物留学の哲学（11)(アノマリー)

「物理学の哲学」の続きです。

(※余談):今日は9月25日(金)です。

けさはゴミ出しに行くともう肌寒かったです。

温暖化で日本も亜熱帯気候に近くなり,日本

にはいないはずの動植物やデング熱,マラリア

などの細菌やウィルスもいて驚きます。

今年も秋は短かく,すぐに冬がくるのでしょうね。

今度は,時代劇で笠置シズ子が出てるのを見て

泣けました。時代劇チャンネルは,昭和の今は亡き

出演者が多くて,まだ,若くて元気なのかと勘違い

しますね。懐かしいですが。(余談終わり※)

※さて本題です。前回の記事では,このシリーズ

で書いてきた内容を,自分の中で改めて整理する

ために長い要約を書き記しました。

今回は,その続きとして,まず,要約記事の直前の

前々回の記事を思い出し,その最後の部分を再掲載

して,そこから話の続きを進めたいと思います。

• 以下は,まず再掲載記事の部分です。

前々回の記事「物理学の哲学(9)」の最後では,

中性のπ⁰中間子の崩壊:π⁰→2γにおいて,入射

する,または静止状態のπ⁰中間子の運動量がｑ^μ

の場合の,崩壊のＳ行列要素Ｓ_fiを書き下した式

を考察しました。これはLSZの公式により,

Ｓ_fi＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ_2,ε₂);out|π⁰;in＞

＝i∫ｄ⁴ｘｆ_ｑ(ｘ)(□_ｘ＋μ²)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|π^0ｒ|0＞という

式で与えられますが,これはｘ表示ではincoming

漸近状態のπ⁰中間子の平面波の基本波動関数:

ｆ_ｑ(ｘ)＝(2π)^-3/2(2ｑ₀)^-1/2exp(－iｑｘ),および

崩壊して出てゆく２光子のincomingの状態関数:

(2π)^-3(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ｅxp{i(ｋ₁＋ｋ₂)ｘ}によって,

Ｓ_fi＝i∫ｄ⁴ｘ[(2π)^-9/2exp{－i(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)}

(2ｑ₀)^-1/2(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂,ｑ)]

と書けるはずです。

ただし,Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂:ｑ)は,３粒子の運動量ｋ₁,ｋ₂

ｑに依存する部分の指数関数以外の因子です。

そこで,(2π)^-1/2(2ｑ₀)-^1/2(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊

Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂,ｑ)は,上記Ｓ_fiの積分表示の被積分関数:

iｆ_ｑ(ｘ)＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|□＋μ²⁾π^0ｒ|0＞

のFourier変換の形になっています。

それ故,(2π)(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂,ｑ)

は,ｆ_ｑ(ｘ)＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|(□＋μ²⁾π^0ｒ|0＞

から,,π⁰の波動関数ｆ_ｑ(ｘ)をはずした２光子の状態

の振幅:＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞

のFourier変換(運動量表示であると考えられます。

他方,＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂):in|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂)

によって関数Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)を定義します。

すると,２種類のＳ_ｆiの積分表示の比較から,

(2π)Ｓ_σΡ(ｋ₁,ｋ₂,:ｑ)＝ｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂)

なる等式の成立がわかります。

と書いたところて記事は終わりました。 

(※以上,再掲記事終わり※)

ここからが,今回の続きの記事です。

さて,これまでは電磁場の存在しない場合の

σ模型を論じてきましたが,これに電磁場:Ａ^μ(ｘ)

を含めるには,元のσ模型のLagrangian密度:Ｌ

に,－(1/4)Ｆ_μνＦ^μνと,－ｅ₀ψ~_ｐγ_μψ_ｐＡ^μの

２項を加えるだけです。

すると,三角グラフの存在のために,PCACの素朴

な方程式:∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π^ｒは,次のように

アノマリーを持ち形に修正されます。

すなわち,∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π^ｒ

＋(1/2){α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρです。

ただし,右辺最後のアノマリー項の因子:(1/2)

は,単にσ模型の軸性カレントの具体的な表式:

ｊ^5μ＝(1/2)ψ~γ^μγ⁵ψ＋σ(∂^μπ)－π(∂^μσ)

