物留学の哲学（11)(アノマリー)

「物理学の哲学」の続きです。

(※余談):今日は9月25日(金)です。

けさはゴミ出しに行くともう肌寒かったです。

温暖化で日本も亜熱帯気候に近くなり,日本

にはいないはずの動植物やデング熱,マラリア

などの細菌やウィルスもいて驚きます。

今年も秋は短かく,すぐに冬がくるのでしょうね。

今度は,時代劇で笠置シズ子が出てるのを見て

泣けました。時代劇チャンネルは,昭和の今は亡き

出演者が多くて,まだ,若くて元気なのかと勘違い

しますね。懐かしいですが。(余談終わり※)

※さて本題です。前回の記事では,このシリーズ

で書いてきた内容を,自分の中で改めて整理する

ために長い要約を書き記しました。

今回は,その続きとして,まず,要約記事の直前の

前々回の記事を思い出し,その最後の部分を再掲載

して,そこから話の続きを進めたいと思います。

• 以下は,まず再掲載記事の部分です。

前々回の記事「物理学の哲学(9)」の最後では,

中性のπ⁰中間子の崩壊:π⁰→2γにおいて,入射

する,または静止状態のπ⁰中間子の運動量がｑ^μ

の場合の,崩壊のＳ行列要素Ｓ_fiを書き下した式

を考察しました。これはLSZの公式により,

Ｓ_fi＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ_2,ε₂);out|π⁰;in＞

＝i∫ｄ⁴ｘｆ_ｑ(ｘ)(□_ｘ＋μ²)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|π^0ｒ|0＞という

式で与えられますが,これはｘ表示ではincoming

漸近状態のπ⁰中間子の平面波の基本波動関数:

ｆ_ｑ(ｘ)＝(2π)^-3/2(2ｑ₀)^-1/2exp(－iｑｘ),および

崩壊して出てゆく２光子のincomingの状態関数:

(2π)^-3(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ｅxp{i(ｋ₁＋ｋ₂)ｘ}によって,

Ｓ_fi＝i∫ｄ⁴ｘ[(2π)^-9/2exp{－i(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)}

(2ｑ₀)^-1/2(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂,ｑ)]

と書けるはずです。

ただし,Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂:ｑ)は,３粒子の運動量ｋ₁,ｋ₂

ｑに依存する部分の指数関数以外の因子です。

そこで,(2π)^-1/2(2ｑ₀)-^1/2(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊

Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂,ｑ)は,上記Ｓ_fiの積分表示の被積分関数:

iｆ_ｑ(ｘ)＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|□＋μ²⁾π^0ｒ|0＞

のFourier変換の形になっています。

それ故,(2π)(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂,ｑ)

は,ｆ_ｑ(ｘ)＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|(□＋μ²⁾π^0ｒ|0＞

から,,π⁰の波動関数ｆ_ｑ(ｘ)をはずした２光子の状態

の振幅:＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞

のFourier変換(運動量表示であると考えられます。

他方,＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂):in|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂)

によって関数Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)を定義します。

すると,２種類のＳ_ｆiの積分表示の比較から,

(2π)Ｓ_σΡ(ｋ₁,ｋ₂,:ｑ)＝ｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂)

なる等式の成立がわかります。

と書いたところて記事は終わりました。 

(※以上,再掲記事終わり※)

ここからが,今回の続きの記事です。

さて,これまでは電磁場の存在しない場合の

σ模型を論じてきましたが,これに電磁場:Ａ^μ(ｘ)

を含めるには,元のσ模型のLagrangian密度:Ｌ

に,－(1/4)Ｆ_μνＦ^μνと,－ｅ₀ψ~_ｐγ_μψ_ｐＡ^μの

２項を加えるだけです。

すると,三角グラフの存在のために,PCACの素朴

な方程式:∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π^ｒは,次のように

アノマリーを持ち形に修正されます。

すなわち,∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π^ｒ

＋(1/2){α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρです。

ただし,右辺最後のアノマリー項の因子:(1/2)

は,単にσ模型の軸性カレントの具体的な表式:

ｊ^5μ＝(1/2)ψ~γ^μγ⁵ψ＋σ(∂^μπ)－π(∂^μσ)

＋ｇ₀^-1(∂^μπ)の最初の核子項に現われる因子

の(1/2)を反映したものです。

そこで,適切に正規化された(くり込まれた)Feynman

規則を導入し,QEDでの論旨を同様に実行することに

より,これが電磁相互作用と強い相互作用の両方の

摂動論の全ての次数まで正しいことを示せます。

つまり,三角グラフへの如何なる仮想光子,仮想中間子

の輻射補正もアノマリー項とそのの係数を変えること

はないわけです。

上述の考察の全ては,先のσ模型では,アイソスピン

対称性変換群のSU(2)群の基本表現の核子(ｐ,ｎ)系を

想定していましたが,これを,ハドロンのクォークの

フレイバーSU(3)群の基本表現(ｐ,ｎ,λ)系への一般化

に持ち込むことができます。

(※ 現在では(ｕ,ｄ,ｓ,ｃ,ｔ,ｂ)の６種の存在が

認められているクォークは,過去の記事で参照した論文

出版時の1970年当時には,)ｕ,ｄ,ｓの,３種だけと

考えられていて,(ｐ,ｎ,λ)と記すのが慣習でした。)

(ｐ,ｎ,λ)を基底とするSU(3)のケースなら,Ψは

３成分でψ＝(ψ₁,ψ₂,ψ₃)^Ｔに置き換えられ,スカラー

中間子σと:擬スカラー中間子πは９重項の中間子

(1重項＋８重項)に置き換えられるため,軸性ベクトル

カレントは,８成分のカレントＪ^5μとなり,π⁰に対応

するのは,その第３成分:Ｊ^5μ(3)になります。

それ故,π⁰に対してのアノマリーを持つPCAC方程式

は,∂_μＪ^5μ(3)＝(f_π/√2)π^0ｒ＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρ

×ε_ξστρと書けます。

ただし,係数Ｓは,Ｓ＝Σ_iｇ_iＱ_i²で定義されています。

ここにＱ_iはＪ^5μ(3)の中に素粒子場として現われる

ｉ番目のFermion(クォ―ク) の電荷であり,ｇ_iは,

その結合定数です。つまり,Ｊ^5μ(3)＝Σ_iｇ_iψ~_iγ^μγ⁵ψ_j

＋(中間子項)という表式でのｇ_iを意味します。

これも摂動論の全ての有限次まで正しい式です。

Ｓに対する表現:Ｓ＝Σ_iｇ_iＱ_i²の解釈はアノマリー

へのトータルの寄与は,個々の素Fermi粒子を全て

巻き込む,各々の三角グラフの寄与の総和による

と考えるからです。

PCAＣB関係式:∂_μＪ ^5μ(3)＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ

＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ は,素朴な４次元

発散が,乗法的くり込み可能な任意のくり込まれた

場の理論において,正しいと予測されます。

したがって,正しいPCAC式は,∂_μＪ ^5μ(3)

＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ.

よなりますが,これはσ模型のような特殊な場理論

の模型でなく,一般的なクラスの模型でも成立する.

正確な方程式である,と考えられます。

そして,次は「摂動論のアノマリー(20)」の

「π⁰ 崩壊の低エネルギー定理」という項目

から引用した議論です。

アノマリーを持つ４次元発散の真空から2光子への

行列要素としての正確な「低エネルギー定理」を考える

ため,まず,∂_μＪ^5μ(3)＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ

＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ.における素朴な

４次元発散の値:(ｆ_π/√2)π^0ｒがπ⁰中間子の場

であることに着目します。

この場合「低エネルギー定理」は,π⁰中間子の質量

がゼロでのoff-shellに外挿されたπ⁰ → 2γの振幅に

ついての命題が得られます。

π⁰ → 2γの振幅:Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)の標準定義は,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂):in|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂)であったことを思い起こします。

そして,くり返しになりますが,別の過去記事では,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂):in|∂_μｊ^5μ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＦ(ｋ₁ｋ₂),

＜γ(ｋ₁,ε)γ(ｋ₂,ε₂);in|2iｍ₀ｊ⁵|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＧ(ｋ₁ｋ₂),

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂):in|{α₀^/(4π)}

(Ｆ^ξσ＋Ｆ^Ｒξσ)(Ｆ^τρ＋Ｆ^Ｒτρ)ε_ξστρ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＨ(ｋ₁ｋ₂)

として,(ｋ₁ｋ₂)の関数:Ｆ,Ｇ,Ｈを定義し,これら

は実は対数発散するので,切断Λを入れて正規化した

Ｆ_Λ,Ｇ_Λ,Ｈ_Λのくり込まれた量であるＦ~,Ｇ~,Ｈ~,

つまり,Ｆ~(ｋ₁ｋ₂)＝lim_Λ→∞Ｆ_Λ(ｋ₁ｋ₂) etc.

に対して,Ｆ~(0)＝0,Ｇ~(0)＝－Ｈ~(0)＝－2α/π

が成立する。という「低エネルギー定理」

を得ています。今の場合はアノマリー項の因子Ｓを

含めるように,係数Ｈを定義し直すとＨ~(0)＝2αＳ/π

となるので,Ｇ~(0)＝－Ｈ^(0)＝－2αＳ/πです。

そしてＦ(ｋ₁ｋ₂),Ｇ(ｋ₁ｋ₂),Ｈ(ｋ₁ｋ₂)の

定義式を,Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)の定義式:

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)in|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

ε_ξτσρ×Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)と比較して,(ｋ₁ｋ₂)＝0の場合を

考えると,上記の「低エネルギー定理」

は,Ｇ~(0)＝－2αＳ/π＝(μ^-2ｆ_π/√2)Ｆ^π(0)

となります。

すなわち,π₀崩壊のＳｇ等列要素の真空から２光子

への因子:Ｆ^πに対しては,正確な「低エネルギー定理」

は,Ｆ^π(0)＝－(2√2μ²αＳ)/(πｆ_π)を意味する

ことがわかります。

何故なら,π⁰の運動量:ｑ^μ＝ｋ₁^μ＋ｋ₂において.

