くり込み理論(次元正則化)(13)

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

前回は,大局的ゲージ不変という対称性を

持った系の作用積分Ｓと,その有効作用Γを

裸の場を変数として構成した裸のＳ₀とΓ₀

において変数の裸の場を,くりこんだ場と

くりこみ定数Ｚ,ｖ_iで表わしたものに置換

する,という操作によって,くりこんだ有効

作用Γが有限になる,という手法で理論が

ゲージ不変性を保持したままの正則化に

よって,くりこみ可能となることの証明を

志向しました。

以下,これまでの手順の要約を記述します。

まず,上記の証明ため,Γ₀の変数の裸の量に,

くりこんだ量による表式を代入して,計算

すべきΓを,Γ＝Γ⁽⁰⁾＋ｈ_cΓ⁽¹)＋ｈ_c²Γ⁽²)

＋...＋ｈ_c^ｎΓ^(ｎ)＋ｈ_c^(ｎ＋1)Γ^(ｎ＋1)＋...と

摂動展開します。

初項のΓ⁽⁰⁾はΓ⁽⁰⁾＝Ｓにより明らかに有限

なので,以下のΓ⁽¹⁾,Γ⁽²⁾,..,Γ^(ｎ)が全て有限

にできた,という仮定の下で次のΓ^(ｎ＋1)も有限

になることを示す,という帰納法に頼って証明

する手法を取りました。　

Ｓ,Γには有限な寄与が自明なＮＬ場:Ｂ^ａと

反ゴーストｃ~^ａを含む項があり.これらを除き

Ｓ~.Γ~とすると,満たされるべき基本的なＷＴ

恒等式はΓ~＊Γ~＝0という式で与えられる

ことがわかりました。

ＳとＳ~.ΓとΓ~は,今の証明では本質的に

同じなので同一視してもよく Γ~の代わりに

Γの展開式:Γ＝Γ⁽⁰⁾＋ｈ_cΓ⁽¹)＋ｈ_c²Γ⁽²⁾＋..

＋ｈ_c^ｎΓ^(ｎ)＋ｈ_c^(ｎ＋1)Γ^(ｎ＋1)＋..をΓ~＊Γ~

＝0に代入して,Γ^(ｎ＋１)の発散部分:Γ_div^(ｎ＋1)

を取り出すと,くりこみ方程式:Ｓ~＊Γ_div^(ｎ＋1)

＝0に帰着することが導かれました。

そして,このくりこみ方程式に対しては,

次の命題が成立することが証明できます。

※[命題]:「大局が的ゲージ不変でＦＰ

ゴースト数がゼロ,次元が4以下の局所項から

成る,Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａの汎関数:Ｘが

くりこみ方程式:Ｓ~＊­Ｘ＝0.を満たすとする。

このときＸは,裸の作用積分:

Ｓ₀＝Ｓ[Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,..,Ｚ~₃^1/2Ｋ^ａ_μ；

Ｚ₁Ｚ₃^-3/2ｇ_,..]で,Ｚやｖ_iをずらせて得られる

変化分ΔＳ＝δＺ(Δ_ｚＳ)＋δｖi(Δ_ｖiＳ)

＝δＺ[∂Ｓ/∂Ｚ] _Z=1Vi=0＋δｖi[∂Ｓ/∂ｖ_i]_Z=1Vi=0

の形で与えられる。」

仮に,この命題が証明されたとすると,Ｘが

Ｓ~＊Γ_div(^ｎ＋1)＝0を満たすΓ_div(^ｎ＋1)である場合,

この発散が適切な相殺項で吸収され,有効作用Γ

がｈ_c^(ｎ＋1)のオーダーのΓ^(n＋1)まで有限となり,

帰納法によるくりこみ可能性の証明が完結する

ことになります。

実際の[命題の証明]においては,結局,

くりこみ可能性の証明はＳ~＊Ｘ＝0の一般解

Ｘが,Ｘ＝δＺ(Δ_ｚＳ)＋δｖi(Δ_ｖiＳ)の形で

与えられる,という純粋に代数的な命題の証明

に帰着することがわかりました。

そうして,くりこみ方程式:Ｓ~＊Ｘ＝0の解

　　Ｘに関して.次の定理が成立することが

知られています。

※[定理] 「Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａのＦＰゴースト数

がゼロの局所多項式から成る汎関数Ｘで,くりこみ

方程式Ｓ~＊­Ｘ＝0.を満たすものは,必ず,

Ｘ＝Ｆ_{ゲージ不変}[ΦI＋Ｓ~＊Ｍ[Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａ]

の形に書ける。

ここで,Ｆ_{ゲージ不変}はΦ_I＝(Ａ^ａ_μ,φ_i)のみで

書かれたゲージ不変な関数で,ＭはＦＰゴースト

数が(－1)の任意の汎関数である。」

この形で書かれる汎関数Ｘがくりこみ方程式:

Ｓ~＊Ｘ＝0を満たすこと(解の十分条件)の証明

は,Ｓ~のＢＲＳ不変性,Ｓ~＊Ｓ~＝0,および,

Jacobi恒等式から従う,演算:(Ｓ~＊)のベキ零性:

つまり,∀Ｘに対しＳ~＊(Ｓ~＊Ｘ)

＝－((1/2)Ｘ＊(Ｓ~＊Ｓ^)＝0.から,容易に

証明できました。 

しかし,証明が自明でない,のは,逆の解と

なるための必要性の方です。

この定理は大変有用なものですが,一般的証明

　　は,かなり面倒なので,この必要性の詳細証明は,

既存の文献に譲って,ここでの記述は割愛します。

と書いて,前回までの記事は終わりました。

さて,ここからは,今回のその続きです。

ＸがＳ~＊Ｘ＝0の解となるための必要要性の

一般的証明は,かなり面倒なので割愛する,と述べ

ましたが,今,必要なのはＸが,次元4以下の局所

項から成る大局的ゲージ不変な場合で,この場合

に限れば,次のようにして,解の必要性も容易に

証明できます。以下は,この証明手順です。

※[必要性の証明]:話を明確にするために物質場

φ_iとしては,ゲージ群:Ｇのある既約表現に属する

スカラー場のみが存在する系の場合を考えます。

(※もっとも,可約表現の場合や,スピノル場が存在

する場合でも本質的には同じように証明可能です。)

系のゲージ不変なLagrangian密度Ｌ_ＧＩが,

Ｌ_ＧＩ(Φ_I)＝－（1/4）Ｆ^ａ_μνＦ^ａμν

＋(Ｄ_μφi)^＋Ｄ^μφ_i－μ^２φ_i^＋φ_i－(λ/2)(φ_i^＋φ_i)².

