訃報!! 志村けんさん。(2割は決して小さくはない。)

昨日23時ころ,タレントの志村けんさんが新型コロナ肺炎のため亡くなられました。

1950年2月20日生まれですから70歳になったばかりでした。

私も1950年2月１日生まれですから,ほぼ同年代です。

これまで結婚歴が無いのも私との共通点です。

イヤ,私と比較ではモッタイナイ,説明の必要ないいい男でした。

しかし,最期がコレではカワイソウです。

ご冥福をお祈りします。合掌！！

同じ70年でも,私から見ると志村さんは充実した人生だっただろうと

思います。私のはタダの惰性ですから.まだまだこの世に未練が

あります。だから2014年２月に今晩がヤマだということありました

が意識があって「まだ死にたくない。」と念じててヤマを超えました。

ツマラナイ人生でも死ぬのはイヤだったのです。

生への執着心の差でしょうか。

でも今人工呼吸器が足りないないとしたら他の人にゆずりますよ。

ところで10人中2人しか感染しない。8割の患者をは感染力がないと

いわれてるのに,なぜこんなに広がっていくのか？とニュース番組

などで疑問を呈されてることあるようですが,2割は決して小さくは

ないです。金利2割の複利で借金すると,お金は指数関数的,ネズミ算的

増加なので,またたくまに借金は何培にも増えます。

話を戻して最初10人感染者がいて潜伏期が10日としても潜伏期中

でさえ2割は感染するという計算では10人全員がそれぞれ1日に1人

接触すれば翌日は10×1.2の12人,その次の日は12×1.2で14.4人,

3日目には17.3人に増えるという具合で.10日後の潜伏期が終わって

発症するころ,患者合計は62人になっている勘定です。

これは10万円を利子が日歩2割で借りると10日後には62万円

になる,という高利貸しの借金に相当します。

ところで,私の収入は年金がメインなので年金を減らされる

ことはあっても,このコロナ感染のせいで仕事できず生活費

に影響受けるのは最もすくない人種ですから特に今援助が

欲しいわけじゃないし,もらえないだろうから他人事なのですが

,お魚券やお肉券？現金？ま,何でもいいからバラまくならスグ

やってほしいね。手遅れになるよ。。

大震災のときも善意の募金がたくさんあっても,それを分配する優先順位

にこだわるあまり善意が届かないこと多々あったとききます。

　薬には副作用があり,何をやっても諸刃の剣でかならず裏があり,

例えば消費税を減らしても増やしてもおかねバラまいても心配は

ツキもので,そのτ対処を考えてるうち何もせず手遅れになるのが常です。

とにかく早くやれよ。このくにでは一家心中した後,倒産,破産した

後に金がとどくんだろうなあ。。　何の心配もないのんきな役人

や金に困ってないヤツらが貧乏人への分配方法を決めて

バラマク仕組みなんだろうから。。

日本の底力を見せてやろう

　日本人は,いつから自分のことだけ考える薄情なエゴイスト,

自国の利益ばかり追及する民族排外主義者に成り果てたたのだろう。

大震災や大災害のときに,海外から多くの暖かい支援を受けたのをもう忘れたのだろうか？

世界で30万人以上の感染者,1万人以上の死者が出ている未曾有の災害なのに,

何がオリンピックを開催できるかどうかだ？まずは日本だけのことじゃなく,

日本も含め世界の人々の命が第一です。ハヤリの言葉じゃ命ファーストです。

スポーツやイベントなど命あってのことです。。

とはいって地震,天災などのときのようにお金や物資の支援だけではないし

普通の庶民が簡単に援助できる状況じゃないですがね。。

それに一般人は病気を治そうというのは無理なハナシです

でも,こういうときこそノーベル賞で世界を驚かせたような日本の医療技術者

の科学力で底力を発揮するときじゃないでしょうか。

エラソウなこといっても他力本願ですが期待してます。

幸い,どういうわけか？国内は欧州米国に比べまだ余裕があるみたいですからね。

くりこみ理論要約(1)

「くりこみ理論(5)(次元正則化)」シリーズは2019年２月の(1)

