くりこみ理論(次元正則化)(3)

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

※ブログ草稿を書いていて思ったのですが,外国語の 

テキストなら,直訳的翻訳でも自分のオリジナルな文章 

を書いている,という思いを感じますが,今回のように 

九後さんの日本語のテキストを自分で学習した履歴の 

ノートを,写経していると,もはや弱視力のため種本の 

詳しい参照もむずかしいのですが,自分なりに行間を 

埋めた箇所を除けば,参考の文献とは書きながら,実は

丸写しに近いというような感が否めません。

例の理研のＯさんの博士論文での一部盗用疑惑事件。。 

昔なら文章を丸々コピペする技術など困難で,マニュアル 

で写し取るのも大変でしたから,多少の違いは自然に生じ 

ますから単に引用であると主張できます。

もっとも参考文献であるとして引用先を明示しておけば 

丸写しでも盗用じゃなく引用でしょうが。。。

まあブログ草稿書きは２度目の写経のようなものです。 

「門前の小僧,習わぬ経を覚える。」というようなもので 

私にとってこの勉強法は確認作業です。

オリジナルな発見,発明以外は如何に高邁なものでも所詮 

パクりですからと開き直り。。 

「三つ子の魂百まで」ではないが,10代の後半に受けた物理学 

の洗礼。。幸か不幸か？プロの教師でも研究者でもないのに 

70歳にならんとするまで取り憑かれているのです。 

スポーツじゃないから肉体的障害あっても体力は関係ないし実験

じゃないからお金もかからない道楽ですね。余談でした。※

※さて本題です。,先の第4章摂動論の記事注釈で見たように, 

一般にｎ点Green関数Ｇ^(ｎ)は1PIのｍ点頂点関数Γ^(m)(ｍ＝ｎ) 

で表わされるので,全ての Γ⁽ⁿ⁾を有限にすることができれば 

Ｇ^(ｎ)は有限になるはずです。 

それ故.今後くりこみの議論においては,もっぱら１粒子既約 

(1PI)な頂点関数Γ⁽ⁿ⁾のみを考察することにします。

特に,２点関数:Γ⁽²⁾のtreeグラフ以外の寄与を一般に自己

エネルギー(self-energy)部分と呼びます。

Fermionの自己エネルギー部分(－iΣ(ｐ))に寄与するグラフ 

は今の湯川相互作用のみの場合,先の図7.1で与えられるので,

ここで,その最初のグラフに対応する最低次loop)の寄与: 

(－iΣ^(1-loop)(ｐ))を評価してみます。

－iΣ^(1-loop)ｐ(ｐ)＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^－4(－iｇτⁱ){i/(ｋ－ｍ)} 

(－iｇτ^j)[iδ_ij/{(ｐ－ｋ)²－μ²}]..(3)　です。

この1-loop∫積分は被積分関数がｋの(－３)次で積分ｄ⁴ｋが

ｋの４次なので,明らかに(４－３)＝１次発散量になります。 

(※実際には,すぐ後でわかる運動学的理由から１次 

下がった対数発散となります。※)

そして,Feynmanパラメータ公式:

1／(ａｂ)＝∫₀¹ｄｘ[1/{ａｘ－ｂ(1－ｘ)}²]　より 

－iΣ^(1-loop)(ｐ)＝3ｇ²∫₀¹ｄｘ∫ｄ^ｎｋ(2π)^－ｎ 

[(ｋ＋ｍ)/{ｋ²－2ｘ(ｐｋ)＋ｘ(ｐ²－μ²)－(1－ｘ)ｍ²}²] 

となるため,結局,
　　－iΣ^(1-loop)(ｐ)＝(－1)^1/23ｇ²Γ(2－ｎ/2)(4π)^－n∫₀¹ｄｘ 

[(ｘｐ＋ｍ)/{(1－ｘ)ｍ²＋ｘμ²－x(1－ｘ)ｐ²}^2-n/2]
　　が得られます。

※(注3-1):何故なら,「くりこみ理論(次元正則化)(1)」 

の最後で得た公式(13): 

∫ｄⁿｋ(2π)^-n[１/(ｋ²－2ｋｐ－ｍ²＋iε)^α] 

