光の量子論１

※今回は,長年の糖尿病の末に心臓病となり,

2007年４月に心臓手術を受けて,私が心不全

の障害者になった頃より,約１年前のまだ普通

に仕事をしていて,ブログを始めた２ヶ月後の

2006年５/28頃の読書ノートからです。

2019年の今は新しく継続的に本を読んでノート

にまとめる,という作業は,視力の関係で困難と

なってきていますが,本を読める程度の視力が

あった2016年頃までは新しいノートも続々と

できていました。(※ 私の本格的に読んで理解

しようとする行為は,まさに写経ですから。※)

ブログを始めた56歳の2006年3月以前に作成

したノートたちの回顧録だけじゃなく,それ以後に

好奇心で,さらに読み学んだことも書いてきました。

まだ,命があって,機会があればこれはと思うモノ

については,またブログで回顧したいと思います。

第１章Planckの放射法則とEinstein係数

• 1.1 空洞内の場のモードの密度

電磁放射は,空洞内に閉じ込められているものと

考えると好都合です。

すなわち,理論的な扱いでは,対象空間を有限範囲

に制限することが役に立ちます。

ただし,これは方便です。一般に,計算結果が空洞

の大きさ,形,性質に依存することはないからです。

そこで,対象を一辺がＬの立方体空洞に選んでいい

です。そして,空洞の壁は完全な導体であるとすると,

電場Ｅの接線成分はゼロというｋ境界条件を満たす

べきです。(さもないと壁に電流が流れてしまう

からです。)

Planckの法則は,温度Ｔで熱平衡になっている

空洞内部の電磁放射のスペクトル分布を表わした

ものです。

この放射は黒体放射(黒対輻射)と呼ばれています。

さて,真空中の電場Ｅは,光速をｃとすると,

それは,

波動方程式:∇²Ｅ＝(1/ｃ²)(∂²Ｅ/∂ｔ²）(1.1)

とMaxwell方程式,および,横波条件:

∇Ｅ==0.(1.2)を満たします。

境界条件を満たす上記方程式の解を,

Ｅ(ｒ,ｔ)

＝(Ｅ_ｘ(ｒ,ｔ),Ｅ_ｙ(ｒ,ｔ),Ｅ_ｚ(ｒ,ｔ))

と書くと,成分は次のように表わされます。

Ｅ_ｘ(ｒ,ｔ)

＝Ｅ_ｘ(ｔ)cos(ｋ_ｘｘ)sin(ｋ_ｙｙ)sin(ｋ_ｚｚ)

Ｅ_ｙ(ｒ,ｔ)

＝Ｅ_ｙ(ｔ)sin(ｋ_ｘｘ)cos(ｋ_ｙｙ)sin(ｋ_ｚｚ)

Ｅ_ｚ(ｒ,ｔ)

＝Ｅ_ｚ(ｔ)sin(ｋ_ｘｘ)sin(ｋ_ｙｙ)cos(ｋ_ｚｚ)

(1.3)　です。

ただし,

Ｅ(ｔ)＝(Ｅ_ｘ(ｔ),Ｅ_ｙ(ｔ),Ｅ_ｚ(ｔ))

は,位置ｒには無関係な時間依存ベクトルです。

そして,波動ベクトル:ｋ＝(ｋ_ｘ,ｋ_ｙ,ｋ_ｚ)

は,境界条件故に次の成分を持ちます。

ｋ_ｘ＝πν_ｘ/Ｌ,ｋ_ｙ＝πν_ｙ/Ｌ,

ｋ_ｚ＝πν_ｚ/Ｌ.(1.4)

；ν_ｘ,ν_ｘ,ν_ｚ＝0,1,2,..(1.5)　です。

そして,整数:ν＝(ν_ｘ,ν_ｙ,ν_ｚ)の成分は

３つのうちの２つがゼロだと無意味なゼロ解

となるので,１つの成分しかゼロになることが

できない,という制限を持ちます。

さらに,∇Ｅ==0.(1.2)という条件は,

解に,ｋＥ(ｔ)＝0.(1.6)という束縛条件

を与えます。これはＥ(ｔ)がｋに垂直である

という条件であり,それ故,ｋが決まると,

これに対してＥ(ｔ)には特別な方向が存在する

ということになります。

(ｋに垂直な２つの偏り方向です。)

整数の組:(ν_ｘ,ν_ｙ,ν_ｚ)の各々は,空洞内

の放射場の１つのモードと定義されるモノを

定めますが,２つの偏りを考慮すると,この1つ

のモードには２つの自由度が対応します。

電磁場の励起は全て,これらのモードの場の

線型和で表わすことができます。

ここで,求めたいのは,波動ベクトルｋの大きさ

がｋとｋ＋ｄｋの間にある場のモード数を

与える式です。

これは丁度半径ｋとｋ＋ｄｋで囲まれた

８分球殻内の格子点の数に等しいはずです。

そこで,求める個数は,

(1/8)(4πｋ²ｄｋ)×(π/Ｌ)^-3×2　　.(1.7)

と書けます。

場のモードの密度:ρ_ｋｄｋは,上述の範囲内

に,その波動ベクトルを持つ空洞の単位体積当り

のモード数として定義されます。

よって,(1.7)から,ρ_ｋｄｋ＝(ｋ²/π²)ｄｋ.(1.8)

となります。これは一般に成立する式であり,これ

を導く際に用いた特殊な空洞の実体とは無関係です。

一方,角周波数ω＝2πνは,波数ｋ＝2π/λ,

および,光速ｃ＝νλと合わせてω＝ｃｋ.(1.9)

なる関係があります。

それ故,ωとω＋ｄωの間にあるモードの密度

ρ_ωｄωを,(1.8)のρ_ｋｄｋ＝(ｋ²/π²)ｄｋから

求めると,ρ_ωｄω＝{ω²/(π²ｃ²)}ｄω.(1.10)

と変換されます。

こうして,体積Ｖの中のモードの総和,Σ_ｋ

を積分:∫(Ｖｋ²/π²)ｄｋ,あるいは,

∫{Ｖω²/(π²ｃ²)}ｄω.(1.11)に置換して

いいことになります。

• 1.2 場のエネルギーの量子化

次に,第２段階として,温度Ｔの各々の場の

モードに蓄えられたエネルギー量を決定します。

電場の時間依存性は,(1.1)の波動方程式:

∇²Ｅ＝(1/ｃ²)(∂²Ｅ/∂ｔ²）に,(1.3)の

モード解を代入し.ω＝ｃｋを用いることで得られ,

ｄ²Ｅ(ｔ)/ｄｔ²＝－ω²Ｅ(ｔ).(1.12)となります。

これの各周波数ωが正と限定した解は次の形です。

Ｅ(ｔ)＝Ｅ₀exp(－iωｔ) .(1.13)

※(注:1.1):(1.13)は数学的で形式的な複素表現の

解です。これとは独立にＥ₀exp(iωｔ)なる解も

あります。

しかし,もちろん,現実の電場は実数であるべき

ですから.Ｅ₀exp(－iωｔ),Ｅ₀exp(iωｔ)という

独立解の代わりに,それらの線型和で実数となる

独立解:Ｅ₀cos(ωｔ),Ｅ₀sin(ωｔ)を採用すべき

とも考えられますが,必要なら適宜実部を取ると

して,この形のまま,複素電場ということで議論

を先に進めます。(注:1.1終わり※)

ところで,古典電磁気学によれば,

時刻ｔに空洞内の電磁場が持つエネルギー

は,(1/2)∫_(空洞)(ε₀Ｅ²＋Ｂ²/μ₀)ｄＶ　(1.14)

で与えられることがわかっています。

ただし,Ｅ,Ｂはそれぞれ実電場,実磁場であり,

ε₀,μ₀は,それぞれ,真空の誘電率,透磁率です。

そして,これら真空の誘電率,透磁率は,光速ｃと,

ｃ＝1/(ε₀μ₀)^1/2>(1.15)なる関係にあります。

今,考えている場のモードについての複素電場

はモード解(1.3)において,その時間依存の係数

が,(1.13)の]複素解Ｅ(ｔ)＝Ｅ₀exp(－iωｔ)と

いう形で与えられる,とします。

振動の１サイクル:Ｔ＝2π/ωの間のエネルギー

の変化は,一般に測定には影響されないので,便宜上,

振動の１サイクルについて場のエネルギーを平均

したものを,場のエネルギーｒとして採用すること

にします。

ここで,必要な次の定理を与え,証明しておきます。

※[サイクル平均定理]:

exp(－iωｔ)の形で時間変動する２つの複素数

をＡ,Ｂとすると,Ａ,Ｂの実部の積を振動の

１サイクルについて平均したものは.この平均

を記号:＜ ＞で表わすと,

＜(ReＡ)(ReＢ)＞＝(1/2)Re(ＡＢ^＊)(1.16)