から2019年７月の(5)をで,アップしたのち後,長い期間が経過

しました。

今回,久しぶりに,続きの(6)をアッたいと思いましたが

中断期間が半年以上と長いので,以前の履歴も薄れており,

その前に過去記事を整理するため,このシリーズ記事の

(1)～(5)を要約しておきます。

PS:Windows10にOS変更を余儀なくされ図など

のコピペアップも今のところうまくできません。

※今回は,まず,(1)の要約です。,

※（前書き）これまで「ゲージ場の量子論」の第６章

までを記事としてアップしました。

しかし,ここからは,第７章「くりこみ」の項目に

ついて,勉強した履歴の過去ノートから,回顧として

の記事を開始します。

このノートでの第7章の開始日は1997年３月20日

(47歳当時)となっています。

本文です。これまでは量子補正,すなわち,loopグラフ

の計算には踏み込まず,形式的に理論が整合的に存在する

ものとして,量子場の理論を相互作用項を摂動としてtree

グラフだけの計算で.議論を進めてきました。

しかし,具体的にloopグラフを計算すると,とたんに

紫外発散(ultraviolet-divergence)という問題が

生じます。つまり,loop運動量の大きいところでの積分

が発散するという困難に遭遇します。

この問題を処理するには,まず”無限大”というモノ

は直接扱うことができないので,正則化(regularization)

という手続きで,とにかくFeynmanグラフの積分が収束

して,理論がwell-defined(無矛盾)になるように工夫

します。その次には,諸量を物理的粒子の質量や結合定数

で書き直すという操作＝くりこみ(renormarization)を

行ない,くりこんだ後の量が,初めの正則化という手段を

はずした極限でも,有限かつ無矛盾な量に留まることを

証明します。

まず,正則化の手続きとしては,歴史的にはQEDに

おいて「Paulli-Vllrasの正則化」と呼ばれる,大きい

運動量の切断(cut-off)の手法が導入されました。

これは被積分関数中の伝播関数を次のように置換する

ものです。

すなわち,質量がｍのBose場(運動量はｋ)については,

伝播関数は,運動量表示では,i/(ｋ²－ｍ²＋iε)で与えら

れますが,これを,i/(ｋ²－ｍ²＋iε)－i/(ｋ²－Λ²＋iε)