＝{(－1)^α＋1/2(4π)^－n/2Γ(α－ｎ/2)/Γ(α)}

×(ｐ²＋ｍ²)^{－(α－ｎ/2)}

において,両辺をｐ^μで微分すると

(－α)∫ｄ^ｎｋ(2π)^－ｎ[－ｋ_μ/(ｋ²－2ｋｐ－ｍ²＋iε)^α＋1] 

＝(－1)^α＋1/2(4π)^－n/2Γ(α－ｎ/2)/Γ(α)} 

×(－2ｐ_μ)(ｐ²＋ｍ²)^{－(α－ｎ/2＋1)}　　となります。故に,  

∫ｄ^ｎｋ(2π)^－ｎ[ｋ_μ/(ｋ²－2ｋｐ－ｍ²＋iε)^α＋1]

＝{(－1)^α＋1/2(4π)^－n/2Γ(α－ｎ/2)/Γ(α＋1)} 

×(2ｐ_μ)/(ｐ²＋ｍ²)^{(α－ｎ/2＋1)}です。

そこで,ｐ→(ｘｐ),ｍ² → (1－ｘ)ｍ²－ｘ(ｐ²－μ²)

α→2　という置き換えを実行すれば, 

∫ｄ^ｎｋ(2π)^－ｎ 

[ｋ/{ｋ²－2ｘ(ｐｋ)＋ｘ(ｐ²－μ²)－(1－ｘ)ｍ²}²] 

＝{(－1)^1/2(4π)^－n/2Γ(2－ｎ/2)/Γ(3)}(ｘｐ)　 

/{(1－ｘ)ｍ²＋ｘμ²－x(1－ｘ)ｐ²}^2-n/2]です。

また,∫ｄⁿｋ(2π)^-n 

[ｍ/{ｋ²－2ｘ(ｐｋ)＋ｘ(ｐ²－μ²)－(1－ｘ)ｍ²}²]

＝{(－1)^＋1/2(4π)^－n/2Γ(2－ｎ/2)/Γ(2)}

となるからです。　　(注3-1終わり※)

一方,∫ｄⁿｋ(2π)^-n[１/(ｋ²－2ｋｐ－ｍ²＋iε)^α] 

＝{(－1)^α＋1/2(4π)^－n/2Γ(α－ｎ/2)/Γ(α)}　 

×(ｐ²＋ｍ²)^{－(α－ｎ/2)} ..(13)なる一般式は, 

Ｉ＝∫ｄⁿｋ(2π)^-n[１/(ｋ²－ｍ²＋iε)^α] 

＝{(－i)^α＋1/2(4π)^－n/2Γ(α－ｎ/2)/Γ(α)} 

×(ｍ²－iε)^{－(α－ｎ/2)}…(8)において,　 

ｋ→(ｋ－ｐ),ｍ²→(ｍ²＋ｐ²)と置換したものです。

α＝2,ε＝(4－ｎ)/2＝α－ｎ/2と置くと 

Γ(ε)＝1/ε－γ＋Ｏ(ε)から, 

∫ｄⁿｋ(2π)^-n[１/(ｋ²－2ｋｐ－ｍ²＋iε)^α] 

＝{(－1)^α＋1/2(4π)^－n/2Γ(α－ｎ/2)/Γ(α)}　

×(ｐ²＋ｍ²)^{－(α－ｎ/2)}

＝{(－1)^α＋1/2(4π)^-2

[2/(4－ｎ)－γ＋ln(4π)－ln(ｐ²＋ｍ²)＋Ｏ(4－ｎ)] 

＝{(－1)^α＋1/2(4π)^-2[ε~^-1－ln(ｐ²＋ｍ²)]＋Ｏ(4－ｎ) 

となることが前々記事で導かれました。 

ただし,ε~^-1＝2/(4－ｎ)－γ＋ln(4π)は,無限大部分です。

同様な手順で,－iΣ^(1-loop)(ｐ)から,ｎ＝4の極部分を 

分離すると,次式を得ます。

すなわち, 

－iΣ^(1-loop)(ｐ)＝{(－1)^1/23ｇ²/(16π²)}ε~^-1{(1/2)ｐ＋ｍ}

－iΣ_(有限)^(1-loop)(ｐ)＋Ｏ(4－ｎ).(6-1)：ただし, 

－iΣ_(有限)^(1-loop)(ｐ)]＝{－(－1)^1/23ｇ²/(16π²)}∫₀¹ｄｘ

[(ｘｐ＋ｍ)ln{(1－ｘ)ｍ²＋ｘμ²－x(1－ｘ)ｐ²}].(6-2) 