である。

(証明)：Ａ₀,Ｂ₀を実数として,

Ａ＝Ａ₀exp(－iωｔ),Ｂ＝Ｂ₀exp(－iωｔ)と

おくと,ReＡ＝Ａ₀cos(ωｔ),ReＢ＝Ｂ₀cos(ωｔ)

なので,(ReＡ)(ReＢ)＝Ａ₀Ｂ₀cos²(ωｔ)です。

故に,１周期:Ｔ＝ω/(2π)についての平均は,

＜(ReＡ)(ReＢ)＞

＝(1/Ｔ)∫₀^Ｔ[(ReＡ)(ReＢ)]ｄｔ

＝(Ａ₀Ｂ₀/Ｔ)∫₀^Ｔ[{1＋cos(2ωｔ)}/2]ｄｔ

＝(Ａ₀Ｂ₀/Ｔ) [ｔ/2＋sin(2ωｔ)/(4ω)]₀^Ｔ

＝Ａ₀Ｂ₀/2　となります。

一方,ＡＢ^＊＝Ａ₀Ｂ₀ですから,結局,

＜(ReＡ)(ReＢ)＞＝ＡＢ^＊/2　を得ます。

(証明終わり)

さて,真空中の磁場Ｂは,電場Ｅと次の

関係式:∇×Ｅ＝－∂Ｂ/∂ｔ.(1.17)を

満たします。

そして,モード解(1.3)を再掲すると,

電場:Ｅ＝(Ｅ_ｘ,Ｅ_ｙ,Ｅ_ｚ)の陽な形は,

Ｅ_ｘ＝Ｅ_ｘ(ｔ)cos(ｋ_ｘｘ)sin(ｋ_ｙｙ)sin(ｋ_ｚｚ)

Ｅ_ｙ＝Ｅ_ｙ(ｔ)sin(ｋ_ｘｘ)cos(ｋ_ｙｙ)sin(ｋ_ｚｚ)

Ｅ_ｚ＝Ｅ_ｚ(ｔ)sin(ｋ_ｘｘ)sin(ｋ_ｙｙ)cos(ｋ_ｚｚ)

です。

また,Ｂの時間依存部分:Ｂ(ｔ)は,Ｅと同じ

モードでは,Ｂ(ｔ)＝Ｂ₀exp(－iωｔ)の形である

はずなので,∂Ｂ/∂ｔ＝－iωＢ　を満たします。

それ故,このＥの具体的な形から,∇Ｅ＝0は,

ｋ_ｘＥ_x(ｔ)＋ｋ_ｙＥ_y(ｔ)＋ｋ_ｘＥ_ｚ(ｔ)＝0

を意味します。

一方,∇×Ｅ＝－∂Ｂ/∂ｔのｘ成分は,

∂Ｅ_ｚ/∂ｙ－∂Ｅ_ｙ/∂ｚ＝－∂Ｂ_ｘ/∂ｔ

ですが,これは,

(ｋ_ｙＥ_ｚ(ｔ)－ｋ_ｚＥ_ｙ(ｔ))

×｛sin(ｋ_ｘｘ)cos(ｋ_ｙｙ)cos(ｋ_ｚｚ)}

＝－∂Ｂ_ｘ/∂ｔ　を意味します。

そこで,電場,磁場の時間係数部分:Ｅ(ｔ),

Ｂ(ｔ)のみに着目すれば,∇Ｅ＝0,

および,∇×Ｅ＝－∂Ｂ/∂ｔは,

それぞれ,ｋＥ(ｔ)＝0,および,

ｋ×Ｅ(ｔ)＝－∂Ｂ(ｔ)/∂ｔ と読み換

えられます。これらについては前にも指摘

していますが,具体的に検証しました。

ここで,ｋＥ₀＝0より,ｋとＥ₀は直交して

いるため,|ｋ×Ｅ₀|＝ｋＥ₀です。

また電場と磁場の時間依存性の具体形:

Ｅ(ｔ)＝Ｅ₀exp(－iωｔ),および,

Ｂ(ｔ)＝Ｂ₀exp(－iωｔ)を考慮します。

すると,ｋ×Ｅ(ｔ)＝ｋＥ₀exp(－iωｔ),

＝－∂Ｂ(ｔ)/∂ｔ＝iωＢ₀exp(－iωｔ)

となりますが,この等式の実電場,実磁場

の意味での対応を書き下すと,,

ｋＥ₀cos(ωｔ)＝ωＢ₀cos(ωｔ),および,

－iｋＥ₀sin(ωｔ)＝iωＢ₀sin(ωｔ)

です。

したがって,振幅の比較では,

ｋＥ₀＝ωＢ₀なる関係式を得ます。

それ故,Ｂ₀＝(ｋ/ω)Ｅ₀

＝Ｅ₀/ｃ＝(ε₀μ₀)^1/2Ｅ₀.(1.18)です。

すなわち,振幅についてＢ₀²/μ₀＝ε₀Ｅ₀²

なので,Ｂ²/μ₀＝ε₀Ｅ²と結論されます。

つまり,場のエネルギーへの電場と磁場の

寄与は全く同じです。

以上から,場のサイクル平均エネルギーは,

＜(1/2)∫_(空洞)(ε₀Ｅ²＋Ｂ²/μ₀)ｄＶ＞

＝(1/2)∫_(空洞)ε₀|Ｅ(ｒ,ｔ)²|ｄＶ.(1.19)

となることがわかります。

ただし,ここでのＥ(ｒ,ｔ)は実電場ではなく

複素電場を意味します。

※ここでPlanckの量子仮説を導入します。

(1.13)のＥ(ｔ)＝Ｅ₀exp(iωｔ)のＥ₀は,どの

ような大きさでもいいので,古典論では(1.19)

で与えられる場のエネルギーは,正でありさえ

すれば,どんな値でも取ることができます。

しかし,電場Ｅ(ｔ)は調和振動子の方程式:

ｄ²Ｅ(ｔ)/ｄｔ²＝－ω²Ｅ(ｔ)を満たしていて,

これは,量子論では調和振動子のエネルギーは,

Ｅ_ｎ＝(ｎ＋1/2)ｈ_cω(ｎ＝0,1,2.).(1.20)

という離散的値しか取ることができません。

そこで,電磁場を各モードが調和振動子であり

電磁場全体は振動子の集合体であると見なして

量子化すると,(1/2)∫_(空洞)ε₀|Ｅ(ｒ,ｔ)²|ｄＶ

＝(ｎ＋1/2)ｈ_cω.(1.21)と書けます。

この条件は,Ｅの振幅Ｅ₀が取り得る大きさを

制限します。しかし,当分は電磁場は量子化せず,

半古典的に扱い,後の第４章から全体を量子力学

の系として扱いに戻ることにします。

ここでは,Planckの法則の説明に必要なので,

量子論的議論を続けます。

ｎ＝0のときの基底状態でのエネルギー:ｈ_cω/2

は,零点エネルギーといわれます。

また,モードの電磁エネルギーが.ｎ番目の

Ｅ_n＝(ｎ＋1/2)ｈ_cωにあるときには,第ｎ励起

状態にあるといいます。

量子化された場理論では,量子数ｎが１だけ

増加(減少)したときには光子が１個生成(消滅)

したといわれます。

• 1.3 Planckの法則

温度がＴで熱平衡にあるときに.モードの振動子が

第ｎ励起状態に熱的に励起されている確率をＰ_ｎと

すると,これは,通常のBoltzmann(ボルツマン)因子

を用いて,Ｐ_ｎ＝exp{－Ｅ_ｎ/(ｋ_ＢＴ)}

/[Σ_ｎexp{－Ｅ_ｎ/(ｋ_ＢＴ)}].(1.22)で与えられる

と考えられます。

これにＥ_n＝(ｎ＋1/2)ｈ_cωを代入して.

