くりこみ理論(次元正則化)16）

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

§7-5:(質量に依らない対称なくりこみ)

の続きからです。以下,本論です。

※(有効作用のくりこみ)の項です。

前記事の「質量に依らないくりこみ」

により得られる有効作用Γ[φ~,ｍ²,λ；μ²]

を考えます。(※φ_i~はスカラー場:φ_iの

期待値を表わしています。)

今は,φの脚のない真空泡グラフは,考慮

していないので,Γ⁽⁰⁾については,省くと

,Γ[φ~,ｍ²,λ；μ²]

＝Σ_n=2^∞(1/ｎ!)∫(2π)^-4ｄ⁴ｐ₁.∫(2π)^-4ｄ⁴ｐ_n

[Γ^(ｎ)_i1i2..in(Ｐ,ｍ²,λ；μ²)(2π)⁴δ(Σ_ｊｐ_j)

×φ_i1~(－ｐ₁)φ_i2~(－ｐ₂)..φ_in~(－ｐ_n)].(18)

と展開され,係数としてのｎ点頂点関数:Γ^(ｎ)

が,Ｐとｍ²の有限な関数として計算されます。

展開:(18)は,φ_i~＝0の対称な真空のまわり

の展開ですから,各頂点関数Γ^(ｎ)は,対称な

真空の上の頂点関数に対応しています。

しかしながら,上記くりこみ操作を各Γ^(ｎ)の

個々の頂点関数のくりこみと,摂動論的に考える

ことなく,むしろ有効作用Γ[φ~,ｍ²,λ；μ²]

という１つの量に対するくりこみと見なすこと

もできます。

この観点を取れば,Γ自体は,Γ⁽⁰⁾＝Ｓがλφ⁴

の項を含むため,4次発散の量ですが,それを次元

1を持つ引数φ_i~(ｐ)で展開すれば,発散が１次

ずつ下がるので,展開で考えるとΓ⁽⁰⁾,Γ⁽²⁾,Γ⁽⁴⁾

までが発散し,これらはそれぞれ,4次,2次,対数

の発散量となりますが,真空泡グラフの寄与Γ⁽⁰⁾

は考慮する必要がないので,無視します。

さらに,Γ⁽²⁾,Γ⁽⁴⁾を引数ｐ²とｍ²で展開し,

その初めの展開でΓ⁽²⁾の定数項:Γ⁽²⁾|_{ｐ2＝ｍ2＝0},

ｐ²の係数:(∂Γ⁽²⁾/∂ｐ²)|_{ｐ2＝0.2ｍ2＝μ2},

(ｍ²－μ²)の係数:(∂Γ⁽²⁾/∂ｍ²)|_{ｐ2＝0,ｍ2＝μ2}.

Γ(⁴⁾の定数項Γ⁽⁴⁾|_{ｐ2＝0,ｍ2＝μ2}.(19)の4つの

量だけが発散するので,これらに対して.先の

(2)～(5)のくりこみ条件下で指定される引き算

操作をしたものが,有効作用Γのくりこみ操作

であると,考えることができます。

こうした立場では,有効作用Γを,φ_i~の汎関数,

かつ,ｍ²の関数として丸ごと有限化したのであり.

展開:(18)のように,対称な真空:φ_i~＝0 の上の

ｎ点頂点関数:Γ(^ｎ)のそれぞれを有限にしたもの

ではない,という点が重要です。

つまり,Γを有限にするのに,そのφ_i~による,

φ_i~＝0のまわりのTaylor展開で,初めの発散する

係数を持つ4項だけを(19)の指定により,引き算操作

しただけであり,決して,それ以降の収束する項まで,

φ_i~＝0のまわりのTaylor展開と見る必要はない,

ということです。

このことは,通常のＢＰＨＺくりこみにおいて

発散するFeynman積分の被積分関数に対して,その

外線運動量ｐに関してTaylor展開した初めの数項

を引き算した手続きと丁度,同じで,その場合も.

