光の量子論12

※「光の量子論11」からの続きです。

(※余談):いとしのエリカ様,薬物疑惑で逮捕ですか？

真実だとしても誰かを傷つけたワケじゃなくカワイイもんです。

またも,政権スキャンダルと偶然？一致のタイミングですか。

(※ 氾文雀以来のカワイサ,。。草冠のハンが出てこない。)

まあ,昔,タオルで顔隠してヘルメットにゲバ棒でパクられて

ウソの情報聞かされながら聴取されたりした身には,マスコミと

いう名で無節操に垂れ流す,大方の世論に迎合しないとモノが

売れないスポンサー様イノチの「大本営発表」,逆らえば仕事

も干される方々のフェイクか否かも判断せず,本音に歯にキヌ

着せたコメントなどは,鵜呑みにできないタチのヘソマガリて,

命は残り少ないが,映画同様,最後は抹殺される運命の

アウトサイダーを気取っても,何の力もないクソジジイ

の無駄な抵抗故,ハナも引っかけられない遠吠えですが。

(余談終わり※)

さて本題です。

前回は第2章 原子・放射相互作用の量子力学の§2.10

(放射減衰を伴なうRabi振動)の項で,自発放出の減衰項を

加えた光学Bloch方程式から,まず,ビーム照射の長時間

極限の定常状態について考察し論じました。

その後,逆にビーム照射時間が短かい場合,一般解が

複雑なので.解の特徴を見るため,特殊な２つの例のみ扱い,

まず,(ⅰ)ω＝ω₀で初期条件がρ₂₂＝ρ₁₂＝0 で,|Ω|＞γ

の場合のρ₂₂(ｔ)＝|Ｃ₂(ｔ)|²の解として,(2.126)の

ρ₂₂(ｔ)＝{(|Ω|²/2)/(2γ²＋|Ω|²)}

×[1－{cos(λｔ)＋(3/2)(γ/λ)sin(λｔ)}exp(－3γｔ/2)]

(ただし,λ＝(|Ω|²－γ²/4)^1/2.(2.127))を導出したところ

で終わりました。

今回はその続きです。

放射減衰がない(γ＝0)のときには,上記の式(2.126)は,

ρ₂₂(ｔ)＝(1/2)[1－cos(|Ω|²ｔ)}＝sin²(|Ω|ｔ)となり,

これば,純粋な原子の２準位間の振動＝Rabi振動の表式

ρ₂₂(ｔ)＝(|Ω|²/Ω₁²)sin²(|Ω|ｔ)(2.87);ただし,Ω₁

＝{(ω₀－ω)²＋|Ω|²}^1/2の,離調{ω₀－ω)がゼロの場合

に一致します。

他方,γ≠0の場合は,(2.126)はｔが大きくなると

(2.119)のρ₂₂＝(|Ω|²/4)/{(ω₀－ω)²＋γ²＋|Ω|²/2}の

離調がゼロの定常極限値:ρ₂₂＝(|Ω|²/4)/(γ²＋|Ω|²/2)

に近づきます。

この場合,因子:exp(－3γｔ/2)があるので,γの増加と

共に振動の減衰が急速になり,γ=|Ω|/3では極大が１つ

しか残りません。

※(注12-1):(2.126)式を,.

ρ₂₂(ｔ)＝{(|Ω|²/2)/(2γ²＋|Ω|²)}

－{(|Ω|²/2)/(2γ²＋|Ω|²)}exp(－3γｔ/2)

×{cos(λｔ)＋(3/2)(γ/λ)sin(λｔ)}

(λ＝(|Ω|²－γ²/4)^1/2)と書いて,ｔで微分すると,

ｄρ₂₂/ｄｔ＝{(|Ω|²/2)/(2γ²＋|Ω|²)}exp(－3γｔ/2)

×[(3γ/2){cos(λｔ)＋(3γ/2)(1/λ)sin(λｔ)}

＋λsin(λｔ)－(3γ/2)cos(λｔ)}

＝{|Ω|²/(2λ)}{(λ²＋9γ²/4)/(2γ²＋|Ω|²)}sin(λｔ)

×exp(－3γｔ/2)＝{|Ω|²/(2λ)}sin(λｔ)exp(－3γｔ/2)

