光の量子論８

※第2章 原子・放射相互作用の量子力学

の続きです。

※(余談)このブログをアップする時点で10/12に入った

真夜中です。まもなく,関東に大きい台風が来るらしい

ですが,ほぼ寝たきり生活の死に損ないジジイなので,

自分のことダケであれば,あまり気にしません。

15日に２ヶ月分の年金が入る予定で.まだ今月の家賃

も払っていません。ここ西巣鴨に引っ越してきたのは,

６年間住んでいた,巣鴨駅から健康な足で徒歩10分の

アパートの建てかえ,立ちのきのせいで,やむなく

2016年の10月に移ってきたので,ほぼ３年経ちました

が.以来,偶数月の家賃は僅かながら年金が入るまで常に

未払いですが,家主も管理会社も優しいのか,前に住んで

いたときの管理のエイブルと違って,義務的であろう家賃

の催促のクレームもないので助かっています。まあ,催促

されてもギリギリで暮らしていて,無いソデは振れません

が。。その代わり,次の奇数月は前月の残りの金で期限通り

に払っています。ときどき入院していても,支払いはネット

バンクからしているので,幸い半月以上の滞納はゼロです。

というわけで,年金前の今頃が最も金欠で食べ物も食事用

のモノくらいしかなく,好きな間食もできず,仕方なくブログ

書きなどに集中するしか,他に能動的なことはできないため,

入院中を除いて,大体２ヶ月ごとの金欠時期にブログ記事アップ

が増えるわけです。

村上春樹さん,また,ノーベル賞ダメでしたね。

まあ,アインシュタインもノーベル賞をもらったけど,

「相対性理論」にじゃなく,光量子論でしたかね。

大体,賞を選ぶ側が選ばれる側を正しく評価できるほど

優秀とは限らないので,お金が欲しいなら別ですが,ガッカリ

することもないような。ノーベル賞より上だから選ばれない

とかね。。(余談終わり※)

さて,本論に入ります。

• 2.4 Ｂ係数の表式

多数存在する同種の原子数をＮとし,それらに

同時に相互作用Ｈ₁が加わったとします。

これらの原子は,時刻ｔで,ψ₁に見出される確率

|Ｃ₁|²と,ψ₂に見出される確率:|Ｃ₂|²を持ちます。

それ故,２つの状態にある平均粒子数は,それぞれ,

Ｎ₁＝Ｎ|Ｃ₁|²Ｎ,Ｎ₂＝Ｎ|Ｃ₂|².(2.50)となります。

同種の原子,または分子から成る気体であっても,

対応する電子状態の空間的配向は,原子(分子)から,

次の原子(分子)へと不規則に変化します。

前にｘ軸の正の向きにとった電磁波の電場の向き

の単位ベクトルをεとします。

すると,行列要素Ｘ₁₂はＸ₁₂＝εＤ₁₂.(2.51)と,

書けます。ただし,Ｄ₁₂＝∫ψ₁^＊Ｄψ₂ｄＶ(2.52)です。

与えられた1対の状態ψ₁とψ₂に対して,Ｄ₁₂は,

空間的に,ある方向を向きますが,原子(分子)の配向が

乱雑なため,それは気体中では不規則な運動をします。

Ｄ₁₂と電場の単位ベクトルεのなす角をθとすると,

|Ｘ₁₂|²を求めるための配向による平均は,＜cos²θ＞

＝1/3.(2.53)で与えられる,cos²θの平均値を含んで

います。

※(注8-1):実際,具体的に計算すると,＜cos²θ＞

＝∫_－1¹ｄ(cosθ)cos²θ/∫_－1¹ｄ(cosθ)＝(2/3)/2

＝1/3　です。(注8-1終わり※)

