冷温蔵庫の騒音の原因がわかりました。

　まだ買って半年くらいのペルチエタイプの冷温蔵庫

といっても,今のところ冷やすほうしか使用してませんが

本格的なコンプレッサーもないのに,最近えらくうるさい

と思いました：。音がする原因のモーターは冷却ファンのみ

で,それの故障か劣化かなと思って,もっと別のに買い替え

ようかなど検討していて,ふと電源コードを抜いて差し替え

ようとしたところ.なんと2電源のACでなく車載用のDC電源

につながっているのがわかり,正しいACに差し替えると全く

静かになりました。

　バカですね。。また無駄遣いするところでした。

2

日後　久しぶりに病院行って帰ってスイッチいじってると

また騒音　。。

どうも欠陥品か仕様でしかたないのか。スイッチオフしました。

50年前の1970年私20歳で,明治公園から日比谷公園まで

2日続けてヘルメットに覆面でデモをやった記憶がある日

安保粉砕を叫んで。。沖縄の日でもありましたね。。

に

くりこみ理論(次元正則化)16）

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

§7-5:(質量に依らない対称なくりこみ)

の続きからです。以下,本論です。

※(有効作用のくりこみ)の項です。

前記事の「質量に依らないくりこみ」

により得られる有効作用Γ[φ~,ｍ²,λ；μ²]

を考えます。(※φ_i~はスカラー場:φ_iの

期待値を表わしています。)

今は,φの脚のない真空泡グラフは,考慮

していないので,Γ⁽⁰⁾については,省くと

,Γ[φ~,ｍ²,λ；μ²]

＝Σ_n=2^∞(1/ｎ!)∫(2π)^-4ｄ⁴ｐ₁.∫(2π)^-4ｄ⁴ｐ_n

[Γ^(ｎ)_i1i2..in(Ｐ,ｍ²,λ；μ²)(2π)⁴δ(Σ_ｊｐ_j)

×φ_i1~(－ｐ₁)φ_i2~(－ｐ₂)..φ_in~(－ｐ_n)].(18)

と展開され,係数としてのｎ点頂点関数:Γ^(ｎ)

が,Ｐとｍ²の有限な関数として計算されます。

展開:(18)は,φ_i~＝0の対称な真空のまわり

の展開ですから,各頂点関数Γ^(ｎ)は,対称な

真空の上の頂点関数に対応しています。

しかしながら,上記くりこみ操作を各Γ^(ｎ)の

個々の頂点関数のくりこみと,摂動論的に考える

ことなく,むしろ有効作用Γ[φ~,ｍ²,λ；μ²]

という１つの量に対するくりこみと見なすこと

もできます。

この観点を取れば,Γ自体は,Γ⁽⁰⁾＝Ｓがλφ⁴

の項を含むため,4次発散の量ですが,それを次元

1を持つ引数φ_i~(ｐ)で展開すれば,発散が１次

ずつ下がるので,展開で考えるとΓ⁽⁰⁾,Γ⁽²⁾,Γ⁽⁴⁾

までが発散し,これらはそれぞれ,4次,2次,対数

の発散量となりますが,真空泡グラフの寄与Γ⁽⁰⁾

は考慮する必要がないので,無視します。

さらに,Γ⁽²⁾,Γ⁽⁴⁾を引数ｐ²とｍ²で展開し,

その初めの展開でΓ⁽²⁾の定数項:Γ⁽²⁾|_{ｐ2＝ｍ2＝0},

ｐ²の係数:(∂Γ⁽²⁾/∂ｐ²)|_{ｐ2＝0.2ｍ2＝μ2},

(ｍ²－μ²)の係数:(∂Γ⁽²⁾/∂ｍ²)|_{ｐ2＝0,ｍ2＝μ2}.

Γ(⁴⁾の定数項Γ⁽⁴⁾|_{ｐ2＝0,ｍ2＝μ2}.(19)の4つの

量だけが発散するので,これらに対して.先の

(2)～(5)のくりこみ条件下で指定される引き算

操作をしたものが,有効作用Γのくりこみ操作

であると,考えることができます。

こうした立場では,有効作用Γを,φ_i~の汎関数,

かつ,ｍ²の関数として丸ごと有限化したのであり.

展開:(18)のように,対称な真空:φ_i~＝0 の上の

ｎ点頂点関数:Γ(^ｎ)のそれぞれを有限にしたもの

ではない,という点が重要です。

つまり,Γを有限にするのに,そのφ_i~による,

φ_i~＝0のまわりのTaylor展開で,初めの発散する

係数を持つ4項だけを(19)の指定により,引き算操作

しただけであり,決して,それ以降の収束する項まで,

φ_i~＝0のまわりのTaylor展開と見る必要はない,

ということです。

このことは,通常のＢＰＨＺくりこみにおいて

発散するFeynman積分の被積分関数に対して,その

外線運動量ｐに関してTaylor展開した初めの数項

を引き算した手続きと丁度,同じで,その場合も.

決して,被積分関数をｐ＝0のまわりに無限次まで

展開したわけではなく,初めの数項を引き算した

残りの積分は,展開などせず,単に有限な関数である

としたのと同様な見方ができます。

それ故,(19)の４項を引き算することで,有効作用

Γは,φ~の有限な汎関数,かつｍ²の有限な関数と

なるわけです。

このような単に見かけの違いに過ぎないような

「有効作用のくりこみ］という立場を強調する

のは。次の理由からです。

実際のところ,対称性が自発的に破れる場合,

特に,質量パラメータｍ²がある負の値(－Ｍ²)を

取る場合に興味があります。

この場合にはφ~_i＝0の対称な真空は不安定で

あり,Feynman伝播関数にタキオン(tachyon)の極

(ｐ²＜0の領域の極)が出てくるので,φ~＝0のまわり

の展開(18)の係数で与えられる真空上のｎ点頂点関数

Γ^(ｎ)は無矛盾(well-defined)な量でなくなります。

(※つまり,この不合理なタキオンの極をどのように

避けるのか?がまだ指定されていません。)

しかし,Γ[φ~,ｍ²,λ；μ²]自体は,ｍ²＜0の

領域でも無矛盾です。

ｍ²＝－Ｍ²＜0の場合には,まず,有効作用Γの

引数:φ_i~(ｘ)を定数φ_i~(※これは運動量表示の

φ_i~(ｐ)では,φ_i~(ｐ)＝∫ｄ⁴ｘexp(iｐｘ)φ_i~(ｘ)

なので,φ_i~の(2π)⁴δ⁴(ｐ)倍に相当)に置いて

得た有効ポテンシャル:Ｖ[φ_i~,－Ｍ²,λ；μ²]

＝Γ[φ_i~(ｘ)＝φ_i~,－Ｍ²,λ：μ²]/∫ｄ⁴ｘ.

(20)の停留条件:∂Ｖ/∂φ_i~＝0を満たす安定な

真空解:Φ_i~＝v_iを求めます。

次に,有効作用Γをφ_i~(ｐ)＝ｖ_i(2π)⁴δ⁴(ｐ)

のまわりで,汎関数Taylor展開を実施すれば.

Γ[φ_i~,－Ｍ²,λ：μ²]

＝Σ_ｎ(1/ｎ!)∫(2π)^-4ｄ⁴ｐ₁.∫(2π)^-4ｄ⁴ｐ_n

[Γ_v^(ｎ)_i1i2..in(Ｐ,ｍ²,λ；μ²)(2π)⁴δ(Σ_ｊｐ_j)

×φ_i1^(－ｐ₁)φ_i2^(－ｐ₂)..φ_in^(－ｐ_n)].