です。

それ故,ｄρ₂₂/ｄｔ＝0となるのはsin(λｔ)＝0の

とき,つまり,ｔ＝ｎπ/λ(ｎ＝0,1,2,..),のときです。

このとき,対応して,cos(λｔ)＝cos(ｎπ)＝(－1)^ｎと

なります。

したがって,ｔ＝0では確かにρ₂₂(ｔ)＝0ですが,

ｔ＝ｎπ/λ(ｎ＝1.2…)では,ｎが奇数なら,

ρ₂₂(ｔ)＝{(|Ω|²/2)/(2γ²＋|Ω|²)}[1＋exp{－3ｎπ/(2λ)}]

で,これらは極大値となり,他方,ｎが偶数なら,

ρ₂₂(ｔ)＝{(|Ω|²/2)/(2γ²＋|Ω|²)}[1－exp{－3ｎπ/(2λ)}]

で，「これらは極小値です。

そもそもγ＞2|Ω{(|Ω|＜γ/2)ならλ^２＜0なのでλは虚数

になるので三角関数で表わされる振動解ではないです。

γ＜2|Ω|で特にγ＝|Ω|/3,ではλ＝(11/12)^1/2|Ω|,

(|Ω|²/2)/(2γ²＋|Ω|²)}＝9/22, exp{－3γｔ/2)＝exp(－|Ω|ｔ/2)

となり,ｔ＝π/λで最大で,それ以後減少しますが,極大値が1つだけ

残るという意味は不明です。？？？　

ｎが奇数の極大値:ρ₂₂＝{(|Ω|²/2)/(2γ²＋|Ω|²)}

×[1＋exp{－3ｎπ/(2λ)}]が,ｎ＞1では,飽和値の1/2を

越えてしまうのかな？　(注12-1終わり※)

さて,こういうわけで,占位数に顕著な振動が現われるため

には,|Ω|が3γより,ずっと大きくなければなりません。

こうした原子の振動的挙動は「光章動」と呼ばれています。

章動周波数は,一般に,Rabi周波数:|Ω|,離調:ω₀－ω,

および,放射減衰;γに依存します。

(2.84)のΩ₁＝{(ω₀－ω)²＋|Ω|²}^1/2と,(2.127)の

λ＝(|Ω|²－γ²/4)^1/2は,それぞれ,γ＝0とω₀－ω＝0の場合の

章動周波数に相当しますが,一般の場合のそれに対する簡単な

解析的表式はありません。

※(注12.2):つまり,γ＝0の放射減衰が考慮されないときは,

「光の量子論９」の§2.7(Rabi振動)の項でha,初期条件

が,ρ₂₂＝ρ₁₂＝0の場合の光学Bloch方程式のρ₂₂の解が,

次の(2.87);ρ₂₂(ｔ)＝(|Ω|²/Ω₁²)sin²(Ω₁ｔ/2)

(Ω₁＝{(ω₀－ω)²＋|Ω|²}^1/2)で与えられ,続く「光の量子論10」

では特に,離調;ω₀－ωがゼロ,つまり,ω＝ω₀の特別な場合

には,Ω₁²＝|Ω|²となるため,解はρ₂₂＝sin²(|Ω|ｔ/2)(2.89),

と簡単になり,この場合,原子は基底状態１と励起状態２

との間を対称的に振動しますが,これをRabi振動と呼び,,|Ω|

をRabi周波数と呼ぶ,と書きました。(※ 離調;ω₀－ωがゼロで

ないならΩ₁がRabi周波数ですね。)

そして,本記事ではγ≠0で放射減衰があるとき,離調;ω₀－ωが

ゼロなら,初期条件がρ₂₂＝ρ₁₂＝0 で,|Ω|＞γの場合のρ₂₂の解

は(2.126)のρ₂₂(ｔ)＝{(|Ω|²/2)/(2γ²＋|Ω|²)}

×[1－{cos(λｔ)＋(3/2)(γ/λ)sin(λｔ)}exp(－3γｔ/2)]

(λ＝(|Ω|²－γ²/4)^1/2))で与えられる:Rabi周波数はλになる,

ことを述べましたが離調がゼロでない一般の場合の解は,未だ不明

です。(注12-2終わり※)

