くりこみ理論(次元正則化)(14)

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

前々回まででは,大局的ゲージ不変性と

いう対称性を持った系の有効作用Γを示す

Feynmanグラフがくりこみ可能であること

を証明するために,この有効作用Γ(orΓ~)

を,Γ＝Γ⁽⁰)＋ｈ_cΓ⁽¹⁾＋..＋ｈ_ｃ^ｎΓ^(ｎ)

＋ｈ_c^(ｎ＋１)Γ^(ｎ＋1)＋,,と摂動展開し,初項

Γ⁽⁰⁾は作用Ｓ(orＳ~)に等しく有限なので

続くΓ⁽¹⁾,Γ⁽²⁾.Γ^(ｎ)がくりこみで全て有限

にできたと仮定してΓ^(ｎ＋1)も有限になると

いうことを示す,という帰納法に頼りました。

結局,この証明はΓ^(ｎ＋１)の発散部分Γ_div^(ｎ＋1)

を取り出すと,それが謂わゆるくりこみ方程式:

Ｓ~＊Γ_div^(ｎ＋1)＝0を満たすことを示すことに

帰着することが導かれました。

そして,このくりこみ方程式に対しては,次の

命題が成立します。

これは,「大局が的ゲージ不変でＦＰゴースト

数ゼロ,次元が4以下の局所項から成る,Φ_I,ｃ^ａ,

Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａの汎関数:Ｘがくりこみ方程式:

Ｓ~＊­Ｘ＝0を満たすとする。このとき解Ｘは

裸の作用積分:Ｓ₀＝Ｓ[Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,.,Ｚ~₃^1/2Ｋ^ａ_μ；

Ｚ₁Ｚ₃^-3/2ｇ_,..]において,Ｚやｖ_iをずらせて

得られる変化分:ΔＳ

＝δＺ(Δ_ｚＳ)＋δｖ_i(Δ_ｖiＳ)

＝δＺ[∂Ｓ~/∂Ｚ] _Z=1Vi=0＋δｖi[∂Ｓ/∂ｖ_i]_Z=1Vi=0

(41)の形で与えられる。」　という命題です。

これが証明されればΓ^(ｎ＋1)が有限になること

を示すことができて帰納法の証明が完結します。

そこで,この命題証明すればいいのですが,

これに関して.次の定理の成立が知られています。

[定理]:「Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａのＦＰゴースト数

がゼロの局所多項式から成る汎関数Ｘでくりこみ

方程式Ｓ~＊­Ｘ＝0.を満たすものは,必ず,

Ｘ＝Ｆ_{ゲージ不変}[ΦI＋Ｓ~＊Ｍ[Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａ]

の形に書ける。

ここで.Ｆ_{ゲージ不変}はΦ_I＝(Ａ^ａ_μ,φ_i)のみで

書かれたゲージ不変な関数であり,一方,Ｍは

ＦＰゴースト数が(－1)の任意の汎関数である。」

という定理です。

そして,この形で書かれる汎関数Ｘが.くりこみ

方程式:Ｓ~＊Ｘ＝0を満たすこと(解の十分性)の

成立はほぼ自明で,実際,容易に証明できました。 

しかし,証明が自明でないのは,逆の解となる

ための必要性の方でした。

このＸがＳ~＊Ｘ＝0の解となるための必要性

　　の一般的証明は,かなり面倒なので割愛する,と

述べました。ここまでが前々回の記事です。

前回は,当面必要なＸが,次元4以下の局所項

から成る大局的ゲージ不変という特別な場合に

限れば必要性が証明できるというので,これを示す

途中での中断でした。結局,くりこみ方程式:

Ｓ~＊Ｘ＝0の解Ｘは­Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)

＋β_Ａ{Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃａ(δ_Ｂｃ^ａ)}

＋(β_Ａ－γ_Ａ){Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)

－Ｋ~^ａ_μ(∂_μｃ^ａ)}

＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j{∂(Ｌ_ＧＩ＋Ｋ~_iδ_Ｂφ_i)/∂φ_j}].