(46)で与えられる場合を考察します。

このとき,外場を付加した作用積分:Ｓ~は,Ｓ~

＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ_ＧＩ(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)]

(47)という形に書くことができます。

,ただし,δ_ＢΦ_I＝Ｄ_I^ａｃ^ａ,δ_Ｂｃ^ａ＝(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａ

です。一方,問題のＸは,次元が4以下の局所項から成る

ＦＰゴースト数:Ｎ_ＦＰが0の大局的ゲージ不変な汎関数

である,と仮定されています。

ところで,外場Ｋ:~_Iは,Ｎ_ＦＰ＝－1で次元は２,

外場:Ｋ_ｃ^aは,Ｎ_ＦＰ＝－2で次元は２です。

(※何故なら,dim(Ｌ)＝4ですが,dim­(ｃ^ａ)＝1,

dim(ｇ)＝0なので,dim(δ_ＢΦ_I)＝dim(Ｄ_Iｃ^ａ)

＝2であり,dim(δ_Ｂｃ^ａ)＝dim{(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａ}

＝2でぁるからです。

また,一般線形ゲージ中の係数ｆ^ａ_IはＮ_ＦＰ＝0

　　で次元が1の量であることから,ＢＲＳ変換:δ_Ｂ

に似たＧ群に属する変換の演算子δ~_Ｂを導入して

Ｓ~と同様,Ｘが次のように書けるとします。

つまり,Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ~(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ~_ＢΦ_I)

＋Ｋ_ｃ^ａ(δ~_Ｂｃ^ａ)],(48)とします。

未知の演算子δ~_Ｂは,δ~_ＢΦ_Iが,δ~_ＢＡ^ａ_μ

＝∂_μｃ^ａ－β_Ａｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ

－γ_ｄｇｄ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ,(49-1),および,δ~_Ｂφ_i

＝－β_φ(iｇ)ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

－γ_φ(iｇ)ｃ^ａ(ｄ^ａｂ)_ijｆ^ｂ_j(49－2)

の組で与えられ,ゴースト項の変換がδ~_Ｂｃ^ａ

＝β_ｃ(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａ＝β_ｃ(ｇ/2)ｆ_ａｂｃｃ^ｂｃ^c.

(49-3)と書ける一般形で与えられる,とします。

一見,δ~_Ｂφ_iには,δ^ａiｃ^ａのような項が

あってもよいように見えますが,系がφ_i→ －φ_i,

ｆ^a_i→ －ｆ^a_iなる変換の下での不変性を持つので,

こうした項の存在は許されません。

(※つまりδ~_Ｂ(－φ_i)＝－δ_Ｂ~φ_iが成り立つ必要

があるので,δ^ａｉｃ^ａのような項は存在不可能です。)

ここで,Ｌ~(Φ_I)は,Φ_I＝(Ａ^ａ_μ,φi)のみの次元

が4以下の関数,γ_Ａ,γ_d,γ_φ,β_Ａ,β_φ,β_ｃは任意の

係数,ｄ_ａｂｃはＴr(Ｔ^ａＴ^ｂＴ^ｃ)に比例する対称不変

テンソル,(ｄ^ａｂ)_ijは,φ_iの表現行列:(Ｔ^ａ)_ijや

ｄ_ａｂｃなどのゲージ群Ｇの不変テンソルで構成

される(存在すれば)添字が(^ａｂ_ij)の不変テンソル

です。

そしてＸがくりこみ方程式：Ｓ~＊Ｘ＝0を

満たすべき,という要請は,先に(49)で場に対する

変換性を具体的に示したＢＲＳ変換に類似した

変換::δ~_Ｂを,(δＸ/δＫ~_I)(δ/δΦ_I)

＋(δＸ/δＫ_ｃ^ａ)(δ/δｃ^ａ)

＝(δ~_ＢΦ_I)(δ/δΦ_I)＋(δ~_Ｂｃ^ａ)(δ/δｃ^ａ)

＝δ~_Ｂ.(50)を満たす演算子と見れば,

ＸとＳ~がδ_ＢＸ＋δ~_ＢＳ~＝0,なる式を

満たすべき,ことを意味するとわかります。

※(注13-1):何故なら「くりこみ理論11)」での

任意のＦ,Ｇに対するＦ＊Ｇの定義:(31):

Ｆ＊Ｇ＝(δＦ/δΦ_I)(δＧ/δＫ~_I)

＋(δＦ/δｃ^ａ)(δＧ/δＫ_ｃ^ａ)

＋(－)^|Ｆ|{(δＦ/δＫ~_I)(δＧ/δΦ_I)

＋(δＦ/δＫ_ｃ^ａ)(δＧ/δｃ^ａ)}により,

Ｓ~＊Ｘ＝,(δＳ~/δΦ_I)(δＸ/δＫ~_I)

＋(δＳ~/δｃ^ａ)(δＸ/δＫ_c^ａ)

＋(－)^|Ｓ~|{(δＳ~/δＫ~_I)(δＸ/δΦ_I)

＋(δＳ/δＫ_ｃ^ａ)(δＸ/δｃ^ａ)}です。

ところが,Ｘはゴースト数:Ｎ_ＦＰがゼロ

なので,Grassman偶であり,Ｓ~もそうです。

さらに,Φ_IもGrassmann偶です。

しかし,ｃ^ａはGrassman奇で外場Ｋ~_Iも

Ｎ_ＦＰ＝－1なのでGrassman奇です。

最後に外場Ｋ_ｃ^ａは,Ｎ_ＦＰ＝－2で,Grassman

　　偶です。そして,Grassman数の微分は,右微分

か左微分かの違いがあるため,どちらかに統一

する必要がありますが,偶を奇で微分したり,

奇を偶で微分すると奇で,それ以外の量間で

の微分は偶です。そして奇と奇が反可換で

ある以外は,全て可換です。

それ故,(δＳ~/δφ_I)(δＸ/δＫ~_I)

＋(δＳ~/δｃ^ａ)(δＸ/δＫ_ｃ^ａ)

＝(δＸ/Ｋ~_I)(δＳ~/δＫ~_I)

＋(δＸ/δＫ_ｃ^ａ)(δＳ~/δＫ^ｃａ)

＝(δ~_ＢΦ_I)(δＳ~/δΦ^I)

＋(δ~_Ｂｃ^ａ)(δＳ~/δｃ^ａ)＝δ~_ＢＳ~

が,Grassman数に対する式として

成立します。

また,(－)^|Ｓ~|{(δＳ~/δＫ~_I)(δＸ/δΦ_I)

＋(δＳ~/δＫ_ｃ^ａ)(δＸ/δｃ^ａ)}

＝(δ_ＢΦ_I)(δＸ/δΦ_I)＋(δ_Ｂｃ^ａ)(δＸ/δｃ^ａ)

＝δ_ＢＸ　となりまず。

以上から,Ｓ＊Ｘ＝δ~_ＢＳ~＋δ_ＢＸであり,

Ｓ＊Ｘ＝0は,δ~_ＢＳ~＋δ_ＢＸ＝0と同値

であることがわかりました。

(注13-1終わり※)