ただし,φ_i＾(ｐ)＝φ_i~(ｐ)－ｖ_i(2π)⁴δ⁴(ｐ)

(21)と書けます。

このとき,係数Γ_v^(ｎ)が,その安定な真空上の

期待値:ｖ_i＝＜φ_i~(ⅹ)＞上でのｎ点頂点関数

を与えます。この場合，もちろん,φ_i~＝ｖ_iには

タキオンはなくΓ_v^(ｎ)はWell－definedです。

この手続きでは,(20)の有効ポテンシャルＶも

(21)の有効作用Γも同じく,既に有限になっている

量と見ることができて,ｍ²を負の値に取ったから

といって,新たにくりこみをやり直す必要など

ないとわかります。

結局,ｍ²＝－Ｍ²＜0の対称性の自発的破れのある

理論も「対称な理論の相殺項」でもって,くりこむ

ことができるわけです。

何故なら,ここで用いた有効作用に対する引き算

項は(19)に与えた4項で,それらは質量パラメータ

ｍ²がゼロ,または.μ²＞0の対称な理論の相殺項

であったからです(※もう少し正確には対称な理論

のくりこみ因子Ｚと言うべきです。実際の相殺項は

Ｚ_mｍ²φ²のようにｍ²に陽に依存しています。)

※(注16-1):私的解釈では,有効作用Γを複素数ｍ²

の複素関数と見て,ｍ²＝0,ｍ²=μ²の物理的領域から

ｍ²が負の領域まで特異点を避けて解析接続できる

とすれば,実際には発散する関数という解析関数

としては有り得ない量を考察しているという点で,

数学的には問題あり,ですが,これを除けば物理的

には理解できます。(Diracの超関数の例なと同様)

発散する裸の量でなく相殺項を引いて,くりこんだ

Γを質量ｍ2について解析接続するなら数学的にも

問題ないことに後で気づきました。　

(注16-1終わり※),

このような「有効作用のくりこみ」という観点

に立ち,質量に依らないくりこみ処法を用いて,対称性

が破れている理論,を対称な理論の相殺項でくりこむ

方法を「質量に依らない対称なくりこみ」

(Symmetric mass-independent renormalization)

略して,「ＳＭＩくりこみ」と呼びます。

以上のことから前節のゲージ理論のスカラー場の

部分に,このＳＭＩくりこみを適用すれば,対称性が

自発的に破れてHiggs現象が起こっているような

場合でも,くりこみ可能であることが,対称な場合

のくりこみ可能性から従うことが理解されます。

さて,次は,※(ゲージ場の質量項による赤外正則化)

の項です。

ここで,少し話題が変わりますが,質量に依らない

くりこみの１つの応用として,ゲージ場の質量項

(1/2)ｍ²Ａμ²を付加することにより,対称性の自発的

破れのないゲージ理論における赤外発散を正則化する

方法について考察してみます。

赤外発散は,例えばQCD(quantum chrono-dynamics

量子色力学)において,零質量のグルオンというゲージ

粒子のみが回るloop積分:∫(2π)^-4ｄ⁴ｌで,被積分

関数が,運動量ｌに関して4次以下であれば外線運動量

を全てゼロにしたとき,ｌ～0の赤外側で,積分が発散

するという問題のことです。

したがって,これは外線運動量:ｐ＝0のまわりでの

Taylor展開で紫外発散を引くという元々のＢＰＨＺ

くりこみをゲージ理論に適用しようとするときにも,

起こる問題であり,零質量粒子のみから成るloopの

グラフの対数発散項は赤外でも発散し元のＢＰＨＺ

の手続きが使えなくなります。

もちろん,外線運動量ｐをゼロ以外の点におけば

積分は問題ないのですが,ｐはLorentzスカラーでは

ないので,ｐ＝0以外の点を選ぶと,かなり面倒なこと

になります。

そこで,ゲージ場に.仮にゼロでないし質量ｍを与え,

ｐ＝0でも赤外発散が生じないようにするのが,この

赤外正則化の方法です。,

実際に求めたいものは,ｍ＝0の理論ですが,まず,

ゲージ場が一般の質量ｍを持つ場合に枠を広げた後

に「質量に依らないくりこみ法」を適用してｍ²が

あるくりこみ点:μ²(＞0)の(ｐ＝0でも赤外発散の

ない)ところでの相殺項によって任意のｍを持つ理論

を全て有限にするわけです。

ゲージ理論のＢＲＳ不変なLagrangianにゲージ場

の質量項:(1/2)ｍ²Ａ_μ²を付け加えても(他の次元2

のスカラー場の質量項が少し変化を受ける点以外

には)そのまま,くりこみ可能であることは以前の

命題１とSymmanzikの定理から,ほぼ明らかです。

しかし,今の場合,線形でもなくＢＲＳ対称性を

破る項を付加する点や,対数発散の相殺項は全て

ＢＲＳ不変でないｍ²＝μ²の理論のものを用いる

点から,若干,不安をおぼえるかもしれないので,

念のため,以前のＷＴ恒等式を用いた議論を質量項:

ｍ²Ａ^ａ_μ²/2がある場合に拡張して,これらのこと

を,以下で直接証明することにします。

まず,ゲージ場の質量項:ｍ²Ａ^ａ_μ²/2がある場合の

ＷＴ恒等式を導きます。

前節で与えたＢＲＳ不変な作用積分Ｓに.この質量項

と,ＢＲＳ変換の外場項を加えた作用積分をＩとします。

すなわち,Ｉ＝Ｓ＋∫ｄ⁴ｘ{ｍ²Ａ_μ²/2＋Ｍδ_Ｂ(Ａ^ａ_μ²/2)}

(22)です。

(※Ｓ＝∫ｄ⁴ｘ{Ｌ(Φ_I)＋Ｋ_I(δ_ＢΦ_I})

＋Ｋ_ｃ(δ_Ｂｃ)}です。)

ここで,δ_Ｂ(Ａ^ａ_μ²/2)＝Ａ^ａ_μ(Ｄ^μｃ^ａ)

＝Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ(23)です。

また,外場:Ｍは次元が1,ＦＰゴースト数が

Ｎ_ＦＰ＝－1の量です。

系の作用積分Ｉに対応する有効作用Γに

対するＷＴ恒等式は,前の§5-6と同様にして,

(δΓ/δΦ_I)(δΓ/δＫ_I)

＋(δΓ/δｃ^ａ)(δΓ/δＫ_ｃ^ａ)

＋i(δΓ/δｃ~^ａ)Ｂ^ａ＝ｍ²(δΓ/δＭ).(24)

となります。

※(注16-2):上記(24)を第5章のＢＲＳ対称性

を持つ系のＷＴ恒等式の基本に戻って証明します。

[証明]:作用積分を,引数を陽に書いてＩ[Φ,Ｋ,Ｍ]

とすれば,連結Green関数の生成汎関数:

Ｗ(Ｊ,Ｋ,Ｍ)＝Ｉ(Φ,Ｋ,Ｍ)＋Ｊ・Φは.

exp{iＷ(Ｊ,Ｋ,Ｍ)}

＝∫ＤΦ[expi{Ｉ(Φ,Ｋ,Ｍ)＋Ｊ・Φ},

なる等式を満たします。ただし,J・Φ

＝∫ｄ⁴ｘ{Ｊ_IΦ_I＋Ｊ~_ｃｃ＋Ｊ_ｃｃ~＋Ｊ_ＢＢ})

です。

この式で,汎関数積分(配位空間経路積分)

の内部にＢＲＳ変換を行なえば,ＢＲＳ不変で

ないのはＩの中の(ｍ²Ａ^ａ_μ²/2)項とＪ・Φのみ

であり,一方,真空はＢＲＳ不変:Ｑ_Ｂ|0＞＝0

なので,左辺＝exp(iＷ)＝exp{i(Ｉ＋Ｊ・Φ)}

のＢＲＳ変換

＝＜0|[iＱ_Ｂ,Ｔexpi(Ｉ＋Ｊ・Φ)}|0＞＝0

という恒等式が成立します。

そこで∫ＤΦ [ｍ²{(δ_Ｂ(Ａ^ａ_μ²/2)＋Ｊ_I(δ_ＢΦ_I)

－Ｊ ~ ｃ_~^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)－iＪ_ｃ^aＢ^ａ}exp(iＷ(Ｊ,Ｋ,Ｍ)]

＝0, つまり,[ｍ²(δ/δＭ)＋Ｊ_I(δ/δＫ_I)

－Ｊ~_ｃ~^ａ(δ/δＫ_c^ａ)－iＪ_ｃ^ａ(δ/δＪ_Ｂ^ａ)]

×Ｗ(Ｊ,Ｋ.Ｍ)＝0　なる恒等式を得ます。

そこで,Legendre変換:Γ[Φ,Ｋ,Ｍ]

＝Ｗ[Ｊ,Ｋ,Ｍ]－Ｊ・φによって,有効作用:Γ

を定義すれば,－(－)^|I|Ｊ_I＝(δΓ/δΦ_I),であり

,ＷのＫ,Ｍによる左微分は,Γのそれに等しいので.

