光の量子論９

※［光の量子論８」の第2章 原子・放射相互作用の量子力学

の続きです。

※(余談)今回の記事では,最後に(注)として長い計算

をしました。

私は上京してきた1977年以来,コンピュータ歴ウン

十年といっても,数式などは紙に書かないと,ちゃんと

は計算できない,という性分でしたが,近年,いつの頃

からか？ワードの上でタイプして計算し,紙(ノート)

やペンが無くても長い計算が可能な頭になりました。

これだと,紙は節約になるし,眼が悪くても字が拡大

できるのは,いいのですが,やはり紙とペンでやるより.

間違う件数が多くなったかもしれません。

さて,日本代表のラグビーは終わりました。

去年夏サッカーのＷ杯のときも思いましたが,次頑張る

とかいわれても,私には４年後の次なんかは無いのでね。

(余談終わり※)

さて,本題です。

まず,§2.5のDiracのデルタ関数の項の続きです。

δ関数は次の基本的性質を持っています。

(ⅰ)δ(ω－ω₀)＝δ(ω₀－ω).(2.67)(δは偶関数)

(ⅱ)δ(ω₀－ｂω)＝(1/｜ｂ|)δ(ω₀/ｂ－ω)(2.68)

(ⅲ)δ[(ω₁－ω)(ω₂－ω)]

＝{δ(ω₁－ω)＋δ(ω₂－ω)}/|ω₁－ω₂|.(2.69)

の３つです。

※(注9-1):上記のδ関数の性質を証明します。

[証明]:(ⅰ)∫_ω1^ω2f(ω)δ(ω₀－ω)ｄω＝ｆ(ω₀)

ですが,ω’＝－ωと置けばｆ(ω)＝ｆ(－ω’),

ｄω’＝－ｄωで.ωのω₁→ω₂の移動に対して.

ω’は(－ω₁)→(－ω₂)と移動します。

故に,∫_ω1^ω2f(ω)δ(ω₀－ω)ｄω

＝∫_－ω2^－ω1f(－ω’)δ(ω₀＋ω’)ｄω’

ｆ(ω₀)＝ｆ(－(－ω₀))＝[ｆ(－ω’)]_{ω’＝－ω0}

です。そこで,δ(ω₀＋ω’)＝δ(－ω₀―ω’)

よって,ω’＝－ωに戻すと,δ(ω₀－ω₀)

＝δ(－ω₀＋ω)＝δ(ω－ω₀)を得ます。

(ⅱ) ∫_ω1^ω2f(ω)δ(ω₀－ｂω)ｄωを考えます。

これにおいて,ｘ＝ｂωと置くと,ｄω=ｄｘ/ｂであり,

ωのω₁→ω₂の移動に対してｘの移動は,ｂω₁→ｂω₂

です。

故に,与式＝(1/ｂ)∫_ｂω1^ｂω2f(ｘ/ｂ)δ(ω₀－ｘ)ｄｘ

ω₂＞ω₁ですからｂ＞0ならｂω₂＞ｂω₁より,右辺

＝(1/ｂ)f(ω₀/ｂ)ですが,ｂ＜0ならｂω₂＜ｂω₁

なので,与式＝－(1/ｂ)∫_ｂω2^ｂω1f(ｘ/ｂ)δ(ω₀－ｘ)ｄｘ

＝－(1/ｂ)f(ω₀/ｂ)です。

したがって,δ(ω₀－ｂω)＝(1/|ｂ|)δ(ω₀/ｂ－ω)

を得ました。

(ⅲ)∫_ω1^ω2f(ω)δ[(ω₁－ω)(ω₂－ω)]ｄ ω

＝∫_ω1^ω2f(ω)δ[ω²－(ω₁＋ω₂)ω＋ω₁ω₂]ｄ ω

＝∫_ω1^ω2f(ω)δ[{ω－(ω₁＋ω₂)/2}²－{(ω₁－ω₂)/2}²]

ｄ ωですが,ここでｘ＝{ω－(ω₁＋ω₂)/2}²と置きます。

ｄｘ＝2{ω－(ω₁＋ω₂)/2}ｄω＝±2ｘ^1/2ｄωであり,

ω＜(ω₁＋ω₂)/2なら,ｘ^1/2＝－ω＋(ω₁＋ω₂)/2

(ｘ^1/2:(ω₂－ω₁)/2→0)で,ω＝－ｘ^1/2＋(ω₁＋ω₂)/2,

ｄω＝－(1/2)ｘ^-1/2ｄｘです。

一方,ω＞(ω₁＋ω₂)/2なら,ｘ^1/2＝ω－(ω₁＋ω₂)/2

で(ｘ^1/2:0 →(ω₂－ω₁)/2),ω＝ｘ^1/2＋(ω₁＋ω₂)/2,

ｄω＝(1/2)ｘ^-1/2ｄｘです。

そうして,ωのω₁→(ω₁＋ω₂)/2 →ω₂の移動に対し,

ｘは,{(ω₁－ω₂)/2}² → 0 → {(ω₁－ω₂)/2}^2tと,ωの

２次曲線上を最小値0を通って往復します。

∫_ω1^ω2ｄω＝∫_ω1^{(ω1＋ω2)/2}ｄω＋∫_ω1^{(ω1＋ω2)/2}ｄω

＝－(1/2)∫_{{(ω1－ω2)/2}2} ⁰ｘ^－1/2ｄｘ＋(1/2)∫₀ ^{{(ω1－ω2)/2}}

ｘ^－1/2ｄｘ　となります。

それ故,∫_ω1^ω2f(ω)δ[(ω₁－ω)(ω₂－ω)]ｄ ω

＝∫_ω1^ω2f(ω)δ[{ω－(ω₁＋ω₂)/2}²－{(ω₁－ω₂)/2}²]