(63)と書けます。ただし,次元が4以下である

という条件からｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)の一般形は,

ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)

＝α_Ａ{(－1/4)Ｆ^ａ_μνＦ^ａμν}

＋α_φ{(Ｄ_μφ_i)^＋Ｄ^μφi}－α_ｍ(μ²φ_i^＋φ_i)

－α_λ{(λ/2)(φ_i^＋φ_i)²}.(62)なる形で

与えられます。と書いたところで,前回記事

を終えました。

さて,今回はその続きです。

既述のように,作用Ｓ~は,(47)で与えた

Ｓ~＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ_ＧＩ(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)

＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)].の形をしています。

ただし,δ_ＢΦ_I＝Ｄ^ａ_Iｃ^ａであり,

δ_Ｂｃ^ａ＝(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａです。

また,＊演算は定義(31)によれば任意

　　のΦ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａの汎関数:Ｆ.Ｇに

対して,Ｆ*Ｇ＝(δＦ/δΦ_I)(δＧ/δＫ~_Ｉ)

＋(δＦ/δｃ^ａ)(δＧ/δＫ_ｃ^ａ)

＋(－)^|Ｆ|{(δＦ/δＫ~_I)(δＧ/δΦ_Ｉ)

＋(δＦ/δＫ_ｃ^ａ)(δＧ/δｃ^ａ)

ですから,Ｓ~＊(Ｋ~^ａ_μＡ^ａ_μ)

＝(δＳ~/δＡ^ａ_μ)Ａ^ａ_μ＋(δ_ＢＡ^ａ_μ)Ｋ~^ａ_μ

＝(Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ_μ)

＋Ｋ~^ａ_μ{∂(Ｄ_μｃ^ａ)/∂Ａ^ａ_μ}

＋(Ｄ_μｃ^a)Ｋ~^ａ_μです。

故に,証明に必要な第１式:

Ｓ~＊(Ｋ~^ａ_μＡ^ａ_μ)＝Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ_μ)

－Ｋ^ａ_μ(∂^μｃ^ａ).(64)を得ます。

次に,Ｓ~＊(Ｋ_ｃ^ａｃ^ａ)

＝(δＳ~/δｃ^ａ)ｃ^ａ＋(δ_Ｂｃ^ａ)Ｋ_ｃ^ａ

＝－ｃ^ａ(δＳ~/δｃ^ａ) ＋Ｋ_ｃ^ａ(δＳ~/δＫ_ｃ^ａ)

(65)です。

ところが,場(粒子)のＦＰゴースト数をＮ_ＦＰ

　　とすると,Ｓ~はＮ_ＦＰ＝0,ｃはＮ_ＦＰ＝1,Ｋ~_Iは

Ｎ_ＦＰ＝－1,Ｋ_ｃ^ａはＮ_ＦＰ＝－2のゴースト数を

持つため.{ｃ^ａ(δ/δｃ^ａ)－Ｋ~_I(δ/δＫ~_I)

－２Ｋ_ｃ^ａ(δ/δＫ_ｃ^ａ)}Ｓ~＝0(.66)

が成立します。

※(注14-1):何故なら,まず,Ｓ~をｃ^ａ,Ｋ~_I

Ｋ_ｃ^ａの関数と見て,ベキ級数展開したもの

を,Ｓ~＝Σ_ν1,v2,ν3{ａ(ν₁,ν₂,ν₃)

×ｃ^ν1(Ｋ~_I)^ν2×(Ｋ_ｃ^ａ)^ν3}と表わすと,

{ｃ^ａ(δ/δｃ^ａ)－Ｋ~_I(δ/δＫ~_I)

－２Ｋ_ｃ^ａ(δ/δＫ_ｃ^ａ)}Ｓ~

＝Σ_ν1,v2,ν3{(ν₁－ν₂－2ν₃)ａ(ν₁,ν₂,ν₃)

×ｃ^ν1(Ｋ~_I)^ν2(Ｋ_ｃ^ａ)^ν3}　となります。

元のＳ~の展開の各項のベキ次数ν₁,ν₂,ν₃

は,それぞれ,ゴースト場ｃ^ａ;外場Ｋ~^I,Ｋ_ｃ^ａ

に対応する粒子の個数を示しています。

故に,(ν₁－ν₂－2ν₃)は項のＦＰゴースト

　　数を意味します。

一方,左辺のＳ~のゴースト数はＮ_ＦＰ＝0

ですが,これは右辺の展開の各項で満たされる

べきと考えられるので,全ての項において

ν₁－ν₂－2ν₃＝0が成立すべきで,その結果

としてl{ｃ^ａ(δ/δｃ^ａ)－Ｋ~_I(δ/δＫ~_I)