＋ｇ₀^-1(∂^μπ)の最初の核子項に現われる因子

の(1/2)を反映したものです。

そこで,適切に正規化された(くり込まれた)Feynman

規則を導入し,QEDでの論旨を同様に実行することに

より,これが電磁相互作用と強い相互作用の両方の

摂動論の全ての次数まで正しいことを示せます。

つまり,三角グラフへの如何なる仮想光子,仮想中間子

の輻射補正もアノマリー項とそのの係数を変えること

はないわけです。

上述の考察の全ては,先のσ模型では,アイソスピン

対称性変換群のSU(2)群の基本表現の核子(ｐ,ｎ)系を

想定していましたが,これを,ハドロンのクォークの

フレイバーSU(3)群の基本表現(ｐ,ｎ,λ)系への一般化

に持ち込むことができます。

(※ 現在では(ｕ,ｄ,ｓ,ｃ,ｔ,ｂ)の６種の存在が

認められているクォークは,過去の記事で参照した論文

出版時の1970年当時には,)ｕ,ｄ,ｓの,３種だけと

考えられていて,(ｐ,ｎ,λ)と記すのが慣習でした。)

(ｐ,ｎ,λ)を基底とするSU(3)のケースなら,Ψは

３成分でψ＝(ψ₁,ψ₂,ψ₃)^Ｔに置き換えられ,スカラー

中間子σと:擬スカラー中間子πは９重項の中間子

(1重項＋８重項)に置き換えられるため,軸性ベクトル

カレントは,８成分のカレントＪ^5μとなり,π⁰に対応

するのは,その第３成分:Ｊ^5μ(3)になります。

それ故,π⁰に対してのアノマリーを持つPCAC方程式

は,∂_μＪ^5μ(3)＝(f_π/√2)π^0ｒ＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρ

×ε_ξστρと書けます。

ただし,係数Ｓは,Ｓ＝Σ_iｇ_iＱ_i²で定義されています。

ここにＱ_iはＪ^5μ(3)の中に素粒子場として現われる

ｉ番目のFermion(クォ―ク) の電荷であり,ｇ_iは,

その結合定数です。つまり,Ｊ^5μ(3)＝Σ_iｇ_iψ~_iγ^μγ⁵ψ_j

＋(中間子項)という表式でのｇ_iを意味します。

これも摂動論の全ての有限次まで正しい式です。

Ｓに対する表現:Ｓ＝Σ_iｇ_iＱ_i²の解釈はアノマリー

へのトータルの寄与は,個々の素Fermi粒子を全て

巻き込む,各々の三角グラフの寄与の総和による

と考えるからです。

PCAＣB関係式:∂_μＪ ^5μ(3)＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ

＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ は,素朴な４次元

発散が,乗法的くり込み可能な任意のくり込まれた

場の理論において,正しいと予測されます。

したがって,正しいPCAC式は,∂_μＪ ^5μ(3)

＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ.

よなりますが,これはσ模型のような特殊な場理論

の模型でなく,一般的なクラスの模型でも成立する.

正確な方程式である,と考えられます。

そして,次は「摂動論のアノマリー(20)」の

「π⁰ 崩壊の低エネルギー定理」という項目

から引用した議論です。

アノマリーを持つ４次元発散の真空から2光子への

行列要素としての正確な「低エネルギー定理」を考える

ため,まず,∂_μＪ^5μ(3)＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ

＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ.における素朴な

４次元発散の値:(ｆ_π/√2)π^0ｒがπ⁰中間子の場

であることに着目します。

この場合「低エネルギー定理」は,π⁰中間子の質量

がゼロでのoff-shellに外挿されたπ⁰ → 2γの振幅に

ついての命題が得られます。

π⁰ → 2γの振幅:Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)の標準定義は,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂):in|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂)であったことを思い起こします。

そして,くり返しになりますが,別の過去記事では,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂):in|∂_μｊ^5μ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＦ(ｋ₁ｋ₂),

＜γ(ｋ₁,ε)γ(ｋ₂,ε₂);in|2iｍ₀ｊ⁵|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＧ(ｋ₁ｋ₂),

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂):in|{α₀^/(4π)}

(Ｆ^ξσ＋Ｆ^Ｒξσ)(Ｆ^τρ＋Ｆ^Ｒτρ)ε_ξστρ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＨ(ｋ₁ｋ₂)

として,(ｋ₁ｋ₂)の関数:Ｆ,Ｇ,Ｈを定義し,これら

は実は対数発散するので,切断Λを入れて正規化した

Ｆ_Λ,Ｇ_Λ,Ｈ_Λのくり込まれた量であるＦ~,Ｇ~,Ｈ~,

つまり,Ｆ~(ｋ₁ｋ₂)＝lim_Λ→∞Ｆ_Λ(ｋ₁ｋ₂) etc.

