くりこみ理論(次元正則化)(15)

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

「くりこみ理論(次元正則化)(10)」の最後の方

から始まった,「ゲージ理論のくりこみ可能性」

を証明するという課題は,記事(11),(12),(13)を

経て前回の記事(14)でやっと完了しました。

６月に入りました。

今回は第7章の新しい節である:

§7-5:(質量に依らない対称なくりこみ)からです。

以下,本論です。

前節のゲージ理論のくりこみ可能性の議論

では,「対称性の自発的破れ」がないと仮定し,

大局的ゲージ不変性の要請を,多くのところで

用いました。しかしながら,対称性が自発的に

破れて,Higgs現象が起きているような場合でも

ゲージ理論は依然として,くりこみ可能である

ことを示すことができます。

実際,前節では,既に対称性が自発的に破れて

いる場合も含めて考えていました。

つまり,対称性を陽に破るパラメータ:ｆ^ａ_iを

含む一般線形ゲージの場合を論じたのでスカラー

場:φ_iは真空期待値:ｖ_iを持ち,自発的破れのある

場合と本質的に同値な状況を既に考えたことになる,

わけです。

すなわち,対称性の自発的破れがある場合には,

スカラー場:φ_iはtreeレベルでゼロでない真空

期待値:ｖ_i⁽⁰⁾を持つのですが,そのパラメータｖ_i(⁰⁾

(≠0)をゲージ固定項のパラメータ:ｆ^ａ_iと同様,

大局的ゲージ変換の下で,その添字に応じて変換

する共変量と見なすことにすれば,依然として

大局的ゲージ不変性の要求を満たす理論に対する

場合と同じ議論が可能となります。

そうすれば,前節の議論で大局的ゲージ不変性を

用いたところで,新たにｖ_i⁽⁰⁾がφ_iと同じ変換をする

次元1の量として加わるという点のみを考え直せば

結局,前と同じく,くりこみ因子Ｚや真空期待値ｖ_i

をシフトすることによって発散を全てくりこむこと

ができます。

本節では,これを陽に行なうことはせず,むしろ

対称性が自発的に破れた理論のくりこみを,自発的

破れを起こしていない対称な理論のくりこみに帰着

させる,という方法について述べます。

この方法の基本的考え方は次の通りです。

摂動論の範囲内では,対称性の自発的破れを

起こしている場合と破れを起こしていない場合

の違いは,単にスカラー場:φの質量項:－μ²|φ|²

のμ²の符号の違いだけです。

※(注15-1):質量項を－μ²|φ|²とすると,

有効ポテンシャルＶは,

Ｖ[φ~]－(λ/2)|φ~|⁴－μ²|φ~|²

＝－(λ/2)(|φ~|²＋μ²/λ)²－μ⁴/(2λ)

であり,{φ~{²≧0なので,普通にμ²＞0なら

Ｖの最小値を与えるφの期待値φ~は確かに

φ~＝0であり,そのときＶ_min＝0ですから,

この場合は対称性は破れていません。

しかし,もしも質量が,異常なμ²＜0の

パラメータなら,Ｖ[φ~]＝－(λ/2)|φ~|⁴

－|μ²||φ~|²＝－(λ/2)(|φ~|²－|μ|²/λ)²

＋μ⁴/(2λ)なので,Ｖが最小になるのは|φ~|²

＝|μ|²/λ＝－μ²/λ＞0のときであり,この

とき,Ｖ_min＝μ⁴/(2λ)＞0ですから,対称性が

破れています。

これは,第６章「対称性の自発的破れ」で紹介

した単純なGoldstone模型です。

(注15-1終わり※)

ところが,くりこみの一般論の第７章の命題

からもわかるように,このような次元2の質量項

の違いはゲージ理論のくりこみの本質的な部分

である次元が4,または3の演算子(発散部分)の

くりこみには影響しません。

このことを反映して,実際,任意の理論において

そこに現われる場の質量パラメータに依存しない

形で,くりこみができること,それ故,質量

パラメータを変数とする(連続無限個の)理論の組

が一度に有限となることを示すことができます。

このくりこみの方法を「質量に依らないくりこみ

(mass-independent renormalization)」と呼びます。

これを利用して,対称な理論で一たび,くりこみが

できる,ことがわかれば,(ゲージ理論であれ何であれ)

