※「光の量子論14」からの続きです。
(※余談)阪神大震災から25年です。
1995年1月16日は私,まだ45歳で夜,新宿三丁目
でニフティのパソコン通信,の将棋フォーラムの新年会
に出ていました。元のゲームフォーラムが麻雀,囲碁,将棋
に分裂してできたのですがそのときは囲碁フォーラムと
合同の新年会でした。当時のニフエィ将棋名人の筆無精さん
に初めて会い,1992年11月にバブル崩壊の頃クビになって
いた就職2つ目の小さな会社の同僚1人と遭遇しました。
(この会社は阪大囲碁部出身の社員が多かった。)
ほぼ朝帰りで帰宅し,ＴＶ見たら,既に何千人も死亡とか。
「ナンジャこれは？」となり,まだ携帯無くて西宮在住の
姉に電話しても通じないので,岡山の母に電話すると西宮
の姉も大阪生野区の次兄も無事とのことで,ひとまず安堵
したのを覚えています。私は1985年に35歳で江東区木場
の運河沿いの10階立ての10階に25年ローンで３ＤＫの
分譲マンションを購入(一応先にハコを用意して普通に結婚
できるかもと,。。他人には隠していたが23歳からの精神病
の負い目がなければ。。)その後,40歳で１つ目の会社を辞め,
43歳直前に２つ目の会社をクビになって,約半年間失業保険
で暮らし,それからオイルショックで不況な上40歳を超え
た独身であるためか仕事を選ばないのに,就職試験落ちまく
って,予備校,専門学校の非常勤講師などで食いつなぎ,1994
年には約2000万円で買って９年住んでいたマンションを約
3500万円で売り,差額で巣鴨の1200万円のワンルームを
買って移った頃です。家賃は管理費修繕積立金の他はない
ですが細々と暮らして,パソコン通信のほうがメインの生活
であった頃です。
将棋フォーラムでのリアル対局,兼チャットと,サイエンス
フォーラムから独立した物理フォーラムなどの掲示板で議論
していた頃です。
当時.ＯＳがMS-DOSのＰＣを1991年から計算機だけでなく
通信手段として使用したのは,後Windows95からインターネット
文化が広がり,携帯,スマホの時代へと進んでいったことを
考えると,ヒョットして先見の明があったのかも知れないです
が,楽天,ライブドアなど商売道具に利用することまでは考えて
いませんでしたね。
今もユーチュ－バー・バブルなどあるカモですが,宝クジ
同様,やる気なしです。私は,このブログ発信程度です。
ユメはお金持ちになることじゃなく,衣食住が足りれば十分
ですから。というわけで,２月１日で70歳ですが,未だ,お金
にはならないであろうけれど,大きなユメの途中です。
イヤ,棺桶も近いけど。。
1999年49歳のクリスマスの頃,派遣会社から常駐仕事に
就けるまではフリーターでした。イヤ,生活レベル下げたく
なかったので,この夜勤の仕事以外にも複数のアルバイトも
していました。37歳頃から糖尿病でしたが,この病気は重病
化しないなら普通に働けます。そして7年後に急に心臓病で
倒れることになったのですね。(余談終わり※)
さて本題です。
前回は第2章 原子・放射相互作用の量子力学の
今回は,その続きで次の節からです。
光学Bloch方程式と,それより簡単な原子占位数に
対するレート方程式の関係をより詳しく論じます。
第１章で論じた２準位原子の基礎となるレート
方程式は,(1.45)の,ｄＮ1/ｄｔ＝－ｄＮ2/ｄｔ
＝Ｎ2Ａ21－Ｎ1Ｂ12Ｗ(ω)＋Ｎ2Ｂ21Ｗ(ω) です。
一方,本章で導出した光学Bloch方程式は,
(2.114),(2.115)の,