Ｕ＝exp{－ｈ_cω/(ｋ_ＢＴ)}.(1.23)とおけば,

分子,分母でｈ_cω/2に関わる項は相殺されて

Ｐ_ｎ＝Ｕ^ｎ/(Σ_ｎ＝0^∞Ｕ^ｎ) (1.24)と書けます。

ω＞0で,Ｕ＝exp{－ｈ_cω/(ｋ_ＢＴ)}＜1なので、

Σ_ｎ＝0^∞Ｕ^ｎ＝1/(1－Ｕ).(1.25)となりますから,

Ｐ_ｎ＝(1－Ｕ)Ｕ^ｎ.(1.26)を得ます。

そこで,温度Ｔにおける平均光子数(励起準位数)

＜ｎ＞は,＜ｎ＞＝Σ_n(ｎＰ_n)＝(1－Ｕ)Σ_n(ｎＵ^ｎ)

＝(1－Ｕ)Ｕ・(∂/∂Ｕ)[Σ_nＵ^ｎ]

＝Ｕ/(1－Ｕ).(1.27)です。

これに,Ｕ＝exp{－ｈ_cω/(ｋ_ＢＴ)}.を代入して,

＜ｎ＞＝1/[ exp{ｈ_cω/(ｋ_ＢＴ)}－1](1.28)

を得ます。この注目すべき結果が,

「Planckの熱励起関数」と呼ばれるものです。

ここで,(1.18)式のωに対するモードの密度:

ρ_ωｄω＝ω²ｄω/(π²ｃ³)と,上記の(1.28)から

零点エネルギーを無視して,温度Ｔでの平均の

電磁エネルギーは＜ｎ＞ｈ_ｃωであるとすると,

温度Ｔでの平均の電磁エネルギー密度を,

Ｗ_Ｔ(ω)ｄωと定書くとき,これは,

Ｗ_Ｔ(ω)ｄω＝＜ｎ＞ｈ_cωρ_ωｄω

＝＜ｎ＞ｈ_cω³ｄω/(π²ｃ³)であり,

結局,,

Ｗ_Ｔ(ω)ｄω＝{ｈ_cω³/(π²ｃ³)}ｄω

/[exp{ｈ_cω/(ｋ_ＢＴ)}－1].(1.29).

となります。

これが放射エネルギー密度: Ｗ_Ｔ(ω)に

対する有名な「Planckの法則」です。

Planckの法則は高温と低温では少し簡単な

形になります。

まず,(ｋ_ＢＴ)＞＞ｈ_cωのときは,

Ｗ_Ｔ(ω)～ ω²ｋ_ＢＴ/(π²ｃ³).(1.30)です。

これは,1900年にRaylei(レーリー)によって

導かれた放送であり,ｈ→ 0 の極限です。

一方,(ｋ_ＢＴ)≦ｈ_cωのような低温では,

Ｗ_Ｔ(ω)

～{ｈ_cω³/(π²ｃ³)}exp{－ｈ_cω/(ｋ_ＢＴ)}

(1.31)となります。これはWienの公式です。

(1.29)をωで微分してゼロと置きます。

0＝{ｈ_c/(π²ｃ³)}

(－{ｈ_cω³/(ｋ_ＢＴ)}exp{ｈ_cω/(ｋ_ＢＴ)}

＋3ω²[exp{ｈ_cω/(ｋ_ＢＴ)}－1])

/[exp{ｈ_cω/(ｋ_ＢＴ)}－1]².です。

故に,{3－ｈ_cω/(ｋ_ＢＴ)}exp{ｈ_cω/(ｋ_ＢＴ)}

＝3で,これが成立します。

よって,これはｈ_cω/(ｋ_ＢＴ)～2.8で成立します。

それ故,ｈ_cω_max～2.8ｋ_ＢＴ.(1.32)を満たすω_max

で,エネルギー密度分布が最大になります。

これをWienの変位則といいます。

空洞内の光子(放射電磁波)の全エネルギー密度

(単位時間,単位面積当りの放射エネルギー)は,

∫₀^∞Ｗ_Ｔ(ω)ｄω＝∫₀^∞ｄω({ｈ_cω³/(π²ｃ³)}

/[exp{ｈ_cω/(ｋ_ＢＴ)}－1])

＝{ｋ_Ｂ⁴Ｔ⁴/(π²ｃ³ｈ_c³)}

×∫₀^∞[ｘ³/{exp(ｘ)－1}]ｄｘ

＝π²ｋ_Ｂ⁴Ｔ⁴/(15ｃ³ｈ_c³).(1.33)となります。

※ここで,ゼータ関数の考察から,

∫₀^∞[ｘ³/{exp(ｘ)－1}]ｄｘ＝π⁴/15となる

ことを用いました。

放射の全エネルギー密度がＴ⁴に比例する

というのは1879年に定式化された,

Stephan^Boltzmann(ステファン・ボルツマン)

の放射法則です。

Ｅ_Ｔ(ｒ,ｔ)を空洞内の放射場の全てのモード

から成る温度Ｔの全電場とすると,

∫₀^∞Ｗ_Ｔ(ω)ｄω

＝{1/(2Ｖ)}∫_(空洞)ε₀|Ｅ_Ｔ(ｒ,ｔ)|²ｄＶ

(1.34)が成立しています。

(参考文献)：Rodney.Loudon著

(小島忠宣・小島和子共訳)「光の量子論第２版」

(内田老鶴舗)

※例によって参考文献とか言いながら,元の著書

そのままの丸写しじゃないか。との批判がある

かも知れませんが,まあ,私自身の自己満足の

ウェブ日記でもあり,それでも,この種の専門書,

はそのまま読んでも浅学者には意味不明の不親切

な箇所がありがちで,私としては,そこを自分なりに,

わかりやすく書き下したつもりです。

光源(電球・蛍光灯・LED)(1)(電球)

前回は素朴な疑問としてエアコン,冷蔵庫などの

主要システムである熱交換器に関わる話をしました。

今回は,まず,世間ではエジソンが創ったと思われている

けれど,最初に発明したのはスワンという人物でエジソンは

フィラメントとして適切な物質の竹などを用いて実用化した

とされている電灯,白熱電球の話から始めて,蛍光管からLED

(発光ダイオード;ight emitting diode)まで,回路の電流に

より光(可視周波数帯の電磁波)が発生する原理を考察します。

今回の第１弾は,単純な電灯,電球です。

全体のストーリーは,次の通りです。

電気が流れて回転して戻ってくる回路という

モノを考えます。電気の通り道の役割をする導線

で回路をつくり,途中にロスに対抗して恒常的に

電流を流す電流源としてエネルギーを供給する

電池のような,「起電力」を持つ機器を挿入した

電気回路を想定して考察します。

　ただの電気の通り道として,は銅のように電気抵抗

が小さくエネルギーロスの少ない材質の金属導線を

使用し,逆に「ジュール熱」の発生を促して,それを

有用な機器として利用したい部分には,その用途に

応じて,ニクロムやタングステンなど抵抗が大きい

材質の導線をつなぎます。

発生した熱は,それを完全断熱の理想的保温容器

に閉じ込めない限り,伝導,対流.放射(輻射)によって

次第に逃散してゆきます。

特に,熱を得て有限な温度を持つどんな物体からも,

黒体輻射のプランク分布に比例した,波長-強度対応

で,多かれ少なかれ,あらゆる波長(周波数)の電磁波

を放射します。

この色-温度関係が黒体でない一般物質でも黒体

輻射のそれに形としては比例する,という性質が

「キルヒホッフの法則」として知られています。

放射される電磁波(光子)は波長が短かい方から

(周波数が高い＝エネルギー大きい方から)順に

γ線,Ｘ線,紫外線,可視光線,赤外線.etc.という

名称が付いていますが,そのうち灯りとしての

使用目的で,可視光線が多く放射されることが

期待される抵抗導線部分を,外から見えるように

透明な壁で内部が真空な容器や希ガスの入った

容器を被せたモノが,(白熱)電球というわけです。

抵抗導線を閉じ込めても電磁波は内壁で完全反射

れない限り,透過して出てきますからね。

これだけのストーリーを説明するために,本ブログ

過去記事を再編集して「電気伝導まとめ(1),(2)」では.

「オームの法則」と「ジュール熱」発生のメカニズム

の詳細を,そして「黒体輻射(キルヒホッフの法則)」など

の過去記事を修正,再掲載して羅列しました。

これで全体説明の準備が完了したというわけです。

最終的には,平衡が保持されない放置の状態では

高温の物体からは(低温の物体でも)熱が逃げていくの

ですが,熱が失われてゆく手段には伝導,対流,放射しか

なくて,真空中や気体中に接触しないで逃げていく形態

は熱輻射(電磁波放射)の形だけです。

そして,それは先にも述べたように振動数(波長)に

よっては,赤外線,可視光,紫外線,Ｘ線と呼ばれる光線

を全て分布として含んでいるため,可視光も出ています

から,後は便利で効率よく利用できる機器に整えるだけ

です。

(※ 余談ですが空気や水の中で対流が起きるのは,

地球の重力(引力)のせいですね。一般に空気も水

も温度が高い方が軽く,低いほうが重いので,重力

落下で混合されるのは,高度が上の温度よりも下

の温度が高いとき,(気圧で言えば上空が高気圧で

低空の地上付近が低気圧のとき)でないと,対流は

生じません。

しかも,上の温度が低く,下の温度が高くても

温度差が小さい場合は,空気や水自体は静止して

いて,熱伝導だけの熱移動で,平衡状態を保つのに十分

なので対流は起きず,気象の意味では大気が安定した

状態にあるといわれます。

　逆に,地上が熱せられたりして,上下の温度差が大きく

なると,熱伝導だけでは熱移動が不十分になり,熱を持つ

空気や水自身も移動する必要性が生じて対流が起きると

いうわけです。

温度差がかなり大きいと急激な下降気流が起きます。

しかし,一方的に下降し続けるということはないので,下降

気流と上昇気流は,必ずセットで起こり,これが大気不安定

なときの対流現象です。

(※本ブログ過去記事「ベナール対流」参照)

