物理学の哲学(10)(アノマリー)

「物理学の哲学」の続きです。

(※余談):今日は９月18日(金)です。

先日,私と同学年の岸部シローさんが亡くなられた

ようです。元ＧＳのタイガースのメンバーで岸部一徳

さんの弟,時代劇では関西弁のキャラで面白かったの

ですが。。今年に入って,コロナで,志村けんさんも

亡くなられました。昨年は,ショ－ケン(萩原健一さん

,ちょっと前には,関西のやしきたかじんさんと,

1949/４～1950/３生まれの私と同学年の芸能人が

次々と病死されています。

有名人じゃなくても,ここ数年,同年代の身近な飲み

友達など,数人がガンなどの病気で他界しました。

皆,70歳以上で,諸行無常とはいえ,さみしいことです。

ところで,時代劇といえば,つい先日,専門チャンネル

を視ていると,昭和30年代,テレビを見始めた頃に映画

やＴVで活躍されていた嵐寛寿郎さん(アラカン)と,

上原謙さんが「必殺」に出ていて,私,つい涙が出そうに

なりました。近衛十四郎さんもいたら完璧でしたがね。

結局,無名の馬の骨,有象無象の私だけが70歳にして

まだ,何とか,生きています。

「憎まれっ子,夜(ヨル)にハバカリ」とかね。。。

その昔,池袋の専門学校の講義で,このオヤジギャグ

をカマしても「ハバカリって何？」ということで全く

ウケませんでした。

ハバカリとは,便所,ご不浄,お手洗い,化粧室,雪隠

(セッチン),川屋(カワヤ),トイレ、W.C.(water-closet,

orウンコとシッコ)でんがな。。。(以上,余談終わり※)

※さて,本題です。

崩壊:π⁰→2γの崩壊率を求める問題は,今,初めて

考察してブログ記事を作っているのじゃなく,本ブログ

の過去に書いた記事を,ストーリーに従って並べ直して

いるだけです。

昔の記事をコピペしては,修正しながらアップして

いるうち,自分でも混乱してきたので,ここで,これまで

の記事の経過を,詳細を省いて主な結論だけを要約して

頭の中にあるストーリーを,整理してみました。

※ブログサイトの改編や,ｾキュリティ強化で図や写真

も入れたいけど,昔ほど簡単には挿入できず,文章ばかり

の内容なのも,混迷と退屈の原因カモね。）

さて,まず,裸の質量がｍ₀,で,スピンが1/2の電子ｅや

陽子ｐなどのスピノル場:ψ(ｘ)で記述されるFermionの

荷電粒子の場と電磁場(光子の場)Ａ^μが共存する系で,

ψによる軸性ベクトルカレントの演算子:

」^5μ(ｘ)＝ψ~(ｘ)γ^μγ⁵ψ(ｘ)を考えると,もしもｍ₀＝0

(質量がゼロ)なら,カイラルゲージ変換に対する系の

不変性が成立して,∂_μ」」^5μ＝0と,その軸性ルカレント

の４次元発散がゼロとなって,カレントの保存が成立

するのですが,一般には,ｍ₀≠0なので,∂_μ」^5μ

＝2iｍ₀ｊ⁵≠0であり,このカレントは,時間的に保存

される物理量ではありません。ただし,」⁵(ｘ)

＝ψ~(ｘ)γ⁵ψ(ｘ)です。この式はPCAC(部分的保存)

の関係式と呼ばれます。

ところが,電磁場の存在の下で頂点関数に対して成立

するはずのWard-高橋の恒等式(ＷＴ恒等式)を考察する

ために,カイラルの軸性頂点γ^μγを含むVVA三角ブラフ

(vector-vwctor-Axialvsctor diagram)の寄与を調べると

純粋にQEDの計算だけから得られた関係に,余分な項

アノマリー項(量子異常項)が存在することがわかり

ます。そして,これは簡単には除去できない本質的意味

がある項であることがわかります。

このＷＴ恒等式のアノマリーは,実は.軸性カレント

のPCAC式に,アノマリー項が存在することに由来して

います。すなわち,∂_μ」^5μ＝2iｍ₀ｊ⁵

＋{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρなる関係式に起因

しています。

これら両辺の各項は,摂動論のFeynmanグラフの計算

では,対数発散し,有意な量とみるには正規化して補正

する必要がありますが,それはアノマリー項だけに効く

ので,補正率をＣとすると,∂_μ」^5μ＝2iｍ₀ｊ⁵

＋(1＋Ｃ){α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρと修正されます。

これがπ⁰→ 2γ崩壊率に如何に関係するか?を見るため

そのＳ行列要素:Ｓ_fi＝＜ｆ；out|ｉ;in＞

＝<γ(ｋ₁,ε₁),γ(ｋ₂,ε₂)；out|π0;in＞を考えると,

LSZの公式からＳ_fi＝i∫ｄ⁴ｘｆｑ(ｘ)(□_ｘ＋μ²)