です。

もしも次元正則化の代わりに,Pauli-Villers正則化を用いて, 

時空次元は4のままで,φの伝播関数:iδ_ij(ｋ²－μ²)^-1を, 

iδ_ij{(ｋ²－μ²)^-1－(ｋ²－Λ²)^-1]としたとすれば, 

その答は上記の(6)でμ²→Λ²としたものを(6)から引く 

だけで得られます。

結果的に極のε~^-1に比例した無限大部分は次のように 

置き換えられます。, 

すなわち.{(－1)^1/23ｇ²/(16π²)}ε~^-1{(1/2)ｐ＋ｍ} 

→{(－1)^1/23ｇ²/(16π²)}∫₀¹ｄｘ 

[(ｘｐ＋ｍ)ln{(1－ｘ)ｍ²＋ｘΛ²－x(1－ｘ)ｐ²} 

＝{(－1)^1/23ｇ²/(16π²)}

×{ｍ(lnΛ²－1)＋(ｐ/2)(lnΛ²－1/2)} 

＋Ｏ[ｐ²/Λ²－(ｍ²/Λ²)ln(ｍ²/Λ²)]..(7)

(※実際の地道なPauli-Villers正則化計算結果との比較 

から係数:(－1)^1/2はiと同定できます。※)

前にも述べたと思いますが,このΛ→∞のとき発散する部分 

である(７)式には切断:Λの１次以上の発散項は出現せず, 

lnΛ²に比例する対数発散項しかありいません。

その理由は,loop積分の結果が必ず(次元１を持つ)ｐやｍ 

に比例した形になるため,結果的に次元が１だけ下がる 

からです。

γ^μには比例せず,単位行列１に比例した部分が因子:ｍを 

少なくとも１つ含むのは,ｍ＝0の場合には,カイラル対称性 

が存在すべきで,そうした(単位行列１に比例した)項は出現 

しないからです。

一般に1-loopでなくてもFermionの自己エネルギー部分は

Σ(ｐ)＝ｐａ(ｐ²)＋ｍｂ(ｐ²) 

＝(ｐ－ｍ)ａ(ｐ²)＋ｍｂ~(ｐ²)；

ｂ~(ｐ²)＝ａ(ｐ²)＋ｂ(ｐ²)…(8)　の形をとります。

ａ(ｐ²),ｂ(ｐ²),ｂ~(ｐ²)はｐ²の関数であり,これらを

ｐ²＝ｍ²のまわりでTaylor展開すれば,,

自己エネルギーは.Σ(ｐ)＝(ｐ－ｍ)ａ＋ｍｂ~ 

＋(ｐ²－ｍ²){(ｐ－ｍ)ａ’(ｐ²)＋ｍｂ~’(ｐ²)} 

(ただし,ａ＝ａ(ｐ²＝ｍ²),ｂ~＝ｂ~(ｐ²＝ｍ²))…(9) 

と書き換えることができます。

前述のΣ^(1-loop)の計算では,次元正則化による式(6)

または,Pauli-Villers正則化による式(7)で, 

Σ(ｐ)＝(ｐ－ｍ)ａ＋ｍｂ~ 

＋(ｐ²－ｍ²){(ｐ－ｍ)ａ’(ｐ²)＋ｍｂ~’(ｐ²)} 

の展開の係数ａ,ｂ~にのみ発散量が出現します。

すなわち, 

ａ^(1）＝{3ｇ²/(16π²)}(1/2)ε~^-1＋(有限定数) ,or 

ａ^(1）＝{3ｇ²/(16π²)}(1/2)lnΛ²＋(有限定数) 

ｂ~^(1）＝{3ｇ²/(16π²)}(3/2)ε~^-1＋(有限定数) ,or 

ｂ~^(1）＝{3ｇ²/(16π²)}(3/2)lnΛ²＋(有限定数)…(10)

