光の量子論14

「光の量子論13」からの続きです。

(※余談):私の両親は父が明石市,母が和歌山市出身の

関西人ですが,私は岡山県倉敷市の出身です。

もっとも,東京に来たのが1977年で,故郷で暮らして

いた一浪までの18年は,はるか昔になりました。

　昔から「岡山県人は腹が黒い」とか,岩井志麻子のおかげ

で「岡山の男はヤギとセックスする。」とか悪口のたぐいが

多いようです。実際,隣の広島県人は芸能界でも甲子園でも

プロ野球でも大活躍で,男なら熱血漢と称される方が多い

ようですが,岡山県人は私もそうですが,何かに成功しても

失敗しても,「本気で,一所懸命に努力していると思われる

のが恥ずかしい。」などという,イヤミで屈折したところが

有る人多いような気がします。バカですネ。

とはいえ,渋野日向子チャンは岡山弁もかわいいと思います。

私は昔から市毛良枝さんが好きですが,２人は顔がよく似て

いるな？と思いました。最近,岡山は千鳥とかブルゾンとか

売れた芸人もいます。

スポーツなら,昔は星野,辰吉とかアブナイ選手,監督

がいたし,女子は有森以来,長距離強く天満屋もハンパない

ですね。(余談終わり※)

さて本題です。

前回は第2章 原子・放射相互作用の量子力学の§2.12

(ドプラー広がり)の項を記述して終わりました。

今回はその続きで,次の節からです。

• 2.13 合成吸収線の形状,

衝突広がりの(2.132):1/τ₀＝(4ｄ²Ｎ/Ｖ){π/(βＭ)}^1/2

,γ_coll＝1/τ₀,β＝1/(ｋ_ＢＴ)と,ドプラー幅を与える(2.151)

の2Δ＝2ω₀{2ｋ_ＢＴln2/(Ｍｃ²)}^1/2の両式を見ると,これらは,

実験的パラメータを調節すれば,衝突幅もドプラー幅もいくら

でも小さくできることが,明瞭に示されています。

これらの幅は,共に温度の平方根に比例し,衝突幅の方は

気体の密度,または,それと等価な気体圧にも比例しています。

こういうわけで,衝突広がりを圧力による広がり,と呼ぶ

こともあります。

　それ故,十分低温に保たれた気体放電を利用することにより,

原理的には放射による不可避な線幅しか持たない吸収線を観測

することが可能となります。気体圧力の調節によりドプラー幅

や放射幅に比して,衝突幅を相対的に変化させることができます。

線幅におけるドプラー効果,原子衝突と恐らくは放射も同程度

の寄与をする場合には,これら３つの過程から生じた合成曲線

の形を決めることが必要になります。

(※ ただし.入射ビームは弱く,飽和広がりは無視できると仮定

します。)

さて,規格化された曲線形関数Ｆ₁(ω)とＦ₂(ω)を別々に生じる

ような線の広がりを起こす２つの機構を合成することを考えます。

合成された曲線形は,Ｆ(ω)＝∫Ｆ₁(ν)Ｆ₂(ω＋ω₀－ν)ｄν

(2.155)と書けます。これは,「合成積」.または「たたみ込み積分：

と呼ばれるものです。ただし,ω₀は２つの分布に共通する中心の

周波数です。

すなわち,減衰γ₁があって波動関数がexp(－γ₁ｔ－iω₀ｔ)に

比例するような波動の寄与:ｆ₁(ｔ)～∫Ｆ₁(ω)exp(±iωｔ)ｄω

と,減衰γ₂があって波動関数がexp(－γ₂ｔ－iω₀ｔ)に比例する

ような波動の寄与:ｆ₂(ｔ)～∫Ｆ₂(ω)exp(±iωｔ)ｄωの掛け算

として合成され,振動部分exp(－iω₀ｔ)は変わらず,減衰が和:

(γ₁＋γ₂)となる波動:exp{－(γ₁＋γ₂)ｔ－iω₀ｔ}に比例する

ものの寄与が,ｆ₁(ｔ)×ｆ₂(ｔ)exp(iω₀ｔ)