＝i(ｍ²－Λ²)/{(ｋ²－ｍ²＋iε)(ｋ²－Λ²＋iε)}に

置き換えます。ただし,Λ²は十分大きい実数です。

これを行なうと伝播関数は,ｋ²＞＞Λ²では,1/ｋ⁴

のように挙動し,元の 挙動:～1/ｋ²よりも急激に

落ちるので,ｄ⁴ｋのloop積分を実行した結果の収束性

が良くなります。

この,質量がΛで,負計量の寄与をする仮想的粒子の

伝播関数の意味を持つモノのをregulatorと呼びます。

この引き算操作でも,収束性が足りないときは,さらに

regulatorを入れて,ｋ²→∞でもっと急激に落ちるように

します。BosonでなくFermionの粒子場の伝播関数に

ついても,切断質量Λの負軽量の関数を引いて,同様に

します。最後にΛ→∞の極限をとって正則化の痕跡

を消しても,理論が生き残ればこの手法は成功です。

これがPaulli-Vollers正則化ですがGuptaは,

これを改良して可換ゲージ理論の場合にも適用可能

にしました。

「Pauli-Viller-Gupta正則化」は,直観的で計算も

簡単でいいのですが,最大の難点は,一般の非可換ゲージ

理論でベクトル場に適用したとき,それがゲージ不変性

を壊すことにあります。

それでも最終的計算結果にゲージ不変の整合性が

有りさえすれば,計算途中で対称性が壊れていても

いいのですが,ここでは途中段階でもゲージ不変性の

保持が明確な,’tHooftとVolteraによって提案された

「次元正則化」という正則化を採用し説明することに

します。

次元正則化は,実際には４次元のこの時空の次元を

ｎと仮定し,解析接続によってｎを複素数に拡張して

計算します。この正則化の最大の利点はゲージ不変性

が次元に依らず成立するため,ゲージ不変性を壊さない

ことです。しかも,被積分関数における伝播関数の数

を増やさず,一般的な積分公式が得られるので,具体的

計算法としても有用なものです。

さて,一般にFeynmanグラフの任意のloop積分は,

通常の相互作用の場合,loopで頂点(vertex)と伝播関数

の数は同じで,それぞれ,－(±i)とiが因子なので

(±１)が掛かりさらにFermionループなら全体と

して(－１)が掛かり,結局Feynmanパラメータ公式

を適用すれば,全て,∫ｄⁿｋ(2π)^-n

[(ｋ_μ,ｋ_μｋ_ν,..)/(ｋ²－2ｋｐ－ｍ²＋iε)^α]

(α＞0)という形のモノに帰着させることができます。

そこで,まず,最も簡単な式である

Ｉ＝∫ｄⁿｋ(2π)^-n[１/ｋ²－ｍ²＋iε)^α]を評価する

ことから始めます。

まず,ガンマ関数の定義.

Γ(α)＝∫₀^∞exp(－ｔ)ｔ^α-1ｄｔ(Reα＞0)から,１つ

の積分表示:Γ(α)ｓ^－α

＝∫₀^∞exp(－ｓｔ)ｔ^α-1ｄｔ(0＜Reα＜1)が得られ,

これは,さらに変形して,ｓ^－α

＝{i^α/Γ(α)}∫₀^∞exp(－iｓｔ)ｔ^α-1ｄｔと

書き直せます。この表式はImｓ＜0,Reα＞0の領域で

妥当な式となります。

そこでｓ＝ｍ²－ｋ²－iεとおけば,Imｓ＝－ε＜0 の

条件が満たされるので,

Ｉ＝∫ｄⁿｋ(2π)^-n[１/(ｋ²－ｍ²＋iε)^α]

＝∫ｄⁿｋ(2π)^-n(－ｓ)^-α

＝{(－i)^α/Γ(α)}∫₀^∞ｄｔ

[ｔ^α-1∫ｄⁿｋ(2π)^-nexp{－i(ｍ²－ｋ²－iε)ｔ}]

なる表式を得ます。

経路積分の項で用いたGaiss-Fresnelの積分公式:

∫_－∞^∞ｄｘexp(－iａｘ²/2)＝{2π/(iａ)}^1/2から,

∫ｄｋ⁰exp(iｔｋ₀²)＝{π/(iｔ)}^{1/2 ＊}＝{π/(－iｔ)}^1/2

なので,∫ｄⁿｋ(2π)^-nexp(iｔｋ²)

＝(－1)^1/2ｔ^－n/2(4πi)^－n/2です。

故に,Ｉ＝{(－i)^α(－1)^1/2(4πi)^－n/2/Γ(α)}

×∫ｄｔ[ｔ^{(α－n/2－1)}exp{－i(ｍ²－iε)}より,

結局,Ｉ＝{(－i)^α＋1/2(4π)^－n/2Γ(α－ｎ/2)/Γ(α)}

×(ｍ²－iε)^{－(α－ｎ/2)}なる式を得ます。

ただし,収束にはRe(α－ｎ/2)＞0が必要です。

しかし,一旦この表式が得られれば,これはｎについて

の解析関数なので,任意の複素数次元ｎに拡張できる形

です。このとき元の運動量積分が発散していたという

事情が.この解析接続においては,次元ｎに関する極と

して表現されます。これが次元正則化の特徴です。

つまり,ガンマ関数:Γ(ｚ)はｚ＝0,－1,－2,..