水の場合,昔は岡山県の田舎の実家では五右衛門風呂

をマキで炊いて沸かしていたのですが,偶の一番風呂だと

上面が熱くても,その下は水のまま,ということもあって

まず,かき回して人工対流を起こしてから入ったのが昭和

30年頃のなつかしい思い出です。(以上,余談終わり※),

さて,全体のストーリーよりも少しだけ詳しく本題

を要約します。

まず,電気回路に電気を流すと,一般に導線部分には,

それが超伝導体でない限り,ゼロでない電気抵抗という

ものがあり,その大きさをオーム(Ω)という単位でＲと

書くとき,回路に挿入した直流起電力,または,抵抗を

挿入した部分の端子間電圧(電位差)をＶ(ボルト)とし

そこを流れる電流をＩ(アンペア)とすればＶ＝ＩＲ

という関係式が成立する,という「オームの法則」が

あります。

「電気伝導まとめ(1),(2)」では2006年６月の一連

の電気伝導の過去記事:「電気伝導(オームの法則)」

「電気伝導(つづき1)(ジュール熱)」,および,

「電気伝導(つづき2)(衝突の正体)」を再整理して,

アップし直しました。

「オームの法則」では,ブラウン運動などを規定する

確率過程で現われる,ラン・ジュバン(Langevin)方程式

ｍ(ｄｖ/ｄｔ)＝Ｆ－γｖ＋Ｒ(ｔ)という方程式が

ありますが,これのアナロジー的理論を展開しました。

この方程式は,水中で花粉が複雑な運動をする

のを,花粉の質量をｍ,速度をｖとして運動方程式

を立てたものです。

(－γｖ)は水の粘性抵抗を表わしたものですが

これは,水などの流体中に,ある半径ａの小球がある

と仮定すると,巨視的に連続体と見なされた流体の

流れが遅いときには,これを変形速度が応力に比例

する,というNewton流体で近似して,接線応力のため

ηを粘性率として,小球は6πηａｖという値で評価

されるｖに比例した抵抗力を受けるという,

「ストークス(Stokes)の法則」の表現です。

(※ ↑2007年７/27,７/28の本ブログの過去記事:

「遅い粘性流(1),(2)(Stokes近似)」参照※)

また,水とは独立に花粉だけが受ける外力があれば,

それをＦとします。

そして,普通量の水は微視的には莫大な個数の水分子

の集まりですから,花粉がそれらの水分子と絶えず

衝突することで受けると考えられる,我々には

確率的にしか評価できないと思われる乱雑な水の

分子運動由来の力をＲ(ｔ)と書くとき,Newtonの

運動方程式は,巨視的見地,微視的見地を折衷した形

で,先述のLangevin方程式:

ｍ(ｄｖ/ｄｔ)＝Ｆ―γｖ＋Ｒ(ｔ)

で与えられると考えたわけです。

これは花粉に限らず,流体分子と比較できる

サイズの微粒子が水や空気などの流体中で複雑

なジグザグ運動をするのを,発見した人物の名を

とって「ブラウン運動」と呼びますが,これは

時間的に確率が変動する確率過程という現象の

解析に用いられる方程式です。

今の電荷の運動では,対象媒体の金属は常温では固体

であり,流体ではないですが,微視的には格子状に並ぶ

金属原子の集まりですから,金属原子の束縛から解放

された電子たちが陽イオンの海を流れるという描像で

流体中の微粒子のアナロジーとして考えます。,

電場Ｅがある場合の金属固体中の電荷ｅの電子

なら,金属格子の運動に起因するランダムな力は

平均的にはゼロでＲ(ｔ)＝0であり,また,Ｆ＝ｅＥ

です。(※Ｅは電場です。)

そして,巨視的な変形速度が応力に比例する粘生抵抗:

－γｖは,原子の束縛から解放された電子が古典論的

には陽イオンのイオン芯と衝突するとされ,量子論的

にはイオンの格子振動波のフォノンと衝突して,その

過程での電子の平均の自由運動時間を緩和時間;τと

定義して導入すれば.(－γｖ)は(－ｍｖ/τ)に

置き換えられて,先のLangevin方程式は

ｍｄｖ/ｄｔ＝ｅＥ－ｍｖ/τと変更されるわけです。

これを満たすイオンと電子流の系が十分時間が

経って平衡に達し,電流が一定:ｄｖ/ｄｔ＝0と

なった場合には,ｅｖ＝τｅ²Ｅ/ｍとなり抵抗部分

の全体積:(ＬＳ)(断面積Ｓ,長さＬ)の中にＮ個の

可動電子が電荷ｅで存在すれば,数密度:

ｎ＝Ｎ/(ＬＳ)を用いて.電流密度はＪ＝ｎｅｖ

＝ｎτｅ²Ｅ/ｍ.であり,これをＪ＝σＥ,

σ＝ｎｅ²τ/ｍと書けば,σは電気伝導率です。

電流Ｉは,Ｉ＝ＪＳ＝σＳＥですから.Ｒ＝Ｌ/(σＳ)

と置けば,Ｖ＝ＥＬで,Ｉ＝Ｖ/Ｒ,つまり,Ｖ＝ＩＲとなり,

σ＝ｎｅ²τ/ｍからＲ＝ｍL/(ｎＳｅ²τ)と,電気抵抗:

Ｒの値が評価されます。

こうした形でオームの法則:V＝ＩＲが成立

することが説明されます。

そして,次の「ジュール熱」の項では,

まず,ポテンシャル(電位)Ｖ(ｘ)(ボルト)を導入

して,電気力をｅＥ＝－∇(ｅＶ) と書きます。

「オームの法則」の項で与えた運動方程式は,

ｍｄｖ/ｄｔ＋∇(ｅＶ)＝－ｍｖ/τとなり,両辺

にｖを乗じた結果,エネルギーの時間発展方程式:

(ｄ/ｄｔ){(ｍｖ²/2)＋ｅＶ}＝－ｍｖ²/τを

得ます。これは,つまり,力学的エネルギー:

{(ｍｖ²/2)＋ｅＶ}が抵抗の存在のために保存

されず,単位時間に電子1個当り,(ｍｖ²/τ)の

率で損失(ロス:散逸)があることを意味します。

これは,電流が一定の平衡に達してｄｖ/ｄｔ＝0

となってもｄ(ｅＶ)/ｄｔ＝－ｍｖ²/τという形で

位置エネルギーの損失という形で残ります。

力学的エネルギー損失率の(ｍｖ²/τ)は,Ｎ個の

電子では,Ｎｍｖ²/τですが,電場Ｅが一定でその方向

がｘ軸正なら,Ｖ(ｘ)＝－Ｅｘ＋(定数)ですから抵抗

端子間の電位差を単にＶ(定数)とすればＶ＝ＥＬです。

また,前と同様,数密度;ｎ＝Ｎ/(ＬＳ)で電流密度Ｊ

をＪ＝ｎｅｖ＝σＥ(σ＝ｎｅ²τ/ｍ)と書くことが

できて,電流は,Ｉ＝ＪＳ＝ｎＳｅｖ＝σＳＥ,Ｖです。

それ故,ＩＶ＝(ｎＳｅｖ)(ＥＬ)＝ＮｅｖＥですが,

ｅｖ＝τｅ²Ｅ/ｍより,逆に,Ｅ＝ｍｖ/(ｅτ)なので

ＩＶ＝ＮｅｖＥ＝Ｎｍｖ²/τを得ます。

右辺は,丁度先に評価した単位時間当りの

全エネルギー損失に一致していますから,結局,

このＰ＝ＩＶが.単位時間に抵抗部分から散逸

してゆくエネルギーを意味します。

これは,もちろん,力学的エネルギーではなく,

熱というモノを発生させるエネルギーですから,

「ジュール熱」と呼ばれるものです。また,

いわゆる「消費電力(Power)」とも呼ばれるモノで

単位はワット(Ｗ＝Ｊ/sec)です。

そして,次の「衝突の正体」の項目では,古典的には

電気抵抗の原因となる緩和時間τを生じさせる衝突

散乱が,キャリアである金属内の自由電子近似の電子

が陽イオン芯と衝突であろうと推測されたモノが,

実は,格子状に並ぶ陽イオンの周期的ポテンシャルに

弱く束縛された「ブロッホ電子」が,静止したイオンの

格子群ではなく,量子的にはフォノンと呼ばれる運動

する格子:格子振動波にり進路を曲げられる散乱の結果

であることを述べました。

　その過程で,固体物理学では,こちらの方がより重要

かも知れない,格子ポテンシャルの周期性が原因で,

ブロッホ電子の取りえるエネルギー準位がバンド構造

を持ち,結果,固体が絶縁体,半導体,導体の電気的性質

をとるメカニズムを説いた「バンド理論」の概略に

ついても記述しました。

そして,また,超流動,超伝導現象の主因となるらしい

「ボーズ・アインシュタイン凝縮」の話や緩和時間の

定義を与える「ボルツマン方程式」についての過去記事

を復習しました。

「黒体輻射とキルヒホッフの法則」では,有限な空洞

(箱)の中にある絶対温度Ｔの物体からは,熱平衡では強度

の周波数(波長)への対応が,黒体輻射のプランクの分布に

比例した形で電磁波が放射(輻射)されることを述べました。

熱平衡になくても,温度が安定していれば,ほぼ同じです。

今回はこれで終わりです。

スゴイ！！ ヒマワリちゃん。。。世界一

夜中に大興奮。。渋野日向子さん。。

全英女子オープンゴルフ優勝！！

キャディー兼コーチとのペアで談笑する姿に

テニスの大坂なおみちゃんとサーシャコーチが重なった。。

日向子(ひなこ)ってなかなか変換されない。

向日葵の葵をとって文字を逆転。

ウーン。。スマイリング」シンデレラ？よりヒマワリちゃん,でいいじゃないか。。

モグモグはかわいかった。。

メガネかけるとアニメの金田一クン。。テレ朝の大木優紀アナにも似てる？

2018年春先まで来ていた,訪問看護のS牧さんにも似ています。

※　ＰＳ:私と同じ岡山県出身とは知りませんでした。

私は亡父は明石,亡母は和歌山の出の関西人ですが,

私は岡山県は玉島市(現倉敷市)の生まれで,中高は金光学園という学校でした。

岡山ってのは有名人は少ないですね。。

隣の広島県は,首都圏以外では九州(特に福岡)と並んで

東京でヒトハタ上げようとするヒトが多いみたいですが。。

岡山は,まあ,変人が多くて思いつくままに有名人を羅列すると

古くは剣豪の宮本武蔵,絵画の竹久夢二,哲学者の三木清,政治家の犬養毅,

物理学者の仁科芳雄博士や将棋の大山十五世名人とかが有名かな。。

スポーツでは,古いけど水泳の木原美知子,。

マラソンの有森裕子,体操の森末慎二,フィギュアスケートの高橋大輔。

プロ野球なら平松,松岡,星野の巨人キラーの投手陣。。

野手なら大杉に川相くらい。。そうそうボクシングの辰吉丈一郎

芸能人なら,志穂美悦子,大橋恵理子や,元イエローキャブのメグミ,

よく知らないが,岩井志麻子(小説家？),男優では,長門勇や宅間伸

悪役商会で元プロ野球選手で最近亡くなった青汁コマーシャルの誰だっけ

芸人では島田洋八や次長・課長の河本,ブルゾンちえみや千鳥の2人くらい

イヤー。。渋野ちゃんはピカ一ですね。。。

ボルツマン方程式と緩和時間

表題のテーマについて詳細に説明すると約束して

いましたが,これについても本ブログの2008年に

関連の過去記事があったので,今回はこれらの記事

を再掲載することから始めます。

※以下,まず,再掲記事第１弾:2008年11/２にアップ

した古典統計力学においての考察記事です。

表題「ボルツマン方程式とＨ定理」

今日は,不可逆過程の要因解明の関連で.

「ボルツマン(Boltzmann)方程式」と

「ボルツマンのＨ定理」について述べたい

と思います。

　まず,質量がｍで全分子数がＮの気体が速度ｖと

ｖ＋ｄｖの間にある粒子数の分布をｆ(ｖ)ｄｖと

します。

簡単な考察によって,絶対温度Ｔで熱平衡状態に

ある場合,ｆ(ｖ)はMaxwell-Boltzmann分布,つまり,,

ｆ(ｖ)＝Ｎ[ｍ/(2πｋ_BＴ)]^3/2exp[－ｍｖ²/(2ｋ_BＴ)]

に従うことがわかります。

これは,∫ｆ(ｖ)ｄｖ＝Ｎと規格化しています。

次に,同じ気体分子が非平衡状態にあるとして,

その分布関数を位置ｒと速度ｖ,および,時刻ｔの

関数としてｆ(ｒ,ｖ,ｔ)と表記します。

つまり,時刻ｔにｒとｒ＋ｄｒ,ｖとｖ＋ｄｖに

ある分子数をｆ(ｒ,ｖ,ｔ)ｄｒｄｖとします。

これも,∫ｆ(ｒ,ｖ,ｔ)ｄｒｄｖ＝Ｎと規格化して

おきます。

　このとき粒子の衝突を無視した自由運動による

各位置の近傍での粒子数の保存を示す連続の方程式

は,∂ｆ/∂ｔ＋ｖ∇ｆ＝0 となります。

これはリウビル(Liouville)の方程式を分布関数で

与えたものとなっています。

　しかし一般に非平衡状態では衝突による粒子数変化

による「湧き出し項」として.衝突項が存在して連続

の方程式は∂ｆ/∂ｔ＋ｖ∇ｆ＝(∂ｆ/∂ｔ)_coll と

なるはずです。

これを「ボルツマン(Boltzmann)(輸送)方程式」

と呼びます。

そして,ある時刻ｔに速度ｖ’とｖ₁’をもつ粒子対が

衝突して単位時間に速度ｖとｖ₁との粒子対となって,

ｖ～ｖ＋ｄｖ,ｖ₁～ｖ₁＋ｄｖ₁領域に

入ってくるプロセスの頻度を,

σ(ｖ,ｖ₁|ｖ’,ｖ₁’)　とします。

これと全く逆に,ｖ～ｖ＋ｄｖ,ｖ₁～ｖ₁＋ｄｖ₁領域

から出て行くプロセスの頻度を

σ(ｖ’,ｖ₁’|ｖ,ｖ₁)　とします。

すると,衝突(湧き出し)項は,

(∂ｆ/∂ｔ)_coll

＝∫σ(ｖ,ｖ₁|ｖ’,ｖ₁’)ｆ(ｒ,ｖ’,ｔ)

×ｆ(ｒ,ｖ₁’,ｔ)ｄｖｄｖ₁ｄｖ’ｄｖ₁’

－∫σ(ｖ’,ｖ₁’|ｖ,ｖ₁)ｆ(ｒ,ｖ,ｔ)

×ｆ(ｒ,ｖ₁,ｔ)ｄｖｄｖ₁ｄｖ’ｄｖ₁’

になると考えられます。

　ところで力学の時間反転に対する対称性

から,ｖとｖ₁からｖ’とｖ₁’に変わる頻度は,

－ｖ’と－ｖ₁’から－ｖと－ｖ₁に変化する頻度

に等しい。ということがいえます。

つまり,σ(ｖ’,ｖ₁’|ｖ,ｖ₁)

＝σ(－ｖ,－ｖ₁|－ｖ’,－ｖ₁’)

と考えられます。

この等式を「衝突数算定の仮定」といいます。

　さらに座標軸の向きを逆転させても,こうした

プロセスの頻度は同じと考えられるので,

σ(－ｖ,－ｖ₁|－ｖ’,－ｖ₁’)

＝σ(ｖ,ｖ₁|ｖ’,ｖ₁’)　

も成立するはずです。

そこで,結局

σ(ｖ,ｖ₁|ｖ’,ｖ₁’)＝σ(ｖ’,ｖ₁’|ｖ,ｖ₁)

としてよいと考えられます。

　ここで略記法として,

f＝ｆ(ｒ,ｖ,ｔ), f’＝ ｆ(ｒ,ｖ’,ｔ),

ｆ₁＝ｆ(ｒ,ｖ₁,ｔ),ｆ₁’≡ ｆ(ｒ,ｖ₁’,ｔ)

と置くことにすれば,

衝突項は,(∂ｆ/∂ｔ)_coll

＝∫σ(ｖ,ｖ₁|ｖ’,ｖ’₁)( f’ｆ₁’－ f f₁)

ｄｖ₁ｄｖ’ｄｖ₁’と簡単になります。

気体分子の衝突は,弾性衝突と考えてよいので,

衝突1の前後でエネルギーも運動量も保存されると

考えられるため,ｖ＋ｖ₁＝ｖ’＋ｖ₁’かつ,

ｖ²＋ｖ₁²＝ｖ’²＋ｖ₁’² 以外の場合には.

σ(ｖ,ｖ₁|ｖ’,ｖ’₁)＝0 です。

　Boltzmann方程式が「不可逆過程」を記述している

ことを示すために,ここで「ボルツマンのＨ関数」

という関数:Ｈを.

