くりこみ理論(次元正則化)(5)

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

※平成最後かな？きわどい時期に女子陸上の

小出義雄監督が亡くなられましたが,

私は何とか,昭和,平成,令和の３代を生きられ

そうです。

※３点頂点関数

粒子の自己エネルギー,２点Green関数(伝播関数)

を評価したのに続いて,FermionとBosonの３点

頂点関数:Γ_ψ~ψφ⁽³⁾を計算してみます。

これは,1-loopまでの近似で

Γ^j_ψ~ψφ⁽³⁾(ｐ₂.ｐ₁)＝－ｇτ^j＋Γ^j_ψ~ψφ^(1-loop)(ｐ₂.ｐ₁)

＋Ｏ(ｈ_c²)..(29)　と書けます。

これの右辺第１項はtreeレベルの寄与であり,第２項

は,下図7.5の1-loppグラフの寄与です。

そして,この1-loopの寄与を書き下すと,

Γ^j_ψ~ψφ^(1-loop)(ｐ₂.ｐ₁)

＝∫ｄⁿｋ(2π)^-n[(－iｇτ^j)i{(ｐ₂－ｋ)－ｍ}^-1

(－iｇτⁱ)i{(ｐ₁－ｋ)－ｍ}^-1(－iｇτ^j)

i(ｋ²－μ²)^-1]..(30)　となります。

これに,Feynmanパラメータ公式:1/(ａ₁ａ₂..ａ_n)

＝(ｎ－1)!∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂..∫₀¹ｄｘ_n

δ(1－ｘ₁－ｘ₂－..－ｘ_n)

×[1/(ａ₁ｘ₁＋ａ₂ｘ₂＋..＋ａ_nｘ_n)^ｎ]

を適用します。

※(注5-1):

上記Feynmanパラメータ公式を証明します。

(証明):まず,1/Ａ＝∫₀^∞ｄｘexo(－Ａｘ)

が成立するので.明らかに,ｎ項の積では,

1/(ａ₁ａ₂..ａ_n)＝∫₀^∞ｄｙ₁∫₀^∞ｄｙ₂..∫₀^∞ｄｙ_n

{exp(－ａ₁ｙ₁－ａ₂ｙ₂－..－ａ_nｙ_n)}　書けます。

さらに,1＝∫₀^∞ｄｔδ(ｔ－ｙ₁－ｙ₂－..－ｙ_n)を

挿入すると,1/(ａ₁ａ₂..ａ_n)

＝∫₀^∞ｄｔ∫₀^∞ｄｙ₁∫₀^∞ｄｙ₂..∫₀^∞ｄｙ_n

δ(ｔ－ｙ₁－ｙ₂－..－ｙ_n)

×{exp({－(ａ₁ｙ₁－ａ₂ｙ₂－..－ａ_nｙ_n)}　です。

ここで,ｙ_j＝ｔｘ_j(ｊ＝1,2,..,ｎ)と積分変数を

置換すれば,1/(ａ₁ａ₂..ａ_n)

＝∫₀^∞ｄｔ∫₀^∞ｄｘ₁∫₀^∞ｄｘ₂..∫₀^∞ｄｘ_n

×δ(ｔ(1－Ａ)

ｔ^ｎ{exp({－ｔ(ａ₁ｘ₁－ａ₂ｘ₂－..－ａ_nｘ_n)}

となります。

ただし,Ａ＝ｘ₁＋ｘ₂＋..＋ｘ_n＝Σ_i=1ⁿｘ_i

と置きました。:

さらに,Ｂ＝ａｘ₁＋ａｘ₂＋..＋ａ_nｘ_n＝Σ_i=1ⁿａ_iｘ_i

と置くと,1/(ａ₁ａ₂..ａ_n)

＝∫₀^∞ｄｘ₁∫₀^∞ｄｘ₂..∫₀^∞ｄｘ_n

×∫₀^∞ｄｔ[δ[ｔ(1－Ａ)]ｔ^ｎexp(－ｔＢ)]

です。

右辺の最後のｔ積分の因子のみ着目すれば,

∫₀^∞ｄｔ[δ[ｔ(1－Ａ)]ｔ^ｎexp(－ｔＢ)]

＝δ(1－Ａ)∫₀^∞ｄｔ[ｔ^ｎ-1exp(－ｔＢ)]

＝δ(1－Ａ)Γ(ｎ)Ｂ^-ｎを得ます。

したがって,1/(ａ₁ａ₂..ａ_n)

＝∫₀^∞ｄｘ₁∫₀^∞ｄｘ₂..∫₀^∞ｄｘ_nδ(1－Ａ)Γ(ｎ)Ｂ^-ｎ,

つまり,1/(ａ₁ａ₂..ａ_n)

＝∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂..∫₀¹ｄｘ_n[(ｎ－1)!

