbolicに[φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)] 

なる記号で表現しました。このように,φ(ｘ₁),φ(ｘ₂)の組を 

Feynman伝播関数 iΔ_Ｆ(ｘ₁－ｘ₂)で置き換える操作を縮約 

(contraction)と呼びます。
 

以下.具体的に,経路積分による定式化を整理すれば,Feynman 

グラフによる通常の伝統的摂動論の計算法に一致することが 

示せることを記述しています。
 

Fermionへの一般化もできますが,今回これは省略します。
 

ここまでは既に記述した過去シリーズ記事の(1)～(11)の 

内容です。
 

ここから今回本題の「有効作用と有効ポテンシャル,」の 

話を追加します。
 

まず,Green関数の生成汎関数は, 

Ｚ[Ｊ]＝＜0|Ｔexp(iＪ＊φ)]|0＞ 

＝＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)＋Ｊ*φ}]＞₀ 

/＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}＞₀ 

­­＝Ｎ∫Ｄφexp[i{Ｓ[φ]＋Ｊφ}]　 

と表現されます。
 

このとき,Ｚ[Ｊ]＝exp{iＷ[Ｊ]}によって,Ｗ[Ｊ]を定義します。
 

Ｐをproper連結グラフ(固有連結グラフ)とすると, 

Ｚ[Ｊ]＝expＰと表わせるので,iＷ[Ｊ]は連結固有Green関数 

の生成汎関数です。
 

一方,Ｗ[Ｊ]＝Ｓ[φ]＋Ｊφと表わしていますが,具体的には, 

Ｊφ＝∫ｄ⁴ｘΣ_iＪ_iφ_i(ｘ),であり,Ｓ[φ]は作用積分の形で 

Ｓ[φ]＝∫ｄ⁴ｘＬ(φ(ｘ),∂φ(ｘ))　です。
 

ここで,有効作用;Γ[φ]をＷ[Ｊ]から.汎関数のLegebdre変換: 

Γ[φ]＝Ｗ[Ｊ]－Ｊφ　によって定義します。
 

ところで,δＺ/δＪ_i 

＝(iδＷ/δＪ_i)Ｚ＝i＜0|φ_i(ｘ)Ｔexp(iＪ＊φ)]|0＞より, 

φ~_i(ｘ)＝(δＷ/δＪ_i) 

＝＜0|φ_ｉ(ｘ)Ｔexp(iＪ＊φ)]|0＞/Ｚとおくと, 

φ~_i(ｘ)＝(δＷ/δＪ_i)は,Ｊ(ｘ)という外場が存在する 

ときの場:φ_ｉ(ｘ)の期待値を意味することがわかります。
 

Γ[φ]をＪ_ｉ(ｘ)でなく,上記の期待値:φ~_i(ｘ)の関数: 

Γ[φ~]と考えると,Ｊ_ｉ(ｘ)＝δΓ[φ~]/δφ~_i(ｘ)です。
 

(※注:何故なら.ＷはＪの関数と見ると,Ｗのφ~_iによる微分は

δＷ/δφ~_i＝Σ_k(δＪ_ｋ/δφ~_i)(δＷ/δＪ_ｋ) 

＝Σ_k (δＪ_ｋ/δφ~_i)φ~_ｋであり, 

一方,δ(Ｊφ)/δφ~_i＝(δＪ_ｋ/δφ~_i)φ~_ｋ＋Ｊ_ｉなので, 

δΓ/δφ_i＝δＷ/δφ~_i－δ(Ｊφ)/δφ~_i＝－Ｊ_i 

となるからです。(注終わり※)
 

有効作用:Γ[φ~]が重要な理由の1つは,これが1ＰＩ 

(１粒子既約)な頂点関数:Γ^(ｎ)の生成汎関数になっている点: 

つまり,Γ[φ~]＝Σ_n=0^∞(1/ｎ!)∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ_n 

φ~_i1(ｘ₁)..φ~_in(ｘ_n)Γ^(ｎ)i_1..in(ｘ₁,..ｘ_n) 