ｄω＝(1/2)∫₀ ^{{(ω1－ω2)/2}}[δ[ｘ－{(ω₁－ω₂)/2}²]ｘ^－1/2

×{ｆ(－ｘ^1/2＋(ω₁＋ω₂)/2)＋ｆ(ｘ^1/2＋(ω₁＋ω₂)/2)}]

ｄｘ　なる等式を得ます。

ω₂＞ω₁で,ｘ＝{(ω₁－ω₂)/2}²のときは,常に

ｘ^1/2＝≧0より,ｘ^1/2＝(ω₂－ω₁)/2 なので.上式

の右辺＝{ｆ(ω₁)＋ｆ(ω₂)}/(ω₂－ω₁)が得られます。

したがって,ω₂＞ω₁または,ω₁＞ω₁の一般の場合,

δ[(ω₁－ω)(ω₂－ω)]

＝{δ(ω₁－ω)＋δ(ω₂－ω)}/|ω₁－ω₂|を得ます。

(証明終わり)　　　(注9-1終わり※)

さて,Ｂ係数を導く際に,遷移の時間ｔが(1/ω₀)や

(1/Δω)に比べて長い場合に成立する式:(2.48)から

得られる解を採用しました。

すなわち,前々回の記事「光の量子論７」では,光の

ビーム:Ｗ(ω)の存在下で時間ｔの間の１→２の遷移確率

が.|Ｃ₂(ｔ)|²＝{2ｅ²|Ｘ₁₂|²/(ε₀ｈ_c²)}Ｗ(ω)(Int)(2.45)

で与えられるという一般解を得ました。ただし,(Int)は

積分因子で,Int＝∫_ω0－Δω/2^ω0＋Δω/2[sin²{(ω－ω₀)ｔ/2}

/(ω－ω₀)²]ｄω(2.46)で与えられます。

この式で,tΔω＞＞1(ｔ＞＞1/Δω)の場合には,

Int～∫_－∞^∞ｄω₁[sin²(ω₁ｔ/2)/ω₁²]＝πｔ/2.(2.48)

なる近似が成立する,と書きましたが,その際,

この解をＢ係数の評価式として採用しました。

ところで,|Ｃ₂(ｔ)|²＝{2ｅ²|Ｘ₁₂|²/(ε₀ｈ_c²)}Ｗ(ω)

×(Int)(2.45)なる表式は,元々確定値ω₀における表式

(2.42)|Ｃ₂(ｔ)|²～|Ω|²sin²{(ω－ω₀)ｔ/2}/(ω－ω₀)²

に,原子は広帯域照射を受けているというアインシュタイン

理論の基礎仮定を採用しω₀の不確定さΔωを考慮して,

この表式をω₀を遷移周波数の中心とするωのある範囲

にわたって積分したものです。

つまり,|Ｃ₂(ｔ)|²＝|Ω|²sin²{(ω－ω₀)ｔ/2}/(ω－ω₀)²

において,Ω­＝ｅＥ₀Ｘ₁₂/ｈ_cと,(1/2)ε₀Ｅ₀²＝∫Ｗ(ω)ｄω

を利用して,|Ｃ₂(ｔ)|²＝{2ｅ²{Ｘ₁₂|²/(ε₀ｈ_c²)}

×∫_ω0－Δω/2^ω0＋Δω/2[Ｗ(ω)sin²{(ω－ω₀)ｔ/2}

/(ω－ω₀)²]ｄω　としたものです。

(1/ω₀),(1/Δω)は,光の吸収を実験的に観測するとき,

それを制御する特有の時間です。

これがゼロに近づくｔの長時間極限では,(2.59)のδ関数

という記号:δ(ω₀－ω)

＝(2/π)lim_ｔ→∞sin²{(ω₀－ω)ｔ/2}/{(ω₀－ω)²ｔ}

を用いると,ｔ→∞の長時間極限で.元の(2.42)式の

|Ｃ₂(ｔ)|²＝|Ω|²sin²{(ω－ω₀)ｔ/2}/(ω－ω₀)²

を,|Ｃ₂(ｔ)|²＝(π/2)|Ω|²ｔδ(ω₀－ω)

(2.70)という形に書くのが適切ということになります。

※(注9-2);上でDiracのδ関数を記号と呼んだのは,

その性質の証明などでは,これを普通の積分可能な関数の

ように,置換積分法などが適用可能として扱いましたが,,

これは,数学的には関数の範疇には入らず,積分記号無し

では意味のない記号のようなものという意味です。

現代的には,Schwartzのdistributionと呼ばれるもの,

または,佐藤の超関数(hyperfunction)と呼ばれるものに

代表される汎関数として定義される超関数の一種です。

(注9-2終わり※)