～∫Ｆ(ω)exp(±iωｔ)ｄωとなることを意味します。

※(注14-1):上記を説明します。

ｘの関数ｆ(ｘ)が,ｆ(ｘ)＝∫_―∞^∞Ｆ(ｋ)exp(iｋｘ)ｄｋ

なるFourier(フーリエ)積分で表わせる場合,その逆変換として

関数Ｆ(ｋ)はＦ(ｋ)＝(2π)^-1∫_―∞^∞ｆ(ｘ)exp(－iｋｘ)ｄｘと

表わせます。このような相互変換をFourier変換と呼びます。

双方の表現の対称性を保つために,

ｆ(ｘ)＝(2π)^-1/2∫_―∞^∞Ｆ(ｋ)exp(iｋｘ)ｄｋ

⇔Ｆ(ｋ)＝(2π)^-1/2∫_―∞^∞ｆ(ｘ)exp(－iｋｘ)ｄｘとして,

定係数を同じにするFourier変換の定義もあります。

以下の議論では,どちらでもいいのですが,便宜上前者の定義

を採用します。そして,この変換を示す汎関数を(関数の関数):

Ｆとして,関数Ｆ＝Ｆ[ｆ]が,関数ｆのFourier変換である,と

表記すれば便利です。

それでは,Ｆ＝Ｆ[ｆ]:

つまり,Ｆ(ｋ)＝(2π)^-1∫_―∞^∞ｆ(ｘ)exp(－iｋｘ)ｄｘ,Ｇ＝Ｆ[ｇ]

つまり,Ｇ(ｋ)＝(2π)^-1∫_―∞^∞ｇ(ｘ)exp(－iｋｘ)ｄｘのとき,

積:Ｆ(ｋ)×Ｇ(ｋ)はどのような関数のFourier変換でしょうか？

単純にＦ(ｋ)×Ｇ(ｋ)＝(2π)^-2{∫_―∞^∞ｆ(ｘ)exp(－iｋｘ)ｄｘ}

×{∫_―∞^∞ｇ(ｙ)exp(－iｋｙ)ｄｙ}と書けば,これの右辺

＝(2π)^-2∫_―∞^∞ｄｘ∫_―∞^∞ｄｙ[ｆ(ｘ)ｇ(ｙ)exp{－iｋ(ｘ＋ｙ)}]

です。ｘはそのままで,ｙの積分でｙをｕ＝ｘ＋ｙ ⇔ ｙ＝ｕ―ｘと

変数置換すると,ｄｙ＝ｄｕであり,

与式＝(2π)^-2∫_―∞^∞ｄｕ∫_―∞^∞ｄｘ[ｆ(ｘ)ｇ(ｕ－ｘ)exp(－iｋｕ)]

と書けます。

そこで,ｈ(ｕ)＝(2π)^-1∫_―∞^∞ｆ(ｘ)ｇ(ｕ－ｘ)ｄｘと置けば,

Ｆ(ｋ)×Ｇ(ｋ)＝(2π)^-1∫_―∞^∞ｈ(ｕ)exp(－iｋｕ)ｄｕを得ます。

したがって, (Ｆ・Ｇ)(ｋ)＝Ｆ(ｋ)×Ｇ(ｋ)と定義すると,

これはＦ・Ｇ＝Ｆ[ｈ]を意味します。

ｕをｘに置き換えたｈ(ｘ)＝(2π)^-1∫_―∞^∞ｆ(ｙ)ｇ(ｘ－ｙ)ｄｙ

なるｘの関数ｈを(ｆ＊ｇ)と表わして,ｆとｇの「合成積」,または,

「たたみ込み積分」と呼びます。

これは、逆変換として,(ｆ＊ｇ)(ｘ)

＝∫_―∞^∞{Ｆ(ｋ)Ｇ(ｋ)}exp(iｋｘ)ｄｋと書けることをも

意味します。

ここで,ｘ→ｔ,ｋ→ －ωと変数置換して,Fourier変換を,

ｆ(ｔ)＝∫_―∞^∞Ｆ(ω)exp(－iωｔ)ｄω,および,Ｆ[ｆ]