Ｈ(ｒ,ｔ)＝∫ｆ(ｒ,ｖ,ｔ)logｆ(ｒ,ｖ,ｔ) ｄｖ

で定義します。

ここでlog＝ln (自然対数)lnを意味します。

　このとき,∂Ｈ/∂ｔ＝∫(∂ｆ/∂ｔ)(logｆ＋1)ｄｖ

と書けますが,これにボルツマン方程式:

∂ｆ/∂ｔ＋ｖ∇ｆ＝(∂ｆ/∂ｔ)_coll を代入すると,

∂Ｈ/∂ｔ＝∫(logｆ＋1)[－ｖ∇ｆ＋(∂ｆ/∂ｔ)_coll ]

＝－∇[∫ｖ∇(ｆlogｆ)ｄｖ]

＋∫(logｆ＋1)(∂ｆ/∂ｔ)_collｄｖ

となります。

この右辺で,１×(衝突項)の部分の積分は,

∫(∂ｆ/∂ｔ)_collｄｖ

＝∫σ(ｖ,ｖ₁|ｖ’,ｖ’₁)( f’ｆ₁’－ f f₁)

ｄｖｄｖ₁ｄｖ’ｄｖ₁’です。

これは,σ(ｖ,ｖ₁|ｖ’,ｖ’₁)の,

ｖ,ｖ₁,ｖ’,ｖ₁’の粒子交換に対する対称性

と.( f’ｆ₁’－ f f’)の交換反対称性から,

ゼロとなります。

したがって,Ｈの流れとして

Ｊ_H＝ｖ∇(ｆlogｆ)ｄｖを定義すると,

∂Ｈ/∂ｔ＋∇Ｊ_H

＝∫[(logｆ)(∂ｆ/∂ｔ)_coll]ｄｖ

となります。

これは,ボルツマンのＨ関数の.流出入以外の

正味の生成である,ｄＨ/ｄｔ＝∂Ｈ/∂ｔ＋∇Ｊ_H

が,∫[(logｆ)(∂ｆ/∂ｔ)_coll]ｄｖで与えられる

ことを示しています。

そして,∫[(logｆ)(∂ｆ/∂ｔ)_coll]ｄｖ

＝∫[(logｆ)σ(ｖ,ｖ₁|ｖ’,ｖ’₁)( f’ｆ₁’－ ff₁)]

ｄｖｄｖ₁ｄｖ’ｄｖ₁’です。

この式の右辺は,

∫[(logｆ₁)σ(ｖ₁,ｖ|ｖ₁’,ｖ’)

×( f₁’ｆ’－ f₁ f)]ｄｖｄｖ₁ｄｖ’ｄｖ₁’,

∫[(logｆ’) σ(ｖ’,ｖ₁’|ｖ,ｖ₁)

×( f f₁－f’ｆ₁’)]ｄｖｄｖ₁ｄｖ’ｄｖ₁’,

∫[(logｆ₁’)σ(ｖ₁’,ｖ’|ｖ₁,ｖ)

×( f₁ f－f₁’ｆ’)]]ｄｖｄｖ₁ｄｖ’ｄｖ₁’

の全てと等しいことになります。

しかも対称性からこれらのσは全て等しいので

簡略してσ(ｖ,ｖ₁|ｖ’,ｖ₁’)を単にσと

略記することにします。

すると,∫[(logｆ)(∂ｆ/∂ｔ)_coll]ｄｖ

＝(1/4)∫[σ( f’ｆ₁’－ ff₁)

×(logｆ＋logｆ₁－logｆ’－logｆ₁’)]

ｄｖｄｖ₁ｄｖ’ｄｖ₁’

＝(1/4)∫[σ( f’ｆ₁’－ ff₁)log(ff₁/f’f₁’)

ｄｖｄｖ₁ｄｖ’ｄｖ₁’

と書けることになります。

ところが,σは衝突頻度ですから,当然σ≧0 であり

しかも,(ｘ－ｙ)log(ｙ/ｘ)≦0 ですから,結局,

ｄＨ/ｄｔ＝∫[(logｆ)(∂ｆ/∂ｔ)_coll]ｄｖ≦0

が示されたことになります。

つまりボルツマンのＨ関数は時間と共に,常に一定.

または,減少する,ということが示されたわけです。

こうして,時間反転不変＝可逆な力学法則から,

どういうわけか不可逆変化が導かれました。

これを,「ボルツマンのＨ定理」といいます。

しかし,これに対しては,

「ロシュミット(Loschmidt=の逆行性批判」という

有名な反論があります。

すなわち,「ある瞬間に時間的変化を反転する,

つまり全粒子の向きを逆転させると逆にＨは過去

に向かって減少する,または未来に向かっては増加

することになる。」という反論です。

これは,まことにもっともな話です。

こうしたさまざまな反論に悩んだ末に,とうとう

ボルツマンは自殺に追い込まれてしまったのです。

今考えると,実はＨ定理は確率法則による定理で

あり,例えば衝突頻度σに対して「衝突数算定の仮定」

が導入されています。

既に,「速度空間の大きい体積の方には,小さい体積

よりも粒子数が多いはずである。」などの等重率の原理

のような確率的構想が入っていて,単純な可逆的力学

法則からの確率概念的な飛躍があることに気づきます。

というわけで,確率法則としてボルツマンのＨ定理

の主張は正当である,と認めて問題ないと思います。

ところで,Ｈ関数は非平衡状態に対して与えられたもの

ですが,熱平衡状態は∫[(logｆ)(∂ｆ/∂ｔ)_coll]ｄｖ＝0 ,

つまり,ｆｆ₁＝ｆ’ｆ₁’であること,に対応します。

そして,このときはｆをｒで積分したものが,速度ｖに

対するMaxwell-Boltzmann 分布を与えます。

平衡統計力学においてのみ定義され,数式的に

与えられるエントロピーＳを計算すると,

これは,ボルツマンのＨ関数と.

Ｓ＝－ｋ_B∫Ｈ(ｒ,ｔ)ｄｒ＋(定数)　という関係

にあることがわかります。

そこで、エントロピーの概念を拡張して,非平衡状態

でもエントロピーＳをＳ＝－ｋ_B∫Ｈ(ｒ,ｔ)ｄｒで定義

すればよいのでは？　と考えることができます。

「孤立系＝(構成粒子の流出入のない系)では.

エントロピーは常に増加する。」という熱力学第２法則

は,平衡状態に対するボルツマンのＨ定理の言い換えに

過ぎない,ということにもなります。

(参考文献):

北原和夫 著「非平衡系の統計力学」

(岩波基礎物理学シリーズ)

エリデ・ランダウ 著「統計物理学」(岩波書店)

テル・ハール「熱統計学Ⅰ」(みすず書房)

(以上,再掲記事(1)終わり※)

(※次に,再掲記事第２弾　2008年11/8アップ)

表題「量子的ボルツマン方程式」

「古典的気体分子」ではなくて「金属内の自由電子」

という量子的”フェルミ気体“にボルツマン方程式;

∂ｆ/∂ｔ＋ｖ∇ｆ＝(∂ｆ/∂ｔ)_coll を適用すること

を考えてみます。

ｈ_c＝ｈ/(2π)とすると,波数ｋの電子波束の速度

＝(群速度)は,ｖ_k＝(1/ｈ_c)∂ε_k/∂ｋであり.ｋの時間変化

は,外力として電場Ｅがあるときには電子の電荷をｅ(＜0)

として,ｄｋ/ｄｔ＝ｅＥｈｈ_cとなります。

そして,波数がｋの電子波束をフェルミ粒子として,

その分布関数をｆ_kとすると,

「量子的ボルツマン方程式」は,

∂ｆ_k/∂ｔ＋ｖ_k∇ｆ_k＋ｋ(∂ｆ_k/∂ｋ)＝(∂ｆ_k/∂ｔ)_coll

となります。この左辺の第３項は,電場による波束の変化、

つまり,運動量;ｐ＝ｈ_cｋの時間的変化による分布の変化

を示しています。

波数:ｋ’＋ｄｋ’とｋ₁’＋ｄｋ₁’の間の電子波束対

が衝突して,単位時間に波数:ｋとｋ₁の波束対となり,

ｋ～ｋ＋ｄｋ,ｋ₁～ｋ₁＋ｄｋ₁領域に入ってくる散乱

の確率を,σ(ｋ,ｋ₁|ｋ’,ｋ₁’)ｄｋ₁ｄｋ’ｄｋ₁’

とし,これと全く逆にｋ～ｋ＋ｄｋ, ｋ₁～ｋ₁＋ｄｋ₁

領域から出て行く散乱の確率を

σ(ｋ’,ｋ₁’|ｋ,ｋ₁)ｄｋ₁ｄｋ’ｄｋ₁’