さて,(2.70):|Ｃ₂(ｔ)|²＝(π/2)|Ω|²ｔδ(ω₀－ω)の

結果は,Hamiltonianの時間に依存する部分がcos(ωｔ)

に比例し,周波数ωがω0のまわりに連続的分布する如何

なる遷移過程にも適用できて,行列要素Ωだけが過程に

よって異なります。そして,δ関数は積分の中にある

ときに限って意味を持ちます。

• 2.6 光学Bloch方程式

(2.31),(2.32)の方程式:

Ωcos(ωｔ)exp(－iω₀ｔ)Ｃ₂＝i(ｄＣ₁/ｄｔ),

Ω^＊cos(ωｔ)exp(iω₀ｔ)Ｃ₁＝i(ｄＣ₂/ｄｔ)

は,(2.8)の波動関数の表現:Ψ(ｒ,ｔ)

＝Ｃ₁(ｔ)Ψ₁(ｒ,ｔ)＋Ｃ₂(ｔ)Ψ₂(ｒ,ｔ)における

両係数Ｃ₁,Ｃ₂の定義と合わせて,振動電場と相互

作用する２準位原子の状態の厳密な記述を与えます。

しかし,すぐ前の§2.3では周波数ωの分布がω₀

の付近で滑らかな解を場合の(2.31),(2.32)の解を

問題としていました。

そして,解はΩ or Ｅ₀についての低次項だけを

拾ったという意味で近似解であり,(2.42)の表式:

|Ｃ₂(ｔ)|²＝|Ω|²sin²{(ω－ω₀)ｔ/2}/(ω－ω₀)²は,

回転近似と呼ばれる近似式です。

そこで,以下では(2.31),(2.32)のより一般的な解

を探すことにします。

しかし,やはり回転波近似を行ないますが.Ω or Ｅ₀

の全ての次数の項を拾います。さらに,入射光は,単一

周波数ωの振動電場を持った単色光であると仮定します。

ビーム周波数ωに分布があれば,その効果は,単色光

に対する結果を平均すれば得られます。

ここで,原子密度行列:(ρ_ij)の４つの要素を,

ρ₁₁＝|Ｃ₁|²＝Ｎ₁/Ｎ,ρ₂₂＝|Ｃ₂|²＝Ｎ₂/Ｎ.(2.71)

ρ₁₂＝Ｃ₁Ｃ₂^＊,ρ₂₁＝Ｃ₂Ｃ₁^＊.(2.72)で定義します。

対角要素:ρ₁₁,ρ₂₂は明らかに実数であり,規格化

の条件:|Ｃ₁|²＋|Ｃ₂|²＝1の要求は,ρ₁₁＋ρ₂₂＝1

(2.73)となります。(※ ρ_ij＝Ｃ_iＣ_j^＊；i,j＝1,2)

原子集団ではＮ₁＝Ｎ|Ｃ₁|²,Ｎ₂＝Ｎ|Ｃ₂|²によって,

これらは,２準位内の平均数と結び付いています。

　非対角要素は複素数であり,ρ₂₁＝ρ₁₂^＊(2.74)

を満たします。

そして,密度行列が従う方程式は,

ｄρ_ij/ｄｔ＝Ｃ_i(ｄＣ_j^＊/ｄｔ)＋Ｃ_j^＊(ｄＣ_i/ｄｔ)

(2.75)です。

故に,ｄρ₂₂/ｄｔ＝－ｄρ₁₁/ｄｔ

＝－Ｃ₁(ｄＣ₁^＊/ｄｔ)－Ｃ₁^＊(ｄＣ₁/ｄｔ)

＝－iΩ^＊cos(ωｔ)exp(iω₀ｔ)ρ₁₂

＋iΩcos(ωｔ)exp(－iω₀ｔ)ρ₂₁

＝－icos(ωｔ){Ω^＊exp(iω₀ｔ)ρ₁₂

＋iΩexp(－iω₀ｔ)ρ₂₁}.(2.76)　と書けます。

同様にして,ｄρ₁₂/ｄｔ＝－ｄρ₂₁^＊/ｄｔ

＝iΩcos(ωｔ)exp(－iω₀ｔ)(ρ₁₁－ρ₂₂).(2.77)

を得ます。

これらは,密度行列に対する厳密な方程式ですが,

ここで回転波近似を施します。すなわち,cos(ωｔ)

＝(1/2){exp(iωｔ)＋exp(－iωｔ)}を代入し,

結果.ω～ω₀より,exp{±i(ω₀－ω)ｔ}の項だけを

残しexp{±i(ω₀＋ω)ｔ}の項を無視する近似をして,

ｄρ₂₂/ｄｔ＝－ｄρ₁₁/ｄｔ

＝(－i/2)Ω^＊exp{i(ω₀－ω)ｔ}ρ₁₂

＋(i/2)Ωexp{－i(ω₀－ω)ｔ}ρ₂₁.(2.78)