＝Ｆ(ω)＝(2π)^-1∫_―∞^∞ｆ(ｔ)exp(iωｔ)ｄｔと定義すれば,

合成積は(ｆ＊ｇ)(ｔ)＝∫_―∞^∞ｆ(τ)ｇ(ｔ－τ)ｄτ,および,,

(Ｆ*Ｇ)(ω)＝∫_―∞^∞Ｆ(ν)ｇ(ω－ν)ｄνとなり,

ｆ(ｔ)×ｇ(ｔ)＝∫_―∞^∞(Ｆ＊Ｇ)(ω)exp(－iωｔ)ｄω,

Ｆ(ω)×Ｇ(ω)＝(2π)^-1∫_―∞^∞(ｆ＊ｇ)(ｔ)exp(iωｔ)ｄｔ

が成立することになります。

以上から,Ｆ(ω)＝∫_―∞^∞Ｆ₁(ν)Ｆ₂(ω＋ω₀－ν)ｄν

＝(Ｆ₁＊Ｆ₂)(ω＋ω₀)であり,これは,Ｆ₁とＦ₂の合成積:

(Ｆ₁＊Ｆ₂)の引数が(ω＋ω₀)の値を意味します。

なお,これらはexp(iωｔ)を,exp(－iωｔ),cos(ωｔ)

または,sin(ωｔ)に変更しても,そのまま成立します。

ところで,以前の「光の量子論10」では,単一の気体原子

の電気双極子モーメントｄ(ｔ)が,ｄ(ｔ)

＝－ｅ{Ｃ₁^＊Ｃ₂Ｘ₁₂exp(－iω₀ｔ)＋Ｃ₂^＊Ｃ₁Ｘ₂₁exp(iω₀ｔ)}

＝－ｅ[ρ₂₁(ｔ)Ｘ₁₂exp(－iω₀ｔ)＋ρ₁₂(ｔ)Ｘ₂₁exp(iω₀ｔ)}

で,理論的に与えられることを記述しました。

それ故,前記事でドプラー広がりを除く最も一般的ケースで

得た光学Bloch方程式の解;(2.137)のｔの関数としての密度

行列:ρ₁₂(ｔ)＝－exp{－i(ω₀－ω)ｔ}

[(Ω/2)(ω₀－ω－iγ^)/{(ω₀－ω)²＋γ^²＋(γ^/γ)|Ω|²/2},

および,ρ₂₁(ｔ)＝ρ₁₂^＊(ｔ)を,上のｄ(ｔ)の右辺に代入すると,

ｄ(ｔ)＝{ｅ²|Ｘ₁₂|²Ｅ₀/(2ｈ_c)}

[{(ω₀－ω＋iγ^)exp(－iωｔ)＋(ω₀－ω－iγ^)exp(iωｔ)}

/{(ω₀－ω)²＋γ^²＋(γ^/γ)|Ω|²/2}　なる表式を得ます。

そして,対象とする気体の分極Ｐは,体積Ｖ,原子数Ｎに対し,

Ｐ(ｔ)＝Ｎｄ(ｔ)/Ｖ

＝(1/2)ε₀Ｅ₀{χ(ω)exp(－iωｔ)＋χ^＊(ω)exp(iωｔ)]

と書けます。ここに,χ(ω)は感受率で,χ(ω)

＝χ’(ω)＋iχ”(ω)

＝{Ｎｅ²|Ｄ₁₂|²/(3ε₀ｈ_cＶ)}(ω₀－ω＋iγ^)

/{(ω₀－ω)²＋γ^²＋(γ^/γ)|Ω|²/2}　です。

特に,|Ω|＜＜γで,飽和広がりを無視し,γ^～γなら,

放射減衰γだけの寄与となり

ｄ(ｔ)＝{Ｎｅ²|Ｄ₁₂|²/(3ε₀ｈ_cＶ)}

[{(ω₀－ω＋iγ)exp(－iωｔ)＋(ω₀－ω－iγ)exp(iωｔ)}

/{(ω₀－ω)²＋γ²}となります。

再び,感受率をχ(ω)＝χ’(ω)＋iχ”(ω)と書くと,

χ”(ω)＝{πＮｅ²|Ｄ₁₂|²/(3ε₀ｈ_cＶ)}

×(γ/π)/{(ω₀－ω)²＋γ²}であり,この場合,吸収係数は,

Ｋ(ω)＝2ω/(ｃη)χ"(ω)

～{πＮｅ²|Ｄ₁₂|²ω₀/(3ε₀ｈ_cｃＶ)}Ｆ_Ｌ(ω),ただし,

Ｆ_Ｌ(ω)＝(γ/π)/{(ω₀－ω)²＋γ²}(Ｆ_LはLorentz型曲線)

と書けます。

つまり,分極Ｐ(ｔ)＝(1/2)ε₀Ｅ₀

×[χ(ω)exp(－iωｔ)＋χ^＊(ω)exp(iωｔ)]の虚部は,

(－i/2)ε₀Ｅ₀{χ”(ω)(exp(－iωｔ)－exp(iωｔ)]

