くりこみ理論(次元正則化)(12)

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

前回は,第７章ＢＰＨＺくりこみで,

(対称性とくりこみ)の項において,大局的

ゲージ不変性を有する理論が,その対称性

を保持したまま,次元正則化で,くりこみ

可能であることを示すことを目的に考察

しました。

そのため,系のLagrangianに外場を付加

した作用積分Ｓとその有効作用Γを裸の場で

構成した裸の作用:Ｓ₀と裸の有効作用Γ₀に

おける.裸の場をくりこんだ場とくりこみ定数

Ｚとｖiで表わしたものを代入して置き換える,

という操作で,これらが,くりこまれた有限なＳ

とΓに帰着する.ことを摂動論的に証明するため

に導入したPoisson括弧に類似した演算＊を

用いて,有効作用ΓからＢ^ａとｃ~^ａへの自明な

依存性を除いた部分:Γ~が満足すべき基本的

ＷＴ方程式が.Γ~＊Γ~＝0.(34)という式の形

で与えられることを見たところで,記事を

終えました。

今回は,その続きです。

前回で準備が整ったので,以下,本題の

有効作用Γ(実は,裸のΓ₀ に同じ)のｈ_cによる

摂動ベキ展開:Γ＝Γ⁽⁰⁾＋ｈ_cΓ⁽¹⁾＋ｈ_c²Γ⁽²⁾＋.

(25)の各項:ｈ_c^ｎΓ^（ｎ）が有限になる,ということ

を,先のＷＴ恒等式:Γ~＊Γ~＝0(34)に基づいて,

帰納法で証明します。

(ⅰ)まず,ｎ＝0のtreeレベルでの有効作用

Γ⁽⁰⁾ですが,これは,Planck定数ｈ_cを含む量子

効果が全くない古典的な作用積分の

Ｓ⁽⁰⁾＝Ｓ[Φ~,Ｋ；ｇ_,ｆ_,α]＝Ｓ.(24)に等しく,

それ故,明らかに有限です。

しかも,ΓとΓ~の違いは,(27)のΓ＝Γ~

＋∫ｄ⁴ｘ[Ｂ^ａｆ^ａ_ＩΦ_Ｉ＋(α/2)Ｂ^ａＢ^ａ]という

Γ~の定義式にあるように,treeレベルの寄与を

与える項のみですから,初項Γ(⁰⁾ではΓ~をΓ

の代わりに用いて論じてもよいということに

なります。さらに,Γ⁽⁰⁾＝Ｓ⁽⁰⁾＝Ｓ,Γ~⁽⁰⁾＝Ｓ~

より,Γ－Γ~＝Γ⁽⁰⁾－Γ~⁽⁰⁾＝Ｓ－Ｓ~であり,

この差はtreeレベルと考えられるので.ｎ≧1

のloop積分を含む項ではΓ~^(ｎ)＝Γ^(ｎ)です。　

(ⅱ)次に,ｎ≧1のｈ_c^ｎのオーダーまで,

くりこみ定数Ｚ,および,ｖ_iを,それらをベキ

展開した.(Ｚ)_n＝1＋ｈ_cＺ⁽¹⁾＋ｈ_c²Ｚ⁽²⁾ ＋..

＋ｈ_c^ｎＺ^(ｎ),および,(ｖ_i)_ｎ＝0＋ｈ_cｖ_i⁽¹⁾＋

ｈ_c²ｖ_i⁽²⁾ ＋..＋ｈ_c^ｎｖi^(ｎ).(35)に置き換えて

Γ⁽⁰⁾,Γ⁽¹⁾,Γ⁽²⁾,..Γ^(ｎ)が全て有限にできた,

と仮定します。そこで.Ｚやｖ_iに,上記の(35)

式,つまり,((ｎ＋1)次以降のＺ^(ｎ＋ｋ),ｖ_i^(ｎ＋ｋ)

(ｋ≧1)を全てゼロとしたもの.に置換して

(23)のＳ₀＝Ｓ[Φ₀~,Ｋ₀；ｇ_0,ｆ_0,α₀]

＝Ｓ[Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,..,Ｚ~₃^1/2Ｋ^ａ_μ；Ｚ₁Ｚ₃^-3/2ｇ_,..]

に,Ｚとして(Ｚ)_ｎを.ｖ_iとして(ｖ_i)_ｎを代入

した作用積分:(Ｓ₀)_ｎ＝Ｓ[(Ｚ₃)_ｎ^1/Ａ^ａ_μ,....,

(Ｚ~₃)_ｎ^1/2Ｋ^ａ_μ；(Ｚ₁)_ｎ(Ｚ₃)_ｎ^-3/2ｇ_,.]

＝Ｓ⁽⁰⁾＋ｈ_cＳ⁽¹⁾＋..＋ｈ_c^ｎＳ^(ｎ)

＋ｈ_c^(ｎ＋1)(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎ＋ｈ_c^(ｎ＋2)(Ｓ(^(ｎ＋2))_ｎ

＋…　(36)に基づき,ｈ_c^(ｎ＋1)のオーダーの

有効作用Γ^(ｎ＋1)を計算します。

(※上記の(36)の展開において,ｈ_ｃの(ｎ次以下

のＳ^(ｍ)(ｍ≦ｎ)を.(Ｓ^(ｍ))_ｎとしなかった理由

は,Ｚやｖ_iの(ｎ＋1)次以降の値:Ｚ(^ｎ＋ｋ)や

ｖ_i^(ｎ＋ｋ)(ｋ≧1)を,どう取っても,それらに影響

しないからです。※)