左微分:(δ/δＫ_I)Ｗ＝(δ/δＫ_I)Γ,および,

(δ/δＭ)Ｗ＝(δ/δ)Γを,それぞれ,単に

δΓ/δＫ_I,および,δΓ/δＭと書けば,

ＷＴ恒等式として,

ｍ²(δΓ/δＭ)－((δΓ/δΦ_I))(δΓ/δＫ_I)

－(δΓ/δｃ^ａ)(δΓ/δＫ_c^ａ)

－i(δΓ/δｃ~^ａ)Ｂ^ａ＝0(24)が得られます。

[証明終わり]　(注16-2終わり※)

他のＮＬ場,反ゴースト場の運動方程式

から従う§7－4で論じた後２つのＷＴ恒等式:

δΓ/δＢ^ａ＝ｆ^ａ_IΦ_I＋ｗ^ａ＋αＢ^ａ.および,

ｆ^ａ_I(δΓ/δＫ_I)＋i(δΓ/δｃ~^ａ)＝0は,

ゲージ場の質量項の付加で変更を受けません。

そこで,以前の§7-4でやったように作用Ｉ

と有効作用ΓからＢ^ａ依存部分を除いた,Ｉ~,

Γ~を定義し,また,外場Ｋ_Iの代わりに,変数

Ｋ~_Ｉ＝Ｋ_I＋iｃ~^ａｆ^ａ_Iを用いれば,ｃ~^ａへの

依存性も消えます。

こうすれば,後の２つのＷＴ恒等式は不要

となり,残るＷＴ恒等式:(24)は＊演算を用いて

Γ~*Γ~＝ｍ²(δΓ~/δＭ).(25)と,書き直す

ことができます。

この恒等式(24),方程式(25)は,実は元々,

Φ_I0,Ｋ~_I0,Ｍ₀等の裸の量を引数とする,裸の

有効作用Γ~₀に対して成立している裸の式

ですが,これをくりこんでも同じ形になる

ように§7-4の(15):Ａ₀^ａ_μ＝Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,

φ_0i＝Ｚ_i^1/2(φ_i,＋ｖ_i)＝Ｚ_i^1/2φ~_i,

(ｃ₀^ａ,ｃ₀~^ａ)＝Ｚ~₃^1/2(ｃ^ａ,ｃ~^ａ),(18):

Ｋ₀^ａ_μ＝Ｚ₃^-1/2Ｋ^ａ_μ,および,

Ｋ_0i＝(Ｚ~₃^1/2Ｚ₃^1/2/Ｚ_i^1/2)Ｋ_i,

さらに,(19):Ｋ_0ｃ^ａ＝Ｚ₃^1/2Ｋ_ｃ^ａ,

そして,(20):ｇ₀＝Ｚ_iＺ₃^-3/2ｇ.を

考慮します。

そして,ゲージ場Ａ^ａ_μの2乗質量ｍ₀²と

外場:Ｍ₀についても,ｍ₀²＝Ｚ^Ａ_ｍｍ²,

Ｍ₀＝Ｚ^Ａ_ｍＺ₃^1/2Ｚ~₃^1/2Ｍ.(26)として,

くりこみを行ないます。

すると,(24)は元々,Γ~₀を含め全ての量

に添字0を付けた裸の量で成立する恒等式

ですが,これが,くりこんだ量:Γ~と,Φ_I,Ｋ~_I,

ｃ^ａ,Ｋ_ｃ^ａ.ｍ²,Ｍで書かれた恒等式となり,

共通因数の(Ｚ₃^1/2Ｚ~₃^1/2)をはずすと,裸の式と

同じ形になります。

ゲージ場の2乗質量ｍ²に関しては,

「質量に依らないくりこみ」をしていますが,

(26)のｍ₀²＝Ｚ^Ａ_ｍｍ²で,ゲージ場の裸の質量

はｍ²に比例する部分しかない,と暗に述べて

います。これはゲージ対称性(ＢＲＳ対称性)に

より,ｍ²＝0なら,裸の2乗質量は,(ｍ₀²－δｍ₀²)

ではなくて,ｍ₀²であり,これもゼロであることが

保証されているからです。

前と同様,数学的帰納法により,ｈ_c^ｎのオーダー

まで有限にくりこめた,と仮定すると,ｈ_c^(ｎ＋1)の

オーダーで現われる発散Γ_div^(ｎ＋1)は,ＷＴ恒等式

(24)を書き直した(25)Γ~*Γ~＝ｍ²(δΓ~/δＭ)

より,Γ~⁽⁰⁾＝Ｉ~であり,

Ｉ~*Γd_iv^(ｎ＋1)＝ｍ²(δΓ_div^(ｎ＋1)/δＭ)なる

方程式を満たすことが従います。

それ故,今度の場合は前のＳ~＊Ｘ＝0と

違って,Ｉ~＊Ｘ＝ｍ2(δＸ/δＭ.(27)という

くりこみ方程式の解:Ｘの一般形を求めればよい,

ということになります。

まず,Ｘは次元が4以下であるとして,次元2

を担うｍ²の高々１次関数として,Ｘ＝Ｘ₀＋ｍ²Ｘ₁

(28)(Ｘ₀,Ｘ₁はｍ²に独立な量)と書いてよい

ことになります。

(※次元4のｍ⁴の項は場によらないので,今の

真空泡グラフを考えない場合,落とします。)

また,作用積分:Ｉ~でも,ｍ²部分を分離して

Ｉ~＝Ｉ~₀＋ｍ²Ｉ~₁.(29)とします。

このとき,I~₀＝Ｓ~＋∫ｄ⁴ｘ{Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)},

Ｉ₁＝∫ｄ⁴ｘ(ｍ2Ａ^ａ_μ²/2)＋ＭＡａμ　(30)です。

すると,(27)のI~＊Ｘ＝ｍ²(δＸ/δＭ)は,

(I~₀＋ｍ²Ｉ~₁)＊(Ｘ₀＋ｍ²Ｘ₁)＝ｍ²(∂Ｘ₀/δＭ)

＋ｍ⁴(δＸ_1/δＭ)となり,これはｍ²の多項式と

して恒等式なので,両辺の同じｍ²べきの係数

を等置して,方程式:I~₀＊Ｘ₀＝0.(31),

Ｉ~₁＊Ｘ₀－(δＸ₀/δＭ)＝－Ｉ~₀＊Ｘ₁.(32)

Ｉ~₁＊Ｘ₁－(δＸ₁/δＭ)＝0.(33)を得ます。

これを,(33),(32),(31)の順に解きます

そこで,まず,Ｉ~₁－(δＸ₁/δＭ)＝0ですが,

Ｘ＝Ｘ₀＋ｍ²Ｘ₁より,Ｘ₁は次元2以下の量です。

これが,大局的ゲージ不変性とＦＰゴースト数

Ｎ_ＦＰ＝0を満たす,という要求を考慮すると,

その一般形は次式で与えられることが

わかります。

すなわち,Ｘ₁＝∫ｄ⁴ｘ{ａＡ^a_μ²/2＋ｂ|φ_i|²}

(34)(ａ,ｂは定数)です。

ゲージ群がＵ(1),またはＵ(1)因子群を含む

場合は,Ｍｃ^ａの項も要求を満たすように見えます

が,ｃ^ａ(―ｘ)→ ―ｃ(ｘ),Ｍ(―ｘ)→ Ｍ(ｘ)

なので.ＣＰＴ不変性からこの項は(34)から排除

されます。とにかく,ｃの奇数次の項などは存在

し得ません。

一方,Ｉ~₁＝∫ｄ⁴ｘ{Ａ^ａ_μ²/2}(30)なる陽な

表式と.§7-4の演算＊の定義から,任意のＸに

対して.Ｉ~₁＊Ｘ＝Ａ^ａ_μ(δＸ/δＫ~^ａ_μ).(35)