ｄρ22/ｄｔ＝(－iΩ＊/2)exp{i(ω0－ω)ｔ}ρ12
＋(iΩ/2)exp{－i(ω0－ω)ｔ}ρ21－2γρ22,
および,ｄρ12/ｄｔ＝(iΩ/2)exp{－i(ω0－ω)ｔ}
(ρ11－ρ22)－γρ12の後者を,(2.134)の,
ｄρ12/ｄｔ＝(iΩ/2)exp{－i(ω0－ω)ｔ}(ρ11－ρ22)
－γ^ρ12.,(γ^＝γ＋γcoll)と修正した式において,
(2.116)と同様,ρ~12＝exp{i(ω0－ω)ｔ}ρ12,
ρ~21＝]exp{－i(ω0－ω)ｔ}ρ21.(2.160)として振動因子
を消した方程式(2.161)の,ｄρ22/ｄｔ＝(－iΩ＊/2)ρ~12
＋(iΩ/2)ρ~21－2γρ22.,および,(2.162)のｄρ~12/ｄｔ
＝(iΩ/2) (ρ11－ρ22)＋{i(ω0－ω)－γ^}ρ~12 が最も
一般的なモノです。ここで,γは放射減衰速度,γ^は放射
減衰速度:γと,衝突減衰速度γcollの和:γ^＝γ＋γcollで
示される減衰定数です。
磁場内のスピンに対するBloch方程式のアナロジーで,
減衰定数を2γ＝1/Ｔ1,γ^＝1/Ｔ2.(2.163)と表わす
こともあります。Ｔ1,および,Ｔ2.は,それぞれ,縦,および,
横の緩和時間と呼ばれています。
レート方程式と光学Bloch方程式の関係を調べるのには,
|Ω|がγやγ^よりはるかに小さい,つまりビーム強度の
弱い極限が最も簡単です。
のときは,前に仮定したのと同じ初期条件:ρ22＝ρ12＝0
の場合,|Ω|の低次の(2.161),(2.162)の解を求めます。
以前,「光の量子論12」では,|Ω|＜＜γの極限での|Ω|
について最低次のρ22の解は,初期条件ρ22＝ρ12＝0の下で,
ρ22(ｔ)＝[(|Ω|2/4)/{(ω0－ω)2＋γ2}]
×[1＋exp(－2γｔ)－2cos{(ω0－ω)ｔ}exp(－γｔ)]
(2.128)となります。と書きました。
今のケースでのより一般的な解は,
ρ22(ｔ)＝{(|Ω|2/4)
[(γ^/γ)/{(ω0－ω)2＋γ^2}
＋{(2γ－γ^)/γ}/{(ω0－ω)2＋(2γ－γ^)2}]
exp(－2γｔ)
－[2{(ω0－ω)2＋γ^(2γ－γ^)}cos{(ω0－ω)ｔ}
＋4(ω0－ω)(γ^－γ)sin{(ω0－ω)ｔ}]exp(－γ^ｔ)
/[{(ω0－ω)2＋γ^2}{(ω0－ω)2＋(2γ－γ^)2}].(2.164)
で与えられることがわかります。
※(注15-1):以下では今回の方程式の解:(2.164)を証明
するため,前に「光の量子論12」の(注12-2)で,(2.128)を
求めるために実施したのと同じ手順を修正して繰り返します。
[証明]:まず,ρ~12＝exp{i(ω0－ω)ｔ}ρ12,
ρ~21＝exp{－i(ω0－ω)ｔ}ρ21,とおくと,基本方程式は,
ｄρ22/ｄｔ＝(－iΩ＊/2)ρ~12＋(iΩ/2)ρ~21－2γρ22.
ｄρ~12/ｄｔ＝(iΩ/2)(1－2ρ22)－γ^ρ~12
－i(ω0－ω)ρ~12となります。
ｄρ~21/ｄｔは,これの複素共役で与えられ,
ｄρ~21/ｄｔ＝(－iΩ＊/2)(1－2ρ22)－γ^ρ~21
＋i(ω0－ω)ρ~21となります。
そこで,ｘ＝ρ22,ｙ＝(－iΩ＊/2)ρ~12,ｙ＊＝(iΩ/2)ρ~21
と置くと,これらは,ｄｘ/ｄｔ＝ｙ＋ｙ＊－2γｘ,
ｄｙ/ｄｔ＝(|Ω|2/4)(1－2ｘ)＋{－γ^＋i(ω0－ω)}ｙ