　一方,(ｎ＋1)次以降のＳ^(ｎ＋ｋ)(ｋ≧1)は,

それらＺ^(ｎ＋ｋ),ｖ_i^(ｎ＋ｋ)(ｋ≧1)に依存します。

しかし,(Ｓ^(ｎ＋ｋ))_ｎ(ｋ≧1)の方は,Ｚ^(ｎ＋ｋ)＝0,

ｖ_i^(ｎ＋ｋ)＝0(ｋ≧1)と取ったときの相殺項に相当

するものです。

特に,(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎはｈ_cのｎ次以下のＺ^(ｍ),ｖi^(ｍ)

(ｍ≦ｎ)の積で表わされる,ｈ_cの(ｎ＋1)次の相殺項

となるもの.を意味します。

(※例えば,Ａ_μの4次項:－(1/4)ｇ₀²(Ａ_0μ×Ａ_0ν)²

＝－(1/4)Ｚ₁²Ｚ₃^-1ｇ²(Ａ_μ×Ａ_ν)²からは,

Ｚ₁^(ｍ)Ｚ_i^(ｋ)(Ｚ₃(^ｌ))^ｐ(ただし,ｍ＋ｋ＋ｐｌ

＝ｎ＋１,0≦ｍ,ｋ,ｌ,ｐ≦ｎ）の係数を持つ,,,

(ｎ＋1)次の相殺項が現われます。

何故なら,例えばＺ₃^-1＝(1＋ｈ_cＺ₃⁽¹⁾＋ｈ_c²Ｚ₃⁽²⁾

＋..)^-1＝1－ｈ_cＺ₃⁽¹⁾＋(ｈc²/2)Ｚ₃⁽²⁾－.etc.

です。※)

さて,Γ^(ｎ＋1)の計算は,帰納法の仮定により,

Γ^(ｍ)(ｍ≦ｎ)が全て有限ですから,それらに効く

各々のFeynmanグラフにおいて全ての内部グラフ

は既に有限になっており,出現する可能な発散は,

最後の一番外側のloop積分を実行したとき初めて

現われるもの,つまり,「overallの発散」のみで

ある,と,考えられます。

そして,ｈ_c^(ｎ＋1)のオーダーでoverallの発散

が現われるグラフは,もちろん,loop積分が１個

以上はあるので,その内部にはｎ次以下の相殺項

のＳ^(ｍ)(ｍ≦ｎ)しか,含むことはできず,そこで

Ｚやｖ_iの(ｎ＋1)次以上の項;Ｚ^(ｎ＋ｋ)やｖ_i^(ｎ＋ｋ)

(ｋ≧1)の取り方には依存しません。

それ故,このoverallの寄与の総和を

Γ_overall^(ｎ＋1)[Σ_m=0ⁿＳ^(ｍ)]と記すことにすれば,

ｎ次の作用積分:(Ｓ₀)_ｎ＝Ｓ[(Ｚ₃)_ｎ^1/Ａ^ａ_μ,

....,(Ｚ~₃)_ｎ^1/2Ｋ^ａ_μ；(Ｚ₁)_ｎ(Ｚ₃)_ｎ^-3/2ｇ_,.]

に基づく(ｎ＋1)次のΓ^(ｎ＋1)項の発散部分

は,Γ_div^(ｎ＋1)＝ Γ_overall^(ｎ＋1)[Σ_m=0ⁿＳ^(ｍ)]

＋(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎ(37)と表わせます。

ただし,右辺の(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎは,ｎ次以下の,

Ｚ^(ｍ),ｖ_i^(ｍ)(ｍ≦ｎ)の積のみで作られる

(ｎ＋1)次の相殺項です。

ここで,重要な点はoverallの発散:

Γ_div^(ｎ＋1)は,以前「ＢＰＨＺくりこみ」の

項で述べたように,外線運動量に関して有限次

までで,場の次元数を数えると,4次以下の局所

的項しか現われない。ということです。

※(注12-1):過去記事「くりこみ理論(7)では,

クラフ:Γの見掛けの発散次数ω(Γ)を与える

公式:ω(Γ)＝4－Ｅ_Ｂ－(3/2)Ｅ_Ｆ＋Σｎ_iδ_i(7)

により,ω(Γ)≧0となって発散するグラフΓ

は,Ｅ_Ｂ＋(3/2)Ｅ_Ｆ(外線場の次元)≦4.(8)の

場合のみです。と記述しました。

それ故,今のdim(Ｌ_i^int)≦4の場合にω(Γ)≧0

で発散する条件は,Ｅ_Ｂ＋(3/2)Ｅ_Ｆ≦4です。

(注12-1終わり※)

さて,(37)の(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎも,もちろん相殺項で

発散項ですから,系の裸のLagrangianの作用積分:

Ｓ₀と同様,上記の性質を持つので,(37)のΓ_div^(ｎ＋1)

も次元4以下の局所的項のみから成っています。

このような局所的項の積分形で与えられる

汎関数を一般に,局所的汎関数と呼びます。

一方,ＷＴ恒等式:Γ~＊Γ~＝0 (34)は,ｈ_cの値

に依らず(Ｚやｖiの値にも依らず)成立する式です。

つまり,これはｈ_cについての恒等式ですから,Γ~を

ｈ_cのベキで摂動展開して,左辺のΓ~＊Γ~に代入し

ｈ_c^(ｎ＋1)の項を取り出すとき,その係数はゼロです。

つまり,Γ~⁽⁰⁾＊Γ~^(ｎ＋1)＋Γ~(¹⁾＊Γ~^(ｎ)

