再掲記事'5):ボーズ・アインシュタイン凝縮 関連

「電気伝導まとめ」では,本文内で出現した説明抜き

の専門用語で,後で詳述すると約束していたモノの

1つの「ボーズ・アインシュタイン凝縮」についても

本ブログの2006年の過去記事にあったので、それを

再掲載し,さらに追加の注釈を加えて説明とします。

残るは,「ボルツマンの(輸送)方程式」と緩和時間の

関係だけですね。

※以下は2006年10/11にアップした過去記事です。

表題 「ボーズ・アインシュタイン凝縮とゼータ関数」

　今日はボーズ・アインシュタイン凝縮

(Bose-Einstein condensation)と

その評価式で現われるゼータ関数:ζとの少しの関係などに

ついて述べてみます。

非常に多数個＝Ｎ個のスピンが整数のボーズ (Bose)粒子

(Boson)のみから成る系が絶対温度Ｔの状態ｒに存在する粒子

の個数:ｎ_ｒは,量子統計力学によれば,ボーズ・アインシュタイン統計

にしたがって,ｎ_ｒ＝1/[exp(ε_ｒ－μ)/(ｋ_ＢＴ)－1] という分布式で

与えられます。

系の最低のエネルギー状態(基底状態)は,ε_ｒ＝0 準位ですから,

ｎ_ｒが負になるという有り得ない状況にならないためには,分母の

exp{－μ/(ｋ_ＢＴ)}は.常に1より小さくはならない。という必要性

から,ボーズ粒子の場合には化学ポテンシャル:μは,正(非負)で

ある必要があります

※(追注1):ちなみにスピンが半奇数のフェルミ(Fermi)粒子

(Fermion),例えば,スピンが1/2の電子のようなDirac粒子

では,「同じ1つの状態には１個のFermi粒子だけしか入ることが

許されない。」という「パウリ(Pauli)の排他原理」(禁制原理)が

あり,状態:ｒ にあるFermi粒子の個数は ｎ_ｒ＝0,または,ｎ_ｒ＝1の

いずれかです。

統計分布もスピンが整数:0,1,2..のボーズ・アインシュタイン統計

とは異なり,フェルミ・ディラック(Fermi-Dirac)統計:

ｎ_ｒ＝1/[exp(ε_ｒ－μ)/(ｋ_ＢＴ)＋1]　に従います。

ただし,実際にはスピン1/2の電子には,1つのエネルギー・運動量

固有状態には,スピン成分がアップ(＋1/2)とダウン(1/2)の２つの

異なる状態(２自由度)があるため,電子２個まで入れます。

(注1終わり※)

　さて,多数のボーズ粒子の系に戻りますが,形の状態の

エネルギー準位密度をｇ(ε).つまり,εとε＋ｄεの間の

エネルギー準位区間にある状態数がｇ(ε)ｄεであるとすれば,

これの化学ポテンシャルμは,総個数がＮの条件:

∫₀^∞[{ｅxp(ε－μ)/(ｋ_ＢＴ)－1}^-1ｇ(ε)ｄε＝Ｎから

決まることになります。

そして系の全体積をV,プランク(Planck定数) をｈとすると,座標で

積分した後の半径がｐの運動量空間のｐ～ｐ＋Δｐの球殻の

位相体積要素は4πＶｐ²ｄｐです。

量子統計力学の意味では,位置座標ｑも含めた位相体積:

Δｑ_xΔｑ_yΔｑ_zΔｐ_xΔｐ_yΔｐ_z＝ｈ³ 当りに１つの割合で状態

が存在するため,状態密度は4π(Ｖ/ｈ³)ｐ²ｄｐで

与えられますすが,自由粒子で考えるとき,

ε＝ｐ²/(2ｍ),or ｐ²＝2ｍε　なので.