ｄｙ＊/ｄｔ＝(|Ω|2/4)(1－2ｘ)＋{－γ^－i(ω0－ω)}ｙ＊
と書けます。
整理すると,ｄｘ/ｄｔ＝－2γｘ＋ｙ＋ｙ＊,
ｄｙ/ｄｔ＝－(|Ω|2/2)ｘ＋{－γ^＋i(ω0－ω)}ｙ＋|Ω|2/4,
ｄｙ＊/ｄｔ＝－(|Ω|2/2)ｘ＋{－γ^－i(ω0－ω)}ｙ＊＋|Ω|2/4
です。そこで,これを３次元の列ベクトル:Ｘ＝[ｘ,ｙ,ｙ＊]Ｔ
に対する線形非同次の行列方程式の形で３×３係数行列をＡ^
として,ｄＸ/ｄｔ＝Ａ^Ｘ＋ｂ,と書きます。
ただし,定数項ｂはｂ＝[0,|Ω|2/4.|Ω|2/4]Ｔです。
これの初期条件がｔ＝0でＸ＝0の解は,既に何度か示した
ように,Ｘ(ｔ)＝{exp(Ａ^ｔ)－1}Ａ^-1ｂで与えられます。
Ａ^の逆行列:Ａ^－1は,その要素が,
(detＡ^)(Ａ^－1)11＝γ^2＋(ω0－ω)2
(detＡ^)(Ａ^－1)12＝－{－γ^－i(ω0－ω)},
(detＡ^)(Ａ^－1)13＝－{－γ^＋i(ω0－ω)}
(detＡ^)(Ａ^－1)21＝－(|Ω|2/2),
(detＡ^)(Ａ^－1)22＝－2γ{－γ^－i(ω0－ω)}＋|Ω|2/2,
(detＡ^)(Ａ^－1)23＝－(|Ω|2/2),
(detＡ^)(Ａ^－1)31＝(|Ω|2/2){－γ^－i(ω0－ω)},
(detＡ^)(Ａ^－1)32＝－|Ω|2/2,
(detＡ^)(Ａ^－1)33＝―2γ{－γ^＋i(ω0－ω)}＋|Ω|2/2,
で与えられます。
ただし,detＡ^＝－2γ{γ^2＋(ω0－ω)2}
－(|Ω|2/2){－γ^＋i(ω0－ω)}
－(|Ω|2/2){γ^－i(ω0－ω)}
＝－2γ{γ^2＋i(ω0－ω)2＋|Ω|2/2}です。
また,Ａ^Ｘ＝αＸ(Ｘ≠0)を満たす固有値αを求める
方程式は,det(Ａ＾－αＩ^)＝0ですが,これは,
(－2γ－α){(－γ^－α)2＋(ω0－ω)2}
－(|Ω|2/2){(－γ^－α)－i(ω0－ω)}
－(|Ω|2/2){(－γ^－α)＋i(ω0－ω)}＝0となります。
つまり,(－2γ－α){(－γ^－α)2＋(ω0－ω)2}
－|Ω|2{(－γ^－α)＝0です。
さらに,書き下すと,
α3＋{γ^2＋(ω0－ω)2－|Ω|2}α＋2γ{γ^2＋(ω0－ω)2
＋(|Ω|2/2)}＝0 です。
しかし,今は|Ω|の最低次近似を求めればいいので,
因子:|Ω|2を含む項を無視する近似では,
固有値方程式は,(α＋2γ){(α＋γ^)2＋(ω0－ω)2}＝0
となり,異なる３つの固有値として,α0＝－2γ,
α±＝－γ^±i(ω0－ω)(複号同順)なる近似値を得ます。
それ故,特に,α＋＋α－＝－2γ^,および,
α＋α－＝γ^2＋(ω0－ω)2なる関係が成立します。
そして,この近似でα0,α＋,α－に属する固有
ベクトルを,それぞれ,Ｙ0,Ｙ＋Ｙ－と書けば,定数倍
の任意性を除いて,
Ｙ0＝[1,0,0]Ｔ,Ｙ＋＝[－(α0－α＋)-1,1,0]Ｔ,
Ｙ－＝[－(α0－α －)-1,0,1]Ｔと書けること
がわかります。
何故なら,この近似で係数行列Ａ^は第1行が[α0,1,1],
第２行が[0,α＋,0].第３行が[0,0,α－]であるからです。
これら,Ｙ0,Ｙ＋,Ｙ－を３列に並べた行列を
Ｐ^＝(Ｙ0,Ｙ＋,Ｙ－)と書いて定義し,その逆行列Ｐ^-1を,
Ｐ^-1＝(Ｚ0,Ｚ＋,Ｚ－)と表わすと,
det(Ｐ^)＝1なので,Ｚ0＝[1,0,0]Ｔ,Ｚ＋＝[(α0－α＋)-1,1,0]Ｔ,