ｑ²＝(ｋ₁＋ｋ₂)²＝0,つまり,(ｋ₁ｋ₂)＝0の

低エネルギーは.質量がゼロのoff-Shel(質量殻外に

ある仮想π中間子状態意味しますが,このときには,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞

＝{－(ｋ₁＋ｋ₂)²＋μ²)}

×＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞

＝μ²＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρ

×Ｆ^π(0)となります。

ところが,π⁰を含むPCAC関係式:∂_μJ ^5μ(3)

＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρ

×ε_ξστρ.によれば,

μ²π^0ｒ＝(√2μ²/ｆ_π)∂_μJ ^5μ(3)

－(√2μ²Ｓ/ｆ_π){α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ.

です。

それ故.μ²＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|π^0ｒ|0＞

＝(√2μ²/ｆ_π)

×＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);ih|∂_μＪ^5μ(3)|0＞

－(√2μ²Ｓ/ｆ_π){α₀/(4π)}

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ|0＞

と書けます。

そして,この式の両辺の各項から,共通因子

の(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρを除けば,Ｆ^π(0)＝(√2μ²/ｆ_π)Ｆ(0)

－(√2μ²/ｆ_π)Ｈ(0)を得ますが,これはくりこんだ

量では,Ｆ^π(0)＝(√2μ²/ｆ_π)Ｆ~(0)－(√2μ²/ｆ_π)

×Ｈ~(0)となります。そして,この右辺第１項の

Ｆ ~(0)は,＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|∂_μＪ^5μ(3)|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＦ(ｋ₁ｋ₂)の係数Ｆをくりこんだ量

ですが,これは,低エネルギーのｑ²＝(ｋ₁＋ｋ₂)²

＝0ではＦ(ｋ₁ｋ₂)＝Ｆ（0）＝0,であり,

Ｆ~(0)＝0です。

したがって,結局,Ｆ_π(0)＝－(√2μ²ｆ_π)Ｈ~(0)

を得ます、

　ここで先の「低エネルギー定理」によれば,

0＝Ｆ~(0)＝Ｇ~(0)＋Ｈ~(0)であって

Ｈ~(0)＝2αＳ/πより,Ｇ~(0)＝－Ｈ~(0)

＝－2αＳ/πなので,Ｆ^π(0)＝(√2μ²/ｆ_π)Ｇ~(0)

＝－(2√2μ²αＳ)/(πｆ_π)が得られます。

ところで,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞

＝{－(ｋ₁＋ｋ₂)²＋μ²}

×＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞

ですから,(ｋ₁＋ｋ₂)²＝μ²の(on-shell；

量殻上)にあるときは,(ｋ₁ｋ₂)＝μ²/2

なのですが, このと両辺がゼロで,左辺は

Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)＝Ｆ^π(μ²/2)に比例する量なので,

Ｆ^π(μ²/2)＝0となりそうですが,実際には,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞が,(ｋ₁＋ｋ₂)²＝μ²

に極を持つ,と考えられるので、この質量殻上での

Ｆ^π,(μ²/2)は。一般にゼロにはなりません。

しかし,＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞は,

質量殻外の(ｋ₁＋ｋ₂)²＝0 には、極を持たない

ので.(ｋ₁＋ｋ₂)²＝0  のとき,

(ｋ₁＋ｋ₂)²＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＧ~(ｋ₁ｋ₂)(ｋ₁＋ｋ₂)²は,ゼロです。

またまた,くり返しになりますが,π⁰ → 2γ

の崩壊行列要素は,Ｓ_fi

＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|(□＋μ²)π^0ｒ(ｘ)|0＞

＝i∫ｄ⁴ｘ(2π)^-4 exp{－i(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)ｘ}

(2π)^-3/2(2ｑ⁰)^-1/2

×＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞　

で与えられますが,他方,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ったので,

ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρ

×Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)であＦ^π(0)

＝－(2√2μ²αＳ)/(πｆ_π)は,低エネルギー

でのπ⁰ → 2γの振幅が,直接:∂_μJ ^5μ(3)

＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρ

×ε_ξστρ.のアノマリー項に比例することを

示しています。

この項はSに依存します。そして,Ｓは

素Fermi粒子の電荷Ｑと,その軸性カレント

での結合定数ｇからＳ＝Σ_jｇ_ｊＱ_j² によって

決まります。

さて,求めるべき,π⁰の崩壊率:1/τ(τは崩壊寿命)

については,次の公式があります。

すなわち,1/τ＝(μ³/64π)|Ｆ^π(μ²/2)|²..です。

これは,崩壊の反応体積をＶ,時間をＴとすると,

単位体積当たりの遷移速度は,|Ｓ_fi|²/(ＶＴ)

＝(2π)⁴δ⁴(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)(2π)^-9(8ｋ₁₀ｋ₂₀Ｅ_q)

|Ｆ^π(μ²/2)|²

[Σ_ε1,ε2|ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρ|²]

で与えられます。ただし,Ｅ₀＝ｑ₀で,これは

π⁰中間子のエネルギーです。

※(注):何故なら,まず,Ｓ_fiは４元運動量保存の因子:

(2π)⁴δ⁴(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)を含み,ＶＴ＝(2π)⁴δ⁴(0)

と同定されるので.|Ｓ_fi|²/(ＶＴ)は,因子:

(2π)⁴δ⁴(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)を1個含みます。

π⁰ →2γ反応では,Ｓ_fiが規格化因子：

(2π)^-3/2(2ｋ₁₀)^-1/2(2π)^-3/2(2ｋ₂₀)^-1/2

(2π)^-3/2(2Ｅ₀)^-1/2を持つため,これは

|Ｓ_fi|²(ＶＴ)には(2π)^-9(８ｋ₁₀ｋ₂₀Ｅ_q)^-1

の寄与をします。

そして,(ｋ₁＋ｋ₂)²＝μ² のときｋ₁²＝ｋ₂²＝0

より,(ｋ₁ｋ₂)＝μ²/2なので,係数:Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)

の寄与はＦ^π(μ²/2)です。

そして,π⁰の静止系を想定するとｑ^μ＝(Ｅ_q,ｑ)

=(μ,0)です。そこで,ｋ₁＝－ｋ₂＝ｋとおくと,

ｋ＝|ｋ|＝μ/2ですから,ｋ₁₀＝ｋ₂₀＝ｋ＝μ/2です。

よってｋの向きを3軸(ｚ軸)に取ってｋ＝ｋｅ₃と

すると,ｋ₁^ξｋ₂^τで.ゼロでないのは,ξ＝0,τ＝3か,

ξ＝3,τ＝0のみです。

さらに,ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρ＝2ｋ²ε_{0 3σρ}

においてε₁,ε₂は横波を示すので,ε₁ｋ₁＝ε₂ｋ₂＝0,

より,ゼロでないのは,(σ,ρ）＝(1,2),(2,1)のみで,

このとき,ε₁^σ＊ε₂^ρ＊＝1です。

結局,Σ_ε1,ε2|ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρ|²

＝|2ｋ²ε_{0 312}|²＋|2ｋ²ε_{0 321}|²＝8ｋ⁴を

得ます。全空間Ｖに1個のπ⁰が存在する,という

規格化を考慮してπ⁰の１個当たりの崩壊確率を

求めると,1/τ＝(1/2!)∫ｄ³ｋ₁ｄ³ｋ₂{Ｖ|Ｓ_fi|²

/(ＶＴ)}＝(μ³/64π)|Ｆ^π(μ²/2)|²が得られます。

因子:(1/2!)は,２光子の区別不可能性による因子

です。こうして得られた評価式1/τ_-1

＝(μ³/64π)|Ｆ^π(μ²/2)|²において,Ｆ^π(μ²/2)

をＦ^π(0)＝－(2√2μ²αＳ)/(πｆ_π)で近似すると,

結局,π⁰崩壊の崩壊率の近似計算値が,

1/τ＝(μ³/64π)|8μ⁴α²Ｓ²/(π²ｆ_π²)

＝Ｓ²μ⁷α²/(8π³ｆ_π²)で与えられることが

わかりました。

これに,具体的な物理定数の近似値:α～1/137,

μ～135 MeＶ,および,f_π～√2ａ_πμ²/ｒ_Ａ,に

ａ_π＝0.87μ～0.97μを代入,過去記事「弱い相互

作用の旧理論(7)」からの引用でｒ_Ａ～1.21の代入

から得られるｆ_π＝1.02μ³ ～1.13μ³をも,1/τを

与える式に代入すれば,崩壊率の近似計算値として

,1/τ＝22.74Ｓ²eＶ～30.21Ｓ²eＶを得ます。

一方,Rosenfeldによって引用されたπ⁰崩壊の

崩壊率の実験値は,

1/τ_exp＝(1.12±0.22)×10¹⁶sec^-1

＝(7.37±1.5)eＶです。(※つまり,π⁰の

崩壊寿命は,τ～10^－16sec程度です。また,現在

でのより正確な実験値は,1/τ_exp＝(7.48±0.32)eＶ

です。)

そこで,仮にＳ²＝1/4であれば,計算値が,

1/τ＝5.68 eＶ～7.55ｅＶと予測されます。

この結果からは,Ｓ²＝1/4のときに実験値との

著しい一致を見ることになります。

ところが,π⁰が関わる軸性ベクトルカレント

では,クォークの基本３粒子の場:Ψ＝(ψ₁,ψ₂,ψ₃)^Ｔ

＝(ｐ,ｎ,λ)^Ｔの結合定数について,ストレンジ粒子

λは無関係で(ｇ₁,ｇ₂,ｇ₃)＝(1/2,－1/2,0) です。

そして電磁カレントの[Ｕスピン不変性]から,

基本粒子の(ｐ,ｎ,λ)の電荷は,(Ｑ₁,Ｑ₂,Ｑ₃)

＝(Ｑ,Ｑ－1,Ｑ－1)というパターンを持ち,

Ｑ＝2/3とすると(Ｑ₁,Ｑ₂,Ｑ₃)＝(2/3,－1/3.－1/3)

なのでＳ＝Σ_jｇ_ｊＱ_j²＝1/6となります。

しかし,現在の見地では,クォークにはフレイバー

自由度とは独立に,カラー自由度が存在して,カラー

ＳＵ(3)対称性を持つことが知られており,この自由度

３により,Ｓ＝(1／6)×３＝1/2となるため,確かに

Ｓ²＝1/4を満たします。。　

現在,ハドロンを構成する基本粒子のクォーク

はフレイバー自由度も３個ではなく６個の

(ｕ,ｄ,ｓ,ｃ,ｔ,ｂ)＝(up,down,strange,charm,

top,bottom)が存在すると,されていますが,

1970年当時は,そのうちの３個(ｐ,ｎ,λ)