<γ(ｋ₁,ε₁),γ(ｋ₂,ε₂):iｎ|π^0ｒ(ｘ)|0＞なる表式を

得ます。ただし,π^0ｒ(ｘ)は,π^0ｒ(ｘ)＝(Ｚ₃^π)^1/2π⁰(ｘ)

で定義される,π⁰中間子の(裸の)場:π⁰(ｘ)のくりこまれた

場であり,μは,π⁰の質量を意味します。

一方,後の便宜のため,∂_μ」^5μ＝2iｍ₀ｊ⁵

＋(1＋Ｃ){α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρの両辺の各項

を,＜γ(ｋ₁,ε₁),γ(ｋ₂,ε₂);in＞|と,真空:|0＞で

挟んだ行列要素を考えます。

これらは全てｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρに比例する

と考えられるので,それぞれ,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|:in|∂_μｊ^5μ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＦ(ｋ₁ｋ₂)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|2iｍ₀ｊ⁵|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＧ(ｋ₁ｋ₂)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂):in|

{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＨ(ｋ₁ｋ₂)　と置きます。

すると,先の軸性ベクトルカレントのPCAC関係式

は,Ｆ(ｋ₁ｋ₂)＝Ｇ(ｋ₁ｋ₂)＋(1＋Ｃ)Ｈ(ｋ₁ｋ₂)

に帰着します。

そして,Ｆ(ｋ₁ｋ₂)∝(ｋ₁ｋ₂)なる性質があるので,

２光子の４元運動量ｋ₁,ｋ₂が,ｋ₁～0,ｋ₂～0.である

ような低エネルギー極限では,Ｆ(0)＝0であり,その

領域では補正Ｃは無視できるので

0＝Ｆ(0)＝Ｇ(0)＋Ｈ(0),または,Ｇ(0)＝－Ｈ(0)を

得ます。アノマリー項の低エネルギーでの寄与:

Ｈ(0)は,VVA三角グラフで,具体的に計算できて,

Ｈ(0)＝2α₀/πであり,故にＧ()=－2α₀/πです。

しかし,実際にはＦ,Ｇ,Ｈは対数発散するので

切断Λを入れて正則化した量をＦ_Λ,Ｇ_Λ,Ｈ_Λとして

これらのくり込まれた量をＦ~,Ｇ~,Ｈ~とします。

つまり,Ｆ~(ｋ₁ｋ₂)＝lim_ｋΛ→∞Ｆ_Λ(ｋ₁ｋ₂).etc.です。

すると,ｋ₁～0.ｋ₂ ～0の低エネルギー極限では,

Ｆ~(0)＝0,Ｈ~(0)＝2α/πであり,Ｇ~(0)＝－2α/π

になる,という定理を得ます。

これがQEDの軸性ベクトルカレントのPCACとVVA

アノマリーに関する「低エネルギー定理」です。

これらQEDのVVA三角アノマリーと「低エネルギー定理」

の結果を,π⁰中間子の崩壊と関連付けるため,一般化して,

場の理論のアイソスピン対称性を持つσ模型を導入します。

その系のLagrangian密度:Ｌのカイラル変換に対応する

Noetherカレント:ｊ^μ(ｘ)＝－δＬ/δｖ)は軸性カレント

なので,これをｊ^5μ(ｘ)と書くと,QEDの軸性カレントの

PCAC式と同じ形のカレントの４次元発散に対する関係式:

∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)πを得ます。(※ここではｊ^5μもπも

アイソスピンが1の,アイソベクトルです。)

さらに,π中間子の(裸の)場:πのくりこまれた場:π^rと,

くりこみ定数Ｚ₃^πを,,π^r(ｘ)＝(Ｚ₃^π)^1/2π(ｘ)で定義すると,

∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^-1/2π^rとなります。

次に,π中間子の崩壊振幅:ｆ_πを次式で定義します。

すなわち,＜π(ｑ)|ｊ^5μ|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)