です。そこで,(34)のＸ₁は,任意のａ,ｂについて,

Ｉ₁＊Ｘ₁－(δＸ₁/δＭ)＝0.(33)の方程式を満たす

ことがわかります。

(※何故なら,δＸ₁/δＫ~^ａ_μ＝0,かつ,δＸ₁/δＭ＝0

であるからです。)

この(33)の解である(34)のＸ₁を,(32)の方程式

Ｉ~₁＊Ｘ₀－(δＸ₀/δＭ)＝－Ｉ~₀＊Ｘ₁の右辺に

代入すると.{Ａ^ａ_μ(δ/δＫ~^ａ_μ)－(δ/δＭ)}Ｘ₀

＝－ａＡ_ａ^μ(∂_μｃ^ａ).(36)　を得ます。

(※何故なら.Ｉ~⁰＊Ｘ₁においては,φ_iに関わる

項:(δＩ~₀/δＫ_i)(δＸ₁/δφ_ｉ)

と(δＩ~₀/δＫ_i^＋)(δＸ₁/δφ_ｉ^＋)が,相殺して

消えて,Ａ^ａ_μに関する項だけが寄与するからです。)

ここで.Ｘ₀＝ａＭＡ_ａμ∂(∂^μｃ^ａ)が(36)の特解

になるのは,明らかです。

斉次(同次)方程式:{Ａ^ａ_μ(δ/δＫ~^ａ_μ)

－(δ/δＭ)}Ｘ₀＝0の一般解を求めるため,

Ｋ^^ａ_μ­＝Ｋ~^ａ_μ＋ＭＡ^ａ_μ.(37)と置けば,

δＸ₀/δＫ~^a_μ＝δＸ₀/δＫ^^ａ_μ,および,

δＸ₀/δＭ＝Ａ^ａ_μ(δＸ₀/δＫ^^ａ_μ)

(※Ｘ₀はＫ^_ａμを通してのみＭに依存)

となります。

故に,同次方程式は左辺＝δＸ₀/δＫ^^ａ_μ

＝0,つまり,これの一般解はＫ^^ａ_μに独立な

任意の汎関数です。

よって,このＸ₀の同次解をＸ~₀と書けば,

(36)の一般解は,Ｘ₀＝Ｘ~₀

＋∫ｄ⁴ｘ{ａＭＡ_ａμ(∂^μｃ^ａ)}(38)と書けます。

以後,変数として,Φ_Ｉ,ｃ^ａ,Ｋ~_i,Ｋ_ｃ^ａの他に

(37)のＫ^^ａ_μを採ることにすれば,Ｘ~₀はＫ^^ａ_μに

独立なので,Ｍに依存しない汎関数です。

最後に,方程式:(31)Ｉ~₀＊Ｘ₀＝0に.

上の(38)のＸ₀を代入します。

すると,I~₀＝Ｓ~＋∫ｄ⁴ｘ{Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)}

ですから,Ｓ~＊Ｘ~₀

＋Ｍ∫ｄ⁴ｘ[∂^μｃ^ａ(δ/δＫ^^ａ_μ)

－Ａ^ａ_μ∂^μ(δ/δＫ_ｃ^ａ)]Ｘ~⁰＝0.(39)

が得られます。

※(注16-3):何故なら,まず,Ｓ~＊{ＭＡ^ａ_μ(∂^μｃ^ａ)}

＝(δＳ~/δＫ^^ａ_μ)(δ/δＡ^ａ_μ){ＭＡ^ａ_μ(∂^μｃ^ａ)}

＝(δ_ＢＡ^ａ_μ)(δ/δＡ^ａ_μ){(δ_Ｂ(－ＭＡ^ａ_μ²/2)}

＝δ_Ｂ[δ_Ｂ(－ＭＡ^ａ_μ²/2)]＝0を用いると,

Ｓ~*Ｘ₀＝Ｓ~*Ｘ~₀が導かれます。

Ｍの項は,[∫ｄ⁴ｘ{Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)}＊Ｘ~₀

＝Ｍ∫ｄ⁴ｘ(∂^μｃ^ａ)(δＸ~₀/δＫ^^ａ_μ),

－ＭＡ^ａ_μ∂^μ(δＸ~₀/δＫ_ｃ^ａ)です。

そして,Ｍ²の項は同じものの＊積なのでゼロ

です。つまり,[∫ｄ⁴ｘ{Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)}＊

[∫ｄ⁴ｙ{Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)}]＝0　です。　

(注16-3終わり※)

そして,(39)の第1項はＭに依存しないので,

第1項と第2項は,それぞれ独立にゼロです。

すなわち,Ｓ~*Ｘ~₀＝0,かつ,

Ｍ∫ｄ⁴ｘ[∂^μｃ^ａ(δ/δＫ^^ａ_μ)

－Ａ^ａ_μ∂^μ(δ/δＫ_ｃ^ａ)]Ｘ~₀＝0.　です。

ところが,Ｓ~＊Ｘ~₀＝0の解は,前節で,

方程式:Ｓ~＊Ｘ＝0を解いた一般解Ｘと

同じ形で与えられます。

つまり,Ｓ~＊Ｘ＝0の一般解:Ｘは,

Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)

＋β_Ａ{Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)}

＋(β_Ａ－γ_Ａ){Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)

－Ｋ~^ａ_μ(∂_μｃ^ａ)}

＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j

{∂(Ｌ_ＧＩ＋Ｋ~_iδ_Ｂφ_i)/∂φ_j}].(63)

でしたが,この右辺の表式で,Ｋ~^ａ_μを,

Ｋ^^ａ_μ＝Ｋ~^ａ_μ＋ＭＡ^ａ_μに,置き換えたもの

が.今のＳ~＊Ｘ~₀＝0の一般解:Ｘ~₀を

与えます。

特に,Ｘ~₀の,Ｋ＾^ａ_μ,Ｋ_ｃ^ａ依存部分を

Ｘ~₀^Ｋと書ヶば,Ｘ~₀^K＝Ｋ^^ａ_μ{γ_Ａ(∂^μｃ^ａ)

－β_Ａｇ(Ａ^μ×ｃ)^ａ}

＋Ｋ_ｃ^ａ{β_Ａ(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａ}(40)である

ことがわかります。

ところが,このＸ~₀^Kは,(39)の第2項の

Ｍ∫ｄ⁴ｘ[(∂^μｃ^ａ)(δ/δＫ^^ａ_μ)

－Ａ^ａ_μ∂^μ(δ/δＫ_ｃ^ａ)]Ｘ~₀^Ｋ＝0を自動的

に満たします。(※証明は省略)

それ故,これ以外のＫ^^ａ_μもＫ_ｃ^ａも含まない

部分を加えた全体のＸ~₀をＸ₀^Ｋに置換しても,

これが満足され,結局,このＸ~₀が(31):I~₀＊Ｘ~₀＝0

の一般解を与えることがわかります。

　以上から,解:Ｘ＝Ｘ⁰＋ｍ²Ｘ₁は(34),(38)により,

Ｘ＝{Ｘ~₀－γ_ＡＭＡ^a_μ(∂^μｃ^ａ)}

＋∫ｄ⁴ｘ[(ａ₀＋γ_Ａ)ＭＡ^ａ_μ(∂^μｃ^ａ)

＋ａｍ²Ａ^ａ_μ²/2＋ｂｍ²|φi|²](41)

で与えられることになります。

このうち,|Ｘ~₀－γ_ＡＭＡ^a_μ(∂^μｃ^ａ)}は,

前節の(63)の一般式に一致し.既にＢＲＳ不変な

作用Ｓ~のＺ因子やｖ_iをずらして得られる相殺項

で相殺できる,ことを示しました。

今度の作用積分Ｉで新たに加えられた部分:

(Ｉ~－Ｓ~)＝∫ｄ⁴ｘ{ｍ²Ａ^ａ_μ²/2＋Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)}

において,くりこみ操作を実施すれば,

裸の,(Ｉ~－Ｓ~)₀

＝∫ｄ⁴ｘ{Ｚ^Ａ_ｍＺ₃ｍ²Ａ^ａ_μ²/2

＋Ｚ^Ａ_ｍＺ₃ｍＺ~₃Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)}(42)

となるため,Ｚ因子をずらすと,Δ(Ｉ－Ｓ)

＝∫ｄ⁴ｘ{(δＺ^Ａ_ｍ＋δＺ₃)ｍ²Ａ^ａ_μ²/2

＋(δＺ^Ａ_ｍ＋δＺ₃ｍ＋δＺ~₃)Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)}

(43)を得ます。

それ故,前節のδＺ₃＝－(α_Ａ＋2β_Ａ－2γ_Ａ),

δＺ~₃＝－γ_Ａに加えて,ａ＋δＺ^Ａ_ｍ＋δＺ₃＝0,

(ａ₀＋γ_Ａ)＋δＺ^Ａ_ｍ＋δＺ₃＋δＺ~₃＝0δを

要請して.δＺ^Ａ_ｍ＝－ａ＋(α_Ａ＋2β_Ａ－2γ_Ａ)(44)

とすると,(43)の2つの項が,丁度,(41)の第1項

と第2項を相殺します。

残る(41)の最後の項:(－ｂｍ²|φ_i|²)については,

(63)のμ²に比例する発散項(－α_ｍμ²|φ_i|²)と一緒

にして,スカラー場の裸の質量項を,

－(Ｚ_ｍ1μ²＋Ｚ_ｍ2ｂｍ²)Ｚ_i|φ_i|^2.(45)と分離して

おけば,2つの相殺項を用意することができます。

以上で,ゲージ場の質量項を加えても,スカラー場

の質量項が少しの変更を受けるだけで,ゲージ理論は,

くりこみ可能に留まるという予想を証明すること

ができました。

しかし,これは,あくまで,赤外正則化の暫定的

方法であることに注意すべきです。

何故なら,そもそもゲージ場の質量がゼロでない

理論は,有限にはできても,ＢＲＳ不変性を持たず,

故にＢＲＳ電荷:Ｑ_Ｂは保存されないし，ベキ零性

δ_Ｂ²＝0も成立しないから,物理的解釈のできる

理論とはならないからです。

例えば,Paulli-Villers正則化では,ゲージ粒子

の作るloop積分の対数発散部分はln(Λ²/ｍ²)の

形となり,Λ²→∞で紫外発散,ｍ²→0で赤外発散

しますが,とりあえず両者とも相殺項で有限に

できることは示しました。

そこで赤外発散については正則化の後にｍ²→0

の極限を取ったとき,無矛盾に留まればいいです。

(※QEDでは、エネルギーがゼロの無数の実光子の

寄与が,無数の仮想光子の寄与で相殺される,という

方法で赤外破局(Infrared catastrophe)は解決され

ました。)

 これで,第7章が終わったので,ここで,この記事

シリーズを一旦,終わります。

(「くりこみ理論(第２部)」につづく)

(参考文献):九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(培風館)

くりこみ理論(次元正則化)(15)

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

「くりこみ理論(次元正則化)(10)」の最後の方

から始まった,「ゲージ理論のくりこみ可能性」

を証明するという課題は,記事(11),(12),(13)を

経て前回の記事(14)でやっと完了しました。

６月に入りました。

今回は第7章の新しい節である:

§7-5:(質量に依らない対称なくりこみ)からです。

以下,本論です。

前節のゲージ理論のくりこみ可能性の議論

では,「対称性の自発的破れ」がないと仮定し,

大局的ゲージ不変性の要請を,多くのところで

用いました。しかしながら,対称性が自発的に

破れて,Higgs現象が起きているような場合でも

ゲージ理論は依然として,くりこみ可能である

ことを示すことができます。

実際,前節では,既に対称性が自発的に破れて

いる場合も含めて考えていました。

つまり,対称性を陽に破るパラメータ:ｆ^ａ_iを

含む一般線形ゲージの場合を論じたのでスカラー

場:φ_iは真空期待値:ｖ_iを持ち,自発的破れのある

場合と本質的に同値な状況を既に考えたことになる,

わけです。

すなわち,対称性の自発的破れがある場合には,

スカラー場:φ_iはtreeレベルでゼロでない真空

期待値:ｖ_i⁽⁰⁾を持つのですが,そのパラメータｖ_i(⁰⁾

(≠0)をゲージ固定項のパラメータ:ｆ^ａ_iと同様,

大局的ゲージ変換の下で,その添字に応じて変換

する共変量と見なすことにすれば,依然として

大局的ゲージ不変性の要求を満たす理論に対する

場合と同じ議論が可能となります。

そうすれば,前節の議論で大局的ゲージ不変性を

用いたところで,新たにｖ_i⁽⁰⁾がφ_iと同じ変換をする

次元1の量として加わるという点のみを考え直せば

結局,前と同じく,くりこみ因子Ｚや真空期待値ｖ_i

をシフトすることによって発散を全てくりこむこと

ができます。

本節では,これを陽に行なうことはせず,むしろ

対称性が自発的に破れた理論のくりこみを,自発的

破れを起こしていない対称な理論のくりこみに帰着

させる,という方法について述べます。

この方法の基本的考え方は次の通りです。

摂動論の範囲内では,対称性の自発的破れを

起こしている場合と破れを起こしていない場合

の違いは,単にスカラー場:φの質量項:－μ²|φ|²

のμ²の符号の違いだけです。

※(注15-1):質量項を－μ²|φ|²とすると,

有効ポテンシャルＶは,

Ｖ[φ~]－(λ/2)|φ~|⁴－μ²|φ~|²

＝－(λ/2)(|φ~|²＋μ²/λ)²－μ⁴/(2λ)

であり,{φ~{²≧0なので,普通にμ²＞0なら

Ｖの最小値を与えるφの期待値φ~は確かに

φ~＝0であり,そのときＶ_min＝0ですから,

この場合は対称性は破れていません。

しかし,もしも質量が,異常なμ²＜0の

パラメータなら,Ｖ[φ~]＝－(λ/2)|φ~|⁴

－|μ²||φ~|²＝－(λ/2)(|φ~|²－|μ|²/λ)²

＋μ⁴/(2λ)なので,Ｖが最小になるのは|φ~|²

＝|μ|²/λ＝－μ²/λ＞0のときであり,この

とき,Ｖ_min＝μ⁴/(2λ)＞0ですから,対称性が

破れています。

これは,第６章「対称性の自発的破れ」で紹介

した単純なGoldstone模型です。

(注15-1終わり※)

ところが,くりこみの一般論の第７章の命題

からもわかるように,このような次元2の質量項

の違いはゲージ理論のくりこみの本質的な部分

である次元が4,または3の演算子(発散部分)の

くりこみには影響しません。

このことを反映して,実際,任意の理論において

そこに現われる場の質量パラメータに依存しない

形で,くりこみができること,それ故,質量

パラメータを変数とする(連続無限個の)理論の組

が一度に有限となることを示すことができます。

このくりこみの方法を「質量に依らないくりこみ

(mass-independent renormalization)」と呼びます。

これを利用して,対称な理論で一たび,くりこみが

できる,ことがわかれば,(ゲージ理論であれ何であれ)

理論は質量パラメータμ²の値の如何に依らず一挙に

有限にできることになるので,このLagrangianでμ²＜0

の対称性の自発的に破れた理論も有限であるといえます。

さて,※(質量に依らないくりこみ)の項の本論です。

このくりこみ法は,元々はt’HooftとWeinberg

によって提唱されたのですが,ここではCallanに従って

最も簡単なスカラー理論の場合で説明します。

例として,Ｏ(Ｎ)対称性を持つλφ⁴理論を採用すれば

その摂動の第0次のLagrangian密度は,スカラー場を

φ＝φ₁,φ₂,..φ_Ｎ)として,Ｌ＝(∂_μφ)²

－(ｍ²/2)φ²－(λ/8)(φ²)².(1)で与えられます。

ここで,φ²＝Σ_j=1^Nφ_j²であり,ｍ²は質量の２乗

パラメータですが,これは非負とは限らないとします。

(※通常のスカラー粒子の2乗質量に用いるμ²は後

でくりこみ点に用いる予定なので,ここでは使わずに,

残しておきます。)