理論は質量パラメータμ²の値の如何に依らず一挙に

有限にできることになるので,このLagrangianでμ²＜0

の対称性の自発的に破れた理論も有限であるといえます。

さて,※(質量に依らないくりこみ)の項の本論です。

このくりこみ法は,元々はt’HooftとWeinberg

によって提唱されたのですが,ここではCallanに従って

最も簡単なスカラー理論の場合で説明します。

例として,Ｏ(Ｎ)対称性を持つλφ⁴理論を採用すれば

その摂動の第0次のLagrangian密度は,スカラー場を

φ＝φ₁,φ₂,..φ_Ｎ)として,Ｌ＝(∂_μφ)²

－(ｍ²/2)φ²－(λ/8)(φ²)².(1)で与えられます。

ここで,φ²＝Σ_j=1^Nφ_j²であり,ｍ²は質量の２乗

パラメータですが,これは非負とは限らないとします。

(※通常のスカラー粒子の2乗質量に用いるμ²は後

でくりこみ点に用いる予定なので,ここでは使わずに,

残しておきます。)

この(1)のＬに対する有効作用:Γを有限にする

ためには,２次発散する2点頂点関数Γ⁽²⁾と対数

発散する4点頂点関数Γ⁽⁴⁾を考えれば十分です。

これらに対して,適切なくりこみ条件の本質的な

点は,ｎ点頂点関数Γ^(ｎ)を質量をパラメータｍ²の

関数と見て有限化することです。

それ故,ｍ²をΓ^(ｎ)の運動量変数:ｐの2乗:ｐ²など

と同等に扱います。

例えば,次のようなくりこみ条件を設定します。

すなわち,Γ⁽²⁾_ij(Ｐ²＝0,ｍ²,λ;μ²)|_ｍ2＝=0＝0.(2),

(∂/∂ｍ²)Γ⁽²⁾_ij(Ｐ²＝0,ｍ²,λ;μ²)|_ｍ2＝μ2＝－δ_ij(3),

(∂/∂ｐ²)Γ⁽²⁾_ij(Ｐ²,ｍ²,λ;μ²)|_{Ｐ2＝0,ｍ2＝μ2}＝＋δ_ij.

(4)です。

そして,Γ⁽⁴⁾_ijkl(Ｐ²＝0,ｍ²,λ;μ²)|_ｍ2＝μ2

＝－λδ_ij._kl(5)です。

ただし,Ｐは,一般のｎ点関数のとき,

Ｐ＝(ｐ₁,ｐ₂。..ｐ_ｎ-1)｜_{ｐn＝－(ｐ1＋ｐ2＋..ｐn-1)}を

表わし,また,δi_j,,kl＝δ_ijδ_kl＋δ_ikδ_jl＋δ_ilδ_jk

(6)です

2点関数ではΓ⁽²⁾は２次発散なので(次元2の)引数:

ｍ²,および,Ｐ²でTaylot展開すれば発散次元は２

ずつ下がり,初項が2次発散し.次の１階微分の2項

(∂Γ⁽²⁾/∂ｍ²)と(∂Γ⁽²⁾/∂ｐ²)が対数発散します。

そして,それ以降は収束ということになります。

上記の(2),(3),(4)のくりこみ条件は,この発散

する初めの3項に対する条件で,(2)は質量

パラメータｍ²がゼロのときは,粒子が本当に零質量

なるべし.(3).(4)は,ｍ²があるべき項μ²(＞0)のとき

ｐ²がゼロでのΓ⁽²)の(ｐ²－ｍ²)に関する数係数が,

treeレベルのΓ⁽²⁾＝δ_ij(ｐ²－ｍ²)の満たす値から

ずれてはならない。という要請です。

これに対して,４点関数:Γ⁽⁴⁾は対数発散なので.