決して,被積分関数をｐ＝0のまわりに無限次まで

展開したわけではなく,初めの数項を引き算した

残りの積分は,展開などせず,単に有限な関数である

としたのと同様な見方ができます。

それ故,(19)の４項を引き算することで,有効作用

Γは,φ~の有限な汎関数,かつｍ²の有限な関数と

なるわけです。

このような単に見かけの違いに過ぎないような

「有効作用のくりこみ］という立場を強調する

のは。次の理由からです。

実際のところ,対称性が自発的に破れる場合,

特に,質量パラメータｍ²がある負の値(－Ｍ²)を

取る場合に興味があります。

この場合にはφ~_i＝0の対称な真空は不安定で

あり,Feynman伝播関数にタキオン(tachyon)の極

(ｐ²＜0の領域の極)が出てくるので,φ~＝0のまわり

の展開(18)の係数で与えられる真空上のｎ点頂点関数

Γ^(ｎ)は無矛盾(well-defined)な量でなくなります。

(※つまり,この不合理なタキオンの極をどのように

避けるのか?がまだ指定されていません。)

しかし,Γ[φ~,ｍ²,λ；μ²]自体は,ｍ²＜0の

領域でも無矛盾です。

ｍ²＝－Ｍ²＜0の場合には,まず,有効作用Γの

引数:φ_i~(ｘ)を定数φ_i~(※これは運動量表示の

φ_i~(ｐ)では,φ_i~(ｐ)＝∫ｄ⁴ｘexp(iｐｘ)φ_i~(ｘ)

なので,φ_i~の(2π)⁴δ⁴(ｐ)倍に相当)に置いて

得た有効ポテンシャル:Ｖ[φ_i~,－Ｍ²,λ；μ²]

＝Γ[φ_i~(ｘ)＝φ_i~,－Ｍ²,λ：μ²]/∫ｄ⁴ｘ.

(20)の停留条件:∂Ｖ/∂φ_i~＝0を満たす安定な

真空解:Φ_i~＝v_iを求めます。

次に,有効作用Γをφ_i~(ｐ)＝ｖ_i(2π)⁴δ⁴(ｐ)

のまわりで,汎関数Taylor展開を実施すれば.

Γ[φ_i~,－Ｍ²,λ：μ²]

＝Σ_ｎ(1/ｎ!)∫(2π)^-4ｄ⁴ｐ₁.∫(2π)^-4ｄ⁴ｐ_n

[Γ_v^(ｎ)_i1i2..in(Ｐ,ｍ²,λ；μ²)(2π)⁴δ(Σ_ｊｐ_j)

×φ_i1^(－ｐ₁)φ_i2^(－ｐ₂)..φ_in^(－ｐ_n)].

ただし,φ_i＾(ｐ)＝φ_i~(ｐ)－ｖ_i(2π)⁴δ⁴(ｐ)

(21)と書けます。

このとき,係数Γ_v^(ｎ)が,その安定な真空上の

期待値:ｖ_i＝＜φ_i~(ⅹ)＞上でのｎ点頂点関数

を与えます。この場合，もちろん,φ_i~＝ｖ_iには

タキオンはなくΓ_v^(ｎ)はWell－definedです。

この手続きでは,(20)の有効ポテンシャルＶも

(21)の有効作用Γも同じく,既に有限になっている

量と見ることができて,ｍ²を負の値に取ったから

といって,新たにくりこみをやり直す必要など

ないとわかります。

結局,ｍ²＝－Ｍ²＜0の対称性の自発的破れのある

理論も「対称な理論の相殺項」でもって,くりこむ

ことができるわけです。

何故なら,ここで用いた有効作用に対する引き算

項は(19)に与えた4項で,それらは質量パラメータ

ｍ²がゼロ,または.μ²＞0の対称な理論の相殺項

であったからです(※もう少し正確には対称な理論

のくりこみ因子Ｚと言うべきです。実際の相殺項は

Ｚ_mｍ²φ²のようにｍ²に陽に依存しています。)

※(注16-1):私的解釈では,有効作用Γを複素数ｍ²

の複素関数と見て,ｍ²＝0,ｍ²=μ²の物理的領域から

ｍ²が負の領域まで特異点を避けて解析接続できる

とすれば,実際には発散する関数という解析関数

としては有り得ない量を考察しているという点で,

数学的には問題あり,ですが,これを除けば物理的

には理解できます。(Diracの超関数の例なと同様)

発散する裸の量でなく相殺項を引いて,くりこんだ

Γを質量ｍ2について解析接続するなら数学的にも

問題ないことに後で気づきました。　

(注16-1終わり※),

このような「有効作用のくりこみ」という観点

に立ち,質量に依らないくりこみ処法を用いて,対称性

が破れている理論,を対称な理論の相殺項でくりこむ

方法を「質量に依らない対称なくりこみ」

(Symmetric mass-independent renormalization)