このδ_ＢＸ＋δ~_ＢＳ~＝0に,Ｓ~の表式:

Ｓ~＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ_ＧＩ(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)

＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)],(47),および，Ｘの表式:

Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ~(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ~_ＢΦ_I)

＋Ｋ_ｃ^ａ(δ~_Ｂｃ^ａ)],(48)を代入すれば,

次の方程式を得ます。

すなわち,δ_ＢＬ~(Φ_I)－Ｋ~_Iδ_Ｂ(δ~_ＢΦ_I)

＋Ｋ_c^aδ_Ｂ(δ~_Ｂｃ^ａ)＋δ~_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)

－Ｋ~_Iδ~_Ｂ(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_c^aδ~_Ｂ(δ_Ｂｃ^ａ)

＝0.(51)です。

この方程式は,任意のＫ~_I,Ｋ_c^aについて

成立しなければならない恒等式なので,

δ_ＢＬ~(Φ_I)＋δ~_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)＝0,(52)

δ_Ｂδ~_Ｂ＋δ~_Ｂδ_Ｂ＝{δ_Ｂ,δ~_Ｂ}_＋＝0.(53)

なる２つの独立な等式が従います。

(53)は,ＢＲＳ変換δ_Ｂと(47)で定義された

ＢＲＳの類似変換δ~_Ｂが反可換であるという

要請ですが,これはｃ^ａの上では(49-3)の

δ~_Ｂｃ^ａ＝β_ｃ(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａと.δ_Ｂｃ^ａ

＝(g/2)(ｃ×ｃ)^ａから,δ~_Ｂ＝β_ｃδ_Ｂとなり,

δ_Ｂδ~_Ｂ＝δ~_Ｂδ_Ｂ＝β_cδ_Ｂ²＝0となるため,

自動的に満足されます。

しかし,Ａ^ａ_μの上では,δ~_ＢＡ^ａ_μ＝∂_μｃ^ａ

－β_Ａｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ－γ_ｄｇｄ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ,

(49-1)であり,δ_ＢＡ^ａ_μ＝Ｄ_μｃ^ａ＝∂_μｃ^ａ

－ｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃなので,

δ_Ｂδ~_ＢＡ^ａ_μ＝δ_Ｂ(∂_μｃ^ａ－β_Ａｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ

－γ_ｄｇｄ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ)

＝(ｇ/2)∂_μ(ｃ×ｃ)^ａ－β_Ａｆ_ａｂｃ{(Ｄ_μｃ^ｂ)ｃ^ｃ

＋(ｇ/2)Ａ^ｂ_μ(ｃ×ｃ)^ｃ}－γ_ｄｇｄ_ａｂｃ{Ｄ_μｃ^ｂ}ｃ^ｃ

＋(ｇ/2)Ａ^ｂ_μ(ｃ×ｃ)^ｃ}であり,

一方では,δ~_Ｂδ_ＢＡ^ａ_μ＝δ~_Ｂ(Ｄ_μｃ^ａ)

＝β_c(ｇ/2)Ｄ_μ(ｃ×ｃ)^ａですから,反可換で

要求される,δ_Ｂδ~_ＢＡ^ａ_μ＋δ~_Ｂδ_ＢＡ^ａ_μ＝0.

を満たすには,β_Ａ＝β_c,0,かつ,γ_ｄ＝0.(54)

が必要十分です。

さらに,スカラー場:φ_lの上で成立するため

には,β_φ＝β_ｃ(55)の条件の他,不変テンソル:

(ｄ^ａｂ)_ijが,(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jk＝(Ｔ^ｂ)_ij(ｄ^ａｄ)_jk

＝ｆ_ａｂｃ(ｄ^ｃｄ)_jk.(56)を満たすことが必要

となります。

※(注13-2):何故なら,(49-2)から,

δ~_Ｂφ_i＝－β_φ(iｇ)ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

－γ_φ(iｇ)ｃ^ａ(ｄ^ａｂ)_ijｆ^ｂ_j　であり,

一方,δ_Ｂφ_i＝－(iｇ)ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_jです。

そして,δ_Ｂ,δ~_Ｂは,ゴースト場:ｃとは

反可換である,と考えられるので,

δ_Ｂ(ｃ^ａφ_i)＝(δ_Ｂｃ^ａ)φ_ｊ－ｃ^ａδ_Ｂφ_j,

δ~_Ｂ(ｃ^ａφ_i)＝(δ~_Ｂｃ^ａ)φ_ｊ－ｃ^ａδ~_Ｂφ_j

です。それ故,δ_Ｂδ~_Ｂφ_l

＝－β_φ(iｇ)(δ_Ｂｃ^ａ)(Ｔ^ａ)_ijφ_j

＋β_φ(iｇ)ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ij(δ_Ｂφ_j)

－γ_φ(iｇ)(δ_Ｂｃ^ａ)(ｄ^ａｂ)_ijｆ^ｂ_j

＝(－iｇ²/2)β_φ(ｃ×ｃ)^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

－(iｇ)²β_φｃ^ａｃ^ｂ(Ｔ^ａ)_ij(Ｔ^ｂ)_jkφ_k

－(iｇ²/2)γ_φ(ｃ×ｃ)^ａ(ｄ^ａｂ)_ijｆ^ｂ_j

他方,δ~_Ｂδ_Ｂφ_i

＝δ~_Ｂ|(－iｇ)ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j}

＝－iｇ{(δ~_Ｂｃ^ａ)(Ｔ^ａ)_ijφ_j－ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ij

×(δ~_Ｂφ_j)

＝－(iｇ²/2)β_c(ｃ×ｃ)^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

－(iｇ)²β_φｃ^ａｃ^ｂ(Ｔ^ａ)_ij(Ｔ^ｂ)_jkφ_k

－γ_φ(iｇ)²ｃ^ａｃ^ｂ(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jkｆ^ｄ_k)

ですから,δ~_Ｂδ_Ｂφ_i＋δ_Ｂδ~_Ｂφ_i＝0

となるには,ｃがＦＰゴーストで,スピンゼロ

なのにFermionという,奇妙な反交換する場

で,ｃ^ｂｃ^ａ＝－ｃ^ａｃ^ｂであることを考慮

すると,δ~_Ｂδ_Ｂφ_i＋δ_Ｂδ~_Ｂφ_i

＝(－iｇ²/2)(β_c＋β_φ)(ｃ×ｃ)^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

－β_φ(iｇ)²ｃ^ａｃ^ｂ[Ｔ^ａ.Ｔ^ｂ]_ijφ_j

－(iｇ²/2)γ_φ(ｃ×ｃ)^ａ(ｄ^ａｂ)_ijｆ^ｂ_j

－(iｇ)²γ_φｃ^ａｃ^ｂ((Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jkｆ^ｄ_k

と書けます。

ところが.[Ｔ^ａ,Ｔ^ｂ]＝iｆ_ａｂｃＴ^cであり,

定義により,(ｃ×ｃ)^ａ＝ｆ_ａｂｃｃ^ｂｃ^ｃなので,

ｃ^ａｃ^ｂ[Ｔ^ａ，Ｔ^ｂ]_ijφ_j

＝iｆ_ａｂｃｃ^ａｃ^ｂ(Ｔ^ｃ)_ijφ_j

＝i(ｃ×ｃ)^ａ(Ｔ^a)_ijφ_jです。

故に,β_ｃ＝β_φであれば,右辺の第１項と

第２項は相殺して消えます。

第３項については,

γ_φ(－iｇ²/2]ｆ_ａｂｃｃ^ｂｃ^ｃ(ｄ^ａｄ)_ikｆ^ｄ_j

－γ_φ(iｇ)²ｃ^ａｃ^ｂ(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｃｄ)_jkｆ^ｄ_k}