(ｍ²,ｐ²)平面のどこか１点の値を指定すればいい

です。(5)の条件は,ｍ²=μ²のとき,ｐ＝0のΓ⁽⁴⁾

がtreeレベルの－λδ_ij.klから,ずれないという

条件です。

(2)の条件がｍ²＝0で与えられているのに対し

(3)～,(5)の条件がｍ²＝μ²＞0で与えられている

のは,(3)～(5)の量は対数発散なので,ｍもｐも皆,

ゼロにすると赤外発散の困難に遭うからです。

(※理解しやすいように,Paulli－Villersの正則化

で見ると,対数発散量は切断パラメータをΛ²として

lnΛ²に比例して発散することを意味しますが,Λ²は

次元を持っており,これの対数関数というのは物理的

には有り得ず,必ず,無次元量として,ln{Λ²/(ａｐ²＋ｂｍ²)}

の形で現われるため,ｐ²＝0としたとき,ｍ²＝0とすると

赤外発散を生じるからです。)

くりこみ条件を与えたｍ²の値:μ²を

「くりこみ点(renormalization point)」と呼びます。

このことから,くりこまれたΓ^(ｎ)は

くりこみ点:μ²にも依存するようになるので,

(2)～(5)でΓ⁽²⁾,Γ⁽⁴⁾の引数としてμ²を陽に書いた

のでした。

こうした,くりこみ条件を実現するためには

次の相殺項が必要となります。

すなわち,Ｌ_count＝(Ａ/2)(∂_μφ)²－(Ｂ/2)ｍ²φ²

＋(1/2)δｍ²φ²－(Ｃλ/8)(φ²)².(7)です。

つまり,摂動論(例えばｈ_c展開)の各オーダーごとに

相殺項の係数:Ａ,Ｂ,δｍ²,Ｃを決めてゆきます。

くりこみ条件の(2)はδｍ²の,(3)はＢの,(4)はＡの,

(5)はＣの,自由度を用いて,それぞれが満たされるように

できます。この相殺項を加えるということは,系の裸の

Lagrangian:Ｌ₀がＬ₀＝(1/2)(∂_μφ₀)²

－(1/2)(ｍ₀²－δｍ₀²)φ₀²－(λ₀/8)(φ₀²)²＝Ｌ＋Ｌ_count(8)

と書けることを意味し,φ₀＝Ｚ_φ^1/2φ,より,1＋Ａ＝Ｚ_φ.(9),

ｍ₀²＝Ｚ_ｍｍ²,δｍ₀²＝Ｚ_φ^-1δｍ²より,1＋Ｂ＝Ｚ_ｍＺ_φ.(10),

λ₀＝Ｚ_λλより,1＋Ｃ＝Ｚ_λＺ_φ².(11)を満たす係数Ａ,Ｂ,

δｍ²,Ｃを持つ相殺項:Ｌ_countを採ればいいことを意味します。

与えられた1つの質量の理論をくりこむ通常の場合と少し

異なっているのは,裸の質量が,(ｍ₀²－δｍ₀²)のように２つ

に分離しているところです。

今の場合,ｍ²はｐ²と同様な変数であり,(10)を導いた式:

{(1＋Ｂ)ｍ²－δｍ²}φ²/2＝(ｍ₀²－δｍ₀²)φ₀²/2

＝(Ｚ_ｍＺ_φｍ²－δｍ²)φ²/2から,わかるようにｍ₀²はｍ²に

比例する線形項ですが,δｍ₀²はｍ²に依らない定数項に対応

しています。

(※なお,Dirac Fermionの場合は,同様にｍに

比例する部分:ｍ₀＝Ｚ_ｍｍと,定数部分δｍ₀に

分けると.実は,δｍ₀は自動的にゼロになります。

これは,カイラル対称性のせいで,くりこまれた質量

(treeレベルの質量)がゼロであると裸の質量も

ゼロになるからです。(※※つまりカイラル対称性

を持つは質量項のないDirac粒子の場合です。

そこで,くりこんだ結果:δｍψ~ψ＝0なら

裸の質量:ｍ₀－δｍ₀におけるδｍに関わる

部分のδｍ₀＝0なのです。)

スカラー理論でも,次元正則化を用いるなら定数部分

δｍ₀²は自動的にゼロとなります。)

いずれにしろ,以上のくりこみ手続きでΓ⁽²⁾,Γ⁽⁴⁾,それ故

Γ^(ｎ)が,摂動の各次数ごとに運動量ｐと質量パラメータｍ²

の関数として有限にできるということがわかりました。

このとき,対数発散項の相殺にあずかる因子:

Ｚφ,Ｚ_ｍ,Ｚ_λは,くりこみ条件(3)～(5)がｍ²＝μ²の

ところで与えられているので,切断パラメータをΛ

として,Ｚ_i＝Ｚ_i(λ₀,Λ/μ)　(i＝φ,ｍ,λ).(12)

の形で決まります。

こうしてＺiは,変数としての質量パラメータｍ²

には依存していないということが重要な点で,

「質量に依らないくりこみ」という名称は,これ

に由来しています。

もう１つの重要な注目点は,裸のLagrangian

(故に裸の有効作用)に現われるδｍ₀²が,ｍ²にも

δｍ²にも依存しないという事実です。

すなわち,δｍ₀²＝Λ²ｆ₀(λ₀)(13)と書けます。

このことは,過去記事；「くりこみ理論(6)」で

与えた関係式を,μ²をｍ²に置き換え,くりこみ

点を表示して書き直した,

Γ^(ｎ)(ｐ,ｍ²,λ;μ²)

＝Ｚ_φ^ｎ/2Γ₀^(ｎ)(ｏ,ｍ₀²,λ₀;Λ²),(14)

を思い出せば,裸の,Γ₀^(ｎ)は,くりこまれた

それ:Γ^(ｎ)と比例関係にあることから,

Γ⁽²⁾に対するくりこみ条件(2)を裸の

Γ₀⁽²⁾に対するように書き換えると,

Γ₀⁽²⁾_ij(ｐ²＝0,ｍ₀²＝0,δｍ₀²,λ₀；Λ²)＝0.

(15)となることがわかります。

これはδｍ₀²を決める関係式になっており,

ゼロでなくて次元を持つ量は,δｍ₀²の他には

Λ²のみを含んでいます。

そこで,次元解析を利用して(14)の解:δｍ₀²

が,δｍ₀²＝Λ²ｆ₀(λ₀)(13)の形に書けることが

わかります。この形式は,後に斉次くりこみ群

方程式を導くときに重要になります。

これを得るためには質量に依らないくりこみ

では,くりこみ条件(2)は必要不可欠です。

しかし,他の条件(3)～(5)は,いろいろとある

中の１つの選択肢で,他の条件も有り得ます。

例えば,(3),(5)を,それぞれ,

Γ⁽²⁾_ij(ｐ²＝μ²,ｍ²＝μ²,λ：μ²)＝0.(16-1),

Γ⁽⁴⁾_ijkl(ｐ,ｍ²＝μ²,λ：μ²)|_{ｐiｐj＝(１－δij)/2}

＝－λδ_ij,kl.(16-2)に置き換えてもいいです。

ここで,t’Hooftにより始められた,次元正則化

に基づく,質量に依らないくりこみ法について少し

コメントします。

この方法も本質的には上記のPaulli-Villers

正則化のそれと同じですが,ゲージ不変性を尊重

するという点で便利です。

まず,時空ｄ次元では,dimφ＝(ｄ－2)/2,

dim(Ｌ)＝ｄですから,裸の結合定数λ₀が(4－ｄ)

の次元を持ちます。しかし,くりこまれた結合定数

λ,および,くりこみ定数:Ｚ_λが常に無次元になる

ように.(11)のλ₀＝Ｚ_λλ,の代わりに,

λ₀＝Ｚ_λ(λμ^(4-－ｄ))

＝(1＋ｈ_cＺ_λ(¹⁾＋ｈ_c²Ｚ_λ⁽²⁾＋..)(λμ^(4－ｄ))(17)

の形でくりこみを行ないます。

ただし,μはくりこみ点に相当する次元１の

パラメータです。

こうすれば,次元正則化による摂動計算において,

結合定数は常に(λμ^(4－ｄ))の形で出てきます。

したがって,loop積分結果のｄ＝4の極の近傍の

展開に現われる対数関数は,ln{(ｐ²＋ｍ²)/μ²}の

ように,常に正しく引数が無次元の量となります。

次元正則化のこの方法では次元を持つ切断

パラメータΛは導入されないので.先の2次発散

のΓ⁽²⁾に対する,くりこみ条件(2):

Γ⁽²⁾_ij(ｐ²＝0,ｍ²,λ;μ²)|_ｍ2＝0＝0.は,自動的に

満たされます。(μ²はｄ→4では対数の引数には

出てきません。)