となっている点です。
 

ここで,Ｗ[Ｊ]に効くグラフで伝播関数の線を1本切ってグラフ 

が２つの部分に分離できるとき,その線を関節線と呼びます。 

伝播関数の線が外線のそれであれば常に関節線ですが,外線以外 

に関節線を持たないグラフを1ＰＩ(１粒子既約)なグラフ,内線 

にも関節線があるそれを１粒子可約なグラフと呼びます。
 

結局,Γ[φ~]は量子効果であるループグラフを除く単純な 

Treeレベルでは,ｈ_cをPlanck定数としたＯ(ｈ_c)を除く近似 

で古典的作用積分:Ｓ[φ~]＝∫ｄ⁴ｘＬ(φ~,∂φ~)に一致します。
 

この有効作用の物理歴意味をさらによく理解すべく,より特殊な 

場合を考えます。
 

外場Ｊと期待値φ~が共に時間ｘ⁰＝ｔに依存しない場合を 

考えると,この場合.時間並進不変性があるのでＷ[Ｊ],Γ[φ~] 

の∫ｄ⁴ｘ表現から,無限大の時間因子:  

Ｔ＝∫ｄｘ⁰がくくり出せます。
 

すなわち,Ｗ[Ｊ(ｘ)＝Ｊ(ｘ)] ＝－ｗ[Ｊ(ｘ)]∫ｄｘ⁰, 

Γ[φ~(ｘ)＝φ~(ｘ)]＝－Ｅ[φ~(ｘ)]∫ｄｘ⁰です。
 

さらに,Ｊとφ~が時空座標ｘに完全に依存しない定数の場合. 

Ｗ[Ｊ(ｘ)＝Ｊ]＝ ＝－ｗ[Ｊ]∫ｄ⁴ｘ, 

Γ[φ~(ｘ)＝φ~]＝－Ｖ[φ~]∫ｄ⁴ｘ です。
 

最後の,Ｖ[φ~]はφ~の関数であり,有効ポテンシャルと 

呼ばれます。
 

３次元空間のｘの関数:φ~(ｘ)の汎関数:Ｅ[φ~(ｘ)]には 

決まった名称はありませんが,Ｖ[φ~]にならって 

有効エネルギーと呼んでおきます。
 

Ｊとφ~がｔ＝ｘ⁰に依存しないときを考えると, 

Ｚ[Ｊ]＝exp{iＷ[Ｊ]}＝exp{－iｗ[Ｊ]Ｔ} 

＝＜0| exp{－iＨ[Ｊ]Ｔ}｜0＞,ただし,Ｈ[Ｊ] 