Ｚ－＝[(α0－α－)-1,0,1]Ｔとなります。
こうすると,対角要素が固有値:α0,α＋,α－の対角行列
Λ^は,Λ^＝Ｐ^-1Ａ^Ｐ^で与えられます。
そこで,exp(Λ^ｔ)＝Ｐ^-1exp(Ａ^ｔ)Ｐ^が成立します。
それ故,前に与えた初期値が0のｄＸ/ｄｔ＝Ａ^Ｘ＋ｂ
の解:Ｘ(ｔ)＝{exp(Ａ^ｔ)－1}Ａ^-1ｂにおいて,|Ω|の最低
次近似の解としてのＸ(ｔ)は,左からＰ^-1を掛けて,
Ｐ^-1Ｘ(ｔ)＝{exp(Λ^ｔ)－1}Ｐ^-1Ａ^-1ｂを満たします。
これから,結局.Ｘ(ｔ)＝Ｐ^{exp(Λ^ｔ)－1}Ｐ^-1Ａ^-1ｂ
が得られます。
ところで,Ａ^の逆行列Ａ^－1の要素の近似を書き下すと,
1行目は変更無しで,(detＡ^)(Ａ^－1)11＝α＋α－,
(detＡ^)(Ａ^－1)12＝－α－,(detＡ^)(Ａ^－1)13＝－α＋です。
また,２行目の近似は,(Ａ^－1)21＝(Ａ^－1)23＝0,および,
(detＡ^)(Ａ^－1)22＝－2γ{－γ^－i(ω0－ω)}＝α0α－です。
３行目は,(Ａ^－1)31＝(Ａ^－1)32＝0,(detＡ^)(Ａ^－1)33
＝－2γ{－γ＋i(ω0－ω)} ＝α0α＋となります。
さらに,detＡ^＝－2γ{γ^2＋(ω0－ω)2}＝α0α＋α－
と書けます。
つまり,Ａ^－1は1行目が[α0-1,－α0-1α＋-1,－α0-1α－-1 ],
２行目が[0,α＋-1,0 ],３行目が[0,0,α－-1 ]の行列です。
それ故,ｂ＝＝(|Ω|2/4)[0,1,1]Ｔに対して.
Ａ^－1ｂ＝{|Ω|2/(4α＋α－)}
[－(α－＋α＋)/α0,α－,α＋]Ｔです。
( ※ｂについては,|Ω|2を無視するとゼロとなって
無意味なので,|Ω|2を無視せず,因子として残します。)
さらに,左からＰ^-1＝(Ｚ0,Ｚ＋,Ｚ－),Ｚ0＝[1,0,0]Ｔ,
Ｚ＋＝[(α0－α＋)-1,1,0]Ｔ,Ｚ－＝[(α0－α－)-1,0,1]Ｔ,
を掛けます。
つまり,1行目が,[1,(α0－α＋)-1,(α0－α－)-1]
２行目が[0,1,0],３行目が[0,0,1]の行列を掛けます。
それ故,Ｐ^-1Ａ^-1ｂ＝{|Ω|2/(4α＋α－)}
[－(α－＋α＋)/α0＋α－/(α0－α＋)＋α＋/(α0－α－)
,α－,α＋]Ｔです。
故に,Ｐ^-1Ｘ(ｔ)＝{exp(Λ^ｔ)－1}Ｐ^-1Ａ^-1ｂ
＝{|Ω|2/(4α＋α－)}
[{－(α－＋α＋)/α0＋α－/(α0－α＋)＋α＋/(α0－α－)}
{exp(α0ｔ)－1},α－{exp(α＋ｔ)―1},α＋{exp(α－ｔ)―1}]Ｔ
となります。
最後に,両辺の左からＰ^＝(Ｙ0,Ｙ＋,Ｙ－),Ｙ0＝[1,0,0]Ｔ,
Ｙ＋＝[－(α0－α＋)-1,1,0]Ｔ,Ｙ－＝[－(α0－α －)-1,0,1]Ｔ
つまり,1行目が,[1,－(α0－α＋)-1,－(α0－α－)-1],
２行目が[0,1,0],３行目が[0,0,1]の行列Ｐ^を掛けて,
近似解:Ｘ(ｔ)＝[ｘ(ｔ),ｙ(ｔ),ｙ＊(ｔ)]Ｔの成分を
求めます。
第1成分ｘ(ｔ)は,
ｘ(ｔ)＝{|Ω|2/(4α＋α－)}[{－(α－＋α＋)/α0
＋α－/(α0－α＋)＋α＋/(α0－α－)}exp(α0ｔ)
－{α－/(α0－α＋)}exp(α＋ｔ)
－{α＋/(α0－α－)}exp(α－ｔ)
－(α－＋α＋)/α0 －α－/(α0－α＋)－α＋/(α0－α－)}