略して,「ＳＭＩくりこみ」と呼びます。

以上のことから前節のゲージ理論のスカラー場の

部分に,このＳＭＩくりこみを適用すれば,対称性が

自発的に破れてHiggs現象が起こっているような

場合でも,くりこみ可能であることが,対称な場合

のくりこみ可能性から従うことが理解されます。

さて,次は,※(ゲージ場の質量項による赤外正則化)

の項です。

ここで,少し話題が変わりますが,質量に依らない

くりこみの１つの応用として,ゲージ場の質量項

(1/2)ｍ²Ａμ²を付加することにより,対称性の自発的

破れのないゲージ理論における赤外発散を正則化する

方法について考察してみます。

赤外発散は,例えばQCD(quantum chrono-dynamics

量子色力学)において,零質量のグルオンというゲージ

粒子のみが回るloop積分:∫(2π)^-4ｄ⁴ｌで,被積分

関数が,運動量ｌに関して4次以下であれば外線運動量

を全てゼロにしたとき,ｌ～0の赤外側で,積分が発散

するという問題のことです。

したがって,これは外線運動量:ｐ＝0のまわりでの

Taylor展開で紫外発散を引くという元々のＢＰＨＺ

くりこみをゲージ理論に適用しようとするときにも,

起こる問題であり,零質量粒子のみから成るloopの

グラフの対数発散項は赤外でも発散し元のＢＰＨＺ

の手続きが使えなくなります。

もちろん,外線運動量ｐをゼロ以外の点におけば

積分は問題ないのですが,ｐはLorentzスカラーでは

ないので,ｐ＝0以外の点を選ぶと,かなり面倒なこと

になります。

そこで,ゲージ場に.仮にゼロでないし質量ｍを与え,

ｐ＝0でも赤外発散が生じないようにするのが,この

赤外正則化の方法です。,

実際に求めたいものは,ｍ＝0の理論ですが,まず,

ゲージ場が一般の質量ｍを持つ場合に枠を広げた後

に「質量に依らないくりこみ法」を適用してｍ²が

あるくりこみ点:μ²(＞0)の(ｐ＝0でも赤外発散の

ない)ところでの相殺項によって任意のｍを持つ理論

を全て有限にするわけです。

ゲージ理論のＢＲＳ不変なLagrangianにゲージ場

の質量項:(1/2)ｍ²Ａ_μ²を付け加えても(他の次元2

のスカラー場の質量項が少し変化を受ける点以外

には)そのまま,くりこみ可能であることは以前の

命題１とSymmanzikの定理から,ほぼ明らかです。

しかし,今の場合,線形でもなくＢＲＳ対称性を

破る項を付加する点や,対数発散の相殺項は全て

ＢＲＳ不変でないｍ²＝μ²の理論のものを用いる

点から,若干,不安をおぼえるかもしれないので,

念のため,以前のＷＴ恒等式を用いた議論を質量項:

ｍ²Ａ^ａ_μ²/2がある場合に拡張して,これらのこと

を,以下で直接証明することにします。

まず,ゲージ場の質量項:ｍ²Ａ^ａ_μ²/2がある場合の

ＷＴ恒等式を導きます。

前節で与えたＢＲＳ不変な作用積分Ｓに.この質量項

と,ＢＲＳ変換の外場項を加えた作用積分をＩとします。

すなわち,Ｉ＝Ｓ＋∫ｄ⁴ｘ{ｍ²Ａ_μ²/2＋Ｍδ_Ｂ(Ａ^ａ_μ²/2)}

(22)です。

(※Ｓ＝∫ｄ⁴ｘ{Ｌ(Φ_I)＋Ｋ_I(δ_ＢΦ_I})

＋Ｋ_ｃ(δ_Ｂｃ)}です。)

ここで,δ_Ｂ(Ａ^ａ_μ²/2)＝Ａ^ａ_μ(Ｄ^μｃ^ａ)

＝Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ(23)です。

また,外場:Ｍは次元が1,ＦＰゴースト数が

Ｎ_ＦＰ＝－1の量です。

系の作用積分Ｉに対応する有効作用Γに

対するＷＴ恒等式は,前の§5-6と同様にして,

(δΓ/δΦ_I)(δΓ/δＫ_I)