－２Ｋ_ｃ^ａ(δ/δＫ_ｃ^ａ)}Ｓ~＝0が得られます。

(注14-1終わり※)

したがって,(65)のＳ~＊(Ｋ_ｃ^ａｃ^ａ)

－ｃ^ａ(δＳ~/δｃ^ａ) ＋Ｋ_ｃ^ａ(δＳ~/δＫ_ｃ^ａ)

は,Ｓ~＊(Ｋ_ｃ^ａｃ^ａ)＝－Ｋ~_I(δＳ~/δＫ~_I)

－Ｋ_ｃ^ａ(δＳ~/δＫ_ｃ^ａ)　と書き直せます。

故に,必要な第２式として,

Ｓ~＊(Ｋ_ｃ^ａｃ^ａ)

＝－Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I) －Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ).(67)

を得ました。

最後に,Ｓ~＊Ｋ~_i＝δＳ~/δφ_i

＝δ{(Ｌ_ＧＩ＋Ｋ~_ｊ(δ_Ｂφ_j))/δφ_iです。

以上から,再掲(63)式:

Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)

＋β_Ａ【Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃａ(δ_Ｂｃ^ａ)}

＋(β_Ａ－γ_Ａ){Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)

－Ｋ~^ａ_μ(∂_μｃ^ａ)}＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j

{δ(Ｌ_ＧＩ＋Ｋ~_jδ_Ｂφ_j)/δφ_j}](63)

の被積分関数は,ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)

－β_ＡＳ~＊(Ｋ_ｃ^ａｃ^ａ)＋

(β_Ａ－γ_Ａ)Ｓ~＊Ｋ^ａ_μＡ_ａμ)

＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_jＳ~＊Ｋ~_j]と書けます。

すなわち,Ｘは,Ｘ＝∫ｄ1ｘ[ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)

＋Ｓ~＊{(β_Ａ－γ_Ａ)Ｋ^ａ_μＡ_ａμ －β_ＡＫ_ｃ^ａｃ^ａ

＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_jＫ~_j}].(68)の形となり,

これは,定理が主張する(44)の形の解:

Ｘ＝Ｆ_{ゲージ不変}[ΦI＋Ｓ~＊Ｍ[Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａ]

に合致する,ことがわかり定理の必要性が証明

されました。つまり,これで.次元4以下で大局的

ゲージ不変な場合に,先の定理が証明されたわけ

です。(※大局的ゲージ不変性について,Ｓ~の

Ｋ~_i(δ_Ｂφ_i),ＸのＫ~_i(δ~_Ｂφ_i)の部分は疑問

ですが,これは議論の本質には無関係のようです。

要するに,追加の外場Ｋ~_iの問題なので？※)

さて,まだ,直接,必要とされる先の命題の

結論となる形に書けること,つまり,解Ｘが作用

積分:Ｓ₀＝Ｓ[Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,..Ｚ~₃^1/2Ｋ^ａ_μ；

Ｚ₁Ｚ₃^-3/2ｇ_,..]で,Ｚやｖ_iをずらせて得られる

変化分:δＺ(Δ_ｚＳ)＋δｖi(Δ_ｖiＳ)(41)の形

で与えられる。ということを透明する仕事が

残っています。

これを証明するにはＸの表式:(63)(再々掲)

Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)

＋β_Ａ{Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃａ(δ_Ｂｃ^ａ)}

＋(β_Ａ－γ_Ａ){Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)

－Ｋ~^ａ_μ(∂_μｃ^ａ)}

＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j{∂(Ｌ_ＧＩ＋Ｋ~_iδ_Ｂφ_i)/∂φ_j}].