この(1)のＬに対する有効作用:Γを有限にする

ためには,２次発散する2点頂点関数Γ⁽²⁾と対数

発散する4点頂点関数Γ⁽⁴⁾を考えれば十分です。

これらに対して,適切なくりこみ条件の本質的な

点は,ｎ点頂点関数Γ^(ｎ)を質量をパラメータｍ²の

関数と見て有限化することです。

それ故,ｍ²をΓ^(ｎ)の運動量変数:ｐの2乗:ｐ²など

と同等に扱います。

例えば,次のようなくりこみ条件を設定します。

すなわち,Γ⁽²⁾_ij(Ｐ²＝0,ｍ²,λ;μ²)|_ｍ2＝=0＝0.(2),

(∂/∂ｍ²)Γ⁽²⁾_ij(Ｐ²＝0,ｍ²,λ;μ²)|_ｍ2＝μ2＝－δ_ij(3),

(∂/∂ｐ²)Γ⁽²⁾_ij(Ｐ²,ｍ²,λ;μ²)|_{Ｐ2＝0,ｍ2＝μ2}＝＋δ_ij.

(4)です。

そして,Γ⁽⁴⁾_ijkl(Ｐ²＝0,ｍ²,λ;μ²)|_ｍ2＝μ2

＝－λδ_ij._kl(5)です。

ただし,Ｐは,一般のｎ点関数のとき,

Ｐ＝(ｐ₁,ｐ₂。..ｐ_ｎ-1)｜_{ｐn＝－(ｐ1＋ｐ2＋..ｐn-1)}を

表わし,また,δi_j,,kl＝δ_ijδ_kl＋δ_ikδ_jl＋δ_ilδ_jk

(6)です

2点関数ではΓ⁽²⁾は２次発散なので(次元2の)引数:

ｍ²,および,Ｐ²でTaylot展開すれば発散次元は２

ずつ下がり,初項が2次発散し.次の１階微分の2項

(∂Γ⁽²⁾/∂ｍ²)と(∂Γ⁽²⁾/∂ｐ²)が対数発散します。

そして,それ以降は収束ということになります。

上記の(2),(3),(4)のくりこみ条件は,この発散

する初めの3項に対する条件で,(2)は質量

パラメータｍ²がゼロのときは,粒子が本当に零質量

なるべし.(3).(4)は,ｍ²があるべき項μ²(＞0)のとき

ｐ²がゼロでのΓ⁽²)の(ｐ²－ｍ²)に関する数係数が,

treeレベルのΓ⁽²⁾＝δ_ij(ｐ²－ｍ²)の満たす値から

ずれてはならない。という要請です。

これに対して,４点関数:Γ⁽⁴⁾は対数発散なので.

(ｍ²,ｐ²)平面のどこか１点の値を指定すればいい

です。(5)の条件は,ｍ²=μ²のとき,ｐ＝0のΓ⁽⁴⁾

がtreeレベルの－λδ_ij.klから,ずれないという

条件です。

(2)の条件がｍ²＝0で与えられているのに対し

(3)～,(5)の条件がｍ²＝μ²＞0で与えられている

のは,(3)～(5)の量は対数発散なので,ｍもｐも皆,

ゼロにすると赤外発散の困難に遭うからです。

(※理解しやすいように,Paulli－Villersの正則化

で見ると,対数発散量は切断パラメータをΛ²として

lnΛ²に比例して発散することを意味しますが,Λ²は

次元を持っており,これの対数関数というのは物理的

には有り得ず,必ず,無次元量として,ln{Λ²/(ａｐ²＋ｂｍ²)}

の形で現われるため,ｐ²＝0としたとき,ｍ²＝0とすると

赤外発散を生じるからです。)

くりこみ条件を与えたｍ²の値:μ²を

「くりこみ点(renormalization point)」と呼びます。

このことから,くりこまれたΓ^(ｎ)は

くりこみ点:μ²にも依存するようになるので,

(2)～(5)でΓ⁽²⁾,Γ⁽⁴⁾の引数としてμ²を陽に書いた

のでした。

こうした,くりこみ条件を実現するためには

次の相殺項が必要となります。

すなわち,Ｌ_count＝(Ａ/2)(∂_μφ)²－(Ｂ/2)ｍ²φ²

＋(1/2)δｍ²φ²－(Ｃλ/8)(φ²)².(7)です。

つまり,摂動論(例えばｈ_c展開)の各オーダーごとに

相殺項の係数:Ａ,Ｂ,δｍ²,Ｃを決めてゆきます。

くりこみ条件の(2)はδｍ²の,(3)はＢの,(4)はＡの,

(5)はＣの,自由度を用いて,それぞれが満たされるように

できます。この相殺項を加えるということは,系の裸の

Lagrangian:Ｌ₀がＬ₀＝(1/2)(∂_μφ₀)²

－(1/2)(ｍ₀²－δｍ₀²)φ₀²－(λ₀/8)(φ₀²)²＝Ｌ＋Ｌ_count(8)

と書けることを意味し,φ₀＝Ｚ_φ^1/2φ,より,1＋Ａ＝Ｚ_φ.(9),

ｍ₀²＝Ｚ_ｍｍ²,δｍ₀²＝Ｚ_φ^-1δｍ²より,1＋Ｂ＝Ｚ_ｍＺ_φ.(10),

λ₀＝Ｚ_λλより,1＋Ｃ＝Ｚ_λＺ_φ².(11)を満たす係数Ａ,Ｂ,

δｍ²,Ｃを持つ相殺項:Ｌ_countを採ればいいことを意味します。

与えられた1つの質量の理論をくりこむ通常の場合と少し

異なっているのは,裸の質量が,(ｍ₀²－δｍ₀²)のように２つ

に分離しているところです。

今の場合,ｍ²はｐ²と同様な変数であり,(10)を導いた式:

{(1＋Ｂ)ｍ²－δｍ²}φ²/2＝(ｍ₀²－δｍ₀²)φ₀²/2

＝(Ｚ_ｍＺ_φｍ²－δｍ²)φ²/2から,わかるようにｍ₀²はｍ²に

比例する線形項ですが,δｍ₀²はｍ²に依らない定数項に対応

しています。

(※なお,Dirac Fermionの場合は,同様にｍに

比例する部分:ｍ₀＝Ｚ_ｍｍと,定数部分δｍ₀に

分けると.実は,δｍ₀は自動的にゼロになります。

これは,カイラル対称性のせいで,くりこまれた質量

(treeレベルの質量)がゼロであると裸の質量も

ゼロになるからです。(※※つまりカイラル対称性

を持つは質量項のないDirac粒子の場合です。

そこで,くりこんだ結果:δｍψ~ψ＝0なら

裸の質量:ｍ₀－δｍ₀におけるδｍに関わる

部分のδｍ₀＝0なのです。)

スカラー理論でも,次元正則化を用いるなら定数部分

δｍ₀²は自動的にゼロとなります。)

いずれにしろ,以上のくりこみ手続きでΓ⁽²⁾,Γ⁽⁴⁾,それ故

Γ^(ｎ)が,摂動の各次数ごとに運動量ｐと質量パラメータｍ²

の関数として有限にできるということがわかりました。

このとき,対数発散項の相殺にあずかる因子:

Ｚφ,Ｚ_ｍ,Ｚ_λは,くりこみ条件(3)～(5)がｍ²＝μ²の

ところで与えられているので,切断パラメータをΛ

として,Ｚ_i＝Ｚ_i(λ₀,Λ/μ)　(i＝φ,ｍ,λ).(12)

の形で決まります。

こうしてＺiは,変数としての質量パラメータｍ²

には依存していないということが重要な点で,

「質量に依らないくりこみ」という名称は,これ

に由来しています。

もう１つの重要な注目点は,裸のLagrangian

(故に裸の有効作用)に現われるδｍ₀²が,ｍ²にも

δｍ²にも依存しないという事実です。

すなわち,δｍ₀²＝Λ²ｆ₀(λ₀)(13)と書けます。

このことは,過去記事；「くりこみ理論(6)」で

与えた関係式を,μ²をｍ²に置き換え,くりこみ

点を表示して書き直した,

Γ^(ｎ)(ｐ,ｍ²,λ;μ²)

＝Ｚ_φ^ｎ/2Γ₀^(ｎ)(ｏ,ｍ₀²,λ₀;Λ²),(14)

を思い出せば,裸の,Γ₀^(ｎ)は,くりこまれた

それ:Γ^(ｎ)と比例関係にあることから,

Γ⁽²⁾に対するくりこみ条件(2)を裸の

Γ₀⁽²⁾に対するように書き換えると,

Γ₀⁽²⁾_ij(ｐ²＝0,ｍ₀²＝0,δｍ₀²,λ₀；Λ²)＝0.