＝ε₀Ｅ₀χ”(ω)sin(ωｔ)で,これはＦ_Ｌ(ω)sin(ωｔ)に

比例します。

したがって,ｄ(ｔ)＝{ｅ²|Ｘ₁₂|²Ｅ₀/(2ｈ_c)}ｆ(ｔ)で,

ｆ(ｔ)＝∫_―∞^∞Ｆ(ω)exp(－iωｔ)ｄωと表わせる場合

には,Ｐ(ｔ)の虚部はＦ(ω)sin(ωｔ)に比例することに

なります。

そこで,ｄ₁(ｔ)＝{ｅ²|Ｘ₁₂|²Ｅ₀/(2ｈ_c)}ｆ₁(ｔ),および,

ｄ₂(ｔ)＝{ｅ²|Ｘ₁₂|²Ｅ₀/(2ｈ_c)}ｆ₂(ｔ)なる形であるとき,

ｆ₁(ｔ),ｆ₂(ｔ)の周波数分布が,それぞれ,

ｆ₁(ｔ)＝∫_―∞^∞Ｆ₁(ω)exp(－iωｔ)ｄω,

ｆ₂(ｔ)＝∫_―∞^∞Ｆ₂(ω)exp(－iωｔ)ｄωと書ける

場合,その積はｆ₁(ｔ)×ｆ₂(ｔ)

＝∫_―∞^∞[(Ｆ₁＊Ｆ₂)(ω)exp(－iωｔ)]ｄω

＝∫_―∞^∞[(Ｆ₁＊Ｆ₂)(ω＋ω₀)exp{－i(ω＋ω₀)ｔ}]ｄω

＝[∫_―∞^∞Ｆ(ω)exp(－iωｔ)ｄω]exp(－iω₀ｔ)

で与えられます。

したがって,ｆ₁(ｔ)×ｆ₂(ｔ)exp(iω₀ｔ)

＝∫_―∞^∞Ｆ(ω)exp(－iωｔ)ｄωとなること,

ただし,Ｆ(ω)＝∫_―∞^∞Ｆ₁(ν)Ｆ₂(ω＋ω₀－ν)ｄν

＝(Ｆ₁＊Ｆ₂)(ω＋ω₀)であること,が得られました。

(注14-1終わり※)

　言い換えると,積分Ｆ(ω)は,曲線形Ｆ₁の各周波数成分

に,曲線形Ｆ₂を生じる機構に特有な分布の広がりを付与

するものです。

明らかに,線幅を広げる機構がいくつあっても,(2.155):

Ｆ(ω)＝∫_―∞^∞Ｆ₁(ν)Ｆ₂(ω＋ω₀－ν)ｄνを反復適用

することによって,それらを合成できます。

最終の曲線形はそれらの寄与を合成する順序に無関係で

あり,(2.155)の積分値もＦ₁とＦ₂を交換しても不変である

ことに注意すべきです。

　実際,広がりの２つの原因が,それぞれ,幅2γ₁と2γ₂を

持ったLorentz曲線形を生じるのであれば,それらを合成した

曲線もL0rentz型で,その幅は2γ＝2γ₂＋2γ₂.(2.156)と

なります。

前回記事の§2.11(衝突広がり)の最後の計算で,放射,飽和,

衝突による広がりを含む原子遷移の線幅は2(γ²＋|Ω|²/2)^1/2

を一般化した式:2{γ^²＋(γ^/γ)|Ω|²/2}^1/2.(2.139)となり,

飽和広がりが無視できるなら(2.139)が.2γ＾＝2γ＋2γ_coll.