δ(1－ｘ₁－ｘ₂－..－ｘ_n)

×[1/(ａｘ₁＋ａｘ₂＋..＋ａ_nｘ_n)^ｎ]

が得られました。(証明終わり)

※※この公式は帰納法でも簡単に示せますが,演繹法

で証明した方が美しいですね。

なお,昔,nifty物理フォーラムで懐かしい,あもんさん

の「あもんノート」を見つけて参照させてもらいました。

(注5-1終わり※)

※(注5-2):

既に,前記事で,ｎ＝2の場合の公式:1/(ａｂ)

＝∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂{δ(1－ｘ₁－ｘ₂)/(ａｘ₁＋ｂｘ₂)²]

＝∫₀¹ｄｘ[1/{ａｘ＋ｂ(1－ｘ)}²]を使用しています。

この両辺を,さらにパラメータａで微分すれば,

1/(ａ²ｂ)＝∫₀¹ｄｘ(2ｘ)/{ａｘ＋ｂ(1－ｘ)}³]

が得られます。

それ故,1/[{ａｘ＋ｂ(1－ｘ)}²ｃ]

＝∫₀¹ｄｙ(2ｙ)/[{ａｘ＋ｂ(1－ｘ)}ｙ＋ｃ(1－ｙ)]³]

より,1/(ａｂｃ)＝∫₀¹ｄｘ∫₀¹ｄｙ

(2ｙ)/[{ａｘ＋ｂ(1－ｘ)}ｙ＋ｃ(1－ｙ)]³]

が成立することがいえます。

また,1/(ａｂ)の表式をａで微分して得た上記,

1/(ａ²ｂ)＝∫₀¹(2ｘ)ｄｘ/{ａｘ＋ｂ(1－ｘ)}³]

を,さらにｂで微分すると,1/(ａ²ｂ²)

＝∫₀¹{6ｘ(1－ｘ)}ｄｘ/{ａｘ＋ｂ(1－ｘ)}⁴]

も得られます。

そこで,1/(ａ^αｂ^β)

＝{Γ(α)Γ(β)/Γ(α＋β)}∫₀¹ｄｘ

{ｘ^α-1(1－ｘ)^β-1}/{ａｘ＋ｂ(1－ｘ)}^(α＋β)]

＝Β(α,β)(α,β＝１,2,..)なる一般公式

が帰納的に得られます。

ここで.係数:Β(α,β)はベータ関数で,

Β(α,β)＝∫₀¹ｄｔ{ｔ^α-1(1－ｔ)^β-1}

で定義されます。

これは,Gaussのガンマ関数によって,Β(α,β)

＝Γ(α)Γ(β)/Γ(α＋β)＝Β(β,α)

とも表わされます。

:先に証明した,

一般的Feynmanパラメータ公式:

1/(ａ₁ａ₂..ａ_n)

＝∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂..∫₀¹ｄｘ_n

[(ｎ－1)!δ(1－ｘ₁－ｘ₂－..－ｘ_n)

/(ａｘ₁＋ａｘ₂＋..＋ａ_nｘ_n)^ｎ]　についても,

これをパラメータａ_iで複数回偏微分する

ことで,1/(ａ₁^α1ａ₂^α2..ａ_n^αn)

に対する積分表式を得ることができます。

そして,1/[{ａｘ＋ｂ(1－ｘ)}²ｃ]

＝∫₀¹ｄｙ(2ｙ)

[1/{ａｘ＋ｂ(1－ｘ)}ｙ＋ｃ(1－ｙ)]³]

から,1/(ａｂｃ)＝∫₀¹ｄｘ∫₀¹ｄｙ

(2ｙ)/[{ａｘ＋ｂ(1－ｘ)}ｙ＋ｃ(1－ｙ)]³]

を得たのと同様にして

一般化された別表現の公式:1/(ａ₁ａ₂..ａ_n)

＝∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂..∫₀¹ｄｘ_n-1

[(ｎ－1)!ｘ₂ｘ₃²..ｘ_n-1^(n-2

⁾/{(ａ₁－ａ₂)ｘ₁ｘ₂..ｘ_n-1＋(ａ₂－ａ₃)ｘ₂..ｘ_n-1

＋..(ａ_n-1－ａ_n)ｘ_n＋ａ_n}^ｎ]

をも示すことができます。(注5-2終わり※)

※(注5-3):余談ですがベータ関数:

Β(ｘ,ｙ)＝∫₀¹ｄｔ{ｔ^ｘ-1(1－ｔ)^ｙ-1}

＝Β(ｙ,ｘ)を見るとき,

伝統的場理論では別のグラフとしてカウント

される散乱のｓチャネルとｔチャネルの過程;,

これは例えばQEDなら電子(ｅ^－)と陽電子(ｅ^＋)

