光の量子論４

※光の量子論の第１章の続きの

第３弾です。

• 1.11 吸収の微視的理論

※厚い空洞に詰まった原子気体を光ビーム

が通過する際の前記の減衰過程を微視的観点

から考察します。

その目的は減衰速度,したがって,吸収係数

を,以前のアインシュタイン理論の２つの係数

Ａ,Ｂに結びつけることです。

空洞内が定常状態に達していれば，

レート方程式:ｄＮ₁/ｄｔ＝－ｄＮ₂/ｄｔ

＝Ｎ₂Ａ＋(Ｎ₂－Ｎ₁)ＢＷの両辺はゼロに

等しいです。しかし.このレート方程式は,

誘電体が存在する場合には,どうしても

避けられない小さな変化が生じます。

アインシュタイン係数は自由空間(真空)

内の単一原子に入射する電磁波について

定義されており,その場合には,場の

エネルギー密度は全エネルギーがサイクル

平均で,(1/2)∫_(空洞)ε₀|Ｅ(ｒ,ｔ)|²ｄＶで

与えられる.または,単位体積当りでは,

∫₀^∞Ｗ(ω)ｄω

＝{1/(2Ｖ)}∫_(空洞)ε₀|Ｅ(ｒ,ｔ)|²ｄＶ

で与えられる,という式を満たすＷ(ω)

のことでした。

この(1/2)∫_(空洞)ε₀|Ｅ(ｒ,ｔ)|²ｄＶ

を,(1.87)の(1/2)∫_(空洞)ε₀η²|Ｅ(ｒ,ｔ)|²

のように,η²因子を付けて,

誘電体内のエネルギー密度にとった

ときには,アインシュタインの自由空間の

理論における吸収と誘導放出の速さでは,

この因子を除いておく必要があります。

そこで,定常状態となる条件

は,誘電体内では,

0＝ｄＮ₁/ｄｔ＝－ｄＮ₂/ｄｔ

＝Ｎ₂Ａ＋(Ｎ₂－Ｎ₁)ＢＷ/η²

となるべきです。

故に,

Ｎ₂Ａ＝(Ｎ₁－Ｎ₂)ＢＷ/η².(1.92)

が成立する必要があります。

自発放出により放射されるエネルギー

の放出速度はＮ₂Ａ(ｈ_cω)で,これは

エネルギー減衰速度であり,自由空間では,

吸収によるＮ₁ＢＷ(ｈ_cω)から誘導放出に

よるＮ₂ＢＷ(ｈ_cω)を引いたものに等しい,

という式の構造でしたが,

誘電体が存在すれば,Ｗの代わりに,これ

を(Ｗ/η²)で置き換える必要があるため,

(1.92)を得るわけです。

次に,Ｎ₂Ａ＝(Ｎ₁－Ｎ₂)ＢＷ/η²の右辺

によってビーム減衰速度を計算します。

その前に原子遷移速度について,さらに

詳述する必要があります。

これまでは,どの原子も確定した１つの

遷移周波数ωを持つと見なしてきました。

しかし,次の第２章で述べることですが,

各原子に対して同じ１対の状態を考える

ときでさえ,原子が吸収or放出できる光子

の周波数ωには,ある統計的広がり

があります。

そこで,ωの付近のｄω中に光子の周波数

が入っている遷移比率をＦ(ω)ｄωとします。

(∫Ｆ(ω)ｄω＝1と規格化しておきます。)

差し当たり,ωが特定範囲にある遷移だけ

を考えます。

Ｎ₁個の原子が下の準位にありＮ₂個の原子

が上の準位にあるような定常状態では,ｄω

に含まれるビームのエネルギーの変化速度は,

－(Ｎ₁－Ｎ₂)Ｆ(ω)ｄωＢＷ(ｈ_cω)/η²

に等しくなります。

光のビームの進行方向はｚ軸に平行とします。

すると,Ｗはその向きに減衰するため,ｚの関数

です。

ここで,厚みｄｚと断面積ａのｚに垂直な

薄い空洞の切片を考えます。

Ｗはこの微小厚さの切片内では位置座標:

ｒには無関係とすると.切片内のビームの

エネルギーでｄωに含まれるものは.