に対して,Ｆ~(0)＝0,Ｇ~(0)＝－Ｈ~(0)＝－2α/π

が成立する。という「低エネルギー定理」

を得ています。今の場合はアノマリー項の因子Ｓを

含めるように,係数Ｈを定義し直すとＨ~(0)＝2αＳ/π

となるので,Ｇ~(0)＝－Ｈ^(0)＝－2αＳ/πです。

そしてＦ(ｋ₁ｋ₂),Ｇ(ｋ₁ｋ₂),Ｈ(ｋ₁ｋ₂)の

定義式を,Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)の定義式:

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)in|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

ε_ξτσρ×Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)と比較して,(ｋ₁ｋ₂)＝0の場合を

考えると,上記の「低エネルギー定理」

は,Ｇ~(0)＝－2αＳ/π＝(μ^-2ｆ_π/√2)Ｆ^π(0)

となります。

すなわち,π₀崩壊のＳｇ等列要素の真空から２光子

への因子:Ｆ^πに対しては,正確な「低エネルギー定理」

は,Ｆ^π(0)＝－(2√2μ²αＳ)/(πｆ_π)を意味する

ことがわかります。

何故なら,π⁰の運動量:ｑ^μ＝ｋ₁^μ＋ｋ₂において.

ｑ²＝(ｋ₁＋ｋ₂)²＝0,つまり,(ｋ₁ｋ₂)＝0の

低エネルギーは.質量がゼロのoff-Shel(質量殻外に

ある仮想π中間子状態意味しますが,このときには,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞

＝{－(ｋ₁＋ｋ₂)²＋μ²)}

×＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞

＝μ²＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρ

×Ｆ^π(0)となります。

ところが,π⁰を含むPCAC関係式:∂_μJ ^5μ(3)

＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρ

×ε_ξστρ.によれば,

μ²π^0ｒ＝(√2μ²/ｆ_π)∂_μJ ^5μ(3)

－(√2μ²Ｓ/ｆ_π){α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ.

です。

それ故.μ²＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|π^0ｒ|0＞

＝(√2μ²/ｆ_π)

×＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);ih|∂_μＪ^5μ(3)|0＞

－(√2μ²Ｓ/ｆ_π){α₀/(4π)}

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ|0＞

と書けます。

そして,この式の両辺の各項から,共通因子

の(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρを除けば,Ｆ^π(0)＝(√2μ²/ｆ_π)Ｆ(0)

－(√2μ²/ｆ_π)Ｈ(0)を得ますが,これはくりこんだ

量では,Ｆ^π(0)＝(√2μ²/ｆ_π)Ｆ~(0)－(√2μ²/ｆ_π)

×Ｈ~(0)となります。そして,この右辺第１項の

Ｆ ~(0)は,＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|∂_μＪ^5μ(3)|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＦ(ｋ₁ｋ₂)の係数Ｆをくりこんだ量

ですが,これは,低エネルギーのｑ²＝(ｋ₁＋ｋ₂)²

＝0ではＦ(ｋ₁ｋ₂)＝Ｆ（0）＝0,であり,

Ｆ~(0)＝0です。

したがって,結局,Ｆ_π(0)＝－(√2μ²ｆ_π)Ｈ~(0)

を得ます、

　ここで先の「低エネルギー定理」によれば,

0＝Ｆ~(0)＝Ｇ~(0)＋Ｈ~(0)であって

Ｈ~(0)＝2αＳ/πより,Ｇ~(0)＝－Ｈ~(0)

＝－2αＳ/πなので,Ｆ^π(0)＝(√2μ²/ｆ_π)Ｇ~(0)

＝－(2√2μ²αＳ)/(πｆ_π)が得られます。

ところで,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞

＝{－(ｋ₁＋ｋ₂)²＋μ²}

×＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞

ですから,(ｋ₁＋ｋ₂)²＝μ²の(on-shell；

量殻上)にあるときは,(ｋ₁ｋ₂)＝μ²/2

なのですが, このと両辺がゼロで,左辺は

Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)＝Ｆ^π(μ²/2)に比例する量なので,

Ｆ^π(μ²/2)＝0となりそうですが,実際には,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞が,(ｋ₁＋ｋ₂)²＝μ²

に極を持つ,と考えられるので、この質量殻上での

Ｆ^π,(μ²/2)は。一般にゼロにはなりません。

しかし,＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞は,

質量殻外の(ｋ₁＋ｋ₂)²＝0 には、極を持たない

ので.(ｋ₁＋ｋ₂)²＝0  のとき,

(ｋ₁＋ｋ₂)²＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＧ~(ｋ₁ｋ₂)(ｋ₁＋ｋ₂)²は,ゼロです。