＋(δΓ/δｃ^ａ)(δΓ/δＫ_ｃ^ａ)

＋i(δΓ/δｃ~^ａ)Ｂ^ａ＝ｍ²(δΓ/δＭ).(24)

となります。

※(注16-2):上記(24)を第5章のＢＲＳ対称性

を持つ系のＷＴ恒等式の基本に戻って証明します。

[証明]:作用積分を,引数を陽に書いてＩ[Φ,Ｋ,Ｍ]

とすれば,連結Green関数の生成汎関数:

Ｗ(Ｊ,Ｋ,Ｍ)＝Ｉ(Φ,Ｋ,Ｍ)＋Ｊ・Φは.

exp{iＷ(Ｊ,Ｋ,Ｍ)}

＝∫ＤΦ[expi{Ｉ(Φ,Ｋ,Ｍ)＋Ｊ・Φ},

なる等式を満たします。ただし,J・Φ

＝∫ｄ⁴ｘ{Ｊ_IΦ_I＋Ｊ~_ｃｃ＋Ｊ_ｃｃ~＋Ｊ_ＢＢ})

です。

この式で,汎関数積分(配位空間経路積分)

の内部にＢＲＳ変換を行なえば,ＢＲＳ不変で

ないのはＩの中の(ｍ²Ａ^ａ_μ²/2)項とＪ・Φのみ

であり,一方,真空はＢＲＳ不変:Ｑ_Ｂ|0＞＝0

なので,左辺＝exp(iＷ)＝exp{i(Ｉ＋Ｊ・Φ)}

のＢＲＳ変換

＝＜0|[iＱ_Ｂ,Ｔexpi(Ｉ＋Ｊ・Φ)}|0＞＝0

という恒等式が成立します。

そこで∫ＤΦ [ｍ²{(δ_Ｂ(Ａ^ａ_μ²/2)＋Ｊ_I(δ_ＢΦ_I)

－Ｊ ~ ｃ_~^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)－iＪ_ｃ^aＢ^ａ}exp(iＷ(Ｊ,Ｋ,Ｍ)]

＝0, つまり,[ｍ²(δ/δＭ)＋Ｊ_I(δ/δＫ_I)

－Ｊ~_ｃ~^ａ(δ/δＫ_c^ａ)－iＪ_ｃ^ａ(δ/δＪ_Ｂ^ａ)]

×Ｗ(Ｊ,Ｋ.Ｍ)＝0　なる恒等式を得ます。

そこで,Legendre変換:Γ[Φ,Ｋ,Ｍ]

＝Ｗ[Ｊ,Ｋ,Ｍ]－Ｊ・φによって,有効作用:Γ

を定義すれば,－(－)^|I|Ｊ_I＝(δΓ/δΦ_I),であり

,ＷのＫ,Ｍによる左微分は,Γのそれに等しいので.

左微分:(δ/δＫ_I)Ｗ＝(δ/δＫ_I)Γ,および,

(δ/δＭ)Ｗ＝(δ/δ)Γを,それぞれ,単に

δΓ/δＫ_I,および,δΓ/δＭと書けば,

ＷＴ恒等式として,

ｍ²(δΓ/δＭ)－((δΓ/δΦ_I))(δΓ/δＫ_I)

－(δΓ/δｃ^ａ)(δΓ/δＫ_c^ａ)

－i(δΓ/δｃ~^ａ)Ｂ^ａ＝0(24)が得られます。

[証明終わり]　(注16-2終わり※)

他のＮＬ場,反ゴースト場の運動方程式

から従う§7－4で論じた後２つのＷＴ恒等式:

δΓ/δＢ^ａ＝ｆ^ａ_IΦ_I＋ｗ^ａ＋αＢ^ａ.および,

ｆ^ａ_I(δΓ/δＫ_I)＋i(δΓ/δｃ~^ａ)＝0は,

ゲージ場の質量項の付加で変更を受けません。

そこで,以前の§7-4でやったように作用Ｉ

と有効作用ΓからＢ^ａ依存部分を除いた,Ｉ~,

Γ~を定義し,また,外場Ｋ_Iの代わりに,変数

Ｋ~_Ｉ＝Ｋ_I＋iｃ~^ａｆ^ａ_Iを用いれば,ｃ~^ａへの

依存性も消えます。

こうすれば,後の２つのＷＴ恒等式は不要

となり,残るＷＴ恒等式:(24)は＊演算を用いて

Γ~*Γ~＝ｍ²(δΓ~/δＭ).(25)と,書き直す

ことができます。

この恒等式(24),方程式(25)は,実は元々,

Φ_I0,Ｋ~_I0,Ｍ₀等の裸の量を引数とする,裸の

有効作用Γ~₀に対して成立している裸の式

ですが,これをくりこんでも同じ形になる

ように§7-4の(15):Ａ₀^ａ_μ＝Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,

φ_0i＝Ｚ_i^1/2(φ_i,＋ｖ_i)＝Ｚ_i^1/2φ~_i,

(ｃ₀^ａ,ｃ₀~^ａ)＝Ｚ~₃^1/2(ｃ^ａ,ｃ~^ａ),(18):

Ｋ₀^ａ_μ＝Ｚ₃^-1/2Ｋ^ａ_μ,および,

Ｋ_0i＝(Ｚ~₃^1/2Ｚ₃^1/2/Ｚ_i^1/2)Ｋ_i,

さらに,(19):Ｋ_0ｃ^ａ＝Ｚ₃^1/2Ｋ_ｃ^ａ,

そして,(20):ｇ₀＝Ｚ_iＺ₃^-3/2ｇ.を

考慮します。

そして,ゲージ場Ａ^ａ_μの2乗質量ｍ₀²と

外場:Ｍ₀についても,ｍ₀²＝Ｚ^Ａ_ｍｍ²,

Ｍ₀＝Ｚ^Ａ_ｍＺ₃^1/2Ｚ~₃^1/2Ｍ.(26)として,

くりこみを行ないます。

すると,(24)は元々,Γ~₀を含め全ての量

に添字0を付けた裸の量で成立する恒等式

ですが,これが,くりこんだ量:Γ~と,Φ_I,Ｋ~_I,

ｃ^ａ,Ｋ_ｃ^ａ.ｍ²,Ｍで書かれた恒等式となり,

共通因数の(Ｚ₃^1/2Ｚ~₃^1/2)をはずすと,裸の式と

同じ形になります。

ゲージ場の2乗質量ｍ²に関しては,

「質量に依らないくりこみ」をしていますが,

(26)のｍ₀²＝Ｚ^Ａ_ｍｍ²で,ゲージ場の裸の質量

はｍ²に比例する部分しかない,と暗に述べて

います。これはゲージ対称性(ＢＲＳ対称性)に

より,ｍ²＝0なら,裸の2乗質量は,(ｍ₀²－δｍ₀²)

ではなくて,ｍ₀²であり,これもゼロであることが

保証されているからです。

前と同様,数学的帰納法により,ｈ_c^ｎのオーダー

まで有限にくりこめた,と仮定すると,ｈ_c^(ｎ＋1)の

オーダーで現われる発散Γ_div^(ｎ＋1)は,ＷＴ恒等式

(24)を書き直した(25)Γ~*Γ~＝ｍ²(δΓ~/δＭ)

より,Γ~⁽⁰⁾＝Ｉ~であり,

Ｉ~*Γd_iv^(ｎ＋1)＝ｍ²(δΓ_div^(ｎ＋1)/δＭ)なる

方程式を満たすことが従います。

それ故,今度の場合は前のＳ~＊Ｘ＝0と

違って,Ｉ~＊Ｘ＝ｍ2(δＸ/δＭ.(27)という

くりこみ方程式の解:Ｘの一般形を求めればよい,

ということになります。

まず,Ｘは次元が4以下であるとして,次元2

を担うｍ²の高々１次関数として,Ｘ＝Ｘ₀＋ｍ²Ｘ₁

(28)(Ｘ₀,Ｘ₁はｍ²に独立な量)と書いてよい

ことになります。

(※次元4のｍ⁴の項は場によらないので,今の

真空泡グラフを考えない場合,落とします。)

また,作用積分:Ｉ~でも,ｍ²部分を分離して

Ｉ~＝Ｉ~₀＋ｍ²Ｉ~₁.(29)とします。

このとき,I~₀＝Ｓ~＋∫ｄ⁴ｘ{Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)},

Ｉ₁＝∫ｄ⁴ｘ(ｍ2Ａ^ａ_μ²/2)＋ＭＡａμ　(30)です。

すると,(27)のI~＊Ｘ＝ｍ²(δＸ/δＭ)は,

(I~₀＋ｍ²Ｉ~₁)＊(Ｘ₀＋ｍ²Ｘ₁)＝ｍ²(∂Ｘ₀/δＭ)

