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2020年5月23日 (土)

くりこみ理論要約(4)

過去記事の要約編の続きで,

「くりこみ理論(次元正則化)(4)」の

内容要約です。

※今回は「Bosonの自己エネルギー」の項目

からです。前回はFermionの自己エネルギー:

Σ(p)を考察しましたが,今度はBosonφの

自己エネルギーをΠ(p2)とすると2点関数は,

Fij(p2)=iδij{p2-μ2-Π(p2)}-1

=i[Γφ(2)(p2)]-1となります。

何故なら,前のFermionの場合の1粒子既約な

自己エネルギー部分:-iΣ(p)と同じくBosonのそれ

を-iΠ(p2)と書けば,iΔF’(p2)は.初項が

a=i(p2-μ2)-1,公比がr=(p2-μ2)-1Π(p2)の

無限等比級数となるため,和として,公式から,

F’(p2)=a/(1-r)=i{p2-μ2-Π(p2)}-1

が得られるからです。

これに効く1PIグラフは図7.4の(a),(b),

および,Lcountfreeの相殺項からの寄与です。

したがって,最低次のオーダーで.Π(1)(p2)

=Π(1-loop1)(p2)+Πcount(1)(p2)です。.

ただし,-iδijΠ(1-loop1)(p2)

=∫dnk(2π)-4(-)Tr[(―igτi)i(-m)-1

(-igτj)i{(k-)-m}-1]+∫dnk(2π)-4

(-iλ/8)4×3+8)δiji/(k2-μ2)-iΠcount(1)(p2)

=i{Z3(1)(2-μ2)+δμ2(1)}です。

※(注4-1):第2の積分は,項:λφ4/8のtadpole

の寄与です。

φ2=(φ12+φ22+φ32) より,φ4=φ14+φ24+φ34

+2φ12φ22+2φ22φ32+2φ32φ12となりますが,

アイソスピンの保存により,このtadpoleに入って出て

行く2本の内線i,jではi=jでなければなりません。

仮にi=j=1なら寄与するのはφ14, 2φ12φ22,

32φ12のみです。

φ14については統計因子(対称性因子)は42=4×3です。

残る2つについては因子は2ですから合計因子は8です。

(注4-1終わり※)

そして,Tr(τiτj)=2δij,

Tr[(+m){()+m}]=4k(k-p)+4m2 

より,表式:-iδijΠ(1-loop)(2)

=∫dnk(2π)-4(-)Tr[(―igτi)i(-m)-1

(-igτj)i{(k-)-m}-1]+∫dnk(2π)-4

(-iλ/8)4×3+8)δii/(k2-μ2)において,第1項

=∫01dx∫dnk(2π)-4(-)2・4g2δij

[{k(k-p)+m2}/{k2-2x(pk)-x22+m2)}2]

=(-i)2・4g2δij(4π)-n/2

01dx[{Γ(2-n/2)|(x2-x)p2+m2}

/{m2-x(1-x)p2}(2-n/2)-Γ(1-n/2)(1/2)gμμ}

/{m2-x(1-x)p2}(1-n/2)]

=(-i)2・4g2δij(4π)-n/201dx

[{Γ(2-n/2)-Γ(1-n/2)(n/2)}

/{m2-x(1-x)p2}(1-n/2)]です。

そして,発散部分は,Γ(2-n/2)=Γ(ε)

=1/ε-γ+O(ε),Γ(1-n/2)=Γ(ε-1)

=Γ(ε)/(ε-1)=-Γ(ε){1-ε+O(ε2)}

=-1/ε-γ-1+O(ε)と評価されます。.