の電磁相互作用(光子の交換)による散乱グラフを,

ｓチャネルとすると,ｅ^－とｅ^＋が対消滅して光子

(γ)になり,再び対生成してｅ^－とｅ^＋の対になる

過程が,ｔチャネルであり,これらはｅ^－とｅ^＋の

散乱振幅には独立な和として寄与します。

ところが,ハドロンの強い相互作用による散乱

ではｓチャネルとｔチャネルの過程は実は同一の

過程で別扱いをして和の寄与があるとすると重複

でダブルカウントになる.という性質:双対性

(そうついせい:duality)が存在することが観測

されていました。そして,この性質を体現する

Venetsiano(ベネツィアノ)模型というものが提議

され,これは上記ベータ関数の性質を利用したもの

であった,という歴史的経緯を想起したわけです。

この模型はハドロン散乱でｓとｔの関数としての

散乱振幅Ａが,Ａ(ｓ,ｔ)

＝Γ(－α(ｓ))Γ(－α(ｔ))/Γ(－α(ｓ)－α(ｔ))

＝Β(－α(ｓ)ｘ,^－α(ｔ))　の形である

というもので.こう仮定すれば,確かに双対性:

Ａ(ｔ,ｓ)＝Ａ(ｓ,ｔ)が成立するわけです。

ただし,αはRegge軌跡における極の粒子の

角運動量を意味します。

そして,双対共鳴模型は強い相互作用では,あまり

評価されませんでしたが,これを強い相互作用で

なく素粒子の２次元のヒモ:超弦模型の基礎式と

して量子化すればBose弦のみ存在する場合は,

背景時空が26次元,Fermi弦の存在する場合は10

次元のときにのみ,負のノルム(負の確率)のゴースト

が出現しない。という,

弦理論では有名な「no-ghost定理」

が示されたことなども思い出されます。

(以上,余談終わり)(注5-3終わり※)

さて, ３点頂点関数:の(29)式

Γ^j_ψ~ψφ⁽³⁾(ｐ₂.ｐ₁)

＝－ｇτ^j＋Γ^j_ψ~ψφ^(1-loop)(ｐ₂.ｐ₁)＋Ｏ(ｈ_c²)

において,右辺第２項の1-loopの寄与:,,

Γ^j_ψ~ψφ^(1-loop)(ｐ₂.ｐ₁)

＝∫ｄⁿｋ(2π)^-n[(－iｇτ^j)i{(ｐ₂－ｋ)－ｍ}^-1

(－iｇτⁱ)i{(ｐ₁－ｋ)－ｍ}^-1

(－iｇτ^j)i(ｋ²－μ²)^-1]

を評価するという主題に戻ります。

ｎ＝3のFeynmanパラメータ公式;

1/(ａｂｃ)＝∫₀¹ｄｘ∫₀¹ｄｙ(2ｙ)

/[{ａｘ＋ｂ(1－ｘ)}ｙ＋ｃ(1－ｙ)]³]

を用いることにより,

Γ^j_ψ~ψφ^(1-loop)(ｐ₂.ｐ₁)

＝－∫₀¹ｄｘ∫₀¹ｄｙ∫ｄⁿｋ(2π)^-n(2ｙ)

(ｇ²(ｇτ^j){(ｐ₂－ｋ)＋ｍ}{(ｐ₁－ｋ)＋ｍ}

[ｋ²－2ｙ{(1－ｘ)(ｐ₁ｋ)＋ｘ(ｐ₂ｋ)}

＋ｙ{(1－ｘ)ｐ₁²＋ｘｐ₂²}－ｍ²ｙ－μ²(1－ｙ)]^-3

と書けます。

ここで,ｐ~＝(1－ｘ)ｐ₁＋ｘｐ₂,かつ,

ｑ＝ｐ₂－ｐ₁と置くと,ｐ~²＝(1－ｘ)²ｐ₁²＋

ｘ²ｐ₂²＋2ｘ(1－ｘ)(ｐ₁ｐ₂),ｑ²＝ｐ₂²＋ｐ₁²

－2(ｐ₁ｐ₂)　なのでｐ~²＋ｑ²ｘ(1－ｘ)

＝(1－ｘ)ｐ₁²＋ｘｐ₂²より

ｋ²－2ｙ{(1－ｘ)(ｐ₁ｋ)＋ｘ(ｐ₂ｋ)}

＋ｙ{(1－ｘ)ｐ₁²＋ｘｐ₂²}－ｍ²ｙ－μ²(1－ｙ)

＝ｋ²－2ｙ(ｐ~ｋ)＋ｙ{ｐ~²＋ｑ²ｘ(1－ｘ)}

－ｍ²ｙ－μ²(1－ｙ)　となります。

これから,Ｄ(ｘ,ｙ)