しかし,実情としては|Ω|がγより,ずっと大きくないなら目立った

振動は見られません。それ故,光章動を観測するためには,レーザー

光源が用いられています。

そこで,次に,ビームが強い場合,原子励起度が光の励起ビームに

及ぼす効果を考えます。

原子が初め基底状態にある場合は,初めのうちはエネルギーが

原子に移るにつれてビームは減衰してゆきます。

　しかし,ビームが十分強いため,|Ω|が離調ω₀－ωより大きく,

減衰γよりずっと大きい場合は,原子波動関数の励起状態の成分が

いつかは基底状態の成分を上回るので,原子のエネルギーの一部

は放射によって光ビームに戻り,ビーム強度が最初の値より大きく

なります。

したがって,原子の光章動に伴なって,それに対応した透過強度の

振動が現われます。実際の実験での透過光の時間依存性の詳しい理論

では,光学的振幅への他の寄与も考慮すべきですが,基本的には,この

現象は原子励起の示す振動的挙動の１つの結果と考えられます。

さて,Bloch方程式が容易に解ける第２の特別な場合は,(ⅱ)|Ω|が放射

減衰のγより,ずっと小さい場合,つまり,入射ビームが弱い場合です。

結論から言うと,Ｃ₁については修正せず,Ｃ₂については自然放出

の項を付加して修正した方程式:Ω^＊cos(ωｔ)exp(iω₀ｔ)Ｃ₁－iγＣ₂

＝i(ｄＣ₂/ｄｔ)を,密度行列の式:ｄρ_ij/ｄｔ＝Ｃ_i(ｄＣ_j^＊/ｄｔ)

＋Ｃ_j^＊(ｄＣ_i/ｄｔ)に代入した後,cos(ωｔ)を指数関数表示して,

ω₀～ωの回転波近似を施した方程式:(2.114),(2.115)

ｄρ₂₂/ｄｔ＝(－iΩ^＊/2)exp{i(ω₀－ω)ｔ}ρ₁₂

＋(iΩ/2)exp{－i(ω₀－ω)ｔ}ρ₂₁－2γρ₂₂.

ｄρ₁₂/ｄｔ＝(iΩ/2)exp{－i(ω₀－ω)ｔ}(ρ₁₁－ρ₂₂)－γρ₁₂(

の,|Ω|＜＜γの極限での|Ω|について最低次のρ₂₂の解は,

前の例(ⅰ)と同じ初期条件のρ₂₂＝ρ₁₂＝0の下で,

に対して,ρ₂₂(ｔ)＝[(|Ω|²/4)/{(ω₀－ω)²＋γ²}]

×[1＋exp(－2γｔ)－2cos{(ω₀－ω)ｔ}exp(－γｔ)](2.128)