(15)となることがわかります。

これはδｍ₀²を決める関係式になっており,

ゼロでなくて次元を持つ量は,δｍ₀²の他には

Λ²のみを含んでいます。

そこで,次元解析を利用して(14)の解:δｍ₀²

が,δｍ₀²＝Λ²ｆ₀(λ₀)(13)の形に書けることが

わかります。この形式は,後に斉次くりこみ群

方程式を導くときに重要になります。

これを得るためには質量に依らないくりこみ

では,くりこみ条件(2)は必要不可欠です。

しかし,他の条件(3)～(5)は,いろいろとある

中の１つの選択肢で,他の条件も有り得ます。

例えば,(3),(5)を,それぞれ,

Γ⁽²⁾_ij(ｐ²＝μ²,ｍ²＝μ²,λ：μ²)＝0.(16-1),

Γ⁽⁴⁾_ijkl(ｐ,ｍ²＝μ²,λ：μ²)|_{ｐiｐj＝(１－δij)/2}

＝－λδ_ij,kl.(16-2)に置き換えてもいいです。

ここで,t’Hooftにより始められた,次元正則化

に基づく,質量に依らないくりこみ法について少し

コメントします。

この方法も本質的には上記のPaulli-Villers

正則化のそれと同じですが,ゲージ不変性を尊重

するという点で便利です。

まず,時空ｄ次元では,dimφ＝(ｄ－2)/2,

dim(Ｌ)＝ｄですから,裸の結合定数λ₀が(4－ｄ)

の次元を持ちます。しかし,くりこまれた結合定数

λ,および,くりこみ定数:Ｚ_λが常に無次元になる

ように.(11)のλ₀＝Ｚ_λλ,の代わりに,

λ₀＝Ｚ_λ(λμ^(4-－ｄ))

＝(1＋ｈ_cＺ_λ(¹⁾＋ｈ_c²Ｚ_λ⁽²⁾＋..)(λμ^(4－ｄ))(17)

の形でくりこみを行ないます。

ただし,μはくりこみ点に相当する次元１の

パラメータです。

こうすれば,次元正則化による摂動計算において,

結合定数は常に(λμ^(4－ｄ))の形で出てきます。

したがって,loop積分結果のｄ＝4の極の近傍の

展開に現われる対数関数は,ln{(ｐ²＋ｍ²)/μ²}の

ように,常に正しく引数が無次元の量となります。

次元正則化のこの方法では次元を持つ切断

パラメータΛは導入されないので.先の2次発散

のΓ⁽²⁾に対する,くりこみ条件(2):

Γ⁽²⁾_ij(ｐ²＝0,ｍ²,λ;μ²)|_ｍ2＝0＝0.は,自動的に

満たされます。(μ²はｄ→4では対数の引数には

出てきません。)

よって,条件(2)が陽に言及されることはないです。

他の対数発散部分に対してはは（17）の

λ₀＝Ｚ_λ(λμ^(4-－ｄ))

＝(1＋ｈ_cＺ_λ(¹⁾＋ｈ_c²Ｚ_λ⁽²⁾＋..)(λμ^(4－ｄ))

および,ｍ₀²＝Ｚ_ｍｍ²,φ₀＝Ｚ_φ^1/2φとして,

例えば,先の条件(3),(4),(5)(ただし(5)では

右辺のλをλμ^(4－ｄ)に置換)のくりこみ条件:

つまり

(∂/∂ｍ²)Γ⁽²⁾_ij(ｐ²＝0,ｍ²,λ;μ²)|_ｍ2＝μ2

＝－δ_ij(3),

(∂/∂ｐ²)Γ⁽²⁾_ij(ｐ²,ｍ²,λ;μ²)|_{ｐ2＝0,ｍ2＝μ2}

＝δ_ij.(4),Γ⁽⁴⁾_ijkl(ｐ²＝0,ｍ²,λ;μ²)|_ｍ2＝μ2

＝－λμ^(４－ｄ)δ_ij._kl(.(5)’

を設定して,くりこみを実施します。

または,くりこみ条件に言及せず,

単に1/(ｄ－4)の極の部分ε~^-1だけを除きます。

そうすれば,次元をもたないＺi(ｉ＝φ,ｍ.λ)は,

(Λが存在しないので)μに陽には依存せず,

Ｚi(λ,ｄ)＝1＋ａ1(λ)/(ｄ－4)＋ａ2(λ)/(ｄ－4)2

＋..の形になり,明白な質量に依らないくりこみと

なります。

このとき,Ｚiのくりこみ点:μへの依存性は

くりこまれた結合定数λを通してのみ依存します。

くりこまれたλは裸のλ0がμに独立なので,(17)から

μ依存性が決まります。

※(注15-2):「くりこみ理論(4)」,または,その

「要約(4)」の必要部分の再掲載を兼ねた,本論

の補足説明を注釈します。

まず,系の裸のLagrangianをＬ₀＝Ｌ＋Ｌ_countと

するとき,裸の質量がμ₀のBosonの２点Green

関数(Feynman伝播関数)iΔ_F’(ｐ²)への

1粒子既約な自己エネルギーグラフの寄与

が裸の量で－iΠ₀(ｐ²)であるとすると,

その２点Green関数は

iΔ_F’_ij(ｐ²)＝iδ_ij{ｐ²－μ₀²－Π₀(ｐ²)}^-1

＝i[Γ₀⁽²⁾(ｐ²)]^-1で与えられます。

そして,iΔ_F’(ｐ²)を,くり込んだものを

iΔ_F~(ｐ²)と書き,iΔ_F’(ｐ²)

＝i/{ｐ²－μ₀²－Π₀(ｐ²)}＝iＺ₃/(ｐ^２－μ²)

＝Ｚ₃iΔ_F~(ｐ²)になると考えると,

Π₀(ｐ²)＝(Ｚ₃－1)(ｐ²－μ²)＋δμ²を得ます。

ただし,δμ²＝μ²－μ₀²としています。

系の裸のLagrangianがＬ₀＝Ｌ＋Ｌ_contと

表わされるのに倣って,裸のΠ₀もくりこまれた

Πと相殺項:Π_countの和として,

Π₀(ｐ²)＝Π(ｐ²)＋Π_count(ｐ²)と書くと

Π(ｐ²)＋Π_count(ｐ²)＝(Ｚ₃－1)(ｐ²－μ²)

＋δμ²です。

特に,最低次のオーダーでは,

Π^(1-loop1)(ｐ²)＋Π_count⁽¹⁾(ｐ²)＝Ｚ₃⁽¹⁾(ｐ²－μ²)

＋(δμ²)⁽¹⁾となるべきことを意味します。

このくりこみの結果,μが実際に観測される

物理的質量という意味を持つための条件として

ｐ²＝μ²の近傍では,Δ~_F(ｐ²)_ij＝δ_ij/(ｐ²－μ²),

または,Γ~⁽²⁾(ｐ²)＝ｐ²－μ²となることが要求

されます。

くりこみ条件(2)はｐ＝0,μ＝0でΓ(2)＝0

でした。

この条件はΠ(ｐ²)＋Π_conht(ｐ²)

＝(Ｚ₃－1)(ｐ²－μ²)＋δμ²の上では,ｐ＝0,

μ＝0で,Π(0)＋Πcount(1)(0)＝(δμ²なること

に相当しています。

これらは,質量をパラメータ:ｍとしてくりこみ

点を,ｍ²＝μ²とした頂点関数Γで考えるとｐ²＝ｍ²

＝μ²の近傍では,Γ⁽²⁾(ｐ²)＝ｐ²－ｍ²となるべき

ことを意味します。

そして,これは,Γ(ｐ²,ｍ²)＝Γ(0,0)＋ｐ²(∂Γ/∂ｐ²)

＋ｍ²(∂Γ/∂ｍ²）＋..のベキ展開においては,

Γ(0,0)＝0,(2) (∂Γ/∂ｐ²)＝1,(3),(∂Γ/∂ｍ⁾＝－1.