＝(1－ｙ)μ²＋ｙ{ｍ²－ｑ²(1－ｘ)}

－ｙ(1－ｙ)ｐ~²と置けば,

Γ^j_ψ~ψφ^(1-loop)(ｐ₂.ｐ₁)

＝∫₀¹ｄｘ∫₀¹ｄｙ

{２ｙｇ²(ｇτ^j)(4π)^－n/2/Γ(3)}

{(ｐ₂＋ｍ)(ｐ₁＋ｍ)

－ｙ{ｐ~(ｐ₁＋ｍ)＋(ｐ₁＋ｍ)ｐ~}Γ(3－ｎ/2)

Ｄ(ｘ,ｙ)^-(3-ｎ/2)＋∫₀¹ｄｘ∫₀¹(2ｙ)ｄｙ

[{ｇ²(ｇτ^j)(4π)^－n/2/Γ(2)}

×{Γ(3－ｎ/2)ｐ~²ｙ³Ｄ(ｘ,ｙ)^-(3-ｎ/2)

－Γ(2－ｎ/2)(ｎ/2)ｙＤ(ｘ,ｙ)^-(2-ｎ/2)}]

を得ます。

時空の次元ｎが,ｎ＝4－2ε(ε＝＋0)の場合,

発散はΓ(2－ｎ/2)(ｎ/2)Ｄ(ｘ,ｙ)^-(2-ｎ/2)

＝(1/ε－γ)(2－ε)(1－εlnＤ)

＝2(1/ε－γ－lnＤ)－1のみから生じると

考えられます。

ε~^-1＝1/ε－γ＋ln(4π).および,

∫₀¹ｄｘ＝1,∫₀¹ｙｄｙ＝1/2を用いて

Γ^j_ψ~ψφ^(1-loop)(ｐ₂.ｐ₁)

＝－ｇτⁱ{ｇ²/(16π²)}

[－ε~^-1＋1/2＋2∫₀¹ｄｘ∫₀¹ｙｄｙlnＤ(ｘ,ｙ)

＋∫₀¹ｄｘ∫₀¹ｄｙ

{(ｐ₂＋ｍ－ｙｐ~)(ｐ₁＋ｍ－ｙｐ~)Ｄ(ｘ,ｙ)^-1}

…(31)　が得られます。

※(注5-4):何故なら,前記事では

∫ｄ^ｎｋ(2π)^－ｎ[1/{ｋ²－2(ｐｋ)－ｍ²＋iε}^α]

＝∫ｄ^ｎｋ(2π)^－ｎ[1/{(ｋ－ｐ)²－(ｐ²＋ｍ²)}^α]

＝{(－1)^α＋1/2(4π)^－n/2Γ(α－ｎ/2)/Γ(α)}　

×{1/(ｐ²＋ｍ²)^(α－ｎ/2)なる表式を得ました。

この被積分関数において,ｐ→ (ｙｐ~),

ｍ² → ｙ{ｍ²－ｑ²ｘ(1－ｘ)}－ｙ(1－ｙ)ｐ~²

＋μ²(1－ｙ)　という置き換えを実行すれば,

ｋ²－2(ｐｋ)－ｍ²＝(ｋ－ｐ)²－(ｐ²＋ｍ²)が

(ｋ－2ｙｐ~)²－[ｙ²ｐ~²－ｙ{ｍ²－ｑ²ｘ(1－ｘ)}

＋ｙ(1－ｙ)ｐ~²＋μ²(1－ｙ)]

＝(ｋ－ｙｐ~)²－Ｄ(ｘ,ｙ)　

に置き換わまりす。ただし,Ｄは前に与えた関数

でＤ(ｘ,ｙ)＝(1－ｙ)μ²＋ｙ{ｍ²－ｑ²(1－ｘ)}

－ｙ(1－ｙ)ｐ~²です。

それ故,∫ｄ^ｎｋ(2π)^－ｎ

{(ｋ－ｐ)²－(ｐ²＋ｍ²)＋iε}^-α

＝{(－1)^α＋1/2(4π)^－n/2Γ(α－ｎ/2)/Γ(α)}　

×(ｐ²＋ｍ²)^{-(α－ｎ/2)}という表式から,

∫ｄ^ｎｋ(2π)^－ｎ[ｋ²－2ｙ{(1－ｘ)(ｐ₁ｋ)

＋ｘ(ｐ₂ｋ)}＋ｙ{(1－ｘ)ｐ₁²＋ｘｐ₂²}

－ｍ²ｙ－μ²(1－ｙ)]^-α

＝∫ｄ^ｎｋ(2π)^－ｎ{(ｋ－ｙｐ~)²－Ｄ(ｘ,ｙ)]^-α

＝{(－1)^1/2(4π)^－n/2Γ(α－ｎ/2)/Γ(α)}

Ｄ(ｘｙ)^{-(α－ｎ/2)}を得ます。

これを(∂/∂ｐ~_μ)で微分すると

∫ｄ^ｎｋ(2π)^－ｎ){(2ｋ^μ－2ｙｐ~^μ)(－α)}

{(ｋ－ｙｐ~)²－Ｄ(ｘ,ｙ)]^-(α＋1)