＋α－/(α0－α＋)＋α＋/(α0－α－) です。
故に,{|Ω|2/(4α＋α－)}exp(α0ｔ)
＝{|Ω|2/(4α＋α－)}exp(－2γｔ)の係数は,
－(α－＋α＋)/α0＋α－/(α0－α＋)＋α＋/(α0－α－)
となります。
ところで,α＋/(α0－α－)＋α－/(α0－α＋)
＝[α0 (α＋＋α－)－(α＋2＋α－2)}
/{(α0－α＋)(α0－α－)}
＝(α＋＋α－)
×{α02－α0(α＋＋α－)＋2α0(α＋α－)/(α＋＋α－)}
/{α0(α0－α＋)(α0－α－)}
＝(α＋＋α－)/α0＋{2α0－(α＋＋α－)}(α＋α－)}
/{α0 (α0－α＋)(α0－α－)}
＝(α＋α－)[(γ^/γ)/{(ω0－ω)2＋γ^2}
＋2{(2γ－γ^)/γ}/{(ω0－ω)2＋(2γ－γ^)2}です。
他方,α＋/(α0－α－)－α－/(α0－α＋)
＝α0 (α＋－α－)－(α＋2－α－2)}
/{(α0－α＋)(α0－α－)}
＝(α＋－α－){α02－α0 (α＋＋α－)}
/{α0 (α0－α＋)(α0－α－)}
＝(α＋－α－)/α0
－{(α＋－α－)(α＋α－)}/{α0 (α0－α＋)(α0－α－)}
＝(α＋α－)[{i(ω0－ω)/γ}/{(ω0－ω)2＋γ^2}
－{i(ω0－ω)/γ}/{(ω0－ω)2＋(2γ－γ^)2}です。
したがって,exp(α0ｔ)＝exp(－2γｔ)の項は,,
(|Ω|2/4)[{(2γ－γ^)/γ}/{(ω0－ω)2＋(2γ－γ^)2}]
exp(－2γｔ) と書けます。
定数項は,{|Ω|2/(4α＋α－)}(α－＋α＋)/α0
＝(|Ω|2/4)(γ^/γ)/{(ω0－ω)2＋γ^2}です。
そこで,ρ22の非振動項は,
(|Ω|2/4)×[(γ^/γ)/{(ω0－ω)2＋γ^2}
＋{(2γ－γ^)/γ}/{(ω0－ω)2＋(2γ－γ^)2}
exp(－2γｔ)]となります。
また,振動項は,
－{|Ω|2/(4α＋α－)}[{α－/(α0－α＋)}exp(α＋ｔ)
＋{α＋/(α0－α－)}exp(α－ｔ)
＝－{|Ω|2/(4α＋α－)}
[{α－/(α0－α＋)}exp(－γｔ)exp{－i(ω0－ω)ｔ}
＋{α＋/(α0－α－)}exp(－γｔ)exp{i(ω0－ω)ｔ}]
ですが,exp{±i(ω0－ω)ｔ}
＝cos{(ω0－ω)ｔ}±isin{(ω0－ω)ｔ}です。
そこで,このexp(－γｔ)に比例する項は,
－(|Ω|2/4) exp(－γｔ)
[(γ^/γ)/{(ω0－ω)2＋γ^2}
＋2{(2γ－γ^)/γ}/{(ω0－ω)2＋(2γ－γ^)2}
cos{(ω0－ω)ｔ}
－[{(ω0－ω)/γ}/{(ω0－ω)2＋γ^2}
＋{(ω0－ω)/γ}/{(ω0－ω)2＋(2γ－γ^)2}}
sin{(ω0－ω)ｔ}
＝－(|Ω|2/4)
×[2{(ω0－ω)2＋γ^(2γ－γ^)}cos{(ω0－ω)ｔ}
＋{4(ω0－ω)(γ^－γ)sin{(ω0－ω)ｔ}}exp(－γｔ)
/[{(ω0－ω)2＋γ^2}{(ω0－ω)2＋(2γ－γ^)2}]
となります。
以上から,ρ22(ｔ)＝ｘ(ｔ)＝(|Ω|2/4)
×[(γ^/γ)/{(ω0－ω)2＋γ^2}
＋{(2γ－γ^)/γ}/{(ω0－ω)2＋(2γ－γ^)2}
exp(－2γｔ)]－[2{(ω0－ω)2＋γ^(2γ－γ^)}
cos{(ω0－ω)ｔ}
＋{4(ω0－ω)(γ^－γ)sin{(ω0－ω)ｔ}}