こうして,前記事の,|Ｃ₂(ｔ)|²＝πｅ²{Ｘ₁₂|²

×Ｗ(ω)ｔ/(ε₀ｈ_c²)(2.49)の因子:|Ｘ₁₂|²を,

＜|Ｘ₁₂|²＞＝(1/3)|Ｄ₁₂|².(2.54)に置換する必要

があることがわかります。

そこで,前記事で得たＢ係数の評価式:(2.49)

のＢ₁₂＝πｅ²{Ｘ₁₂|²/(ε₀ｈ_c²)と上の(2.54)から,

Ｂ₁₂＝πｅ²{Ｄ₁₂|²/(3ε₀ｈ_c²).(2.55)という,

アインシュタイン係数に対する量子力学による

結果が得られます。

入射電磁波を遮断すると,Ｈ₁は無くなるので,

ψ₁,ψ₂はＨ_Ｅだけから成る全Hamiltonianの定常

状態に戻ります。

(※Ｈ_Ｅ＝Ｔ＋Ｖ:原子のHamiltonianです。)

仮に,状態２が状態１よりエネルギーが低くても,

本章の議論では,入射ビ－ム照射が無いと１から２

への遷移は起こることが無いと結論されます。

何故なら,本章の「半古典的方法」では自発放出の

過程を含まないからです。

その過程を含む満足な扱いをするには,量子力学に

よる「放射場(量子化された輻射場)」を用いる必要

があります。ですが,そうした扱いは第５章までは

Pendingとします。

しかしながら,自発放出のＡ係数の正しい表式は,

既に,第１章の§1.6 (本ブログでは光の量子論２)

で,熱平衡の場合のアインシュタインの現象論を空洞

放射のPlanckの法則と比較することから,

Ａ₂₁＝{ｈ_cω³/(π²ｃ³)}Ｂ₂₁(1.51),および,

(ｇ₁/ｇ₂)Ｂ₁₂＝Ｂ₂₁.(1.50)なる式として得ています。

これに,上の(2.55)のＢ₁₂＝πｅ²|Ｄ₁₂|²/(3ε₀ｈ_c²)

とω～ω₀を代入すれば,Ａ₂₁＝{ｈ_cω₀³/(π²ｃ³)}

×(ｇ₁/ｇ₂){πｅ²|Ｄ₁₂|²/(3ε₀ｈ_c²)},すなわち,

Ａ₂₁＝{ｇ₁ｅ²ω₀³|Ｄ₁₂|²|/(3πε₀ｇ₂ｈ_cｃ³)}.(2.56)

これからＡ係数の値は水素原子の場合には容易に

計算できます。

状態１を1ｓ,状態２を2ｐ状態として1と２の間

の遷移を考えます。1ｓ状態と遷移速度が等しい３つ

の2ｐ状態があり,それらを合成したＢ₁₂係数は(2.55)

で与えられた,Ｂ₁₂＝πｅ²{Ｄ₁₂|²/(3ε₀ｈ_c²)の３倍の値

を有し,その場合のＤ₁₂は1ｓ状態と2ｐ状態のどれか

１つの間の行列要素を意味します。

ｇ₁＝1,ｇ₂＝3とし,前々記事で求めたボーア半径

の値:ａ₀＝4πε₀ｈ_c²/(ｍｅ²)～ 5×10^-11ｍ(2.16)

や,Ω＝2^15/2ｅＥ₀ａ₀/(3⁵ｈ_c)(2.27)の表式,そして,

ω₀=(3/4)ω_Ｒ(2.28),ｈ_cω_Ｒ＝ｍｅ⁴/(32π²ε₀²ｈ_c²)

(2.29).および,Ω­＝ｅＥ₀Ｘ₁₂/ｈ_c(2.23)を用いて,

(2.56)の3倍のＡ₂₁＝ｅ²ω₀³|Ｄ₁₂|²/(3πε₀ｈ_cｃ³)