ｄρ₁₂/ｄｔ＝ｄρ₂₁^＊/ｄｔ

＝(i/2)Ωexp{－i(ω₀－ω)ｔ}(ρ₁₁－ρ₂₂)(2.79)

が得られるわけです。

これは,「光学Bloch方程式」と呼ばれるもの

として知られており,振動磁場内のスピンの運動を

記述するためにBlochが導出したものと同類のもの

です。それは,ここで考察した２準位原子の量子力学

が,形式の上では同じ２自由度のスピン:1/2の系の

ものに全く等しい,からです。

• 2.7 Rabi振動

上記最後の方程式(2.78),(2.79)は,これ以上の近似

無しで解くことができます。これらは,原子密度行列の

４つの要素に対する４つの連立方程式系を成しています。

試行解として,ρ₁₁(ｔ)＝ρ₁₁⁽⁰⁾exp(λｔ)(2.80ａ),

ρ₂₂(ｔ)＝ρ₂₂⁽⁰⁾exp(λｔ)(2.80ｂ),

ρ₁₂(ｔ)＝ρ₁₂⁽⁰⁾exp{－i(ω₀－ω)ｔ}exp(λｔ)(2.80ｃ),

ρ₂₁(ｔ)＝ρ₂₁⁽⁰⁾exp{i(ω₀－ω)ｔ}exp(λｔ)(2.80ｄ)

を代入すると,４成分の縦ベクトル:

ρ^⁽⁰⁾＝[ρ₁₁⁽⁰⁾,ρ₂₂⁽⁰⁾,ρ₁₂⁽⁰⁾, ρ₂₁⁽⁰⁾]^Ｔに対し,

[－λ,0,(i/2)Ω^＊,(－i/2)Ω]ρ^⁽⁰⁾＝0.(2.81ａ),

[0,－λ,(－i/2)Ω^＊,(i/2)Ω]ρ^⁽⁰⁾＝0.(2.81ｂ),

[(i/2)Ω,(－i/2)Ω,i(ω₀－ω)－λ,0]ρ^⁽⁰⁾

＝0 .(2.81ｃ),

[(－i/2)Ω^＊,(i/2)Ω^＊,0,－i(ω₀－ω)－λ]ρ^⁽⁰⁾

＝0 .(2.81ｄ)

なる(４×４行列)×ρ^⁽⁰＝0の方程式を得ます。

このとき,λの取り得る値は,これがρ^⁽⁰＝0という

自明な解以外の解を持つという条件から決まります。

そこで,方程式の係数行列の行列式＝0から,

λ²{λ²＋(ω₀－ω)²＋|Ω|²}＝0.(2.82)なる

特性方程式を得ます。(※ 上式の導出＝行列式の計算

の過程は省略そます。)

　この方程式の相異なる３根は,

λ₁＝0,λ₂＝iΩ₁,λ₃＝－iΩ₁.(2.83)で与えられます。

ただし,Ω₁＝{(ω₀－ω)²＋|Ω|²}^1/2.(2.84)です。

(※Ωは複素数ですがΩ₁は実数であることに注意)

したがって,密度行列要素に対する最も一般的な解は,

ρ_ij(ｔ)＝ρ_ij⁽¹⁾＋ρ_ij⁽²⁾exp(iΩ₁ｔ)＋ρ_ij⁽³⁾exp(－iΩ₁ｔ)

(2.85)で与えられるはずです。

ところが,この一般形は(2.80)で仮定した形の

ρ₁₁(ｔ)＝ρ₁₁⁽⁰⁾exp(λｔ),ρ₂₂(ｔ)＝ρ₂₂⁽⁰⁾exp(λｔ),

ρ₁₂(ｔ)＝ρ₁₂⁽⁰⁾exp{－i(ω₀－ω)ｔ}exp(λｔ),

ρ₂₁(ｔ)＝ρ₂₁⁽⁰⁾exp{i(ω₀－ω)ｔ}exp(λｔ)

についてのλが満たすべき方程式が上記特性方程式

なので,実は非対角要素には,さらに振動的な指数関数

因子が加わります。

つまり,対角要素は,(2.85)そのままの形で,

ρ₁₁(ｔ)＝ρ₁₁⁽¹⁾＋ρ₁₁⁽²⁾exp(iΩ₁ｔ)＋ρ₁₁⁽³⁾exp(－iΩ₁ｔ),

ρ₂₂(ｔ)＝ρ₂₂⁽¹⁾＋ρ₂₂⁽²⁾exp(iΩ₁ｔ)＋ρ₂₂⁽³⁾exp(－iΩ₁ｔ)

ですが,非対角要素は,上記の仮定:(2.80)により

ρ₁₂(ｔ)＝exp{－i(ω₀－ω)ｔ}

×[ρ₁₂⁽¹⁾＋ρ₁₂⁽²⁾exp(iΩ₁ｔ)＋ρ₁₂⁽³⁾exp(－iΩ₁ｔ)]

ρ₂₁(ｔ)＝exp{i(ω₀－ω)ｔ}

×[ρ₂₁⁽¹⁾＋ρ₂₁⁽²⁾exp(iΩ₁ｔ)＋ρ₂₁⁽³⁾exp(－iΩ₁ｔ)]

