物理学の哲学(8)(アノマリー)

「物理学の哲学」の続きです。

余談は省略で,さっそく本題の続きに入ります。

 前回は,QED以外に,部分的保存(PCAC)を満たす

場理論のσ模型を導入して,π中間子の崩壊振幅

ｆ_πを,次式で定義しました。

すなわち,＜π(ｑ)|ｊ^5μ|0＞

＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)(ｆ_π/√2.)です。

ここで,μはπ中間子の質量です。

アイソベクトル場:πを含むσ模型では,πもｊ^5μ

も中性成分だけでなく荷電成分を持つため,ｆ_πは

丁度,荷電π中間子の弱い崩壊振幅に等しいもので

あることがわかります。

特に,中性のπ⁰に対する先の「不完全版」の

σ模型の中性軸性べクトルカレントｊ^5μ(ｘ)は,アイソ

軸性ベクトルカレントｊ^5μ(ｘ)の,アイソ第３成分です

から,それをｊ^5μ(3)(ｘ)と記し.中性カレントでの表現:

＜π(ｑ)|ｊ^5μ|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)ｆ_π/√2.

を,＜π⁰(ｑ)|ｊ^5μ(3)|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)ｆ_π/√2.

と書き直します。

荷電π中間子の場の演算子は,π^＋＝(π₁－iπ₂)√2,

および,π^－＝(π₁＋iπ₂)/√2,ですが,,一方,粒子の

状態ベクトルとしては,|π^＋＞＝|π₁＋iπ₂＞/√2,

および,{π^－＞＝|π₁－iπ₂＞/√2でしたから,

π^－の崩壊:π^－→ μ^－＋ν_μ~,　π^－→ ｅ^－＋νe~

における行列要素:＜α|π^－＞の向きを逆転させた

要素:＜π^－{α＞は,<π^－{α＞＝＜α|π^－＞^＊と

なるはずです。これは,つまり,Bra:,|π^－＞

＝|π₁－iπ₂＞/√2に対し,Ket＜π^－|＝＜π₁＋iπ₂|/√2

が対応することを示している,と考えられます。

そこで,軸性ベクトルカレントの第3成分は,

ｊ^5μ(3)＝Ψ~γ^μγ⁵τ³Ψ＋σ(∂^μπ₃)－π₃(∂^μσ)

＋ｇ₀^-1(∂^μπ₃)なる演算子で与えられますが,これを

アイソ回転して得られるアイソカレントの＋成分は

第３成分:ｊ^5μ(3)のτ³に,τ^＋ではなく,τ^－を対応

させたｊ^5μ(＋)＝(1/2)Ψ~γ^μγ⁵τ^－Ψ＋σ(∂^μπ^＋)

－π^＋(∂^μσ)＋ｇ₀^-1(∂^μπ^＋),(τ^－＝(τ¹－iτ²)/√2,

π^＋＝(π₁―iπ₂)/√2.)となるはずです。

それ故,＜π^－(ｑ)|ｊ^5μ(＋)|0＞

＝＜π₁＋iπ₂)(ｑ)|(ｊ^5μ(1)－iｊ^5μ(2))|0＞/2

＝(2ｑ⁰)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)(ｆ_π/√2)　となります。

ここで,ｋ＝1,2,3の各々のπ_ｋはｋが同じカレント

ｊ^5μ(ｋ)のみ相互作用することができて,ｋに関わらず,

＜π_ｋ|ｊ^5μ(ｋ)|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)(ｆ_π/√2.)

になるという対称性を仮定しました。

そして,＜π(ｑ)|ｊ^5μ|0＞

＝(2ｑ0)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)ｆ_π/√2の４次元発散を

取り,∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2π^rを代入して,

＜π^－(ｑ)|(π^－(ｑ)＞＝(2ｑ₀)^-1/2を用いると次式

を得ます。すなわち,(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2＝ｆ_π/√2

です。

そこで,∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2π^rのくり込み

定数は除去されて,このPGAG方程式を完全に物理量

だけで書き表わせます。

結局,重要なPCAC関係式として,

∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π^ｒなる結果が得られました。

と書いたところで前回記事は終わりました。

※さて,ここからが,今回追加の記事内容です。

先に与えたｆ_πが,丁度,荷電π中間子の弱い相互作用

による崩壊振幅に等しいことを,検証します。

そのため,本ブログでPCACの意味とｆ_πの意味に

ついて,「(岩波講座)現代物理学の基礎(11)素粒子論」

という古い本を参照して書いた過去記事を再掲載します。

40年以上前に買ったこの本を,昔,読んだときの覚え

書きで,今では解釈が間違っているかもも知れません。

※以下は再掲記事です。

さて,π^－中間子の運動量がｑの1粒子状態は,

|π^－(ｑ)＞＝|π^－＞|π^－＞|π^－(ｑ)＞

＋Σ_ＮＮ~|ＮＮ~＞＜ＮＮ~|π^－(ｑ)＞と,完全系に展開

できる,とします。

崩壊:π^－→μ^－＋ν_μ~は,第１項の振幅と見ても,

第２項以下の振幅で見ても同じであると仮定します。

つまり,|π^－(ｑ)＞＝|π^－＞|π^－＞|π^－(ｑ)＞,

であり,かつ, |π^－(ｑ)＞

＝Σ_ＮＮ~|ＮＮ~＞＜ＮＮ~|π^－(ｑ)＞でもある

というわけですから,|π^-＞の{μν~＞への崩壊は

|ＮＮ~＞の中間状態を通してのみ可能な反応である

と考えるわけです。

ということは,実は,展開の第1項と第２項以下は,

同じモノで,どちらかの項はゼロロとして消していい

ということになります。

そこで,展開の右辺第１項,または第2項以下を評価

すればいいのですが,これは現象論的弱い相互作用:

ａ_π(∂_μπ){μ~γ^μ(１－γ⁵)ν}による,

摂動Hamiltonian:Ｈ_π→μνの１次の崩壊振幅で

あり,

＜Ｈ_π→μν＞＝(Ｇ/√2)∫ｄ⁴ｘ＜0|∂_μπ^ー|π^－(ｘ)＞

×{μ~(ｘ)γ^μ(１－γ⁵)ν(ｘ)}なる計算式で

与えられます。ここで,＜0|∂_μπ^ー|π^－(ｘ)＞

＝(2π)^-3/2(2ｑ₀)^-1(iｑ_μ)ａ_π　で,現象論的な

Fermiのカレント-カレント相互作用の弱い結合係数:

Ｇに対する中間子πのカレントに相当する(∂_μπ)の寄与

の比率係数ａ_πを定義しておきます。

この現象論的弱い相互作用での最低次近似による

π^－→μ^－＋ν_e~の崩壊率,1/τ_π→μνの計算」結果と

その実験値を比較すると,

(1/τの計算値)＝{Ｇ²ａ_π²/(8πμ)}(ｍ_μ/μ)²であり

(1/τの実験地)～3.84×10⁷sec^-1です。

(※μは,πの質量,ｍ_μは,μ粒子の質量です。)

この比較によれば,ａ_πの大きさは|ａ_π|～0.97μ

と評価されます。(※本ブログの2016年3/21の過去

記事:「弱い相互作用の旧理論(Fermi理論)(12)」で,

荷電π中間子の崩壊について記述しましたが,そこ

では,今のａ_πを単にａと記し,|ａ|～ 0.87μ,または,

|ａ|～ 0.93μと評価されましたが,これらは上記の

|ａ_π|～0.97μと,誤差の範囲内で一致していると

見えます。そして,この|ａ|は,核子１個当たりのπ中間子

の雲の存在確率振幅を意味すると解釈されていました。※)

レプトンの軸性カレントの因子:{μ~γ^μ(１－γ⁵)ν}を

Ｌ^^μと表わせば,π^－→μ^－＋ν_μ~の崩壊振幅は,

＜μν~|Ｌ^^μ{0＞＜0|(Ｇａ_π/√2)(∂_μπ^ー)|π^－＞

×＜π^－|π^－(ｑ)＞　と表わされます。

他方,これが,|π^－(ｑ)＞＝|π^－＞|π^－＞|π^－(ｑ)＞

＋Σ_ＮＮ~|ＮＮ~＞＜ＮＮ~|π^－(ｑ)＞における右辺の

第1項のみ,または,第２項以下の強い相互作用を仮定

したNの中間状態の寄与の総和:Σ_ＮＮ~＜μν~|Ｌ^_μ{0＞

＜0|(Ｇａ_π/√2)(∂^μπ^ー)|ＮＮ~＞＜ＮＮ~|π^－(ｑ)＞

＝＜μν~|Ｌ^_μ{0＞

＜0|(ｇ_Ａ/ｇ_Ｖ)(Ｇａ_π/√2)ｊ^5μ(ｘ)|π^－(ｑ)＞

の両者が一致して,いずれかが象論的Fermiも弱い

相互作用に寄与なるというのが,過去記事の

内容でした。

　πの方のカレント相互作用の因子:(Ｇ/√2)(ａ_π∂^μπ^ー)

が,レプトンのV-Aカレント因子のA(軸性ベクトルカレント)

の部分:(Ｇ/√2)ａ_π(ｇ_Ａ/ｇ_Ｖ)ｊ^5μ(ｘ)のみと作用すると

見るのは.π^-が擬スカラー粒子なので相互作用因子ａ_π∂_μπ^ー

は,Fermi粒子のＮやレプトンのV-Aの弱カレントのうちの,

Aのみと相互作用する,軸性ベクトルカレントに相当する

と考えられるからです。

それ故,第1項＝第２項Vいう同一視の仮定が満足

されるためには,V-AカレントのVに対するAの比率を

ｒ_Ａ＝ｇ_Ａ/ｇ_Ｖとして,ａ_π＜0|∂_μπ^ー|π^－(ｑ)＞

＝ｒ_Ａ＜0|ｊ^5μ(ｘ)|π^－(ｑ)＞　が成立することが必要

かつ,十分です。

そして,この式の両辺の４次元発散を取れば,

ｒ_Ａ＜0|∂_μｊ^5μ(ｘ){π^－(ｑ)＞

＝ａ_π＜0|□π^ー|π^－(ｑ)＞＝－ａ_πμ²＜0|π^ー|π^－(ｑ)＞

を得ます。ここで,1粒子の実π中間子は,自由なπ中間子

の運動方程式であるKlein-Gordon方程式::(□＋μ²)π^－＝0

を満たすはずなので,□π^－＝－μ²π^－と書けることを

用いました。それ故,ｆ_π/√2＝ａ_πμ²/ｒ_Ａ,

(ｒ_Ａ＝ｇ_Ａ/ｇ_Ｖ)と置けば,状態ベクトルを外した演算子

方程式として,∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π√2)π^－なる式を得ます。

アイソスピン対称性から,これが荷電π中間子に対する

だけでなく,中性のπ⁰中間子に対しても成立するなら,

∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π⁰ですから,先のPCAC関係式と一致

するため,ｆ_πは確かに荷電π中間子の崩壊率に比例する

量であること,がわかります。

ただし,ここでのπについての場の演算子:π＾および

π⁰は,既に,輻射補正されて,くりこまれた場:π^―ｒ,

および,π^0ｒであると解釈しています。再掲載終了※)

今回は,キリもいいのでここまでにします。(つづく)