(2.140)に帰着する,と書きましたが,これは,一般的結果:

(2.156)の特別な場合と考えられます。

※(注14-2):上記の合成積が2γ＝2γ₂＋2γ₂.のLorentz

曲線になるという(2.156)の結果を直接計算で証明します。

[証明]:まず,Ｇ(ω)＝∫_―∞^∞ｄν(γ₁/π)(γ₂/π)

/[{(ω₁－ν)²＋γ₁²}{(ω＋ω₂－ν)²＋γ₂²}]を計算します。

証明対象の式であるＦ₁(ω)＝(γ₁/π)/{(ω₀－ω)²＋γ₁²},

および,Ｆ₂(ω)＝(γ₂/π)/{(ω₀－ω)²＋γ₂²}とした合成積:

Ｆ(ω)＝∫_―∞^∞Ｆ₁(ν)Ｆ₂(ω＋ω₀－ν)ｄνは,

Ｆ(ω)＝∫_―∞^∞∫_―∞^∞ｄν(γ₁/π)(γ₂/π)

/[{(ω₀－ν)²＋γ₁²}{(ω₀－ω－ω₀＋ν)²＋γ₂²}]

＝∫_―∞^∞∫_―∞^∞ｄν(γ₁/π)(γ₂/π)

/[{(ω₀－ν)²＋γ₁²}{(ω－ν)²＋γ₂²}]となり,これは

Ｇ(ω)において,ω₁＝ω₀,ω₂＝0としたものに相当します。

　さて,Ｇ(ω)を計算するため,２変数のFeynman積分公式:

1/(ＡＢ)＝∫₀¹ｄα/{Ａα＋Ｂ(1－α)}²を利用します。

すなわち,{π²/(γ₁γ₂)}Ｇ(ω)＝∫₀¹ｄα∫_―∞^∞ｄν

/{(ω₁－ν)²α＋γ₁²α＋(ω＋ω₂－ν)²(1－α)＋γ₂²(1－α)}²

＝∫₀¹ｄα∫_―∞^∞ｄν/[ν²－2{ω₁α＋(ω＋ω₂)(1－α)}ν

＋(ω₁²＋γ₁²)α＋{(ω＋ω₂)²＋γ₂²}(1－α)]²

です。

ここで,∫_―∞^∞ｄｘ/(ｘ²＋ａ²)²

＝∫_―π/2^π/2(ａsec²θ/ａ⁴sec⁴θ)ｄθ

＝1/(2ａ³)∫_―π/2^π/2よ{1＋cos(2θ)}ｄθ＝π/(2ａ³)

より,ｂ＞ａ²の前提で,∫_―∞^∞ｄｘ/(ｘ²－2ａｘ＋ｂ)²

＝∫_―∞^∞ｄｘ/{(ｘ－ａ)²＋ｂ－ａ²}²＝π/(2(ｂ－ａ²)^3/2

を得ます。

それ故,積分変数をｘからνに置換して,

ａ＝ω₁α＋(ω＋ω₂)(1－α),および.

ｂ＝(ω₁²＋γ₁²)α＋|(ω＋ω₂)²＋γ₂²}(1－α)と

置くと,ｂ－ａ²＝ω₁²α(1－α)＋(ω＋ω₂)²α(1－α)

－2α(1－α)ω₁(ω＋ω₂)＋(γ₁²－γ₂²)α＋γ₂²

＝(ω₁－ω₂―ω)²α(1－α)＋(γ₁²－γ₂²)α＋γ₂²

となるので,Ω^＝ω₁－ω₂－ωと置けば,ｂ－ａ²

＝Ω^²α(1－α)＋(γ₁²－γ₂²)α＋γ₂²となります。,

そこで,先の公式から、{π²／(γ₁γ₂)}Ｇ(ω)

