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2020年5月30日 (土)

くりこみ理論(次元正則化)(10)

くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

このシリーズ記事で,うっかり紛失した

(9)を書き直したものが前より長くなり過ぎて

急遽,記事を分割し,改めて(9)をアップした後

の残りを,この(10)で記述します。

なので,余談抜きで本題の続きに入ります。

§7-4(ゲージ理論の乗法的くりこみ)において,,

ゲージ系の場合,BRS対称性が非線形であるため,

ゲージ対称性を保持したままの「くりこみ可能性」

は自明ではなく,これの肯定的回答(くりこみ可能

であることの証明)を与えるのが本節の目的です。

と書いたところで,前回記事は終わりました。

ここからは,今回のその続きです。

  • 7-4の中の(Ward-高橋恒等式)の項からです。

こでは,まず,第5章で論じた一般的なゲージ

理論の系を改めて考えること,から始めます。

系のLagrangean:は,GIGF+FP

与えられ,物質場をφiと記すと,ゲージに依らない

部分:GI=-(1/4)Fμνaμν

matter(φi,Dμφi).(2)で与えられる,とします。

ここで,Fμν=∂μν-∂νμ

-gfabcμν.(2)であり,Dμφi

=∂μφi+igAμ(T)ijφj.(3) です。

そして,ゲージ固定項(gauge fix)

+ファデエフ・ポポフ(Fadeev-Popov)項の部分

:GF+FPは,関数:F(A,φ,B)

=∂μμ+fiφi+(α/2)B

+w (fi,wは定数)(4)を一般的な線形

ゲージ固定関数として採用すれば,ゲージ固定

関数の定義からGF+FP=-iδ(c~)

なので,GF+FP=B(∂μμ+fiφi+w)

+(α/2)Ba

+ic~{∂μμ-igfi(T)ijφj}(5)

と書けます。

ここで,ゲージ場と物質場をまとめて記述した

方が便利な場合は,ΦI=(Aμl)という

記号を用いることにします。そして,このΦI

のBRS変換も,δμ=Dμと,

δφi=-igc(T)ijφjをまとめて,

δΦI=DI(6)と記すことにします。

さらに,∂μμ+fiφi=fIΦI.(7)

と略述する,つまり,ΦI(Aμl)(列ベクトル)

に対し,その係数をまとめて,fI=(∂μ,fi)

(行ベクトル)で表わします。

すると,(5)はGF+FP=B(fIΦI+w)

+(α/2)B+ic~II.(8)

と簡単になります。

ここで,第5章の§5-6(※本ブログでは過去記事

「ゲージ場の量子論(24)」)で記述したように,場

(Aμi,c)=(Φ,c)のBRS変換:

(DI,(g/2)(×))の外場:(K)項を加えた

作用積分S,つまり,

S[Φ~,K]=∫d4x[GIGF+FP

+KII+(g/2)K(×)](9)

ただし,Φ~=(Aμi,c,c~,B),

IIΦI=Kμμ

-Ki(ig)(T))ijφj.(10)を持つ系を

考え,その系の有効作用:Γ[Φ~,K]

=Γ[ΦI,c,c~,B,KI.K]

に対するWard-高橋恒等式(WT恒等式)

を導けば,汎関数微分を用いて,§5-6の(11)

と同じく.(δΓ/δΦI)(δΓ/δKI)

+(δΓ/δc)(δΓ/δK)

+i(δΓ/δc~)B=0.(11)を得ます。

ここでも,以下でも§5-6同様,式から∫d4

の積分記号を省略した記法を用いています。

さらに,NL場(中西-Lautrap)場:B

反ゴースト場:c~の運動方程式から従う,

  • 5-6の(12),(13)は.今の一般線形ゲージに

対するものとしてha,次の,

δΓ/δB=fIΦI+w+αB.(12),

および,fI(δΓ/δKI)+i(δΓ/δc~)

=0.(13)と読み変えた式になります。

次に(くりこみ可能性の主張)という項

に入ります。

作用:S[Φ~,K]=∫d4x[GI

GF+FP+KII

+(g/2)K(×)](9) や,(11)~(13)

における有効作用Γ[Φ~,K]の引数は,本当

は皆,裸の場:Φ~0=(Φ0I,c0,c~0,B0),

裸の外場:K0=(K0I.K0),裸の結合定数

(g0,f0I0)で元々,書かれている量であり,

故に(11)~(13)のWT恒等式に現われるΓ,Φ.