＝－(γ_φｇ²)[(i/2)ｆ_ａｂｃ(ｄ^ｃｄ)_ik

－(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jk](ｃ^ａｃ^ｂｆ^ｄ_k)＝0

であればいいのですが,(ｃ^ａｃ^ｂｆ^ｄ_k)

がｆ_ａｂｃと同じくａ,ｂの交換について

反対称なのでこれらは独立でなく恒等式

の未定係数法を使うため,１つの独立な組

(ａ,ｂ)の係数を取ってゼロとして,

{(i/2)ｆ_ａｂｃ(ｄ^ｃｄ)_ik－(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jk]

－{(i/2)ｆ_ｂａｃ(ｄ^ｃｄ)_ik－(Ｔ^ｂ)_ij(ｄ^ａｄ)_jk]

＝0　が得られます。

結局,(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jk －(Ｔ^ｂ)_ij(ｄ^ａｄ)_jk

＝,iｆ_ａｂｃ(ｄ^ｃｄ)_jkとなるべきであること

がわかりました。

しかし,この結論は,

(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jk＝(Ｔ^ｂ)_ij(ｄ^ａｄ)_jk

＝ｆ_ａｂｃ(ｄ^ｃｄ)_jk.(56)を,満たす必要がある,

とされていた,参考文献の内容と違います。(？)

(注13-2終わり※)

いずれにしろ,(ｄ^ａｂ)_ijは,さらに分解されて

(ｄ^ａｂ)_ik＝(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂ)_jk.(57)のようにできる

ことが示唆されています。(※ここで,同じ記号

ｄを使いましたが(57)両辺のｄは別定義です。)

こうして,得られた(56),(57)および,β_φ＝β_ｃ

＝β_Ａ,かつγ_ｄ＝0が,δ_Ｂとδ~_Ｂが反可換で

あることから得られたδ~_Ｂの表現係数に関する

全情報です。

次に,δ_ＢＬ~(Φ_I)＋δ~_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)＝0,(52)を

　　解いて.Ｌ~(Φ_I)の形を決める必要があります。

まず,(49)で具体的に与えたδ~_Ｂの変換は,元

のＢＲＳ変換:δ_Ｂに係数;β_Ａ＝β_ｃ＝β_φで比例

する部分を抜き出して.その他との和に分割すると,

δ~_Ｂ＝β_Ａδ_Ｂ＋(γ_Ａ－β_Ａ)(∂_μｃ^ａ)(δ/δＡ^ａ_μ)

－γ_φ{iｇｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂ)_jkｆ^ｂ_ｋ}(δ/δφ_i)

(58)となります。

そして,これの右辺第2項,第３項の微分演算

　　は(∂_μｃ^ａ)(δ/δＡ^ａ_μ)

＝[(Ｄ_μｃ^ａ)(δ/δＡ^ａ_μ),Ａ^ｄ_ν(δ/δＡ^ｄ_ν)]

＝[δ_Ｂ,Ａ^ｓ_μ(δ/δＡ^ａ_μ)].(59-1)

{iｇｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂ)_jkｆ^ｂ_ｋ}(δ/δφ_i)

＝[iｇｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j(δ/δφ_i).

(ｄ^ｂ)_jkｆ^ｂ_k(δ/δφ_i)]

＝[δ_Ｂ,(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j(δ/δφ_i)].(59-2)

のように,ＢＲＳ変換:δ_Ｂと何らかの交換関係

の形に書けます。

それ故,δ~_Ｂ＝β_Ａδ_Ｂ

　　＋[δ_Ｂ,(γ_Ａ－β_Ａ)Ａ^ｓ_μ(δ/δＡ^ａ_μ)

－γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j(δ/δφ_i)]　となります。

したがって,δ_ＢＬ~(Φ_I)＋δ~_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)

＝0は,δ_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)＝0なので,δ_ＢＬ~(Φ_I)

＝δ_Ｂ{(β_Ａ－γ_Ａ)Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)

＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j}(∂Ｌ_ＧＩ/∂φ_i)}.(60)

を意味します。

それ故,明らかに。右辺の括弧:{ }の中は(52)

を満たすＬ~(Φ_I)を与える１つの特殊解です。

(52)に対するＬ~(Φ_I)の一般解を得るには,

斉次(同次)方程式δ_ＢＬ~(Φ_I)＝0の一般解を得る

必要がありますが.δ_Ｂが,Φ_I＝(Ａ^ａ_μ,φi)の上

ではゲージ変換に過ぎないので,同次方程式の

一般解はゲージ不変な一般関数です。

結局,δ_ＢＬ~(Φ_I)＋δ~_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)＝0(52)を

満たすＬ~(Φ_I)の一般解は,Ｌ~(Φ_I)

＝ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)＋β_Ａ－γ_Ａ)Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)

＋γ_φ(ｄ^ａ)_jkｆ^ａ_ｋ}(∂Ｌ_ＧＩ/∂φ_i).(61)

で与えられる,ことがわかります。

ところで,Ｌ~(Φ_I)には次元が4以下である,

という条件があったのでｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)の一般形

は,ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)＝α_Ａ{(－1/4)Ｆ^ａ_μνＦ^ａμν}

＋α_φ{(Ｄ_μφ_i)^＋Ｄ^μφi}－α_ｍ(μ²φ_i^＋φ_i)

－α_λ{(λ/2)(φ_i^＋φ_i)²}.(62)で与えられます。

結局,くりこみ方程式:Ｓ~＊Ｘ＝0の解Ｘは,

­Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ~(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ~_ＢΦ_I)

＋Ｋ_ｃ^ａ(δ~_Ｂｃ^ａ)](48)である,としていたので,

Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)

＋β_Ａ{Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃａ(δ_Ｂｃ^ａ)}

＋(β_Ａ－γ_Ａ){Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)

－Ｋ~^ａ_μ(∂_μｃ^ａ)}

＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j{∂(Ｌ_ＧＩ＋Ｋ~_iδ_Ｂφ_i)/∂φ_j}].