＝(－1)^1/2(4π)^－n/2{Γ(α＋1－ｎ/2)/Γ(α)}

(－2ｙ(1－ｙ)ｐ~^μ)Ｄ(ｘｙ)^{-(α＋1－ｎ/2)}です。

それ故,∫ｄ^ｎｋ(2π)^－ｎ

[ｋ^μ{(ｋ－ｙｐ~)²－Ｄ(ｘ,ｙ)}^-(α＋1)]

＝－(－1)^1/2(4π)^－n/

{Γ(α＋1－ｎ/2)/Γ(α＋1)}

ｙｐ~^μＤ(ｘｙ)^{-(α＋1－ｎ/2)}です。

これを,さらに,(∂/∂ｐ~^ν)で微分すると.

－∫ｄ^ｎｋ(2π)^－ｎ)

{ｋ^μ(2ｋ_ν－2ｙｐ_ν)(α＋1)}

{(ｋ－ｙｐ~)²－Ｄ(ｘ,ｙ)]^-(α＋2)

＝(－1)^1/2(4π)^－n/2Γ(α＋2－ｎ/2)/Γ(α)}

(－ｙｐ~^μ2ｙ(1－ｙ)ｐ~_ν)Ｄ(ｘ,ｙ)^{-(α＋1－ｎ/2)}

－(－1)^1/2(4π)^－n/2Γ(α＋1－ｎ/2)/Γ(α)}

ｙｇ^μ_νＤ(ｘｙ)^{-(α＋1－ｎ/2)}なので,

∫ｄ^ｎｋ(2π)^－ｎ

[(ｋ^μｋ_ν){(ｋ－ｙｐ~)²－Ｄ(ｘ,ｙ)}^-(α－2)]

＝(－1)^1/2(4π)^－n/2Γ(α＋2－ｎ/2)/Γ(α＋2)}

(ｙ²ｐ~^μｐ~_ν)Ｄ(ｘ,ｙ)^{-(α＋2－ｎ/2)}

－(－1)^1/2(4π)^－n/2Γ(α＋1－ｎ/2)/Γ(α＋2)}

ｙｇ^μ_νＤ(ｘ.ｙ)^{-(α＋1－ｎ/2)}です。

したがって,iΓ^j_ψ~ψφ^(1-loop)(ｐ₂.ｐ₁)

＝－∫₀¹ｄｘ∫₀¹ｄｙ∫ｄⁿｋ(2π)^-n

(2ｙｇ²(ｇτ^j){(ｐ₂－ｋ)＋ｍ}{(ｐ₁－ｋ)＋ｍ}

{(ｋ－ｙｐ~)²－Ｄ(ｘ,ｙ)] ^-3

の右辺を,次のように書き下します。

,

まず.－∫₀¹ｄｘ∫₀¹ｄｙ{2ｙｇ²(ｇτ^j)}

∫ｄⁿｋ(2π)^-n{(ｐ₂＋ｍ)(ｐ₁＋ｍ)}

{(ｋ－ｙｐ~)²－Ｄ(ｘ,ｙ)] ^-3

＝－∫₀¹ｄｘ∫₀¹ｄｙ{2ｙｇ²(ｇτ^j)}

(ｐ₂＋ｍ)(ｐ₁＋ｍ)(－1)^1/2(4π)^－n/2

{Γ(3－ｎ/2)/Γ(3)}Ｄ(ｘｙ)^-(3－ｎ/2)

次に,＋∫₀¹ｄｘ∫₀¹ｄｙ{2ｙｇ²(ｇτ^j)}

∫ｄⁿｋ(2π)^-n(ｋ(ｐ₁＋ｍ)＋(ｐ₂＋ｍ)ｋ)

{(ｋ－ｙｐ~)²－Ｄ(ｘ,ｙ)] ^-3

＝∫₀¹ｄｘ∫₀¹ｄｙ{2ｙｇ²(ｇτ^j)}

{ｙｐ~(ｐ₁＋ｍ)＋(ｐ₂＋ｍ)ｙｐ~}(－1)^1/2(4π)^－n/2

{Γ(3－ｎ/2)/Γ(2)}Ｄ(ｘ,ｙ)^-(3－ｎ/2)

さらに,∫₀¹ｄｘ∫₀¹ｄｙ{2ｙｇ²(ｇτ^j)}

－∫ｄⁿｋ(2π)^-nｋ²{(ｋ－ｙｐ~)²－Ｄ(ｘ,ｙ)] ^-3

＝－∫₀¹ｄｘ∫₀¹ｄｙ{2ｙｇ²(ｇτ^j)}

(－1)^1/2(4π)^－n/2{[Γ(3－ｎ/2)ｙ²ｐ~²Ｄ(ｘｙ)^-(3－ｎ/2)