となります。

※(注12-2);上記を証明します。

[証明]:ρ~₁₂＝exp{i(ω₀－ω)ｔ}ρ₁₂,

ρ~₂₁＝exp{－i(ω₀－ω)ｔ}ρ₂₁,とおくと,

ｄρ₂₂/ｄｔ＝(－iΩ^＊/2)ρ~₁₂＋(iΩ/2)ρ~₂₁－2γρ₂₂.,

ｄρ~₁₂/ｄｔ＝(iΩ/2)(1－2ρ₂₂)－γρ~₁₂－i(ω₀－ω)ρ~₁₂,

となります。

ｄρ~₂₁/ｄｔは,これの複素共役で与えられ,ｄρ~₂₁/ｄｔ

＝(－iΩ^＊/2)(1－2ρ₂₂)－γρ~₂₁＋i(ω₀－ω)ρ~₂₁.と

なります。

そこで,ｘ＝ρ₂₂,ｙ＝(－iΩ^＊/2)ρ~₁₂,ｙ^＊＝(iΩ/2)ρ~₂₁,

と置くと,これらは,ｄｘ/ｄｔ＝ｙ＋ｙ^＊－2γｘ,

ｄｙ/ｄｔ＝(|Ω|²/4)(1－2ｘ)＋{－γ+i(ω₀－ω)}ｙ

ｄｙ^＊/ｄｔ＝(|Ω|²/4)(1－2ｘ)＋{－γ－i(ω₀－ω)}ｙ^＊

と書けます。

整理すると,ｄｘ/ｄｔ＝－2γｘ＋ｙ＋ｙ^＊,

ｄｙ/ｄｔ＝－(|Ω|²/2)ｘ＋{－γ＋i(ω₀－ω)}ｙ＋|Ω|²/4,

ｄｙ^＊/ｄｔ＝－(|Ω|²/2)ｘ＋{－γ－i(ω₀－ω)}ｙ^＊＋|Ω|²/4

です。そこで,これを３次元の列ベクトル:Ｘ＝[ｘ,ｙ,ｙ^＊]^Ｔ

に対する線形非同次の行列方程式の形で３×３係数行列をＡ^

として,ｄＸ/ｄｔ＝Ａ^Ｘ＋ｂ,と書きます。

ただし,定数項ｂはｂ＝[0,|Ω|²/4.|Ω|²/4]^Ｔです。

これの初期条件がｔ＝0でＸ＝0の解は,既に何度か示した

ように,Ｘ(ｔ)＝{exp(Ａ^ｔ)－1}Ａ^^-1ｂで与えられます。

逆行列:Ａ^^－1は,その要素が,

(detＡ^)(Ａ^^－1)₁₁＝γ²＋i(ω₀－ω)²

(detＡ^)(Ａ^^－1)₁₂＝－{－γ－i(ω₀－ω)},

(detＡ^)(Ａ^^－1)₁₃＝－{－γ＋i(ω₀－ω)}

(detＡ^)(Ａ^^－1)₂₁＝－(|Ω|²/2),

(detＡ^)(Ａ^^－1)₂₂＝－2γ{－γ－i(ω₀－ω)}＋|Ω|²/2,

(detＡ^)(Ａ^^－1)₂₃＝－(|Ω|²/2),

(detＡ^)(Ａ^^－1)₃₁＝(|Ω|²/2){－γ－i(ω₀－ω)},

(detＡ^)(Ａ^^－1)₃₂＝－|Ω|²/2,

(detＡ^)(Ａ^^－1)₃₃＝―2γ{－γ＋i(ω₀－ω)}＋|Ω|²/2,

で与えられます。

ただし,detＡ^＝－2γ{γ²＋i(ω₀－ω)²}

－(|Ω|²/2){γ－i(ω₀－ω)}－(|Ω|²/2){γ＋i(ω₀－ω)}

＝－2γ{γ²＋i(ω₀－ω)²＋|Ω|²/2}です。

また,Ａ^Ｘ＝αＸ(Ｘ≠0)を満たす固有値αを求める

方程式は,det(Ａ＾－αＩ^)＝0ですが,これは,

(－2γ－α){(－γ－α)²＋(ω₀－ω)²}

－(|Ω|²/2){(－γ－α)－i(ω₀－ω)}

－(|Ω|²/2){(－γ－α)＋i(ω₀－ω)}＝0となります。

つまり,(－2γ－α){(－γ－α)²＋(ω₀－ω)²}

－|Ω|²{(－γ－α)＝0です。

さらに,書き下すと,α³＋{γ²＋(ω₀－ω)²－|Ω|²}α

＋2γ{γ²＋(ω₀－ω)²＋(|Ω|²/2)}＝0　です。

しかし,今は|Ω|の最低次近似を求めればいいので,

因子:|Ω|²を含む講を無視する近似では,

固有値方程式は(α＋2γ){(α＋γ)²＋(ω₀－ω)²}＝0

となり,異なる３つの固有値として,α₀＝－2γ,

α_±＝－γ±i((ω₀－ω)(複号同順)を得ます。

それ故,特に,α_＋＋α_－＝－2γ＝α₀,および,

α_＋α_－＝γ²＋(ω₀－ω)²なる関係が成立します。