です。

そして,残りのａ’(ｐ²),ｂ~’(ｐ²)は有限なｐ²の関数である

ことが示されます。この点は特に重要です。

この事実は.このオーダーでは当然で,そもそも1-loop積分を 

行なう前の式;(3):－iΣ^(1-loop)(ｐ)＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^－4

^{(－iｇτi){i/(ｋ－}(－iｇτj)[iδ_ij/{(ｐ－ｋ)2－μ2}]} 

において,被積分関数を次元１を持つ外線運動量:ｐ^μに関して 

Taylor展開すれば,ｐ^μの次数が上がるごとに,１次ずつｋの 

loop積分の収束性が良くなるからです。 

(※Σ(ｐ)＝(ｐ－ｍ)ａ(ｐ²)＋ｍｂ~(ｐ²)のようにΣ(ｐ) 

を不変振幅:ａ(ｐ²),ｂ~(ｐ²)に分解して,ｐ²の関数として 

Taylor展開すれば収束性は２次ずつ良くなります。※)

問題はａ.ｂ~に現われる無限大をどう処理するか？です。

ａ,ｂ~の物理的意味を見るため,以前の式: 

iＳ_F’(ｐ)＝i{ｐ－ｍ－Σ(ｐ)}^-1＝i{Γ_ψ⁽²⁾(ｐ)}^-1.に 

戻って考えます。

これにΣ(ｐ)＝(ｐ－ｍ)ａ＋ｍｂ~を代入すると,

iＳ_F’(ｐ)＝i{ｐ－ｍ－(ｐ－ｍ)ａ－ｍｂ~}^-1 

＝i(1－ａ)^-1[ｐ－ｍ{1＋ｂ~/(1－ａ)}]^-1..(11)

となります。

これは相互作用の効果によって,ｂ~＜＜1のとき,

Fermionの質量がｍから,ｍ{1＋ｂ~/(1－ａ)}にずれる 

こと.および,場:ψの規格化因子:Ｚ₂が1から(1－ａ)^-1 

に変化することを表わしています。

現状の摂動論では,ａ,ｂ~は無限大に計算されるので, 

ｂ~＜＜1などの条件には程遠いのですが,たとえ発散する 

理論の場合でも,「相互作用が存在すれば質量:ｍと規格化

因子:Ｚ₂をずらす効果を有する。」ということが重要です。

そこで,この効果を予め考慮して,出発点の裸のLagrangian 

Ｌ₀の自由項部分は元の(1)Ｌ＝(1/2)(∂^μφ∂_μφ－μ²φ²)

＋ψ~(γ^μ∂_μ－ｍ－ｇφτ)ψ－(λ/8)(φ²)²のそれとは異なり, 

Ｌ₀^free＝ψ₀~(γ^μ∂_μ－ｍ₀)ψ₀＋(1/2)(∂^μφ₀∂_μφ₀－μ₀²φ₀²) 

(12)であるとします。

相互作用の効果を全て取り込んだ後の正しく規格化された場 

を改めてψ,φとし,正しい質量をｍ,μと呼び,(これらが12) 

に現われる裸の量と,ψ₀＝Ｚ₂^1/2ψ,φ₀＝Ｚ₃^1/2φ,.(13).および, 

ｍ₀＝ｍ－δｍ,μ₀²＝μ²－δμ²..(14)なる関係でつながって 

いるものとします。

そうすれば,Ｌ₀^free＝Ｌ^free＋Ｌ_count^free..(15) 

Ｌ^free＝ψ~(γ^μ∂_μ－ｍ)ψ＋(1/2)(∂^μφ∂_μφ－μ²φ²)(16) 

Ｌ_count^free＝(Ｚ₂－1)ψ~(γ^μ∂_μ－ｍ)ψ＋Ｚ₂δｍψ~ψ 

＋(1/2)(Ｚ₃－1)(∂^μφ∂_μφ－μ²φ²)＋(1/2)Ｚ₃δμ²　(17) 

のように,Ｌ₀^freeは２つの部分:Ｌ^free,Ｌ_count^free.に分けられます。

そして,前者のＬ^freeが先のＬの摂動第0次の自由場部分 

であったと考えます。

先述したように,添字:0のついたψ₀,φ₀を裸の場,ｍ₀,μ₀を 

裸の質量と呼び,対応するψ,φをくりこまれた場,ｍ,μ 

をくりこまれた質量(または,観測される物理的質量)と呼びます。

また,Ｌ_count^free.の各項は相殺項(couter-term)と呼ばれますが,

その理由は次のようにしてわかります。

一般にＺ₂,Ｚ₃やＺ₂δｍ,Ｚ₃δμ²は 

Ｚ₂＝1＋ｈ_cＺ₂⁽¹⁾_＋ｈ_c²Ｚ₂⁽²⁾＋.. 