Ｗｄωａｄｚです。

そして,空洞の全体積はＶですから,

(ａｄｚ/Ｖ)は,切片内にある原子数の比率

を示しています。

故に,エネルギー保存条件は,

(∂/∂ｔ)(Ｗｄωａｄｚ)

＝－(Ｎ₁－Ｎ₂)Ｆ(ω)ｄωＢＷ(ｈ_cω)/η²

×(ａｄｚ/Ｖ).(1.93)

で与えられることになりますが,

これはつまり,∂Ｗ/∂ｔ

＝－(Ｎ₁－Ｎ₂)Ｆ(ω)ＢＷ(ｈ_cω)/(Ｖη²)

(1.94)　を意味します。

かくして,アインシュタインの理論が,

ビ－ムのエネルギー密度Ｗの時間依存性

を表わす方程式を導く,ことが

わかりました。

これに対して,先の巨視的理論で得られた,

(1.90)のＩ(ｚ)＝Ｉ₀exp(－Ｋｚ)で導入された

吸収係数Ｋを含む議論は,ビーム強度の空間的

変化を与えます。

ところで,∂Ｗ/∂ｔに対する式(1.94)は

(1.93)の左辺の－(∂/∂ｔ)(Ｗｄωａｄｚ)

が体積(ａｄｚ)の切片でビームエネルギー

が失われる速さ­＝空洞切片が同じエネルギー

を受け取る速さ,を示しており,これが断面積

ａの切片境界を横切って流入するエネルギー

に等しい,という形に表わすことができます。

すなわち,Ｉｄωをωとω＋ｄωの間に存在

する電磁エネルギーの強度とすると,

－(∂/∂ｔ)(Ｗｄωａｄｚ)

＝－ａ(∂I/∂ｚ)ｄｚｄω.(1.95)によって,,

∂Ｗ/∂ｔ＝(∂Ｉ/∂ｚ).(1.96)なる関係式

を得たわけです。

※(注4－1):上の(1.96)式は,

Δｔの間のビームのエネルギー密度Ｗの増分:

ΔＷ＝{Ｗ(ｔ＋Δｔ)－Ｗ(ｔ)}に逆符号を

付けたものが

断面積を横切って通過する,厚さΔｚの間の

エネルギー強度の増分:ΔＩに逆符号を

付けたもの＝流入速度:－ΔＩ

＝－{Ｉ(ｚ＋Δｚ)－Ｉ(ｚ)}で表わせる,

という形のエネルギー保存則の形式です。

つまり,空洞切片において,

「Δｔの間の空洞エネルギーの増分:

－ΔＷｄω(ａΔｚ)

＝－{Ｗ(ｔ＋Δｔ)－Ｗ(ｔ)}ｄω(ａΔｚ)

＝－(∂Ｗ/∂ｔ)Δｔｄω(ａΔｚ)

が空洞切片へのΔｔの間のエネルギー流入量:

－ａΔＩｄω(Δｔ)

＝－ａ{Ｉ(ｚ＋Δｚ)－Ｉ(ｚ)}ｄωΔｔ

＝－ａ(∂I/∂ｚ)ΔｚｄωΔｔに等しい。」

という形のエネルギー保存則の表現です。

故に,確かに∂Ｗ/∂ｔ＝∂Ｉ/∂ｚ

を得ますが,これは流体の質量や電荷の保存

を示す連続の方程式∂ρ/∂ｔ＋∇ｊ＝0

(ｊ＝ρｖ)のアナロジーである.

と考えられます。(注4-1終わり※)

さて,(1.87)から,∫₀^∞Ｗ(ω)ｄω

＝{1/(2Ｖ)}∫_(空洞)ε₀η²|Ｅ(ｒ,ｔ)|²ｄＶ

であり,他方,(1.89)から∫₀^∞Ｉ(ω)ｄω

＝{1/(2Ｖ)}∫_(空洞)ε₀ｃη|Ｅ(ｒ,ｔ)|²ｄＶ

となるはずです。これらを比較すれば,

ｃＷ＝ηＩ(1.97)なる関係があることが

わかります。

∂Ｗ/∂ｔ＝∂Ｉ/∂ｚを,(1.93)の∂Ｗ/∂ｔ

＝－(Ｎ₁－Ｎ₂)Ｆ(ω)ＢＷ(ｈ_cω)/(Ｖη²)と

組み合わせた式において,右辺にＷ＝ηＩ/ｃ

を代入すると,∂Ｉ/∂ｚ

＝－(Ｎ₁－Ｎ₂)Ｆ(ω)ＢＩ(ｈ_cω)/(Ｖｃη)