またまた,くり返しになりますが,π⁰ → 2γ

の崩壊行列要素は,Ｓ_fi

＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|(□＋μ²)π^0ｒ(ｘ)|0＞

＝i∫ｄ⁴ｘ(2π)^-4 exp{－i(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)ｘ}

(2π)^-3/2(2ｑ⁰)^-1/2

×＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞　

で与えられますが,他方,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ったので,

ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρ

×Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)であＦ^π(0)

＝－(2√2μ²αＳ)/(πｆ_π)は,低エネルギー

でのπ⁰ → 2γの振幅が,直接:∂_μJ ^5μ(3)

＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρ

×ε_ξστρ.のアノマリー項に比例することを

示しています。

この項はSに依存します。そして,Ｓは

素Fermi粒子の電荷Ｑと,その軸性カレント

での結合定数ｇからＳ＝Σ_jｇ_ｊＱ_j² によって

決まります。

さて,求めるべき,π⁰の崩壊率:1/τ(τは崩壊寿命)

については,次の公式があります。

すなわち,1/τ＝(μ³/64π)|Ｆ^π(μ²/2)|²..です。

これは,崩壊の反応体積をＶ,時間をＴとすると,

単位体積当たりの遷移速度は,|Ｓ_fi|²/(ＶＴ)

＝(2π)⁴δ⁴(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)(2π)^-9(8ｋ₁₀ｋ₂₀Ｅ_q)

|Ｆ^π(μ²/2)|²

[Σ_ε1,ε2|ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρ|²]

で与えられます。ただし,Ｅ₀＝ｑ₀で,これは

π⁰中間子のエネルギーです。

※(注):何故なら,まず,Ｓ_fiは４元運動量保存の因子:

(2π)⁴δ⁴(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)を含み,ＶＴ＝(2π)⁴δ⁴(0)

と同定されるので.|Ｓ_fi|²/(ＶＴ)は,因子:

(2π)⁴δ⁴(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)を1個含みます。

π⁰ →2γ反応では,Ｓ_fiが規格化因子：

(2π)^-3/2(2ｋ₁₀)^-1/2(2π)^-3/2(2ｋ₂₀)^-1/2

(2π)^-3/2(2Ｅ₀)^-1/2を持つため,これは

|Ｓ_fi|²(ＶＴ)には(2π)^-9(８ｋ₁₀ｋ₂₀Ｅ_q)^-1

の寄与をします。

そして,(ｋ₁＋ｋ₂)²＝μ² のときｋ₁²＝ｋ₂²＝0

より,(ｋ₁ｋ₂)＝μ²/2なので,係数:Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)

の寄与はＦ^π(μ²/2)です。

そして,π⁰の静止系を想定するとｑ^μ＝(Ｅ_q,ｑ)

=(μ,0)です。そこで,ｋ₁＝－ｋ₂＝ｋとおくと,

ｋ＝|ｋ|＝μ/2ですから,ｋ₁₀＝ｋ₂₀＝ｋ＝μ/2です。

よってｋの向きを3軸(ｚ軸)に取ってｋ＝ｋｅ₃と

すると,ｋ₁^ξｋ₂^τで.ゼロでないのは,ξ＝0,τ＝3か,

ξ＝3,τ＝0のみです。

さらに,ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρ＝2ｋ²ε_{0 3σρ}

においてε₁,ε₂は横波を示すので,ε₁ｋ₁＝ε₂ｋ₂＝0,

より,ゼロでないのは,(σ,ρ）＝(1,2),(2,1)のみで,

このとき,ε₁^σ＊ε₂^ρ＊＝1です。

結局,Σ_ε1,ε2|ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρ|²

＝|2ｋ²ε_{0 312}|²＋|2ｋ²ε_{0 321}|²＝8ｋ⁴を

得ます。全空間Ｖに1個のπ⁰が存在する,という

規格化を考慮してπ⁰の１個当たりの崩壊確率を

求めると,1/τ＝(1/2!)∫ｄ³ｋ₁ｄ³ｋ₂{Ｖ|Ｓ_fi|²

/(ＶＴ)}＝(μ³/64π)|Ｆ^π(μ²/2)|²が得られます。

因子:(1/2!)は,２光子の区別不可能性による因子

です。こうして得られた評価式1/τ_-1

＝(μ³/64π)|Ｆ^π(μ²/2)|²において,Ｆ^π(μ²/2)