を計算します。|Ｄ₁₂|²＝3|Ｘ₁₂|²ですから,まず,

Ｘ₁₂を計算します。

定義によって,Ｘ₁₂＝∫ψ₁(ｒ)^＊ｘψ₂(ｒ)ｄ³ｒ

です。ただし,ｒ＝|ｒ|とおけばｘ＝ｒcosθです。

量子力学の初等的教科書によれば，

水素原子の1ｓ(ｎ＝1,ｌ＝0)の状態の波動関数は

ψ₁(ｒ)＝π^-1/2ａ₀^－3/2exp(－ｒ/ａ₀)です。

また,2ｐ(ｎ＝2,ｌ＝1)の状態でｍ＝0の状態の

波動関数は,ψ₂(ｒ)＝(2ａ₀)^－3/2(2－ｒ/ａ₀)

exp{－ｒ/(2ａ₀)}{3/(8π)}^1/2cosθ　です。

それ故,Ｘ₁₂＝π^-1/2ａ₀^－3/2{3/(8π)}^1/2(2ａ₀)^－3/2

×(2π)∫_－1¹ｄ(cosθ)cos²θ

×∫₀^∞[ｒ³(2－ｒ/ａ₀)exp{－3ｒ/(2ａ₀)}ｄｒ

＝(2^-3/2/3^1/2)ａ₀^－3

×∫₀^∞[ｒ³(2－ｒ/ａ₀)exp{－3ｒ/(2ａ₀)}ｄｒ

と書けます。

ここで,ｕ＝3ｒ/(2ａ₀)⇔ｒ＝(2ａ₀/3)ｕと,

動径部分の積分変数をｒからｕに置換すると,

∫₀^∞[ｒ³(2－ｒ/ａ₀)exp{－3ｒ/(2ａ₀)}ｄｒ

＝(2⁵/3⁴)ａ₀⁴∫₀^∞[(ｕ³－ｕ⁴/3)exp(－ｕ)ｄｕ

＝(2⁵/3⁴)ａ₀⁴{Γ(4)－Γ(5)/3}＝－(2⁹/3⁴)ａ₀⁴

です。

故に,Ｘ₁₂＝－(2^-3/2/3^1/2)ａ₀^－3×(2⁹/3⁴)ａ₀⁴

＝－(2^15/2/3^9/2)ａ₀を得ます。そこで,|Ｘ₁₂|²

＝2¹⁵ａ₀²/3⁹です。

したがって,|Ｄ₁₂|²＝3|Ｘ₁₂|²より.

Ａ₂₁＝ｅ²ω₀³|Ｄ₁₂|²/(3πε₀ｈ_cｃ³)

＝ｅ²ω₀³|Ｘ₁₂|²/(πε₀ｈ_cｃ³)}

＝ｅ²ω₀³2¹⁵ａ₀²/(3⁹πε₀ｈ_cｃ³)

となりますが.この右辺に,

ω₀=(3/4)ｍｅ⁴/(32π²ε₀²ｈ_c³)

＝3ｍｅ⁴/(2⁷π²ε₀²ｈ_c³),および,

ａ₀＝4πε₀ｈ_c²/(ｍｅ²)を代入します。

ω₀³=3³ｍ³ｅ¹²/(2²¹π⁶ε₀⁶ｈ_c⁹),および,

ａ₀²＝2⁴π²ε₀²ｈ_c⁴/(ｍ²ｅ⁴)　なので,

Ａ₂₁＝ｅ²ω₀³2¹⁵ａ₀²/(3⁹πε₀ｈ_cｃ³)

＝ｍｅ¹⁰/(2²3⁶π⁵ε₀⁵ｈ_c⁶ｃ³)を得ます。

最後に,具体的な現在の観測値:

ｍ～ 3.1×10^－31kg,ｅ～ 1.6×10^－19Ｃ,

ε₀～ 8.85×10^－12Ｆ/ｍ,ｃ～ 3×10⁸ｍ/ｓ.