Ｚ₃＝1＋ｈ_cＺ₃⁽¹⁾_＋ｈ_c²Ｚ₃⁽²⁾＋.. 

Ｚ₂δｍ＝0＋ｈ_cδｍ⁽¹⁾_＋ｈ_c²δｍ₂⁽²⁾＋.. 

Ｚ₃δμ²＝01＋ｈ_cδμ²⁽¹⁾_＋ｈ_c²δμ²⁽²⁾＋..(18) 

と,Plank定数:ｈ_c＝ｎ/(2π)のベキで摂動展開され,

それ故,Ｌ_count^freeが存在すればFermionの自己エネルギー 

に対して.ｈ_cの１次では,既に評価した:Σ^(1-loop)以外に 

Σ_count＝－Ｚ₂⁽¹⁾(ｏ－ｍ)－δｍ^(1),,(19)の寄与がある

ことになります。 

つまり,Ｌ_count^freeのｈ_cの１次の項 

Ｚ₂⁽¹⁾ψ~(γ^μ∂_μ－ｍ)ψ

を相互作用項として用いた図7.3のグラフの寄与です。

　　この寄与を加えれば式(9)で定義したａ,ｂ~は

1-loop:Ｏ(ｈ_c)のオーダーまでの近似で, 

ａ＝ａ⁽¹⁾－Ｚ₂⁽¹⁾,ｍｂ~＝ｍｂ~⁽¹⁾－δｍ⁽¹⁾(20)

となります。(※ａ⁽¹⁾,ｂ~⁽¹⁾は先の1-loop計算:Σ^(1-loop)から 

の寄与です。)

ところが,ψが正しく規格化された場,ｍが物理的質量になる 

よう,予め波動関数(場),質量にくりこみを行ったのですから 

ａ.ｂ~はくりこまれて,ゼロでなければなりません。

実際,ａ＝ｂ~＝0であれば.(11)の表式: 

iＳ_F’(ｐ)＝i{ｐ－ｍ－(ｐ－ｍ)ａ－ｍｂ~}^-1 

＝i(1－ａ)^-1[ｐ－ｍ{1＋ｂ~/(1－ａ)}]^-1によって, 

iＳ_F’(ｐ)＝i/(ｐ－ｍ)となり, 

ψの２点関数(伝播関数)はｐ＝ｍに極を持ち留数は正しく

ｉになります。

したがって,Ｚ₂⁽¹⁾,δｍ⁽¹⁾は,Ｚ₂⁽¹⁾＝ａ⁽¹⁾,δｍ⁽¹⁾＝ｍｂ~⁽¹⁾ 

(21)ととるべきであることがわかります。

すなわち,この操作でΣ(ｐ)の1-loopの計算に現われた発散: 

ａ⁽¹⁾,ｂ~⁽¹はＬ_count^freeの₂⁽¹⁾,δｍ⁽¹⁾の寄与で相殺される必要 

があるのです。

途中ですが今回はこれで終わります。

※参考文献:九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」(培風館)

ＰＳ:また,桜の開花が近づいています。

私はいつまで生きられるのだろう。映像じゃなく満開の桜を

見に行きたいものです。

なぜか,誤嚥性の隠れ肺炎のような状態で,ときどきセキと痰 

が止まらず,酒の席でも他人に迷惑かかりそうで,なかなか,

そうした場に一人で外出できません。

   花見宴会ばかりではなく,桜に囲まれると花イキレというか？ 

異様な高揚感があったことがあるのを記憶しています。

坂口安吾の「桜の森の満開の下」で背中にしがみついた女妖怪

や,梶井基次郎の「桜の木の下には屍体が埋まっている」という 

ような妖しい想像など思い出されます。