(1.98)を得ます。

これは,エﾈルギー準位が縮退している場合

この式の右辺ののＮ₁に(ｇ₂/ｇ₁)という因子を

掛けることで一般化されます。

しかし,以下ではｇ₁＝ｇ₂,つまり,ｇ₂/ｇ₁＝1

の場合だけを扱うことにします。

右辺のＮ₁,Ｎ₂そのものがＷに,それ故Ｉに

依存するため,方程式(1.98):∂Ｉ/∂ｚ

＝－(Ｎ₁－Ｎ₂)Ｆ(ω)ＢＩ(ｈ_cω)/(Ｖｃη)

は思ったよりも複雑です。

しかし,定常状態では.

Ｎ₂Ａ＝(Ｎ₁－Ｎ₂)ＢＷ/η²(1.92)が成立する

ので,Ｎ₁＋Ｎ₂＝Ｎにより,Ｎ₁を消去して,

Ｎ₂＝(ＮＢＷ/η²)/(Ａ＋2ＢＷ/η²)を得ます

から,さらにＷ＝ηＩ/ｃを用いて,(Ｎ₁－Ｎ₂)

は,Ｎ₁－Ｎ₂＝Ｎ－2Ｎ₂＝ＮＡ/(Ａ＋2ＢＷ/η²)

＝ＮＡ/{Ａ＋2ＢＩ/(ｃη)}(1.99)と表わせる

ことがわかります。

これを,(1.98)の∂Ｉ/∂ｚ

＝－(Ｎ₁－Ｎ₂)Ｆ(ω)ＢＩ(ｈ_cω)/(Ｖｃη)

に代入し,分母を払えば,

{Ａ＋2ＢＩ/(ｃη)}(∂I/∂ｚ)

＝－ＮＡＢＦ(ω)(ｈ_cω)Ｉ/(Ｖｃη)

となります。

そこで,最終的に,(1.98)は

(1/Ｉ){1＋2ＢＩ/(Ａｃη)}(∂I/∂ｚ)

＝－ＮＢｈ_cωＦ(ω)/(Ｖｃη).(1.100)

と書き直せます。

さて,２つの極端な場合を考えます。

(ケースⅠ):普通のビームでは，(1.100)の

左辺の括弧の中の第２項:2ＢＩ/(Ａｃη)

＝2ＢＷ/(Ａη²)は常に第1項の１より

ずっと小さいです。

そこで,これを無視しますが,この項を

無視するのは.全体の原子数Ｎに比して

励起原子の数:

Ｎ₂＝Ｎ(ＢＷ/η²)/{1＋2ＢＷ/(Ａη²)}

を無視することに相当します。

このケースでは,(1.100)は,

(1/Ｉ)(∂I/∂ｚ)

＝－ＮＢｈ_cωＦ(ω)/(Ｖｃη)となるため,

間単に積分できて,

Ｉ(ｚ)＝Ｉ₀exp(－Ｋｚ)(1.101)を得ます。

ただし,Ｋ＝ＮＢｈ_cωＦ(ω)/(Ｖｃη)

(1.102)です。

この式は巨視的理論の(1.90)と全く同じ

ですから,このＫは(1.91)の吸収係数:

Ｋ＝2ωκ/ｃと全く同じものです。

Ｋが周波数と共に変わる様子は原子遷移

周波数の分布Ｆ(ω)に似ていますが,さらに

周波数に依存する因子が掛かっています。

ここで,(1.92)の,

Ｋ＝ＮＢｈ_cωＦ(ω)/(Ｖｃη)の右辺の因子

ｈ_cω/(ｃη)を左辺に移して,両辺をωで

積分すると,∫Ｆ(ω)ｄω＝1より,

∫[Ｋｃη/(ｈ_cω)]ｄω＝ＮＢ/Ｖ.(1.103)