ｐ²ｄｐ＝(2ｍε)^1/2ｍｄε ですから,結局,

ｇ(ε)＝2πＶ(2ｍ/ｈ²)^3/2ε^1/2 を得ます。

それ故,(2πＶ/ｈ³)(2ｍｋ_ＢＴ)^3/2によって,定数:αが決定される

ことになります。

ただし,α＝－μ/(ｋ_ＢＴ)と置きました。

これは,μ≦0なのでα≧ 0 です。

ここで,1/{ｅxp(ｘ＋α)－1}

＝exp{－(ｘ＋α)}/[1－exp{－(ｘ＋α)}]

＝∑_n=1^∞exp{－ｎ(ｘ＋α)}　なる展開公式を

利用して積分を実行すると,

∫₀^∞ｄｘ[ｘ^1/2/{exp(ｘ＋α)－1}]＝(π^1/2/2)Ｆ[exp(－α)]

＝(π^1/2/2)∑(ｅ^-nα/ｎ^3/2)となります。

ただし,Ｆは,Ｆ(ｘ)＝∑(ｘ^-n/ｎ^3/2)で定義される関数です。

何故なら,∫ｘ^1/2exp(－ｎｘ)ｄｘ＝－(ｄ/ｄｎ)(π/ｎ) ^1/2

＝(π^1/2/2)(1/ｎ^3/2) となるからです。

そして,Ｆ(ｅ^-α)が最大になるのは,明らかにα＝0のときです。

すなわちＦ[1]＝∑(1/ｎ^3/2)＝∑(1/ｎ^3/2)です。

ここで,定義によって∑(1/ｎ^3/2)がゼータ関数のお値:ζ(3/2)

に一致することを用いました。 

そこで,先のαを決めるための条件式は

(2πｍｋ_ＢＴ/ｈ²)^3/2Ｆ[exp(－α)]＝(Ｎ/Ｖ)　となります。

 そこで温度Ｔを下げていくとＦ[exp(－α)]が増加するしかない

ので,αは正の値からゼロに近づていくわけです。

しかし,これがゼロを超えて負になることはできないので,

その極限でのα＝0のときの温度Ｔを臨界温度と呼んでＴ_ｃと

書くと.(Ｎ/Ｖ)＝(2πｍｋ_ＢＴ_ｃ/ｈ²)^3/2ζ(3/2)

≒2.612(2πｍｋ_ＢＴ_c/ｈ²)^3/2 なる関係式が得られます。

それ故,このＴcよりも温度Ｔが低くなれば,もはや,

(2πｍｋ_ＢＴ/ｈ²)^3/2Ｆ(ｅ^-α)＝(Ｎ/Ｖ)からは物理的に意味の

ある化学ポテンシャルは見つからないことになりますね。

しかし,実は化学ポテンシャルμが負の値からゼロにをｎ₀と

すると,ｎ₀＝1/[exp{－μ/(ｋ_ＢＴ)}－1]であり.これは無限大

になるといえます。

これは,実は粒子の総数がΣｎ＝Ｎであるという式の総和∑を,

積分∫ｄεに置換したため,準位密度を与える

ｇ(ε)＝2πＶ(2ｍ/ｈ²)^3/2ε^1/2がε＝0 ではゼロとなり,正味では

発散項であるはずの,ε～0の

ｇ(ε)[exp{ε/(ｋ_ＢＴ)}－1] ～ (const)ε^-1/2が,積分の結果

として消えてしまうので,現実には限りなく大きくなるゼロ状態の

粒子数の項が切り捨てられたためであろう,と考えられます。

そこで,ゼロ状態の項だけを∑ｎ_ｒから抜き出し,残りを積分で

置き換えるという操作をやれば,結局,

ｎ0＋(2πｍｋ_ＢＴ/ｈ²)^3/2Ｆ[exp(－α)]＝(Ｎ/Ｖ)＝Ｎとなり,

これが,αを決める真の式であると考えます。

ところで,ｎ₀ が大きくなって無祖できず,Ｎと比較できるオーダーに

なるのは,ｎ₀＝1/(expα－1) ～ Ｎのときですから,これは

α ~ |/Ｎのときです。

このときＦ[exp(－α)]～Ｆ[1]＝ζ(3/2)≒2.612という

関係式から,ｎ₀ ＋Ｖ(2πｍｋ_ＢＴ/ｈ²)^3/2Ｆ[exp(－α)] 