＋ｍ⁴(δＸ_1/δＭ)となり,これはｍ²の多項式と

して恒等式なので,両辺の同じｍ²べきの係数

を等置して,方程式:I~₀＊Ｘ₀＝0.(31),

Ｉ~₁＊Ｘ₀－(δＸ₀/δＭ)＝－Ｉ~₀＊Ｘ₁.(32)

Ｉ~₁＊Ｘ₁－(δＸ₁/δＭ)＝0.(33)を得ます。

これを,(33),(32),(31)の順に解きます

そこで,まず,Ｉ~₁－(δＸ₁/δＭ)＝0ですが,

Ｘ＝Ｘ₀＋ｍ²Ｘ₁より,Ｘ₁は次元2以下の量です。

これが,大局的ゲージ不変性とＦＰゴースト数

Ｎ_ＦＰ＝0を満たす,という要求を考慮すると,

その一般形は次式で与えられることが

わかります。

すなわち,Ｘ₁＝∫ｄ⁴ｘ{ａＡ^a_μ²/2＋ｂ|φ_i|²}

(34)(ａ,ｂは定数)です。

ゲージ群がＵ(1),またはＵ(1)因子群を含む

場合は,Ｍｃ^ａの項も要求を満たすように見えます

が,ｃ^ａ(―ｘ)→ ―ｃ(ｘ),Ｍ(―ｘ)→ Ｍ(ｘ)

なので.ＣＰＴ不変性からこの項は(34)から排除

されます。とにかく,ｃの奇数次の項などは存在

し得ません。

一方,Ｉ~₁＝∫ｄ⁴ｘ{Ａ^ａ_μ²/2}(30)なる陽な

表式と.§7-4の演算＊の定義から,任意のＸに

対して.Ｉ~₁＊Ｘ＝Ａ^ａ_μ(δＸ/δＫ~^ａ_μ).(35)

です。そこで,(34)のＸ₁は,任意のａ,ｂについて,

Ｉ₁＊Ｘ₁－(δＸ₁/δＭ)＝0.(33)の方程式を満たす

ことがわかります。

(※何故なら,δＸ₁/δＫ~^ａ_μ＝0,かつ,δＸ₁/δＭ＝0

であるからです。)

この(33)の解である(34)のＸ₁を,(32)の方程式

Ｉ~₁＊Ｘ₀－(δＸ₀/δＭ)＝－Ｉ~₀＊Ｘ₁の右辺に

代入すると.{Ａ^ａ_μ(δ/δＫ~^ａ_μ)－(δ/δＭ)}Ｘ₀

＝－ａＡ_ａ^μ(∂_μｃ^ａ).(36)　を得ます。

(※何故なら.Ｉ~⁰＊Ｘ₁においては,φ_iに関わる

項:(δＩ~₀/δＫ_i)(δＸ₁/δφ_ｉ)

と(δＩ~₀/δＫ_i^＋)(δＸ₁/δφ_ｉ^＋)が,相殺して

消えて,Ａ^ａ_μに関する項だけが寄与するからです。)

ここで.Ｘ₀＝ａＭＡ_ａμ∂(∂^μｃ^ａ)が(36)の特解

になるのは,明らかです。

斉次(同次)方程式:{Ａ^ａ_μ(δ/δＫ~^ａ_μ)

－(δ/δＭ)}Ｘ₀＝0の一般解を求めるため,

Ｋ^^ａ_μ­＝Ｋ~^ａ_μ＋ＭＡ^ａ_μ.(37)と置けば,

δＸ₀/δＫ~^a_μ＝δＸ₀/δＫ^^ａ_μ,および,

δＸ₀/δＭ＝Ａ^ａ_μ(δＸ₀/δＫ^^ａ_μ)

(※Ｘ₀はＫ^_ａμを通してのみＭに依存)

となります。

故に,同次方程式は左辺＝δＸ₀/δＫ^^ａ_μ

＝0,つまり,これの一般解はＫ^^ａ_μに独立な

任意の汎関数です。

よって,このＸ₀の同次解をＸ~₀と書けば,

(36)の一般解は,Ｘ₀＝Ｘ~₀

＋∫ｄ⁴ｘ{ａＭＡ_ａμ(∂^μｃ^ａ)}(38)と書けます。

以後,変数として,Φ_Ｉ,ｃ^ａ,Ｋ~_i,Ｋ_ｃ^ａの他に

(37)のＫ^^ａ_μを採ることにすれば,Ｘ~₀はＫ^^ａ_μに

独立なので,Ｍに依存しない汎関数です。

最後に,方程式:(31)Ｉ~₀＊Ｘ₀＝0に.