(63)　と書けることがわかりました。

途中ですが長くなったので,今回はここで

終わります。

(参考文献):九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(培風館)

くりこみ理論(次元正則化)(13)

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

前回は,大局的ゲージ不変という対称性を

持った系の作用積分Ｓと,その有効作用Γを

裸の場を変数として構成した裸のＳ₀とΓ₀

において変数の裸の場を,くりこんだ場と

くりこみ定数Ｚ,ｖ_iで表わしたものに置換

する,という操作によって,くりこんだ有効

作用Γが有限になる,という手法で理論が

ゲージ不変性を保持したままの正則化に

よって,くりこみ可能となることの証明を

志向しました。

以下,これまでの手順の要約を記述します。

まず,上記の証明ため,Γ₀の変数の裸の量に,

くりこんだ量による表式を代入して,計算

すべきΓを,Γ＝Γ⁽⁰⁾＋ｈ_cΓ⁽¹)＋ｈ_c²Γ⁽²)

＋...＋ｈ_c^ｎΓ^(ｎ)＋ｈ_c^(ｎ＋1)Γ^(ｎ＋1)＋...と

摂動展開します。

初項のΓ⁽⁰⁾はΓ⁽⁰⁾＝Ｓにより明らかに有限

なので,以下のΓ⁽¹⁾,Γ⁽²⁾,..,Γ^(ｎ)が全て有限

にできた,という仮定の下で次のΓ^(ｎ＋1)も有限

になることを示す,という帰納法に頼って証明

する手法を取りました。　

Ｓ,Γには有限な寄与が自明なＮＬ場:Ｂ^ａと

反ゴーストｃ~^ａを含む項があり.これらを除き

Ｓ~.Γ~とすると,満たされるべき基本的なＷＴ

恒等式はΓ~＊Γ~＝0という式で与えられる

ことがわかりました。

ＳとＳ~.ΓとΓ~は,今の証明では本質的に

同じなので同一視してもよく Γ~の代わりに

Γの展開式:Γ＝Γ⁽⁰⁾＋ｈ_cΓ⁽¹)＋ｈ_c²Γ⁽²⁾＋..

＋ｈ_c^ｎΓ^(ｎ)＋ｈ_c^(ｎ＋1)Γ^(ｎ＋1)＋..をΓ~＊Γ~

＝0に代入して,Γ^(ｎ＋１)の発散部分:Γ_div^(ｎ＊1)

を取り出すと,くりこみ方程式:Ｓ~＊Γ_div^(ｎ＊1)

＝0に帰着することが導かれました。

そして,このくりこみ方程式に対しては,

次の命題が成立することが証明できます。

※[命題]:「大局が的ゲージ不変でＦＰ

ゴースト数がゼロ,次元が4以下の局所項から

成る,Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａの汎関数:Ｘが

くりこみ方程式:Ｓ~＊­Ｘ＝0.を満たすとする。

このときＸは,裸の作用積分:

Ｓ₀＝Ｓ[Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,..,Ｚ~₃^1/2Ｋ^ａ_μ；

Ｚ₁Ｚ₃^-3/2ｇ_,..]で,Ｚやｖ_iをずらせて得られる

変化分ΔＳ＝δＺ(Δ_ｚＳ)＋δｖi(Δ_ｖiＳ)

＝δＺ[∂Ｓ/∂Ｚ] _Z=1Vi=0＋δｖi[∂Ｓ/∂ｖ_i]_Z=1Vi=0

の形で与えられる。」

仮に,この命題が証明されたとすると,Ｘが

Ｓ~＊Γ_div(^ｎ＋1)＝0を満たすΓ_div(^ｎ＋1)である場合,

この発散が適切な相殺項で吸収され,有効作用Γ

がｈ_c^(ｎ＋1)のオーダーのΓ^(n＋1)まで有限となり,

帰納法によるくりこみ可能性の証明が完結する

ことになります。

実際の[命題の証明]においては,結局,

くりこみ可能性の証明はＳ~＊Ｘ＝0の一般解

Ｘが,Ｘ＝δＺ(Δ_ｚＳ)＋δｖi(Δ_ｖiＳ)の形で

与えられる,という純粋に代数的な命題の証明

に帰着することがわかりました。

そうして,くりこみ方程式:Ｓ~＊Ｘ＝0の解

　　Ｘに関して.次の定理が成立することが

知られています。

※[定理] 「Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａのＦＰゴースト数

がゼロの局所多項式から成る汎関数Ｘで,くりこみ

方程式Ｓ~＊­Ｘ＝0.を満たすものは,必ず,

Ｘ＝Ｆ_{ゲージ不変}[ΦI＋Ｓ~＊Ｍ[Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａ]

の形に書ける。

ここで,Ｆ_{ゲージ不変}はΦ_I＝(Ａ^ａ_μ,φ_i)のみで

書かれたゲージ不変な関数で,ＭはＦＰゴースト

数が(－1)の任意の汎関数である。」

この形で書かれる汎関数Ｘがくりこみ方程式:

Ｓ~＊Ｘ＝0を満たすこと(解の十分条件)の証明

は,Ｓ~のＢＲＳ不変性,Ｓ~＊Ｓ~＝0,および,

Jacobi恒等式から従う,演算:(Ｓ~＊)のベキ零性:

つまり,∀Ｘに対しＳ~＊(Ｓ~＊Ｘ)

＝－((1/2)Ｘ＊(Ｓ~＊Ｓ^)＝0.から,容易に

証明できました。 

しかし,証明が自明でない,のは,逆の解と

なるための必要性の方です。

この定理は大変有用なものですが,一般的証明

　　は,かなり面倒なので,この必要性の詳細証明は,

既存の文献に譲って,ここでの記述は割愛します。

と書いて,前回までの記事は終わりました。

さて,ここからは,今回のその続きです。

ＸがＳ~＊Ｘ＝0の解となるための必要要性の

一般的証明は,かなり面倒なので割愛する,と述べ

ましたが,今,必要なのはＸが,次元4以下の局所

項から成る大局的ゲージ不変な場合で,この場合

に限れば,次のようにして,解の必要性も容易に

証明できます。以下は,この証明手順です。

※[必要性の証明]:話を明確にするために物質場

φ_iとしては,ゲージ群:Ｇのある既約表現に属する

スカラー場のみが存在する系の場合を考えます。

(※もっとも,可約表現の場合や,スピノル場が存在

する場合でも本質的には同じように証明可能です。)

系のゲージ不変なLagrangian密度Ｌ_ＧＩが,

Ｌ_ＧＩ(Φ_I)＝－（1/4）Ｆ^ａ_μνＦ^ａμν

＋(Ｄ_μφi)^＋Ｄ^μφ_i－μ^２φ_i^＋φ_i－(λ/2)(φ_i^＋φ_i)².

