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2019年9月22日 (日)

光の量子論5

※光の量子論の第1章の続きの第4弾,

最後です。次からは第2章もアップする

予定ですが。。イツになるか?

 

  • 1.12反転分布,レーザー(Lasar)

方程式(1.98):∂I/∂z

=-(N1-N2)F(ω)BI(hcω)/(Vcη)

から,励起原子の数N2が,基底状態の原子の数

1より大きくなることができれば,ビーム強度

は原子気体を通過する距離と共に増大すること

になります。

その依存性は吸収係数Kが負(K<0)である

ことを別にすれば,巨視的理論の(1.101)の

I(z)=I0exp(-Kz)と同じです。

 

2>N1という条件の式は,「反転分布」

として知られ,Boltzmannの法則:

1/N2=(g1/g2)exp{hcω/(kT)},

1/g2=1を.そのまま適用すれば,T<0

となるので,負の温度条件として

知られています。

さらに,一般的にエネルギー準位が縮退

している場合は,ビーム強度が増大する条件

はN2>(g2/g1)N1です。

 

もちろん,熱平衡では反転分布(T<0)は

決して起こり得ず,先に示した通り2状態間

の遷移周波数で光の共鳴吸収を起こさせても,

それを実現させることはできません。

 

しかし,準位1と準位2についての反転分布

は,その原子の他のエネルギー準位を利用する

実験で実現させることができます。

 

最も簡単な過程は3つの準位を使うものです。

ここでは原子の基底状態を準位3と名付け,

準位1と準位2は,それぞれ,第1と第2励起

状態とします。

 

エネルギー密度:Wのビームを使って遷移

3→2を起こさせ,N2個の原子を状態2に励起

させます。こうした使い方をする光ビームを

ポンプと呼びます。

こうした方法で汲み上げられた励起原子の

総数の比率:N2/Nは通常はかなり小さくて,

100万分の1程度というのが.その代表的数字

なので,遷移:3→2は飽和条件から遠く

離れています。

 

準位2の原子は下向きの遷移:2→1,or

2→3により光を放出し,また,準位1の原子

も光エネルギーを失なって,基底状態3に戻る

ことができます。

 

次に,アインシュタイン係数がある適当な値

を持つ場合には,N2>N1の条件を満たすことが

有り得ること,したがって周波数;

ω=(E2-E1)/hcの光の増幅が可能であること

を示します。

 

3準位系の遷移速度を求める方程式は,

2準位系のレート方程式を単に一般化した式です。

ポンプビーム:Wの他に.周波数ωの

エネルギー密度Wのビームがあるとします。

各原子は今考えている3つの準位だけを

占めているとすると,N1+N2+N3=N.(1.106)

です。

 

レート方程式は,dN2/dt=-N221-N223

+W23(N3-N2)+WB21(N1-N2)/(1.107),

dN1/dt=N221-N113-WB21(N1-N2)

(1.108),および.

dN3/dt=N223+N113

-W23(N3-N2).(1.109)と書けます。

この3つの速度の和はゼロであり,これは

(1.106)に合致しています。

 

定常状態は,これらの左辺の時間微分を

全てゼロとした状態であると考えられます。

その結果として,N1,N2,N3に対する解を

N,W.Wで表わすことができます。

 ここでポンプ速度:rを

r=W23(N3―N2)/N.(1.110)で定義して

おきます。

 

すると,定常状態では,(1.108)より,

2(A21+B21W)

=N1(A13+B21W).(1.111)となります。

また,(1.109)より,

223+N113=rN.(1.112)となります。

(1.107)は不要で,N3は,

3=N-(N1+N2)から決まります。

 

(1.111)より,N2/N1

=(A13+B21W)/(A21+B21W)

ですから,N2>N1となるためには,

13>A21(1.113)が必要です。

一応,連立方程式:(1.111),(1.112)

を解くと.N1=rN(A21+B21W)

/[A13(A23+A21)+B21W(A13+A23)]

(1.114),および,N2=rN(A13+B21W)

/[A13(A23+A21)+B21W(A13+A23)]

(1.115)を得ます。

それ故,N2-N1=rN(A13-A21)

/[A13(A23+A21)+B21W(A13+A23)]

です。

13>A21.を満たす原子気体は粒子密度

Wの放射の通過距離zによる増幅が可能です。

その理論は光の吸収に対して,前述した理論

と同様であり符号を適当に変えるだけの違い

です。

(ⅰ)Wが弱い場合,

2-N1=rN(A13-A21)

/[A13(A23+A21)+B21W(A13+A23)]

~r(A13-A21)/[A13(A23+A21)]となり,

(N2-N1)が事実上,Wに無関係になること

がわかります。

(ⅱ)一方,Wが強い場合

2-N1~rN(A13-A21)/[B21W(A13+A23)]

となり,(N2-N1)はビームの強度Wに反比例

して準位1と2の間の遷移は飽和に近づきます。

 