となります。

※(注9-3):特性方程式の解が重根の場合,

それがλ＝α≠0なら,それに属する独立な２つの解

としては,exp(αｔ)の他に,ｔexp(αｔ)をとることが

できます。この重根がα＝0なら,独立解は1とｔです。

しかし,今の場合,ρ₂₁(ｔ)＝ρ₁₂^＊(ｔ)を考慮すると,

４つの成分のうち独立なのは,ρ₁₁(ｔ),ρ₂₂(ｔ),ρ₁₂(ｔ)

の３つだけと考えられますから,係数行列は３×３で十分

と考えて,λ＝λ₁＝0は真の重根ではなく単根であり1

(定数)のみが,それに属する独立解です。

さらにρ₁₁(ｔ)＋ρ₂₂(ｔ),＝1の条件をも考慮すれば,

実は独立成分は2つだけです。

しかし,取り合えず,４つの成分全てについて対角要素は

ρ₁₁(ｔ)＝ρ₁₁⁽¹⁾＋ρ₁₁⁽²⁾exp(iΩ₁ｔ)＋ρ₁₁⁽³⁾exp(－iΩ₁ｔ),

ρ₂₂(ｔ)＝ρ₂₂⁽¹⁾＋ρ₂₂⁽²⁾exp(iΩ₁ｔ)＋ρ₂₂⁽³⁾exp(－iΩ₁ｔ)

となり,非対角要素は,

ρ₁₂(ｔ)＝exp{－i(ω₀－ω)ｔ}

×[ρ₁₂⁽¹⁾＋ρ₁₂⁽²⁾exp(iΩ₁ｔ)＋ρ₁₂⁽³⁾exp(－iΩ₁ｔ)]

ρ₂₁(ｔ)＝exp{i(ω₀－ω)ｔ}

×[ρ₂₁⁽¹⁾＋ρ₂₁⁽²⁾exp(iΩ₁ｔ)＋ρ₂₁⁽³⁾exp(－iΩ₁ｔ)]

となるとしておきます。(注9-3終わり※)

さて,λ＝λ₁＝0に対応する定数項は解を光学Bloch

方程式に代入し返せば決まるはずです。

また,λ₂＝iΩ₁,λ₃＝－iΩ₁で,Ω₁＝{(ω₀－ω)²＋|Ω|²}^1/2.

ですから,|Ω|²の存在のため原子と光ビーム結合系での

周波数Ω₁は,結合がないときの,それぞれの値:ω₀やωとは

異なります。

そして,|Ω|²はビームの振動電場の振幅:|Ｅ₀|の2乗に

比例するので,この結合系の周波数のシフトと分裂は,静電場

を印加したときの原子のエネルギー準位のシフトと分裂から

の類推により,動的シュタルク(Stark)効果と呼ばれています。

これは後の第８章で述べる予定の「共鳴蛍光スペクトル」

の観測にかかる重要な効果をもたらすものです。

光学Bloch方程式の解は,任意の初期条件の場合は,

甚だしく長くなるので,以下の議論は特別な場合に限る

ことにします。

※(注9-4);密度行列に対する厳密な方程式:(2.78),(2.79)

の解は.初期条件がρ₂₂＝0,ρ₁₂＝0(※Ｃ₂＝0)(2.86)の場合,

ρ₂₂＝(|Ω|²/Ω₁²)sin²(Ω₁ｔ/2).(2.87)

ρ₁₂＝exp{－i(ω₀－ω)ｔ}(Ω/Ω₁²)sin(Ω₁ｔ/2)

×{－(ω₀－ω)sin(Ω₁ｔ/2)＋iΩ₁cos(Ω₁ｔ/2)}.(2.88)

となることを証明します。

[証明]:まず,ρ₂₂の一般解:

ρ₂₂(ｔ)＝ρ₂₂⁽¹⁾＋ρ₂₂⁽²⁾exp(iΩ₁ｔ)

＋ρ₂₂⁽³⁾exp(－iΩ₁ｔ)において,初期条件;

ρ₂₂(0)＝0より,ρ₂₂⁽¹⁾＋ρ₂₂⁽²⁾＋ρ₂₂⁽³⁾＝0です。

また,ρ₁₂の一般解:ρ₁₂(ｔ)＝exp{－i(ω₀－ω)ｔ}

×[ρ₁₂⁽¹⁾＋ρ₁₂⁽²⁾exp(iΩ₁ｔ)＋ρ₁₂⁽³⁾exp(－iΩ₁ｔ)]

において,初期条件;ρ₁₂(0)＝0より

ρ₁₂⁽¹⁾＋ρ₁₂⁽²⁾＋ρ₁₂⁽³⁾＝0です。

ここで,Bloch方程式に,これらの一般解を代入して,

それに,条件:ρ₁₁＝1－ρ₂₂より,ρ₁₁－ρ₂₂＝1－2ρ₂₂,

および,ρ₂₁＝ρ₁₂^＊を適用します。

まず,(2.78)のｄρ₂₂/ｄｔ＝－ｄρ₁₁/ｄｔ

＝(－i/2)Ω^＊exp{i(ω₀－ω)ｔ}ρ₁₂

＋(i/2)Ωexp{－i(ω₀－ω)ｔ}ρ₂₁は.