ただし,ε=(4-n)/2です。

故に,Γ(2-n/2)-Γ(1-n/2)(n/2)

=3(1/ε-γ)+1+O(ε)であり,

他方,{1/m2-x(1-x)p2}(1-n/2)

={m2-x(1-x)p2}-(ε-1)

={m2-x(1-x)p2}{m2-x(1-x)p2}-ε

={m2-x(1-x)p21}[1-εln{m2-x(1-x)p2}]

01{m2-x(1-x)p21}dx=m2-p2/6 です。

与式={(-i)2・4g2/(16π2)}[(3ε~-1+1)(m2-p2/6)

-3∫01dx{m2-x(1-x)p21}ln{m2-x(1-x)p2}],

であり,また,∫dnk(2π)-n(k2-μ2)-1

=-i(4π)-n/2Γ(1-n/2)μ-(1-n/2)

=-i(4π)-n/2(-ε-1+γ-1)(1-εlnμ22

={-iμ2/(16π2)}(-ε~-1-1+lnμ2) です。

ただし,先述のようにε~-1は発散部分であり,

ε~-1=ε-1-γ+ln(4π)と定義されています。

それ故,-iΠ(1-loop)(p2)={(-i)2・4g2/(16π2)}

×[(3ε~-1+1)(m2-p2/6)-3∫01dx

{m2-x(1-x)p21}ln{m2-x(1-x)p2}]

+{-5λ/(32π2)}μ2(-ε~-1-1+lnμ2)

を得ます。

ここでも,次元正則化の代わりにPaulli-Villers

正則化を用いるとどうなるか?を見ておきます。

この場合,図7-4(a)の寄与をg(m2)と書くとき,

これに1回引き算をして,g(m2)-g(Λ2)としたものは,

まだ有限にはなりません。

そこで,さらに引き算して,{g(m2)-g(Λ2)}

-{g(Λ2+m2)-g(2Λ2)}とします。

同様に,図7-4(b)の寄与:f(μ2)に対しても,

{f(μ2)-f(Λ2)}-{f(Λ2+μ2)-f(2Λ2)}

とします。次元正則化の上の式の結果:

-iΠ(1-loop)(p2)={(-i)2・4g2/(16π2)}

×[(3ε~-1+1)(m2-p2/6)-3∫01dx

{m2-x(1-x)p21}ln{m2-x(1-x)p2}]

+{-5λ/(32π2)}μ2(-ε~-1-1+lnμ2)

において,この引き算操作を行えば,

消える項を除いて,Π(1-loop)(p2)

={3g2/(2π2)}[{-(2ln2)Λ2+m2(lnΛ2+1)

-(p2/6)(lnΛ2-ln2)}-∫01dx

{m2-x(1-x)p21}ln{m2-x(1-x)p2}]

+{5λ/(32π2)}(2ln2)Λ2-μ2(lnΛ2+1-lnμ2)}.

を得ます。(※↑詳細なチェックは省略します。)

この形には明らかに,Λ2に比例するΛの2次発散

の項と(m22,p2)×lnΛ2に比例する対数発散

の項があることがわかります。

この場合,これは自己エネルギー部分の式の再掲

(ただし,n=4):-iδijΠ(1-loop)(p2)

=∫d4k(2π)-4(-)Tr[(―igτi)i(-m)-1

(-igτj)i{(k-)-m}-1]

+∫d4k(2π)-4(-iλ/8)4×3+8)δiji/(k2-μ2)

において,被積分関数がkの(-2)次で,積分が∫d4

の4次であること,および, (m22,2)の次元2を

持った量で展開すると,発散の次数が2ずつ下がること

から理解できます。

いずれにしても, Π(1-loop)(p2)は,外線運動量:

2の関数として,p2の0次と1次の項しか含まず,

それ故,丁度,相殺項:-iΠcount(1)(p2)

=i{Z3(1)(p2-μ2)+δμ2(1)}で相殺できる形です。

特に,δμ2(1)=Π(1-loop)(p2=μ2)

=Λ2{5λ/(16π2)-3g22}ln2

+[{3g2/(2π2)}(m2-μ2/6)-5λμ2/(32π2)]

×ε~-1 or lnΛ2)+(有限定数),

3(1)=[∂Π(-loop1)/∂p2]2=μ2={g2/(4π2)}

×(ε~-1 or lnΛ2)+(有限定数).とおけば,

Π(1-loop1)+Πcount(1)は有限で,(p2-μ2)の2次以上

の項は無くなり,伝播関数は,p2=μ2の近傍では,

Fij(p2)=iδij/(p2-μ2)の形になり,μが物理的

質量である,という要請が確かに満たされることに

なります。

※ここまでが(4)の内容要約です。

(参考文献):九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(培風館)