－Γ(2－ｎ/2) (ｎ/2)ｙＤ(ｘｙ)^-(2－ｎ/2)]

と書けるからです。

ここでΓ(3)＝2,Γ(2)＝Γ(1)＝1.を用いました。

(注5-4終わり※)

３点頂点関数を発散部分と有限部分の和で表わした

再表示(31)式:Γ^j_ψ~ψφ^(1-loop)(ｐ₂.ｐ₁)

＝－ｇτⁱ{ｇ²/(16π²)}

[－ε~^-1＋1/2＋2∫₀¹ｄｘ∫₀¹ｙｄｙlnＤ(ｘ,ｙ)

＋∫₀¹ｄｘ∫₀¹ｄｙ

{(ｐ₂＋ｍ－ｙｐ~)(ｐ₁＋ｍ－ｙｐ~)Ｄ(ｘ,ｙ)^-1}　

は今の場合,

Γ^j_ψ~ψφ^(1-loop)(ｐ₂.ｐ₁)

＝∫ｄⁿｋ(2π)^-n[(－iｇτ^j)i{(ｐ₂－ｋ)－ｍ}^-1

(－iｇτⁱ)i{(ｐ₁－ｋ)－ｍ}^-1

(－iｇτ^j)i(ｋ²－μ²)^-1]

のｄ^ｎｋ(ｎ～4)積分をする被積分関数がｋの(－４)

次なので対数発散であり,外線運動量ｐ₁かｐ₂で微分

すると収束するので,発散はこれらに依存しない定数

項にのみ現われています。

一般に３点頂点関数の量子補正項:

Γ^ｊ_ψ~ψφ^(補正)(ｐ₂.ｐ₁)を,関与する３粒子の質量殻:

ｐ₁＝ｐ₂＝ｍ,ｑ²＝(ｐ₂－ｐ₁)²＝μ²のまわりで,展開

したとき,Γ^ｊ_ψ~ψφ^(補正)(ｐ₂.ｐ₁)

＝τ^ｊ[ｃ＋Ｏ(ｐ₁－ｍ,ｐ₂－ｍ,ｑ²－μ²)]

の形をとります。

初項の定数項ｃがゼロでない値を取ったとすると,

これからΓ^ｊ_ψ~ψφ,～ －(ｇ－ｃ)τ^ｊとなるため,

物理的な質量殻上のFermionとBosonの湯川結合定数

が量子補正で,ｇから(ｇ－ｃ)に変化することを意味

します。

物理的に観測される湯川結合定数はｇでなく(ｇ－ｃ)

というのが真なのです。湯川結合定数に限らず,φ⁴

頂点の結合定数λなど,一般に結合定数は質量や場

の規格化定数と同様,相互作用の影響でずれます。

途中ですが長くなったので今回はここで終わります。

※参考文献:

九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」(培風館)

くりこみ理論(次元正則化(4))

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

※Bosonの自己エネルギー

前回はFermionの自己エネルギー:Σ(ｐ))を考察しました。

Bosonφの自己エネルギーをΠ(ｐ²)とすると２点関数は,

iΔ_F’^ij(ｐ²)＝iδ^ij{ｐ²－μ²－Π(ｐ²)}^-1

＝i[Γ_φ⁽²⁾(ｐ²)]^-1..(22)

※(注4-1):Fermionの場合の１粒子既約な自己エネルギー

部分:－iΣ(ｐ)と同じくBosonのそれを－iΠ(ｐ²)と

書くと,iΔ_F’(ｐ²)は初項がａ＝i(ｐ²－μ²)^-1,公比が

ｒ＝(ｐ²－μ²)^-1Π(ｐ²)の等比級数なので和として,

iΔ_F’(ｐ²)＝ａ/(1－ｒ)＝i{ｐ²－μ²－Π(ｐ²)}^-1

を得ます。　　(注4-1終わり※)

これに効く1PIグラフは図7.4の(ａ),(ｂ),および,L_count^free

の相殺項からの寄与です。

したがって,最低次のオーダーで.

Π⁽¹⁾(ｐ²)＝Π^(-loop1)(ｐ²)＋-Π_count⁽¹⁾(ｐ^2..)