に極を持ち,Γ(ｚ)＝Γ(ｚ＋1)/ｚを満たしますから,

γをEuler定数:γ～Γ0.5772..としてΓ(ε)

＝1/ε－γ＋Ｏ(ε)なる評価式が得られます。

例えば,Ｉ＝∫ｄⁿｋ(2π)^-n[１/ｋ²－ｍ²＋iε)^α]

が,α＝2のときｎ＝4の次元では対数発散するという

事情に対しては,

α＝2なのですが時空の次元は,ｎ＝4－2δ,

δ＝α－n/2＞0である,と仮定すれば,

Ｉ＝{(－i)^α＋1/2(4π)^－n/2Γ(α－ｎ/2)/Γ(α)}

×(ｍ²－iε)^{－(α－ｎ/2)}において,

Γ(α)＝Γ(2)＝1であり,Γ(α－ｎ/2)＝Γ(δ)

＝1/δ－γ＋Ｏ(δ)＝2/(4－ｎ) －γ＋Ｏ(4－ｎ)

ですから,Γ(α－ｎ/2)/Γ(α)＝2/(4－ｎ)－γ

＋Ｏ(4－ｎ)です。さらに,ｘ^ε＝exp(εlnｘ)

＝1＋εlnｘ＋Ｏ(ε²)より,(ｍ²－iε)^{－(α－ｎ/2)}

＝(ｍ²－iε)^－δ＝1＋{(4－ｎ)/2}ln(ｍ²－iε)＋Ｏ(δ²)

(4π)^－n/2＝(4π)^－2(4π)^－δ

＝(4π)^－2[1－{(4－ｎ)/2}ln(4π)＋Ｏ(δ²)}

と書けます。

それ故,これは

Ｉ＝(－i)^α＋1/2(4π)^－2{1/δ－γ＋Ｏ(δ)}

{1－δln(4π)＋Ｏ(δ²)}{1－δln(ｍ²－iε)＋Ｏ(δ²)

＝(－i)^α＋1/2(4π)^－2

×{1/δ－γ＋ln(4π)－ln(ｍ²－iε)＋Ｏ(δ)}

を意味します。

結局,時空の次元がｎで,α＝2の場合には,

Ｉ＝(－i)^α＋1/2(4π)^－2

{2/(4－ｎ)－γ＋ln(4π)－ln(ｍ²－ε)＋Ｏ(ｎ－4)}

なる評価式が得られました。

これは,Ｉ(ｎ,α)が,ｎ＝4＝2αに1/(4－ｎ)の型の

極を持つことを示していますが,γやln(4π)の定数は

常に.この極の部分に付随して現われるため,

ε~^-1＝2/(4－ｎ)－γ＋ln(4π)と定義として,右辺

全体を「無限大部分」とみなすのが便利です。

以上はα＝2を例として計算しただけの結果ですが,

くりこみ可能な積分式はゲージ対称性などを考慮する

と,結局,発散が高々対数発散である場合であることが

わかっているため,次元正則化で現われるおける無限大

は,全てこの形で出現します。

さて,Ｉ＝∫ｄⁿｋ(2π)^-n[１/(ｋ²－ｍ²＋iε)^α]

＝{(－i)^α＋1/2(4π)^－n/2Γ(α－ｎ/2)/Γ(α)}

×(ｍ²－iε)^{－(α－ｎ/2)}なる表式において,

積分変数ｋを(ｋ－ｐ)に置換し,かつ,ｍ²を

(ｐ²＋ｍ²)に変更すると,(ｋ²－ｍ²＋iε)が,

{(ｋ－ｐ)²－(ｐ²＋ｍ²)＋iε}

＝(ｋ²－2ｋｐ＋ｍ²＋iε)になります。

したがって,伝播関数分母の無限小虚部

iεを略して

∫ｄⁿｋ(2π)^-n[１/(ｋ²－2ｋｐ－ｍ²＋iε)^α]

＝{(－i)^α＋1/2(4π)^－n/2Γ(α－ｎ/2)/Γ(α)}

(ｐ²＋ｍ²)^{－(α－ｎ/2)}という,より一般的式が

得られます。

さらに,この両辺を,(∂/∂ｐ^μ)微分すること

により,∫ｄⁿｋ(2π)^-n[(ｋ_μ,ｋ_μｋ_ν,..)

/(ｋ²－2ｋｐ－ｍ²＋iε)^α]なる形の積分の公式

を全て得ることができます。

ここまでが(1)の内容の要約です。

※参考文献:

九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」(培風館)