iΩ₁ρ₂₂⁽²⁾exp(iΩ₁ｔ)－iΩ₁ρ₂₂⁽³⁾exp(－iΩ₁ｔ)

＝(－i/2)Ω^＊

×{ρ₁₂⁽¹⁾＋ρ₁₂⁽²⁾exp(iΩ₁ｔ)＋ρ₁₂⁽³⁾exp(－iΩ₁ｔ)]

＋(i/2)Ω

×{ρ₁₂^(1)＊＋ρ₁₂^(2)＊exp(－iΩ₁ｔ)＋ρ₁₂^(3)＊exp(iΩ₁ｔ)]

(Ａ1)と書けます。

次に,(2.79)の,ｄρ₁₂/ｄｔ＝ｄρ₂₁^＊/ｄｔ

＝(i/2)Ωexp{－i(ω₀－ω)ｔ}(ρ₁₁－ρ₂₂)は.

－i(ω₀－ω)exp{－i(ω₀－ω)ｔ}ρ₁₂⁽¹⁾

＋i{Ω₁－(ω₀－ω)}exp[i{Ω₁－(ω₀－ω)}ｔ].

－i{Ω₁＋(ω₀－ω)}exp[－i{Ω₁＋(ω₀－ω)}ｔ]ρ₁₂⁽³⁾

＝(i/2)Ωexp{－i(ω₀－ω)ｔ}

×[1－2{ρ₂₂⁽¹⁾＋ρ₂₂⁽²⁾exp(iΩ₁ｔ)＋ρ₂₂⁽³⁾exp(－iΩ₁ｔ)}],

すなわち,－i(ω₀－ω)ρ₁₂⁽¹⁾

＋i{Ω₁－(ω₀－ω)}exp(iΩ₁ｔ)ρ₁₂⁽²⁾

－i{Ω₁＋(ω₀－ω)}exp(－iΩ₁ｔ)ρ₁₂⁽³⁾

＝(i/2)Ω

[1－2{ρ₂₂⁽¹⁾＋ρ₂₂⁽²⁾exp(iΩ₁ｔ)＋ρ₂₂⁽³⁾exp(－iΩ₁ｔ)}]

(Ａ2)と書けます。

そして,(Ａ1)からは,まず,Ω^＊ρ₁₂⁽¹⁾－Ωρ₁₂^(1)＊＝0.(Ａ3),

つまり,Ω^＊ρ₁₂⁽¹⁾は実数である,という結果を得ます。

また,Ω₁ρ₂₂⁽²⁾＝－(1/2)(Ω^＊ρ₁₂⁽²⁾－Ωρ₁₂^(3)＊)(Ａ4),

かつ,Ω₁ρ₂₂⁽³⁾＝(1/2)(Ω^＊ρ₁₂⁽³⁾－Ωρ₁₂^(2)＊).(Ａ5)を

得ます。

一方,(Ａ2)からは,まず,

－(ω₀－ω)ρ₁₂⁽¹⁾＝(1/2)Ω(1－2ρ₂₂⁽¹⁾)より,

ρ₂₂⁽¹⁾＝1/2＋{(ω₀－ω)/Ω}ρ₁₂⁽¹⁾(Ａ6)を得ます。

次に,{Ω₁－(ω₀－ω)}ρ₁₂⁽²⁾＝－Ωρ₂₂⁽²⁾(Ａ7),

かつ,{Ω₁＋(ω₀－ω)}ρ₁₂⁽³⁾＝Ωρ₂₂⁽³⁾(Ａ8)

も得られます。

さて,Ωρ₂₂⁽²⁾＝－{Ω₁－(ω₀－ω)}ρ₁₂⁽²⁾(Ａ5),

および.Ωρ₂₂⁽³⁾＝{Ω₁＋(ω₀－ω)}ρ₁₂⁽³⁾(Ａ6)

を得ます。と書きました。

ところが,ρ₂₂⁽²⁾＋ρ₂₂⁽³⁾＝－ρ₂₂⁽¹⁾

かつ,ρ₁₂⁽²⁾＋ρ₁₂⁽³⁾＝－ρ₁₂⁽¹⁾なので,これは,

Ωρ₂₂⁽¹⁾＝(ω₀－ω)ρ₁₂⁽¹⁾＋Ω₁(ρ₁₂⁽²⁾－ρ₁₂⁽³⁾)

を意味します。

一方,Ωρ₂₂⁽¹⁾＝Ω/2＋(ω₀－ω)ρ₁₂⁽¹⁾

ですから,(ω₀－ω)ρ₁₂⁽¹⁾＋Ω₁(ρ₁₂⁽²⁾－ρ₁₂⁽³⁾)