ただし,

－iδ^ijΠ^(-loop1)(ｐ²)

＝∫ｄⁿｋ(2π)^-4(－)Tr[(―iｇτⁱ)i(ｋ－ｍ)^-1

(－iｇτ^j)i{(ｋ－ｐ)－ｍ{^-1]　　…(23-ａ)

＋∫ｄⁿｋ(2π)^-4(－iλ/8)4×3＋8)δ^iji/(ｋ²－μ²)(23-ｂ)

－iΠ_count⁽¹⁾(ｐ²)＝i{Ｚ₃⁽¹⁾(ｐ²－μ²)＋δμ²⁽¹⁾}　..(23-ｃ)

※(注4-2):(23-ｂ)は,項:λφ⁴/8のtadpoleの寄与ですが,

φ²＝(φ₁²＋φ₂²＋φ₃²) より

φ⁴＝φ₁⁴＋φ₂⁴＋φ₃⁴＋2φ₁²φ₂²＋2φ₂²φ₃²＋2φ₃²φ₁²

となります。

アイソスピンの保存によりこのtadpoleに入って出て行く

２本の内線ｉ,ｊではｉ＝ｊでなければなりません。

仮にｉ＝ｊ＝1なら寄与するのはφ₁⁴, 2φ₁²φ₂²,2φ₃²φ₁²

のみです。

φ₁⁴については統計因子(対称性因子)は₄Ｐ₂＝4×3です。

残る２つについては因子は２ですから合計8です。

(注4-2終わり※)

Ｔr(τⁱτ^j)＝2δ^ij,Tr[(ｋ＋ｍ){(ｋ－ｐ)＋ｍ}]

＝4ｋ(ｋ－ｐ)＋4ｍ²　より,式(23)の

－iδ^ijΠ^(-loop1)(ｐ²)

＝∫ｄⁿｋ(2π)^-4(－)Tr[(―iｇτⁱ)i(ｋ－ｍ)^-1

(－iｇτ^j)i{(ｋ－ｐ)－ｍ{^-1]　

＋∫ｄⁿｋ(2π)^-4(－iλ/8)4×3＋8)δ^iji/(ｋ²－μ²)

において,

第１項＝∫₀¹ｄｘ∫ｄⁿｋ(2π)^-4(－)2・4ｇ²δ^ij

[{ｋ(ｋ－ｐ)＋ｍ²}/{ｋ²－2ｘ(ｐｋ)－ｘ²ｐ²＋ｍ²)}²]

＝(－i)2・4ｇ²δ^ij(4π)^-ｎ/2

∫₀¹ｄｘ[{Γ(2－ｎ/2)|(ｘ²－ｘ)ｐ²＋ｍ²}

/{ｍ²－ｘ(1－ｘ)ｐ²}^(2－ｎ/2)－Γ(1－ｎ/2)(1/2)ｇ^μ_μ}

/{ｍ²－ｘ(1－ｘ)ｐ²}^(1－ｎ/2)]

＝(－i)2・4ｇ²δ^ij(4π)^-ｎ/2∫₀¹ｄｘ

[{Γ(2－ｎ/2)－Γ(1－ｎ/2)(ｎ/2)}

/{ｍ²－ｘ(1－ｘ)ｐ²}^(1－ｎ/2)]　です。

そして,,Γ(2－ｎ/2)＝Γ(ε)＝1/ε－γ＋Ｏ(ε)

Γ(1－ｎ/2)＝Γ(ε－1)＝Γ(ε)/(ε－1)

＝－Γ(ε){1－ε＋Ｏ(ε²)}

＝－1/ε－γ－1＋Ｏ(ε).：ただし,ε=(4－ｎ)/2

故に,Γ(2－ｎ/2)－Γ(1－ｎ/2)(ｎ/2)

＝3(1/ε－γ)＋1＋Ｏ(ε)　です。

他方,{1/ｍ²－ｘ(1－ｘ)ｐ²}^(1－ｎ/2)

＝{ｍ²－ｘ(1－ｘ)ｐ²}^－(ε－1)

＝{ｍ²－ｘ(1－ｘ)ｐ²}{ｍ²－ｘ(1－ｘ)ｐ²}^－ε

＝{ｍ²－ｘ(1－ｘ)ｐ²¹}[１－εln{ｍ²－ｘ(1－ｘ)ｐ²}]

∫₀¹{ｍ²－ｘ(1－ｘ)ｐ²¹}ｄｘ＝ｍ²－ｐ²/6

よって,与式＝{(－i)2・4ｇ²/(16π²)}

[(3ε~^-1＋1)(ｍ²－ｐ²/6)

－3∫₀¹ｄｘ{ｍ²－ｘ(1－ｘ)ｐ²¹}ln{ｍ²－ｘ(1－ｘ)ｐ²}],

また,∫ｄⁿｋ(2π)^-n(ｋ²－μ²)^-1

＝－i(4π)^-n/2Γ(1－ｎ/2)μ^-(1－ｎ/2)