＝(ｕ,ｄ,ｓ)の３種だけで基本クォークが

構成されると予想されていました。しかし

π中間子と関わるカレントのクォーク成分は

(ｕ,ｄ)＝(ｐ,ｎ)だけなので,全体のフレイバー

自由度が３から６に増加しても,カラーを考量

したＳ＝1/2という値には変わりなく実験値との

矛盾はないことになります。

荷電π中間子π^±の平均寿命が,τ～2.6×10^-8sec

と観測されているのに対し,中性のπ⁰中間子の

平均寿命は,τ～10^－16 sec程度と,はるかに短かく

π0→2γの崩壊は,π→μ＋ν~の崩壊とは異なる作用

で,アノマリー項の寄与によるものと考えられると

いうのが,最終結論です。

そもそも,π中間子は,カイラルゲージ対称性を持つ

系の対称性の自発的破れで「南部-oldstonの定理」に

従って出現したゼロ質量の粒子(ＮＧ粒子)が,ゲージ

対称性の破れという特殊性で,Higgsメカニズムに

よって質量を獲得した粒子と解釈されています。

　それ故,元々質量は大きくなく,もしも本当にゼロ質量

なら中性π⁰の場合,理論上崩壊は禁止されるので,実際に

崩壊が生じるのはアノマリー存在のためと考えられます。

アノマリーは,ゴーストや仮想粒子のように,存在しても

実在として観測されないモノではなく,現実に観測され,

崩壊寿命の計算などに必要なモノです。

ここで,キリもいいので今回はここまでです。(つづく)

物理学の哲学(10)(アノマリー)

「物理学の哲学」の続きです。

(※余談):今日は９月18日(金)です。

先日,私と同学年の岸部シローさんが亡くなられた

ようです。元ＧＳのタイガースのメンバーで岸部一徳

さんの弟,時代劇では関西弁のキャラで面白かったの

ですが。。今年に入って,コロナで,志村けんさんも

亡くなられました。昨年は,ショ－ケン(萩原健一さん

,ちょっと前には,関西のやしきたかじんさんと,

1949/４～1950/３生まれの私と同学年の芸能人が

次々と病死されています。

有名人じゃなくても,ここ数年,同年代の身近な飲み

友達など,数人がガンなどの病気で他界しました。

皆,70歳以上で,諸行無常とはいえ,さみしいことです。

ところで,時代劇といえば,つい先日,専門チャンネル

を視ていると,昭和30年代,テレビを見始めた頃に映画

やＴVで活躍されていた嵐寛寿郎さん(アラカン)と,

上原謙さんが「必殺」に出ていて,私,つい涙が出そうに

なりました。近衛十四郎さんもいたら完璧でしたがね。

結局,無名の馬の骨,有象無象の私だけが70歳にして

まだ,何とか,生きています。

「憎まれっ子,夜(ヨル)にハバカリ」とかね。。。

その昔,池袋の専門学校の講義で,このオヤジギャグ

をカマしても「ハバカリって何？」ということで全く

ウケませんでした。

ハバカリとは,便所,ご不浄,お手洗い,化粧室,雪隠

(セッチン),川屋(カワヤ),トイレ、W.C.(water-closet,

orウンコとシッコ)でんがな。。。(以上,余談終わり※)

※さて,本題です。

崩壊:π⁰→2γの崩壊率を求める問題は,今,初めて

考察してブログ記事を作っているのじゃなく,本ブログ

の過去に書いた記事を,ストーリーに従って並べ直して

いるだけです。

昔の記事をコピペしては,修正しながらアップして

いるうち,自分でも混乱してきたので,ここで,これまで

の記事の経過を,詳細を省いて主な結論だけを要約して

頭の中にあるストーリーを,整理してみました。

※ブログサイトの改編や,ｾキュリティ強化で図や写真

も入れたいけど,昔ほど簡単には挿入できず,文章ばかり

の内容なのも,混迷と退屈の原因カモね。）

さて,まず,裸の質量がｍ₀,で,スピンが1/2の電子ｅや

陽子ｐなどのスピノル場:ψ(ｘ)で記述されるFermionの

荷電粒子の場と電磁場(光子の場)Ａ^μが共存する系で,

ψによる軸性ベクトルカレントの演算子:

」^5μ(ｘ)＝ψ~(ｘ)γ^μγ⁵ψ(ｘ)を考えると,もしもｍ₀＝0

(質量がゼロ)なら,カイラルゲージ変換に対する系の

不変性が成立して,∂_μ」」^5μ＝0と,その軸性ルカレント

の４次元発散がゼロとなって,カレントの保存が成立

するのですが,一般には,ｍ₀≠0なので,∂_μ」^5μ

＝2iｍ₀ｊ⁵≠0であり,このカレントは,時間的に保存

される物理量ではありません。ただし,」⁵(ｘ)

＝ψ~(ｘ)γ⁵ψ(ｘ)です。この式はPCAC(部分的保存)

の関係式と呼ばれます。

ところが,電磁場の存在の下で頂点関数に対して成立

するはずのWard-高橋の恒等式(ＷＴ恒等式)を考察する

ために,カイラルの軸性頂点γ^μγを含むVVA三角ブラフ

(vector-vwctor-Axialvsctor diagram)の寄与を調べると

純粋にQEDの計算だけから得られた関係に,余分な項

アノマリー項(量子異常項)が存在することがわかり

ます。そして,これは簡単には除去できない本質的意味

がある項であることがわかります。

このＷＴ恒等式のアノマリーは,実は.軸性カレント

のPCAC式に,アノマリー項が存在することに由来して

います。すなわち,∂_μ」^5μ＝2iｍ₀ｊ⁵

＋{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρなる関係式に起因

しています。

これら両辺の各項は,摂動論のFeynmanグラフの計算

では,対数発散し,有意な量とみるには正規化して補正

する必要がありますが,それはアノマリー項だけに効く

ので,補正率をＣとすると,∂_μ」^5μ＝2iｍ₀ｊ⁵

＋(1＋Ｃ){α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρと修正されます。

これがπ⁰→ 2γ崩壊率に如何に関係するか?を見るため

そのＳ行列要素:Ｓ_fi＝＜ｆ；out|ｉ;in＞

＝<γ(ｋ₁,ε₁),γ(ｋ₂,ε₂)；out|π0;in＞を考えると,

LSZの公式からＳ_fi＝i∫ｄ⁴ｘｆｑ(ｘ)(□_ｘ＋μ²)

<γ(ｋ₁,ε₁),γ(ｋ₂,ε₂):iｎ|π^0ｒ(ｘ)|0＞なる表式を

得ます。ただし,π^0ｒ(ｘ)は,π^0ｒ(ｘ)＝(Ｚ₃^π)^1/2π⁰(ｘ)

で定義される,π⁰中間子の(裸の)場:π⁰(ｘ)のくりこまれた

場であり,μは,π⁰の質量を意味します。

一方,後の便宜のため,∂_μ」^5μ＝2iｍ₀ｊ⁵

＋(1＋Ｃ){α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρの両辺の各項

を,＜γ(ｋ₁,ε₁),γ(ｋ₂,ε₂);in＞|と,真空:|0＞で

挟んだ行列要素を考えます。

これらは全てｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρに比例する

と考えられるので,それぞれ,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|:in|∂_μｊ^5μ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＦ(ｋ₁ｋ₂)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|2iｍ₀ｊ⁵|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＧ(ｋ₁ｋ₂)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂):in|

{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＨ(ｋ₁ｋ₂)　と置きます。

すると,先の軸性ベクトルカレントのPCAC関係式

は,Ｆ(ｋ₁ｋ₂)＝Ｇ(ｋ₁ｋ₂)＋(1＋Ｃ)Ｈ(ｋ₁ｋ₂)

に帰着します。

そして,Ｆ(ｋ₁ｋ₂)∝(ｋ₁ｋ₂)なる性質があるので,

２光子の４元運動量ｋ₁,ｋ₂が,ｋ₁～0,ｋ₂～0.である

ような低エネルギー極限では,Ｆ(0)＝0であり,その

領域では補正Ｃは無視できるので

0＝Ｆ(0)＝Ｇ(0)＋Ｈ(0),または,Ｇ(0)＝－Ｈ(0)を

得ます。アノマリー項の低エネルギーでの寄与:

Ｈ(0)は,VVA三角グラフで,具体的に計算できて,

Ｈ(0)＝2α₀/πであり,故にＧ()=－2α₀/πです。

しかし,実際にはＦ,Ｇ,Ｈは対数発散するので

切断Λを入れて正則化した量をＦ_Λ,Ｇ_Λ,Ｈ_Λとして

これらのくり込まれた量をＦ~,Ｇ~,Ｈ~とします。

つまり,Ｆ~(ｋ₁ｋ₂)＝lim_ｋΛ→∞Ｆ_Λ(ｋ₁ｋ₂).etc.です。

すると,ｋ₁～0.ｋ₂ ～0の低エネルギー極限では,

Ｆ~(0)＝0,Ｈ~(0)＝2α/πであり,Ｇ~(0)＝－2α/π

になる,という定理を得ます。

これがQEDの軸性ベクトルカレントのPCACとVVA

アノマリーに関する「低エネルギー定理」です。

これらQEDのVVA三角アノマリーと「低エネルギー定理」

の結果を,π⁰中間子の崩壊と関連付けるため,一般化して,

場の理論のアイソスピン対称性を持つσ模型を導入します。

その系のLagrangian密度:Ｌのカイラル変換に対応する

Noetherカレント:ｊ^μ(ｘ)＝－δＬ/δｖ)は軸性カレント

なので,これをｊ^5μ(ｘ)と書くと,QEDの軸性カレントの

PCAC式と同じ形のカレントの４次元発散に対する関係式:

∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)πを得ます。(※ここではｊ^5μもπも

アイソスピンが1の,アイソベクトルです。)

さらに,π中間子の(裸の)場:πのくりこまれた場:π^rと,

くりこみ定数Ｚ₃^πを,,π^r(ｘ)＝(Ｚ₃^π)^1/2π(ｘ)で定義すると,

∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^-1/2π^rとなります。

次に,π中間子の崩壊振幅:ｆ_πを次式で定義します。

すなわち,＜π(ｑ)|ｊ^5μ|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)