この場合.増幅は減少しますが,ビーム強度は

距離zに比例して増大します。

(以下の注を参照)

 

※(注5-1):増幅の場合;前の減衰の(1.100)

(1/I){1+2BI/(Acη)}(∂I/∂z)

=-NBhcωF(ω)/(Vcη)

の類似の式: (1/I)(1+I/I0)(∂I/∂z)

=G.(1.116)が成立することが示せます。

ただし,I=|A13(A23+A21)

/(A13+A23)}×(c/B21).(1.117),であり,

G=r(A13-A21)/|A13(A23+A21)}

×{NB21cωF(ω)/V}.(1.118)です。

 

(1.116)の一般解は,

ln(I/I0)+(I-I0)/Ic=Gz(1.119)で

あり,ビーム強度は弱い場合と強い場合

で,それぞれ,I(z)=I0exp(Gz)(I<<Ic)

(1.120).および,I(z)=I0+IcGz(I>>Ic).

(1.121)となります。

(証明):エネルギー保存の(1.93)式でη=1と

すると,(∂/∂t)(Wdωadz)

=(N2-N1)F(ω)B21W(hcω)dω(adz/V),

つまり,

∂W/∂t=(N2-N1)F(ω)B21W(hcω)/V

であり,∂W/∂t=∂I/∂z,および,cW=I

から,∂I/∂z

=(N2-N1)F(ω)B21I(hcω)/(cV)です。

そして,N2-N1=rN(A13-A21)

/[A13(A23+A21)+B21W(A13+A23)]でしたから,

[A13(A23+A21)+B21I(A13+A23)/c]

×(∂I/∂z)

=rN(A13-A21)F(ω)B21I(hcω)/(cV)

or [1+I{(B21/c)(A13+A23)/{A13(A23+A21)}]

×(∂I/∂z)=[r(A13-A21)/{A13(A23+A21)}]

×NB21I(hcω)F(ω)/(cV)と書き直せます。

 

ここで,Ic=|A13(A23+A21)/(A13+A23)}

×(c/B21),および,

G=r(A13-A21)/|A13(A23+A21)}

×{NB21cωF(ω)/V}を用いると簡単化され,

(1/I)(1+I/I)(∂I/∂z)=Gとなります。

 

この両辺を,積分してz=0でI=I0とすると,

確かに一般解:ln(I/I0)+(I-I0)/I=Gz

を得ます。

そこでI<<Iなら,ln(I/I)=Gz

より,I(z)=I0exp(Gz)と近似されます。

一方,I>>IcならI(z)=I0+IcGz 

と近似されます。(証明終わり)

(注5-1終わり※)

 

以上のような光増幅器を「3準位レーザー」

と呼びます。

元々のWが存在せず,W=0であったときで

さえ,A21のために,周波数ωの放射が発生する

ため,謂わゆる「自励振動子」の役目を果たす,

ということもできます。

 

  • 1.13 放射圧

波数の進行電磁波を構成する光子は,

いずれも運動量hcを持っています。この運動量

が光子に実在することは.1922年にンプトン

(Compton)による散乱の実験によって,

立証されました。

合わせて,運動量は真空中ではhcであり,

屈折率ηの物質中では(ηhc)であること

も立証されました。

以下,光ビームと原子気体との3種類の基本

相互作用に及ぼす光子運動量の効果を考察

します。

 

吸収過程では運動量hcが光のビームを吸収

する原子に移り,原子質量をMとすると,その原子

はビームに平行に(hc/M)という速度を得ます。

そして,もし,その励起原子がその後,誘導放出

で減衰するなら,放出された光子は,入射ビームに

平行な運動量hcを受け取り,原子は直前に得た

速度を失ないます。

(光子ビーム速度は元に戻ります。)

しかし,もしも励起原子が自然放出で減衰する

なら,放出された光子は立体角4πの任意の向き,

つまり,勝手な方向に反跳を受けることになり,

平均すると寄与はゼロとなるため,原子が直前に

出していた速度は打ち消されない,ということに

なります。

 

それ故,各原子が光子を吸収した後,自然放出が

起こるときに限って.光子から原子に平均してhc

の運動量が移ります。これは,原子と放射の系が

定常状態に達しているか否かを問わず正しいこと

です。このことは,定常状態に達すると原子への

励起エネルギーhcωの移動が起こらなくなる。

という以前,(1.75)に関連して強調したこととは

対照的です。

 

故に,原子への運動量の移動は放射が気体に

及ぼす圧力と等価である,と考えられます。

(※ 多くの原子が,空洞内に閉じ込められている

系が対象なので,個々の原子速度の増加は壁で

反射される,という意味で,内力=応力の増加に

寄与するのみです。)

 

空洞内の総原子数Nは,通常,莫大なので,

原子占位数の時間依存性は滑らかである,と仮定

します。ある周波数ωにおけるエネルギー密度が

Wであるような放射があって,そのωが,原子の

基底状態と,ある単一の励起状態との間の遷移に

共鳴しているとき,全原子の総運動量Πの変化速度

は,吸収の速度と誘導放出の速度の差に比例します。

 

すなわち,dΠ/dt=(N1-N2)hcBW.