 

 

 

くりこみ理論要約(4)

※過去記事の要約編の続きで,

「くりこみ理論(次元正則化)(4)」の

内容要約です。

※今回は「Bosonの自己エネルギー」の項目

からです。前回はFermionの自己エネルギー:

Σ(p)を考察しましたが,今度はBosonφの

自己エネルギーをΠ(p2)とすると2点関数は,

Fij(p2)=iδij{p2-μ2-Π(p2)}-1

=i[Γφ(2)(p2)]-1となります。

何故なら,前のFermionの場合の1粒子既約な

自己エネルギー部分:-iΣ(p)と同じくBosonのそれ

を-iΠ(p2)と書けば,iΔF’(p2)は.初項が

a=i(p2-μ2)-1,公比がr=(p2-μ2)-1Π(p2)の

無限等比級数となるため,和として,公式から,

F’(p2)=a/(1-r)=i{p2-μ2-Π(p2)}-1

が得られるからです。

これに効く1PIグラフは図7.4の(a),(b),

および,Lcountfreeの相殺項からの寄与です。

したがって,最低次のオーダーで.Π(1)(p2)

=Π(1-loop1)(p2)+Πcount(1)(p2)です。.

ただし,-iδijΠ(1-loop1)(p2)

=∫dnk(2π)-4(-)Tr[(―igτi)i(-m)-1

(-igτj)i{(k-)-m}-1]+∫dnk(2π)-4

(-iλ/8)4×3+8)δiji/(k2-μ2)-iΠcount(1)(p2)

=i{Z3(1)(2-μ2)+δμ2(1)}です。

※(注4-1):第2の積分は,項:λφ4/8のtadpole

の寄与です。

φ2=(φ12+φ22+φ32) より,φ4=φ14+φ24+φ34

+2φ12φ22+2φ22φ32+2φ32φ12となりますが,

アイソスピンの保存により,このtadpoleに入って出て

行く2本の内線i,jではi=jでなければなりません。

仮にi=j=1なら寄与するのはφ14, 2φ12φ22,

32φ12のみです。

φ14については統計因子(対称性因子)は42=4×3です。

残る2つについては因子は2ですから合計因子は8です。

(注4-1終わり※)

そして,Tr(τiτj)=2δij,

Tr[(+m){()+m}]=4k(k-p)+4m2 

より,表式:-iδijΠ(1-loop)(2)

=∫dnk(2π)-4(-)Tr[(―igτi)i(-m)-1

(-igτj)i{(k-)-m}-1]+∫dnk(2π)-4

(-iλ/8)4×3+8)δii/(k2-μ2)において,第1項

=∫01dx∫dnk(2π)-4(-)2・4g2δij

[{k(k-p)+m2}/{k2-2x(pk)-x22+m2)}2]

=(-i)2・4g2δij(4π)-n/2

01dx[{Γ(2-n/2)|(x2-x)p2+m2}

/{m2-x(1-x)p2}(2-n/2)-Γ(1-n/2)(1/2)gμμ}

/{m2-x(1-x)p2}(1-n/2)]

=(-i)2・4g2δij(4π)-n/201dx

[{Γ(2-n/2)-Γ(1-n/2)(n/2)}

/{m2-x(1-x)p2}(1-n/2)]です。

そして,発散部分は,Γ(2-n/2)=Γ(ε)

=1/ε-γ+O(ε),Γ(1-n/2)=Γ(ε-1)

=Γ(ε)/(ε-1)=-Γ(ε){1-ε+O(ε2)}

=-1/ε-γ-1+O(ε)と評価されます。.