とします。

気体分子運動論のときと同様に,f＝ｆ_k ,ｆ₁＝ｆ_k1,

f’＝ｆ_k’,ｆ₁’＝ｆ_k1’と置くと,衝突前の波数:ｋ,

ｋ₁の波束の減少は(ｆｆ₁)にも比例しますが,衝突後

の状態:ｋ’とｋ₁’が占有されていないことが必要

なので,(1－ｆ’)(1－ｆ₁’)にも比例します。

したがって,”衝突項”は,

(∂ｆ/∂ｔ)_coll＝∫σ(ｋ,ｋ₁|ｋ’,ｋ₁’)ｆ’ｆ₁’

×(1－ｆ)(1－ｆ₁) ｄｋ₁ｄｋ’ｄｋ₁’

－∫σ(ｋ’,ｋ₁’|ｋ,ｋ₁)ｆｆ₁(1－ｆ’)(1－ｆ₁’)

ｄｋ₁ｄｋ’ｄｋ₁’　

となる,と考えられます。

量子力学でも時間に関する可逆性,空間反転対称性

は成り立ち「衝突数算定の仮定」の統計的意味は,

量子力学自体が確率現象なので,さらなる重みを

持ちます。

それ故,(∂ｆ/∂ｔ)_coll＝－∫σ(ｋ,ｋ₁|ｋ’,ｋ₁’)

[ｆｆ₁(1－ｆ’)(1－ｆ₁’)

－f’ｆ₁’(1－ｆ)(1－ｆ₁)]ｄｋ₁ｄｋ’ｄｋ₁’　

となるはずです。

量子論でのフェルミ粒子系のエントロピーは.

Ｓ＝－k_B∫[ｆlogｆ＋(1－ｆ)log(1－ｆ)]ｄｋ

ですから,このときのＨ関数は.

Ｈ＝∫[ｆlogｆ＋(1－ｆ)log(1－ｆ)]ｄｋ

と定義すればよい,と思われます。

古典論と同じように考察して,

ｄＨ/ｄｔ＝∫[log{ｆ/(1－ｆ)}(∂ｆ/∂ｔ)_coll]ｄｋ

＝(1/4)∫σ[ｆ’ｆ₁‘(1－ｆ)(1－ｆ₁)

－ｆｆ₁(1－ｆ’)(1－ｆ₁’)]log[ｆｆ₁ (1－ｆ’)(1－ｆ₁’)

/{f’ｆ₁’(1－ｆ)(1－ｆ₁)}]ｄｋｄｋ₁ｄｋ’ｄｋ₁’

と書けます。

そこで古典的気体分子運動論と同じく,金属内の

「フェルミ気体」である自由電子の運動論でも,Ｈ定理:.

ｄＨ/ｄｔ＝∫[log{ｆ/(1－ｆ)}(∂ｆ/∂ｔ)_coll]ｄｋ≦0

が成立して,ぉれがエントロピーの増大則:ｄＳ/ｄｔ≧0

を保証します。

今度の場合では,熱平衡状態というのは,

∫[(logｆ)(∂ｆ/∂ｔ)_coll]ｄｋ＝0 ,すなわち,

ｆｆ₁/[(1－ｆ)(1－ｆ₁)]

＝f'f₁'/[(1－ｆ’)(1－ｆ₁’)]に対応しており,

ｆがフェルミ・ディラック分布:

ｆ＝1/[exp{(ε_k－μ)/(ｋ_BＴ)}＋1]

に従うならば,この条件は確かに満足されて

います。

(参考文献):

北原和夫 著「非平衡系の統計力学」

(岩波基礎物理学シリーズ)

(以上,再掲記事(2)終わり※)

さて,「ボルツマン方程式」を古典論と量子論の両方

で定義し,考察した過去記事を上に紹介しましたが,

これらの主眼は,「ボルツマンのＨ定理」の数学的証明

を与えて解釈することにあり,「時間反転不変で可逆的

な１粒子の基本運動方程式から,多体系に移って統計的

に扱うときには,如何にして時間を逆行することができ

ないという巨視的意味での「不可逆性」が導入され,

正当化されるか？を述べた記事たちです。

では,最初,固体系内の電子が陽イオン芯であれ,フォノン

であれ,衝突して散乱される際,その衝突間に自由な運動を

する平均時間として導入され,定義された「緩和時間」と

いうのは,ボルツマン方程式の中ではどこに現われている

のでしょうか？

ｆを位置ｒと速度ｖ,時間ｔの関数としての分布関数

とすると,素朴なボルツマン方程式は,

∂ｆ/∂ｔ＋ｖ∇ｆ＝(∂ｆ/∂ｔ)_coll,

あるいは,∂ｆ/∂ｔ＋ｖ∇ｆ－(∂ｆ/∂ｔ)_coll＝0

で与えられるものでした。。

これに緩和時間の概念が入るとしたら当然,

衝突項:(∂ｆ/∂ｔ)_collの中でしょう。

緩和時間τは,たまたま,手にとった参考書によれば.

(∂ｆ/∂ｔ)_coll­＝[ｆ(ｒ,ｖ)－ｆ₀]/τ

なる式で定義されるとあります。

ただしｆ₀は電場などの外力が無いときの熱平衡状態

の分布関数(古典論ではMaxwell－Boltzmann分布,

量子論ではFermi-Dirac分布)であり,

右辺のｆ(ｒ,ｖ)は電場Ｅなど外力があるときの,

左辺の分布関数ｆ(ｒ,ｖ,ｔ)が,ｔ→大で平衡に

達したときの分布てす。

(参考文献):

「量子物理学入門」(東京電機大学出版会),

再掲記事'5):ボーズ・アインシュタイン凝縮 関連

「電気伝導まとめ」では,本文内で出現した説明抜き

の専門用語で,後で詳述すると約束していたモノの

1つの「ボーズ・アインシュタイン凝縮」についても

本ブログの2006年の過去記事にあったので、それを

再掲載し,さらに追加の注釈を加えて説明とします。

残るは,「ボルツマンの(輸送)方程式」と緩和時間の

関係だけですね。

※以下は2006年10/11にアップした過去記事です。

表題 「ボーズ・アインシュタイン凝縮とゼータ関数」

　今日はボーズ・アインシュタイン凝縮

(Bose-Einstein condensation)と

その評価式で現われるゼータ関数:ζとの少しの関係などに

ついて述べてみます。

非常に多数個＝Ｎ個のスピンが整数のボーズ (Bose)粒子

(Boson)のみから成る系が絶対温度Ｔの状態ｒに存在する粒子

の個数:ｎ_ｒは,量子統計力学によれば,ボーズ・アインシュタイン統計

にしたがって,ｎ_ｒ＝1/[exp(ε_ｒ－μ)/(ｋ_ＢＴ)－1] という分布式で

与えられます。

系の最低のエネルギー状態(基底状態)は,ε_ｒ＝0 準位ですから,

ｎ_ｒが負になるという有り得ない状況にならないためには,分母の

exp{－μ/(ｋ_ＢＴ)}は.常に1より小さくはならない。という必要性

から,ボーズ粒子の場合には化学ポテンシャル:μは,正(非負)で

ある必要があります

※(追注1):ちなみにスピンが半奇数のフェルミ(Fermi)粒子

(Fermion),例えば,スピンが1/2の電子のようなDirac粒子

では,「同じ1つの状態には１個のFermi粒子だけしか入ることが

許されない。」という「パウリ(Pauli)の排他原理」(禁制原理)が

あり,状態:ｒ にあるFermi粒子の個数は ｎ_ｒ＝0,または,ｎ_ｒ＝1の

いずれかです。

統計分布もスピンが整数:0,1,2..のボーズ・アインシュタイン統計

とは異なり,フェルミ・ディラック(Fermi-Dirac)統計:

ｎ_ｒ＝1/[exp(ε_ｒ－μ)/(ｋ_ＢＴ)＋1]　に従います。

ただし,実際にはスピン1/2の電子には,1つのエネルギー・運動量

固有状態には,スピン成分がアップ(＋1/2)とダウン(1/2)の２つの

異なる状態(２自由度)があるため,電子２個まで入れます。

(注1終わり※)

　さて,多数のボーズ粒子の系に戻りますが,形の状態の

エネルギー準位密度をｇ(ε).つまり,εとε＋ｄεの間の

エネルギー準位区間にある状態数がｇ(ε)ｄεであるとすれば,

これの化学ポテンシャルμは,総個数がＮの条件:

∫₀^∞[{ｅxp(ε－μ)/(ｋ_ＢＴ)－1}^-1ｇ(ε)ｄε＝Ｎから

決まることになります。

そして系の全体積をV,プランク(Planck定数) をｈとすると,座標で

積分した後の半径がｐの運動量空間のｐ～ｐ＋Δｐの球殻の

位相体積要素は4πＶｐ²ｄｐです。

量子統計力学の意味では,位置座標ｑも含めた位相体積:

Δｑ_xΔｑ_yΔｑ_zΔｐ_xΔｐ_yΔｐ_z＝ｈ³ 当りに１つの割合で状態

が存在するため,状態密度は4π(Ｖ/ｈ³)ｐ²ｄｐで

与えられますすが,自由粒子で考えるとき,

ε＝ｐ²/(2ｍ),or ｐ²＝2ｍε　なので.