(1.122)です。何故なら,各原子が光子を吸収後,

自然放出が起こるときに限り,光子から原子に

cの運動量が移りますが,定常状態

(滑らかな状態)では,原子からの自然放出の総運動量

は,原子気体の吸収運動量から誘導放出運動量を

差し引いたものに等しく,そこで,それは,N2Ahc

=(N1-N2)BWhckで与えられるからです。

Π/dt=(N1-N2)hcB.W

の右辺は,1>N2を満たす2準位の実験では常に

正ですが,3準位以上の場合は,1<N2のときも

あるので負になることもあります。ただし,ここ

では2準位の場合のみを取り上げます。

 

※[(注5-2):§1.9原子の光励起の項目で考察した

実験で実験開始の瞬間に,光ビームを基底状態に

ある原子気体に照射するものとして,運動量移動の

速さを計算します。

原子の運動量が時刻tで,

Π(t)={NBWhc/(A+2BW)}At

-{NBWhc/(A+2BW)}{2BW/(A+2BW)}

[exp{-(A+2BW)t}-1])(1.123)である

ことを示し,短時間後と長時間後の両極端での,

その形について議論します。

(解):今想定しているのと同じ実験のN2

対する解(1.70):N2={NBW/(A+2BW)}

×[1-exp{-(A+2BW)t}]と,N1=N-N2

より,N1-N2=N-2N2

=N(A+2BW)/(A+2BW)

-{2NBW/(A+2BW)}

×[1-exp{-(A+2BW)t}]

=NA/(A+2BW)

+{2NBW/(A+2BW)}

×exp{-(A+2BW)t} を得ます。

故に.dΠ/dt=(N1-N2)hcBW

=NABWhc/(A+2BW)

+{2N(BW)2c/(A+2BW)}

×exp{-(A+2BW)t} です。

t=0でΠ=0として,tで積分すると,,

Π(t)={NBWhc/(A+2BW)}At

-{NBWhc/(A+2BW)}

×{2BW/(A+2BW)}

×[exp{-(A+2BW)t}-1]

が得られます。

 

t~0のときは,At~0であり,

[exp{-(A+2BW)t}-1]

~ -(A+2BW)tなので,

tが小さいときは,

Π(t)~{2N(BW)2c/(A+2BW)}t

となって,Πはtと共に直線的に増加します。

一方,t~∞の極限では,

[exp{-(A+2BW)t}-1]~ -1なので,

tが大きいときには

Π(t)~{NBWhc/(A+2BW)}At

+{2N(BW)2c/(A+2BW)2}

={NBWhc/(A+2BW)}

×[At+BW/(A+2BW)]となります。

そこで,平衡状態でもAtは常に存在します。

(解答終わり)(注5-2終わり※)

 

励起原子の数N2が,

2=NBW/(A+2BW)(1.74)

で与えられる定常状態では運動量移動の

速さは,dΠ/dt=hc2

=hckNBWA/(A+2BW).(1.124)

となります。

光ビームを非常に強くすると移動

の速さは飽和値:

Π/dr=-hc(N/2)A(BW>>A)

(1.125)に近づきます。

一旦,飽和領域に達すると.それ以上,

ビーム強度を大きくしても運動量移動の速さ

には,ほとんど変化がありません。

定常状態での運動量の速度:dΠ/dt

=hckNBWA/(A+2BW)は,原子ごと

に平均して,=hckBWA/(A+2BW)

(1.126)の力が加わっているのと,等価です。

 

ビームの方向をz方向に取り,座標zでの

原子密度をN(z)とすれば温度Tでの原子分布

はN(z)=N(0)exp{Fz/(kT)}.(1.127)

の形を取ります。

(何故なら,Uを構成原子の位置エネルギー

とすればBoltzmann因子により,平衡分布は,

N(z)∝exp{-U/(kT)}で与えられます

が,F=-∂U/∂zで,U=-Fzです。)

 

この空間依存性はナトリウム原子のガスを

管に封入して,その管の長さ方向にレーザー

ビームを当てることにより,

実験検証されました。

 

光子と原子との間の運動量移動は,原子

をビームの形にして強い光ビームと直交して

走らせることによって,実用的な応用を生み

出します。原子は光子を吸収すると元の径路

から偏向します。さらに,誘導放出が起きると

原子の軌跡は横方向に僅かにずれるだけで

方向は変わりません。主要な偏向は吸収+

自然放出のために生じるのです。

(2006年6/5(月) 第1章終了※)

 

(参考文献):Rodney.Loudon著

(小島忠宣・小島和子共訳)

「光の量子論第2版」(内田老鶴舗)

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