ただし,ε=(4-n)/2です。

故に,Γ(2-n/2)-Γ(1-n/2)(n/2)

=3(1/ε-γ)+1+O(ε)であり,

他方,{1/m2-x(1-x)p2}(1-n/2)

={m2-x(1-x)p2}-(ε-1)

={m2-x(1-x)p2}{m2-x(1-x)p2}-ε

={m2-x(1-x)p21}[1-εln{m2-x(1-x)p2}]

01{m2-x(1-x)p21}dx=m2-p2/6 です。

与式={(-i)2・4g2/(16π2)}[(3ε~-1+1)(m2-p2/6)

-3∫01dx{m2-x(1-x)p21}ln{m2-x(1-x)p2}],

であり,また,∫dnk(2π)-n(k2-μ2)-1

=-i(4π)-n/2Γ(1-n/2)μ-(1-n/2)

=-i(4π)-n/2(-ε-1+γ-1)(1-εlnμ22

={-iμ2/(16π2)}(-ε~-1-1+lnμ2) です。

ただし,先述のようにε~-1は発散部分であり,

ε~-1=ε-1-γ+ln(4π)と定義されています。

それ故,-iΠ(1-loop)(p2)={(-i)2・4g2/(16π2)}

×[(3ε~-1+1)(m2-p2/6)-3∫01dx

{m2-x(1-x)p21}ln{m2-x(1-x)p2}]

+{-5λ/(32π2)}μ2(-ε~-1-1+lnμ2)

を得ます。

ここでも,次元正則化の代わりにPaulli^Villers

正則化を用いるとどうなるか?を見ておきます。

この場合,図7^4(a)の寄与をg(m2)と書くとき,

これに1回引き算をして,g(m2)-g(Λ2)としたものは,

まだ有限にはなりません。

そこで,さらに引き算して,{g(m2)-g(Λ2)}

-{g(Λ2+m2)-g(2Λ2)}とします。

同様に,図7^4(b)の寄与:f(μ2)に対しても,

{f(μ2)-f(Λ2)}-{f(Λ2+μ2)-f(2Λ2)}

とします。次元正則化の上の式の結果:

-iΠ(1-loop)(p2)={(-i)2・4g2/(16π2)}

×[(3ε~-1+1)(m2-p2/6)-3∫01dx

{m2-x(1-x)p21}ln{m2-x(1-x)p2}]

+{-5λ/(32π2)}μ2(-ε~-1-1+lnμ2)

において,この引き算操作を行えば,

消える項を除いて,Π(1-loop)(p2)

={3g2/(2π2)}[{-(2ln2)Λ2+m2(lnΛ2+1)

-(p2/6)(lnΛ2-ln2)}-∫01dx

{m2-x(1-x)p21}ln{m2-x(1-x)p2}]

+{5λ/(32π2)}(2ln2)Λ2-μ2(lnΛ2+1-lnμ2)}.

を得ます。(※↑詳細なチェックは省略します。)

この形には明らかに,Λ2に比例するΛの2次発散

の項と(m22,p2)×lnΛ2に比例する対数発散

の項があることがわかります。

この場合,これは自己エネルギー部分の式の再掲

(ただし,n=4):-iδijΠ(1-loop)(p2)

=∫d4k(2π)-4(-)Tr[(―igτi)i(-m)-1

(-igτj)i{(k-)-m}-1]

+∫d4k(2π)-4(-iλ/8)4×3+8)δiji/(k2-μ2)

において,被積分関数がkの(-2)次で,積分が∫d4

の4次であること,および, (m22,2)の次元2を

持った量で展開すると,発散の次数が2ずつ下がること

から理解できます。

いずれにしても, Π(1-loop)(p2)は,外線運動量:

2の関数として,p2の0次と1次の項しか含まず,

それ故,丁度,相殺項:-iΠcount(1)(p2)

=i{Z3(1)(p2-μ2)+δμ2(1)}で相殺できる形です。

特に,δμ2(1)=Π(1-loop)(p2=μ2)

=Λ2{5λ/(16π2)-3g22}ln2

+[{3g2/(2π2)}(m2-μ2/6)-5λμ2/(32π2)]

×ε~-1 or lnΛ2)+(有限定数),

3(1)=[∂Π(-loop1)/∂p2]2=μ2={g2/(4π2)}

×(ε~-1 or lnΛ2)+(有限定数).とおけば,

Π(1-loop1)+Πcount(1)は有限で,(p2-μ2)の2次以上

の項は無くなり,伝播関数は,p2=μ2の近傍では,

Fij(p2)=iδij/(p2-μ2)の形になり,μが物理的

質量である,という要請が確かに満たされることに

なります。

※ここまでが(4)の内容要約です。

(参考文献):九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(培風館)

 

 

 

 

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