よって,条件(2)が陽に言及されることはないです。

他の対数発散部分に対してはは（17）の

λ₀＝Ｚ_λ(λμ^(4-－ｄ))

＝(1＋ｈ_cＺ_λ(¹⁾＋ｈ_c²Ｚ_λ⁽²⁾＋..)(λμ^(4－ｄ))

および,ｍ₀²＝Ｚ_ｍｍ²,φ₀＝Ｚ_φ^1/2φとして,

例えば,先の条件(3),(4),(5)(ただし(5)では

右辺のλをλμ^(4－ｄ)に置換)のくりこみ条件:

つまり

(∂/∂ｍ²)Γ⁽²⁾_ij(ｐ²＝0,ｍ²,λ;μ²)|_ｍ2＝μ2

＝－δ_ij(3),

(∂/∂ｐ²)Γ⁽²⁾_ij(ｐ²,ｍ²,λ;μ²)|_{ｐ2＝0,ｍ2＝μ2}

＝δ_ij.(4),Γ⁽⁴⁾_ijkl(ｐ²＝0,ｍ²,λ;μ²)|_ｍ2＝μ2

＝－λμ^(４－ｄ)δ_ij._kl(.(5)’

を設定して,くりこみを実施します。

または,くりこみ条件に言及せず,

単に1/(ｄ－4)の極の部分ε~^-1だけを除きます。

そうすれば,次元をもたないＺi(ｉ＝φ,ｍ.λ)は,

(Λが存在しないので)μに陽には依存せず,

Ｚi(λ,ｄ)＝1＋ａ1(λ)/(ｄ－4)＋ａ2(λ)/(ｄ－4)2

＋..の形になり,明白な質量に依らないくりこみと

なります。

このとき,Ｚiのくりこみ点:μへの依存性は

くりこまれた結合定数λを通してのみ依存します。

くりこまれたλは裸のλ0がμに独立なので,(17)から

μ依存性が決まります。

※(注15-2):「くりこみ理論(4)」,または,その

「要約(4)」の必要部分の再掲載を兼ねた,本論

の補足説明を注釈します。

まず,系の裸のLagrangianをＬ₀＝Ｌ＋Ｌ_countと

するとき,裸の質量がμ₀のBosonの２点Green

関数(Feynman伝播関数)iΔ_F’(ｐ²)への

1粒子既約な自己エネルギーグラフの寄与

が裸の量で－iΠ₀(ｐ²)であるとすると,

その２点Green関数は

iΔ_F’_ij(ｐ²)＝iδ_ij{ｐ²－μ₀²－Π₀(ｐ²)}^-1

＝i[Γ₀⁽²⁾(ｐ²)]^-1で与えられます。

そして,iΔ_F’(ｐ²)を,くり込んだものを

iΔ_F~(ｐ²)と書き,iΔ_F’(ｐ²)

＝i/{ｐ²－μ₀²－Π₀(ｐ²)}＝iＺ₃/(ｐ^２－μ²)

＝Ｚ₃iΔ_F~(ｐ²)になると考えると,

Π₀(ｐ²)＝(Ｚ₃－1)(ｐ²－μ²)＋δμ²を得ます。

ただし,δμ²＝μ²－μ₀²としています。

系の裸のLagrangianがＬ₀＝Ｌ＋Ｌ_contと

表わされるのに倣って,裸のΠ₀もくりこまれた

Πと相殺項:Π_countの和として,

Π₀(ｐ²)＝Π(ｐ²)＋Π_count(ｐ²)と書くと

Π(ｐ²)＋Π_count(ｐ²)＝(Ｚ₃－1)(ｐ²－μ²)

＋δμ²です。

特に,最低次のオーダーでは,

Π^(1-loop1)(ｐ²)＋Π_count⁽¹⁾(ｐ²)＝Ｚ₃⁽¹⁾(ｐ²－μ²)

＋(δμ²)⁽¹⁾となるべきことを意味します。

このくりこみの結果,μが実際に観測される

物理的質量という意味を持つための条件として

ｐ²＝μ²の近傍では,Δ~_F(ｐ²)_ij＝δ_ij/(ｐ²－μ²),

または,Γ~⁽²⁾(ｐ²)＝ｐ²－μ²となることが要求

されます。

くりこみ条件(2)はｐ＝0,μ＝0でΓ(2)＝0

でした。

この条件はΠ(ｐ²)＋Π_conht(ｐ²)