をＦ^π(0)＝－(2√2μ²αＳ)/(πｆ_π)で近似すると,

結局,π⁰崩壊の崩壊率の近似計算値が,

1/τ＝(μ³/64π)|8μ⁴α²Ｓ²/(π²ｆ_π²)

＝Ｓ²μ⁷α²/(8π³ｆ_π²)で与えられることが

わかりました。

これに,具体的な物理定数の近似値:α～1/137,

μ～135 MeＶ,および,f_π～√2ａ_πμ²/ｒ_Ａ,に

ａ_π＝0.87μ～0.97μを代入,過去記事「弱い相互

作用の旧理論(7)」からの引用でｒ_Ａ～1.21の代入

から得られるｆ_π＝1.02μ³ ～1.13μ³をも,1/τを

与える式に代入すれば,崩壊率の近似計算値として

,1/τ＝22.74Ｓ²eＶ～30.21Ｓ²eＶを得ます。

一方,Rosenfeldによって引用されたπ⁰崩壊の

崩壊率の実験値は,

1/τ_exp＝(1.12±0.22)×10¹⁶sec^-1

＝(7.37±1.5)eＶです。(※つまり,π⁰の

崩壊寿命は,τ～10^－16sec程度です。また,現在

でのより正確な実験値は,1/τ_exp＝(7.48±0.32)eＶ

です。)

そこで,仮にＳ²＝1/4であれば,計算値が,

1/τ＝5.68 eＶ～7.55ｅＶと予測されます。

この結果からは,Ｓ²＝1/4のときに実験値との

著しい一致を見ることになります。

ところが,π⁰が関わる軸性ベクトルカレント

では,クォークの基本３粒子の場:Ψ＝(ψ₁,ψ₂,ψ₃)^Ｔ

＝(ｐ,ｎ,λ)^Ｔの結合定数について,ストレンジ粒子

λは無関係で(ｇ₁,ｇ₂,ｇ₃)＝(1/2,－1/2,0) です。

そして電磁カレントの[Ｕスピン不変性]から,

基本粒子の(ｐ,ｎ,λ)の電荷は,(Ｑ₁,Ｑ₂,Ｑ₃)

＝(Ｑ,Ｑ－1,Ｑ－1)というパターンを持ち,

Ｑ＝2/3とすると(Ｑ₁,Ｑ₂,Ｑ₃)＝(2/3,－1/3.－1/3)

なのでＳ＝Σ_jｇ_ｊＱ_j²＝1/6となります。

しかし,現在の見地では,クォークにはフレイバー

自由度とは独立に,カラー自由度が存在して,カラー

ＳＵ(3)対称性を持つことが知られており,この自由度

３により,Ｓ＝(1／6)×３＝1/2となるため,確かに

Ｓ²＝1/4を満たします。。　

現在,ハドロンを構成する基本粒子のクォーク

はフレイバー自由度も３個ではなく６個の

(ｕ,ｄ,ｓ,ｃ,ｔ,ｂ)＝(up,down,strange,charm,

top,bottom)が存在すると,されていますが,

1970年当時は,そのうちの３個(ｐ,ｎ,λ)

＝(ｕ,ｄ,ｓ)の３種だけで基本クォークが

構成されると予想されていました。しかし

π中間子と関わるカレントのクォーク成分は

(ｕ,ｄ)＝(ｐ,ｎ)だけなので,全体のフレイバー

自由度が３から６に増加しても,カラーを考量

したＳ＝1/2という値には変わりなく実験値との

矛盾はないことになります。

荷電π中間子π^±の平均寿命が,τ～2.6×10^-8sec

と観測されているのに対し,中性のπ⁰中間子の

平均寿命は,τ～10^－16 sec程度と,はるかに短かく

π0→2γの崩壊は,π→μ＋ν~の崩壊とは異なる作用

で,アノマリー項の寄与によるものと考えられると

いうのが,最終結論です。

そもそも,π中間子は,カイラルゲージ対称性を持つ

系の対称性の自発的破れで「南部-oldstonの定理」に

従って出現したゼロ質量の粒子(ＮＧ粒子)が,ゲージ

対称性の破れという特殊性で,Higgsメカニズムに

よって質量を獲得した粒子と解釈されています。

　それ故,元々質量は大きくなく,もしも本当にゼロ質量

なら中性π⁰の場合,理論上崩壊は禁止されるので,実際に

崩壊が生じるのはアノマリー存在のためと考えられます。

アノマリーは,ゴーストや仮想粒子のように,存在しても

実在として観測されないモノではなく,現実に観測され,

崩壊寿命の計算などに必要なモノです。

ここで,キリもいいので今回はここまでです。(つづく)