(46)で与えられる場合を考察します。

このとき,外場を付加した作用積分:Ｓ~は,Ｓ~

＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ_ＧＩ(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)]

(47)という形に書くことができます。

,ただし,δ_ＢΦ_I＝Ｄ_I^ａｃ^ａ,δ_Ｂｃ^ａ＝(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａ

です。一方,問題のＸは,次元が4以下の局所項から成る

ＦＰゴースト数:Ｎ_ＦＰが0の大局的ゲージ不変な汎関数

である,と仮定されています。

ところで,外場Ｋ:~_Iは,Ｎ_ＦＰ＝－1で次元は２,

外場:Ｋ_ｃ^aは,Ｎ_ＦＰ＝－2で次元は２です。

(※何故なら,dim(Ｌ)＝4ですが,dim­(ｃ^ａ)＝1,

dim(ｇ)＝0なので,dim(δ_ＢΦ_I)＝dim(Ｄ_Iｃ^ａ)

＝2であり,dim(δ_Ｂｃ^ａ)＝dim{(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａ}

＝2でぁるからです。

また,一般線形ゲージ中の係数ｆ^ａ_IはＮ_ＦＰ＝0

　　で次元が1の量であることから,ＢＲＳ変換:δ_Ｂ

に似たＧ群に属する変換の演算子δ~_Ｂを導入して

Ｓ~と同様,Ｘが次のように書けるとします。

つまり,Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ~(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ~_ＢΦ_I)

＋Ｋ_ｃ^ａ(δ~_Ｂｃ^ａ)],(48)とします。

未知の演算子δ~_Ｂは,δ~_ＢΦ_Iが,δ~_ＢＡ^ａ_μ

＝∂_μｃ^ａ－β_Ａｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ

－γ_ｄｇｄ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ,(49-1),および,δ~_Ｂφ_i

＝－β_φ(iｇ)ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

－γ_φ(iｇ)ｃ^ａ(ｄ^ａｂ)_ijｆ^ｂ_j(49－2)

の組で与えられ,ゴースト項の変換がδ~_Ｂｃ^ａ

＝β_ｃ(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａ＝β_ｃ(ｇ/2)ｆ_ａｂｃｃ^ｂｃ^c.

(49-3)と書ける一般形で与えられる,とします。

一見,δ~_Ｂφ_iには,δ^ａiｃ^ａのような項が

あってもよいように見えますが,系がφ_i→ －φ_i,

ｆ^a_i→ －ｆ^a_iなる変換の下での不変性を持つので,

こうした項の存在は許されません。

(※つまりδ~_Ｂ(－φ_i)＝－δ_Ｂ~φ_iが成り立つ必要

があるので,δ^ａｉｃ^ａのような項は存在不可能です。)

ここで,Ｌ~(Φ_I)は,Φ_I＝(Ａ^ａ_μ,φi)のみの次元

が4以下の関数,γ_Ａ,γ_d,γ_φ,β_Ａ,β_φ,β_ｃは任意の

係数,ｄ_ａｂｃはＴr(Ｔ^ａＴ^ｂＴ^ｃ)に比例する対称不変

テンソル,(ｄ^ａｂ)_ijは,φ_iの表現行列:(Ｔ^ａ)_ijや

ｄ_ａｂｃなどのゲージ群Ｇの不変テンソルで構成

される(存在すれば)添字が(^ａｂ_ij)の不変テンソル

です。

そしてＸがくりこみ方程式：Ｓ~＊Ｘ＝0を

満たすべき,という要請は,先に(49)で場に対する

変換性を具体的に示したＢＲＳ変換に類似した

変換::δ~_Ｂを,(δＸ/δＫ~_I)(δ/δΦ_I)

＋(δＸ/δＫ_ｃ^ａ)(δ/δｃ^ａ)

＝(δ~_ＢΦ_I)(δ/δΦ_I)＋(δ~_Ｂｃ^ａ)(δ/δｃ^ａ)

＝δ~_Ｂ.(50)を満たす演算子と見れば,

ＸとＳ~がδ_ＢＸ＋δ~_ＢＳ~＝0,なる式を

満たすべき,ことを意味するとわかります。

※(注13-1):何故なら「くりこみ理論11)」での

任意のＦ,Ｇに対するＦ＊Ｇの定義:(31):

Ｆ＊Ｇ＝(δＦ/δΦ_I)(δＧ/δＫ~_I)

＋(δＦ/δｃ^ａ)(δＧ/δＫ_ｃ^ａ)

＋(－)^|Ｆ|{(δＦ/δＫ~_I)(δＧ/δΦ_I)

＋(δＦ/δＫ_ｃ^ａ)(δＧ/δｃ^ａ)}により,

Ｓ~＊Ｘ＝,(δＳ~/δΦ_I)(δＸ/δＫ~_I)

＋(δＳ~/δｃ^ａ)(δＸ/δＫ_c^ａ)

＋(－)^|Ｓ~|{(δＳ~/δＫ~_I)(δＸ/δΦ_I)

＋(δＳ/δＫ_ｃ^ａ)(δＸ/δｃ^ａ)}です。

ところが,Ｘはゴースト数:Ｎ_ＦＰがゼロ

なので,Grassman偶であり,Ｓ~もそうです。

さらに,Φ_IもGrassmann偶です。

しかし,ｃ^ａはGrassman奇で外場Ｋ~_Iも

Ｎ_ＦＰ＝－1なのでGrassman奇です。

最後に外場Ｋ_ｃ^ａは,Ｎ_ＦＰ＝－2で,Grassman

　　偶です。そして,Grassman数の微分は,右微分

か左微分かの違いがあるため,どちらかに統一

する必要がありますが,偶を奇で微分したり,

奇を偶で微分すると奇で,それ以外の量間で

の微分は偶です。そして奇と奇が反可換で

ある以外は,全て可換です。

それ故,(δＳ~/δφ_I)(δＸ/δＫ~_I)

＋(δＳ~/δｃ^ａ)(δＸ/δＫ_ｃ^ａ)

＝(δＸ/Ｋ~_I)(δＳ~/δＫ~_I)

＋(δＸ/δＫ_ｃ^ａ)(δＳ~/δＫ^ｃａ)

＝(δ~_ＢΦ_I)(δＳ~/δΦ^I)

＋(δ~_Ｂｃ^ａ)(δＳ~/δｃ^ａ)＝δ~_ＢＳ~

が,Grassman数に対する式として

成立します。

また,(－)^|Ｓ~|{(δＳ~/δＫ~_I)(δＸ/δΦ_I)

＋(δＳ~/δＫ_ｃ^ａ)(δＸ/δｃ^ａ)}

＝(δ_ＢΦ_I)(δＸ/δΦ_I)＋(δ_Ｂｃ^ａ)(δＸ/δｃ^ａ)

＝δ_ＢＸ　となりまず。

以上から,Ｓ＊Ｘ＝δ~_ＢＳ~＋δ_ＢＸであり,

Ｓ＊Ｘ＝0は,δ~_ＢＳ~＋δ_ＢＸ＝0と同値

であることがわかりました。

(注13-1終わり※)