K,f,αは.本来は裸の量を示す添字0を付ける

べきものです。

ゲージ結合定数:g以外にも物質場間の湯川

結合定数や,λφ4の結合定数λ,それに物質場の

質量についても,もし存在すれば同様に裸の量と

して考慮します。

しかしながら,裸の量は,本来,発散量ですから,

裸の量を用いた議論が意味を持つためには,

何らかの正則化を実行しておく必要があり,しかも

裸の量に対し(11)のWT恒等式を導けるためには

この正則化は「ゲージ不変性を尊重するもの」で

ある必要があります、

ゲージ不変な正則化が存在するかどうか?は,

理論に依りますが,この節で考察する理論では

「ゲージ不変な正則化の方法が存在する。」

と仮定します。これは重要な仮定です。

話を明確にするため,ここでは次元正則化を

採用しておくことにします。

以前の節で述べたように.カイラルFermionの

ある場合,すなわち,γ5行列の現われる場合は,

次元正則化でもゲージ不変性を壊します。

しかし,そのような場合は,実際,他にもゲージ

不変な正則化は存在せず,後章で述べるように,

一般に,アノマリー(量子異常)が現われ.くりこみ

可能性が壊れることになります。

本節で証明したい最終的主張は裸の量で書いた

有効作用Γ0を次に定義するくりこまれた諸量で

書き直せば,有限な汎関数:Γ(くりこまれた有効

作用)になる。ということです。すなわち,

Γ[Φ~0,K0,g0,f00]=Γ[Φ~,K,g,f,α].

(14)が証明すべき式です。

くりこまれた場:Φ~=(Φ,c,c~,0)は,

裸の場:Φ~0=(Φ0I,c0,c~0,B0)とは,

それぞれ,A0μ=Z31/2μ.(15-1),

φ0i=Zi1/2i+vi.(15-2)

(c0,c~0)=Z~31/2(c,c~).(15-3)

の関係でつながっているとします。

物質場部分の定数viは,一般的線形ゲージ

GF+FP=-iδ(c~);F(A,φ,B)

=∂μμ+fiφi+(α/2)B+wで,

の右辺がfφi項を含むことに起因し

(対称性の自発的破れがない場合でも必要な)

場φiの定数シフトです。

NL場:Bや,外場:Kのくりこみは,

(11)~(13)の恒等式がくりこまれた量で

書いても同じ形になるように行ないます。

これは,まず,(12)の裸の式:

δΓ0/δB0=∂μ0μ+f0iφ0i+w

+α00.(16)に,Γ0=Γ,A0μ=Z31/2μ,

φ0i=Zi1/2i+vi)を代入し,くりこんだ量

で書いても同じ形になる(しかし,定数項:w

はゼロとなって消える)ように

0=Z3-1/2,f0i=Z31/2i-1/2i,

α0=Z3α,wa­=-Z31/2ii.(17)とします。

(※Bやゲージパラメータαの上記の関係式

は§5-6の議論で得た(63),(58)に一致して

います。

また,(4)のゲージ固定関数に定数項w

必要であった理由はφiの定数シフト:vi

(発散量)を相殺するためでした。

(※裸のLagrangianの場では大局的ゲージが

破れていて,くりこまれた場では破れていない

とすると,φ0i=Zi1/2i+vi)によって有効

作用では,0次で.Zi=1,場の真空期待値はφ~i

=0,で,くりこむ前は破れによるシフトvi

現われていると考えられます。

くりこまれた場ではfiが共変に変換する

量と見なせば大局的ゲージを破りません。)

次に,(13)の裸の式:

0I(δΓ0/δK0I)+i(δΓ0/δc~0)=0.