そして,この近似で,α₀,α_＋,α_－に属する固有ベクトル

を,それぞれ,Ｙ₀,Ｙ_＋Ｙ_－と書けば,定数倍の任意性を除き,

Ｙ₀＝[1,0,0]^Ｔ,Ｙ_＋＝[－α_－^-1,1,0]^Ｔ,Ｙ_－＝[－α_＋^-1,0,1]^Ｔ

と書けることがわかります。

これらを３列に並べた行列をＰ^＝(Ｙ₀,Ｙ_＋,Ｙ_－)と書いて

定義し,その逆行列Ｐ^^-1をＰ^^-1＝(Ｚ₀,Ｚ_＋,Ｚ_－)と表わすと,

det(Ｐ^)＝1なので,Ｚ₀＝[1,0,0]^Ｔ,Ｚ_＋＝[α_－^-1,1,0]^Ｔ,

Ｚ_－＝[α_＋^-10,1]^Ｔとなります。

こうすると,対角要素が固有値:α₀,α_＋,α_－の対角行列

Λ^は,Λ^＝Ｐ^^-1Ａ^Ｐ^で与えられます。

そこで,exp(Λ^ｔ)＝Ｐ^^-1exp(Ａ^ｔ)Ｐ^が成立します。

それ故,前に与えた初期値が0のｄＸ/ｄｔ＝Ａ^Ｘ＋ｂ

の解:Ｘ(ｔ)＝{exp(Ａ^ｔ)－1}Ａ^^-1ｂにおいて,|Ω|の最低

次近似の解としてのＸ(ｔ)は,左からＰ^^-1を掛けて,

Ｐ^^-1Ｘ(ｔ)＝{exp(Λ^ｔ)－1}Ｐ^^-1Ａ^^-1ｂを満たします。

これから,結局.Ｘ(ｔ)＝Ｐ^{exp(Λ^ｔ)－1}Ｐ^^-1Ａ^^-1ｂ

が得られます。

ところで,Ａ^の逆行列Ａ^^－1の要素の近似を書き下すと,

1行目は変更無しで,(detＡ^)(Ａ^^－1)₁₁＝α_＋α_－,

(detＡ^)(Ａ^^－1)₁₂＝－α_－,(detＡ^)(Ａ^^－1)₁₃＝－α_＋です。

また,２行目の近似は,(Ａ^^－1)₂₁＝(Ａ^^－1)₂₃＝0,および,

(detＡ^)(Ａ^^－1)₂₂＝－2γ{－γ－i(ω₀－ω)}＝α₀α_－です。

３行目は,(Ａ^^－1)₃₁＝(Ａ^^－1)₃₂＝0,(detＡ^)(Ａ^^－1)₃₃

＝－2γ{－γ＋i(ω₀－ω)} ＝α₀α_＋となります。

さらに,detＡ^＝－2γ{γ²＋i(ω₀－ω)²}＝α₀α_＋α_－

と書けます。

それ故,ｂ＝[0,|Ω|²/4.|Ω|²/4]^Ｔに＝(|Ω|²/4)[0,1,1]^Ｔ

に対してＡ^^－1ｂ＝{|Ω|²/(4α_＋α_－)}[－(α_－＋α^＋)/α₀,α_－,α_＋]^Ｔ

＝{|Ω|²/(4α_＋α_－)}[－1,α_－,α_＋]^Ｔです。

( ※ｂについては,|Ω|²を無視するとゼロとなって無意味なので,

|Ω|²を因子として残します。)

さらに,左からＰ^^-1＝(Ｚ₀,Ｚ_＋,Ｚ_－),Ｚ₀＝[1,0,0]^Ｔ,

Ｚ_＋＝[α_－^-1,1,0]^Ｔ,Ｚ_－＝[α_＋^-1,0,1]^Ｔを掛けると.

Ｐ^^-1Ａ^^-1ｂ＝{|Ω|²/(4α_＋α_－)}＝[1,α_－,α_＋]^Ｔ

ですから,Ｐ^^-1Ｘ(ｔ)＝{exp(Λ^ｔ)－1}Ｐ^^-1Ａ^^-1ｂ

＝{|Ω|²/(4α_＋α_－)}

[exp(α₀ｔ)－1,α_－{exp(α_＋ｔ)―1},α_＋{exp(α_－ｔ)－1}]^Ｔ

を得ます。

最後に,両辺の左からＰ^＝(Ｙ₀,Ｙ_＋,Ｙ_－),

Ｙ₀＝[1,0,0]^Ｔ,Ｙ_＋＝[－α_－^-1,1,0]^Ｔ,Ｙ_－＝[－α_＋^-11,0]^Ｔ

を掛けて,近似解:Ｘ(ｔ)＝[ｘ(ｔ),ｙ(ｔ),ｙ^＊(ｔ)]^Ｔの成分

ｘ(ｔ)を求めます。

第1成分は,ｘ(ｔ)＝{|Ω|²/(4α_＋α_－)}

×[exp(α₀ｔ)－1－exp(α_＋ｔ)＋1－exp(α_＋ｔ)＋1}

＝{|Ω|²/(4α_＋α_－)}

[1＋exp(α₀ｔ)－exp(α_＋ｔ)－exp(α_－ｔ)}]