このδ_ＢＸ＋δ~_ＢＳ~＝0に,Ｓ~の表式:

Ｓ~＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ_ＧＩ(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)

＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)],(47),および，Ｘの表式:

Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ~(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ~_ＢΦ_I)

＋Ｋ_ｃ^ａ(δ~_Ｂｃ^ａ)],(48)を代入すれば,

次の方程式を得ます。

すなわち,δ_ＢＬ~(Φ_I)－Ｋ~_Iδ_Ｂ(δ~_ＢΦ_I)

＋Ｋ_c^aδ_Ｂ(δ~_Ｂｃ^ａ)＋δ~_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)

－Ｋ~_Iδ~_Ｂ(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_c^aδ~_Ｂ(δ_Ｂｃ^ａ)

＝0.(51)です。

この方程式は,任意のＫ~_I,Ｋ_c^aについて

成立しなければならない恒等式なので,

δ_ＢＬ~(Φ_I)＋δ~_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)＝0,(52)

δ_Ｂδ~_Ｂ＋δ~_Ｂδ_Ｂ＝{δ_Ｂ,δ~_Ｂ}_＋＝0.(53)

なる２つの独立な等式が従います。

(53)は,ＢＲＳ変換δ_Ｂと(47)で定義された

ＢＲＳの類似変換δ~_Ｂが反可換であるという

要請ですが,これはｃ^ａの上では(49-3)の

δ~_Ｂｃ^ａ＝β_ｃ(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａと.δ_Ｂｃ^ａ

＝(g/2)(ｃ×ｃ)^ａから,δ~_Ｂ＝β_ｃδ_Ｂとなり,

δ_Ｂδ~_Ｂ＝δ~_Ｂδ_Ｂ＝β_cδ_Ｂ²＝0となるため,

自動的に満足されます。

しかし,Ａ^ａ_μの上では,δ~_ＢＡ^ａ_μ＝∂_μｃ^ａ

－β_Ａｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ－γ_ｄｇｄ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ,

(49-1)であり,δ_ＢＡ^ａ_μ＝Ｄ_μｃ^ａ＝∂_μｃ^ａ

－ｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃなので,

δ_Ｂδ~_ＢＡ^ａ_μ＝δ_Ｂ(∂_μｃ^ａ－β_Ａｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ

－γ_ｄｇｄ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ)

＝(ｇ/2)∂_μ(ｃ×ｃ)^ａ－β_Ａｆ_ａｂｃ{(Ｄ_μｃ^ｂ)ｃ^ｃ

＋(ｇ/2)Ａ^ｂ_μ(ｃ×ｃ)^ｃ}－γ_ｄｇｄ_ａｂｃ{Ｄ_μｃ^ｂ}ｃ^ｃ

＋(ｇ/2)Ａ^ｂ_μ(ｃ×ｃ)^ｃ}であり,

一方では,δ~_Ｂδ_ＢＡ^ａ_μ＝δ~_Ｂ(Ｄ_μｃ^ａ)

＝β_c(ｇ/2)Ｄ_μ(ｃ×ｃ)^ａですから,反可換で

要求される,δ_Ｂδ~_ＢＡ^ａ_μ＋δ~_Ｂδ_ＢＡ^ａ_μ＝0.

を満たすには,β_Ａ＝β_c,0,かつ,γ_ｄ＝0.(54)

が必要十分です。

さらに,スカラー場:φ_lの上で成立するため

には,β_φ＝β_ｃ(55)の条件の他,不変テンソル:

(ｄ^ａｂ)_ijが,(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jk＝(Ｔ^ｂ)_ij(ｄ^ａｄ)_jk

＝ｆ_ａｂｃ(ｄ^ｃｄ)_jk.(56)を満たすことが必要

となります。

※(注13-2):何故なら,(49-2)から,

δ~_Ｂφ_i＝－β_φ(iｇ)ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

－γ_φ(iｇ)ｃ^ａ(ｄ^ａｂ)_ijｆ^ｂ_j　であり,

一方,δ_Ｂφ_i＝－(iｇ)ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_jです。

そして,δ_Ｂ,δ~_Ｂは,ゴースト場:ｃとは

反可換である,と考えられるので,

δ_Ｂ(ｃ^ａφ_i)＝(δ_Ｂｃ^ａ)φ_ｊ－ｃ^ａδ_Ｂφ_j,

δ~_Ｂ(ｃ^ａφ_i)＝(δ~_Ｂｃ^ａ)φ_ｊ－ｃ^ａδ~_Ｂφ_j

です。それ故,δ_Ｂδ~_Ｂφ_l

＝－β_φ(iｇ)(δ_Ｂｃ^ａ)(Ｔ^ａ)_ijφ_j

＋β_φ(iｇ)ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ij(δ_Ｂφ_j)

－γ_φ(iｇ)(δ_Ｂｃ^ａ)(ｄ^ａｂ)_ijｆ^ｂ_j

＝(－iｇ²/2)β_φ(ｃ×ｃ)^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

－(iｇ)²β_φｃ^ａｃ^ｂ(Ｔ^ａ)_ij(Ｔ^ｂ)_jkφ_k

－(iｇ²/2)γ_φ(ｃ×ｃ)^ａ(ｄ^ａｂ)_ijｆ^ｂ_j

他方,δ~_Ｂδ_Ｂφ_i

＝δ~_Ｂ|(－iｇ)ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j}

＝－iｇ{(δ~_Ｂｃ^ａ)(Ｔ^ａ)_ijφ_j－ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ij

×(δ~_Ｂφ_j)

＝－(iｇ²/2)β_c(ｃ×ｃ)^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

－(iｇ)²β_φｃ^ａｃ^ｂ(Ｔ^ａ)_ij(Ｔ^ｂ)_jkφ_k

－γ_φ(iｇ)²ｃ^ａｃ^ｂ(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jkｆ^ｄ_k)

ですから,δ~_Ｂδ_Ｂφ_i＋δ_Ｂδ~_Ｂφ_i＝0

となるには,ｃがＦＰゴーストで,スピンゼロ

なのにFermionという,奇妙な反交換する場

で,ｃ^ｂｃ^ａ＝－ｃ^ａｃ^ｂであることを考慮

すると,δ~_Ｂδ_Ｂφ_i＋δ_Ｂδ~_Ｂφ_i

＝(－iｇ²/2)(β_c＋β_φ)(ｃ×ｃ)^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

－β_φ(iｇ)²ｃ^ａｃ^ｂ[Ｔ^ａ.Ｔ^ｂ]_ijφ_j

－(iｇ²/2)γ_φ(ｃ×ｃ)^ａ(ｄ^ａｂ)_ijｆ^ｂ_j

－(iｇ)²γ_φｃ^ａｃ^ｂ((Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jkｆ^ｄ_k

と書けます。

ところが.[Ｔ^ａ,Ｔ^ｂ]＝iｆ_ａｂｃＴ^cであり,

定義により,(ｃ×ｃ)^ａ＝ｆ_ａｂｃｃ^ｂｃ^ｃなので,

ｃ^ａｃ^ｂ[Ｔ^ａ，Ｔ^ｂ]_ijφ_j

＝iｆ_ａｂｃｃ^ａｃ^ｂ(Ｔ^ｃ)_ijφ_j

＝i(ｃ×ｃ)^ａ(Ｔ^a)_ijφ_jです。

故に,β_ｃ＝β_φであれば,右辺の第１項と

第２項は相殺して消えます。

第３項については,

γ_φ(－iｇ²/2]ｆ_ａｂｃｃ^ｂｃ^ｃ(ｄ^ａｄ)_ikｆ^ｄ_j

－γ_φ(iｇ)²ｃ^ａｃ^ｂ(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｃｄ)_jkｆ^ｄ_k}