×exp(－γｔ)
/[{(ω0－ω)2＋γ^2}{(ω0－ω)2＋(2γ－γ^)2}]
の(2.164)の表式が得られました。[証明終わり]
ちなみに,第２成分ｙ(ｔ)は,
ｙ(ｔ)＝(－iΩ＊/2)ρ~12(ｔ)
＝{|Ω|2/(4α＋α－)}{α－{exp(α＋ｔ)―1}
＝[(|Ω|2/4)/{(ω0－ω)2＋γ^2}]
{{－γ^－i(ω0－ω)}{exp(－γ^ｔ＋i(ω0－ω)ｔ}
―1]となるので,ρ~12(ｔ)
＝exp{i(ω0－ω)ｔ}ρ12(ｔ)
＝[(Ω/2)/{(ω0－ω)2＋γ^2}]
[{(ω0－ω)－iγ^}{exp[{－γ^ｔ＋i(ω0－ω)ｔ}－1]
です。
結局,ρ12(ｔ)＝(Ω/2)[exp(－γ^ｔ)－exp{－i(ω0－ω)ｔ}]
/{(ω0－ω)＋iγ^}を得ます。 (注15-1終わり※)
さて,(2.164)は,衝突広がりγcollがないγ^＝γの場合は,
前に得た(2.128)のρ22(ｔ)＝[(|Ω|2/4)/{(ω0－ω)2＋γ2}]
×[1＋exp(－2γｔ)－2cos{(ω0－ω)ｔ}exp(－γｔ)]
に帰着します。
今の議論では,非対角行列要素ρ12は必要ないですが,
後の第８章での使用のために,初期条件の制限を多少緩
めてｔ＝0でρ22(はゼロですが,ρ12は任意の初期値ρ12(0)
を持つときの|Ω|について最低次の解として,
ρ12(ｔ)＝[(iΩ/2)/{i(ω0－ω)－iγ^}]
×{exp(－γ^ｔ)－exp{－i(ω0－ω)ｔ}
＋ρ12(0)exp(－γ^ｔ).(2.165)
を与えておきます。
※(注15-2):上記を証明します。
(注15-1)では,ｄＸ/ｄｔ＝Ａ^Ｘ＋ｂ,
ｂ＝[0,|Ω|2/4.|Ω|2/4]Ｔですの初期条件が
Ｘ(0)＝0の解は,
Ｘ(ｔ)＝{exp(Ａ^ｔ)－1}Ａ^-1ｂで与えられる,
と書きましたが.Ｘ(0)がゼロとは限らず,任意の
ベクトルの場合の解は,明らかに,
Ｘ(ｔ)＝{exp(Ａ^ｔ)－1}Ａ^-1ｂ＋exp(Ａ^ｔ)Ｘ(0)
となります。
ここで,Ｐ^-1Ａ^Ｐ^＝Λ^(対角行列)を満たすＰ^を
用いれば,Ｘ(ｔ)＝Ｐ^{exp(Λ^ｔ)－1}Ｐ^-1Ａ^-1ｂ
＋exp(Λ^ｔ)Ｘ(0)です。
そこでＸ(0)＝[0,ｙ(0),0]Ｔの場合の第２成分は,
ｙ(ｔ)＝(－iΩ＊/2)ρ~12(ｔ)
＝{|Ω|2/(4α＋α－)}{α－{exp(α＋ｔ)―1}
＋ｙ(0)exp(α＋ｔ)＝(|Ω|2/4)/{(ω0－ω)2＋γ^2}]
[{{－γ^－i(ω0－ω)}exp{－γ^ｔ＋i(ω0－ω)ｔ}―1]
＋ｙ(0)exp{－γ^ｔ＋i(ω0－ω)ｔ}です。
したがって,結局,ρ12(ｔ)＝[(iΩ/2)/{i(ω0－ω)－iγ^}]
×{exp(－γ^ｔ)－exp{－i(ω0－ω)ｔ}＋ρ12(0)exp(－γ^ｔ)
が得られます。(注15-2終わり※)
さて,レート方程式から求めた励起状態の占位数の時間
依存性は,(1.70)の,
Ｎ2＝{ＮＢＷ/(Ａ＋2ＢＷ)}[1－exp{－(Ａ＋2ＢＷ)ｔ}]
から,入射ビームＷが弱い場合には,
Ｎ2＝(ＮＢＷ/Ａ){1－exp{－(Ａｔ)}.(2.166)が得られます。
対角解(2.164)がこれと同等な時間依存性を持つ２通りの
異なる状況が存在します。第１の状況は周波数の広がりが
原子遷移の線幅2γ^より大きい広帯域入射光のある場合です。
(2.164)の複素周回積分を利用して,γ^が2γより大きくても,