を出発点とする方が早道です。

まず,唐突ですが,次式:

{Ａ^ａ_μ(∂/∂Ａ^ａ_μ)－ｇ(∂/∂ｇ)}Ｌ_ＧＩ(Φ_I)

＝2{(－1/4)Ｆ^ａ_μν²}.(69)が成立することに

注意します。(※ただし,(－1/4)Ｆ^ａ_μνＦ^ａμν

を,(－1/4)Ｆ^ａ_μν²と略記しました。※)

これは,Ｌ_ＧＩ(Φ_Ｉ)で(ｇＡ^ａ_μ）をＡ^ａ_μに

変数変換すれば,物質場:Φ_IのLagrangianの部分

は,ｇに依らなくなる。ということから従います。

※(注14-2):実際,(ｇＡ^ａ_μ)の１次の項は,

Ａ^ａ_μ(∂/∂Ａ^ａ_μ)の作用で(ｇＡ^ａ_μ)となり,

ｇ(∂/∂ｇ)に対しても同じ(ｇＡ_ａμ)になる

ため,これに比例した項は演算の結果として

消えます。すなわち,

{Ａ^ａ_μ(∂/∂Ａ^ａ_μ)－ｇ(∂/∂ｇ)}Ｌ_ＧＩ(Φ_I)

{(ｇ,Ａに独立な比例係数)(ｇＡ^ａ_μ)}＝0です

。残るのはＦ^ａ_μν内の(ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μＡ^ｃ_ν)

のように,Ａ^ａ_μの２次以上の項の場合で,

{Ａ^ａ_μ(∂/∂Ａ^ａ_μ)－ｇ(∂/∂ｇ)}

(ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μＡ^ｃ_ν)

＝ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μＡ^ｃ_νですから.Ｆ^ａ_μν2

への演算の場合,この項から因子2が出ます。

ｇを含まないＡのみの項ではＡ^ａ_μ(∂/∂Ａ^ａ_μ)

の作用は,各項で時空微分に関係なく元の項の

Ａの次数倍を与えるので,(∂_μＡ^ａ_ν－∂_νＡ^ａ_μ)²

に作用させると,2((∂_μＡ^ａ_ν－∂_νＡ^ａ_μ)²です。

結局,{Ａ^ａ_μ(∂/∂Ａ^ａ_μ)－ｇ(∂/∂ｇ)}

(Ｆ^ａ_μν²)＝2Ｆ^ａ_μν²)が得られます。

(注14-2終わり※)

次に,Ｋ~_Ｉ(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)では,

Ｋ~_Ｉ(δ_ＢΦ_I)＝(Ｄ_μｃ^ａ)の中の項:

Ｋ~^ａ_μ(∂_μｃ^ａ)が,ｇの0次項である以外,

全てｇの１次の項ばかりなので,

{ｇ(∂/∂ｇ)－1}{Ｋ~_Ｉ(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)}

＝－Ｋ~^ａ_μ(∂_μｃ^ａ).(70)となります。

これと先の(69)の

{Ａ^ａ_μ(∂/∂Ａ^ａ_μ)－ｇ(∂/∂ｇ)}Ｌ_ＧＩ(Φ_I)

＝2{(－1/4)Ｆ^ａ_μν²}から

∫ｄ⁴ｘ{Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)－Ｋ~^ａ_μ(∂_μｃ^ａ)}

＝ｇδＳ~/δｇ)＋∫ｄ⁴ｘ[2{(－1/4)Ｆ^ａ_μν²}

－{Ｋ~_Ｉ(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)}].(71)です。

そこで,これらを(63)に代入します。ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)

については,(62)の具体的で陽な表式を代入すると,,

Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[(α_Ａ＋2β_Ａ－2γ_Ａ){(－1/4)Ｆ^ａ_μν²}

＋α_φ|Ｄ_μφ_i|²－α_ｍμ²|φ_i|²－α_λ{(λ/2)|φ_i|⁴}

＋γ_Ａ{Ｋ~_Ｉ(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)}]

＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j(δＳ~/δφ_j)

＋(β_Ａ－γ_Ａ)ｇ(δＳ~/δｇ)].(72)という

解Ｘの表式を得ます。

一方,作用積分Ｓ~の引数の物質場,外場に,

Ａ₀^ａ_μ＝Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,φ_0i＝Ｚ_i^1/2(φ_i,＋ｖ_i)

＝Ｚ_i^1/2φ~_i,(ｃ₀^ａ,ｃ₀~^ａ)＝Ｚ~₃^1/2(ｃ^ａ,ｃ~^ａ)

(15),Ｋ₀^ａ_μ＝Ｚ₃^-1/2Ｋ^ａ_μ,

Ｋ_0i＝(Ｚ~₃^1/2Ｚ₃^1/2/Ｚ_i^1/2)Ｋ_i(18)

Ｋ_0ｃ^ａ＝Ｚ₃^1/2Ｋ_ｃ^ａ(19),ｇ₀＝Ｚ_iＺ₃^-3/2ｇ.(20)

で指定されるＺ,やｖ_iを含んだ裸の量:Φ_0II,Ｋ_0I,

Ｋ_0ｃ^ａ,ｇ₀を入れたものを求めると,次のように

なります。

Ｓ~[Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,..Ｚ₃^-1/2Ｋ^ａ_μ,..Ｚ_iＺ₃^-3/2ｇ...]