＋Γ~⁽²⁾＊Γ~^(ｎ－1)＋..＝0.(38) が成立します。

先述のようにΓ~^(ｍ)＝Γ(ｍ)(ｍ≧1)であり,

そして,左辺の第２項以下は,帰納法の仮定により

有限です。したがって,この式の発散部分のみを

取り出せば,それは左辺のΓ~⁽⁰⁾＊Γ_div^(ｎ＋1)であり

右辺の0の中には,もちろん発散部分はありません。

(※この発散部分は,今の次元正則化の場合,

時空の次元をｄとすると,(ｄ－4)^-ｋ(ｋ≧1)の形

の極の項であり,１つのloop積分で1/(ｄ－4)の

特異性は１次ずつしか出ないのでΓ^(ｎ＋1)の特異性

は1/(ｄ－4),1/(ｄ－4)²,..1/(ｄ－4)^(ｎ＋1)まで

です。※)

そして,Γ~⁽⁰⁾＝Ｓ~⁽⁰)＝Ｓ~ですから,結局,

Ｓ~＊Γ_div^(ｎ＋1)＝0.(39)なる式を得ます。

この式は,Γ^(ｎ＋1)にどのような発散が現われ

得るか？を規定する方程式であり,一般に,

「くりこみ方程式(renormalization equation)」

と呼ばれています。

このくりこみ方程式に対しては,次の命題が

成立することを証明できます。

※[命題]:「大局的ゲージ不変でＦＰゴースト数が

ゼロ,次元が4以下の局所項から成る,Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,

Ｋ_ｃ^ａの汎関数:Ｘがくりこみ方程式:Ｓ~＊­Ｘ＝0.

(40)を満たすとする。このときＸは,(23) の裸の

作用積分:Ｓ₀＝Ｓ[Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,..,Ｚ~₃^1/2Ｋ^ａ_μ；

Ｚ₁Ｚ₃^-3/2ｇ_,..]で,Ｚやｖ_iをずらせて得られる

変化分;ΔＳ＝δＺ(Δ_ｚＳ)＋δｖi(Δ_ｖiＳ)

＝δＺ[∂Ｓ/∂Ｚ] _Z=1Vi=0＋δｖi[∂Ｓ/∂ｖ_i]_Z=1Vi=0

(41)の形で与えられる。

ただし,ＳとＳ~の差はtreeレベルで,その

差は,Ｚやｖ_iには依らないので上記の(41)では

ＳをＳ~に置き換えて同一視してもよい。」

そして,仮に,この命題が証明されたとすると

今のＸが,Ｓ~＊Γ_div(^ｎ＋1)＝0を満たすΓ_div(^ｎ＋1)

である場合,これがΓ_div(^ｎ＋1)＝α_Ｚ^(ｎ＋1)(Δ_ｚＳ)

＋β_i^(ｎ＋1)(Δ_ｖiＳ)の形に書けることを意味します。

ところが,この形の発散項は,Ｚやｖ_iを(35)

のｎ次までの(Ｚ)_ｎや,(ｖ_i)_ｎから次に定義する値:

(Ｚ)_ｎ＋1＝(Ｚ)_ｎ＋ｈ_c^(ｎ＋1)Ｚ^(ｎ＋1),および,(ｖ_i)_ｎ+1

＝(vi)_ｎ,＋ｈ_c^(ｎ＋1)ｖ_i(^ｎ＋1).(42)へとずらした

ときに生じるｈ_c^(ｎ＋1)のオーダーの新たな相殺項:

Ｓ^(ｎ＋1)－(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎ＝Ｚ^(ｎ＋1)(Δ_ＺＳ)

＋ｖ_i^(ｎ＋1)(Δ_viＳ)(43)により,Ｚ^(ｎ＋1)＝－α_Ｚ^(ｎ＋1),

かつ,ｖ_i^(ｎ＋1)＝－β_i^(ｎ＋1)と選べば,丁度. Γ_div(^ｎ＋1)

が吸収されます。

それ故,(42)の(Ｚ)_ｎ＋1,および,(ｖ_i)_ｎ+1を(23)

の作用:Ｓ₀に代入した作用:(Ｓ₀)_ｎ＋1に基づいた

有効作用Γは,ｈ_c^(ｎ＋1)のオーダーのΓ^(n＋1)まで

有限となり,帰納法によるくりこみ可能性の証明

が完結したことになります。

では,以下,実際に[命題の証明]です。

[証明]:結局,くりこみ可能性の証明は

くりこみ方程式:Ｓ~＊Ｘ＝0(40)の一般解Ｘ

が,Ｘ＝δＺ(Δ_ｚＳ)＋δｖi(Δ_ｖiＳ)(41),

の形で与えられる,という純粋に代数的な命題

の証明に帰着することがわかりました。

くりこみ方程式:Ｓ~＊Ｘ＝0の解Ｘに関しては.