＝{(|Ω|²/(4α_＋α_－)}

×[1－exp(－2γｔ)－exp{i(ω₀－ω)ｔ}exp(－γｔ)

－exp{ーi(ω₀－ω)ｔ}exp(－γｔ)}]となりますから,

結局,ρ₂₂(ｔ)＝[(|Ω|²/4)/{(ω₀－ω)²＋γ²}]

×[1＋exp(－2γｔ)－2cos{(ω₀－ω)ｔ}exp(－γｔ)]

が得られます。[証明終わり]　(注12-2終わり※)

(※ うーん。１つの証明が長過ぎるね。こりゃ疲れるわ。）

この(2.128)の,ρ₂₂(ｔ)＝[(|Ω|²/4)/{(ω₀－ω)²＋γ²}]

×[1＋exp(－2γｔ)－2cos{(ω₀－ω)ｔ}exp(－γｔ)]の結果

は,放射減衰:γがゼロの極限で,ω～ω₀の場合,ω₀ｔ＞＞1の

遷移時間ｔに対する「光の量子論７」のρ₂₂(ｔ)＝|Ｃ₂(ｔ)|²

＝|Ω|²sin²{(ω－ω₀)ｔ/2}/(ω－ω₀)².(2.42)に一致します。

|Ω|ｔ＜＜1におけるρ₂₂のｔに対する曲線は,いずれも

時間ｔの２次の時間依存性を示します。この性質は,光学Bloch

方程式の解を時間について展開すれば証明できます。

すなわち,(2.114),(2.115)の解の|Ω|の最低次の項は,

|Ω|ｔ＜＜1,および,ｔ＝0での初期条件:ρ₂₂＝ρ₁₂＝0に対し,

離調:ω₀－ω,や減衰γに無関係に,ρ₂₂＝(1/4)|Ω|²ｔ²(2.129)

となります。

※(注12-3):上記を証明します。

[証明];ｔ＜＜1,|Ω|＜＜1.γｔ＜＜1で,(2.128)は,

ρ₂₂(ｔ)＝[(|Ω|²/4)/{(ω₀－ω)²＋γ²}]

×[1＋exp(－2γｔ)－2cos{(ω₀－ω)ｔ}exp(－γｔ)]

～[(|Ω|²/4)/{(ω₀－ω)²＋γ²}]

×[1＋(1－2γｔ＋2γ²ｔ²)

－2(1－(ω₀－ω)²ｔ²/2)(1－γｔ＋γ²ｔ²/2)

＝[(|Ω|²/4)/{(ω₀－ω)²＋γ²}]{(ω₀－ω)²ｔ²＋γ²ｔ²}

＝(1/4)|Ω|²ｔ²を得ます。[証明終わり]　(注12－3終わり※)

この,初めのうちは,励起度が時間ｔの２乗に比例して増加

するという挙動は,「光の量子論７」で述べたような,

ｔΔω＞＞1を満たす広帯域の入射光に対し,(2.49)で

与えたρ₂₂(ｔ)＝|Ｃ₂(ｔ)|²＝πｅ²|Ｘ₁₂|²Ｗ(ω)ｔ/(ε_0.ｈ_c²)

の,励起度が時間ｔに比例する,という挙動とは対照的です。

しかし,放射広がりがある場合は,単色の式(2.128)を吸収線

のωの広がりにわたって積分することで,広帯域の場合の結果を

復元することができます。つまり,簡単な複素平面上の外周積分

により,∫ρ₂₂ｄω＝{π|Ω|²/(4γ)}{1－exp(-2γｔ)}(2.130)

が得られ,γｔ＜＜1では,{1－exp(-2γｔ)} ～2γｔより左辺

はｔに比例します。

※(注12-4):上記(2.130)を証明します。

[証明] ρ₂₂(ｔ)＝[(|Ω|²/4)/{(ω₀－ω)²＋γ²}]

×[1＋exp(－2γｔ)－2cos{(ω₀－ω)ｔ}exp(－γｔ)]

∫ρ₂₂(ｔ)ｄω＝(|Ω|²/4)[∫ｄω/{(ω₀－ω)²＋γ²}]