＝(Ｚ₃－1)(ｐ²－μ²)＋δμ²の上では,ｐ＝0,

μ＝0で,Π(0)＋Πcount(1)(0)＝(δμ²なること

に相当しています。

これらは,質量をパラメータ:ｍとしてくりこみ

点を,ｍ²＝μ²とした頂点関数Γで考えるとｐ²＝ｍ²

＝μ²の近傍では,Γ⁽²⁾(ｐ²)＝ｐ²－ｍ²となるべき

ことを意味します。

そして,これは,Γ(ｐ²,ｍ²)＝Γ(0,0)＋ｐ²(∂Γ/∂ｐ²)

＋ｍ²(∂Γ/∂ｍ²）＋..のベキ展開においては,

Γ(0,0)＝0,(2) (∂Γ/∂ｐ²)＝1,(3),(∂Γ/∂ｍ⁾＝－1.

(4）の３条件です。

そして特に,最低次のオーダーでは,Π^(1-loop1)(ｐ²)

＋Π_count⁽¹⁾(ｐ²)＝Ｚ₃⁽¹⁾(ｐ²－μ²)＋(δμ²)⁽¹⁾です。

そこで,Π^(1-loop1)(ｐ²,ｍ²)＋Π_conht⁽¹⁾(ｐ²,ｍ²)

＝Ｚ₃⁽¹⁾(ｐ²－ｍ²)＋(δｍ²)⁽¹⁾であり,条件(2)は,

最低次ではΠ^(1-loop1)(0,0)＋Πcount(1)(ｐ²)

＝(δｍ²)⁽¹⁾です。

さてBoson質量をμに戻して,くりこまれた量で

最低次の1粒子既約の自己エネルギーを計算すれば,

－iδ^ijΠ^(1-loop)(ｐ²)

＝∫ｄ^dｋ(2π)^-4(－)Tr[(―iｇτⁱ)i(ｋ－ｍ_F)^-1

(－iｇτ^j)i{(ｋ－ｐ)－ｍ_F}^-1]＋∫ｄ^dｋ(2π)^-4

(－iλ/8)4×3＋8)δ^iji/(ｋ²－μ²)－iΠ_count⁽¹⁾(ｐ²)

となります。ただし,ｍ_FはBosonが真空偏極する

グラフでloop積分すべき内線運動量ｋを持った

仮想Fermionの質量です。

次元正則化で,最後にd→4の極限をとる前の

自己エネルギー部分の計算結果は,

－iΠ^(1-loop)(ｐ²)

＝{(－i)2・4ｇ²/(16π²)}[(3ε~^-1＋1)

×(ｍ_F²－ｐ²/6)－3∫₀¹ｄｘ{ｍ_F²－ｘ(1－ｘ)ｐ²

×ln{ｍ_F²－ｘ(1－ｘ)ｐ²}]

＋{－5λ/(32π²)}μ²{－ε~^-1－1＋ln(μ²)}

となります。

ただし,ε~^-1は,ｄ→4で発散する部分で,

ε^-1＝2/(4－ｄ)および,ε~^-1＝ε^-1－γ＋ln(4π)

で定義されています。

それ故,－iΠ^(1-loop)(ｐ²)の発散部分は,

ε~^－1を含む部分だけで,これを含む相殺項を.

－iΠ^c_ount⁽¹⁾(ｐ²)として,差し引くことで,有限

にする操作が,次元正則化のくりこみ手続きです。

したがって,1PIの自己エネルギーグラフの

最低次のくりこまれたネットの寄与は,

Π^(1-loop)(ｐ²)＋Π_count⁽¹⁾(ｐ²)ですが,これが,

ｐ＝0,μ＝0で(δμ²)⁽¹⁾に一致するべし,と

いうのが,最低次でのくりこみ条件(2)の

意味するところです。

それ故,Π^(1-loop)(0)|_ｐ2＝0,_μ2＝0

＝{ｇ²/(2π²)}{(3ε~^-1＋1)ｍ_F²－3ｍ_F²ln(ｍ_F²)}

を得ますが,相殺項:Π_count⁽¹⁾(0)をε~^-1を因子と

する発散部分:{3ｇ²/(2π²)}ε~^-1に有限限部分

の一部を加えて(－)符号を付けたものとして

これに加えると,(δμ²)⁽¹⁾が(有限部分)