＝Ω/2＋(ω₀－ω)ρ₁₂⁽¹⁾,つまり,ρ₁₂⁽²⁾－ρ₁₂⁽³⁾

＝(1/2)(Ω/Ω₁)が得られます。

以上から,Ωρ₂₂⁽¹⁾＝(ω₀－ω)ρ₁₂⁽¹⁾

＋Ω₁(ρ₁₂⁽²⁾－ρ₁₂⁽³⁾)＝(ω₀－ω)ρ₁₂⁽¹⁾＋Ω/2です。

これと,ρ₁₂⁽²⁾＋ρ₁₂⁽³⁾＝－ρ₁₂⁽¹⁾から,辺々加えて

2ρ₁₂⁽²⁾＝(1/2)(Ω/Ω₁)－ρ₁₂⁽¹⁾(Ａ7),また後の式から

前の式を引いて,2ρ₁₂⁽³⁾＝－(1/2)(Ω/Ω₁)－ρ₁₂⁽¹⁾(Ａ8)

です。しかし,これらは,これ以上,何も新しい式を生まない

ことがわかりました。これ以上の変形をしてもトートロジー

なので,この手順は,ここで停止です。

そこで,次策として,取り合えず,

ρ₂₂＝ρ₂₂⁽¹⁾＋ρ₂₂⁽²⁾exp(iΩ₁ｔ)＋ρ₂₂⁽³⁾exp(－iΩ₁ｔ)

に戻って,このρ₂₂＝|Ｃ₂|²が実数であることに着目します。

つまり,ρ₂₂＝ρ₂₂^＊なので,

ρ₂₂⁽¹⁾＋ρ₂₂⁽²⁾exp(iΩ₁ｔ)＋ρ₂₂⁽³⁾exp(－iΩ₁ｔ)

＝ρ₂₂^(1)＊＋ρ₂₂^(2)＊exp(－iΩ₁ｔ)＋ρ₂₂^(3)＊exp(iΩ₁ｔ)

です。

それ故,ρ₂₂⁽¹⁾ ＝ρ₂₂^{(1) ＊}は実数であること,および,,

ρ₂₂⁽²⁾＝ρ₂₂^(3)＊,かつ,ρ₂₂⁽³⁾＝ρ₂₂^(2)＊であることが

わかります。故に,ρ₂₂⁽²⁾＝ａ＋iｂ(ａ,ｂは実数)と置けば,

ρ₂₂⁽³⁾＝ａ－iｂです。そして,さらに.Ω^＊ρ₁₂⁽¹⁾＝ｃ(実数)

と置きます。

すると,まず, ρ₂₂⁽¹⁾＝－(ρ₂₂⁽²⁾＋ρ₂₂⁽³⁾)＝－2ａ

(実数)と書けます。

また,前に得た式:Ωρ₂₂⁽¹⁾＝(ω₀－ω)ρ₁₂⁽¹⁾＋Ω/2

により,|Ω|²ρ₂₂⁽¹⁾＝ｃ(ω₀－ω)＋|Ω|²/2なので,

－2ａ＝ｃ(ω₀－ω)/|Ω|²＋1/2,

あるいは,a＝－1/4－(ｃ/2)(ω₀－ω)/|Ω|²という

ａとｃの関係式が得られます。

他方.Ω^＊(ρ₁₂⁽²⁾＋ρ₁₂⁽³⁾)＝－Ω^＊ρ₁₂⁽¹⁾＝－ｃ

Ω^＊(ρ₁₂⁽²⁾－ρ₁₂⁽³⁾)＝(1/2)(|Ω|²/Ω₁)ですから,

Ω^＊ρ₁₂²⁾ ＝(1/4)(|Ω|²/Ω₁)－ｃ/2(実数)(Ａ7)

Ω^＊ρ₁₂⁽³⁾ ＝－{(1/4)(|Ω|²/Ω₁)＋ｃ/2}(実数)

(Ａ8)です。

また,先の(Ａ5),(Ａ6)は,,

|Ω|²ρ₂₂⁽²⁾＝－{Ω₁－(ω₀－ω)}Ω^＊ρ₁₂⁽²⁾.

|Ω|²ρ₂₂⁽³⁾＝{Ω₁＋(ω₀－ω)}Ω^＊ρ₁₂⁽³⁾です。

そこで,結局,ｃかａの一方の具体的な値がわかれば,

ρ₁₂⁽¹⁾＝ｃ/Ω^＊とρ₂₂⁽¹⁾＝－2ａだけでなく,(Ａ7)(Ａ8)

から,Ω^＊ρ₁₂²⁾,Ω^＊ρ₁₂²⁾がわかり,それから芋づる式に,

(Ａ5),(Ａ6)から|Ω|²ρ₂₂⁽²⁾,|Ω|²ρ₂₂⁽³⁾もわかるので,

ρ₁₂とρ₂₂の全ての定係数が決まるので,解が定まって

問題は完全に解決します。

それ故,以下,これら以外の式からａまたはｃを導出

することを試みます。

まず,2iｂ＝ρ₂₂⁽²⁾－ρ₂₂⁽³⁾ですから,

2iｂ|Ω|²＝|Ω|²(ρ₂₂⁽²⁾－ρ₂₂⁽³⁾)