{1＋exp(－2γｔ)}－(|Ω|²/4)[∫ｄω[2cos{(ω₀－ω)ｔ}

/{(ω₀－ω)²＋γ²)}]×exp(－γｔ)　です。

ところが,まず,∫_－∞^∞ｄω/{(ω₀－ω)²＋γ²}

＝(1/γ)[Tan^-1{(ω₀－ω)/γ]] _－∞^∞＝π/γです。

一方,∫ｄω[2cos{(ω₀－ω)ｔ}/{(ω₀－ω)²＋γ²)}

＝∫_－∞^∞ｄω([exp{i(ω₀－ω)ｔ}＋exp{－i(ω₀－ω)ｔ}]

/[{(ω₀－ω)－iγ}{(ω₀－ω)＋iγ}])です。

ここで,次の公式が成立することを利用します。すなわち,

∫_－∞^∞ｄω[exp(±iωｔ)/{(ω－iγ)(ω＋iγ)}]

＝(π/γ)exp(－γｔ)です。

何故なら,複素ω平面でωを半径がＲの大円:

つまり,ω＝Ｒexp(iθ)＝Ｒ(dosθ＋isinθ)とすると,

ｄω＝iＲexp(iθ)ｄθでありＲ～∞では,

exp(±iωｔ) /{(ω－iγ)(ω＋iγ)}

＝exp(±iｔcosθ)exp{±(－ｔＲsinθ)

/[{Ｒexp(iθ)－iγ}{Ｒexp(iθ)－iγ]

～exp{±(－Ｒsinθ)/Ｒ²ですから,分子がexp(iωｔ)

なら,θが0→πの反時計回りの上半円周,分子がexp(－iωｔ)

なら,θが0→(－π)の時計回りの下半円周を取れば,ｔが正

では,共に,半円周上の寄与はゼロとなり,積分の極は上半円周

ではω＝iγ,下半円周ではω＝－iγ,なので留数は,

±2πi/(±2iγ)exp(－γｔ)ですから,

∫_－∞^∞ｄω[exp(±iωｔ) /{(ω－iγ)(ω＋iγ)}]

＝(π/γ)exp(－γｔ)を得ます。

以上から,∫ｄω[2cos{(ω₀－ω)ｔ}/{(ω₀－ω)²＋γ²)}

＝∫_－∞^∞ｄω([exp{i(ω₀－ω)ｔ}＋exp{－i(ω₀－ω)ｔ}]

/[{(ω₀－ω)－iγ}{(ω₀－ω)＋iγ}])

＝(2π/γ)exp(－γｔ)です。

したがって,∫ρ₂₂(ｔ)ｄω＝(|Ω|²/4)

[(π/γ){1＋exp(－2γｔ)}

－(2π/γ)exp(－γｔ)exp(－γｔ)]

＝{π|Ω|²/(4γ)}{1－exp(－2γｔ)}が得られました。

[証明終わり]　(注12-4終わり※)

この(2.130)の表式:

∫ρ₂₂ｄω＝{π|Ω|²/(4γ)}{1－exp(－2γｔ)}には,

ｔ→∞の極限の定常状態で∫ρ₂₂ｄω＝{π|Ω|²/(4γ)}

になるという(2.124)の結果が,既に含まれています。

他方,(2.130)は,(2.125)の,∫ＢＷｄω＝|Ω|²/2,

および,Ａ＝2γをも援用すると,π∫(ＢＷ/Ａ)ｄω

＝∫ρ₂₂ｄω＝{π(∫ＢＷｄω)/Ａ}{1－exp(－Ａｔ)}

となり,第１章で,吸収と放出のアインシュタインの理論

で導かれ広帯域の結果(1.70):Ｎ₂＝{ＮＢＷ/(Ａ＋2ＢＷ)}

[1－exp{－(Ａ＋2ＢＷ)ｔ}]の弱ビーム:ＢＷ＜＜Ａの極限

のケースの表式と正確に一致することがわかります。

ただし,本節で導いた明快な結果はゼロ離調と弱ビームの

極限における励起度:ρ₂₂＝Ｎ₂/Ｎの時間依存性を表わしている

に過ぎません。

より一般的ケースの解を求めるには光学Bloch方程式を数値

積分するのが,最も便利で有効な道です。

今回は,本節がここで終わるので,ここまでにします。(つづく)

(参考文献)：Rodney Loudon 著

(小島忠宣・小島和子 共訳)

「光の量子論第２版」(内田老鶴舗)