＝Ｎは,ｎ₀＝Ｎ[１－(Ｔ/Ｔ_ｃ)^3/2]　となります。

例えば「ボーズ気体」などでは,臨界温度Ｔ_c から

下では多くの粒子が,なだれ的にゼロ状態へと落ち込んで

ゆくことになりますが」、これを

「理想ボーズ・アインシュタイン凝縮」と呼びます。

例えば,液体ヘリウム⁴Ｈeでは,この理論での計算値

のＴcは2.13Ｋですが,これは実際の「超流動」や

「超伝導」が起きる転移温度:2.19Ｋと,とても近い値です。

実際,超流動や超伝導の主因は

ボーズ・アインシュタイン凝縮である,

とされています。

先にも追記したように電子のようなスピン半奇数の

フェルミ粒子では粒子数分布はフェルミ・ディラック分布

に従うため,こうした凝縮は起きないはずですが,実際の物質

中では,陽イオンの格子振動などによるフォノンの交換に

よって電子同士に引力が働くため,くーぱー対という電子の

対が構成され.これが対粒子としてボーズ粒子となるので

低温でボーズ・アインシュタイン凝縮を起こして,そのため

電気的には超伝導が起こる主因になるとされています。   

これは有名な「ＢＣＳ理論」の核心ですね。

(参考文献):中村伝 著「統計力学」(岩波全書)

(以上,再掲記事終わり※)

※(追注2):極低温では液体ヘリウム⁴Ｈeが,まるで生きて

てるかのように,容器の壁を上るなどの不思議な

超流動現象がありますが,ゼロ状態の凝縮による大量粒子

は巨視的には,粘性がゼロの流体となり,Landauにより提議

された２流体モデルでは十普通の粘性がある常流体部分と

粘性ゼロの超流体部分が独立に流体運動方程式に従って

運動する結果,そうした奇妙なことが起こることも

説明可能らしいです。

また,極低温でフォノン引力によって電子のクーパー

対が形勢され.この粒子対はボーズ粒子なので,結果,

低温凝縮を起こし巨視的には非回転的流体,つまり,粘性

ゼロの超流動状態の流体＝超流体になって,電気的には

抵抗がゼロの超伝導体になるということが主のＢＣＳ理論

があると,先に述べましたが、南部陽一論先生はこの理論

だけでは満足せず,ＢＣＳ理論はゲージ(位相)変換不変で

なくて変換で電流が生じることに着目しました。

元々はゲージ対称性の存在していた系が自発的に破れ、

その結果,出現するエネルギーゼロの

「南部-Goldstoneモード」が電子のクーパー対の状態

である,というような南部理論を提議されたということ

です。

 南部さんは最近,亡くなられましたが,この物性理論での

対称性の自発的破れの概念を,素粒子論にも適用して

大きな業績を挙げられ。後にノーベル賞を受けたこと

は記憶に新しいですね。

対称性の自発的破れ自体は.物性では,よくある現象で,

 例えば,低温では強い磁性を示す物体の,磁気モーメントの

主因となる電子のスピンが,常温では全く勝手な方向の

(無秩序な)状態＝(エントロピー最大の平衡状態)にある

結果,空間的に等方的という対称性を持つ故に,磁性は

ゼロ(または反磁性)ですが,その系を次第に低温に冷やして

いくと,ある温度＝臨界温度で急にスピンが,ある特殊な

方向に揃う(対称でなくなる),という「対称性の自発的破れ」

が生じて強い磁性を示すようになるという,相転移の

メカニズムとして物性理論では,比較的よく知られて 

いた性質らしいですね。

なお,これらの話の参考文献はネットも含めいろいろ,

寄せ集めです。(注2終わり※)

※ＰＳ2:2006年の昔,office2000かＸＰで作った

古いバージョンのワード文章を少し修正したモノを

上げたとはいえ,あまりにも改行化け,順序デタラメ

がひどく読めるようにするのに苦労しました。

イヤ,まだダメかな？