＝－{Ω₁－(ω₀－ω)}Ω^＊ρ₁₂⁽²⁾－{Ω₁＋(ω₀－ω)}Ω^＊ρ₁₂⁽³⁾

＝－Ω₁Ω^＊(ρ₁₂⁽²⁾＋ρ₁₂⁽³⁾)＋(ω₀－ω)Ω^＊(ρ₁₂⁽²⁾－ρ₁₂⁽³⁾)

です。つまり,ｃΩ₁＋(ω₀－ω)Ω^＊(ρ₁₂⁽²⁾－ρ₁₂⁽³⁾)

＝2iｂ|Ω|²ですが,Ω^＊(ρ₁₂⁽²⁾－ρ₁₂⁽³⁾)＝(1/2)(|Ω|²/Ω₁)

であり,これは実数なのでｃΩ₁＋(1/2)(ω₀－ω)(|Ω|²/Ω₁)

＝2iｂ|Ω|²(となり(実数)＝(純虚数)と書けることになります。

これが成立するには両辺ともゼロであることが必要十分であり,

特にｂ＝0です。

左辺＝0からは,ｃ＝－(1/2)(ω₀－ω)(|Ω|²/Ω₁²)を得ます。

かくして,ｃの値が決定されました。

したがって,まず,ａをｃで表わす関係式;

ａ＝－1/4－(ｃ/2)(ω₀－ω)/|Ω|²により,

ａ＝－1/4＋(1/4)(ω₀－ω)²/Ω₁²

＝{1/(4Ω₁²)}{(ω₀－ω)²－Ω₁²}を得ます。

ところが,(2.84)のΩ₁の定義:Ω₁＝{(ω₀－ω)²＋|Ω|²}^1/2

によれば.(ω₀－ω)²－Ω₁²＝－|Ω|²です。

そこで,結局,ｂ＝0より,ρ₂₂⁽²⁾＝ρ₂₂⁽³⁾＝ａ＝－|Ω|²/(4Ω₁²)

を得ます。さらに,ρ₂₂⁽¹⁾＝－2ａ＝|Ω|²/(2Ω₁²)も得られます。

一方,Ω^＊ρ₁₂⁽²⁾＝(1/4)(|Ω|²/Ω₁)－ｃ/2

＝(1/4)(|Ω|²/Ω₁²){(ω₀－ω)＋Ω₁}によって,

ρ₁₂⁽²⁾＝(1/4)(Ω/Ω₁²){(ω₀－ω)＋Ω₁}であり,,

Ω^＊ρ₁₂⁽³⁾＝－{(1/4)(|Ω|²/Ω₁)＋ｃ/2}

＝(1/4)(|Ω|²/Ω₁²){(ω₀－ω)－Ω₁}によって,

ρ₁₂⁽³⁾＝(1/4)(Ω/Ω₁²){(ω₀－ω)－Ω₁}を得ます。

最後に,ρ₁₂⁽¹⁾＝ｃ/Ω^＊＝－(1/2)(Ω/Ω₁²)(ω₀－ω)

です。

以上から,

ρ₂₂＝ρ₂₂⁽¹⁾＋ρ₂₂⁽²⁾exp(iΩ₁ｔ)＋ρ₂₂⁽³⁾exp(－iΩ₁ｔ)

＝|Ω|²/(2Ω₁²)[1－(1/2)|exp(iΩ₁ｔ)＋exp(－iΩ₁ｔ){}

＝||Ω|²/(2Ω₁²)}{1－cos(Ω₁ｔ)}です。

すなわち,ρ₂₂(ｔ)＝(|Ω|²/Ω₁²)sin²(Ω₁ｔ/2)

を得ました。

また, ρ₁₂exp{i(ω₀－ω)ｔ}

＝ρ₁₂⁽¹⁾＋ρ₁₂⁽²⁾exp(iΩ₁ｔ)＋ρ₁₂⁽³⁾exp(－iΩ₁ｔ)

＝－(1/2)(Ω/Ω₁²)(ω₀－ω)

＋(1/4)(Ω/Ω₁²){(ω₀－ω)＋Ω₁}exp(iΩ₁ｔ)

＋(1/4)(Ω/Ω₁²){(ω₀－ω)－Ω₁}exp(－iΩ₁ｔ)

＝－{Ω/(2Ω₁²)}(ω₀－ω){1－cos(Ω₁ｔ)}

＋{Ω/(4Ω₁)}{2isin(Ω₁ｔ)}

＝－(Ω/Ω₁²)}(ω₀－ω)sin²(Ω₁ｔ/2)

＋{Ω/Ω₁)isin(Ω₁ｔ)cos(Ω₁ｔ/2)

故に,ρ₁₂(ｔ)＝(Ω/Ω₁²)exp{－i(ω₀－ω)ｔ}

sin(Ω₁ｔ/2)[－(ω₀－ω)sin(Ω₁ｔ/2)＋iΩ₁cos(Ω₁ｔ/2)]

が得られます。(証明終わり)　　(注9-4終わり※)

　今回は計算が長くなったので,ここまでにします。(つづく)

(参考文献)：Rodney Loudon 著

(小島忠宣・小島和子 共訳)

「光の量子論第２版」(内田老鶴舗)