＝(π/2)∫₀¹ｄα{Ω^²α(1－α)＋(γ₁²－γ₂²)α＋γ₂²}^-3/2

＝(πΩ^^-3/2)∫₀¹ｄα

[γ₂²/Ω^²＋{(Ω^²＋γ₁²－γ₂²)/Ω^²}α－α²]^-3/2

を得ます。

次に,この積分を具体的に計算するために,

Ｐ＝∫₀¹ｄα(Ｃ＋Ｂα－α²)^-3/2として,これを求めます。

こういうのは公式集でも見れば,スグわかるのですが,

どうしても初等的に導出不可能な場合を除き,そうした

公式もできるだけ自力で求めるという,学生時代からの

頑固なポリシイがあるので,やってみます。

「過去の知見をチェックせず信用してスルーして新しい

ことに向かわないからオマエは研究者向きでないのだ。」

と当時の先輩,同僚,教師たちから忠告されたこと多々

ありました。

しかし,大袈裟ですが,私は未だに「殺されても変えられ

ないことがある。」とか,「エゴ(自己利益)だけじゃ動かない。」

とかいう意固地貧乏な性格のまま人生終わりそうです。

さて,Ｐ＝∫₀¹ｄα(Ｃ＋Ｂα－α²)^-3/2

＝∫₀¹ｄα{(Ｂ²/4＋Ｃ)－(α－Ｂ/2)²}^-3/2ですから,

α－Ｂ/2＝(Ｂ²/4＋Ｃ)^1/2sinθと置くと,

ｄα＝(Ｂ²/4＋Ｃ)^1/2cosθｄθです。

故に,Ｐ＝(Ｂ²/4＋Ｃ)^-1∫_θ1^θ2sec²θｄθ

＝(Ｂ²/4＋Ｃ)^-1(tanθ₂－tanθ₁)となります。

ただし,sinθ₁＝(－Ｂ/2)/(Ｂ²/4＋Ｃ)^1/2,,

sinθ₂＝(1－Ｂ/2)/(Ｂ²/4＋Ｃ)^1/2,です。

tanθ＝±sinθ/(1－sin²θ)^1/2より,符号が正の分枝

を採用すると,tanθ₁＝(―Ｂ/2)/Ｃ^1/2,かつ,,

tanθ₂=(1－Ｂ/2)/(Ｃ＋Ｂ－1)^1/2の分枝なのでＰ

＝(Ｂ²/4＋Ｃ)^-1{(1－Ｂ/2)/(Ｃ＋Ｂ－1)^1/2＋(Ｂ/2)/Ｃ^1/2}

です。これにＣ＝γ₂²/Ω^²,Ｂ＝(Ω^²＋γ₁²－γ₂²)/Ω^²を

代入して、Ｃ^1/2＝γ₂/Ω^,(Ｃ＋Ｂ－1)^1/2＝γ₁/Ω^ですから

Ｐ＝(Ｂ²/4＋Ｃ)^-1[(γ₁＋γ²)/(2Ω^γ¹γ₂){Ω^²＋(γ₁－γ₂)²}

以下,詳細を略して,最終的に,

Ｐ＝{2Ω^³(γ₁＋γ²)/(γ¹γ₂)}/{Ω^²＋(γ₁＋γ₂)²}を

得ますが,{π²/(γ₁γ₂)}Ｇ(ω)＝(πΩ^^-3/2)Ｐなので,,

Ｇ(ω}＝{(γ₁＋γ²)/π}/{(ω₁－ω₂－ω)²＋(γ₁＋γ₂)²}

です。前述したように,Ｆ(ω)はＧ(ω)でω₁＝ω₀,ω₂＝0

としたものですから,結局,Ｆ(ω)

＝{(γ₁＋γ²)/π}/{(ω₀－ω)²＋(γ₁＋γ₂)²}を得ました。

[証明終わり]　　　(注14-2終わり※)

　次に,線幅をGauss型曲線に広げる機構が２つある場合には,,

合成された曲線がやはり,Gauss型となり,元の２つの曲線の

半値幅が2Δ₁,2Δ₂のとき,Δ²＝Δ₁²＋Δ₂²で与えられる半値幅:

2Δを持ちます。

※(注14-3):上記を証明します。

[証明]:前記事で書いたように,気体内で運動する全原子は,

ドプラー効果により吸収する光の周波数ωの分布は,Gauss分布

exp{－Ｍｃ²(ω－ω₀)²/(2ω₀²ｋ_ＢＴ)}(ｃ/ω₀)ｄω.(2.149)で

与えられ,これの半値幅(全線幅)を2Δとすると,

2Δ＝2ω₀{2ｋ_ＢＴln2/(Ｍｃ²)}^1/2(2.151)と表わされます。

Gauss曲線:Ｆ_Ｇは,

Ｆ_Ｇ(ω)＝(2π)^-1(2δ²)^-1/2exp{－(ω－ω₀)²/(2δ²)}で定義され

∫_－∞^∞Ｆ_Ｇ(ω)ｄω＝1が満たされますが,上記ドプラ－・

シフトの曲線形は,これの,δ＝ω₀{2ｋ_ＢＴ/(Ｍｃ²)}^1/2

＝Δ/(2ln2)^1/2～Δ/1.18.(2.152)と置いたものに相当します。

そこで,Ｆ_j(ω)＝(2πδ_j²)^-1/2exp{－(ω－ω₀)²/(2δ_j²)}

(ｊ＝1,2)として,Ｆ(ω)＝∫_―∞^∞Ｆ₁(ν)Ｆ₂(ω＋ω₀－ν)ｄν

を計算します。

Ｆ(ω)＝(2π)^-１(δ₁²δ₂²)^-1/2∫_―∞^∞[exp{－(ν－ω₀)²/(2δ₁²)}

×exp{－(ω－ν)²/(2δ₂²)}ｄν

－(ν－ω₀)²/(2δ₁²)－(ω－ν)²/(2δ₂²)