が,くりこまれた量で同じ形に留まるために,

0μ=Z~31/2μ,K0i=(Z~31/231/2/Zi1/2)Ki.

(18)とすべきこと,さらに,(11)の裸の式:

δΓ0/δΦ0I)(δΓ0/δK0I)

+(δΓ0/δc0)(δΓ0/δK0c)

+i(δΓ0/δc~0)B0=0.が同じ形

に留まるために,K0c=Z31/2c.(19)

とすべきことが従います。

最後に,結合定数:gは,g0=Z13-3/2g.

(20)でくりこむとします。

以上,(15),(17)~(20)の置き換えでくりこみ

を実施すれば,くりこみ因子:=(Z1,Z3,Z~3,Zi),

および,φi場のシフトviの値の選び方に依らず,

常に,裸の量と同じく(11)~(13)のWT恒等式

((12)ではw=0としたもの)がくりこまれた量

でも成立するという点に特に着目しておきます。

そして,くりこみ可能性の主張である(14)式:

Γ[Φ~0,K0,g0,f00]=Γ[Φ~,K,g,f,α].

は,やviを正しく選んだときに,くりこまれた

有効作用ΓがΦ~,K,g,f,αの有限な汎関数に

なる。ということです。

※上記記事の参考として注尺を列記します。

※(注10-1):一般線形ゲージの設定がfi

を含むので,totalのLagrabgian:が大局的

ゲージ不変性(global gauge symmetry)を

破っています。

つまり,裸のゲージ固定関数は,F0

=∂μ0μ+f0iφ0i+(α0/2)B0+w

=Z31/2{∂μμ+fii+vi)+αB

-fii}

=Z31/2{∂μμ+fiφi+αB}

と,くり込まれた量の定数培に書けます。

ゲージ固定の意味についてはGF+FP

分けて,GF=-i(δc~)=B

FP=ic~(δ)と書くとゲージ

条件は.Euler-Lagrabge方程式:∂/∂B

=∂GF/∂B=0 から,

+B(∂F/∂B)=0です。

今の線形固定関数(4)の場合は,裸では

μ0μ+αB0+f0iφ0i+w=0,

であり,くりこんだ量では,

μμ+αB+fiφi,=0です。

スカラー場:φiのゲージ変換(位相変換)

の無限小変換:φi → φi+θ(T)ijφj

で,微小パラメータ:θが時空座標xに依存

するなら局所ゲージ変換ですが,これがxに

無関係な定数なら,大局的ゲージ変換です。

そもそも,大局的変換は局所変換の特別な

場合ですからが(局所)ゲージ変換の下で

不変なら大局的ゲージ変換の下でも不変です。

大局的変換であれば,元々ゲージ場:Aμ

必要ないです。

実際,Aμのゲージ変換はBRS変換:δμ

=Dμのゴースト場:cが,ただのc-数の

パラメータ:θである場合ですから,だらに

大局的変換でθがGrassmann偶の普通の定数

なら,∂μθ=0より.Dμθ=(g/2)fabc

θθ=0で,やはりゲージ場:Aμは不変で

あっても無くてもいい存在です。

今.考察中の系ではLagrangian密度

GIGF+FP,で与えられ,

GI=-(1/4)Fμνaμν

matter(φi,Dμφi)および,.GF+FP

=B(∂μμ+fiφi+w)+(α/2)Ba

+ic~{∂μμ-igfi(T)ijφj

ですが.これはφiが,θが定数の次の位相変換

φi →φi+θ(T)ijφjを受けて,μが不変

の大局的ゲージ変換の下でも,不変であるはず

なのですが,実際には(fiφi+w)の項

が怪しいです。wは定数だから不変でいいとして

iφi項においては.fiが(φi)のようにφi

と逆位相に変換される量である,としないと,大局的

不変性が成立しません。fiが定数なら破れています。

よって,fiφiの項は余分で,これがあると既に

破れています。

この余分な項はくりこみのためにワザワザ付加した

もので,裸の0GF=B0(∂μ0μ+f0iφ0i+w)