ｈ_c ～ 1.254×10^－34Ｊｓ,π＝3.1415..

を代入して長い計算をすると,Ａ₂₁の分子

＝ｍｅ¹⁰～3.4×10^―219Ｃ¹⁰kgであり,分母

＝2²3⁶π⁵ε₀⁵ｈ_c⁶ｃ³～ 5.07×10^－228Ｆ⁵ｍ^－2Ｊ⁶ｓ³

ですから,結局,Ａ₂₁～ 6.7×10⁸ｓ^-1.(2.57)

を得ました。(※ 参考の教科書の(2.57)と

僅かに違うので,計算違いがあるかも

知れません。しかし,オーダー的には両者は

一致しました。)

※(注8-2):単位のチェックをします。

ＳＩ単位系での静電気力のCoulombの法則：

Ｆ＝(4πε₀)^－1ｅ²/ｒ²から,誘電率の単位は,

[ε₀]＝[ｅ²/ｒ²]/[Ｆ]を満たすはずです。

つまり,Ｆ/ｍ＝Ｃ²ｍ^－2Ｎ^－1ですから,

Ｆ＝Ｃ²ｍ^－1Ｎ^－1です。ただし,誘電率の単位:

Ｆ/ｍのＦはファラッド(Farad)です。また,

Ｎは力の単位:Newtonで,Ｎ＝kgｍｓ^－2でも

あります。

Ａ₂₁の表式の分子の単位は,[ｍｅ¹⁰]＝Ｃ¹⁰kg

でしたが,分母の単位は,[2²3⁶π⁵ε₀⁵ｈ_c⁶ｃ³]

＝Ｆ⁵ｍ^―2Ｊ⁶ｓ³＝(Ｃ²ｍ^－1Ｎ^－1)⁵ｍ^－2(Ｎｍ)⁶ｓ³

＝Ｃ¹⁰ｍ^－1Ｎｓ³＝Ｃ¹⁰ｍ^－１(kgｍｓ^－2)ｓ³

＝Ｃ¹⁰ kgｓです。

したがって,[Ａ₂₁]＝[ｍｅ¹⁰/2²3⁶π⁵ε₀⁵ｈ_c⁶ｃ³]

＝ｓ^－１を得ました。(注8-2終わり※)

さて,前に,「光の量子論３」では,Ａの逆数:Ｉ_Ｒ,

つまり,Ａ＝1/Ｉ_Ｒ(1.78)で与えられるＩ_Ｒは,対象と

する遷移の「蛍光寿命」,または「放射寿命」として

知られています。　と書きました。

そこで,(2.57)のＡ₂₁～ 6.7×10⁸ｓ^-1から,水素原子の

2ｐ状態の放射寿命は,およそ,1.5×10^－9ｓであることが

わかります。

このＡ₂₁～ 6.7×10⁸ｓ^-1で示される自然放出の速さ

と比較して,これと同じ遷移の誘導放出の速さは,Ｗ(ω)

～ 10⁸(Ｗ/ｍ²)の強度と,ｄω～ 2π×10¹⁰ｓ^－1程度の幅

を持ったビームの場合:Ｂ₂₁Ｗ(ω)ｄω～3×10⁷ｓ^-1(2.59)

くらいで,自然放出の速さの100分の１以下です。

• 2.5 Diracのデルタ関数

アインシュタインの係数を計算する上述の方法は広い

使い道があるので.この結果を他の問題にも適用しやすい

形に直しておきます。

まず,Diracのデルタ関数:δを次式で定義します。

すなわち,δ(ω₀－ω)

＝(2/π)lim_ｔ→∞sin²{(ω₀－ω)ｔ/2}/{(ω₀－ω)²ｔ}

(2.59)です。

前記事では,積分因子:IntをInt

＝∫_ω0－Δω/2^ω0＋Δω/2ｄω[sin²{(ω－ω₀)ｔ/2}/{(ω－ω₀)²]