次元が4以下,大局的ゲージ不変という制限の

ない,次の定理が成立することが知られています。

[定理] 「Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａのＦＰゴースト数

がゼロの局所多項式から成る汎関数Ｘで,くりこみ

方程式Ｓ~＊­Ｘ＝0.(40)を満たすものは,必ず,

Ｘ＝Ｆ_{ゲージ不変}[ΦI＋Ｓ~＊Ｍ[Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａ]

(44)の形に書ける。

ここで,Ｆ_{ゲージ不変}はΦ_I＝(Ａ^ａ_μ,φ_i)のみで書かれた

ゲージ不変な関数で,ＭはＦＰゴースト数が(－1)

の任意の汎関数である。

(44)の形で書かれる汎関数Ｘがくりこみ方程式:

Ｓ~＊Ｘ＝0を満たすこと(解の十分条件)は,Ｓ~の

ＢＲＳ不変性,Ｓ~＊Ｓ~＝0,および,Jacobi恒等式

から従う,演算:(Ｓ~＊)のベキ零性:つまり,

∀Ｘに対しＳ~＊(Ｓ~＊Ｘ)＝－((1/2)Ｘ＊(Ｓ~＊Ｓ^)

＝0.(45)から,自明です。

すなわち,∀Ｆ,ＧについてＦ＊Ｇ~

＝(－)^{(|Ｆ｜＋1)}Ｇ＊Ｆという＊演算の対称性から,

ＧがＦに等しいならＦ＊Ｆ＝－Ｆ＊Ｆとなり,,

Ｆ＊Ｆ＝0が成立するので,Ｓ~＊Ｓ~＝0は自明

です。

一方,Jacobi恒等式から,Ｓ~＊(Ｓ~＊Ｘ)

＋(－)^|Ｘ|Ｓ~(Ｘ＊Ｓ~)

＋(－)^{2(｜Ｘ｜＋１)}Ｘ＊(Ｓ~*Ｓ~)＝0ですが,

Ｓ~はGrassmann偶なので,Ｘ*Ｓ~＝－Ｓ~＊Ｘであり,

ＸはＦＰゴースト数－1)でGrassman奇ですから,

2Ｓ~＊(Ｓ~＊Ｘ)＝－Ｘ＊(Ｓ~＊Ｓ~)＝0

が得られます。

それ故,特にＳ~＊(Ｓ~＊Ｍ)＝0です。

また,ＦがΦ_Iのみの関数であれば,

Ｓ~＊Ｆ＝(δＳ~/δＫ~_I)(δＦ/δΦ_I)

＋(δＳ~/δＫ_ｃ^ａ)(δＦ/δｃ^ａ)

＋(－)^|Ｓ~|{(δＦ/δＫ~_I)(δＳ~/δΦ_I)

＋(δＦ/δＫ_ｃ^ａ)(δＳ~/δｃ^ａ)}

＝(δ_ＢΦ_I)(δＦ/δΦ_I)＝δ_ＢＦです。

そこで,Ｆがゲージ不変な関数:Ｆ_{ゲージ不変}

なら,それは,ＢＲＳ不変なので右辺はゼロです。

つまり,Ｓ~＊Ｆ_{ゲージ不変}＝0です。

したがって,Ｘ＝Ｆ_{ゲージ不変}＋Ｓ~＊Ｍの形なら,

Ｓ~＊Ｘ＝Ｓ~＊Ｆ_{ゲージ不変}＋Ｓ~＊(Ｓ~＊Ｍ)＝0

となります。

以上から,(44)の形のＸがくりこみ方程式

Ｓ~＊Ｘ＝0の解となるための十分条件を満たす

ことが証明されました。

しかし,証明が自明でない,のは逆の解となる

ための必要条件の方です。

この定理は過去記事「ゲージ場の理論(33)」

で記述した,第５章の§5-10で述べた観測可能量

の一般形に関する定理:§5－10(23)を,外場項:Ｋ~_I,

Ｋ_ｃ^ａを含む場合に拡張したものに相当し,大変有用

なものですが,一般的証明はかなり面倒なので,この

必要性の詳細証明は,観測可能量の定理の場合と同様,

既存の文献に譲って,ここでの記述は割愛します。

(※(注12-2):載)過去記事「ゲージ場の量子論(33)」

から,必要参照部分を抜粋して再掲します。

(※再掲開始)[定理]:「Heisenberg場の多項式で

与えられる局所的観測可能量＝ＢＲＳ不変な局所

演算子:Ａは次の形を持つ。

(ⅰ)Ａの持つＦＰゴースト数:Ｎ_ＦＰが負ならば,

Ａは零演算子である。すなわち,このとき,ある

演算子Ｍにより.Ａ＝[Ｑ_Ｂ,Ｍ]と書ける。

(ⅱ)Ａの持つＦＰゴースト数がゼロならば,

Ａ＝Ｆ_{ゲージ不変}(Ａ^ａ_μ, φ_i)＋[Ｑ_Ｂ,Ｍ]と書ける。

ただし,Ｆ_{ゲージ不変}は,ゲージ場;Ａ^ａ_μと物質場:φ_i

のみから成る局所ゲージ不変な多項式である。

(ⅲ)Ａの持つ.ＦＰゴースト数が正ならば,

Ａ＝Ｐ[Ｉ_i(ｃ);Ｆ_{ゲージ不変}[Ａ^ａ_μ, φ_i]＋[Ｑ_Ｂ,Ｍ]

と書ける。ただし,Ｐは.局所ゲージ不変関数:

Ｆ_{ゲージ不変}を係数とするＩ_i(ｃ)の多項式である。

そして,Ｉ_i(ｃ)は同一時空点上のゴースト場:

ｃ^ａのみの,微分を含まない,カラー1重項の多項式

であり,各時空点ごとに有限個しかない。」

という,今の有効作用:Γ_div^(ｎ＋+１)＝Ｘの一般形に

関する定理に,類似した観測可能量:Ａの一般形に

課する定理が.証明抜きで与えられています。

(再掲終了子※)(注12-2終わり※)

さて,途中ですが,長くなったので今回は,ここで

一旦終わります。

(参考文献):九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(培風館)