＋Π^(1-loop)(0)|_{ｐ2＝0.μ2＝0}で与えられることがくりこみ

条件(2)が満たされることに同値となります。

すなわち,Paulli-Villersの場合なら∫ｄ^ｄｋ

が∫ｄ⁴ｋで,自己エネルギー部分の計算結果は,

－iδ^ijΠ^(1-loop)(ｐ²)

＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4(－)Ｔr[(―iｇτⁱ)i(ｋ－ｍ_F)^-1

(－iｇτ^j)i{(ｋ－ｐ)－ｍ_F}^-1]

＋∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4(－iλ/8)4×3＋8)δ^iji/(ｋ²－μ²)

となり,被積分関数はｋの(－2)次で,積分が∫ｄ⁴ｋ

の4次であること,および,(ｍ_F²,μ²,ｐ²)の次元2を

持った量で展開すると,発散の次数が2ずつ下がること

から,これを理解できます。

いずれにしろ,Π^(1-loop)(ｐ²)は,外線運動量:ｐ²の関数

として,ｐ²の0次と１次の項しか含まず,それ故,丁度,

相殺項:－iΠ_count⁽¹⁾(ｐ²)＝i{Ｚ₃⁽¹⁾(ｐ²－μ²)＋δμ²⁽¹⁾}

で相殺できる形になります。

つまり,Paulli-Villers正則化では,δμ²⁽¹⁾

＝Π^(1-loop)(ｐ²＝μ²)＝(有限定数)

＋{5λ/(16π²)－3ｇ²/π²}Λ²ln2

＋[{3ｇ²/(2π²)}(ｍ_F²－μ²/6)－5λμ²/(32π²)]

×ln(Λ²/μ²)(発散量),

かつ,Ｚ₃⁽¹⁾＝[∂Π^(-loop1)/∂ｐ²]_ｐ2＝μ2

＝(有限定数)＋{ｇ²/(4π²)}ln(Λ²/μ²)(発散量)

と置き,一方,次元正則化では,

δμ²⁽¹⁾＝Π^(1-loop)(ｐ²＝μ²)

＝(有限定数)

＋[{3ｇ²/(2π²)(ｍ_F²－μ²/6)－5λμ²/(32π²)}ε~^-1

(発散量),かつ,Ｚ₃⁽¹⁾＝[∂Π^(-loop1)/∂ｐ²]_ｐ2＝μ2

＝(有限定数)＋{ｇ²/(4π²)}ε~^-1(発散量)と置くと

いずれの正則化でも,Π^(1-loop1)＋Π_count⁽¹⁾は有限になり

(ｐ²－μ²)の2次以上の項はなくなって,

伝播関数はｐ²＝μ²の近傍では,iΔ_j(ｐ²)_ij

＝iδ_ij/(ｐ²－μ²)の形になり,μがBosonの物理的

質量である,という要請が確かに満足されます。

(再掲部分関連終了※)

質量に依らないくりこみでは,裸の2乗質量

がμ₀²ではなくて,(ｍ₀²－δｍ₀²),くりこまれた

質量がμ²でなくｍ²なので,上のδμ²＝μ²－μ₀²

に相当するのは,ｍ²－(ｍ₀²－δｍ₀²)＝δｍ²＋δｍ₀²

です。先に述べたようにδｍ₀²はｍ²に依存しない

定数ですから,このパラメータはどう取ろうが自由

です。

自己エネルギーについては.

Π(ｐ²)＋Π_count⁽¹⁾(ｐ²)＝{Ｚ₃－1)(ｐ²－ｍ²)

＋(δｍ^2-＋δｍ₀²)が満たされるべき条件です。

故に,くりこみ条件(2)はΠ(0)＋Π_count⁽¹⁾(²)

＝δｍ^2-＋δｍ₀²ですが,δｍ₀²が何でもよい

なら;この条件は不要だと思うのですが。

(注15-2終わり※)

途中すが長くなったので今回はここで終わります。

(参考文献):九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(培風館)