(2.46)と定義し,これについて,Δω＞＞1なら,ω₁＝ω－ω₀

として.Int～∫_∞^∞ｄω₁[sin²(ω₁ｔ/2)/ω₁²]＝πｔ/2.(2.48)

となることを,記述しました。

　それ故,∫_∞^∞δ(ω₀－ω)ｄω＝1.(2.60)です。

デルタ関数δ(ω₀－ω)は,ω＝ω₀では無限大であり,

ω≠ω₀では至るところゼロです。

したがって,もっと一般的に.ω₁＜ω₀＜ω₂の場合

は,∫_ω1^ω2δ(ω₀－ω)ｄω＝1,その他の場合(ω₀＜ω₁

またはω₀＞ω₂)には.∫_ω1^ω2δ(ω₀－ω)ｄω＝0.(2.61)

と書けます。

そして(2.59)のデルタ関数δの定義:δ(ω₀－ω)

＝(2/π)lim_ｔ→∞sin²{(ω₀－ω)ｔ/2}/{(ω₀－ω)²ｔ}

を利用すると,δ-関数の性質を証明することができます。

まず,ω＝ω₀を特異点としないωの任意関数をｆ(ω)

として,∫_ω1^ω2ｆ(ω)δ(ω₀－ω)ｄω

＝(2/π)lim_ｔ→∞∫_ω1^ω2ｄωｆ(ω)sin²{(ω₀－ω)ｔ/2}

/{(ω₀－ω)²ｔ}(2.62)を考えます。

(※左辺の積分が,右辺の積分の極限値によって定義

される,と解釈します。)

右辺の積分変数をｘ＝(ω－ω₀)ｔに置換すると

ω₁＜ω₀＜ω₂の場合は,∫_ω1^ω2ｆ(ω)δ(ω₀－ω₀)ｄω

＝(2/π)lim_ｔ→∞∫_{(ω1－ω0)ｔ}^{(ω2－ω0)ｔ}ｆ(ｘ/ｔ＋ω₀)

|sin²(ｘ/2)/ｘ²}ｄｘ＝(2/π)ｆ(ω₀)

∫_－∞^∞|sin²(ｘ/2)/ｘ²}ｄｘ＝ｆ(ω₀)(2.63)であり,

その他の場合は,∫_ω1^ω2ｆ(ω)δ(ω₀－ω)ｄω＝0　

という妹性質が得られます。

※(注8.3):(2.63)を証明します。

ω＝ω₀を特異点としない関数ｆでは,たとえ

ω＝ω₀で連続な関数でなくても被積分関数因子と

しては,lim_ｔ→∞ｆ(ｘ/ｔ＋ω₀)＝ｆ(ω₀)と挙動し,

ω₁＜ω₀＜ω₂の場合は,lim_ｔ→∞∫_{(ω1－ω0)ｔ}^{(ω2－ω0)ｔ}

＝∫_－∞^∞です。そして,∫_－∞^∞|sin²(ｘ/2)/ｘ²}ｄｘ

＝π/2なる公式を用いると,右辺＝ｆ(ω₀)です。

　その他のω₀の場合には,lim_ｔ→∞∫_{(ω1－ω0)ｔ}^{(ω2－ω0)ｔ}

＝∫_∞^∞ or ∫_－∞^－∞＝0ですから,(2.63)とその後の

言明の成立は明らかです。(注8.3終わり※)

さて,δ(ω₀－ω)

＝(2/π)lim_ｔ→∞sin²{(ω₀－ω)ｔ/2}/{(ω₀－ω)²ｔ}

(2.59)で与えた特殊な極限,以外にも,これと等価な

δ関数の別の表わし方が多々あります。

それがδ関数である,という基準は,

∫_ω1^ω2ｆ(ω)δ(ω₀－ω)ｄω＝ｆ(ω₀)(ω₁＜ω₀＜ω₂)