+(α0/2)B0a0の段階では,眞空期待値がφ~0i≠0

であったのに,くりこむと,GF=B(∂μμ

iφi)+(α/2)Baとなって眞空期待値が

φ~i=0という合理的な値になるように付加した項

と考えられます。

この破れによって有効ポテンシャル:V[φ~i]

の最小値を与えていたφ~ii場の期待値)が

真空で,φ~0i=vi≠0から,φ~i=0へとシフト

を起こします。

より詳細には,裸のV0[φ~0i]は破れていた

のでV0の最小値を与える真空での場の期待値

はφ~0i=vi≠0であったのに,くりこんだ結果

のそれは,φ~i=0になったと解釈します。

つまり,V0 min=V0[φ~0i]=V0[Zi1/2(φ~i+vi)]

であり,最右辺をV[φ~i]と書けば,V0が最小値

をとる真空では,期待値がφ~i0=vi≠0であり,

くりこまれた量φ~では,場の真空期待値がゼロ

である,ということを示しています。

(注10-1終わり※)

※(注10-2):以下,過去記事;

「ゲージ場の量子論(24)」の第5章の§5-6

Ward-高橋恒等式の関連する部分を再掲載

しようと思います。

ただ,その前に,そもそも,元の素朴な

Ward-高橋恒等式とは,2点Green関数と

頂点関数の同等性を意味する式と,私が理解

している内容を述べておきます。すなわち,

単純な恒等式:S(p1)-1-S(p2)-1

=(1-m)-(2-m)

=(12)=-(p2-p1)μγμの成立は

自明ですが,この自由伝播関数:Sと自由頂点

γμに,相互作用の着物を着せて輻射補正をする

と,摂動論的には,自己エネルギーの発散があります

が,それをくりこんだ伝播関数と頂点関数を,それぞれ,

S~,Γ~μと書いて,先の単純な恒等式を拡張すると,

~(p1)-1-S~(p2)-

1=-(p2-p1)μΓ~μ(p2,p1) となります。

 または,Wardの恒等式:Γ~μ(p~,p)|p~=

=-(∂/∂pμ)S~(p)-1を得ます。

こうして,2点頂点関数は,伝播関数の逆数の差

という意味を持つことを示している,と考えています。

さて,ここからは「ゲージ場の量子論(24)」

の再掲載記事です。

(再掲開始:※)Ward-高橋恒等式について,

一般にゲージ不変性に限らず,ある対称性が存在

すると,種々のGreen関数,頂点関数等の間に種々

の関係式が成立します。このような関係式を一般

にWard-高橋恒等式,略してWT恒等式と呼びます。

ゲージ不変性に関わるGreen関数についてのWT

恒等式は,全てBRS演算子:Qを用いて,次のように

簡単に与えることができます。

すなわち,Ok(x)を任意の場(または,その多項式)

の演算子として,真空のBRS不変性: Q{0>=0

を用いると,

0=<0|{Q,T(Ok(x1),Ok(x2),..,Om(x))}|0>

=Σk=1n(-)Sk<0|T(Ok(x1),Ok(x2)

,..δ(xk),..Om(x)|0> なる恒等式を得ます。

ただし,S=Σi=1k-1|i|,(|i|はOの統計指数)

1粒子既約な(1PI)頂点関数,または,その生成汎関数

に対するWT恒等式を得るには,次のようにします。

まず,全ての場:ΦIとそのBRS変換;δΦ

対して外場を導入します。すなわち,作用積分:

S[J,K]=∫d4x[Jaμμ+Jiφi+J~

+J~c~+J+Kaμμ

-iKig(T)ijφj+(1/2)Kg(×)]