×(ｆ_π/√2.)とします。そして,これの４次元発散を

取り ＜π-（q）|πr|0＞=（2ｑ₀）^-1/2因子をはずして

演算子式として,先の∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^-1/2π^r

と右辺を比較すると,(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^-1/2＝ｆ_π/√2

なる等式を得ます。

そこで,∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^-1/2π^rのくり込み

定数が除去されて,物理量だけで書き表わしたPCAC

の関係式が得られて,∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π^ｒと

書けます。

ところが,中性子のβ崩壊:ｎ→ｐ＋ｅ＋ν~に代表

される,弱い相互作用の現象論的Fermi理論では,荷電

π中間子の崩壊:π→μ＋ν~の崩壊率を求めるには,

現象論的相互作用Hamiltonian:Ｈ_π→μνの１次の効果で

ある,＜Ｈ_π→μν＞＝(Ｇ/√2)∫ｄ⁴ｘ

＜0|∂_μπ^ー|π^－(ｘ)＞{μ~(ｘ)γ^μ(１－γ⁵)ν(ｘ)}

という計算式を用いて行います。

(※ν~はニュートリノ:νの反粒子を意味します。)

しかし,π→μ^ー＋ν~に寄与するのは,V-Aカレントの

うち,Aの部分のみで,レプトン因子のA＝軸性カレント

を,Ｌ^^μ(ｘ)＝μ~(ｘ)γ^μγ⁵ν(ｘ)と表わせば,

崩壊振幅への実際の寄与は,(Ｇ/√2)∫ｄ⁴ｘ

＜0|∂_μπ^ー|π^－(ｘ)＞Ｌ＾^μ(ｘ)となります。

そして,π^－の４元運動量がｑ^μの粒子状態

への寄与を＜0|∂_μπ^ー|π^－(ｘ)＞

＝(2π)^-3/2(2ｑ₀)^-1(iｑ_μ)(ａ_π)として,π中間子の雲

の振幅:ａ_πを定義すると,崩壊:π→μ＋ν~の振幅は,

＜μν~|Ｌ^^μ{0＞

＜0|(Ｇａ_π/√2)(∂_μπ^ー)|π^－＞＜π^－|π^－(ｑ)＞

と表現されます。そして,これによって崩壊率:1/τを

計算すると,1/τ＝{Ｇ²ａ_π²/(8πμ)}(ｍ_μ/μ)² となり

ますが,これが実験値 1/τ ～3.84×10⁷sec^-1と合致する

には,,|ａ_π｜＝0.87μ～.97μである,ことが必要である,

と評価されています。

一方,擬スカラー場:πから作られる軸性ベクトル

∂_μπの弱軸性カレントｊ_5μに相当する寄与率:ｒ_Ａ

＝ｇ_Ａ/ｇ_Ｖを考慮して,これから上述の崩壊振幅を

得るには,ｒ_Ａ＜0|ｊ_5μ(ｘ)|π^－(ｑ)＞

＝ａ_π＜0|∂_μπ^－|π^－(ｑ)＞となることが必要十分

です。この式の左辺で４次元発散を取れば,

r_Ａ＜0|∂_μｊ^5μ(ｘ)|π^－(ｑ)＞＝ａ_π＜0|□π^ー|π^－(ｑ)＞

＝－ａ_πμ²＜0|π^ー|π^－(ｑ)＞となりますから,ｆ_π/√2

＝－ａ_πμ²/ｒ_Ａ とすれば,∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π√2)π^－を得ます。

この式の右辺のπ中間子の場:π^－(ｘ)を,くりこまれた場

π^－r(ｘ)である,と解釈するなら,これは,∂_μｊ^5μ

＝(ｆ_π√2)π^－rとなります。

他方.σ模型のPCAC関係式はアイソベクトルπについて,

∂_μj^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^-1/2π^rでしたから,両者の関係式

が一致することを要請すれば,再び,(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^-1/2

＝ｆ_π/√2が成立するはずです。

このPCAC式が,荷電π中間子π^－だけでなく,中性の

π⁰中間子でも成立するなら,∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π^0ｒです。

そこで,中性のπ⁰中間子においても,係数ｆ_πは荷電π

中間子の崩壊率に比例する量であるとが証明されました。

結局,QEDではないσ模型でも,三角グラフを通して

２光子と相互作用する電気的に中性な軸性ベクトルカレント

ｊ^5μがPCACの条件を満足するとき,その４次元発散:

∂_μｊ^5μが,πの場に比例するという結果を得ました。

(※ここまでが,これまでの記事の要約です。)

今回は,これ以上進むと長くなるので,(9)までの

要約のみでした。(つづく)