くりこみ理論(次元正則化)(12)

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

前回は,第７章ＢＰＨＺくりこみで,

(対称性とくりこみ)の項において,大局的

ゲージ不変性を有する理論が,その対称性

を保持したまま,次元正則化で,くりこみ

可能であることを示すことを目的に考察

しました。

そのため,系のLagrangianに外場を付加

した作用積分Ｓとその有効作用Γを裸の場で

構成した裸の作用:Ｓ₀と裸の有効作用Γ₀に

おける.裸の場をくりこんだ場とくりこみ定数

Ｚ,ｖで表わしたものを代入して置き換える,

という操作で,これらが,くりこまれた有限なＳ

とΓに帰着する.ことを摂動論的に証明するため

に導入したPoisson括弧に類似した演算＊を

用いて,有効作用ΓからＢ^ａとｃ~^ａへの自明な

依存性を除いた部分:Γ~が満足すべき基本的

ＷＴ方程式が.Γ~＊Γ~＝0.(34)という式の形

で与えられることを見たところで,記事を

終えました。

今回は,その続きです。

前回で準備が整ったので,以下,本題の

有効作用Γ(実は,裸のΓ₀ に同じ)のｈ_cによる

摂動ベキ展開:Γ＝Γ⁽⁰⁾＋ｈ_cΓ⁽¹⁾＋ｈ_c²Γ⁽²⁾＋.

(25)の各項:ｈ_c^ｎΓ^（ｎ）が有限になる,ということ

を,先のＷＴ恒等式:Γ~＊Γ~＝0(34)に基づいて,

帰納法で証明します。

(ⅰ)まず,ｎ＝0のtreeレベルでの有効作用

Γ⁽⁰⁾ですが,これは,Planck定数ｈ_cを含む量子

効果が全くない古典的な作用積分の

Ｓ⁽⁰⁾＝Ｓ[Φ~,Ｋ；ｇ_,ｆ_,α]＝Ｓ.(24)に等しく,

それ故,明らかに有限です。

しかも,ΓとΓ~の違いは,(27)のΓ＝Γ~

＋∫ｄ⁴ｘ[Ｂ^ａｆ^ａ_ＩΦ_Ｉ＋(α/2)Ｂ^ａＢ^ａ]という

Γ~の定義式にあるように,treeレベルの寄与を

与える項のみですから,初項Γ(⁰⁾ではΓ~をΓ

の代わりに用いて論じてもよいということに

なります。さらに,Γ⁽⁰⁾＝Ｓ⁽⁰⁾＝Ｓ,Γ~⁽⁰⁾＝Ｓ~

より,Γ－Γ~＝Γ⁽⁰⁾－Γ~⁽⁰⁾＝Ｓ－Ｓ~であり,

この差はtreeレベルと考えられるので.ｎ≧1

のloop積分を含む項ではΓ~^(ｎ)＝Γ^(ｎ)です。　

(ⅱ)次に,ｎ≧1のｈ_c^ｎのオーダーまで,

くりこみ定数Ｚ,および,ｖ_iを,それらをベキ

展開した.(Ｚ)_n＝1＋ｈ_cＺ⁽¹⁾＋ｈ_c²Ｚ⁽²⁾ ＋..

＋ｈ_c^ｎＺ^(ｎ),および,(ｖ_i)_ｎ＝0＋ｈ_cｖ_i⁽¹⁾＋

ｈ_c²ｖ_i⁽²⁾ ＋..＋ｈ_c^ｎｖi^(ｎ).(35)に置き換えて

Γ⁽⁰⁾,Γ⁽¹⁾,Γ⁽²⁾,..Γ^(ｎ)が全て有限にできた,

と仮定します。そこで.Ｚやｖ_iに,上記の(35)

式,つまり,((ｎ＋1)次以降のＺ^(ｎ＋ｋ),ｖ_i^(ｎ＋ｋ)

(ｋ≧1)を全てゼロとしたもの.に置換して

(23)のＳ₀＝Ｓ[Φ₀~,Ｋ₀；ｇ_0,ｆ_0,α₀]

＝Ｓ[Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,..,Ｚ~₃^1/2Ｋ^ａ_μ；Ｚ₁Ｚ₃^-3/2ｇ_,..]

に,Ｚとして(Ｚ)_ｎを.ｖ_iとして(ｖ_i)_ｎを代入

した作用積分:(Ｓ₀)_ｎ＝Ｓ[(Ｚ₃)_ｎ^1/Ａ^ａ_μ,....,

(Ｚ~₃)_ｎ^1/2Ｋ^ａ_μ；(Ｚ₁)_ｎ(Ｚ₃)_ｎ^-3/2ｇ_,.]

＝Ｓ⁽⁰⁾＋ｈ_cＳ⁽¹⁾＋..＋ｈ_c^ｎＳ^(ｎ)

＋ｈ_c^(ｎ＋1)(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎ＋ｈ_c^(ｎ＋2)(Ｓ(^(ｎ＋2))_ｎ

＋…　(36)に基づき,ｈ_c^(ｎ＋1)のオーダーの

有効作用Γ^(ｎ＋1)を計算します。

(※上記の(36)の展開において,ｈ_ｃの(ｎ次以下

のＳ^(ｍ)(ｍ≦ｎ)を.(Ｓ^(ｍ))_ｎとしなかった理由

は,Ｚやｖ_iの(ｎ＋1)次以降の値:Ｚ(^ｎ＋ｋ)や

ｖ_i^(ｎ＋ｋ)(ｋ≧1)を,どう取っても,それらに影響

しないからです。※)