＝－(1/2){(1/δ₁²＋1/δ₂²)ν²－2(ω₀/δ₁²＋ω/δ₂²)ν

＋(ω₀²/δ₁²＋ω²/δ₂²)}

＝－{1/(2δ₁²δ₂²)}[(δ₁²＋δ₂²)ν²－2(ω₀δ₂²＋ωδ₁²)ν

＋(ω₀²δ₂²＋ω²δ₁²)}＝－Ａ(ν－Ｂ)²＋Ｃと書けば,

Ａ＝(δ₁²＋δ₂²)/(2δ₁²δ₂²)},

Ｂ＝(ω₀δ₂²＋ωδ₁²)/(δ₁²＋δ₂²)

Ｃ＝{(ω₀δ₂²＋ωδ₁²)²－(ω₀²δ₂²＋ω²δ₁²)(δ₁²＋δ₂²)}

/[(2δ₁²δ₂²)(δ₁²＋δ₂²)]

＝－(ω₀－ω)²/(2δ₁²＋2δ₂²)　です。

そこで,∫_―∞^∞exp{－Ａ(ν－Ｂ)²＋Ｃ}ｄν＝(π/Ａ)^1/2exp(Ｃ)

＝{(2πδ₁²δ₂²)/(δ₁²＋δ₂²)}^1/2exp{－(ω₀－ω)²/(2δ₁²＋2δ₂²)}

ですから,Ｆ(ω)＝[1/(2πδ₁δ₂)]

∫_―∞^∞exp{－Ａ(ν－Ｂ)²＋Ｃ}ｄν＝{2π(δ₁²＋δ₂²)}^-1/2

×exp{－(ω₀－ω)²/(2δ₁²＋2δ₂²)}を得ます。[証明終わり]

(注14－3終わり※)

１つの曲線形がLorentz型で,他方がGauss型の場合は,

より複雑な積分:Ｆ(ω)＝{γ/(2π³δ)^1/2}

∫_―∞^∞[exp{－(ω－ν)²/(2δ²)}/{(ω₀－ν)²＋γ²}]ｄν

＝[1/{(2π)^1/2δ}]Re[Ｗ{(ω0－ω＋iγ)/(2^/2δ)]].(2.158)

となります。ただし,Ｗはある複素誤差関数の１種です。

この形はVolgt二地なんだ命名がなされています。

これは,δ→ 0の極限であるLorentz型とγ→ 0の極限で

あるGauss型の中間の形と言えます。

線幅を広げる過程は２つの広い範疇に分けることができて,

それらは相異なる定性的性質で特徴付けられ,また,２つの

基本的曲線形とも関連しています。その１つは遷移周波数を

定めるパラメータの値に統計的分布があるために,いくつか

違った周波数で,それぞれの原子が光を吸収,放出するような

線幅の広がりの原因を持つものです。このような線幅の広がる

過程は一般にGauss曲線形になります。

ドプラー広がりは,この範疇に属し,原子の速度が,それに

関連する統計的パラメータです。他の例は,局所的ひずみに

よるゆらぎが原子の遷移周波数のシフトを引き起こすような

結晶に埋もれた原子による発光のときに現われます。

これらの効果は不均一な広がりの機構の範疇に属します。

　一方,Lorentz曲線形は,光を吸収,放出する原子が,いずれも

残りの原子と同一である,均一な広がりの機構に現われます。

　例えば,放射や衝突による広がりの過程では.原理的に,ある

周波数の光を一群の特定原子に付随させる実験方法が存在する

ことはない,と言えます。

この場合の幅Δωは,原子放射が乱されない有限の平均時間

Δｔが存在する結果として現われるものです。量子力学の

不確定性原理,or Fourier変換の性質によると,ΔωΔｔ≧1.

(2.159)であり,放射過程,衝突過程に対する陽な結果も,これと

一致します。

今回も本節がここで終わるので,ここまでにします。(つづく)

(参考文献)：Rodney Loudon 著

(小島忠宣・小島和子 共訳)

「光の量子論第２版」(内田老鶴舗)