＝∫ｄ⁴ｘ[Ｚ₃(－1/4){∂_μＡ^ａ_ν－∂_νＡ^ａ_μ

－Ｚ₁Ｚ₃^-1ｇ(Ａ_μ×Ａ_ν)}²

＋Ｚ_i|∂_μφ~_i＋Ｚ₁Ｚ₃^－1ｇ(Ｔ^ａ)_ijＡ^ａ_μφ~_j|²

－Ｚ_ｍＺ_iμ²|φi|²－Ｚ_λＺ_i²(λ/2)|φ~_i|⁴

＋Ｚ~₃Ｋ^ａ_μ{∂_μｃ^ａ－Ｚ₁Ｚ^-1ｇ(Ａ_μ×ｃ)^ａ}

－Ｚ₃Ｋ~_iiＺＺ₃^-1ｇ(Ｔ^ａ)_ijｃ^ａφ~_j

＋Ｚ~₃Ｋ_ｃ^ａ(Ｚ_iＺ₃^-1ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａ].(73)

ただしＺ_ｍとＺ_λは,今,陽に考えている物質場

の質量と,λφ⁴相互作用の結合定数λのくりこみ

因子として定義されています。

つまり,μ₀²＝Ｚ_ｍμ²,λ₀＝Ｚ_λλ.(74)です。

さて,Ｚ因子やｖをずらしたときのＳ~の

変化分は,(73)のＳ~の表式を微分して,

ΔＳ~＝δＺ(Δ_ＺＳ~)＋δｖ_i(Δ_ｖＳ~)

＝∫ｄ⁴ｘ[(－1/4){δＺ₃(Ｆ~_μν⁽⁰⁾)²

－Ｚ₃⁽⁰⁾(2δｇ~)(Ａ_μ×Ａ_ν)Ｆ_μν⁽⁰⁾

＋δＺ_i|Ｄ~_μφ~_i⁽⁰⁾|²

＋Ｚ_i⁽⁰⁾(2iδｇ~)(Ｔ^ａ)_ijＡ^ａ_μφ~_jＤ~^μφ~_i⁽⁰⁾

＋2(δｖ_i)Ｚ_i⁽⁰⁾(iｇ⁽⁰⁾)(Ｔ^ａ)_ijＡ^a_μＤ~^μφ~_i⁽⁰⁾

－{(δＺ_ｍ)Ｚ_i⁽⁰⁾＋Ｚ_ｍ⁰⁾(δＺ_i)}μ²|φ~_i|²

－Ｚ_ｍ⁽⁰⁾Ｚ_i⁽⁰⁾(δｖ_i)(∂/∂φ~_i)(λμ²|φ~_i|²)

－{(δＺ_λ)Ｚ_i⁽⁰⁾²＋Ｚ_λ⁰⁾(2δＺ_i)}(λ/2)|φ~_i|⁴

－Ｚ_λ⁽⁰⁾Ｚ_i⁽⁰⁾²(δｖ_i)(∂/∂φ~_i)(λ|φ~_i|⁴/2)

＋Ｋ~^ａ_μ{(δＺ~₃)(Ｄ_μｃ^ａ(0))}

＋Ｚ~₃⁽⁰⁾(δｇ~)(Ａ_μ×ｃ)^ａ}

－{(δＺ~₃)ｇ~⁽⁰)＋Ｚ~₃⁽⁰⁾(δｇ~)}

×Ｋ~_ii(Ｔ^ａ)_ijｃ_ａφ~_j⁽⁰⁾

－Ｚ~₃⁽⁰⁾Ｋ~_iiｇ~⁽⁰⁾(Ｔ^ａ)_ijｃ^ａ(δｖ_l)