　一方,(ｎ＋1)次以降のＳ^(ｎ＋ｋ)(ｋ≧1)は,

それらＺ^(ｎ＋ｋ),ｖ_i^(ｎ＋ｋ)(ｋ≧1)に依存します。

しかし,(Ｓ^(ｎ＋ｋ))_ｎ(ｋ≧1)の方は,Ｚ^(ｎ＋ｋ)＝0,

ｖ_i^(ｎ＋ｋ)＝0(ｋ≧1)と取ったときの相殺項に相当

するものです。

特に,(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎはｈ_cのｎ次以下のＺ^(ｍ),ｖi^(ｍ)

(ｍ≦ｎ)の積で表わされる,ｈ_cの(ｎ＋1)次の相殺項

となるもの.を意味します。

(※例えば,Ａ_μの4次項:－(1/4)ｇ₀²(Ａ_0μ×Ａ_0ν)²

＝－(1/4)Ｚ₁²Ｚ₃^-1ｇ²(Ａ_μ×Ａ_ν)²からは,

Ｚ₁^(ｍ)Ｚ_i^(ｋ)(Ｚ₃(^ｌ))^ｐ(ただし,ｍ＋ｋ＋ｐｌ

＝ｎ＋１,0≦ｍ,ｋ,ｌ,ｐ≦ｎ）の係数を持つ,,,

(ｎ＋1)次の相殺項が現われます。

何故なら,例えばＺ₃^-1＝(1＋ｈ_cＺ₃⁽¹⁾＋ｈ_c²Ｚ₃⁽²⁾

＋..)^-1＝1－ｈ_cＺ₃⁽¹⁾＋(ｈc²/2)Ｚ₃⁽²⁾－.etc.

です。※)

さて,Γ^(ｎ＋1)の計算は,帰納法の仮定により,

Γ^(ｍ)(ｍ≦ｎ)が全て有限ですから,それらに効く

各々のFeynmanグラフにおいて全ての内部グラフ

は既に有限になっており,出現する可能な発散は,

最後の一番外側のloop積分を実行したとき初めて

現われるもの,つまり,「overallの発散」のみで

ある,と,考えられます。

そして,ｈ_c^(ｎ＋1)のオーダーでoverallの発散

が現われるグラフは,もちろん,loop積分が１個

以上はあるので,その内部にはｎ次以下の相殺項

のＳ^(ｍ)(ｍ≦ｎ)しか,含むことはできず,そこで

Ｚやｖ_iの(ｎ＋1)次以上の項;Ｚ^(ｎ＋ｋ)やｖ_i^(ｎ＋ｋ)

(ｋ≧1)の取り方には依存しません。

それ故,このoverallの寄与の総和を

Γ_overall^(ｎ＋1)[Σ_m=0ⁿＳ^(ｍ)]と記すことにすれば,

ｎ次の作用積分:(Ｓ₀)_ｎ＝Ｓ[(Ｚ₃)_ｎ^1/Ａ^ａ_μ,

....,(Ｚ~₃)_ｎ^1/2Ｋ^ａ_μ；(Ｚ₁)_ｎ(Ｚ₃)_ｎ^-3/2ｇ_,.]

に基づく(ｎ＋1)次のΓ^(ｎ＋1)項の発散部分

は,Γ_div^(ｎ＋1)＝ Γ_overall^(ｎ＋1)[Σ_m=0ⁿＳ^(ｍ)]

＋(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎ(37)と表わせます。

ただし,右辺の(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎは,ｎ次以下の,

Ｚ^(ｍ),ｖ_i^(ｍ)(ｍ≦ｎ)の積のみで作られる

(ｎ＋1)次の相殺項です。

ここで,重要な点はoverallの発散:

Γ_div^(ｎ＋1)は,以前「ＢＰＨＺくりこみ」の

項で述べたように,外線運動量に関して有限次

までで,場の次元数を数えると,4次以下の局所

的項しか現われない。ということです。

※(注12-1):過去記事「くりこみ理論(7)では,

クラフ:Γの見掛けの発散次数ω(Γ)を与える

公式:ω(Γ)＝4－Ｅ_Ｂ－(3/2)Ｅ_Ｆ＋Σｎ_iδ_i(7)

により,ω(Γ)≧0となって発散するグラフΓ

は,Ｅ_Ｂ＋(3/2)Ｅ_Ｆ(外線場の次元)≦4.(8)の

場合のみです。と記述しました。

それ故,今のdim(Ｌ_i^int)≦4の場合にω(Γ)≧0

で発散する条件は,Ｅ_Ｂ＋(3/2)Ｅ_Ｆ≦4です。

(注12-1終わり※)

さて,(37)の(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎも,もちろん相殺項で

発散項ですから,系の裸のLagrangianの作用積分:

Ｓ₀と同様,上記の性質を持つので,(37)のΓ_div^(ｎ＋1)

も次元4以下の局所的項のみから成っています。

このような局所的項の積分形で与えられる

汎関数を一般に,局所的汎関数と呼びます。

一方,ＷＴ恒等式:Γ~＊Γ~＝0 (34)は,ｈ_cの値

に依らず(Ｚやｖiの値にも依らず)成立する式です。

つまり,これはｈ_cについての恒等式ですから,Γ~を

ｈ_cのベキで摂動展開して,左辺のΓ~＊Γ~に代入し

ｈ_c^(ｎ＋1)の項を取り出すとき,その係数はゼロです。

つまり,Γ~⁽⁰⁾＊Γ~^(ｎ＋1)＋Γ~(¹⁾＊Γ~^(ｎ)