(2.63),および,∫_ω1^ω2ｆ(ω)δ(ω₀－ω)ｄω

(それ以外)を満たすことです。

※(注8.4):次の式がDiracのδ関数を表わすこと。

つまり,δ(ω₀－ω)

＝{1/(2π)}lim_Ｔ1,_Ｔ2→∞∫_－Ｔ1^Ｔ2exp{i(ω₀－ω)ｔ}ｄｔ

＝lim_Ｔ1,_Ｔ2→∞[exp{i(ω₀－ω)Ｔ₂}－exp{－i(ω₀－ω)Ｔ₁}

/|2πi(ω₀－ω)].(2.64)であること,を証明します。

これの特別な場合:Ｔ＝Ｔ₁＝Ｔ₂である場合には,,

δ(ω₀－ω)＝lim_Ｔ→∞[sin{(ω₀－ω)Ｔ}/{π(ω₀－ω)}]

＝(2/π)lim_Ｔ→∞[sin{(ω₀－ω)Ｔ/2}/(ω₀－ω)}](2.65)

です。

また,別の表式;δ(ω₀－ω)

＝(1/π)lim_ε→0[ε/{(ω₀－ω)²＋ε²}](2.66)

をも証明します。

[証明]:まず,{1/(2π)}lim_Ｔ1,_Ｔ2→∞∫_ω1^ω2ｄω

∫_－Ｔ1^Ｔ2exp{i(ω₀－ω)ｔ}ｄｔを計算します。

与式＝(1/π)[∫_－∞^∞ｄｔ[exp{i(ω₀－ω₂)ｔ}/(－2iｔ)

－∫_－∞^∞ｄｔexp{i(ω₀－ω₁)ｔ}/(－2iｔ)]です。

ところが,数学公式:

ａ＞0なら∫_－∞^∞{sin(ａｘ)/ｘ}ｄｘ＝πより,

∫_－∞^∞[{ｅxp(iａｘ)－exp(－iａｘ)}/(2iｘ)]ｄｘ＝π

です。そしてｙ＝－ｘと置けば,

∫_－∞^∞{exp(iａｘ)/ｘ}ｄｘ＝－∫_∞^－∞{exp(－iａｙ)/(－ｙ}ｄｙ

＝－∫_－∞^∞{exp(－iａｙ)/ｙ}ｄｙ

故に,∫_－∞^∞exp(iａｘ)/ｘ)}ｄｘ

＝－∫_－∞^∞{exp(－iａｘ)/ｘ}ｄｘです。

それ故,ａ＞0なら,

∫_－∞^∞[{exp(－iａｘ)}/(－iｘ)]ｄｘ＝πであり,

他方ａ＜0なら,

∫_－∞^∞[{exp(－iａｘ)}/(－iｘ)]ｄｘ＝－πです。,

故に,ω₁＜ω₀＜ω₂の場合,

∫_－∞^∞ｄｔexp{i(ω₀－ω₁)ｔ}/(－2iｔ)]＝π/2,。

∫_－∞^∞ｄｔexp{i(ω₀－ω₂)ｔ}/(－2iｔ)]＝－π/2,

したがって,(1/π)[∫_－∞^∞ｄｔ[exp{i(ω₀－ω₂)ｔ}/(－2iｔ)

－∫_－∞^∞ｄｔexp{i(ω₀－ω₁)ｔ}/(－2iｔ)]＝1を得ます。

一方,ω₀<ω₁,またはω₀＞ω₂の場合は

∫_－∞^∞ｄｔexp{i(ω₀－ω₁)ｔ}/(－2iｔ)]

＝∫_－∞^∞ｄｔexp{i(ω₀－ω₂)ｔ}/(－2iｔ)]となるため,

(1/π)[∫_－∞^∞ｄｔ[exp{i(ω₀－ω₂)ｔ}/(－2iｔ)