小さくても,∫－∞∞ρ22ｄω＝{π|Ω|2/(4γ)}{1－exp(－2γｔ)}
(2.167)を示すことができます。
※(注15-3):上記を証明します。
[証明] まず,∫－∞∞ｄω[(γ^/γ)/{(ω0－ω)2＋γ^2}]＝π/γ,
かつ,∫－∞∞ｄω[{(2γ―γ^/γ)}/{(ω0－ω)2＋(2γ－γ^)2}]
＝π/γです。
それ故,∫－∞∞ｄω(|Ω|2/4)[(γ^/γ)/{(ω0－ω)2＋γ^2}
＋{(2γ－γ^)/γ}/{(ω0－ω)2＋(2γ－γ^)2}
exp(－2γｔ)]＝{π|Ω|2/(4γ)}{1－exp(－2γｔ)}です。
一方,∫－∞∞ｄω[2{(ω0－ω)2＋γ^(2γ－γ^)}
cos{(ω0－ω)ｔ}＋{4(ω0－ω)(γ^－γ)sin{(ω0－ω)ｔ}}
exp(－γ^ｔ)/[{(ω0－ω)2＋γ^2}{(ω0－ω)2＋(2γ－γ^)2}]
を計算するために,まず,ν＝ω－ω0と変数置換します。
ω0－ω＝－νでｄω＝ｄνですから,
∫－∞∞ｄν [2{ν2＋γ^(2γ－γ^)}cos(νｔ)
－{4ν(γ^－γ)sin(νｔ)}exp(－γｔ)
exp(－γ^ｔ)/[(ν2＋γ^2){ν2＋(2γ－γ^)2}]です。
ここで,cos(νｔ)＝(1/2){exp(iνｔ)＋exp(－iνｔ)}
sin(νｔ)＝(－i/2){exp(iνｔ)－exp(－iνｔ)} を
代入すれば,
∫－∞∞ｄν[{ν2＋γ^(2γ－γ^)}cos(νｔ)
exp(－γ^ｔ)/[(ν2＋γ^2){ν2＋(2γ－γ^)2}]
＝∫－∞∞ｄν[{ν2＋γ^(2γ－γ ^)}
{exp(iνｔ) ＋exp(－iνｔ)}]
exp(－γ^ｔ)/[(ν2＋γ^2){ν2＋(2γ－γ^)2}]
であり,
－∫－∞∞ｄν{4ν(γ^－γ)sin(νｔ)}
exp(－γ^ｔ)/[(ν2＋γ^2){ν2＋(2γ－γ^)2}]
＝－∫－∞∞ｄν{－2iν(γ^－γ)}
{exp(iνｔ)－exp(－iνｔ)}
exp(－γ^ｔ)/[(ν2＋γ^2){ν2＋(2γ－γ^)2}]
です。つまり,与式
＝∫－∞∞ｄν[{ν2＋γ^(2γ－γ ^)＋2iν(γ^－γ)}
exp(iνｔ)exp(－γ^ｔ)]/[(ν2＋γ^2){ν2＋(2γ－γ^)2}]
－∫－∞∞ｄν{{ν2＋γ^(2γ－γ ^)－2iν(γ^－γ)}
exp(－iνｔ)exp(－γ^ｔ)]
/[(ν2＋γ^2){ν2＋(2γ－γ^)2}]
＝∫－∞∞ｄν [exp(iνｔ)/[(ν＋iγ^){ν－i(2γ－γ^)2}]
－∫－∞∞ｄν [exp(－iνｔ)}/[(ν－iγ){ν＋i(2γ－γ^)2}]
です。
これを求めるために,νを複素数として,複素平面上の実軸
に,半径が＋∞の半円周を加えた閉路上の同じ被積分関数の
周回積分を考えます。
exp(iνｔ)に比例する項では,実軸に虚部が正の上半円
の周を加えた反時計周り(正)の外周Ｃ1を採用し,
exp(－iνｔ)に比例する項では,実軸に虚部が負の下半円
の周を加えた時計周り(負)の外周Ｃ2を採用すれば,共に,
元の実軸上の実積分に一致します。
Ｃ1上の積分では,これの内部の１位の極は2γ＜γ^
なら,ν=－i(2γ－γ^)で,2γ＞γ^ならなしです。|
そこで,Cauchyの留数定理から積分値は,2γ＞γ^なら
ゼロですが,2γ＜γ^,
なら(2πi)(－2iγ)-1exp{－(2γ－γ^)ｔ})exp(－γ^ｔ)