＝－i(4π)^-n/2(－ε^-1＋γ－1)(1－εlnμ²)μ²

＝{－iμ²/(16π²)}(－ε~^-1－1＋lnμ²) です。

ただし,ε~^-1＝ε^-1－γ＋ln(4π)　です。

それ故,

－iΠ^(1-loop)(ｐ²)＝{(－i)2・4ｇ²/(16π²)}

×[(3ε~^-1＋1)(ｍ²－ｐ²/6)－3∫₀¹ｄｘ

{ｍ²－ｘ(1－ｘ)ｐ²¹}ln{ｍ²－ｘ(1－ｘ)ｐ²}]

＋{－5λ/(32π²)}μ²(－ε~^-1－1＋lnμ²)..(24)

を得ます。

ここでも,次元正則化の代わりにPaulli^Villers正則化

を用いるとどうなるか？を見ておきます。

この場合,図7-4(ａ)の寄与をｇ(ｍ²)と書くとき,これに

１回引き算をしてｇ(ｍ²)－ｇ(Λ²)としたものは,まだ

有限にはなりません。そこで,さらに引き算して,

{ｇ(ｍ²)－ｇ(Λ²)}－{ｇ(Λ²＋ｍ²)－ｇ(2Λ²)}

とします。

同様に,図7-4(ｂ)の寄与:ｆ(μ²)に対しても,

{ｆ(μ²)－ｆ(Λ²)}－{ｆ(Λ²＋μ²)－ｆ(2Λ²)}

とします。

次元正則化の上の式(24)の結果:

－iΠ^(1-loop)(ｐ²)＝{(－i)2・4ｇ²/(16π²)}

×[(3ε~^-1＋1)(ｍ²－ｐ²/6)－3∫₀¹ｄｘ

{ｍ²－ｘ(1－ｘ)ｐ²¹}ln{ｍ²－ｘ(1－ｘ)ｐ²}]

＋{－5λ/(32π²)}μ²(－ε~^-1－1＋lnμ²)

において,この引き算の操作を行えば,

消える項を除いて,Π^(1-loop)(ｐ²)

＝{3ｇ²/(2π²)}[{－(2ln2)Λ²＋ｍ²(lnΛ²＋1)

－(ｐ²/6)(lnΛ²－ln2)}

－∫₀¹ｄｘ{ｍ²－ｘ(1－ｘ)ｐ²¹}ln{ｍ²－ｘ(1－ｘ)ｐ²}]

＋{5λ/(32π²)}(2ln2)Λ²－μ²(lnΛ²＋1－lnμ²)}.(25)

を得ます。

(※↑詳細なチェックは省略して結果を信用します。)

この形には明らかに,Λ²に比例するΛの２次発散の項と

(ｍ²,μ²,ｐ²)×lnΛ²に比例する対数発散の項があること

がわかります。

この場合,これは自己エネルギー部分の式(23)

の再掲(ただし,ｎ＝4):－iδ^ijΠ^(-loop1)(ｐ²)

＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4(－)Tr[(―iｇτⁱ)i(ｋ－ｍ)^-1

(－iｇτ^j)i{(ｋ－ｐ)－ｍ{^-1]

＋∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4(－iλ/8)4×3＋8)δ^iji/(ｋ²－μ²)

において,

被積分関数がｋの(－2)次で,積分が∫ｄ⁴ｋの４次である

こと,および, (ｍ²,μ²,ｐ²)の次元２を持った量で展開

すると,発散の次数が２ずつ下がることから理解できます。

いずれにしても, Π^(-loop1)(ｐ²)は外線運動量:ｐ²の関数

として,ｐ²の0次と１次の項しか含まず,それ故,丁度,

相殺項(23-ｃ):－iΠ_count⁽¹⁾(ｐ²)

＝i{Ｚ₃⁽¹⁾(ｐ²－μ²)＋δμ²⁽¹⁾}で相殺できる形です。

特に, δμ²⁽¹⁾＝Π^(-loop1)(ｐ²＝μ²)

＝Λ²{5λ/(16π²)－3ｇ²/π²}ln2

＋[{3ｇ²/(2π²)}(ｍ²－μ²/6)－5λμ²/(32π²)]

×(ε~^-1 or lnΛ²)＋(有限定数)//(26),

Ｚ₃⁽¹⁾＝[∂Π^(-loop1)/∂ｐ²]_ｐ2＝μ2

＝{ｇ²/(4π²)}×(ε~^-1 or lnΛ²)＋(有限定数).(27)

とおけばΠ^(-loop1)＋Π_count⁽¹⁾は有限で,(ｐ²－μ²)

の２次以上の項は無くなり,伝播関数は,ｐ²＝μ²の

近傍で,iΔ_F^ij(ｐ²)＝iδ^ij/(ｐ²－μ²)..(28)　の形

を物理的質量である,という要請が確かに満たされる

ことになります。

途中ですが,今回はこれで終わります。

次回は３点頂点関数から記述する予定です。

※参考文献:九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」(培風館)