ｐ²ｄｐ＝(2ｍε)^1/2ｍｄε ですから,結局,

ｇ(ε)＝2πＶ(2ｍ/ｈ²)^3/2ε^1/2 を得ます。

それ故,(2πＶ/ｈ³)(2ｍｋ_ＢＴ)^3/2によって,定数:αが決定される

ことになります。

ただし,α＝－μ/(ｋ_ＢＴ)と置きました。

これは,μ≦0なのでα≧ 0 です。

ここで,1/{ｅxp(ｘ＋α)－1}

＝exp{－(ｘ＋α)}/[1－exp{－(ｘ＋α)}]

＝∑_n=1^∞exp{－ｎ(ｘ＋α)}　なる展開公式を

利用して積分を実行すると,

∫₀^∞ｄｘ[ｘ^1/2/{exp(ｘ＋α)－1}]＝(π^1/2/2)Ｆ[exp(－α)]

＝(π^1/2/2)∑(ｅ^-nα/ｎ^3/2)となります。

ただし,Ｆは,Ｆ(ｘ)＝∑(ｘ^-n/ｎ^3/2)で定義される関数です。

何故なら,∫ｘ^1/2exp(－ｎｘ)ｄｘ＝－(ｄ/ｄｎ)(π/ｎ) ^1/2

＝(π^1/2/2)(1/ｎ^3/2) となるからです。

そして,Ｆ(ｅ^-α)が最大になるのは,明らかにα＝0のときです。

すなわちＦ[1]＝∑(1/ｎ^3/2)＝∑(1/ｎ^3/2)です。

ここで,定義によって∑(1/ｎ^3/2)がゼータ関数のお値:ζ(3/2)

に一致することを用いました。 

そこで,先のαを決めるための条件式は

(2πｍｋ_ＢＴ/ｈ²)^3/2Ｆ[exp(－α)]＝(Ｎ/Ｖ)　となります。

 そこで温度Ｔを下げていくとＦ[exp(－α)]が増加するしかない

ので,αは正の値からゼロに近づていくわけです。

しかし,これがゼロを超えて負になることはできないので,

その極限でのα＝0のときの温度Ｔを臨界温度と呼んでＴ_ｃと

書くと.(Ｎ/Ｖ)＝(2πｍｋ_ＢＴ_ｃ/ｈ²)^3/2ζ(3/2)

≒2.612(2πｍｋ_ＢＴ_c/ｈ²)^3/2 なる関係式が得られます。

それ故,このＴcよりも温度Ｔが低くなれば,もはや,

(2πｍｋ_ＢＴ/ｈ²)^3/2Ｆ(ｅ^-α)＝(Ｎ/Ｖ)からは物理的に意味の

ある化学ポテンシャルは見つからないことになりますね。

しかし,実は化学ポテンシャルμが負の値からゼロにをｎ₀と

すると,ｎ₀＝1/[exp{－μ/(ｋ_ＢＴ)}－1]であり.これは無限大

になるといえます。

これは,実は粒子の総数がΣｎ＝Ｎであるという式の総和∑を,

積分∫ｄεに置換したため,準位密度を与える

ｇ(ε)＝2πＶ(2ｍ/ｈ²)^3/2ε^1/2がε＝0 ではゼロとなり,正味では

発散項であるはずの,ε～0の

ｇ(ε)[exp{ε/(ｋ_ＢＴ)}－1] ～ (const)ε^-1/2が,積分の結果

として消えてしまうので,現実には限りなく大きくなるゼロ状態の

粒子数の項が切り捨てられたためであろう,と考えられます。

そこで,ゼロ状態の項だけを∑ｎ_ｒから抜き出し,残りを積分で

置き換えるという操作をやれば,結局,

ｎ0＋(2πｍｋ_ＢＴ/ｈ²)^3/2Ｆ[exp(－α)]＝(Ｎ/Ｖ)＝Ｎとなり,

これが,αを決める真の式であると考えます。

ところで,ｎ₀ が大きくなって無祖できず,Ｎと比較できるオーダーに

なるのは,ｎ₀＝1/(expα－1) ～ Ｎのときですから,これは

α ~ |/Ｎのときです。

このときＦ[exp(－α)]～Ｆ[1]＝ζ(3/2)≒2.612という

関係式から,ｎ₀ ＋Ｖ(2πｍｋ_ＢＴ/ｈ²)^3/2Ｆ[exp(－α)] 

＝Ｎは,ｎ₀＝Ｎ[１－(Ｔ/Ｔ_ｃ)^3/2]　となります。

例えば「ボーズ気体」などでは,臨界温度Ｔ_c から

下では多くの粒子が,なだれ的にゼロ状態へと落ち込んで

ゆくことになりますが」、これを

「理想ボーズ・アインシュタイン凝縮」と呼びます。

例えば,液体ヘリウム⁴Ｈeでは,この理論での計算値

のＴcは2.13Ｋですが,これは実際の「超流動」や

「超伝導」が起きる転移温度:2.19Ｋと,とても近い値です。

実際,超流動や超伝導の主因は

ボーズ・アインシュタイン凝縮である,

とされています。

先にも追記したように電子のようなスピン半奇数の

フェルミ粒子では粒子数分布はフェルミ・ディラック分布

に従うため,こうした凝縮は起きないはずですが,実際の物質

中では,陽イオンの格子振動などによるフォノンの交換に

よって電子同士に引力が働くため,くーぱー対という電子の

対が構成され.これが対粒子としてボーズ粒子となるので

低温でボーズ・アインシュタイン凝縮を起こして,そのため

電気的には超伝導が起こる主因になるとされています。   

これは有名な「ＢＣＳ理論」の核心ですね。

(参考文献):中村伝 著「統計力学」(岩波全書)

(以上,再掲記事終わり※)

※(追注2):極低温では液体ヘリウム⁴Ｈeが,まるで生きて

てるかのように,容器の壁を上るなどの不思議な

超流動現象がありますが,ゼロ状態の凝縮による大量粒子

は巨視的には,粘性がゼロの流体となり,Landauにより提議

された２流体モデルでは十普通の粘性がある常流体部分と

粘性ゼロの超流体部分が独立に流体運動方程式に従って

運動する結果,そうした奇妙なことが起こることも

説明可能らしいです。

また,極低温でフォノン引力によって電子のクーパー

対が形勢され.この粒子対はボーズ粒子なので,結果,

低温凝縮を起こし巨視的には非回転的流体,つまり,粘性

ゼロの超流動状態の流体＝超流体になって,電気的には

抵抗がゼロの超伝導体になるということが主のＢＣＳ理論

があると,先に述べましたが、南部陽一論先生はこの理論

だけでは満足せず,ＢＣＳ理論はゲージ(位相)変換不変で

なくて変換で電流が生じることに着目しました。

元々はゲージ対称性の存在していた系が自発的に破れ、

その結果,出現するエネルギーゼロの

「南部-Goldstoneモード」が電子のクーパー対の状態

である,というような南部理論を提議されたということ

です。

 南部さんは最近,亡くなられましたが,この物性理論での

対称性の自発的破れの概念を,素粒子論にも適用して

大きな業績を挙げられ。後にノーベル賞を受けたこと

は記憶に新しいですね。

対称性の自発的破れ自体は.物性では,よくある現象で,

 例えば,低温では強い磁性を示す物体の,磁気モーメントの

主因となる電子のスピンが,常温では全く勝手な方向の

(無秩序な)状態＝(エントロピー最大の平衡状態)にある

結果,空間的に等方的という対称性を持つ故に,磁性は

ゼロ(または反磁性)ですが,その系を次第に低温に冷やして

いくと,ある温度＝臨界温度で急にスピンが,ある特殊な

方向に揃う(対称でなくなる),という「対称性の自発的破れ」

が生じて強い磁性を示すようになるという,相転移の

メカニズムとして物性理論では,比較的よく知られて 

いた性質らしいですね。

なお,これらの話の参考文献はネットも含めいろいろ,

寄せ集めです。(注2終わり※)

※ＰＳ2:2006年の昔,office2000かＸＰで作った

古いバージョンのワード文章を少し修正したモノを

上げたとはいえ,あまりにも改行化け,順序デタラメ

がひどく読めるようにするのに苦労しました。

イヤ,まだダメかな？