を得ます。それ故,Ｋとηが測定できれば,

実験からＢの値を決定できます。

希薄な原子気体ではηは自由空間の値１

に近いです。そして,大抵の吸収線はＫが

著しく大きくなる場所の周波数に比べて,

小さい幅を持っているため,ωは吸収線全域

で近似的に一定です。

(1.103)より,ＢはＫ-ωグラフのＫの

描く曲線の下の面積に比例しますが,

このケースには面積はＫωで近似されます。

(※Ｋの具体的関数形は第２章で論じます。）

∫[Ｋｃη/(ｈ_cω)]ｄω＝ＮＢ/Ｖは,

(1.91)のＫ＝2ωκ/ｃと(1.94)2ηκ＝χ”

により,Ｋｃη/(ｈ_cω)＝χ”/ｈ_cとなる

ため,∫χ”ｄω＝ｈ_cＮＢ/Ｖ.(1.104)

と書き直せます。

(ケースⅡ):光ビームが非常に強い,

というのが,もう１つの極端な場合です。

これは,2ＢＩ/(Ａｃη)

＝2ＢＷ/(Ａη²)＞＞1の場合で,

このときは,(1.100)の方程式：

(1/Ｉ){1＋2ＢＩ/(Ａｃη)}(∂I/∂ｚ)

＝－ＮＢｈ_cωＦ(ω)/(Ｖｃη).の左辺の

括弧の中の１の方が無視できて,方程式は,

2Ｂ/(Ａｃη)}(∂I/∂ｚ)

～ －ＮＢｈ_cωＦ(ω)/(Ｖｃη),つまり,

(∂I/∂ｚ) ～ －ＮＡｈ_cωＦ(ω)/(2Ｖ)

となり,これを積分することで.

Ｉ－Ｉ₀＝－ＮＡｈ_cωＦ(ω)ｚ/(2Ｖ)

(1.105)を得ます。

したがって,この場合,ビーム強度は,

(ケースⅠ)の(1.90)や(1.101)のような指数関数

的減衰ではなく,自発放出の係数:Ａから決まる

速さで,空洞を通過する距離ｚに比例して

減衰します。

(1.98)のＩの減衰方程式:∂Ｉ/∂ｚ

＝－(Ｎ₁－Ｎ₂)Ｆ(ω)ＢＩ(ｈ_cω)/(Ｖｃη)

の右辺は,Ｎ₁－Ｎ₂＝Ｎ－2Ｎ₂が正,つまり,

Ｎ₂＞(Ｎ/2)になれば,Ｉは減少から増加に

転じます。

それ故,∂Ｉ/∂ｚ＝0はＩの極大値を

与えます。

ビームの光子が散乱されてビ－ムから出て

いくエネルギーの速さは,(1.94)の空洞内原子

気体への流入率の式:∂Ｗ/∂ｔ

＝－(Ｎ₁－Ｎ₂)Ｆ(ω)ＢＷ(ｈ_cω)/(Ｖη²)の

右辺に逆符号を付けたもの:

(Ｎ₁－Ｎ₂)Ｆ(ω)ＢＩ(ｈ_cω)/(Ｖｃη)

ですが(1.92)より,Ｎ₂Ａ＝(Ｎ₁－Ｎ₂)ＢＷ/η²

ですから,これはＮ₂Ａｈ_cωに比例します。

そこで,Ｎ₂Ａｈ_cωがその極大値:

(ＮＡｈ_cω/2)に近づくと,強度Ｉの減衰が鈍化

して,飽和していくことになります。

すなわち,原子遷移は飽和に近づき,吸収が

減少していくわけですが,これは,ビームの

エネルギーが散乱されて出て行く速さ:Ｎ₂Ａｈ_cω

が,その極大値:(ＮＡｈ_cω/2)に近づくからです。

ビーム強度Ｉが,これ以上増加しても散乱の

起こる速さには,それに見合った増加が有り得ない

のでＩが増加すると,気体を通過するときのＩの

変化率は減少するわけです。

そこで,Maxwell方程式を基にした巨視的な

吸収理論は飽和の状況では適切でないです。

故に,極端な(ケースⅠ)の(1.103)で実験結果

を説明するには,その実験ではＫを測る際には,

当然,飽和が起こらないようにする必要が

あります。

今回はここまでです。

次が第1章最後です。(つづく)

(参考文献):Rodney.Loudon著

(小島忠宣・小島和子共訳)

「光の量子論第２版」(内田老鶴舗)