＝Ｈ－∫ｄ³ｘＪ(ｘ)φ~(ｘ)で, 

Ｈはエネルギーを意味するHamiltonianです。
 

つまり,期待値の関数としては, 

Ｈ＝∫ｄ³ｘ{π~φ~－Ｌ(φ~,∂φ~)}, 

＝－∫ｄ³ｘＬ(φ~,∂φ~)＝－Ｌです。
 

何故なら,φ~がｔ＝ｘ⁰に依存しないため, 

共役:π~＝∂L/∂(∂₀φ~)＝∂₀φ~ 

がゼロだからです。
 

そして,真空:|0＞はエネルギーＨの最低固有値状態 

(基底状態)でしたが,ここでも－iε処法を採用していると 

すれば,Ｔ＝∫ｄｘ⁰＝∞ の極限では,事実上, 

Ｈ[Ｊ]＝Ｈ－∫ｄ³ｘＪ(ｘ)φ~(ｘ)の基底状態:|0_Ｊ＞ 

のみがexp{－iｗ[Ｊ]Ｔ}＝＜0| exp{－iＨ[Ｊ]Ｔ}0＞ 

の|0＞に効きます。
 

それ故,Ｔ → ∞ではｗ[Ｊ]はＨ[Ｊ]の基底状態の 

エネルギー固有値です。 

つまり,Ｈ[Ｊ] |0_Ｊ＞＝ｗ[Ｊ] |0_Ｊ＞です。
 

他方,この)固有値問題は,量子力学の変分原理の問題と同じく, 

＜Ψ|Ψ＞＝1,＜Ψ|φ(ｘ)|Ψ＞＝φ~(ｘ)の下で,＜Ψ|Ｈ|Ψ＞ 

を停留値にする停留解:|Ψ＞を求める停留問題とみなすことが 

できます。すなわち,この,Ｈ|Ψ＞＝Ｅ|Ψ＞の解が, 

|Ψ＞＝|0_Ｊ＞,Ｅ＝ｗ[Ｊ]を与えます。
 

したがって,場の理論で真空を探す問題では,予め並進不変性を 

考慮して,Ｅ[φ(ｘ)]のｘに依存しないφ~の関数である有効 

ポテンシャルＶ[φ_i~]の停留点を∂Ｖ[φ~]/∂φ_i~＝0  から 

求めればいいです。
 

結局,有効ポテンシャル:Ｖ[φ~]は,場φ_i(ｘ)の期待値がφ_i~ 

(定数)である条件下での基底状態のエネルギー密度と解釈され 

その最低の固有値に対応する状態が真空です。
 

※※  

有効作用:Γ[φ~]が1粒子既約な頂点関数:Γ^(ｎ)の生成汎関数で 

あったことから従う有効ポテンシャル:Ｖ[φ~]のもう1つの側面 

に注意します。
 

頂点関数:Γ^(ｎ)の運動量表示Γ~^(ｎ)を運動量保存のδ関数を外して 

定義します。 

∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ_n exp{iｐ₁ｘ₁＋..＋iｐ_nｘ_n}

Γ^(ｎ)_i1/..in(ｘ₁,..,ｘ_n) 

＝Γ~^(ｎ) _i1..in( (ｐ₁,..,ｐ_n)(2π)⁴δ⁴(ｐ₁＋..＋ｐ_n)

です。
 

Γ[φ]＝Σ_n=0^∞(1/ｎ!)∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ_nφ_i1(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n) 

Γ^(ｎ)i_1..in(ｘ₁,..ｘ_n)において, 

φ_i(ｘ)＝φ~_i(定数)とし,Ｖ[Φ]の定義式,および, 

(2π)⁴δ⁴(ｐ＝0)＝∫ｄ⁴ｘ exp(iｐｘ)|_p=0を考慮して 

Ｖ[φ~]＝－Σ_n=0^∞(1/ｎ!)φ~_i1..φ~_inΓ~^(ｎ)i_1..in(0...,0) 

を得ます。
 

すなわち,有効ポテンシャル:Ｖ[φ~]は運動量ｐ_i 

が全てゼロのときのｎ点頂点関数の生成関数 

という意味を持っています。
 

Ｗ[Ｊ]の経路積分表式: 

Ｚ[Ｊ]＝exp(iＷ[Ｊ])­­＝Ｎ∫Ｄφexp[i{Ｓ[φ]＋Ｊφ}] 

を,Γ[φ~]＝Ｗ[Ｊ])­­－Ｊφ=に代入して,自然単位にPlanck定数: 

ｈ_cを復活させると, 

Γ[φ~]＝(－iｈ_c)ln[∫Ｄφexp{(i/ｈ_c){Ｓ[φ]＋Ｊ(φ－φ~)}] 

経路積分Ｄφの積分変数をφ → φ＋φ~と変数置換し, 

－Ｊ_i(ｘ)＝δΓ/δφ_iを代入すれば,Γ[φ~] 

＝(－iｈ_c)ln[∫Ｄφexp{(i/ｈ_c){∫ｄ⁴ｘ 

(Ｌ[φ＋φ~]－(δΓ/δφ)φ)}]　です。
 

ここで,Ｌ[φ＋φ~]をｃ-数: φ~のまわりで量子場:φ(ｘ) 

で展開すると,Ｌ[φ＋φ~]＝Ｌ[φ~]＋(∂Ｌ/∂φ_i)φ_i 

＋(1/2)φ_i|(iＤ_F)^-1φ~}^ijφ_j＋Ｌ_int[φ;φ~]　です。
 

ここに,|(iＤ_F)^-1φ~}^ijは,|(iＤ_F)^-1φ~}^ij 

＝(∂²Ｌ[φ＋φ~]/∂φ_i∂φ_j)|_φ=0＝(∂²Ｌ[φ~]/∂φ~_i∂φ~_j) 

で与えられます。
 

これは場:φの期待値がφ~であるような真空の上でのFeynman 

伝播関数の逆数であり,Ｌ_int[φ;φ~]はφについて3次以上の 

φ~における相互作用項です。
 

このＬ[φ＋φ~]の展開をΓ[φ~]の表式に代入すると, 

Γ[φ~]＝∫ｄ⁴ｘＬ[φ~]＋Γ~[φ~]　: 

Γ~[φ~]＝(－iｈ_c)ln∫Ｄφexp[(i/ｈ_c){∫ｄ⁴ｘ 

[(1/2)φ_i|(iＤ_F)^-1φ~}^ijφ_j＋Ｌ_int[φ;φ~]－(δΓ/δφ)φ}] 