＋Γ~⁽²⁾＊Γ~^(ｎ－1)＋..＝0.(38) が成立します。

先述のようにΓ~^(ｍ)＝Γ(ｍ)(ｍ≧1)であり,

そして,左辺の第２項以下は,帰納法の仮定により

有限です。したがって,この式の発散部分のみを

取り出せば,それは左辺のΓ~⁽⁰⁾＊Γ_div^(ｎ＋1)であり

右辺の0の中には,もちろん発散部分はありません。

(※この発散部分は,今の次元正則化の場合,

時空の次元をｄとすると,(ｄ－4)^-ｋ(ｋ≧1)の形

の極の項であり,１つのloop積分で1/(ｄ－4)の

特異性は１次ずつしか出ないのでΓ^(ｎ＋1)の特異性

は1/(ｄ－4),1/(ｄ－4)²,..1/(ｄ－4)^(ｎ＋1)まで

です。※)

そして,Γ~⁽⁰⁾＝Ｓ~⁽⁰)＝Ｓ~ですから,結局,

Ｓ~＊Γ_div^(ｎ＋1)＝0.(39)なる式を得ます。

この式は,Γ^(ｎ＋1)にどのような発散が現われ

得るか？を規定する方程式であり,一般に,

「くりこみ方程式(renormalization equation)」

と呼ばれています。

このくりこみ方程式に対しては,次の命題が

成立することを証明できます。

※[命題]:「大局的ゲージ不変でＦＰゴースト数が

ゼロ,次元が4以下の局所項から成る,Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,

Ｋ_ｃ^ａの汎関数:Ｘがくりこみ方程式:Ｓ~＊­Ｘ＝0.

(40)を満たすとする。このときＸは,(23) の裸の

作用積分:Ｓ₀＝Ｓ[Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,..,Ｚ~₃^1/2Ｋ^ａ_μ；

Ｚ₁Ｚ₃^-3/2ｇ_,..]で,Ｚやｖ_iをずらせて得られる

変化分;ΔＳ＝δＺ(Δ_ｚＳ)＋δｖi(Δ_ｖiＳ)

＝δＺ[∂Ｓ/∂Ｚ] _Z=1Vi=0＋δｖi[∂Ｓ/∂ｖ_i]_Z=1Vi=0

(41)の形で与えられる。

ただし,ＳとＳ~の差はtreeレベルで,その

差は,Ｚやｖ_iには依らないので上記の(41)では

ＳをＳ~に置き換えて同一視してもよい。」

そして,仮に,この命題が証明されたとすると

今のＸが,Ｓ~＊Γ_div(^ｎ＋1)＝0を満たすΓ_div(^ｎ＋1)

である場合,これがΓ_div(^ｎ＋1)＝α_Ｚ^(ｎ＋1)(Δ_ｚＳ)

＋β_i^(ｎ＋1)(Δ_ｖiＳ)の形に書けることを意味します。

ところが,この形の発散項は,Ｚやｖ_iを(35)

のｎ次までの(Ｚ)_ｎや,(ｖ_i)_ｎから次に定義する値:

(Ｚ)_ｎ＋1＝(Ｚ)_ｎ＋ｈ_c^(ｎ＋1)Ｚ^(ｎ＋1),および,(ｖ_i)_ｎ+1

＝(vi)_ｎ,＋ｈ_c^(ｎ＋1)ｖ_i(^ｎ＋1).(42)へとずらした

ときに生じるｈ_c^(ｎ＋1)のオーダーの新たな相殺項:

Ｓ^(ｎ＋1)－(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎ＝Ｚ^(ｎ＋1)(Δ_ＺＳ)

＋ｖ_i^(ｎ＋1)(Δ_viＳ)(43)により,Ｚ^(ｎ＋1)＝－α_Ｚ^(ｎ＋1),

かつ,ｖ_i^(ｎ＋1)＝－β_i^(ｎ＋1)と選べば,丁度. Γ_div(^ｎ＋1)

が吸収されます。

それ故,(42)の(Ｚ)_ｎ＋1,および,(ｖ_i)_ｎ+1を(23)

の作用:Ｓ₀に代入した作用:(Ｓ₀)_ｎ＋1に基づいた

有効作用Γは,ｈ_c^(ｎ＋1)のオーダーのΓ^(n＋1)まで

有限となり,帰納法によるくりこみ可能性の証明

が完結したことになります。

では,以下,実際に[命題の証明]です。

[証明]:結局,くりこみ可能性の証明は

くりこみ方程式:Ｓ~＊Ｘ＝0(40)の一般解Ｘ

が,Ｘ＝δＺ(Δ_ｚＳ)＋δｖi(Δ_ｖiＳ)(41),

の形で与えられる,という純粋に代数的な命題

の証明に帰着することがわかりました。

くりこみ方程式:Ｓ~＊Ｘ＝0の解Ｘに関しては.