上の(38)のＸ₀を代入します。

すると,I~₀＝Ｓ~＋∫ｄ⁴ｘ{Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)}

ですから,Ｓ~＊Ｘ~₀

＋Ｍ∫ｄ⁴ｘ[∂^μｃ^ａ(δ/δＫ^^ａ_μ)

－Ａ^ａ_μ∂^μ(δ/δＫ_ｃ^ａ)]Ｘ~⁰＝0.(39)

が得られます。

※(注16-3):何故なら,まず,Ｓ~＊{ＭＡ^ａ_μ(∂^μｃ^ａ)}

＝(δＳ~/δＫ^^ａ_μ)(δ/δＡ^ａ_μ){ＭＡ^ａ_μ(∂^μｃ^ａ)}

＝(δ_ＢＡ^ａ_μ)(δ/δＡ^ａ_μ){(δ_Ｂ(－ＭＡ^ａ_μ²/2)}

＝δ_Ｂ[δ_Ｂ(－ＭＡ^ａ_μ²/2)]＝0を用いると,

Ｓ~*Ｘ₀＝Ｓ~*Ｘ~₀が導かれます。

Ｍの項は,[∫ｄ⁴ｘ{Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)}＊Ｘ~₀

＝Ｍ∫ｄ⁴ｘ(∂^μｃ^ａ)(δＸ~₀/δＫ^^ａ_μ),

－ＭＡ^ａ_μ∂^μ(δＸ~₀/δＫ_ｃ^ａ)です。

そして,Ｍ²の項は同じものの＊積なのでゼロ

です。つまり,[∫ｄ⁴ｘ{Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)}＊

[∫ｄ⁴ｙ{Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)}]＝0　です。　

(注16-3終わり※)

そして,(39)の第1項はＭに依存しないので,

第1項と第2項は,それぞれ独立にゼロです。

すなわち,Ｓ~*Ｘ~₀＝0,かつ,

Ｍ∫ｄ⁴ｘ[∂^μｃ^ａ(δ/δＫ^^ａ_μ)

－Ａ^ａ_μ∂^μ(δ/δＫ_ｃ^ａ)]Ｘ~₀＝0.　です。

ところが,Ｓ~＊Ｘ~₀＝0の解は,前節で,

方程式:Ｓ~＊Ｘ＝0を解いた一般解Ｘと

同じ形で与えられます。

つまり,Ｓ~＊Ｘ＝0の一般解:Ｘは,

Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)

＋β_Ａ{Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)}

＋(β_Ａ－γ_Ａ){Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)

－Ｋ~^ａ_μ(∂_μｃ^ａ)}

＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j

{∂(Ｌ_ＧＩ＋Ｋ~_iδ_Ｂφ_i)/∂φ_j}].(63)

でしたが,この右辺の表式で,Ｋ~^ａ_μを,

Ｋ^^ａ_μ＝Ｋ~^ａ_μ＋ＭＡ^ａ_μに,置き換えたもの

が.今のＳ~＊Ｘ~₀＝0の一般解:Ｘ~₀を

与えます。

特に,Ｘ~₀の,Ｋ＾^ａ_μ,Ｋ_ｃ^ａ依存部分を

Ｘ~₀^Ｋと書ヶば,Ｘ~₀^K＝Ｋ^^ａ_μ{γ_Ａ(∂^μｃ^ａ)

－β_Ａｇ(Ａ^μ×ｃ)^ａ}

＋Ｋ_ｃ^ａ{β_Ａ(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａ}(40)である

ことがわかります。

ところが,このＸ~₀^Kは,(39)の第2項の

Ｍ∫ｄ⁴ｘ[(∂^μｃ^ａ)(δ/δＫ^^ａ_μ)

－Ａ^ａ_μ∂^μ(δ/δＫ_ｃ^ａ)]Ｘ~₀^Ｋ＝0を自動的

に満たします。(※証明は省略)