です。
 

これで,うまい具合に有効作用Γ[φ~]から,古典的作用積分: 

Ｓ[φ~]＝∫ｄ⁴ｘＬ[φ~]が分離されました。※※
 

(注3-1終わり※)
 

(以上再掲載終了※）(注2-1終わり※)
 

最初の予定外の過去記事を参照した注釈を書いたため,１記事  

としては長くなり過ぎたので,ほとんど過去の再掲載ですが  

今回はここまでにします。 

※(参考文献)九後太一郎著「ゲージ場の量子論Ⅰ,Ⅱ」

くりこみ理論(次元正則化)(1)

※昨年は,私の勉強ノートからの覚書きシリーズ記事として 

「自発的対称性の破れと南部-Goldston粒子(20)」を入院中の病院 

からアップしたのを最後に,1990年代に九後汰一郎著(培風館)の 

「ゲージ場の量子論」を詳読した内容の紹介・解説記事を中断し 

てましたが,新年(2019年)に入り,9月の退院後に壊れたため新調 

してた中古PCで記事を作るツールのMS-Wordの環境が復活 

したので,これの続きを終えてから棺桶に入らないと永眠 

するにも寝覚めが悪そうです。
 

そこで,この書の第７章「くりこみ」の項目から記事を再開 

します。今回のノートは開始日が1997年３月20日(47歳)と 

なっています。以下,本文です。※ 

第7章くりこみ(Renormalization) 

これまでは量子補正,すなわち,loopグラフの計算を行なわず, 

理論が整合的に存在するものとして議論を進めてきました。

しかし具体的にloopグラフを計算すると,とたんに紫外発散 

(ultraviolet-divergence)という問題が生じます。 

つまり,loop運動量の大きいところでの積分が発散するという困難 

に遭遇します。

この問題を処理するには,まず”無限大”というモノは直接扱う 

ことができないので,正則化(regularization)という手続きで, 

とにかくFeynmanグラフの積分が収束してwell-defined(無矛盾) 

になるようにします。

その次には,諸量を物理的粒子の質量や結合定数で書き直すという 

操作:くりこみ(renormarization)を行ない,くりこんだ後の量が 

正則化をはずした極限でも有限で無矛盾な量になること。。 

を証明します。
 

まず,正則化,特に次元正則化(dimensional-rgurarization)を 

説明します。
 

※Pauli-Villar正則化  

Feynmanグラフのloop積分を有限にする方法としてわかりやすい

１つの例は被積分関数中の伝播関数(propagator)を次のように置き 

換えるものです。
 

すなわち,質量がｍのBose場(運動量ｋ)については 

i/(ｋ²－ｍ²＋iε)→i/(ｋ²－ｍ²＋iε)－i/(ｋ²－Λ²＋iε)  

＝i(ｍ²－Λ²)/{(ｋ²－ｍ²＋iε)(ｋ²－Λ²＋iε)} … (１) 

とします。ただしΛ²は十分大きくとっておきます。

これを行なうと伝播関数は,ｋ²＞＞Λ²では1/ｋ⁴のように挙動し, 

元の～1/ｋ²より急激に落ちるので積分の収束性が良くなります。

(1) の第2項の引き算項は,丁度質量Λを持った”負計量”粒子の 

伝播関数と見ることもできて,そのように見たときこの”粒子” 

の場をregulatorと呼びます。regulatorの質量Λは切断(cutoff) 

パラメータとも呼ばれます。

(1) の操作でも収束性が足りないときは,さらにregulatorを入れて 

ｋ²→∞でもっと速く落ちるようにします。

Fermionの場に対しても同様にやれます。 

このような正則化をPauli-Viller正則化といいます。

Guptaはこれを改良して可換ゲージ理論の場合のゲージ不変性を 

保つべく、荷電フェルミオンの質量ｍをloop内で一斉にΛに置き 

換えたモノを引くという方法を提案しました。 

これは「Bose統計に従うスピノルregulator」を導入することに 

相当します。

※次元正則化 

Pauli-Viller-Gupta正則化は直観的で計算も簡単でいいのですが 

難点は,非可換ゲージ理論のベクトル場に適用したとき,それ 

がゲージ不変性を壊すことにあります。
 

そこで,ここでは’tHooftとVolteraにより提案された次元正則化 

を採用することにし,これを説明します。
 

次元正則化は時空の次元をｎとし,解析接続によりこれを複素数に 

拡張します。この正則化の利点はゲージ不変性が次元に依らず 

成立するため,ゲージ不変性を壊さないことです。しかも被積分 

関数の伝播関数の数を増やさず,一般的な積分公式が得られるので 

具体的計算法としても有用なものです。

一般にFeynmanグラフの任意のloop積分は,通常の相互作用の場合 

１- loopで頂点(vertex)と伝播関数の数は同じで,それぞれ,－(±i)