－∫_－∞^∞ｄｔexp{i(ω₀－ω₁)ｔ}/(－2iｔ)]＝0です。

以上から,δ(ω₀－ω)

＝{1/(2π)}lim_Ｔ1,_Ｔ2→∞∫_－Ｔ1^Ｔ2exp{i(ω₀－ω)ｔ}ｄｔ

が証明されました。

次に,(1/π)lim_ε→0∫_ω1^ω2[ε²/{(ω₀－ω)²＋ε²}]ｄω

を計算します。

ε/(ｘ²＋ε²)＝{1/(2i)}{1/(ｘ－iε)－1/(ｘ＋iε)}

と書けることを利用します。

複素ｚ平面上での閉路:Ｃ₁を(実軸)＋(右回り下半円周)

にとれば.原点Ｏを通る虚数上の点ｚ＝－iεは,Ｃ₁で

囲まれた領域内の極であり,ｚ＝iεは極ではないので,

Cauchyの留数定理から.∫_Ｃ1{1/(ｚ－iε)}ｄｚ＝0,

∫_Ｃ1{1/(ｚ＋iε)}ｄｚ＝－2πiです。

故に,∫_Ｃ1[ε/(ｚ²＋ε²)]ｄｚ＝πとなります。

他方,閉路:Ｃ₂を(実軸)＋(左回り上半円周)にとれば

ｚ＝iεの方がＣ₂内の極ですから,

∫_Ｃ2{1/(ｚ－iε)}ｄｚ＝2πi,∫_Ｃ2{1/(ｚ＋iε)}ｄｚ＝0

です。故に,やはり,∫_Ｃ2[ε/(ｚ²＋ε²)]ｄｚ＝πという

結果を得ます。

しかし,いずれの閉路でも,半円周の半径Ｒを∞の極限に

とると,ε→＋0のとき,[ε/(ｚ²＋ε²)]ｄｚは(1/Ｒ)の

オーダーで減衰するため,半円周上の積分の寄与はゼロです。

そこで,∫_(実軸)ｄｚ[ε/(ｚ²＋ε²)]ｄｚ

＝∫_ｘ1^ｘ2[ε/(ｘ²＋ε²)]ｄｘは,実軸上の区間:[ｘ₁,ｘ₂]

が区間内に原点Ｏを含めばπに等しく,さもないとゼロです。

あるいは,関数論に頼らず,ｘ＝εtanθ,

ｄｘ＝εsec²θｄθと変数置換すれば,

∫_ｘ1^ｘ2[ε/(ｘ²＋ε²)]ｄｘ＝∫_θ1θ2ｄθ＝θ₂－θ₁

＝Tan^－1(ｘ₂/ε)－Tan^－1(ｘ₁/ε)を得ますから,ｘ₂＞0 ,ｘ₁＜0

の場合は,ε→＋0の極限で右辺＝π/2－(－π/2)＝πであり,

ｘ₁とｘ₂が同符号の場合なら右辺＝0　です。

以上から,(1/π)lim_ε→0∫_ω1^ω2[ε²/{(ω₀－ω)²＋ε²}]ｄω

は.ω₁＜ω₀＜ω₂なら1の等しく,さもないときはゼロです。

したがって,δ(ω₀－ω)

＝(1/π)lim_ε→0[ε/{(ω₀－ω)²＋ε²}]が示されました。

(証明終わり)　　(注8-4終わり※)

　途中ですが今回はここまでです。(つづく)

(参考文献)：Rodney Loudon 著

(小島忠宣・小島和子 共訳)

「光の量子論第２版」(内田老鶴舗)

PS:最近は韓国のKPOPアイドルの方に魅かれます。

女子ゴルファーも美しいのは,私にはどちらかというと韓国人。

昔も女子フィギュアは,浅田真央の時代も非国民といわれながらも

キム：ヨナが好きで応援してた。好き嫌いは理屈じゃない。。