を考えます。

ここで,場は全てHeisenberg場であり,J~,

c~,KaμはGrassmann奇数,Jaμ,Ji,K

は普通の数(Grassman偶数)です。

物質場については,φがBosonなら,Ki

Grassmann奇数,Jiは普通の数で,φiがFermion

なら,逆です。

BRS変換された量:δΦIは既にBRS不変

なので,{iQ,Dμ}={iQ,cg(T)ijφj}

={iQ,(×)}=0 です。

そこで,0=<0|{iQ, TexpiS[J,K]|0>

=i∫d4x<0|T[Jaμμ

-(-)|i|ig(T)ijφj-(1/2)J~(×)

-iJc~]TexpiS[J,K]|0> が成立します。

(※|i|は(Jiの統計指数)=(φiの統計指数)です。)

摂動論の項目では,外場:Jを与えてGteem関数の

生成汎関数をZ[J]とし,Z[J]=exp(iW[J])に

よって得られる,連結Green関数の生成汎関数:

W[J,K],および,頂点関数に対する生成汎関数:

Γ[Φ,K]を考察しましたが,同様に,

exp(iW[J,K]=<0|TexpiS[J,K]|0>,

Γ[Φ,K]=W[J,K]-JI・ΦI,

ΦI(x)=(δ/δJI(x))W[J,K]

=<0|T{ΦI(x)expiS[J,K]}|0>

/<0|TexpiS[J,K]|0>,によって.

これらを定義します。

ただし,ここではJIは,(Jaμ,Ji,J~,

c~,)の全てを意味します。

一般的記号として,ΦI(x)

=<0|T{ΦI(x)expiS[J,K]}|0>

/<0|TexpiS[J,K]|0>で定義されるΓの

引数のΦは,c-数(期待値)であり,対応する

Heusenberg場:Φ=Aμi:,c~,B

同じ記号で表わしますが.混同しないよう注意

を要します。

上のΓ[Φ,K]=W[J,K]-JI・ΦIの右辺,

および,,以下においてドット(dot)・は,積分記号

∫d4xの省略とします。

そうすれば,恒等式:

0=<0|{iQ,TexpiS[J,K]|0>

=i∫d4x<0|T[Jaμμ

-(-)|i|ig(T)ijφj-(1/2)J~(×)

-iJ~]TexpiS[J,K]|0>は,

[Jaμ({δ/δKμ)+(-){i{l(δ/δKi)

-J~(δ/δK)-Jc~(δ/δJ)}W[J,K]

=0 と書き直せます。

Γ[Φ,K]=W[J,K]-JI・ΦI,のLegendre変換

から.従う,ΦI(x)=(δ/δJI(x))W[J,K]

=<0|T{ΦI(x)expiS[J,K]}|0>

/<0|TexpiS[J,K]|0>,に双対な関係式

(δ/δΦI(x))Γ[Φ,K]=-(-)|I|I(x),

および,(δ/δKI(x))ΓW[Φ,K]

=(δ/δKI(x))Γ[Φ,K]を用いると,先の

恒等式は次のように書き直されます。

すなわち,(δΓ/δAμ)(δΓ/δKμ)

+(δΓ/δφi)(δΓ/δKi)

-(δΓ/δc)(δΓ/δK)

+i(δΓ/δc~)B=0.(11)と書けます。

これが,(1PI)頂点関数の生成汎関数:Γに

対するWT恒等式です。ただし,Grassmann数に

よる微分は全て左微分です。

ΓのNL場:Bや反ゴースト場:c~への依存性

は特殊で運動方程式:∂μμ+αB=0,

μμ=Dμμc~=0より従う次の恒等式

を満たします。

 なわち.δΓ/δB=∂μμ+αB,(12)

および,/δKμ)+iδΓ/δc~=0.13)です。

(再掲載終了) (注10-2終了※)

 

今回はここで終わります。

(参考文献):九後汰一郎著「ゲ゙―ジ゙場の量子論Ⅱ」

(培風館)

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