とiが因子なので(±１)が掛かり,Fermionループなら全体として  

(－１)が掛かり,結局Feynmanパラメータ公式を適用すれば,  

∫ｄⁿｋ(2π)^-n[(ｋ_μ,ｋ_μｋ_ν,..)/(ｋ²－2ｋｐ－ｍ²＋iε)^α](2)  

という形のものに帰着させることができます。
 

そこで,まず,最も簡単な式である

Ｉ＝∫ｄⁿｋ(2π)^-n[１/ｋ²－ｍ²＋iε)^α]..(3) 

を評価することから始めます。
 

ガンマ関数の積分表示: 

Γ(α)ｓ^－α＝∫₀^∞exp(－ｓｔ)ｔ^α-1ｄｔ..(4) 

を用います。(0＜Reα＜1）

(※注1-1);ガンマ関数の定義はReα＞0なるαに対して 

Γ(α)＝∫₀^∞exp(－ｔ)ｔ^α-1ｄｔです。そこで積分変数を 

ｔ→ｔ’＝ｓｔと置換すれば(4)が得られます。

ただしReｓ＞0です。また,0＜Reα＜1でなければならない 

のは,exp(－ｓｔ)ｔ^α-1＝exp{－(Reｓ)t} 

×ｔ^α-1[cos{(Imｓ)t}－isin{(Imｓ)t}の∫₀^∞ｄｔの積分が 

収束するために必要です。(注1-1終わり※）
 

この(4)の表示自体は,Reｓ＞0,かつ,0＜Reα＜1でのみ妥当な式 

ですが,この値域でさらにImｓ＞0ならばｔの積分路を複素平面上 

で時計回りに90度回転して虚軸に持っていくことができて, 

ｓ^－α＝{i^α/Γ(α)}∫₀^∞exp(－iｓｔ)ｔ^α-1ｄｔ..(5) 

と書き直せます。この表式になればReｓ＞0の必要はなく 

Imｓ＜0,Reα＞0の領域で妥当な式となります。

そこでｓ＝ｍ²－ｋ²－iεとおけば,Imｓ＝－ε＜0 の条件 

が成立するので,  

Ｉ＝∫ｄⁿｋ(2π)^-n[１/(ｋ²－ｍ²＋iε)^α] 

＝∫ｄⁿｋ(2π)^-n(－ｓ)^－α 

＝{(－i)^α/Γ(α)}∫₀^∞ｄｔ 

[ｔ^α-1∫ｄⁿｋ(2π)^-nexp{－i(ｍ²－ｋ²－iε)ｔ}](6)  

です。
 

以前の第４章経路積分の項で用いたGaiss-Fresnelの積分公式: 

∫_－∞^∞ｄｘexp(－iａｘ²/2)＝{2π/(iａ)}^1/2から, 

∫ｄｋ^ｊexp(－iｔｋ_j²ｔ)＝{π/(iｔ)}^1/2, 

∫ｄｋ⁰exp(iｔｋ₀²)＝{π/(iｔ)}^1/2＊＝{π/(－iｔ)}^1/2より 

∫ｄⁿｋ(2π) ^-nexp(iｔｋ²)＝(－1)^1/2ｔ^－n/2(4πi)^－n/2です。
 

故に,Ｉ＝{(－i)^α(－1)^1/2(4πi)^－n/2/Γ(α)} 

×∫ｄｔ[ｔ^{(α－n/2－1)} exp{－i(ｍ²－iε)ｔ}]..(7)より, 

結局,Ｉ＝{(－i)^α＋1/2(4π)^－n/2Γ(α－ｎ/2)/Γ(α)} 

×(ｍ²－iε)^{－(α－ｎ/2)}…(8)　　を得ます。
 

ただし,収束にはRe(α－ｎ/2)＞0が必要です。 

しかし,一旦(8)の表式が得られれば,これはｎについての解析関数 

なので,任意の複素数次元ｎに拡張できる形です。
 

このとき元の運動量積分が発散していたという事情が解析接続(8) 