×(ｆ_π/√2.)とします。そして,これの４次元発散を

取り ＜π-（q）|πr|0＞=（2ｑ₀）^-1/2因子をはずして

演算子式として,先の∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^-1/2π^r

と右辺を比較すると,(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^-1/2＝ｆ_π/√2

なる等式を得ます。

そこで,∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^-1/2π^rのくり込み

定数が除去されて,物理量だけで書き表わしたPCAC

の関係式が得られて,∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π^ｒと

書けます。

ところが,中性子のβ崩壊:ｎ→ｐ＋ｅ＋ν~に代表

される,弱い相互作用の現象論的Fermi理論では,荷電

π中間子の崩壊:π→μ＋ν~の崩壊率を求めるには,

現象論的相互作用Hamiltonian:Ｈ_π→μνの１次の効果で

ある,＜Ｈ_π→μν＞＝(Ｇ/√2)∫ｄ⁴ｘ

＜0|∂_μπ^ー|π^－(ｘ)＞{μ~(ｘ)γ^μ(１－γ⁵)ν(ｘ)}

という計算式を用いて行います。

(※ν~はニュートリノ:νの反粒子を意味します。)

しかし,π→μ^ー＋ν~に寄与するのは,V-Aカレントの

うち,Aの部分のみで,レプトン因子のA＝軸性カレント

を,Ｌ^^μ(ｘ)＝μ~(ｘ)γ^μγ⁵ν(ｘ)と表わせば,

崩壊振幅への実際の寄与は,(Ｇ/√2)∫ｄ⁴ｘ

＜0|∂_μπ^ー|π^－(ｘ)＞Ｌ＾^μ(ｘ)となります。

そして,π^－の４元運動量がｑ^μの粒子状態

への寄与を＜0|∂_μπ^ー|π^－(ｘ)＞

＝(2π)^-3/2(2ｑ₀)^-1(iｑ_μ)(ａ_π)として,π中間子の雲

の振幅:ａ_πを定義すると,崩壊:π→μ＋ν~の振幅は,

＜μν~|Ｌ^^μ{0＞

＜0|(Ｇａ_π/√2)(∂_μπ^ー)|π^－＞＜π^－|π^－(ｑ)＞

と表現されます。そして,これによって崩壊率:1/τを

計算すると,1/τ＝{Ｇ²ａ_π²/(8πμ)}(ｍ_μ/μ)² となり

ますが,これが実験値 1/τ ～3.84×10⁷sec^-1と合致する

には,,|ａ_π｜＝0.87μ～.97μである,ことが必要である,

と評価されています。

一方,擬スカラー場:πから作られる軸性ベクトル

∂_μπの弱軸性カレントｊ_5μに相当する寄与率:ｒ_Ａ

＝ｇ_Ａ/ｇ_Ｖを考慮して,これから上述の崩壊振幅を

得るには,ｒ_Ａ＜0|ｊ_5μ(ｘ)|π^－(ｑ)＞

＝ａ_π＜0|∂_μπ^－|π^－(ｑ)＞となることが必要十分

です。この式の左辺で４次元発散を取れば,

r_Ａ＜0|∂_μｊ^5μ(ｘ)|π^－(ｑ)＞＝ａ_π＜0|□π^ー|π^－(ｑ)＞

＝－ａ_πμ²＜0|π^ー|π^－(ｑ)＞となりますから,ｆ_π/√2

＝－ａ_πμ²/ｒ_Ａ とすれば,∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π√2)π^－を得ます。

この式の右辺のπ中間子の場:π^－(ｘ)を,くりこまれた場

π^－r(ｘ)である,と解釈するなら,これは,∂_μｊ^5μ

＝(ｆ_π√2)π^－rとなります。

他方.σ模型のPCAC関係式はアイソベクトルπについて,

∂_μj^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^-1/2π^rでしたから,両者の関係式

が一致することを要請すれば,再び,(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^-1/2

＝ｆ_π/√2が成立するはずです。

このPCAC式が,荷電π中間子π^－だけでなく,中性の

π⁰中間子でも成立するなら,∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π^0ｒです。

そこで,中性のπ⁰中間子においても,係数ｆ_πは荷電π

中間子の崩壊率に比例する量であるとが証明されました。

結局,QEDではないσ模型でも,三角グラフを通して

２光子と相互作用する電気的に中性な軸性ベクトルカレント

ｊ^5μがPCACの条件を満足するとき,その４次元発散:

∂_μｊ^5μが,πの場に比例するという結果を得ました。

(※ここまでが,これまでの記事の要約です。)

今回は,これ以上進むと長くなるので,(9)までの

要約のみでした。(つづく)

物理学の哲学(9)(アノマリー)

「物理学の哲学」の続きです。

　今回も余談抜きです。

さて,これまでの記事内容と重複するかも

知れませんが,粒子の散乱などの量子遷移現象

において,初期状態,or 始状態を,|ｉ＞,終状態を

|ｆ＞で記述すると.|ｉ＞から|ｆ＞への散乱行列

(Ｓ行列)要素:Ｓ_fiは,ユニタリ変換だけ異なる

２つの完全系:incomibg漸近場の状態と

outgoing漸近場の状態によって,

Ｓ_fi＝＜ｆ;out|ｉ;in＞＝＜ｆ;in|Ｓ^|ｉ:in＞

で定義されます。そして,Ｓ^演算子は,＜ｆ;in|

＝＜ｆ;out|Ｓ^で定義されます。

今のπ⁰→2γの崩壊過程では,|ｉ＞＝|π⁰ ＞

であり,|ｆ＞＝|γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)＞です。

そして,これに,LSZの還元公式を用いると,

Ｓ_fi＝i∫ｄ⁴ｘ(2π)^-3/2(2ｑ⁰)^-1/2exp(－iｑｘ)

(□_x＋μ²)＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|π^0ｒ(ｘ)|0＞

と書けます。ただしπ^0ｒ(ｘ)は,くりこまれた中性の

π⁰中間子の場(擬スカラー場)であり,μはπ⁰の質量

です。そして,Klein-Gordon演算子:(□＋μ²)を挿入

しているのは,始状態で,入射するπ⁰のincoming漸近場:

π⁰_in(ｘ)が,その自由場と同じ方程式に従うため,

(□＋μ²)π⁰_in＝0のKlein-Gordon方程式を満たす

からです。

ここで,本ブログの過去記事「LSZの公式(4)」から,

LSZ(Lehmann-Synmanzik-Zimmerman)の公式の

紹介記事を,今のπ⁰中間子の崩壊過程に適用するため,

少し修正して再掲載します。

　参考にしたのは,J.D.Bjorken とS。D。Drellの共著

「Relativistic Quanrum Field」(McGrawHill)　です。

これは私が学生の頃の場の量子論の標準的テキスト

でした。(※もっとも,当時は1ドル360円の時代で,洋書

は高価で貧乏学生だった私は,研究室図書館の蔵書を青焼き

コピーしてファイルににして使ってました。これを買えた

のは,サラリーマンに就職後です。※)

※さて,以下は修正した再掲記事です。

粒子群:αに４元運動量がｐのπ中間子１個

が加わった入射粒子群のincomingの漸近状態を

意味する:|αｐ;in＞から,終状態の粒子群:βの

outgoing漸近状態のKet:＜β;out|への遷移振幅

を示すＳ行列要素(散乱業辣要素)を与えるＳ行列

要素:Ｓ_β(αp)＝＜β;out|αｐ;in＞を考察します。

以下,漸近条件を用いて,始状態:|αｐ;in＞と

終状態|β;out＞の両方から1粒子ｐを差し引く

代わりに,適当な場の演算子を挿入した式が

得られることを示します

質量がμのπ中間子の漸近場の消滅演算子;

ａ_in^(ｐ),および,ａout^(ｐ)は,それぞれ,

ａ_in^(ｐ)＝i∫ｄ³ｘｆ_ｐ^＊(ｘ)∂₀^⇔π_in(ｘ),

および,ａ_out^(ｐ)＝i∫ｄ³ｘｆ_ｐ^＊(ｘ)∂₀^⇔π_out(ｘ)

という表式で書けることを用います。

他方,これら漸近場の生成演算子:ａ_in^^＋(ｐ)と

ａ_out^^＋(ｐ)の方は,上式の両辺のHermite共役を

取れば得られます。

ただし,ｆ_ｐ(ｘ)＝(2π)^-3/2(2ω_ｐ)^-1/2

exp(－iｐｘ)です。(ω_ｐ＝ｐ⁰＝(ｐ²＋μ²)^1/2)

一方、ｆ_ｐ^＊(ｘ)＝(2π)^-3/2(2ω_ｐ)^-1/2exp(iｐｘ)

で,これらは,(□＋μ²)ｆ_ｐ＝0,(□＋μ²)ｆ_ｐ*＝0

を満たす平面スカラー波の解です。

　また,任煮,の２つのｔの関数：ａ(ｔ),ｂ(ｔ)に

対して,ａ(ｔ)∂^⇔₀ｂ(ｔ)で与えられる関数を,

ａ(ｔ)∂^⇔₀ｂ(ｔ)＝ａ(ｔ){∂ｂ(ｔ)/∂ｔ}

－[∂ａ(ｔ)/∂ｔ}ｂ(ｔ)　で定義しています。

そこで,＜β;out|αｐ;in＞

＝＜β;out|ａ_in^^＋(ｐ)|α;in＞

＝＜β;out|ａ_out^^＋ｐ)|α;in＞

＋＜β;out|ａ_in^^＋(ｐ)－ａ_out^^＋(ｐ)|α;in＞

＝＜β－ｐ;out|α;in＞

－i＜β;out|∫ｄ³ｘ[ｆ_p(ｘ)∂₀^⇔

[π_in(ｘ)－π_out(ｘ)]]|α;in＞と書けます。

　|β－ｐ;out＞は,もしも集合:βの中にｐ

が存在する場合は,βからｐを除いた終状態を

表わしますが,βの中にｐが存在しない場合は,

この項はゼロで消えてなくなります。

また,|αｐ;in＞が,初期に２粒子がある場合の

散乱を表現しているなら,＜β－ｐ;out|α;in＞

は入射粒子と標的粒子が運動量を含め,それら

の量子数を保存する前方弾性散乱のみに寄与

します。つまり,＜β－ｐ;out|α;in＞

＝δ_(β－ｐ)αです。

(※ 何故なら|α;in＞が１粒子の場合は,

＜β－ｐ;out|Ｐ^²|α;in＞

＝α²＜β－ｐ;out|α;in＞

＝(β－ｐ)²＜β－ｐ;out|α;in＞なので,

＜β－ｐ;out|α;in＞≠0である場合は,

(β－ｐ)²＝α²＝μ²ですから,|β－ｐ;out＞

も同じ１粒子の終状態です。

そして,また,＜β－ｐ;out|Ｐ^^μ|α;in＞

＝α^μ＜β－ｐ;out|α;in＞

＝(β－ｐ)^μ＜β－ｐ;out|α;in＞

ですから,＜β－ｐ;out|α;in＞≠0のときは,

(β－ｐ)^μ＝α^μ,つまり,β^μ＝(α＋ｐ)^μと,

４元運動量が不変な弾性散乱で,しかも方向を

変えず素通りする前方散乱のみの振幅を意味

するからです。※)