＝－(γ_φｇ²)[(i/2)ｆ_ａｂｃ(ｄ^ｃｄ)_ik

－(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jk](ｃ^ａｃ^ｂｆ^ｄ_k)＝0

であればいいのですが,(ｃ^ａｃ^ｂｆ^ｄ_k)

がｆ_ａｂｃと同じくａ,ｂの交換について

反対称なのでこれらは独立でなく恒等式

の未定係数法を使うため,１つの独立な組

(ａ,ｂ)の係数を取ってゼロとして,

{(i/2)ｆ_ａｂｃ(ｄ^ｃｄ)_ik－(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jk]

－{(i/2)ｆ_ｂａｃ(ｄ^ｃｄ)_ik－(Ｔ^ｂ)_ij(ｄ^ａｄ)_jk]

＝0　が得られます。

結局,(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jk －(Ｔ^ｂ)_ij(ｄ^ａｄ)_jk

＝,iｆ_ａｂｃ(ｄ^ｃｄ)_jkとなるべきであること

がわかりました。

しかし,この結論は,

(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jk＝(Ｔ^ｂ)_ij(ｄ^ａｄ)_jk

＝ｆ_ａｂｃ(ｄ^ｃｄ)_jk.(56)を,満たす必要がある,

とされていた,参考文献の内容と違います。(？)

(注13-2終わり※)

いずれにしろ,(ｄ^ａｂ)_ijは,さらに分解されて

(ｄ^ａｂ)_ik＝(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂ)_jk.(57)のようにできる

ことが示唆されています。(※ここで,同じ記号

ｄを使いましたが(57)両辺のｄは別定義です。)

こうして,得られた(56),(57)および,β_φ＝β_ｃ

＝β_Ａ,かつγ_ｄ＝0が,δ_Ｂとδ~_Ｂが反可換で

あることから得られたδ~_Ｂの表現係数に関する

全情報です。

次に,δ_ＢＬ~(Φ_I)＋δ~_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)＝0,(52)を

　　解いて.Ｌ~(Φ_I)の形を決める必要があります。

まず,(49)で具体的に与えたδ~_Ｂの変換は,元

のＢＲＳ変換:δ_Ｂに係数;β_Ａ＝β_ｃ＝β_φで比例

する部分を抜き出して.その他との和に分割すると,

δ~_Ｂ＝β_Ａδ_Ｂ＋(γ_Ａ－β_Ａ)(∂_μｃ^ａ)(δ/δＡ^ａ_μ)

－γ_φ{iｇｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂ)_jkｆ^ｂ_ｋ}(δ/δφ_i)

(58)となります。

そして,これの右辺第2項,第３項の微分演算

　　は(∂_μｃ^ａ)(δ/δＡ^ａ_μ)

＝[(Ｄ_μｃ^ａ)(δ/δＡ^ａ_μ),Ａ^ｄ_ν(δ/δＡ^ｄ_ν)]

＝[δ_Ｂ,Ａ^ｓ_μ(δ/δＡ^ａ_μ)].(59-1)

{iｇｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂ)_jkｆ^ｂ_ｋ}(δ/δφ_i)

＝[iｇｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j(δ/δφ_i).

(ｄ^ｂ)_jkｆ^ｂ_k(δ/δφ_i)]

＝[δ_Ｂ,(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j(δ/δφ_i)].(59-2)

のように,ＢＲＳ変換:δ_Ｂと何らかの交換関係

の形に書けます。

それ故,δ~_Ｂ＝β_Ａδ_Ｂ

　　＋[δ_Ｂ,(γ_Ａ－β_Ａ)Ａ^ｓ_μ(δ/δＡ^ａ_μ)

－γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j(δ/δφ_i)]　となります。

したがって,δ_ＢＬ~(Φ_I)＋δ~_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)

＝0は,δ_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)＝0なので,δ_ＢＬ~(Φ_I)

＝δ_Ｂ{(β_Ａ－γ_Ａ)Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)

＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j}(∂Ｌ_ＧＩ/∂φ_i)}.(60)

を意味します。

それ故,明らかに。右辺の括弧:{ }の中は(52)

を満たすＬ~(Φ_I)を与える１つの特殊解です。

(52)に対するＬ~(Φ_I)の一般解を得るには,

斉次(同次)方程式δ_ＢＬ~(Φ_I)＝0の一般解を得る

必要がありますが.δ_Ｂが,Φ_I＝(Ａ^ａ_μ,φi)の上

ではゲージ変換に過ぎないので,同次方程式の

一般解はゲージ不変な一般関数です。

結局,δ_ＢＬ~(Φ_I)＋δ~_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)＝0(52)を

満たすＬ~(Φ_I)の一般解は,Ｌ~(Φ_I)

＝ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)＋β_Ａ－γ_Ａ)Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)

＋γ_φ(ｄ^ａ)_jkｆ^ａ_ｋ}(∂Ｌ_ＧＩ/∂φ_i).(61)

で与えられる,ことがわかります。

ところで,Ｌ~(Φ_I)には次元が4以下である,

という条件があったのでｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)の一般形

は,ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)＝α_Ａ{(－1/4)Ｆ^ａ_μνＦ^ａμν}

＋α_φ{(Ｄ_μφ_i)^＋Ｄ^μφi}－α_ｍ(μ²φ_i^＋φ_i)

－α_λ{(λ/2)(φ_i^＋φ_i)²}.(62)で与えられます。

結局,くりこみ方程式:Ｓ~＊Ｘ＝0の解Ｘは,

­Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ~(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ~_ＢΦ_I)

＋Ｋ_ｃ^ａ(δ~_Ｂｃ^ａ)](48)である,としていたので,

Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)

＋β_Ａ{Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃａ(δ_Ｂｃ^ａ)}

＋(β_Ａ－γ_Ａ){Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)

－Ｋ~^ａ_μ(∂_μｃ^ａ)}

＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j{∂(Ｌ_ＧＩ＋Ｋ~_iδ_Ｂφ_i)/∂φ_j}].

(63)　と書けることがわかりました。

途中ですが長くなったので,今回はここで

終わります。

(参考文献):九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(培風館)