においては,次元ｎに関する極として表現されます。 

これが次元正則化の特徴です。
 

実際,ガンマ関数:Γ(ｚ)はｚ＝0,－1,－2,..に極を持ち, 

Γ(ｚ)＝Γ(ｚ＋1)/ｚ　…(9)ですから, 

Γ(ε)＝1/ε－γ＋Ｏ(ε)；(γはEuler定数～0.5772..)(10) 

が成立します。
 

※(注1-2):(10)式を証明します。 

まず,Γ(ｚ＋1)＝Γ(1)＋{Γ’(ｗ)}_w=1ｚ＋Ｏ(ｚ²) 

＝ｚΓ(ｚ)であり,Γ(1)＝1です。

そして,Γ(ｚ)＝∫₀^∞{exp(－ｔ)ｔ^z－1}ｄｔより、 

Γ’(ｗ)＝∫₀^∞{exp(－ｔ)ｔ^ｗ－1(lnｔ)}ｄｔですから, 

{Γ’(ｗ)}_w=1＝∫₀^∞{exp(－ｔ)(lnｔ)}ｄｔ＝－γです。
 

何故なら,本ブログの2003年の過去記事: 

「ガンマ関数とスターリングの公式」でも示したように, 

ガウスの公式: 

Γ(ｚ)＝lim_n→∞[ｎ^ｚｎ!/{ｚ(ｚ＋1)..(ｚ＋ｎ)}] 

＝lim_n→∞[ｎ^ｚｎ!/{Π_ｋ＝0^ｎ(ｚ＋ｋ)}]が成立します。
 

そこで,lnΓ(ｚ) 

＝lim_n→∞[ｚlnｎ－ln(ｎ!)－Σ_ｋ＝0^ｎln(ｚ＋ｋ)]です。
 

それ故,ｄ{lnΓ()}/ｄｚ＝Γ’(ｚ)/Γ(ｚ) 

＝lim_ｎ→∞[lnｎ－Σ{1/(ｚ＋ｋ)}]と書けます。

それ故,Γ’(ｚ)＝∫₀^∞exp(－ｔ)ｔ^ｚ－1(lnｔ)ｄｔ 

＝lim_n→∞[lnｎ－Σ_ｋ＝0^ｎ{1/(ｚ＋ｋ){]Γ(ｚ) 

ですから,{Γ’(ｚ)}_z=1＝∫₀^∞exp(－ｔ)(lnｔ)ｄｔ 

＝－lim_n→∞[1＋1/2＋1/3＋・・＋1/n－lnｎ]を得ます。
 

ところが,lim_n→∞[1＋1/2＊1/3＋・・＋1/n－lnｎ] 

は有限値に収束して,その極限値がオイラー(Eule)rの定数: 

γであることは,よく知られていますから上式の右辺は丁度 

(－γ)に一致するからです。
 

したがって,Γ(1＋ε)＝εΓ(ε)＝1－γε＋Ｏ(ε²) 

であり,故に,Γ(ε)＝1/ε－γ＋Ｏ(ε)が得られます。 

(証明終わり)（注1-2終わり※）
 

例えば,Ｉ＝∫ｄⁿｋ(2π)^-n[１/ｋ²－ｍ²＋iε)^α] 

がα＝2のときｎ＝4の次元では対数発散するという事情に 

対しα＝2ですが時空の次元はｎ＝4－2δ,δ＝α－n/2＞0 

であると仮定すれば, 

(8)の表式:Ｉ＝{(－i)^α＋1/2(4π)^－n/2Γ(α－ｎ/2)/Γ(α)} 

×(ｍ²－iε)^{－(α－ｎ/2)}において,Γ(α)＝Γ(2)＝1であり, 

Γα－ｎ/2)＝Γ(δ)＝1/δ－γ＋Ｏ(δ) 

＝2/(4－ｎ) －γ＋Ｏ(4－ｎ)　ですから, 

Γ(α－ｎ/2)/Γ(α)＝2/(4－ｎ) －γ＋Ｏ(4－ｎ)です。
 

さらに,ｘ^ε＝exp(εlnｘ)＝1＋εlnｘ＋Ｏ(ε²)より, 

(ｍ²－iε)^{－(α－ｎ/2)} ＝(ｍ²－iε)^－δ 

＝1＋{(4－ｎ)/2}ln(ｍ²－ε)＋Ｏ(δ²) 