さて,＜β;out|αｐ;in＞

＝＜β－ｐ;out|α;in＞

－i＜β;out|∫ｄ³ｘ[ｆ_ｐ(ｘ)∂₀^⇔

{π_in(ｘ)－π_out(ｘ)}]|α;in＞ の右辺の

項:－i∫ｄ³ｘ＜β;out|ｆ_p(ｘ)∂₀^⇔

{π_in(ｘ)－π_out(ｘ)}|α;in＞

は「Greenの定理」によって時間ｔに依存しません。

そして,始状態,終状態の散乱状態の粒子たちが

波束のように,あるf(ｘ)≠0の形の有限な台に

局所化されていることを保証する漸近条件:

lim_ｔ→-∞＜α|π^ｆ(ｔ)|β＞＝Ｚ^1/2＜α|π_in^ｆ(ｔ)|β＞,

lim_ｔ→+∞＜α|π^f(ｔ)|β＞＝Ｚ^1/2＜α|π_out^f(ｔ)|β＞

の要請,を満たすことから,ｔ＝ｘ⁰→ －∞ の極限では,

π_in(ｘ,ｔ)を,Ｚ^-1/2π(ｘ,ｔ)で,また,t=ｘ⁰→ ＋∞

の極限でも,π_out(ｘ,ｔ)を,やはり,Ｚ^-1/2π(ｘ,ｔ)

で置き換えることが許されます。

(※Zは,π(ｘ)のくりこみ定数を意味しています。)

　それ故,結局,＜β;out|αｐ;in＞

＝＜β－ｐ;out|α;in＞

＋(iＺ^-1/2(lim_{ｘ0→　+∞}－lim_ｘ0→-∞)

＜β;out|∫ｄ³ｘｆ_ｐ(ｘ)∂₀^⇔π(ｘ)|α;in＞

と書くことができます。

これが,Reduction手続きの最初の段階です。

これから,より便利な形を得るために,公式:

(lim _{x0→ +∞}－lim _{x0→ -∞})∫ｄ³ｘｇ₁(ｘ)∂₀^⇔ｇ₂(ｘ)

＝∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ[∂₀{ｇ₁(ｘ)∂₀^⇔ｇ₂(ｘ)}]

＝∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ[ｇ₁(ｘ)∂₀²ｇ₂(ｘ)

－{∂₀²ｇ₁(ｘ)}ｇ₂(ｘ)]が成立すること

を用います。

そこで,ｇ₁（ｘ）＝ｆ_ｐ(ｘ),ｇ₂(ｘ)

＝π(ｘ)として,これに代入すると,

ｇ₁(ｘ)＝ｆ_P(ｘ)は,(□＋μ²)ｆ_ｐ(ｘ)＝0

を満たすので,∂₀²ｆ_ｐ(ｘ)＝(∇²－μ²)ｆ_ｐ(ｘ)

Gが成立します。

　よって,Ｚ^-1/2(lim _ｘ0→+∞－lim_ｘ0→-∞)∫ｄ³ｘ

＜β;out|ｆ_ｐ(ｘ)∂₀^⇔π(ｘ)|α;in＞

＝iＺ^-1/2∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ＜β;out|

ｆ_ｐ(ｘ)∂₀²π(ｘ)－{∂₀²ｆ_p(ｘ)}π(ｘ)|α;in＞

＝iＺ^-1/2∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ＜β;out|ｆ_ｐ(ｘ)

(∂₀²＋μ²)π(ｘ)－(∇²ｆ_ｐ(ｘ))π(ｘ)]|α;in＞

となります。

　結局,Ｚ^-1/2(lim _ｘ0→+∞－lim_ｘ0→-∞)∫ｄ³ｘ

＝iＺ^-1/2∫_-∞^∞ｄ⁴ｘｆ_p(ｘ)(□＋μ²)

＜β;out|π(ｘ)|α;in＞　なる表式を得ます。

ここで,最後の式変形では部分積分に対する

「Greenの公式」を用いました。

したがって,元のＳ行列要素の始状態,終状態

の両方から1粒子を減ずる還元公式の最終式

として,Ｓ_β(αｐ)＝＜β;out|αｐ;in＞

＝＜β－ｐ;out|α;in＞

＋iＺ^-1/2∫_-∞^∞ｄ⁴ｘｆ_ｐ(ｘ)(□＋μ²)

＜β:out,|π(ｘ)|α;in＞

が得られました。　(再掲記事終了※)

今のπ⁰中間子の崩壊のＳ行列要素:

Ｓ_fi ＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);out|π⁰in＞

＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|Ｓ^|π⁰in＞

に対するLSZの公式を考えると,上記で,

＜β;out|＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);out|

とし,|αｐ；in＞＝|π⁰in＞として,それ故,

|α:in＞は,真空:|0＞を意味するので,上記

の最終形の式で,π中間子の場π(ｘ)を,π⁰中間子

の場:π⁰(ｘ)に置き換え,そのくりこまれた場

を,π^0ｒ(ｘ)と書いて,π^0ｒ(ｘ)＝Ｚ^1/2π⁰(ｘ)

と乗法的に定義されているなら,入射π⁰粒子の

4元運動量がｐ^μでなく,ｑ^μの場合の崩壊の

Ｓ行列要素として,

Ｓ_ｆi＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ_2,ε₂);out|π⁰;in＞

＝i∫ｄ⁴ｘｆ_ｑ(ｘ)(□＋μ²)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);out|π^0ｒ|0＞

なる表式が得られます。

ここで,始状態,および.終状態を共に

incomingの漸近状態のｘ座標表示で表わすと,

それぞれ,＜ｘ|π⁰ ;in＞＝ｆ_ｑ(ｘ)

＝(2π)^-3/2(2ｑ⁰)^-1/2exp(－iｑｘ),および,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|ｘ＞^σρ

＝(2π)^-3(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊

exp(iｋ₁ｘ)exp(iｋ₂ｘ) です。

そこで,Ｓ行列要素:Ｓ_ｆi＝i∫ｄ⁴ｘｆ_ｑ(ｘ)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);out|(□＋μ²⁾π^0ｒ|0＞

を,このｘ表示で書けば,未知の因子を

Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂:ｑ)として,Ｓ_fi＝i∫ｄ⁴ｘ(2π)^-9/2

(2ｑ⁰)^-1/2exp{－i(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)ｘ}

(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂:ｑ)

なる形に書けるはずです。

そこで,(2π)^-1/2(2ｑ⁰)^-1/24ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2

ε₁^σ＊ε₂^ρ＊Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂:ｑ)が,ｆ_ｑ(ｘ)

×＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|(□＋μ²⁾π^0ｒ|0＞

のFourier変換(運動量表示)になっています。

それ故,(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊(2π)×

Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂:ｑ)がが,Ｓ行列要素の,運動量表示

ｆ_ｑ(ｘ)＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|

(□＋μ²⁾π^0ｒ|0＞から,|π₀;;in＞から,波動関数

ｆ_ｑ(ｘ)＝(2π)^-3/2(2ｑ⁰)^-1/2exp(－iｑｘ)

を除いた因子である

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|(□＋μ²)_qπ^0ｒ|0＞

のFourier変換(運動量表示になっている

と考えられます。

そこで,Ｓ_ｆi＝i∫ｄ⁴ｘｆ_ｑ(ｘ)(□＋μ²)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|π^0ｒ|0＞

の被積分関数を[(2π)^-9/2(2ｑ⁰)^-1/2

exp{－i(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)ｘ}

(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

ε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂)と書いて,

Ｓ_fi＝i∫ｄ⁴ｘ(2π)^-9/2(2ｑ⁰)^-1/2

exp{－i(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)ｘ}(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2

ε₁^σ＊ε₂^ρ＊Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂:ｑ)の被積分関数

と等置すれば,(2π)Ｓ_σΡ(ｋ₁,ｋ₂,:ｑ)

＝ｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂)　となります。

今回は,ここで終わります。(つづく)

物理学の哲学(8)(アノマリー)

「物理学の哲学」の続きです。

余談は省略で,さっそく本題の続きに入ります。

 前回は,QED以外に,部分的保存(PCAC)を満たす

場理論のσ模型を導入して,π中間子の崩壊振幅

ｆ_πを,次式で定義しました。

すなわち,＜π(ｑ)|ｊ^5μ|0＞

＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)(ｆ_π/√2.)です。

ここで,μはπ中間子の質量です。

アイソベクトル場:πを含むσ模型では,πもｊ^5μ

も中性成分だけでなく荷電成分を持つため,ｆ_πは

丁度,荷電π中間子の弱い崩壊振幅に等しいもので

あることがわかります。

特に,中性のπ⁰に対する先の「不完全版」の

σ模型の中性軸性べクトルカレントｊ^5μ(ｘ)は,アイソ

軸性ベクトルカレントｊ^5μ(ｘ)の,アイソ第３成分です

から,それをｊ^5μ(3)(ｘ)と記し.中性カレントでの表現:

＜π(ｑ)|ｊ^5μ|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)ｆ_π/√2.

を,＜π⁰(ｑ)|ｊ^5μ(3)|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)ｆ_π/√2.