それ故,これ以外のＫ^^ａ_μもＫ_ｃ^ａも含まない

部分を加えた全体のＸ~₀をＸ₀^Ｋに置換しても,

これが満足され,結局,このＸ~₀が(31):I~₀＊Ｘ~₀＝0

の一般解を与えることがわかります。

　以上から,解:Ｘ＝Ｘ⁰＋ｍ²Ｘ₁は(34),(38)により,

Ｘ＝{Ｘ~₀－γ_ＡＭＡ^a_μ(∂^μｃ^ａ)}

＋∫ｄ⁴ｘ[(ａ₀＋γ_Ａ)ＭＡ^ａ_μ(∂^μｃ^ａ)

＋ａｍ²Ａ^ａ_μ²/2＋ｂｍ²|φi|²](41)

で与えられることになります。

このうち,|Ｘ~₀－γ_ＡＭＡ^a_μ(∂^μｃ^ａ)}は,

前節の(63)の一般式に一致し.既にＢＲＳ不変な

作用Ｓ~のＺ因子やｖ_iをずらして得られる相殺項

で相殺できる,ことを示しました。

今度の作用積分Ｉで新たに加えられた部分:

(Ｉ~－Ｓ~)＝∫ｄ⁴ｘ{ｍ²Ａ^ａ_μ²/2＋Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)}

において,くりこみ操作を実施すれば,

裸の,(Ｉ~－Ｓ~)₀

＝∫ｄ⁴ｘ{Ｚ^Ａ_ｍＺ₃ｍ²Ａ^ａ_μ²/2

＋Ｚ^Ａ_ｍＺ₃ｍＺ~₃Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)}(42)

となるため,Ｚ因子をずらすと,Δ(Ｉ－Ｓ)

＝∫ｄ⁴ｘ{(δＺ^Ａ_ｍ＋δＺ₃)ｍ²Ａ^ａ_μ²/2

＋(δＺ^Ａ_ｍ＋δＺ₃ｍ＋δＺ~₃)Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)}

(43)を得ます。

それ故,前節のδＺ₃＝－(α_Ａ＋2β_Ａ－2γ_Ａ),

δＺ~₃＝－γ_Ａに加えて,ａ＋δＺ^Ａ_ｍ＋δＺ₃＝0,

(ａ₀＋γ_Ａ)＋δＺ^Ａ_ｍ＋δＺ₃＋δＺ~₃＝0δを

要請して.δＺ^Ａ_ｍ＝－ａ＋(α_Ａ＋2β_Ａ－2γ_Ａ)(44)

とすると,(43)の2つの項が,丁度,(41)の第1項

と第2項を相殺します。

残る(41)の最後の項:(－ｂｍ²|φ_i|²)については,

(63)のμ²に比例する発散項(－α_ｍμ²|φ_i|²)と一緒

にして,スカラー場の裸の質量項を,

－(Ｚ_ｍ1μ²＋Ｚ_ｍ2ｂｍ²)Ｚ_i|φ_i|^2.(45)と分離して

おけば,2つの相殺項を用意することができます。

以上で,ゲージ場の質量項を加えても,スカラー場

の質量項が少しの変更を受けるだけで,ゲージ理論は,

くりこみ可能に留まるという予想を証明すること

ができました。

しかし,これは,あくまで,赤外正則化の暫定的

方法であることに注意すべきです。

何故なら,そもそもゲージ場の質量がゼロでない

理論は,有限にはできても,ＢＲＳ不変性を持たず,

故にＢＲＳ電荷:Ｑ_Ｂは保存されないし，ベキ零性

δ_Ｂ²＝0も成立しないから,物理的解釈のできる

理論とはならないからです。

例えば,Paulli-Villers正則化では,ゲージ粒子

の作るloop積分の対数発散部分はln(Λ²/ｍ²)の

形となり,Λ²→∞で紫外発散,ｍ²→0で赤外発散

しますが,とりあえず両者とも相殺項で有限に

できることは示しました。

そこで赤外発散については正則化の後にｍ²→0

の極限を取ったとき,無矛盾に留まればいいです。

(※QEDでは、エネルギーがゼロの無数の実光子の

寄与が,無数の仮想光子の寄与で相殺される,という

方法で赤外破局(Infrared catastrophe)は解決され

ました。)

 これで,第7章が終わったので,ここで,この記事

シリーズを一旦,終わります。

(「くりこみ理論(第２部)」につづく)

(参考文献):九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(培風館)