また,(4π)^－n/2＝(4π)^－2(4π)^－δ 

＝(4π)^－2[1－{(4－ｎ)/2}ln(4π)＋Ｏ(δ²)} 

と書けます。
 

よって,(8)は,Ｉ＝(－i)^α＋1/2(4π)^－2{1/δ－γ＋Ｏ(δ)} 

{1－δln(4π)＋Ｏ(δ²)}{1－δln(ｍ²－ε)＋Ｏ(δ²) 

＝(－i)^α＋1/2(4π)^－2{1/δ－γ＋ln(4π)－ln(ｍ²－ε)＋Ｏ(δ)} 

を意味します。
 

結局,時空の次元がｎで,α＝2の場合には, 

Ｉ＝(－i)^α＋1/2(4π)^－2 

{2/(4－ｎ)－γ＋ln(4π)－ln(ｍ²－ε)＋Ｏ(ｎ－4)}(11) 

なる評価式を得ます。
 

これは,Ｉ(ｎ,α)が,ｎ＝4＝2αに1/(4－ｎ)の型の極を持つ 

ことを示していますが,γやln(4π)の定数は常に.この極の部分 

に付随して現われるため,ε~^-1＝2/(4－ｎ)－γ＋ln(4π).(12) 

として,この全体を”無限大部分”とみなすのが便利です。
 

※上はα＝2を例として計算した結果ですが,くりこみ可能な 

積分式はゲージ対称性を考慮すると,結局,発散が高々対数発散 

である場合なのがわかっているため,次元正則化で現われる 

おける無限大は,すべてこの形で出現します。※
 

さて,(3),(8)のＩ＝∫ｄⁿｋ(2π)^-n[１/(ｋ²－ｍ²＋iε)^α] 

＝{(－i)^α＋1/2(4π)^－n/2Γ(α－ｎ/2)/Γ(α)} 

×(ｍ²－iε)^{－(α－ｎ/2)}なる表現式において,

積分変数:ｋを(ｋ－ｐ)に置換し,かつ,ｍ²を(ｐ²＋ｍ²)に 

変更すると,(ｋ²－ｍ²＋iε)→{(ｋ－ｐ)²－(ｐ²＋ｍ²)＋iε} 

＝(ｋ²－2ｋｐ＋ｍ²＋iε)となります。
 

したがって,伝播関数分母の無限小虚部iεを略して 

∫ｄⁿｋ(2π)^-n[１/(ｋ²－2ｋｐ－ｍ²＋iε)^α] 

＝{(－i)^α＋1/2(4π)^－n/2Γ(α－ｎ/2)/Γ(α)} 

×(ｐ²＋ｍ²)^{－(α－ｎ/2)}..(13) 

という,より一般的な式が得られます。
 

この(13)の両辺を(∂/∂ｐ^μ)微分することにより(2)の 

∫ｄⁿｋ(2π)^-n[(ｋ_μ,ｋ_μｋ_ν,..)/(ｋ²－2ｋｐ－ｍ²＋iε)^α] 

なる形の積分の公式を得ることができます。
 

途中ですが,新項目記事の導入部ということで今回は 

ここまでにします。

　　ブログのテンプレートへのオン書きでない文書を投稿 

するのは久しぶりなので,うまくアップできるかな？
 

※(参考文献)九後太一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

ハッピー・バースディ to me 誕生日です。

何とか69歳の誕生日を迎えました。 

1950年2月１日生まれ,新暦では五黄の寅ですが旧暦では正月前なので六白の丑,です。つまり,丑寅(ウシトラ)年＝鬼年ですね。節分では豆をぶつけられる側です。 

数え年では元旦に古希(70歳)を迎えました。古来より希な年齢というわけですが,現在は70歳は全然希じゃないですがネ。 

若い頃はゲバラもキルケゴ－ルも40歳になる前に死んでるし,自分も神に愛された子なので40歳までには死ぬだろう。などと思い上がってましたが。。

ここまで生きると逆にまだまだ死にたく。ない。。と,しょっちゅう入院していても凡人らしく命が惜しくなってきましたが。。。

予告もなく死は突然来るんだろうなァ。。。

「冥土の旅の一里塚,めでたくもありめでたくもなし」(by 休和尚)ですかね。。

「憎まれっ子。。ヨルにハバカリ。。。」