と書き直します。

荷電π中間子の場の演算子は,π^＋＝(π₁－iπ₂)√2,

および,π^－＝(π₁＋iπ₂)/√2,ですが,,一方,粒子の

状態ベクトルとしては,|π^＋＞＝|π₁＋iπ₂＞/√2,

および,{π^－＞＝|π₁－iπ₂＞/√2でしたから,

π^－の崩壊:π^－→ μ^－＋ν_μ~,　π^－→ ｅ^－＋νe~

における行列要素:＜α|π^－＞の向きを逆転させた

要素:＜π^－{α＞は,<π^－{α＞＝＜α|π^－＞^＊と

なるはずです。これは,つまり,Bra:,|π^－＞

＝|π₁－iπ₂＞/√2に対し,Ket＜π^－|＝＜π₁＋iπ₂|/√2

が対応することを示している,と考えられます。

そこで,軸性ベクトルカレントの第3成分は,

ｊ^5μ(3)＝Ψ~γ^μγ⁵τ³Ψ＋σ(∂^μπ₃)－π₃(∂^μσ)

＋ｇ₀^-1(∂^μπ₃)なる演算子で与えられますが,これを

アイソ回転して得られるアイソカレントの＋成分は

第３成分:ｊ^5μ(3)のτ³に,τ^＋ではなく,τ^－を対応

させたｊ^5μ(＋)＝(1/2)Ψ~γ^μγ⁵τ^－Ψ＋σ(∂^μπ^＋)

－π^＋(∂^μσ)＋ｇ₀^-1(∂^μπ^＋),(τ^－＝(τ¹－iτ²)/√2,

π^＋＝(π₁―iπ₂)/√2.)となるはずです。

それ故,＜π^－(ｑ)|ｊ^5μ(＋)|0＞

＝＜π₁＋iπ₂)(ｑ)|(ｊ^5μ(1)－iｊ^5μ(2))|0＞/2

＝(2ｑ⁰)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)(ｆ_π/√2)　となります。

ここで,ｋ＝1,2,3の各々のπ_ｋはｋが同じカレント

ｊ^5μ(ｋ)のみ相互作用することができて,ｋに関わらず,

＜π_ｋ|ｊ^5μ(ｋ)|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)(ｆ_π/√2.)

になるという対称性を仮定しました。

そして,＜π(ｑ)|ｊ^5μ|0＞

＝(2ｑ0)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)ｆ_π/√2の４次元発散を

取り,∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2π^rを代入して,

＜π^－(ｑ)|(π^－(ｑ)＞＝(2ｑ₀)^-1/2を用いると次式

を得ます。すなわち,(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2＝ｆ_π/√2

です。

そこで,∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2π^rのくり込み

定数は除去されて,このPGAG方程式を完全に物理量

だけで書き表わせます。

結局,重要なPCAC関係式として,

∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π^ｒなる結果が得られました。

と書いたところで前回記事は終わりました。

※さて,ここからが,今回追加の記事内容です。

先に与えたｆ_πが,丁度,荷電π中間子の弱い相互作用

による崩壊振幅に等しいことを,検証します。

そのため,本ブログでPCACの意味とｆ_πの意味に

ついて,「(岩波講座)現代物理学の基礎(11)素粒子論」

という古い本を参照して書いた過去記事を再掲載します。

40年以上前に買ったこの本を,昔,読んだときの覚え

書きで,今では解釈が間違っているかもも知れません。

※以下は再掲記事です。

さて,π^－中間子の運動量がｑの1粒子状態は,

|π^－(ｑ)＞＝|π^－＞|π^－＞|π^－(ｑ)＞

＋Σ_ＮＮ~|ＮＮ~＞＜ＮＮ~|π^－(ｑ)＞と,完全系に展開

できる,とします。

崩壊:π^－→μ^－＋ν_μ~は,第１項の振幅と見ても,

第２項以下の振幅で見ても同じであると仮定します。

つまり,|π^－(ｑ)＞＝|π^－＞|π^－＞|π^－(ｑ)＞,

であり,かつ, |π^－(ｑ)＞

＝Σ_ＮＮ~|ＮＮ~＞＜ＮＮ~|π^－(ｑ)＞でもある

というわけですから,|π^-＞の{μν~＞への崩壊は

|ＮＮ~＞の中間状態を通してのみ可能な反応である

と考えるわけです。

ということは,実は,展開の第1項と第２項以下は,

同じモノで,どちらかの項はゼロロとして消していい

ということになります。

そこで,展開の右辺第１項,または第2項以下を評価

すればいいのですが,これは現象論的弱い相互作用:

ａ_π(∂_μπ){μ~γ^μ(１－γ⁵)ν}による,

摂動Hamiltonian:Ｈ_π→μνの１次の崩壊振幅で

あり,

＜Ｈ_π→μν＞＝(Ｇ/√2)∫ｄ⁴ｘ＜0|∂_μπ^ー|π^－(ｘ)＞

×{μ~(ｘ)γ^μ(１－γ⁵)ν(ｘ)}なる計算式で

与えられます。ここで,＜0|∂_μπ^ー|π^－(ｘ)＞

＝(2π)^-3/2(2ｑ₀)^-1(iｑ_μ)ａ_π　で,現象論的な

Fermiのカレント-カレント相互作用の弱い結合係数:

Ｇに対する中間子πのカレントに相当する(∂_μπ)の寄与

の比率係数ａ_πを定義しておきます。

この現象論的弱い相互作用での最低次近似による

π^－→μ^－＋ν_e~の崩壊率,1/τ_π→μνの計算」結果と

その実験値を比較すると,

(1/τの計算値)＝{Ｇ²ａ_π²/(8πμ)}(ｍ_μ/μ)²であり

(1/τの実験地)～3.84×10⁷sec^-1です。

(※μは,πの質量,ｍ_μは,μ粒子の質量です。)

この比較によれば,ａ_πの大きさは|ａ_π|～0.97μ

と評価されます。(※本ブログの2016年3/21の過去

記事:「弱い相互作用の旧理論(Fermi理論)(12)」で,

荷電π中間子の崩壊について記述しましたが,そこ

では,今のａ_πを単にａと記し,|ａ|～ 0.87μ,または,

|ａ|～ 0.93μと評価されましたが,これらは上記の

|ａ_π|～0.97μと,誤差の範囲内で一致していると

見えます。そして,この|ａ|は,核子１個当たりのπ中間子

の雲の存在確率振幅を意味すると解釈されていました。※)

レプトンの軸性カレントの因子:{μ~γ^μ(１－γ⁵)ν}を

Ｌ^^μと表わせば,π^－→μ^－＋ν_μ~の崩壊振幅は,

＜μν~|Ｌ^^μ{0＞＜0|(Ｇａ_π/√2)(∂_μπ^ー)|π^－＞

×＜π^－|π^－(ｑ)＞　と表わされます。

他方,これが,|π^－(ｑ)＞＝|π^－＞|π^－＞|π^－(ｑ)＞

＋Σ_ＮＮ~|ＮＮ~＞＜ＮＮ~|π^－(ｑ)＞における右辺の

第1項のみ,または,第２項以下の強い相互作用を仮定

したNの中間状態の寄与の総和:Σ_ＮＮ~＜μν~|Ｌ^_μ{0＞

＜0|(Ｇａ_π/√2)(∂^μπ^ー)|ＮＮ~＞＜ＮＮ~|π^－(ｑ)＞

＝＜μν~|Ｌ^_μ{0＞

＜0|(ｇ_Ａ/ｇ_Ｖ)(Ｇａ_π/√2)ｊ^5μ(ｘ)|π^－(ｑ)＞

の両者が一致して,いずれかが象論的Fermiも弱い

相互作用に寄与なるというのが,過去記事の

内容でした。

　πの方のカレント相互作用の因子:(Ｇ/√2)(ａ_π∂^μπ^ー)

が,レプトンのV-Aカレント因子のA(軸性ベクトルカレント)

の部分:(Ｇ/√2)ａ_π(ｇ_Ａ/ｇ_Ｖ)ｊ^5μ(ｘ)のみと作用すると

見るのは.π^-が擬スカラー粒子なので相互作用因子ａ_π∂_μπ^ー

は,Fermi粒子のＮやレプトンのV-Aの弱カレントのうちの,

Aのみと相互作用する,軸性ベクトルカレントに相当する

と考えられるからです。

それ故,第1項＝第２項Vいう同一視の仮定が満足

されるためには,V-AカレントのVに対するAの比率を

ｒ_Ａ＝ｇ_Ａ/ｇ_Ｖとして,ａ_π＜0|∂_μπ^ー|π^－(ｑ)＞

＝ｒ_Ａ＜0|ｊ^5μ(ｘ)|π^－(ｑ)＞　が成立することが必要

かつ,十分です。

そして,この式の両辺の４次元発散を取れば,

ｒ_Ａ＜0|∂_μｊ^5μ(ｘ){π^－(ｑ)＞

＝ａ_π＜0|□π^ー|π^－(ｑ)＞＝－ａ_πμ²＜0|π^ー|π^－(ｑ)＞

を得ます。ここで,1粒子の実π中間子は,自由なπ中間子

の運動方程式であるKlein-Gordon方程式::(□＋μ²)π^－＝0

を満たすはずなので,□π^－＝－μ²π^－と書けることを

用いました。それ故,ｆ_π/√2＝ａ_πμ²/ｒ_Ａ,

(ｒ_Ａ＝ｇ_Ａ/ｇ_Ｖ)と置けば,状態ベクトルを外した演算子

方程式として,∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π√2)π^－なる式を得ます。

アイソスピン対称性から,これが荷電π中間子に対する

だけでなく,中性のπ⁰中間子に対しても成立するなら,

∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π⁰ですから,先のPCAC関係式と一致

するため,ｆ_πは確かに荷電π中間子の崩壊率に比例する

量であること,がわかります。

ただし,ここでのπについての場の演算子:π＾および

π⁰は,既に,輻射補正されて,くりこまれた場:π^―ｒ,

および,π^0ｒであると解釈しています。再掲載終了※)

今回は,キリもいいのでここまでにします。(つづく)

物理学の哲学(7)(アノマリー)

「物理学の哲学」の続きです。

副題の(止まると死ぬ)は,だんだん記事の意図

から外れてきたので,副題を(アノマリー)に変更

しました。

(※余談):９/７（月）夜です。九州には大型台風

がきてるらしいけど,私は,餅じゃなく,カリン糖

が喉に詰まる誤嚥で呼吸困難になってしばらく

一人で七転八倒したりして,相変わらず死と隣り合

わせの状態が日常的に起こるので,先は長くない

ですね。体はボロボロで頭ばかり冴えてます。

(余談終わり※)