＝－(π/γ)exp(－(2γｔ)となります。
一方,Ｃ2上の積分ではこれの内部の１位の極は2γ＜γ^
ならν＝i(2γ－γ^)で,2γ＞γ^ならなしです。
そこで積分値は, 2γ＞γ^ならゼロですが,2γ＜γ^
なら－(－2πi)(2iγ)-1exp{－(2γ－γ^)ｔ})
exp(－γ^ｔ)＝(π/γ)exp(－(2γｔ)です。
したがって,2γ＜γ^でも2γ＞γ^でも,これらの
積分の寄与の総和はゼロで,結局,∫－∞∞ρ22ｄω
＝{π|Ω|2/(4γ)}{1－exp(－2γｔ)}と結論されます。
(注15-3終わり※)
さて,第２の状況は,γ^＞＞2γと,衝突広がりが大きい
場合です。このとき,時間ｔが1/γと同程度であれば,
ｔ＞＞1/γ^が成立するので,下に再掲載する(2.164)式の
ρ22(ｔ)＝(|Ω|2/4)×[(γ^/γ)/{(ω0－ω)2＋γ^2}
＋{(2γ－γ^)/γ}/{(ω0－ω)2＋(2γ－γ^)2}exp(－2γｔ)]
－[2{(ω0－ω)2＋γ^(2γ－γ^)}cos{(ω0－ω)ｔ}
＋{4(ω0－ω)(γ^－γ)sin{(ω0－ω)ｔ}}exp(－γｔ)
/[{(ω0－ω)2＋γ^2}{(ω0－ω)2＋(2γ－γ^)2}]
は,ρ22(ｔ)＝{|Ω|2γ^/(4γ)}/{(ω0－ω)2＋γ^2}
×{1－exp(－2γｔ)}.（2.168）に帰着します。
(※ 何故なら,(2γ－γ^)～(－γ^)より,
ρ22(ｔ)～{|Ω|2γ^/(4γ)}
×[{1－exp(－2γｔ)}＋exp(－γ^t){exp{i(ω0－ω)ｔ}
＋exp{－i(ω0－ω)ｔ}]/{(ω0－ω)2＋γ^2}ですが,
γ^ｔ＞＞1より,exp(－γ^t)～ 0で最後の振動項は無視
できます。)
ここで,Ｒ＝(|Ω|2γ^/2)/{(ω0－ω)2＋γ^2}(2.169)
と定義すれば,
レート方程式:ｄρ22/ｄｔ＝Ｒ－2γρ22 (2.170)の
解は,ρ22(ｔ)＝｛Ｒ/(2γ)}{1－exp(－2γｔ)}.(2.171）
となり,(2.168)に一致します。
これらの(2.168),(2.171)は基礎的レート方程式の解
Ｎ2＝(ＮＢＷ/Ａ){1－exp{－(Ａｔ)}.(2.166)と同一です。
γ^＞＞γの極限で光学Bloch方程式のと等価な(2.170)
のｄρ22/ｄｔ＝Ｒ－2γρ22,は,励起状態の占位数が,
励起速度Ｒと放射減衰速度Ａ＝2γとの競合によって
決まることを示しています。
Ｒ＝(|Ω|2γ^/2)/{(ω0－ω)2＋γ^2}により,励起速度
の入射周波数ωへの依存性は衝突によって広がった原子
遷移のLorentz型曲線形に従っています。
励起速度Ｒは§1.12のレーザー理論での準位３から
準位２へのポンピング速度と同様の意味を持ちます。
レート方程式が成り立つのは「(ⅰ)入射光のバンド幅
が原子遷移の線幅より広い。」か「(ⅱ)(衝突幅)＋
(Doppler幅)を組み合わせた線幅が.遷移放射による線幅
よりずっと広い。」かのいずれか.の場合です。
今回は,ここで第2章が終わるので,ここまでにします
参照過去ノートの本章終了の日付けは,2006年８/９(木)
で長年の糖尿病の放置が原因で年末に心臓疾患になり,4月
に手術を受け,再びプータローになり,かつ,障害者になる
ことなどは予想もしていない56歳半ばの頃です。
(参考文献)：Rodney Loudon 著
(小島忠宣・小島和子 共訳)
「光の量子論第２版」(内田老鶴舗)
最近のコメント