＋(i/2)Ｋ_ｃａ{(δＺ~₃)ｇ~⁽⁰)＋Ｚ~₃⁽⁰⁾(δｇ~)}

(ｃ×ｃ)^ａ]　と書けます。

ただし,0次近似では,Ｚ⁽⁰⁾は全て1,ｖ_i(⁰⁾,

ｖ_j⁽⁰⁾は.全て0,ｇ~⁽⁰⁾＝ｇとします。

また,Ｆ~_μμ＝∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μ

－Ｚ₁Ｚ₃^-1(Ａ_μ×Ａ_ν),ｇ~＝Ｚ₁Ｚ₃^-1ｇ,

Ｄ~_μφ~_i＝∂_μφ~_i－iｇ~(Ｔ^ａ)_ijＡ^ａ_μφ~_j.

Ｄ~_μｃ＝∂_μｃ－ｇ~(Ａ_μ×ｃ)としています。

そして,δＺ,δｖはＺ⁽⁰⁾＝1,ｖ⁽⁰⁾＝0から

　　の変化分と考えます。

それ故,結局,δＺ(Δ_ＺＳ~)＋δｖ_i(Δ_ｖＳ~)

＝∫ｄ⁴ｘ[δＺ₃{(-1.4)Ｆ_μν²}＋δＺ_i|Ｄ_μφ_i|²

－(δＺ_ｍ＋δＺ_i)μ²|φ_i|²

－(δＺ_ｍ＋δＺ_λ)(λ/2)|φ_i|⁴

＋δＺ~₃{Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)}]

＋δｖ_i(δＳ~/δφ_i)

＋(δＺ₁－δＺ₃)ｇ(δＳ~/δｇ)(75)

となります。

この形は,丁度,(72)で与えたくりこみ方程式

　　の一般解:Ｘの表式にピッタリ一致します。

すなわち,くりこみ因子のずれ:δＺ,δｖは

(72)のパラメータ:α,β,γから次のように

決まります。

δＺ₃＝－(α_Ａ＋2β_Ａ－2γ_Ａ),δZ~₃＝γ_Ａ,

δＺ_i＝－α_φ,δＺ_ｍ＝－α_ｍ＋α_φ,

δＺ_λ＝－α_λ＋2α_φ,δｖ_i＝γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j,

δＺ₁＝－(α_Ａ＋3β_Ａ－3γ_Ａ).(76)です。

(※符号が逆になっているのが多いのは,Ｘの

表式をΓの発散項としたとき,それがＳ~の

変化分で相殺されると考えるからです。※)

以上で,命題の証明,すなわち,ゲージ理論

のくりこみ可能性の証明が完了しました。

※(注14-3):ここまで,一貫して,大局的ゲージ

不変な理論がくりこみ可能であることを示して

きたわけですが,そもそも局所ゲージ不変理論

(第２種のゲージ変換)に対して不)な理論)なら,

時空点ごとに異なるゲージ変換のパラメータ

(位相)を,全ての時空点で同じ定数とした特別

な場合でも不変性は維持されるので,局所的

ゲージ不変なら,必ず,大局的ゲージ不変

(第１種ゲージ変換に対して不変)なので,

局所ゲージ不変な理論もくりこみ可能で

あることが示されたわけです。

逆の大局的ゲージ不変なら局所ゲージ不変

というのは必ずしも成り立ちませんがね。

(注14-3終わり※)

• 7-4の目的であったゲージ理論のくりこみ

可能性の証明問題が完了して一段落です。

今日,これのアップは2020年5/31ですが,実際に

この原稿をつｊ作ったのは10日くらい前で,既に

新しい項の原稿(15)を書いている途中です。

米印参照ノートは「ゲージ場の量子論（5）」と題名

の付いたノートで,日付けがあるのは1ページ目の

(通算467ページ目)の1997年３/20(47歳)と最後

の通算573ページ目の1999年5/24(49歳)のみで

今日の原稿の内容を書いたのは,その間であろう

としか,わかりません。

そして,この題名のノートの全ては,今部屋の

どこにあるのかは真剣に探してみないと不明

ですが,確か,「ゲージ場の量子論(6)」が最後

で,2000年２/1(50歳)の前には読了して終了

したはずです。※

いずれにしろ,今回はここで終わります。

(参考文献):九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(培風館)