  さて,少し飛躍して量子アノマリーを研究

する目的の1つであった,π⁰ →2γ崩壊の

Ｓ行列要素 →崩壊率の評価を考えます。

まず,過去記事「摂動論のアノマリー」

の(13)を参照します。

(※以下,再掲載記事)

粒子の散乱などの量子遷移現象において,

初期状態,or始状態(initial stare)を|ｉ＞,

終状態(final stateを|ｆ＞で記述すると,

今のπ⁰→2γの崩壊過程では,|ｉ＞＝|π⁰ ＞

であり,|ｆ＞＝|γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)＞です。

ただし,ｋ₁,ｋ₂は,終状態の２個の光子(2γ)

の運動量,または波数であり,ε₁,ε₂は偏極

(偏光)を示しています。

一般の散乱行列(Ｓ行列)要素Ｓ_fi,および,Ｓ^

演算子は,ユニタリ変換だけ異なる２つの完全系:

incomibgの漸近場の状態とoutgoingの漸近場

の状態(散乱状態)によって,

Ｓ_fi＝＜ｆ;out|ｉ;in＞＝＜ｆ;in|Ｓ^|ｉ:in＞

で定義されます。

そこで,Ｓ^演算子は,＜ｆ:in|＝＜ｆ；out|Ｓ＾

で定義されます。

今のπ⁰崩壊の場合は,

Ｓ_fi ＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);out|π⁰in＞

＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|Ｓ^|π⁰in＞

であり,|ｉ＞から|ｆ＞への遷移確率を示す

Ｓ_fiは,散乱行列要素というより,π⁰ → 2γ

の崩壊行列要素を意味します。

このS行列要素と,ここまで論じてきた電磁場

が存在する場合の裸の質量ｍ₀の軸性ベクトル

カレント:ｊ^5μ(ｘ)＝ψ~(ｘ)γ^μγ5ψ(ｘ)の

部分的保存(PCAC)を意味する４次元発散の式:

∂_μｊ^5μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ⁵ｘ)

＋{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ.

 ただし,ｊ⁵(ｘ)＝ψ~(ｘ)γ⁵ψ(ｘ)とが,

どのように関連付けられるかを見るため,過去

記事「摂動論のアノマリー」(16)」において,

これを次式に置き換えることによって,三角

グラフの輻射補正に由来するアノマリーの

可能性を考慮に入れると,

∂^μｊ⁵_μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ⁵

＋{α₀/(4π)}(1＋Ｃ)Ｆ^ξσ(ｘ)Ｆ^τρ(ｘ)ε_ξστρ

と書けます。(※Ｃは輻射補正の寄与率)

以下,上記の式を「低エネルギー定理」

の基礎式として用います。

そして,４元運動量:ｋ₁,ｋ₂と偏極(偏光):

ε₁,ε₂を持つ２光子の状態のKetベクトル:

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|と,真空:|0＞による

これら各項の行列要素を取ってみます。

 ４元運動量:ｋ₁,ｋ₂と偏光:ε₁,ε₂から構成

することができる唯一の擬スカラー量は定係数

因子を除けば,ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρ

のみです。

それ故,軸性ベクトルの４次元発散の両辺の

項の行列要素は,因子として,この表現を含む

はずです。そこで,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|∂_μｊ^5μ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＦ(ｋ₁,ｋ₂)　....(1)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|2iｍ₀ｊ⁵|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＧ(ｋ₁,ｋ₂)　.....(2)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|

{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＨ(ｋ₁,ｋ₂)　....(3)と書きます。

Ｆ(ｋ₁,ｋ₂),Ｇ(ｋ₁,ｋ₂),Ｈ(ｋ₁,ｋ₂)は,

スカラー量:(ｋ₁)²,(ｋ₂)²,(ｋ₁＋ｋ₂)²の

関数ですが,２光子状態の光子は,共に質量が

ゼロの実光子であるとしているので,

(ｋ₁)²＝0,かつ,(ｋ₂)²＝0であり,結局,

Ｆ,Ｇ,Ｈは(ｋ₁ｋ₂)のみの関数であると

見ることができます。

そこで,軸性ベクトルカレントの４次元発散式

の行列要素での表現は,Ｆ,Ｇ,Ｈによって,

Ｆ(ｋ₁ｋ₂)＝Ｇ(ｋ₁ｋ₂)＋(1＋Ｃ)Ｈ(ｋ₁ｋ₂)

と書き直せます。

これから「低エネルギー定理」というものを

導出するために,行列要素:Ｍ^μ＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|ｊ^5μ|0＞の注目すべき

運動学的性質を用います。それは,Lorentz不変性,

ゲージ不変性,Bose統計の要請ですが,これらから

次の一般形式をとることが要求されます。

以下,これらの性質から軸性カレントの

４次元発散の行列要素,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|∂_μｊ^5μ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＦ(ｋ₁ｋ₂)が,(ｋ1＋ｋ2)_μＭ^μに比例し,

(ｋ₁＋ｋ₂)_μ＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|ｊ^5μ|0＞

の定数倍であることがわかります。

これからＦ(ｋ₁ｋ₂)∝(ｋ₁ｋ₂)と結論されます。

故に,Ｆ(0)＝0が成立します。

このことが,素朴な発散の(真空 →２光子の

行列要素:＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|2iｍ₀ｊ⁵|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

ε_ξτσρＧ(ｋ₁ｋ₂)のＧ(ｋ₁ｋ₂)を,演算子:

{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρの行列要素,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|{α₀/(4π)}

Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ|0＞

＝(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

ε_ξτσρＨ(ｋ₁ｋ₂)のＨ(ｋ₁ｋ₂)に関係付ける

「低エネルギー定理」を与えます。

すなわち,Ｆ(ｋ₁ｋ₂)＝Ｇ(ｋ₁ｋ₂)

＋(1＋Ｃ)Ｈ(ｋ₁ｋ₂)が成立することから,

0＝Ｆ(0)＝Ｇ(0)＋(1＋Ｃ)Ｈ(0)　を得ます。

したがって,Ｇ(0)＝－(1＋Ｃ)Ｈ(0)です。

ただし,摂動論の最低次(treeレベル)では輻射補正

Ｃは無視します。

ところが,Ｈ(0)については,ｊ^5μ,ｊ⁵,および,

アノマリー項:{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρのグラフ

に対するFeynman規則を用いて,評価することができて

Ｈ(0)＝2α₀/πであること,がわかります。

そしてＧ(0)＝－(1＋Ｃ)Ｈ(0)ですが,ｋ₁→0.ｋ₂→ 0

の低エネルギー極限では,Ｃ＝0となることから,

Ｇ(0)＝－Ｈ(0)＝－2α₀/πなる評価を得ます。

この,Ｇ(0)に対する結果は,大した面倒もなく,

直接,具体的な最低次のグラフのＧの表現式：,

Ｒ_σρ＝ｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσρＢ₁,Ｂ₁＝8π²ｍ₀Ｉ₀₀(ｋ₁,ｋ₂)

からも導出できるものです。

すなわち,具体的計算でも,確かに

Ｇ(0)­＝[iε₁^σ＊ε₂^ρ＊(－iｅ₀²)(2π)^-4

(2ｍ₀Ｒ_σρ)/ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε

×ε_ξτσρ]_{k1,k2→ 0}＝ｅ₀²(2π)^-4(2ｍ₀Ｂ₁) _{k1,k2→ 0}

＝－ｅ₀²/(2π²)＝－2α₀/π　を得ます。

そこで,実際には発散する係数Ｇに切断Λを入れて

有限化した,Ｇ_Λの Λを無原大とした極限の

くり込まれた量をＧ~,つまり,

Ｇ~(ｋ₁ｋ₂)＝lim_ｋΛ→∞Ｇ_Λ(ｋ₁ｋ2)と書くと,

ｋ₁～0.ｋ₂ ～0の低エネルギー極限では,裸の

微細構造定数:α₀を,観測量αに置き換えた関係:

Ｇ~(0)＝－2α/πになる,という定理:を得ます。

これが,求めたかった「低エネルギ定理」です。

※ここで,これまでのQEDでのVVA三角アノマリーと

今の「低エネルギー定理」の結果を一般化した場の

理論の,いわゆる σ模型を導入してこれを考察します。

σ模型もQEDのそれと同じく,正確な演算子恒等式と

して,部分的保存条件(PCAC)を満足します。

上に導出した「低エネルギー定理」の,この種の模型

への拡張は,π⁰ → 2γの崩壊率の予測に導き,結果,

その予測計算値と実験値との比較を可能にします。

σ模型は,PCACが演算子関係式として成立する場理論

の模型の特殊なケースです。

基本的に興味あるのは,三角グラフを通して２光子と

相互作用ができる電気的に中性の軸性ベクトルカレント

です。そこで,過去記事では,まず,電気的に中性の軸性

ベクトルカレントのみを含むσ模型の「不完全版」を

考察しました。この模型では,系のLagrangian密度Ｌ

は次式で与えられます。すなわち,

Ｌ＝ψ~{iγ^μ∂_μ－Ｇ₀(ｇ₀^-1＋σ＋iπγ⁵)}ψ

＋λ₀{4σ²＋4ｇ₀σ(σ²＋π²)＋ｇ₀²(σ²＋π²)²}

＋(μ₀²/2)(2ｇ₀^-1σ＋σ²＋π²)

＋(1/2){(∂π)²＋(∂σ)²}

－(μ₁²/2)(π²＋σ²)　です。

これは,陽子ｐのスピノル場:ψ(ｘ),中性π中間子π⁰

の場:π(ｘ),および,スカラー中間子の場σ(ｘ)のみ

を含みます。

　過去記事では,この「不完全版」からスタートして

議論を展開しましたが,ここでは,最初から,中性の

軸性ベクトルカレントだけでなく,荷電軸性ベクトル

カレントも含み,π中間子も荷電π中間子も含む

「完全版」のσ模型を想定します。

　すなわち,強い相互作用の荷電独立性

(アイソスピン対称性)が,このσ模型でも成立する

と仮定して.「不完全版」の陽子ｐのスピノル場:

Ψ(ｘ)を,核子:(ｐ,ｎ)のアイソスピノル場:

Ψ＝(ψ_ｐ,ψ_ｎ)^Ｔで置き換え,単一のπ⁰中間子の場

であったπ(ｘ)を,アイソベクトル場:π＝(π₁,π₂,π₃)^Ｔ

で置き換えます。σ(ｘ)については電気的に中性のみの

アイソスカラーでアイソスピンはゼロの場とします。

よって,「完全版」のσ模型でのLagrangian密度は,

Ｌ＝Ψ~「[iγ^μ∂_μ－Ｇ₀({ｇ₀^-1＋σ＋i(τπ)γ⁵}]Ψ

＋λ₀{4σ²＋4ｇ₀σ(σ²＋π²)＋ｇ₀²(σ²＋π²)²}

＋(μ₀²/2)(2ｇ₀^-1σ＋σ²＋π²)

＋(1/2){(∂π)²＋(∂σ)²}－(μ₁²/2)(π²＋σ²)

となります。

このとき,実際に観測されているπ中間子の

(π^＋,π^－,π⁰)の粒子状態は,アイソベクトル場;

π＝(π₁,π₂,π₃)^Ｔの状態;|π_ｋ＞(ｋ＝1,2,3)

により,|π^＋＞＝(|π₁＞＋i|π₂>)/√2,

|π^－＞＝(|π₁＞－i|π₂>)/√2,および,|π⁰＞

＝|π₃＞なる線形結合で与えられます。

ここで,係数(1/√2)は状態を規格化する

ための因子です。

ただし,πの１粒子状態は,|π_ｋ＞＝(π_ｋ)^＋|0＞

(ｋ＝1.2､3)のように,真空:|0＞に場の生成演算子

(π_ｋ)^＋を作用させて得られるので,上記の粒子状態

の表現は,粒子の消滅演算子を意味す粒子場:π_ｋでは

π^＋＝(π₁―iπ₂)/√2,,π^－＝(π₁＋iπ₂)/√2,

π⁰＝π₃ です。

この模型のＬの場合,カイラルゲージ変換は無限小の

局所ゲージパラメータ:ｖ(ｘ)をアイソ空間のベクトル

として,アイソスピノル Ψ＝(ψ_ｐ,ψ_ｎ)^Ｔに対しては,

Ψ → {1＋{(i/2)γ⁵(τｖ)}Ψなる変換となり,対応

して,アイソベクトル場:π＝(π₁,π₂,π₃)^Ｔは

,π → π＋ｖ(ｇ₀^－1＋σ) なる変換です。

そこで,特に中性のπ⁰中間子の場:π⁰＝π₃は,

π₃ → π₃＋ｖ3(ｇ₀^－1＋σ)と変換します。ここで,

Pauliのスピン行列を導入しこれをτ＝(τ¹,τ²,τ³)

と表記して用いました。また,σについての変換

は,σ → σ＋(ｖπ)です。

そして「Noether(ネーター)の定理」の応用でこの変換

に対応するカレントは軸性なのでこれを,

ｊ^5μ＝－δＬ/δ(∂_μｖ)で定義すると,今の場合,この

軸性ベクトルカレントもアイソベクトルで,

ｊ^5μ＝(1/2)Ψ~γ^μγ⁵τΨ＋σ(∂^μπ)

－π(∂^μσ)＋ｇ₀^-1(∂^μπ).で与えられます。

この変換で,Lが不変なら,これは∂_μｊ^5μ＝0を満たす

保存カレントであるはずですが,残念ながらＬは不変

ではなく,余分な項:(－μ₁²/ｇ₀)πがあるため,これまで

論じてきたQEDでの質量ｍ₀≠0の場合の軸性ベクトル

カレントの４次元発散のケースと同じく,部分的保存

(PCAC)のみが成立します。

つまり,この場合は∂_μｊ^5μ＝－δＬ/δｖ＝(μ₁²/ｇ₀)π≠0

となります。

こうして,σ模型は演算子恒等式としてPCACの条件を満足

する,との先の言明通り軸性ベクトルカレントｊ^5μの

４次元発散:∂_μｊ^5μが,πの場に比例する,という重要な

式を得ました。

σ模型について,その他色々と詳細な話ありますが,

重要なのは,このPCACの関係が成立することです。

また,摂動論のあらゆる次数までで,＜0|σ|0＞＝0.

となるように,σ模型が全体に平行移動された形式

を選択しました。もしも,最初に選択した場:σでは.

＜0|σ|0＞＝σ₀≠0の場合,σ → σ~＝σ－σ₀ と平行

移動して,このσ~を改めてσに採用することで,常に

＜0|σ|0＞＝0 としておきます

パラメータ:μ₁²はσの裸の伝播関数(ｑ²－μ₁²＋iε)^-1

に現われる裸のσ中間子質量の平方です。

σについての Euler-Lagrange方程式:

∂_λ{∂Ｌ/δ(∂_λσ)}－(∂Ｌ/∂σ)＝0 を書き下すと,

□σ＋(μ₁²－μ₀²)σ＝－Ｇ₀ψ~ψ＋ｇ₀^-1μ₀²

＋λ₀{8σ＋4ｇ₀(3σ²＋π²)＋4ｇ₀²σ(σ²＋π²)²}です。

そこで,＜0|δＬ/δ(∂_λσ)|0＞＝0は,□＜0|σ|0＞＝0

を意味し.大域的にこれが成立することは,0|σ|0＞が

時空点に依存しない定数であることを意味します。

それ故,恒等的に＜0|σ(ｘ)|0＞＝0　と表わすことが

できます。σの生成,消滅の両Fourier成分を持つ

σのincoming漸近場:σ_inによって,|σ＞＝σ_in|0＞

と書けば,＜0|Ｈ_int(ｘ)|σ＞＝＜0|Ｈ_int(ｘ)σ_in(ｘ)|0＞

＝0であることを意味します。これから,

＜0|Ｔ[Ｈ_in(ｔ₁Ｈ_in(ｔ₂)..Ｈ_in(ｔ_ｎ)σ_in(ｘ)|0＞＝0,

つまり,＜|Ｓ^σ_in|0＞＝0となり,摂動の全ての次数で

＜0|σ|0＞＝0が保証されるわけです。

さらなる作業のため,σ模型のPCAC方程式:

∂_μｊ^5μ＝－δＬ/δｖ＝(μ₁²/ｇ₀)πを,次のように

書き換えます。

すなわち∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2π^r

とします。つまり,π＝(Ｚ₃^π)^1/2π^rで,くりこみ係数:

Ｚ₃^πと,くりこまれたπの場:π^rを定義するわけです。

次に,π中間子の崩壊振幅ｆ_πを次式で定義します。

すなわち,＜π(ｑ)|ｊ^5μ|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)

×(ｆ_π/√2.)です。ここで,μはπ中間子の質量です。

アイソベクトル場:πを含む完全版σ模型では,πも

ｊ^5μも中性成分だけでなく荷電成分を持つため,ｆ_π

は丁度,荷電π中間子の弱い崩壊振幅に等しいもの

であることがわかります。

特に,中性のπ⁰に対する,先の「不完全版」の中性

軸性べクトルカレント:ｊ^5μ(ｘ)は,アイソ軸性ベクトル

カレント:ｊ^5μ(ｘ)の,アイソ第３成分ですから,それを

ｊ^5μ(3)(ｘ)と表わし.中性カレントの＜π(ｑ)|ｊ^5μ|0＞

＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)ｆ_π/√2 なる表現を,

＜π⁰(ｑ)|ｊ^5μ(3)|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)

×ｆ_π/√2.　と書き直します。

荷電π中間子の場の演算子は,π^＋＝(π₁－iπ₂)/√2,

および,π^－＝(π₁＋iπ₂)/√2,ですが,

その粒子の状態ベクトルは,|π^＋＞＝|π₁＋iπ₂＞/√2,

および,π^－＞＝|π₁－iπ₂＞/√2でしたから,π^－の

崩壊における行列要素:<α|π^－＞の向きを逆転させた

＜π^－|α＞は,その複素共役で与えられます。

つまり,Bra:|π^－＞＝|π₁－iπ₂＞/√2に対して,

Ket:＜π^－|＝＜π₁＋iπ₂|/√2が対応すると

考えられます。

そして,軸性ベクトルカレントのアイソ第３成分は

ｊ^5μ(3) ＝(1/2)Ψ~γ^μγ⁵τ³Ψ＋σ(∂^μπ₃)－π₃(∂^μσ)

＋ｇ₀^-1(∂^μπ₃)で与えられますが,これをアイソ回転する

ことで得られる＋成分は,そのτ3をτ+ではなく,τ-とする

ことにより,ｊ^5μ(＋)＝(1/2)Ψ~γ^μγ⁵τ^－Ψ＋σ(∂^μπ^＋)

－π^＋(∂^μσ)＋ｇ₀^-1(∂^μπ^＋)　になるはずです。

ただし,τ^－＝(τ¹－iτ²)/√2,かつ

π^＋＝(π₁―iπ₂)/√2です。

そこで,＜π^－(ｑ)|ｊ^5μ(＋)|0＞

＝＜(π₁＋iπ₂)(ｑ)|(ｊ^5μ(1)－iｊ^5μ(2))|0＞/2

＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)(ｆ_π/√2)となります。

ここで,ｋ＝1,2,3の各々のπ_ｋはｋが同じカレント

ｊ^5μ(ｋ)のみとcoupleすることができてｋに関わらず,

＜π_ｋ|ｊ^5μ(ｋ)|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)(ｆ_π/√2)

になる,という対称性を仮定しました。

因子:(－iｑ^μ)は,πの崩壊相互作用部分の行列要素

が,＜π_i(ｑ)|ｇ₀^-1∂^μπ|0＞＝(2ｑ₀)^-1(－iｑ^μ)Ｆ(ｑ²)

なる形で与えられるという現象論的推論から出てきます。

σを含む項の寄与は先に述べた通り項が,演算子πと

交換するのでゼロです。

＜π(ｑ)|ｊ^5μ|0＞＝(2ｑ0)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)ｆ_π/√2

の４次元発散を取り,∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2π^r

を代入して,＜π^－(ｑ)|π^ｒ|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2を用いると

次式を得ます。

すなわち,(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2＝ｆ_π/√2です。

そこで,∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2π^rのくり込み定数

は,除去されて,このPCAC方程式を完全に物理量だけで書き

表わせます。結局,∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π^ｒとなる,という

重要な結果が得られました。

まだまだ先が長いので今回はここまでにします。