(4）の３条件です。

そして特に,最低次のオーダーでは,Π^(1-loop1)(ｐ²)

＋Π_count⁽¹⁾(ｐ²)＝Ｚ₃⁽¹⁾(ｐ²－μ²)＋(δμ²)⁽¹⁾です。

そこで,Π^(1-loop1)(ｐ²,ｍ²)＋Π_conht⁽¹⁾(ｐ²,ｍ²)

＝Ｚ₃⁽¹⁾(ｐ²－ｍ²)＋(δｍ²)⁽¹⁾であり,条件(2)は,

最低次ではΠ^(1-loop1)(0,0)＋Πcount(1)(ｐ²)

＝(δｍ²)⁽¹⁾です。

さてBoson質量をμに戻して,くりこまれた量で

最低次の1粒子既約の自己エネルギーを計算すれば,

－iδ^ijΠ^(1-loop)(ｐ²)

＝∫ｄ^dｋ(2π)^-4(－)Tr[(―iｇτⁱ)i(ｋ－ｍ_F)^-1

(－iｇτ^j)i{(ｋ－ｐ)－ｍ_F}^-1]＋∫ｄ^dｋ(2π)^-4

(－iλ/8)4×3＋8)δ^iji/(ｋ²－μ²)－iΠ_count⁽¹⁾(ｐ²)

となります。ただし,ｍ_FはBosonが真空偏極する

グラフでloop積分すべき内線運動量ｋを持った

仮想Fermionの質量です。

次元正則化で,最後にd→4の極限をとる前の

自己エネルギー部分の計算結果は,

－iΠ^(1-loop)(ｐ²)

＝{(－i)2・4ｇ²/(16π²)}[(3ε~^-1＋1)

×(ｍ_F²－ｐ²/6)－3∫₀¹ｄｘ{ｍ_F²－ｘ(1－ｘ)ｐ²

×ln{ｍ_F²－ｘ(1－ｘ)ｐ²}]

＋{－5λ/(32π²)}μ²{－ε~^-1－1＋ln(μ²)}

となります。

ただし,ε~^-1は,ｄ→4で発散する部分で,

ε^-1＝2/(4－ｄ)および,ε~^-1＝ε^-1－γ＋ln(4π)

で定義されています。

それ故,－iΠ^(1-loop)(ｐ²)の発散部分は,

ε~^－1を含む部分だけで,これを含む相殺項を.

－iΠ^c_ount⁽¹⁾(ｐ²)として,差し引くことで,有限

にする操作が,次元正則化のくりこみ手続きです。

したがって,1PIの自己エネルギーグラフの

最低次のくりこまれたネットの寄与は,

Π^(1-loop)(ｐ²)＋Π_count⁽¹⁾(ｐ²)ですが,これが,

ｐ＝0,μ＝0で(δμ²)⁽¹⁾に一致するべし,と

いうのが,最低次でのくりこみ条件(2)の

意味するところです。

それ故,Π^(1-loop)(0)|_ｐ2＝0,_μ2＝0

＝{ｇ²/(2π²)}{(3ε~^-1＋1)ｍ_F²－3ｍ_F²ln(ｍ_F²)}

を得ますが,相殺項:Π_count⁽¹⁾(0)をε~^-1を因子と

する発散部分:{3ｇ²/(2π²)}ε~^-1に有限限部分

の一部を加えて(－)符号を付けたものとして

これに加えると,(δμ²)⁽¹⁾が(有限部分)

＋Π^(1-loop)(0)|_{ｐ2＝0.μ2＝0}で与えられることがくりこみ

条件(2)が満たされることに同値となります。

すなわち,Paulli-Villersの場合なら∫ｄ^ｄｋ

が∫ｄ⁴ｋで,自己エネルギー部分の計算結果は,

－iδ^ijΠ^(1-loop)(ｐ²)

＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4(－)Ｔr[(―iｇτⁱ)i(ｋ－ｍ_F)^-1

(－iｇτ^j)i{(ｋ－ｐ)－ｍ_F}^-1]

＋∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4(－iλ/8)4×3＋8)δ^iji/(ｋ²－μ²)

となり,被積分関数はｋの(－2)次で,積分が∫ｄ⁴ｋ

の4次であること,および,(ｍ_F²,μ²,ｐ²)の次元2を

持った量で展開すると,発散の次数が2ずつ下がること

から,これを理解できます。

いずれにしろ,Π^(1-loop)(ｐ²)は,外線運動量:ｐ²の関数

として,ｐ²の0次と１次の項しか含まず,それ故,丁度,

相殺項:－iΠ_count⁽¹⁾(ｐ²)＝i{Ｚ₃⁽¹⁾(ｐ²－μ²)＋δμ²⁽¹⁾}

で相殺できる形になります。

つまり,Paulli-Villers正則化では,δμ²⁽¹⁾

＝Π^(1-loop)(ｐ²＝μ²)＝(有限定数)

＋{5λ/(16π²)－3ｇ²/π²}Λ²ln2

＋[{3ｇ²/(2π²)}(ｍ_F²－μ²/6)－5λμ²/(32π²)]

×ln(Λ²/μ²)(発散量),

かつ,Ｚ₃⁽¹⁾＝[∂Π^(-loop1)/∂ｐ²]_ｐ2＝μ2

＝(有限定数)＋{ｇ²/(4π²)}ln(Λ²/μ²)(発散量)

と置き,一方,次元正則化では,

δμ²⁽¹⁾＝Π^(1-loop)(ｐ²＝μ²)

＝(有限定数)

＋[{3ｇ²/(2π²)(ｍ_F²－μ²/6)－5λμ²/(32π²)}ε~^-1

(発散量),かつ,Ｚ₃⁽¹⁾＝[∂Π^(-loop1)/∂ｐ²]_ｐ2＝μ2

＝(有限定数)＋{ｇ²/(4π²)}ε~^-1(発散量)と置くと

いずれの正則化でも,Π^(1-loop1)＋Π_count⁽¹⁾は有限になり

(ｐ²－μ²)の2次以上の項はなくなって,

伝播関数はｐ²＝μ²の近傍では,iΔ_j(ｐ²)_ij

＝iδ_ij/(ｐ²－μ²)の形になり,μがBosonの物理的

質量である,という要請が確かに満足されます。

(再掲部分関連終了※)

質量に依らないくりこみでは,裸の2乗質量

がμ₀²ではなくて,(ｍ₀²－δｍ₀²),くりこまれた

質量がμ²でなくｍ²なので,上のδμ²＝μ²－μ₀²

に相当するのは,ｍ²－(ｍ₀²－δｍ₀²)＝δｍ²＋δｍ₀²

です。先に述べたようにδｍ₀²はｍ²に依存しない

定数ですから,このパラメータはどう取ろうが自由

です。

自己エネルギーについては.

Π(ｐ²)＋Π_count⁽¹⁾(ｐ²)＝{Ｚ₃－1)(ｐ²－ｍ²)

＋(δｍ^2-＋δｍ₀²)が満たされるべき条件です。

故に,くりこみ条件(2)はΠ(0)＋Π_count⁽¹⁾(²)

＝δｍ^2-＋δｍ₀²ですが,δｍ₀²が何でもよい

なら;この条件は不要だと思うのですが。

(注15-2終わり※)

途中すが長くなったので今回はここで終わります。

(参考文献):九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(培風館)