次元が4以下,大局的ゲージ不変という制限の

ない,次の定理が成立することが知られています。

[定理] 「Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａのＦＰゴースト数

がゼロの局所多項式から成る汎関数Ｘで,くりこみ

方程式Ｓ~＊­Ｘ＝0.(40)を満たすものは,必ず,

Ｘ＝Ｆ_{ゲージ不変}[ΦI＋Ｓ~＊Ｍ[Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａ]

(44)の形に書ける。

ここで,Ｆ_{ゲージ不変}はΦ_I＝(Ａ^ａ_μ,φ_i)のみで書かれた

ゲージ不変な関数で,ＭはＦＰゴースト数が(－1)

の任意の汎関数である。

(44)の形で書かれる汎関数Ｘがくりこみ方程式:

Ｓ~＊Ｘ＝0を満たすこと(解の十分条件)は,Ｓ~の

ＢＲＳ不変性,Ｓ~＊Ｓ~＝0,および,Jacobi恒等式

から従う,演算:(Ｓ~＊)のベキ零性:つまり,

∀Ｘに対しＳ~＊(Ｓ~＊Ｘ)＝－((1/2)Ｘ＊(Ｓ~＊Ｓ^)

＝0.(45)から,自明です。

すなわち,∀Ｆ,ＧについてＦ＊Ｇ~

＝(－)^{(|Ｆ｜＋1)}Ｇ＊Ｆという＊演算の対称性から,

ＧがＦに等しいならＦ＊Ｆ＝－Ｆ＊Ｆとなり,,

Ｆ＊Ｆ＝0が成立するので,Ｓ~＊Ｓ~＝0は自明

です。

一方,Jacobi恒等式から,Ｓ~＊(Ｓ~＊Ｘ)

＋(－)^|Ｘ|Ｓ~(Ｘ＊Ｓ~)

＋(－)^{2(｜Ｘ｜＋１)}Ｘ＊(Ｓ~*Ｓ~)＝0ですが,

Ｓ~はGrassmann偶なので,Ｘ*Ｓ~＝－Ｓ~＊Ｘであり,

ＸはＦＰゴースト数－1)でGrassman奇ですから,

2Ｓ~＊(Ｓ~＊Ｘ)＝－Ｘ＊(Ｓ~＊Ｓ~)＝0

が得られます。

それ故,特にＳ~＊(Ｓ~＊Ｍ)＝0です。

また,ＦがΦ_Iのみの関数であれば,

Ｓ~＊Ｆ＝(δＳ~/δＫ~_I)(δＦ/δΦ_I)

＋(δＳ~/δＫ_ｃ^ａ)(δＦ/δｃ^ａ)

＋(－)^|Ｓ~|{(δＦ/δＫ~_I)(δＳ~/δΦ_I)

＋(δＦ/δＫ_ｃ^ａ)(δＳ~/δｃ^ａ)}

＝(δ_ＢΦ_I)(δＦ/δΦ_I)＝δ_ＢＦです。

そこで,Ｆがゲージ不変な関数:Ｆ_{ゲージ不変}

なら,それは,ＢＲＳ不変なので右辺はゼロです。

つまり,Ｓ~＊Ｆ_{ゲージ不変}＝0です。

したがって,Ｘ＝Ｆ_{ゲージ不変}＋Ｓ~＊Ｍの形なら,

Ｓ~＊Ｘ＝Ｓ~＊Ｆ_{ゲージ不変}＋Ｓ~＊(Ｓ~＊Ｍ)＝0

となります。

以上から,(44)の形のＸがくりこみ方程式

Ｓ~＊Ｘ＝0の解となるための十分条件を満たす

ことが証明されました。

しかし,証明が自明でない,のは逆の解となる

ための必要条件の方です。

この定理は過去記事「ゲージ場の理論(33)」

で記述した,第５章の§5-10で述べた観測可能量

の一般形に関する定理:§5－10(23)を,外場項:Ｋ~_I,

Ｋ_ｃ^ａを含む場合に拡張したものに相当し,大変有用

なものですが,一般的証明はかなり面倒なので,この

必要性の詳細証明は,観測可能量の定理の場合と同様,

既存の文献に譲って,ここでの記述は割愛します。

(※(注12-2):載)過去記事「ゲージ場の量子論(33)」

から,必要参照部分を抜粋して再掲します。

(※再掲開始)[定理]:「Heisenberg場の多項式で

与えられる局所的観測可能量＝ＢＲＳ不変な局所

演算子:Ａは次の形を持つ。

(ⅰ)Ａの持つＦＰゴースト数:Ｎ_ＦＰが負ならば,

Ａは零演算子である。すなわち,このとき,ある

演算子Ｍにより.Ａ＝[Ｑ_Ｂ,Ｍ]と書ける。

(ⅱ)Ａの持つＦＰゴースト数がゼロならば,

Ａ＝Ｆ_{ゲージ不変}(Ａ^ａ_μ, φ_i)＋[Ｑ_Ｂ,Ｍ]と書ける。

ただし,Ｆ_{ゲージ不変}は,ゲージ場;Ａ^ａ_μと物質場:φ_i

のみから成る局所ゲージ不変な多項式である。

(ⅲ)Ａの持つ.ＦＰゴースト数が正ならば,

Ａ＝Ｐ[Ｉ_i(ｃ);Ｆ_{ゲージ不変}[Ａ^ａ_μ, φ_i]＋[Ｑ_Ｂ,Ｍ]

と書ける。ただし,Ｐは.局所ゲージ不変関数:

Ｆ_{ゲージ不変}を係数とするＩ_i(ｃ)の多項式である。

そして,Ｉ_i(ｃ)は同一時空点上のゴースト場:

ｃ^ａのみの,微分を含まない,カラー1重項の多項式

であり,各時空点ごとに有限個しかない。」

という,今の有効作用:Γ_div^(ｎ＋+１)＝Ｘの一般形に

関する定理に,類似した観測可能量:Ａの一般形に

課する定理が.証明抜きで与えられています。

(再掲終了子※)(注12-2終わり※)

さて,途中ですが,長くなったので今回は,ここで

一旦終わります。

(参考文献):九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(培風館)